ऑपेराड: Difference between revisions
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गणित में, ऑपेराड एक संरचना है जिसमें एब्स्ट्रैक्ट (संक्षेप) [[ऑपरेशन (गणित)]] होते हैं, प्रत्येक में निश्चित परिमित संख्या में इनपुट और आउटपुट होता है, साथ ही इन ऑपरेशनों को बनाने के प्रकार का विनिर्देश होता है। ओपेरा '''''O''''' दिया गया है <math>O</math>इस | गणित में, ऑपेराड एक संरचना है जिसमें एब्स्ट्रैक्ट (संक्षेप) [[ऑपरेशन (गणित)]] होते हैं, प्रत्येक में निश्चित परिमित संख्या में इनपुट और आउटपुट होता है, साथ ही इन ऑपरेशनों को बनाने के प्रकार का विनिर्देश होता है। ओपेरा '''''O''''' दिया गया है <math>O</math> इस समूह पर कंक्रीट ऑपरेशंस के साथ सेट होने के लिए बीजगणित को परिभाषित करता है जो कि संक्षेप [[ऑपरेशन (गणित)|ऑपरेशन]] की तरह ही व्यवहार करता है उदाहरण के लिए, ओपेरा '''''L''''' जैसे '''''L''''' के ऊपर बीजगणित लाई बीजगणित है; अर्थ में '''''L''''' संक्षेप प्रकार से उन ऑपरेशनों को स्कैनकोड करता है जो सभी लाई बीजगणित के लिए सामान्य है।ऑपेराड अपने बीजगणित के लिए [[समूह (गणित)]] के रूप में अपने समूह के प्रतिनिधित्व के लिए है। | ||
== इतिहास == | == इतिहास == | ||
ऑपरेशंस [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में उत्पन्न होते हैं ऑपेराड; 1969 में जे माइकल बोर्डमैन और रेनर एम. वोग्ट<ref>{{Cite journal|last1=Boardman|first1=J. M.|author-link=Michael Boardman|last2=Vogt|first2=R. M.|date=1 November 1968|title=होमोटॉपी-सब कुछ $H$-स्पेस|url=https://www.ams.org/journals/bull/1968-74-06/S0002-9904-1968-12070-1/home.html|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|language=en-US|volume=74|issue=6|pages=1117–1123|doi=10.1090/S0002-9904-1968-12070-1|issn=0002-9904|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite book|last1=Boardman|first1=J. M.|author-link=Michael Boardman|last2=Vogt|first2=R. M.|date=1973|title=टोपोलॉजिकल स्पेस पर होमोटॉपी इनवेरिएंट बीजगणितीय संरचनाएं|series=Lecture Notes in Mathematics|language=en-gb|volume=347|doi=10.1007/bfb0068547|issn=0075-8434|isbn=978-3-540-06479-4}}</ref> और 1970 मई जे. पीटर मे द्वारा प्रस्तुत लिया गया था।<ref>{{Cite book|last=May|first=J. P.|author-link=J. Peter May|date=1972|title=पुनरावृत्त लूप रिक्त स्थान की ज्यामिति|series=Lecture Notes in Mathematics|language=en-gb|volume=271|doi=10.1007/bfb0067491|issn=0075-8434|isbn=978-3-540-05904-2|citeseerx=10.1.1.146.3172}}</ref> ऑपेराड शब्द मई द्वारा संचालन और मोनड (श्रेणी सिद्धांत) के पोर्टमंतेऊ के रूप में बनाया गया था (और इसलिए भी कि उनकी मां एक ऑपेरा गायक थीं)।<ref>{{Cite web|url=https://www.math.uchicago.edu/~may/PAPERS/mayi.pdf|title=संचालन, बीजगणित और मॉड्यूल|last=May|first=J. Peter|author-link=J. Peter May|website=math.uchicago.edu|page=2|access-date=28 September 2018}}</ref> 90 के दशक की प्रारम्भ में ऑपेराड में रुचि | ऑपरेशंस [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में उत्पन्न होते हैं ऑपेराड; 1969 में जे माइकल बोर्डमैन और रेनर एम. वोग्ट<ref>{{Cite journal|last1=Boardman|first1=J. M.|author-link=Michael Boardman|last2=Vogt|first2=R. M.