गुणा: Difference between revisions
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=== कंप्यूटर एल्गोरिदम === | === कंप्यूटर एल्गोरिदम === | ||
{{main| | {{main|गुणन एल्गोरिथ्म बड़े इनपुट के लिए तेजी से गुणा एल्गोरिदम}} | ||
दो को गुणा करने की शास्त्रीय विधि {{math|''n''}}-अंकीय संख्या की आवश्यकता है {{math|''n''<sup>2</sup>}} अंकों का गुणन। गुणन एल्गोरिदम को डिज़ाइन किया गया है जो बड़ी संख्या को गुणा करते समय गणना समय को काफी कम करता है। असतत फूरियर रूपांतरण पर आधारित विधियाँ | दो को गुणा करने की शास्त्रीय विधि {{math|''n''}}-अंकीय संख्या की आवश्यकता है {{math|''n''<sup>2</sup>}} अंकों का गुणन। गुणन एल्गोरिदम को डिज़ाइन किया गया है जो बड़ी संख्या को गुणा करते समय गणना समय को काफी कम करता है। असतत फूरियर रूपांतरण पर आधारित विधियाँ बड़े पूर्णांकों का गुणन कम्प्यूटेशनल जटिलता को कम करता है {{math|''O''(''n'' log ''n'' log log ''n'')}}. 2016 में, कारक {{math|log log ''n''}} एक फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था जो बहुत धीमी गति से बढ़ता है, हालांकि अभी भी स्थिर नहीं है। मार्च 2019 में, डेविड हार्वे और जोरिस वैन डेर होवेन ने एक जटिलता के साथ एक पूर्णांक गुणन एल्गोरिथ्म प्रस्तुत करते हुए एक पेपर प्रस्तुत किया <math>O(n\log n).</math>एल्गोरिथम, फास्ट फूरियर परिवर्तन पर भी आधारित है, जिसे एसिम्प्टोटिक रूप से इष्टतम माना जाता है। एल्गोरिथ्म व्यावहारिक रूप से उपयोगी नहीं है, क्योंकि यह केवल बहुत बड़ी संख्याओं को गुणा करने के लिए तेज़ हो जाता है इससे अधिक होने पर {{math|2<sup>1729<sup>12</sup></sup>}} बिट्स। | ||
== माप के उत्पाद == | == माप के उत्पाद == | ||
{{Main| | {{Main|आयामी विश्लेषण}} | ||
एक ही प्रकार की मात्राओं को केवल अर्थपूर्ण रूप से जोड़ या घटाया जा सकता है, लेकिन विभिन्न प्रकार की मात्राओं को बिना किसी समस्या के गुणा या विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, तीन कंचों वाले चार बैगों के बारे में सोचा जा सकता है | |||
एक ही प्रकार की मात्राओं को केवल अर्थपूर्ण रूप से जोड़ या घटाया जा सकता है, लेकिन विभिन्न प्रकार की मात्राओं को बिना किसी समस्या के गुणा या विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, तीन कंचों वाले चार बैगों के बारे में सोचा जा सकता है: [4 बैग] × [3 मार्बल्स प्रति बैग] = 12 मार्बल्स। | |||
जब दो मापों को एक साथ गुणा किया जाता है, तो उत्पाद माप के प्रकार के आधार पर एक प्रकार का होता है। सामान्य सिद्धांत आयामी विश्लेषण द्वारा दिया गया है। यह विश्लेषण भौतिकी में नियमित रूप से लागू होता है, लेकिन इसमें वित्त और अन्य अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में भी अनुप्रयोग हैं। | जब दो मापों को एक साथ गुणा किया जाता है, तो उत्पाद माप के प्रकार के आधार पर एक प्रकार का होता है। सामान्य सिद्धांत आयामी विश्लेषण द्वारा दिया गया है। यह विश्लेषण भौतिकी में नियमित रूप से लागू होता है, लेकिन इसमें वित्त और अन्य अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में भी अनुप्रयोग हैं। | ||
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:4.5 निवासी प्रति घर × 20 घर = 90 निवासी | :4.5 निवासी प्रति घर × 20 घर = 90 निवासी | ||
