गुणा: Difference between revisions

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;क्रमचयी गुणधर्म
;क्रमचयी गुणधर्म
: जिस क्रम में दो संख्याओं को गुणा किया जाता है, वह मायने नहीं रखता:
: अपरिवर्तनशील विशेशता में जिस क्रम में दो संख्याओं को गुणा किया जाता है वह कोई मायने नहीं रखता:
::<math>x\cdot y = y\cdot x.</math>
::<math>x\cdot y = y\cdot x.</math>


;[[ संबंधी संपत्ति ]]
;[[ संबंधी संपत्ति ]]
: केवल गुणन या जोड़ को शामिल करने वाले भाव संचालन के क्रम के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं:
: गुणन या जोड़ को शामिल करने वाले व्यंजक संचालन के क्रम के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं:
::<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math>
::<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math>


;वितरण की जाने वाली संपत्ति
;वितरण की जाने वाली संपत्ति
:जोड़ पर गुणन के संबंध में पकड़ रखता है। बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बनाने में यह सर्वसमिका अत्यंत महत्वपूर्ण है:
:जोड़ और गुणन के संबंध पर पकड़ रखता है तथा बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बनाने में सर्वसमिका अत्यंत महत्वपूर्ण है:
::<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math><ref name=":0">{{Cite web|title=गुणन - गणित का विश्वकोश|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Multiplication|access-date=2021-12-29|website=encyclopediaofmath.org}}</ref><ref name=":1">{{Cite book|last=Biggs|first=Norman L.|title=गणित पृथक करें|publisher=Oxford University Press|year=2002|isbn=978-0-19-871369-2|pages=25|language=en}}</ref>
::<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math>


;[[ पहचान तत्व ]]
;[[ पहचान तत्व ]]
:गुणात्मक पहचान 1 है; किसी भी चीज़ को 1 से गुणा करने पर वह स्वयं होता है। 1 की इस विशेषता को पहचान संपत्ति के रूप में जाना जाता है:
:गुणात्मक पहचान 1 है तथा किसी भी अंक को 1 से गुणा करने पर वह स्वयं प्राप्त होता है। 1 को इस सर्वसमिका विशेषता के रूप में जाना जाता है|
::<math>x\cdot 1 = x</math>
::<math>x\cdot 1 = x</math>


अब्ज़ॉर्ब करने वाला तत्व
'''0 की संपत्ति'''
: किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर 0 होता है। इसे गुणन का शून्य गुण कहा जाता है:
: किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर 0 प्राप्त होता है। इसे गुणन का शून्य गुण कहा जाता है:
::<math>x\cdot 0 = 0</math>
::<math>x\cdot 0 = 0</math>


;[[ योगज प्रतिलोम ]]
;[[ योगज प्रतिलोम ]]
:−1 गुना कोई भी संख्या उस संख्या के योगात्मक व्युत्क्रम के बराबर होती है।
:किसी भी संख्या का −1 गुना उस संख्या के योगात्मक व्युत्क्रम के बराबर होता है।
::<math>(-1)\cdot x = (-x)</math> कहाँ पे <math>(-x)+x=0</math>
::<math>(-1)\cdot x = (-x)</math> कहाँ पे <math>(-x)+x=0</math>
:-1 गुना -1 1 है।
::-1 गुना -1 1 है।
::<math>(-1)\cdot (-1) = 1</math>
::<math>(-1)\cdot (-1) = 1</math>
[[ उलटा तत्व ]]
[[ उलटा तत्व |प्रतिलोम अवयव]]
: प्रत्येक संख्या x, शून्य से भाग देने पर, एक 'गुणात्मक व्युत्क्रम' होता है, <math>\frac{1}{x}</math>, ऐसा है कि <math>x\cdot\left(\frac{1}{x}\right) = 1</math>.<ref>{{Cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |title=गुणात्मक प्रतिलोम|url=https://mathworld.wolfram.com/ |access-date=2022-04-19 |website=mathworld.wolfram.com |language=en}}</ref>
: प्रत्येक संख्या x, 0 को छोड़कर, एक 'गुणात्मक व्युत्क्रम' होता है, <math>\frac{1}{x}</math>, ऐसा है कि <math>x\cdot\left(\frac{1}{x}\right) = 1</math>.
[[ आदेश सिद्धांत ]] संरक्षण
[[ आदेश सिद्धांत |क्रम सिद्धांत]] संरक्षण
:एक सकारात्मक संख्या से गुणा आदेश सिद्धांत को संरक्षित करता है:
:एक सकारात्मक संख्या से गुणा क्रम सिद्धांत को संरक्षित करता है:
::के लिये {{nowrap|''a'' > 0}}, यदि {{nowrap|''b'' > ''c''}} फिर {{nowrap|''ab'' > ''ac''}}.
::के लिये {{nowrap|''a'' > 0}}, यदि {{nowrap|''b'' > ''c''}} फिर {{nowrap|''ab'' > ''ac''}}.
: ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर क्रम उलट जाता है:
: ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर क्रम उलट जाता है:
::के लिये {{nowrap|''a'' < 0}}, यदि {{nowrap|''b'' > ''c''}} फिर {{nowrap|''ab'' < ''ac''}}.
::के लिये {{nowrap|''a'' < 0}}, यदि {{nowrap|''b'' > ''c''}} फिर {{nowrap|''ab'' < ''ac''}}.
: जटिल संख्याओं में ऐसा क्रम नहीं होता है जो जोड़ और गुणा दोनों के अनुकूल हो।<ref>{{Cite web|last=Angell|first=David|title=कॉम्प्लेक्स नंबर ऑर्डर करना... नहीं*|url=https://web.maths.unsw.edu.au/~angell/articles/complexorder.pdf|url-status=live|access-date=29 December 2021|website=web.maths.unsw.edu.au}}</ref><ref>{{Cite web|title=सम्मिश्र संख्याओं पर कुल आदेश|url=https://math.stackexchange.com/questions/487997/total-ordering-on-complex-numbers|access-date=2021-12-29|website=Mathematics Stack Exchange}}</ref>
: जटिल संख्याओं में ऐसा क्रम नहीं होता है जो जोड़ और गुणा दोनों के अनुकूल हो।
अन्य गणितीय प्रणालियाँ जिनमें गुणन संक्रिया शामिल है, हो सकता है कि उनमें ये सभी गुण न हों। उदाहरण के लिए, गुणन सामान्य रूप से, मैट्रिक्स (गणित) और चतुष्कोणों के लिए क्रमविनिमेय नहीं है।<ref name=":0"/>
अन्य गणितीय प्रणालियाँ जिनमें गुणन संक्रिया शामिल है या हो सकता है कि उनमें ये सभी गुण न हों। उदाहरण के लिए, गुणन सामान्य रूप से, मैट्रिक्स गणित और चतुष्कोणों के लिए क्रमविनिमेय नहीं है।
 