|date=1 November 1968|title=होमोटॉपी-सब कुछ $H$-स्पेस|url=https://www.ams.org/journals/bull/1968-74-06/S0002-9904-1968-12070-1/home.html|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|language=en-US|volume=74|issue=6|pages=1117–1123|doi=10.1090/S0002-9904-1968-12070-1|issn=0002-9904|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite book|last1=Boardman|first1=J. M.|author-link=Michael Boardman|last2=Vogt|first2=R. M.|date=1973|title=टोपोलॉजिकल स्पेस पर होमोटॉपी इनवेरिएंट बीजगणितीय संरचनाएं|series=Lecture Notes in Mathematics|language=en-gb|volume=347|doi=10.1007/bfb0068547|issn=0075-8434|isbn=978-3-540-06479-4}}</ref> और 1970 मई जे. पीटर मे द्वारा प्रस्तुत लिया गया था।<ref>{{Cite book|last=May|first=J. P.|author-link=J. Peter May|date=1972|title=पुनरावृत्त लूप रिक्त स्थान की ज्यामिति|series=Lecture Notes in Mathematics|language=en-gb|volume=271|doi=10.1007/bfb0067491|issn=0075-8434|isbn=978-3-540-05904-2|citeseerx=10.1.1.146.3172}}</ref> ऑपेराड शब्द मई द्वारा संचालन और मोनड (श्रेणी सिद्धांत) के पोर्टमंतेऊ के रूप में बनाया गया था (और इसलिए भी कि उनकी मां एक ऑपेरा गायक थीं)।<ref>{{Cite web|url=https://www.math.uchicago.edu/~may/PAPERS/mayi.pdf|title=संचालन, बीजगणित और मॉड्यूल|last=May|first=J. Peter|author-link=J. Peter May|website=math.uchicago.edu|page=2|access-date=28 September 2018}}</ref> 90 के दशक की प्रारम्भ में ऑपेराड में रुचि अधिकांशतः नवीनीकृत हो गई थी, जब [[मैक्सिम कोंटेसेविच]], [[विक्टर गिन्ज़बर्ग]] और [[मिखाइल कापरानोव]] की प्रारंभिक अंतर्दृष्टि के आधार पर पता चला कि तर्कसंगत होमोटोपी सिद्धांत में कुछ द्वंद [[द्वैत (गणित)|(गणित)]] घटनाओं को ऑपेराड के कोज़ुल द्वंद का उपयोग करके समझाया जा सकता है।<ref>{{Cite journal|last1=Ginzburg|first1=Victor|author-link=Victor Ginzburg|last2=Kapranov|first2=Mikhail|date=1994|title=ओपेरा के लिए द्वंद्व शर्ट|url=https://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077286744|journal=Duke Mathematical Journal|language=en|volume=76|issue=1|pages=203–272|doi=10.1215/S0012-7094-94-07608-4|issn=0012-7094|mr=1301191|zbl=0855.18006|s2cid=115166937|via=[[Project Euclid]]}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.numdam.org/item/SB_1994-1995__37__47_0|title=La renaissance des opérades|last=Loday|first=Jean-Louis|author-link=Jean-Louis Loday|year=1996|website=www.numdam.org|series=[[Séminaire Nicolas Bourbaki]]|language=en|mr=1423619|zbl=0866.18007|access-date=27 September 2018}}</ref> इसके बाद से ऑपरेड्स ने कई अनुप्रयोगों को पाया है, जैसे [[जहर कई गुना]] के [[विरूपण परिमाणीकरण]] में, डेलिग्ने अनुमान,<ref name="Deligne">{{cite arXiv|last1=Kontsevich|first1=Maxim|last2=Soibelman|first2=Yan|date=26 January 2000|title=ऑपरेड्स और डेलिग्ने के अनुमान पर बीजगणित की विकृति|eprint=math/0001151}}</ref> या मैक्सिम कोंटसेविच और [[ थॉमस विलवाकर |थॉमस विलवाकर]] के कार्य में [[ग्राफ (असतत गणित)]] होमोलॉजी (गणित) में किया गया है। | ||
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:और <math>P(n):=\{f:X^n\to X\}</math>, | :और <math>P(n):=\{f:X^n\to X\}</math>, | ||
कार्टेशियन प्रोडक्ट से सभी | कार्टेशियन प्रोडक्ट से सभी फलन का समूह <math>n</math> की प्रतिरूप <math>X</math> को <math>X</math> है। | ||
