गुणा: Difference between revisions

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यहाँ S(y) y के  परवर्ती क्रमांक का प्रतिनिधित्व करता है, साहचर्य जैसे विभिन्न गुणों को इनसे और पियानो अंकगणित के अन्य स्वयंसिद्धों से सिद्ध किया जा सकता है,  विभिन्न गुणों को इन और गणितीय प्रेरण सहित पीनो अंकगणित के अन्य स्वयंसिद्धों से सिद्ध किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, S(0), जिसे 1 से निरूपित किया जाता है, एक गुणनात्मक सर्वसमिका है क्योंकि
यहाँ S(y) y के  परवर्ती क्रमांक का प्रतिनिधित्व करता है, साहचर्य जैसे विभिन्न गुणों को इनसे और पियानो अंकगणित के अन्य स्वयंसिद्धों से सिद्ध किया जा सकता है,  विभिन्न गुणों को इन और गणितीय प्रेरण सहित पीनो अंकगणित के अन्य स्वयंसिद्धों से सिद्ध किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, S(0), जिसे 1 से निरूपित किया जाता है, एक गुणनात्मक सर्वसमिका है क्योंकि
:<math>x \times 1 = x \times S(0) = (x \times 0) + x = 0 + x = x.</math>
:<math>x \times 1 = x \times S(0) = (x \times 0) + x = 0 + x = x.</math>
पूर्णांकों के अभिगृहीत आमतौर पर उन्हें प्राकृतिक संख्याओं के क्रमित युग्मों के तुल्यता वर्ग के रूप में परिभाषित करते हैं। मॉडल (x, y) को तुल्य मानने पर आधारित है {{nowrap|''x'' − ''y''}} जब x और y को पूर्णांक माना जाता है। इस प्रकार (0,1) और (1,2) दोनों -1 के बराबर हैं। पूर्णांकों के लिए गुणन अभिगृहीत को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
पूर्णांकों के अभिगृहीत आमतौर पर उन्हें प्राकृतिक संख्याओं के क्रमित युग्मों के तुल्यता वर्ग के रूप में परिभाषित करते हैं। मॉडल (x, y) को x - y के समतुल्य मानने पर आधारित है जब x और y को पूर्णांक के रूप में माना जाता है। इस प्रकार (0,1) और (1,2) दोनों -1 के बराबर हैं। पूर्णांकों के लिए गुणन अभिगृहीत को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
:<math>(x_p,\, x_m) \times (y_p,\, y_m) = (x_p \times y_p + x_m \times y_m,\; x_p \times y_m + x_m \times y_p).</math>
:<math>(x_p,\, x_m) \times (y_p,\, y_m) = (x_p \times y_p + x_m \times y_m,\; x_p \times y_m + x_m \times y_p).</math>
वह नियम जिससे −1 × −1 = 1 निकाला जा सकता है
वह नियम जिससे −1 × −1 = 1 निकाला जा सकता है
:<math>(0, 1) \times (0, 1) = (0 \times 0 + 1 \times 1,\, 0 \times 1 + 1 \times 0) = (1,0).</math>
:<math>(0, 1) \times (0, 1) = (0 \times 0 + 1 \times 1,\, 0 \times 1 + 1 \times 0) = (1,0).</math>
गुणा समान तरीके से परिमेय संख्याओं और फिर वास्तविक संख्याओं तक बढ़ाया जाता है।{{Citation needed|date=December 2021}}
गुणा समान नियम से परिमेय संख्याओं और फिर वास्तविक संख्याओं तक बढ़ाया जाता है।{{Citation needed|date=December 2021}}




== सेट सिद्धांत के साथ गुणा ==
== समुच्चय सिद्धांत के साथ गुणा ==
गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के गुणनफल को कार्डिनल नंबर कार्डिनल गुणन या पीनो स्वयंसिद्ध अंकगणित का उपयोग करके सेट सिद्धांत के साथ परिभाषित किया जा सकता है। विभिन्न प्रकार की संख्याओं का गुणन कैसे इसे मनमाना पूर्णांकों को गुणा करने के लिए विस्तारित किया जाए, और फिर मनमाना परिमेय संख्याएँ। वास्तविक संख्याओं के गुणनफल को परिमेय संख्याओं के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है; वास्तविक संख्या का निर्माण देखें।{{Citation needed|date=December 2021}}
गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के गुणनफल को गणन संख्या गणन गुणन या पीनो स्वयंसिद्ध अंकगणित का उपयोग करके समुच्चय सिद्धांत के साथ परिभाषित किया जा सकता है। विभिन्न प्रकार की संख्याओं का गुणन कैसे इसे स्वेच्छाचारी पूर्णांकों को और फिर स्वेच्छाचारी परिमेय संख्याएँ गुणा करने के लिए विस्तारित किया जाए। वास्तविक संख्याओं के गुणनफल और परिमेय संख्याओं के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है; वास्तविक संख्या का अभिप्राय  देखें।{{Citation needed|date=December 2021}}




