ऑपेराड: Difference between revisions

Revision as of 10:27, 7 March 2023

गणित में, ऑपेराड एक संरचना है जिसमें एब्स्ट्रैक्ट (संक्षेप) ऑपरेशन (गणित) होते हैं, प्रत्येक में निश्चित परिमित संख्या में इनपुट और आउटपुट होता है, साथ ही इन ऑपरेशनों को बनाने के प्रकार का विनिर्देश होता है। ओपेरा O दिया गया है $O$ इस समूह पर कंक्रीट ऑपरेशंस के साथ सेट होने के लिए बीजगणित को परिभाषित करता है जो कि संक्षेप ऑपरेशन की तरह ही व्यवहार करता है उदाहरण के लिए, ओपेरा L जैसे L के ऊपर बीजगणित लाई बीजगणित है; अर्थ में L संक्षेप प्रकार से उन ऑपरेशनों को स्कैनकोड करता है जो सभी लाई बीजगणित के लिए सामान्य है।ऑपेराड अपने बीजगणित के लिए समूह (गणित) के रूप में अपने समूह के प्रतिनिधित्व के लिए है।

इतिहास

ऑपरेशंस बीजगणितीय टोपोलॉजी में उत्पन्न होते हैं ऑपेराड; 1969 में जे माइकल बोर्डमैन और रेनर एम. वोग्ट^[1]^[2] और 1970 मई जे. पीटर मे द्वारा प्रस्तुत लिया गया था।^[3] ऑपेराड शब्द मई द्वारा संचालन और मोनड (श्रेणी सिद्धांत) के पोर्टमंतेऊ के रूप में बनाया गया था (और इसलिए भी कि उनकी मां एक ऑपेरा गायक थीं)।^[4] 90 के दशक की प्रारम्भ में ऑपेराड में रुचि अधिकांशतः नवीनीकृत हो गई थी, जब मैक्सिम कोंटेसेविच, विक्टर गिन्ज़बर्ग और मिखाइल कापरानोव की प्रारंभिक अंतर्दृष्टि के आधार पर पता चला कि तर्कसंगत होमोटोपी सिद्धांत में कुछ द्वंद (गणित) घटनाओं को ऑपेराड के कोज़ुल द्वंद का उपयोग करके समझाया जा सकता है।^[5]^[6] इसके बाद से ऑपरेड्स ने कई अनुप्रयोगों को पाया है, जैसे जहर कई गुना के विरूपण परिमाणीकरण में, डेलिग्ने अनुमान,^[7] या मैक्सिम कोंटसेविच और थॉमस विलवाकर के कार्य में ग्राफ (असतत गणित) होमोलॉजी (गणित) में किया गया है।

अंतर्ज्ञान

माना X एक समूह है और

n\in \mathbb {N}

को परिभाषित करता है

और

P(n):=\{f:X^{n}\to X\}

,

कार्टेशियन प्रोडक्ट से सभी फलन का समूह $n$ की प्रतिरूप $X$ को $X$ है।

हम इन कार्यों की रचना कर सकते हैं: दिया गया $f\in P(n)$ , $f_{1}\in P(k_{1}),\ldots ,f_{n}\in P(k_{n})$ , फलन

f\circ (f_{1},\ldots ,f_{n})\in P(k_{1}+\cdots +k_{n})

निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: दिया गया $k_{1}+\cdots +k_{n}$ से तर्क $X$ , हम उन्हें विभाजित करते हैं $n$ ब्लॉक, पहले वाला $k_{1}$ तर्क, दूसरा $k_{2}$ तर्क, इत्यादि, और फिर क्रियान्वित करें $f_{1}$ पहले ब्लॉक के लिए, $f_{2}$ दूसरे ब्लॉक इत्यादि के लिए है। फिर हम मान X से प्राप्त n मानों की सूचि में f को इस प्रकार क्रियान्वित करते हैं |

हम तर्कों को भी अनुमति दे सकते हैं, अर्थात हमारे पास समूह क्रिया है $*$ सममित समूह का $S_{n}$ पर $P(n)$ , द्वारा परिभाषित

(f*s)(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{s^{-1}(1)},\ldots ,x_{s^{-1}(n)})

के लिए $f\in P(n)$ , $s\in S_{n}$ और $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$ .

नीचे दी गई सममित ऑपेराड की परिभाषा इन दो आपरेशनों के आवश्यक गुणों को पकड़ती है $\circ$ और $*$ .

परिभाषा

गैर-सममित संक्रिया

असममित ऑपेराड (कभी-कभी क्रमचय के बिना ऑपेराड कहा जाता है, या गैर- $\Sigma$ या प्लेन ऑपेराड) में निम्नलिखित सम्मिलित हैं:

अनुक्रम $(P(n))_{n\in \mathbb {N} }$ समूह के, जिनके तत्व कहलाते हैं $n$ -एरी ऑपरेशन ,
अवयव $1$ में $P(1)$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