==एक अनुक्रम का उत्पाद | ==एक अनुक्रम का उत्पाद==<!--linked from below--> | ||
=== कैपिटल पाई नोटेशन | === कैपिटल पाई नोटेशन===<!--This section is linked from [[Pi (letter)]], [[Capital Pi notation]], [[Capital pi notation]]--> | ||
{{Further information| | {{Further information| | ||
गुणनखंडों के अनुक्रम के गुणनफल को गुणन चिह्न के साथ लिखा जा सकता है <math>\textstyle \prod</math>, जो [[ ग्रीक वर्णमाला ]] के बड़े अक्षर Π ( | पुनरावृत्त बाइनरी ऑपरेशन # नोटेशन}} | ||
गुणनखंडों के अनुक्रम के गुणनफल को गुणन चिह्न के साथ लिखा जा सकता है <math>\textstyle \prod</math>, जो [[ ग्रीक वर्णमाला ]] के बड़े अक्षर Π (पाई) से निकला है बिल्कुल उसी तरह जैसे [[ योग प्रतीक ]] <math>\textstyle \sum</math> ग्रीक अक्षर सिग्मा से लिया गया है। इस अंकन का अर्थ द्वारा दिया गया है | |||
:<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = (1+1)\,(2+1)\,(3+1)\, (4+1),</math> | :<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = (1+1)\,(2+1)\,(3+1)\, (4+1),</math> | ||
जिसके परिणामस्वरूप | जिसके परिणामस्वरूप | ||
:<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = 120.</math> | :<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = 120.</math> | ||
ऐसे अंकन में, चर | ऐसे अंकन में, चर गणित {{mvar|i}} एक भिन्न [[ पूर्णांक ]] का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे गुणन सूचकांक कहा जाता है, जो निम्न मान से चलता है {{math|1}} सबस्क्रिप्ट में ऊपरी मूल्य के लिए संकेत दिया गया है {{math|4}} सुपरस्क्रिप्ट द्वारा दिया गया। उत्पाद ऑपरेटर का अनुसरण करने वाली अभिव्यक्ति में निचले और ऊपरी मूल्यों में शामिल सीमा के बीच एक पूर्णांक के लिए गुणन सूचकांक को प्रतिस्थापित करके प्राप्त सभी कारकों को एक साथ गुणा करके उत्पाद प्राप्त किया जाता है। | ||
अधिक सामान्यतः, अंकन के रूप में परिभाषित किया गया है | अधिक सामान्यतः, अंकन के रूप में परिभाषित किया गया है | ||
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=== अनंत उत्पाद === | === अनंत उत्पाद === | ||
{{Main| | {{Main|अनंत उत्पाद}} | ||
कोई अपरिमित रूप से अनेक पदों के गुणनफलों पर भी विचार कर सकता है; इन्हें [[ अनंत उत्पाद ]] कहा जाता है। उल्लेखनीय रूप से, इसमें ऊपर n को इन्फिनिटी प्रतीक द्वारा प्रतिस्थापित करना शामिल है। इस तरह के एक अनंत अनुक्रम के उत्पाद को पहले n शर्तों के उत्पाद के [[ अनुक्रम की सीमा ]] के रूप में परिभाषित किया जाता है, क्योंकि n बिना सीमा के बढ़ता | कोई अपरिमित रूप से अनेक पदों के गुणनफलों पर भी विचार कर सकता है; इन्हें [[ अनंत उत्पाद ]] कहा जाता है। उल्लेखनीय रूप से, इसमें ऊपर n को इन्फिनिटी प्रतीक द्वारा प्रतिस्थापित करना शामिल है। इस तरह के एक अनंत अनुक्रम के उत्पाद को पहले n शर्तों के उत्पाद के [[ अनुक्रम की सीमा ]] के रूप में परिभाषित किया जाता है, क्योंकि n बिना सीमा के बढ़ता है, | ||
:<math>\prod_{i=m}^\infty x_i = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^n x_i.</math> | :<math>\prod_{i=m}^\infty x_i = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^n x_i.</math> | ||