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:<math>x \times 0 = 0</math>
:<math>x \times 0 = 0</math>
:<math>x \times S(y) = (x \times y) + x</math>
:<math>x \times S(y) = (x \times y) + x</math>
यहाँ S(y) y के उत्तराधिकारी क्रमांक का प्रतिनिधित्व करता है; अर्थात, y के बाद आने वाली प्राकृत संख्या। साहचर्यता जैसे विभिन्न गुणों को इन और गणितीय प्रेरण सहित पीनो अंकगणित के अन्य स्वयंसिद्धों से सिद्ध किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, S(0), जिसे 1 से निरूपित किया जाता है, एक गुणनात्मक सर्वसमिका है क्योंकि
यहाँ S(y) y के परवर्ती क्रमांक का प्रतिनिधित्व करता है, साहचर्य जैसे विभिन्न गुणों को इनसे और पियानो अंकगणित के अन्य स्वयंसिद्धों से सिद्ध किया जा सकता है,  विभिन्न गुणों को इन और गणितीय प्रेरण सहित पीनो अंकगणित के अन्य स्वयंसिद्धों से सिद्ध किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, S(0), जिसे 1 से निरूपित किया जाता है, एक गुणनात्मक सर्वसमिका है क्योंकि
:<math>x \times 1 = x \times S(0) = (x \times 0) + x = 0 + x = x.</math>
:<math>x \times 1 = x \times S(0) = (x \times 0) + x = 0 + x = x.</math>
पूर्णांकों के अभिगृहीत आमतौर पर उन्हें प्राकृतिक संख्याओं के क्रमित युग्मों के तुल्यता वर्ग के रूप में परिभाषित करते हैं। मॉडल (x, y) को तुल्य मानने पर आधारित है {{nowrap|''x'' − ''y''}} जब x और y को पूर्णांक माना जाता है। इस प्रकार (0,1) और (1,2) दोनों -1 के बराबर हैं। पूर्णांकों के लिए गुणन अभिगृहीत को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
पूर्णांकों के अभिगृहीत आमतौर पर उन्हें प्राकृतिक संख्याओं के क्रमित युग्मों के तुल्यता वर्ग के रूप में परिभाषित करते हैं। मॉडल (x, y) को तुल्य मानने पर आधारित है {{nowrap|''x'' − ''y''}} जब x और y को पूर्णांक माना जाता है। इस प्रकार (0,1) और (1,2) दोनों -1 के बराबर हैं। पूर्णांकों के लिए गुणन अभिगृहीत को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
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;जटिल आंकड़े
;जटिल आंकड़े
:जटिल संख्याओं को ध्यान में रखते हुए <math>z_1</math> तथा <math>z_2</math> वास्तविक संख्याओं के क्रमित जोड़े के रूप में <math>(a_1, b_1)</math> तथा <math>(a_2, b_2)</math>, उत्पाद <math>z_1\times z_2</math> है <math>(a_1\times a_2 - b_1\times b_2, a_1\times b_2 + a_2\times b_1)</math>. यह रीलों के समान ही है <math>a_1\times a_2</math> जब काल्पनिक भाग <math>b_1</math> तथा <math>b_2</math> शून्य हैं।{{Citation needed|date=December 2021}}
:जटिल संख्याओं को ध्यान में रखते हुए <math>z_1</math> तथा <math>z_2</math> वास्तविक संख्याओं के क्रमित जोड़े के रूप में <math>(a_1, b_1)</math> तथा <math>(a_2, b_2)</math>, उत्पाद <math>z_1\times z_2</math> है <math>(a_1\times a_2 - b_1\times b_2, a_1\times b_2 + a_2\times b_1)</math>. यह रीलों के समान ही है <math>a_1\times a_2</math> जब काल्पनिक भाग <math>b_1</math> तथा <math>b_2</math> शून्य हैं।{{Citation needed|date=December 2021}}
: समतुल्य, निरूपित करना <math>\sqrt{-1}</math> जैसा <math>i</math>, अपने पास <math>z_1 \times z_2 = (a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1 \times a_2)+(a_1\times b_2i)+(b_1\times a_2i)+(b_1\times b_2i^2)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)i.</math><ref name=":0"/><ref name=":2">{{Cite web|title=गुणा|url=https://planetmath.org/Multiplication|access-date=2021-12-29|website=planetmath.org}}</ref>:वैकल्पिक रूप से, त्रिकोणमितीय रूप में, यदि <math>z_1 = r_1(\cos\phi_1+i\sin\phi_1), z_2 = r_2(\cos\phi_2+i\sin\phi_2)</math>, फिर<math display="inline">z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\phi_1 + \phi_2) + i\sin(\phi_1 + \phi_2)).</math><ref name=":0"/>
: समतुल्य, निरूपित करना <math>\sqrt{-1}</math> जैसा <math>i</math>, अपने पास <math>z_1 \times z_2 = (a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1 \times a_2)+(a_1\times b_2i)+(b_1\times a_2i)+(b_1\times b_2i^2)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)i.</math><ref name=":0">{{Cite web|title=गुणन - गणित का विश्वकोश|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Multiplication|access-date=2021-12-29|website=encyclopediaofmath.org}}</ref><ref name=":2">{{Cite web|title=गुणा|url=https://planetmath.org/Multiplication|access-date=2021-12-29|website=planetmath.org}}</ref>:वैकल्पिक रूप से, त्रिकोणमितीय रूप में, यदि <math>z_1 = r_1(\cos\phi_1+i\sin\phi_1), z_2 = r_2(\cos\phi_2+i\sin\phi_2)</math>, फिर<math display="inline">z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\phi_1 + \phi_2) + i\sin(\phi_1 + \phi_2)).</math><ref name=":0"/>