== समूह सिद्धांत में गुणन ==<!--linked from below-->
== समूह सिद्धांत में गुणन ==<!--linked from below-->
ऐसे कई समुच्चय हैं, जो गुणन की संक्रिया के अंतर्गत उन अभिगृहीतों को संतुष्ट करते हैं जो [[ समूह (गणित) | समूह गणित]] संरचना को परिभाषित करते हैं। ये स्वयंसिद्ध समापन, साहचर्य, और एक पहचान तत्व और व्युत्क्रम का समावेश हैं।
ऐसे कई समुच्चय हैं, जो गुणन की संक्रिया के अंतर्गत उन अभिगृहीतों को समाधान करते हैं जो [[ समूह (गणित) | समूह गणित]] संरचना को परिभाषित करते हैं। स्वयंसिद्ध समापन, साहचर्य,पहचान तत्व और व्युत्क्रम का समावेश हैं।


एक साधारण उदाहरण गैर-शून्य [[ परिमेय संख्या ]]ओं का समुच्चय है। यहां हमारे पास पहचान 1 है, इसके अलावा समूहों के विपरीत जहां पहचान आम तौर पर 0 है। ध्यान दें कि परिमेय के साथ, हमें शून्य को बाहर करना चाहिए क्योंकि गुणा के तहत, इसमें व्युत्क्रम नहीं होता है: कोई तर्कसंगत संख्या नहीं है जिसे गुणा किया जा सके शून्य से परिणाम 1. इस उदाहरण में, हमारे पास एक [[ एबेलियन समूह ]] है, लेकिन हमेशा ऐसा नहीं होता है।
एक साधारण उदाहरण ये है की शून्येतर[[ परिमेय संख्या | परिमेय संख्याओं]] का समुच्चय है। यहां हमारे पास सर्वसमिका 1 है, इसके अलावा समूहों के विपरीत सर्वसमिका आम तौर पर 0 है।परिमेय और शून्य को बाहर करना चाहिए क्योंकि, गुणन के तहत, इसका व्युत्क्रम नहीं होता है: ऐसी कोई परिमेय संख्या नहीं है जिसे शून्य से गुणा करके 1 प्राप्त किया जा सके। इस उदाहरण में, हमारे पास एक [[ एबेलियन समूह ]] है| लेकिन ऐसा हमेशा नहीं होता है ,की हमारे पास हमेशा एक एबेलियन समूह हो।


इसे देखने के लिए, किसी दिए गए [[ क्षेत्र (गणित) ]] पर दिए गए आयाम के व्युत्क्रमणीय वर्ग मैट्रिक्स के सेट पर विचार करें। यहां, समापन, साहचर्य, और पहचान [[ पहचान मैट्रिक्स |पहचान मैट्रिक्स]] और व्युत्क्रमों को शामिल करने को सत्यापित करना सीधा है। हालाँकि, मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, जो दर्शाता है कि यह समूह गैर-अबेलियन है।
इसे देखने के लिए, किसी दिए गए [[ क्षेत्र (गणित) ]] पर दिए गए आयाम के व्युत्क्रमणीय वर्ग मैट्रिक्स के सेट पर विचार करें। यहां, समापन, साहचर्य, और सर्वसमिका, [[ पहचान मैट्रिक्स |सर्वसमिका मैट्रिक्स]] और व्युत्क्रमों को शामिल करने या सत्यापित करने का सीधा मार्ग है। हालाँकि, मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, जो यह दर्शाता है कि यह समूह गैर-अबेलियन है।