कोई इसी तरह | कोई इसी तरह m को नकारात्मक अनंतता से बदल सकता है, और परिभाषित कर सकता है: | ||
:<math>\prod_{i=-\infty}^\infty x_i = \left(\lim_{m\to-\infty}\prod_{i=m}^0 x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n x_i\right),</math> | :<math>\prod_{i=-\infty}^\infty x_i = \left(\lim_{m\to-\infty}\prod_{i=m}^0 x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n x_i\right),</math> | ||
बशर्ते दोनों सीमाएं मौजूद हों।{{Citation needed|date=December 2021}} | बशर्ते दोनों सीमाएं मौजूद हों।{{Citation needed|date=December 2021}} | ||
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== घातांक == | == घातांक == | ||
{{Main| | {{Main|घातांक}} | ||
जब गुणन दोहराया जाता है, तो परिणामी संक्रिया घातांक कहलाती है। उदाहरण के लिए, दो (2×2×2) के तीन कारकों का गुणनफल दो को तीसरी शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है, और इसे 2 से दर्शाया जाता है।<sup>3</sup>, एक दो [[ ऊपर की ओर लिखा हुआ ]] तीन के साथ। इस उदाहरण में, संख्या दो आधार है, और तीन घातांक है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=घातांक|url=https://mathworld.wolfram.com/घातांक.html|access-date=2021-12-29|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> सामान्य तौर पर, एक्सपोनेंट (या सुपरस्क्रिप्ट) इंगित करता है कि अभिव्यक्ति में आधार कितनी बार प्रकट होता है, ताकि अभिव्यक्ति | जब गुणन दोहराया जाता है, तो परिणामी संक्रिया घातांक कहलाती है। उदाहरण के लिए, दो (2×2×2) के तीन कारकों का गुणनफल दो को तीसरी शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है, और इसे 2 से दर्शाया जाता है।<sup>3</sup>, एक दो [[ ऊपर की ओर लिखा हुआ ]] तीन के साथ। इस उदाहरण में, संख्या दो आधार है, और तीन घातांक है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=घातांक|url=https://mathworld.wolfram.com/घातांक.html|access-date=2021-12-29|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> सामान्य तौर पर, एक्सपोनेंट (या सुपरस्क्रिप्ट) इंगित करता है कि अभिव्यक्ति में आधार कितनी बार प्रकट होता है, ताकि अभिव्यक्ति | ||
:<math>a^n = \underbrace{a\times a \times \cdots \times a}_n</math> | :<math>a^n = \underbrace{a\times a \times \cdots \times a}_n</math> | ||
इंगित करता है कि आधार की | इंगित करता है कि आधार की n प्रतियां एक साथ गुणा की जानी हैं। इस अंकन का उपयोग तब भी किया जा सकता है जब गुणन को शक्ति सहयोगीता के रूप में जाना जाता है। | ||
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;क्रमचयी गुणधर्म | ;क्रमचयी गुणधर्म | ||
: जिस क्रम में दो संख्याओं को गुणा किया जाता है, वह मायने नहीं रखता: | : जिस क्रम में दो संख्याओं को गुणा किया जाता है, वह मायने नहीं रखता: | ||
::<math>x\cdot y = y\cdot x.</math | ::<math>x\cdot y = y\cdot x.</math> | ||
;[[ संबंधी संपत्ति ]] | ;[[ संबंधी संपत्ति ]] | ||
: केवल गुणन या जोड़ को शामिल करने वाले भाव संचालन के क्रम के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं: | : केवल गुणन या जोड़ को शामिल करने वाले भाव संचालन के क्रम के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं: | ||
