गुणा: Difference between revisions

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=== कंप्यूटर एल्गोरिदम ===
=== कंप्यूटर एल्गोरिदम ===
{{main|गुणन एल्गोरिथ्म बड़े इनपुट के लिए तेजी से गुणा एल्गोरिदम}}
{{main|गुणन एल्गोरिथ्म बड़े इनपुट के लिए तेजी से गुणा एल्गोरिदम}}
दो n-अंकीय संख्याओं को गुणा करने की शास्त्रीय विधि के लिए  ''n''<sup>2</sup> अंकों के गुणन की आवश्यकता होती है।  बड़ी संख्या को गुणा करते समय गणना समय को काफी कम  करने के लिए गुणन एल्गोरिदम को डिज़ाइन किया गया है । असतत फूरियर रूपांतरण पर आधारित विधियाँ बड़े पूर्णांकों का गुणन कम्प्यूटेशनल जटिलता को कम करता है {{math|''O''(''n'' log ''n'' log log ''n'')}}. 2016 में, कारक {{math|log log ''n''}} एक फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था जो बहुत धीमी गति से बढ़ता है, हालांकि अभी भी स्थिर नहीं है। मार्च 2019 में, डेविड हार्वे और जोरिस वैन डेर होवेन ने एक जटिलता के साथ एक पूर्णांक गुणन एल्गोरिथ्म प्रस्तुत करते हुए एक पेपर प्रस्तुत किया <math>O(n\log n).</math>एल्गोरिथम, फास्ट फूरियर परिवर्तन पर भी आधारित है, जिसे एसिम्प्टोटिक रूप से इष्टतम माना जाता है। एल्गोरिथ्म व्यावहारिक रूप से उपयोगी नहीं है, क्योंकि यह केवल बहुत बड़ी संख्याओं को गुणा करने के लिए तेज़ हो जाता है इससे अधिक होने पर {{math|2<sup>1729<sup>12</sup></sup>}} बिट्स।
दो n-अंकीय संख्याओं को गुणा करने की शास्त्रीय विधि के लिए  ''n''<sup>2</sup> अंकों के गुणन की आवश्यकता होती है।  बड़ी संख्या को गुणा करते समय गणना समय को काफी कम  करने के लिए गुणन एल्गोरिदम को डिज़ाइन किया गया है । बड़े पूर्णांकों का गुणन असतत फूरियर रूपांतरण पर आधारित विधियाँ कम्प्यूटेशनल जटिलता को कम करता है {{math|''O''(''n'' log ''n'' log log ''n'')}}. 2016 में, कारक {{math|log log ''n''}} एक फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था जो बहुत धीमी गति से बढ़ता है, हालांकि अभी भी स्थिर नहीं है। मार्च 2019 में, डेविड हार्वे और जोरिस वैन डेर होवेन ने एक जटिलता के साथ एक पूर्णांक गुणन एल्गोरिथ्म प्रस्तुत करते हुए एक पेपर प्रस्तुत किया <math>O(n\log n).</math>एल्गोरिथम, फास्ट फूरियर परिवर्तन पर भी आधारित है, जिसे एसिम्प्टोटिक रूप से इष्टतम माना जाता है। एल्गोरिथ्म व्यावहारिक रूप से उपयोगी नहीं है, क्योंकि यह केवल बहुत बड़ी संख्याओं को (इससे अधिक होने पर {{math|2<sup>1729<sup>12</sup></sup>}} बिट्स।) को गुणा करने के लिए तेज़ हो जाता है ।




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{{Main|आयामी विश्लेषण}}
{{Main|आयामी विश्लेषण}}


एक ही प्रकार की मात्राओं को केवल अर्थपूर्ण रूप से जोड़ या घटाया जा सकता है, लेकिन विभिन्न प्रकार की मात्राओं को बिना किसी समस्या के गुणा या विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, तीन कंचों वाले चार बैगों के बारे में सोचा जा सकता है: [4 बैग] × [3 मार्बल्स प्रति बैग] = 12 मार्बल्स।
एक ही प्रकार की मात्राओं को केवल अर्थपूर्ण रूप से जोड़ या घटाया जा सकता है, लेकिन विभिन्न प्रकार की मात्राओं को बिना किसी समस्या के गुणा या विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, तीन कंचों वाले चार बैगों के बारे में सोचा जा सकता है:  


जब दो मापों को एक साथ गुणा किया जाता है, तो उत्पाद माप के प्रकार के आधार पर एक प्रकार का होता है। सामान्य सिद्धांत आयामी विश्लेषण द्वारा दिया गया है। यह विश्लेषण भौतिकी में नियमित रूप से लागू होता है, लेकिन इसमें वित्त और अन्य अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में भी अनुप्रयोग हैं।
 
[4 बैग] × [3 मार्बल्स प्रति बैग] = 12 मार्बल्स।
 
 
जब दो मापों को एक साथ गुणा किया जाता है, तो गुणन माप के प्रकार के आधार पर एक प्रकार का होता है। इसे सामान्य सिद्धांत आयामी विश्लेषण द्वारा दिया गया है। यह विश्लेषण भौतिकी में नियमित रूप से लागू होता है, लेकिन इसमें वित्त और अन्य अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में भी अनुप्रयोग हैं।


भौतिकी में एक सामान्य उदाहरण यह तथ्य है कि भौतिकी में गति को समय से गुणा करने पर [[ दूरी ]] मिलती है। उदाहरण के लिए:
भौतिकी में एक सामान्य उदाहरण यह तथ्य है कि भौतिकी में गति को समय से गुणा करने पर [[ दूरी ]] मिलती है। उदाहरण के लिए:

Revision as of 09:26, 21 February 2023

This article is about गणितीय कार्य विधि. For other uses, see गुणा (disambiguation).