ध्यान देने योग्य एक अन्य तथ्य यह है कि गुणन के अंतर्गत आने वाले पूर्णांक एक समूह नहीं बनाते हैं - भले ही हम शून्य को छोड़ दें। यह 1 और -1 के अलावा अन्य सभी तत्वों के व्युत्क्रम के अस्तित्वहीनता से आसानी से देखा जा सकता है।
ध्यान देने योग्य एक अन्य तथ्य यह है कि गुणन के अंतर्गत आने वाले पूर्णांक एक समूह नहीं बनाते हैं - भले ही हम शून्य को छोड़ दें। यह 1 और -1 के अलावा अन्य सभी तत्वों के व्युत्क्रम के अस्तित्वहीनता को आसानी से देखा जा सकता है।


समूह सिद्धांत में गुणन को आमतौर पर या तो डॉट द्वारा या जक्सटैपिशन तत्वों के बीच एक ऑपरेशन प्रतीक की चूक द्वारा नोट किया जाता है। इसलिए तत्व a को तत्व b से गुणा करने पर a के रूप में नोट किया जा सकता है <math>\cdot</math> b या ab। सेट और ऑपरेशन के संकेत के माध्यम से एक समूह का जिक्र करते समय, डॉट का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, हमारा पहला उदाहरण किसके द्वारा दर्शाया जा सकता है <math>\left( \mathbb{Q}/ \{ 0 \} ,\, \cdot \right)</math>.{{Citation needed|date=December 2021}}
समूह सिद्धांत में गुणन को आमतौर पर या तो डॉट द्वारा या जक्सटैपिशन(तत्वों के बीच एक संक्रिया प्रतीक की लोप) द्वारा नोट किया जाता है। इसलिए तत्व a को तत्व b से गुणा करने पर a <math>\cdot</math> b या ab के रूप में नोट किया जा सकता है । समुच्चय और संक्रिया के संकेत के माध्यम से एक समूह का निर्देशीत करते समय, डॉट का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, हमारा पहला उदाहरण इनके द्वारा <math>\left( \mathbb{Q}/ \{ 0 \} ,\, \cdot \right)</math> दर्शाया जा सकता है




Revision as of 23:43, 23 February 2023

This article is about गणितीय कार्य विधि. For other uses, see गुणा (disambiguation).

<डिव क्लास = राइट>

Arithmetic operations
Addition (+)
Subtraction (−)
Multiplication (×)
Division (÷)
Exponentiation (^)
nth root (√)
Logarithm (log)
Error creating thumbnail:
3 मार्बल्स के साथ 4 बैग/बैग बारह मार्बल्स (4 × 3 = 12) देते हैं।
File:Multiply scaling.svg
गुणन को पैमाने के कारक भी माना जा सकता है। यहां हम देखते हैं कि स्केलिंग का उपयोग करके 2 को 3 से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 6 मिलता है।
File:Multiplication as scaling integers.gif
गुणा 2 × 3 = 6 के लिए एनिमेशन।
File:Multiplication scheme 4 by 5.jpg
4 × 5 = 20। बड़ा आयत 20 वर्गों से बना है, प्रत्येक 1 इकाई 1 इकाई है।
File:Multiply field fract.svg
एक कपड़े का क्षेत्रफल 4.5m × 2.5m = 11.25m2; 41/2 × 21/2 = 111/4

गुणन अक्सर गुणन चिन्ह द्वारा निरूपित किया जाता है ×, मध्य-पंक्ति संकेत और शब्दावली द्वारा ⋅, तुलना द्वारा, या, संगणक पर, तारक द्वारा * अंकगणित के चार प्राथमिक अंकगणितीय कार्य विधि में से एक है, अन्य जोड़, घटाव और भाग गणित हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को गुणनफल गणित कहा जाता है।

प्राकृतिक संख्या के गुणन को गुणन और बार-बार जोड़ के रूप में जाना जाता है; अर्थात्, दो संख्याओं का गुणन उनमें से एक की कई प्रतियों को जोड़ने के बराबर है, गुण्य, दूसरे की मात्रा के रूप में, गुणक होता है। दोनों संख्याओं को कारकों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, 4 का 3 से गुणा किया जाता है, जिसे अक्सर इस रूप में लिखा जाता है और 3 गुना 4 के रूप में बोला जाता है, इसकी गणना 4 की 3 प्रतियों को एक साथ जोड़कर भी की जा सकती है:

यहाँ, 3 गुणक और 4 गुणक गुणनखंड हैं, और 12 गुणनफल है।

गुणन के मुख्य गुणों में से एक क्रमचयी गुणधर्म है, जो इस स्थिति में बताता है कि 4 की 3 प्रतियां जोड़ने से 3 की 4 प्रतियां जोड़ने के समान परिणाम मिलता है:

इस प्रकार गुणक और गुणक का पदनाम गुणन के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।इस मूल परिभाषा के व्यवस्थित सामान्यीकरण पूर्णांकों ऋणात्मक संख्याओं सहित, परिमेय संख्याओं के अंशों और वास्तविक संख्याओं के गुणन को परिभाषित करता हैं।

गुणन के एक आयत में पूर्ण संख्याओं के लिए व्यवस्थित वस्तुओं की गिनती के रूप में भी देखा जा सकता है या आयत के क्षेत्रफल को खोज के रूप में देखा जा सकता है, जिनके पक्षों में कुछ दी गई लंबाई है। एक आयत का क्षेत्रफल इस बात पर निर्भर नहीं करता है,कि किस पक्ष को पहले मापा जाता है,यह क्रमविनिमेय विशेषता का एक परिणाम है।

दो मापों का गुणन एक नए प्रकार का मापन है। उदाहरण के लिए, किसी आयत की दोनों भुजाओं की लंबाइयों को गुणा करने पर उसका क्षेत्रफल प्राप्त होता है। ऐसा गुणनआयामी विश्लेषण का विषय है।

गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया विभाजन है। उदाहरण के लिए, 4 को 3 से गुणा करने पर 12 प्राप्त होता है, तो 12 को 3 से विभाजित करने पर भी 4 प्राप्त होता है। वास्तव में, 3 से गुणा करने पर 3 से भाग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। 0 के अलावा किसी अन्य संख्या का विभाजन 1 के बराबर होता है।

गुणन को अन्य प्रकार की संख्याओं के लिए भी परिभाषित किया गया है, जैसे कि सम्मिश्र संख्याएँ , और अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए मैट्रिक्स गणित हैं। इनमें से कुछ अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए,यह मायने रखता है जिस क्रम में ऑपरेंड को एक साथ गुणा किया जाय ।गणित में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न प्रकार के गुणन की सूची गुणन गणित में दी गई है।[verification needed]


संकेतन और शब्दावली

× ⋅
Multiplication signs
In UnicodeU+00D7 × MULTIPLICATION SIGN (&times;)
U+22C5 ⋅ DOT OPERATOR (&sdot;)
Different from
Different fromU+00B7 · MIDDLE DOT
U+002E . FULL STOP
See also: गुणक (भाषाविज्ञान)

अंकगणित में, गुणन को अक्सर गुणन चिह्न को या तो × या शर्तों के बीच यानी, इन्फिक्स नोटेशन में दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए,

गुणन के लिए अन्य गणितीय संकेतन हैं:

  • गुणन चिह्न × और सामान्य चर के बीच दुविधा को कम करने के लिए x, गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है,आमतौर पर एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु शायद ही कदाचित् समय मै प्रयोग किया जाता हैं :-
या
मध्य बिंदु संकेतन, यूनिकोड में एन्कोड किया गया है U+22C5 ⋅ बिंदु ऑपरेटर, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है जहां एक समय इसका उपयोग दशमलव विभाजक के रूप में लिया जाता है। जब बिंदु ऑपरेटर वर्ण पहुंच योग्य नहीं होता है, तो इंटरपंक (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में अल्पविराम (विराम चिह्न) का उपयोग करते हैं, गुणा के लिए या तो समय या मध्य बिंदु का उपयोग किया जाता है।[citation needed]
ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए रेखांकित रेखा के लोप होने से रोकने के लिए किया जाता था, और अवधि/पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। हालाँकि, चूंकि प्रौद्योगिकी मंत्रालय ने 1968 में इस अवधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का फैसला किया था,[1]और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से अपनाया गया है, यह उपयोग अब केवल प्राचीन पत्रिकाओं जैसे द लांसेट में पाया जाता है।[2]
  • बीजगणित में, चर (गणित) से जुड़े गुणन को अक्सर एक संयोजन गणित के रूप में लिखा जाता है उदाहरण के लिए, के लिये बार या पाँच बार के लिए , जिसे निहित गुणन भी कहा जाता है। अंकन का उपयोग उन मात्राओं के लिए भी किया जा सकता है जो कोष्ठकों से घिरी हुई हैं उदाहरण के लिए, ,