::<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math | ::<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math> | ||
;वितरण की जाने वाली संपत्ति | ;वितरण की जाने वाली संपत्ति | ||
:जोड़ पर गुणन के संबंध में पकड़ रखता है। बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बनाने में यह सर्वसमिका अत्यंत महत्वपूर्ण है: | :जोड़ पर गुणन के संबंध में पकड़ रखता है। बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बनाने में यह सर्वसमिका अत्यंत महत्वपूर्ण है: | ||
::<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math><ref name=":0"/><ref name=":1"/> | ::<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math><ref name=":0">{{Cite web|title=गुणन - गणित का विश्वकोश|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Multiplication|access-date=2021-12-29|website=encyclopediaofmath.org}}</ref><ref name=":1">{{Cite book|last=Biggs|first=Norman L.|title=गणित पृथक करें|publisher=Oxford University Press|year=2002|isbn=978-0-19-871369-2|pages=25|language=en}}</ref> | ||
;[[ पहचान तत्व ]] | ;[[ पहचान तत्व ]] | ||
:गुणात्मक पहचान 1 है; किसी भी चीज़ को 1 से गुणा करने पर वह स्वयं होता है। 1 की इस विशेषता को पहचान संपत्ति के रूप में जाना जाता है: | :गुणात्मक पहचान 1 है; किसी भी चीज़ को 1 से गुणा करने पर वह स्वयं होता है। 1 की इस विशेषता को पहचान संपत्ति के रूप में जाना जाता है: | ||
::<math>x\cdot 1 = x</math | ::<math>x\cdot 1 = x</math> | ||
अब्ज़ॉर्ब करने वाला | अब्ज़ॉर्ब करने वाला तत्व | ||
: किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर 0 होता है। इसे गुणन का शून्य गुण कहा जाता है: | : किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर 0 होता है। इसे गुणन का शून्य गुण कहा जाता है: | ||
::<math>x\cdot 0 = 0</math | ::<math>x\cdot 0 = 0</math> | ||
;[[ योगज प्रतिलोम ]] | ;[[ योगज प्रतिलोम ]] | ||
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== स्वयंसिद्ध == | == स्वयंसिद्ध == | ||
{{Main| | {{Main|पियानो सिद्धांत}} | ||
अंकगणित प्रिंसिपिया, नोवा मेथोडो एक्सपोसिटा पुस्तक में, [[ जोसेफ पीनो ]] ने प्राकृतिक संख्याओं के लिए अपने स्वयंसिद्धों के आधार पर अंकगणित के लिए स्वयंसिद्धों का प्रस्ताव रखा। | अंकगणित प्रिंसिपिया, नोवा मेथोडो एक्सपोसिटा पुस्तक में, [[ जोसेफ पीनो ]] ने प्राकृतिक संख्याओं के लिए अपने स्वयंसिद्धों के आधार पर अंकगणित के लिए स्वयंसिद्धों का प्रस्ताव रखा। पीनो अंकगणित में गुणन के लिए दो अभिगृहीत हैं: | ||
:<math>x \times 0 = 0</math> | :<math>x \times 0 = 0</math> | ||
:<math>x \times S(y) = (x \times y) + x</math> | :<math>x \times S(y) = (x \times y) + x</math> | ||
| Line 311: | Line 315: | ||
== सेट सिद्धांत के साथ गुणा == | == सेट सिद्धांत के साथ गुणा == | ||
गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के गुणनफल को कार्डिनल नंबर | गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के गुणनफल को कार्डिनल नंबर कार्डिनल गुणन या पीनो स्वयंसिद्ध अंकगणित का उपयोग करके सेट सिद्धांत के साथ परिभाषित किया जा सकता है। विभिन्न प्रकार की संख्याओं का गुणन कैसे इसे मनमाना पूर्णांकों को गुणा करने के लिए विस्तारित किया जाए, और फिर मनमाना परिमेय संख्याएँ। वास्तविक संख्याओं के गुणनफल को परिमेय संख्याओं के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है; वास्तविक संख्या का निर्माण देखें।{{Citation needed|date=December 2021}} | ||
== समूह सिद्धांत में गुणन ==<!--linked from below--> | == समूह सिद्धांत में गुणन ==<!--linked from below--> | ||
ऐसे कई समुच्चय हैं, जो गुणन की संक्रिया के अंतर्गत उन अभिगृहीतों को संतुष्ट करते हैं जो [[ समूह (गणित) ]] संरचना को परिभाषित करते हैं। ये स्वयंसिद्ध समापन, साहचर्य, और एक पहचान तत्व और व्युत्क्रम का समावेश हैं। | ऐसे कई समुच्चय हैं, जो गुणन की संक्रिया के अंतर्गत उन अभिगृहीतों को संतुष्ट करते हैं जो [[ समूह (गणित) | समूह गणित]] संरचना को परिभाषित करते हैं। ये स्वयंसिद्ध समापन, साहचर्य, और एक पहचान तत्व और व्युत्क्रम का समावेश हैं। | ||
एक साधारण उदाहरण गैर-शून्य [[ परिमेय संख्या ]]ओं का समुच्चय है। यहां हमारे पास पहचान 1 है, इसके अलावा समूहों के विपरीत जहां पहचान आम तौर पर 0 है। ध्यान दें कि परिमेय के साथ, हमें शून्य को बाहर करना चाहिए क्योंकि गुणा के तहत, इसमें व्युत्क्रम नहीं होता है: कोई तर्कसंगत संख्या नहीं है जिसे गुणा किया जा सके शून्य से परिणाम 1. इस उदाहरण में, हमारे पास एक [[ एबेलियन समूह ]] है, लेकिन हमेशा ऐसा नहीं होता है। | एक साधारण उदाहरण गैर-शून्य [[ परिमेय संख्या ]]ओं का समुच्चय है। यहां हमारे पास पहचान 1 है, इसके अलावा समूहों के विपरीत जहां पहचान आम तौर पर 0 है। ध्यान दें कि परिमेय के साथ, हमें शून्य को बाहर करना चाहिए क्योंकि गुणा के तहत, इसमें व्युत्क्रम नहीं होता है: कोई तर्कसंगत संख्या नहीं है जिसे गुणा किया जा सके शून्य से परिणाम 1. इस उदाहरण में, हमारे पास एक [[ एबेलियन समूह ]] है, लेकिन हमेशा ऐसा नहीं होता है। | ||
इसे देखने के लिए, किसी दिए गए [[ क्षेत्र (गणित) ]] पर दिए गए आयाम के व्युत्क्रमणीय वर्ग मैट्रिक्स के सेट पर विचार करें। यहां, समापन, साहचर्य, और पहचान | इसे देखने के लिए, किसी दिए गए [[ क्षेत्र (गणित) ]] पर दिए गए आयाम के व्युत्क्रमणीय वर्ग मैट्रिक्स के सेट पर विचार करें। यहां, समापन, साहचर्य, और पहचान [[ पहचान मैट्रिक्स |पहचान मैट्रिक्स]] और व्युत्क्रमों को शामिल करने को सत्यापित करना सीधा है। हालाँकि, मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, जो दर्शाता है कि यह समूह गैर-अबेलियन है। | ||
ध्यान देने योग्य एक अन्य तथ्य यह है कि गुणन के अंतर्गत आने वाले पूर्णांक एक समूह नहीं बनाते हैं - भले ही हम शून्य को छोड़ दें। यह 1 और -1 के अलावा अन्य सभी तत्वों के व्युत्क्रम के अस्तित्वहीनता से आसानी से देखा जा सकता है। | ध्यान देने योग्य एक अन्य तथ्य यह है कि गुणन के अंतर्गत आने वाले पूर्णांक एक समूह नहीं बनाते हैं - भले ही हम शून्य को छोड़ दें। यह 1 और -1 के अलावा अन्य सभी तत्वों के व्युत्क्रम के अस्तित्वहीनता से आसानी से देखा जा सकता है। | ||