<डिव क्लास = राइट>

Arithmetic operations
Addition (+)
Subtraction (−)
Multiplication (×)
Division (÷)
Exponentiation (^)
nth root (√)
Logarithm (log)
3 मार्बल्स के साथ 4 बैग/बैग बारह मार्बल्स (4 × 3 = 12) देते हैं।
गुणन को पैमाने के कारक भी माना जा सकता है। यहां हम देखते हैं कि स्केलिंग का उपयोग करके 2 को 3 से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 6 मिलता है।
File:Multiplication as scaling integers.gif
गुणा 2 × 3 = 6 के लिए एनिमेशन।
File:Multiplication scheme 4 by 5.jpg
4 × 5 = 20। बड़ा आयत 20 वर्गों से बना है, प्रत्येक 1 इकाई 1 इकाई है।
File:Multiply field fract.svg
एक कपड़े का क्षेत्रफल 4.5m × 2.5m = 11.25m2; 41/2 × 21/2 = 111/4

गुणन अक्सर गुणन चिन्ह द्वारा निरूपित किया जाता है ×, मध्य-पंक्ति संकेत और शब्दावली द्वारा ⋅, तुलना द्वारा, या, संगणक पर, तारक द्वारा * अंकगणित के चार प्राथमिक अंकगणितीय कार्य विधि में से एक है, अन्य जोड़, घटाव और भाग गणित हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को गुणनफल गणित कहा जाता है।

प्राकृतिक संख्या के गुणन को गुणन और बार-बार जोड़ के रूप में जाना जाता है; अर्थात्, दो संख्याओं का गुणन उनमें से एक की कई प्रतियों को जोड़ने के बराबर है, गुण्य, दूसरे की मात्रा के रूप में, गुणक होता है। दोनों संख्याओं को कारकों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, 4 का 3 से गुणा किया जाता है, जिसे अक्सर इस रूप में लिखा जाता है और 3 गुना 4 के रूप में बोला जाता है, इसकी गणना 4 की 3 प्रतियों को एक साथ जोड़कर भी की जा सकती है:

यहाँ, 3 गुणक और 4 गुणक गुणनखंड हैं, और 12 गुणनफल है।

गुणन के मुख्य गुणों में से एक क्रमचयी गुणधर्म है, जो इस स्थिति में बताता है कि 4 की 3 प्रतियां जोड़ने से 3 की 4 प्रतियां जोड़ने के समान परिणाम मिलता है:

इस प्रकार गुणक और गुणक का पदनाम गुणन के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।इस मूल परिभाषा के व्यवस्थित सामान्यीकरण पूर्णांकों ऋणात्मक संख्याओं सहित, परिमेय संख्याओं के अंशों और वास्तविक संख्याओं के गुणन को परिभाषित करता हैं।

गुणन के एक आयत में पूर्ण संख्याओं के लिए व्यवस्थित वस्तुओं की गिनती के रूप में भी देखा जा सकता है या आयत के क्षेत्रफल को खोज के रूप में देखा जा सकता है, जिनके पक्षों में कुछ दी गई लंबाई है। एक आयत का क्षेत्रफल इस बात पर निर्भर नहीं करता है,कि किस पक्ष को पहले मापा जाता है,यह क्रमविनिमेय विशेषता का एक परिणाम है।

दो मापों का गुणन एक नए प्रकार का मापन है। उदाहरण के लिए, किसी आयत की दोनों भुजाओं की लंबाइयों को गुणा करने पर उसका क्षेत्रफल प्राप्त होता है। ऐसा गुणनआयामी विश्लेषण का विषय है।

गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया विभाजन है। उदाहरण के लिए, 4 को 3 से गुणा करने पर 12 प्राप्त होता है, तो 12 को 3 से विभाजित करने पर भी 4 प्राप्त होता है। वास्तव में, 3 से गुणा करने पर 3 से भाग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। 0 के अलावा किसी अन्य संख्या का विभाजन 1 के बराबर होता है।

गुणन को अन्य प्रकार की संख्याओं के लिए भी परिभाषित किया गया है, जैसे कि सम्मिश्र संख्याएँ , और अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए मैट्रिक्स गणित हैं। इनमें से कुछ अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए,यह मायने रखता है जिस क्रम में ऑपरेंड को एक साथ गुणा किया जाय ।गणित में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न प्रकार के गुणन की सूची गुणन गणित में दी गई है।[verification needed]