हम इन कार्यों की रचना कर सकते हैं: दिया गया <math>f\in P(n)</math>, <math>f_1\in P(k_1),\ldots,f_n\in P(k_n)</math>, | हम इन कार्यों की रचना कर सकते हैं: दिया गया <math>f\in P(n)</math>, <math>f_1\in P(k_1),\ldots,f_n\in P(k_n)</math>, फलन | ||
:<math>f \circ (f_1,\ldots,f_n)\in P(k_1+\cdots+k_n)</math> | :<math>f \circ (f_1,\ldots,f_n)\in P(k_1+\cdots+k_n)</math> | ||
निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: दिया गया <math>k_1+\cdots+k_n</math> से तर्क <math>X</math>, हम उन्हें विभाजित करते हैं <math>n</math> ब्लॉक, पहले वाला <math>k_1</math>तर्क, दूसरा <math>k_2</math> तर्क, इत्यादि , और फिर क्रियान्वित करें <math>f_1</math>पहले ब्लॉक के लिए, <math>f_2</math> दूसरे ब्लॉक इत्यादि के लिए है। फिर हम मान '''''X''''' से प्राप्त n मानों की सूचि में f को इस प्रकार क्रियान्वित करते हैं | | निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: दिया गया <math>k_1+\cdots+k_n</math> से तर्क <math>X</math>, हम उन्हें विभाजित करते हैं <math>n</math> ब्लॉक, पहले वाला <math>k_1</math>तर्क, दूसरा <math>k_2</math> तर्क, इत्यादि, और फिर क्रियान्वित करें <math>f_1</math>पहले ब्लॉक के लिए, <math>f_2</math> दूसरे ब्लॉक इत्यादि के लिए है। फिर हम मान '''''X''''' से प्राप्त n मानों की सूचि में f को इस प्रकार क्रियान्वित करते हैं | | ||
हम तर्कों को भी अनुमति दे सकते हैं, अर्थात हमारे पास [[समूह क्रिया]] है <math>*</math> | हम तर्कों को भी अनुमति दे सकते हैं, अर्थात हमारे पास [[समूह क्रिया]] है <math>*</math> सममित [[सममित समूह|समूह]] का <math>S_n</math> पर <math>P(n)</math>, द्वारा परिभाषित | ||
:<math>(f*s)(x_1,\ldots,x_n) = f(x_{s^{-1}(1)},\ldots,x_{s^{-1}(n)})</math> | :<math>(f*s)(x_1,\ldots,x_n) = f(x_{s^{-1}(1)},\ldots,x_{s^{-1}(n)})</math> | ||
के लिए <math>f\in P(n)</math>, <math>s\in S_n</math> और <math>x_1,\ldots,x_n\in X</math>. | के लिए <math>f\in P(n)</math>, <math>s\in S_n</math> और <math>x_1,\ldots,x_n\in X</math>. | ||
नीचे दी गई | नीचे दी गई सममित ऑपेराड की परिभाषा इन दो आपरेशनों के आवश्यक गुणों को पकड़ती है <math>\circ</math> और <math>*</math>. | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
=== गैर-सममित संक्रिया === | === गैर-सममित संक्रिया === | ||
असममित ऑपेराड (कभी-कभी क्रमचय के बिना ऑपेराड कहा जाता है, या गैर-<math>\Sigma</math>या प्लेन ऑपेराड) में निम्नलिखित सम्मिलित हैं: | |||
* | * अनुक्रम <math>(P(n))_{n\in\mathbb{N}}</math> समूह के, जिनके तत्व कहलाते हैं<math>n</math>-एरी ऑपरेशन , | ||
* | * अवयव <math>1</math> में <math>P(1)</math> पहचान कहते हैं, | ||
* सभी | * सभी धन पूर्णांक के लिए <math>n</math>, <math display="inline">k_1,\ldots,k_n</math>, संघटन फलन | ||
:<math> | :<math> | ||
| Line 49: | Line 49: | ||
=== सममित ऑपरैड === | === सममित ऑपरैड === | ||
सममित ऑपेराड (अधिकांशतः ऑपरैड कहा जाता है) असममित ऑपेराड है <math>P</math> ऊपर के रूप में, एक साथ सममित समूह <math>S_n</math>पर <math>P(n)</math> के एक समान क्रिया के लिए <math>n\in\N</math>, द्वारा चिह्नित <math>*</math> और संतुष्ट करना है | |||
*समतुल्यता: क्रमचय दिया गया <math>t\in S_n</math>, | *समतुल्यता: क्रमचय दिया गया <math>t\in S_n</math>, | ||