आगे सामान्यीकरण
आगे सामान्यीकरण

Revision as of 22:22, 23 February 2023

This article is about गणितीय कार्य विधि. For other uses, see गुणा (disambiguation).

<डिव क्लास = राइट>

Arithmetic operations
Addition (+)
Subtraction (−)
Multiplication (×)
Division (÷)
Exponentiation (^)
nth root (√)
Logarithm (log)
File:Multiply 4 bags 3 marbles.svg
3 मार्बल्स के साथ 4 बैग/बैग बारह मार्बल्स (4 × 3 = 12) देते हैं।
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गुणन को पैमाने के कारक भी माना जा सकता है। यहां हम देखते हैं कि स्केलिंग का उपयोग करके 2 को 3 से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 6 मिलता है।
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गुणा 2 × 3 = 6 के लिए एनिमेशन।
File:Multiplication scheme 4 by 5.jpg
4 × 5 = 20। बड़ा आयत 20 वर्गों से बना है, प्रत्येक 1 इकाई 1 इकाई है।
File:Multiply field fract.svg
एक कपड़े का क्षेत्रफल 4.5m × 2.5m = 11.25m2; 41/2 × 21/2 = 111/4

गुणन अक्सर गुणन चिन्ह द्वारा निरूपित किया जाता है ×, मध्य-पंक्ति संकेत और शब्दावली द्वारा ⋅, तुलना द्वारा, या, संगणक पर, तारक द्वारा * अंकगणित के चार प्राथमिक अंकगणितीय कार्य विधि में से एक है, अन्य जोड़, घटाव और भाग गणित हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को गुणनफल गणित कहा जाता है।

प्राकृतिक संख्या के गुणन को गुणन और बार-बार जोड़ के रूप में जाना जाता है; अर्थात्, दो संख्याओं का गुणन उनमें से एक की कई प्रतियों को जोड़ने के बराबर है, गुण्य, दूसरे की मात्रा के रूप में, गुणक होता है। दोनों संख्याओं को कारकों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, 4 का 3 से गुणा किया जाता है, जिसे अक्सर इस रूप में लिखा जाता है और 3 गुना 4 के रूप में बोला जाता है, इसकी गणना 4 की 3 प्रतियों को एक साथ जोड़कर भी की जा सकती है:

यहाँ, 3 गुणक और 4 ग