@@ Line 85: / Line 85: @@
 === बीजगणित की परिभाषा ===
-क्रमविनिमेय वलय R को देखते हुए हम श्रेणी पर विचार करते हैं <math>R\text{-}\mathsf{Mod}</math> आर पर मॉड्यूल का। आर पर एक ऑपेराड को एक [[ मोनॉइड वस्तु ]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>(T, \gamma, \eta)</math> [[एंडोफंक्टर्स की मोनोइडल श्रेणी]] में <math>R\text{-}\mathsf{Mod}</math> (यह एक मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) है) कुछ परिमित स्थिति को संतुष्ट करता है।<ref group="note">”finiteness" refers to the fact that only a finite number of inputs are allowed in the definition of an operad. For example, the condition is satisfied if one can write
+क्रमविनिमेय वलय R को  दिया गया है हम आर R से अत्यधिक मॉड्यूल की श्रेणी आर-मॉड पर विचार करते हैं। आर पर ऑपेराड को[[ मोनॉइड वस्तु | मोनॉइड ऑब्जेक्ट]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>(T, \gamma, \eta)</math> [[एंडोफंक्टर्स की मोनोइडल श्रेणी]] में आर-मॉड (यह मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) है) कुछ परिमित स्थिति को संतुष्ट करता है।उदाहरण के लिए, बहुपद एंडोफंक्टर्स की श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट आर-मॉड ऑपेराड है।<ref name=Deligne />इसी प्रकार, सममित ऑपेराड को एस-ऑब्जेक्ट की श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>\mathbb{S}</math>-ऑब्जेक्ट्स, जहां <math>\mathbb{S}</math> मतलब सममित समूह है।<ref>{{cite arXiv|last1=Jones|first1=J. D. S.|last2=Getzler|first2=Ezra|date=8 March 1994|title=डबल लूप स्पेस के लिए ऑपरेड्स, होमोटॉपी बीजगणित और पुनरावृत्त इंटीग्रल|eprint=hep-th/9403055|language=en}}</ref> संयोजी प्रजातियों की श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट परिमित  समूहों में ऑपेराड है।
-:<math>T(V) = \bigoplus_{n=1}^{\infty} T_n \otimes V^{\otimes n}</math>,
-:<math>\gamma(V): T_n \otimes T_{i_1} \otimes \cdots \otimes T_{i_n} \to T_{i_1 + \dots + i_n}</math>.</ref>
-उदाहरण के लिए, बहुपद एंडोफंक्टर्स की श्रेणी में एक मोनोइड वस्तु <math>R\text{-}\mathsf{Mod}</math> एकऑपेराड है।<ref name=Deligne />इसी तरह, एक सममित ऑपेराड को एस-ऑब्जेक्ट की श्रेणी में एक मोनोइड ऑब्जेक्ट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है<math>\mathbb{S}</math>-ऑब्जेक्ट्स, जहां <math>\mathbb{S}</math> मतलब एक सममित समूह।<ref>{{cite arXiv|last1=Jones|first1=J. D. S.|last2=Getzler|first2=Ezra|date=8 March 1994|title=डबल लूप स्पेस के लिए ऑपरेड्स, होमोटॉपी बीजगणित और पुनरावृत्त इंटीग्रल|eprint=hep-th/9403055|language=en}}</ref> संयोजी प्रजातियों की श्रेणी में एक मोनोइड वस्तु परिमित सेटों में एक ऑपेराड है।
-उपरोक्त अर्थ में एक ऑपेराड को कभी-कभी सामान्यीकृत रिंग के रूप में माना जाता है। उदाहरण के लिए, निकोलाई ड्यूरोव अपने सामान्यीकृत रिंगों को एंडोफंक्टर्स की मोनोइडल श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट्स के रूप में परिभाषित करता है। <math>\textbf{Set}</math> जो फ़िल्टर्ड कोलिमिट्स के साथ यात्रा करता है।<ref>N. Durov, New approach to Arakelov geometry, University of Bonn, PhD thesis, 2007; [http://www.arxiv.org/abs/0704.2030 arXiv:0704.2030].</ref> यह एक वलय का सामान्यीकरण है क्योंकि प्रत्येक साधारण वलय R एक सन्यासी को परिभाषित करता है <math>\Sigma_R: \textbf{Set} \to \textbf{Set}</math> जो फ्री मॉड्यूल | फ्री आर-मॉड्यूल के अंतर्निहित सेट को एक सेट एक्स भेजता है <math>R^{(X)}</math>X द्वारा उत्पन्न।
+उपरोक्त अर्थ में ऑपेराड को कभी-कभी सामान्यीकृत रिंग के रूप में माना जाता है। उदाहरण के लिए, निकोलाई ड्यूरोव अपने सामान्यीकृत रिंगों को एंडोफंक्टर्स की मोनोइडल श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट्स के रूप में परिभाषित करता है। समूह जो फ़िल्टर्ड कोलिमिट्स के साथ चलता है।<ref>N. Durov, New approach to Arakelov geometry, University of Bonn, PhD thesis, 2007; [http://www.arxiv.org/abs/0704.2030 arXiv:0704.2030].</ref> यह वलय का सामान्यीकरण है क्योंकि प्रत्येक साधारण वलय R मोनाड को परिभाषित करता है <math>\Sigma_R: \textbf{Set} \to \textbf{Set}</math> जो फ्री मॉड्यूल है | फ्री आर-मॉड्यूल के अंतर्निहित समूह को समूह एक्स भेजता है  जो <math>R^{(X)}</math>X द्वारा उत्पन्न होता है।
 == स्वयंसिद्धों को समझना ==

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