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::( जहाँ <math>(s_1,\ldots,s_n)</math> के अवयव को दर्शाता है <math>S_{k_1+\dots+k_n}</math>जो इन ब्लॉकों में से पहले <math>s_1</math>परमिट करता है, दूसरा <math>s_2</math>द्वारा, इत्यादि, और उनके सभी क्रम को उपस्थित रखता है)। | ::( जहाँ <math>(s_1,\ldots,s_n)</math> के अवयव को दर्शाता है <math>S_{k_1+\dots+k_n}</math>जो इन ब्लॉकों में से पहले <math>s_1</math>परमिट करता है, दूसरा <math>s_2</math>द्वारा, इत्यादि, और उनके सभी क्रम को उपस्थित रखता है)। | ||
इस परिभाषा में | इस परिभाषा में क्रमचय क्रियाएं अधिकांश अनुप्रयोगों के लिए महत्वपूर्ण हैं, जिनमें मूल अनुप्रयोग से लेकर लूप स्पेस तक सम्मिलित हैं। | ||
=== आकारिकी === | === आकारिकी === | ||
ओपेरा | ओपेरा की व्याख्या <math>f:P\to Q</math> यहाँ पर अनुक्रम होते हैं के होते हैं | ||
:<math>(f_n:P(n)\to Q(n))_{n\in\mathbb{N}}</math> | :<math>(f_n:P(n)\to Q(n))_{n\in\mathbb{N}}</math> | ||
वह: | वह: | ||
Revision as of 09:47, 7 March 2023
गणित में, ऑपेराड एक संरचना है जिसमें एब्स्ट्रैक्ट (संक्षेप) ऑपरेशन (गणित) होते हैं, प्रत्येक में निश्चित परिमित संख्या में इनपुट और आउटपुट होता है, साथ ही इन ऑपरेशनों को बनाने के प्रकार का विनिर्देश होता है। ओपेरा O दिया गया है इस समूह पर कंक्रीट ऑपरेशंस के साथ सेट होने के लिए बीजगणित को परिभाषित करता है जो कि संक्षेप ऑपरेशन की तरह ही व्यवहार करता है उदाहरण के लिए, ओपेरा L जैसे L के ऊपर बीजगणित लाई बीजगणित है; अर्थ में L संक्षेप प्रकार से उन ऑपरेशनों को स्कैनकोड करता है जो सभी लाई बीजगणित के लिए सामान्य है।ऑपेराड अपने बीजगणित के लिए समूह (गणित) के रूप में अपने समूह के प्रतिनिधित्व के लिए है।
इतिहास
ऑपरेशंस बीजगणितीय टोपोलॉजी में उत्पन्न होते हैं ऑपेराड; 1969 में जे माइकल बोर्डमैन और रेनर एम. वोग्ट[1][2] और 1970 मई जे. पीटर मे द्वारा प्रस्तुत लिया गया था।[3] ऑपेराड शब्द मई द्वारा संचालन और मोनड (श्रेणी सिद्धांत) के पोर्टमंतेऊ के रूप में बनाया गया था (और इसलिए भी कि उनकी मां एक ऑपेरा गायक थीं)।[4] 90 के दशक की प्रारम्भ में ऑपेराड में रुचि अधिकांशतः नवीनीकृत हो गई थी, जब मैक्सिम कोंटेसेविच, विक्टर गिन्ज़बर्ग और मिखाइल कापरानोव की प्रारंभिक अंतर्दृष्टि के आधार पर पता चला कि तर्कसंगत होमोटोपी सिद्धांत में कुछ द्वंद (गणित) घटनाओं को ऑपेराड के कोज़ुल द्वंद का उपयोग करके समझाया जा सकता है।[5][6] इसके बाद से ऑपरेड्स ने कई अनुप्रयोगों को पाया है, जैसे जहर कई गुना के विरूपण परिमाणीकरण में, डेलिग्ने अनुमान,[7] या मैक्सिम कोंटसेविच और थॉमस विलवाकर के कार्य में ग्राफ (असतत गणित) होमोलॉजी (गणित) में किया गया है।
अंतर्ज्ञान
- माना X एक समूह है और को परिभाषित करता है
- और ,
कार्टेशियन प्रोडक्ट से सभी फलन का समूह की प्रतिरूप को है।
हम इन कार्यों की रचना कर सकते हैं: दिया गया , , फलन
निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: दिया गया से तर्क , हम उन्हें विभाजित करते हैं ब्लॉक, पहले वाला तर्क, दूसरा तर्क, इत्यादि, और फिर क्रियान्वित करें पहले ब्लॉक के लिए, दूसरे ब्लॉक इत्यादि के लिए है। फिर हम मान X से प्राप्त n मानों की सूचि में f को इस प्रकार क्रियान्वित करते हैं |
हम तर्कों को भी अनुमति दे सकते हैं, अर्थात हमारे पास समूह क्रिया है सममित समूह का पर , द्वारा परिभाषित