समूह सिद्धांत में गुणन को आमतौर पर या तो डॉट द्वारा या जक्सटैपिशन | समूह सिद्धांत में गुणन को आमतौर पर या तो डॉट द्वारा या जक्सटैपिशन तत्वों के बीच एक ऑपरेशन प्रतीक की चूक द्वारा नोट किया जाता है। इसलिए तत्व a को तत्व b से गुणा करने पर a के रूप में नोट किया जा सकता है <math>\cdot</math> b या ab। सेट और ऑपरेशन के संकेत के माध्यम से एक समूह का जिक्र करते समय, डॉट का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, हमारा पहला उदाहरण किसके द्वारा दर्शाया जा सकता है <math>\left( \mathbb{Q}/ \{ 0 \} ,\, \cdot \right)</math>.{{Citation needed|date=December 2021}} | ||
== विभिन्न प्रकार की संख्याओं का गुणन ==<!--linked from above--> | == विभिन्न प्रकार की संख्याओं का गुणन ==<!--linked from above--> | ||
संख्याएं | संख्याएं 3 सेब, क्रम तीसरा सेब, या माप 3.5 फ़ुट ऊंचा गिन सकती हैं; जैसे-जैसे गणित का इतिहास हमारी उंगलियों पर गिनने से लेकर क्वांटम यांत्रिकी के मॉडलिंग तक आगे बढ़ा है, गुणा को अधिक जटिल और सार प्रकार की संख्याओं के लिए सामान्यीकृत किया गया है, और उन चीजों के लिए जो संख्याएं नहीं हैं जैसे मैट्रिक्स गणित या ज्यादा नहीं दिखती हैं संख्याओं की तरह जैसे चतुष्कोण। | ||
; पूर्णांक | ; पूर्णांक | ||
:<math>N\times M</math> M की N प्रतियों का योग है जब N और M धनात्मक पूर्ण संख्याएँ हैं। यह | :<math>N\times M</math> M की N प्रतियों का योग है जब N और M धनात्मक पूर्ण संख्याएँ हैं। यह n वाइड और m हाई एरे में चीजों की संख्या देता है। ऋणात्मक संख्याओं का सामान्यीकरण किसके द्वारा किया जा सकता है | ||
:<math>N\times (-M) = (-N)\times M = - (N\times M)</math> तथा | :<math>N\times (-M) = (-N)\times M = - (N\times M)</math> तथा | ||
:<math>(-N)\times (-M) = N\times M</math> | :<math>(-N)\times (-M) = N\times M</math> | ||
:समान चिह्न नियम परिमेय और वास्तविक संख्याओं पर लागू होते हैं।{{Citation needed|date=December 2021}} | :समान चिह्न नियम परिमेय और वास्तविक संख्याओं पर लागू होते हैं।{{Citation needed|date=December 2021}} | ||
;परिमेय संख्या | ;परिमेय संख्या | ||
: अंशों के लिए सामान्यीकरण <math>\frac{A}{B}\times \frac{C}{D}</math> अंशों और हरों को क्रमशः गुणा करके है: <math>\frac{A}{B}\times \frac{C}{D} = \frac{(A\times C)}{(B\times D)}</math>. यह एक आयत का क्षेत्रफल देता है <math>\frac{A}{B}</math> उच्च और <math>\frac{C}{D}</math> चौड़ा है, और एक सरणी में चीजों की संख्या के समान है जब परिमेय संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ होती हैं। | : अंशों के लिए सामान्यीकरण <math>\frac{A}{B}\times \frac{C}{D}</math> अंशों और हरों को क्रमशः गुणा करके है: <math>\frac{A}{B}\times \frac{C}{D} = \frac{(A\times C)}{(B\times D)}</math>. यह एक आयत का क्षेत्रफल देता है <math>\frac{A}{B}</math> उच्च और <math>\frac{C}{D}</math> चौड़ा है, और एक सरणी में चीजों की संख्या के समान है जब परिमेय संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ होती हैं। | ||
;वास्तविक संख्या | ;वास्तविक संख्या | ||
: वास्तविक संख्याएँ और उनके उत्पाद वास्तविक संख्याओं का निर्माण | : वास्तविक संख्याएँ और उनके उत्पाद वास्तविक संख्याओं का निर्माण कॉची अनुक्रमों से निर्माण। | ||
;जटिल आंकड़े | ;जटिल आंकड़े | ||
:जटिल संख्याओं को ध्यान में रखते हुए <math>z_1</math> तथा <math>z_2</math> वास्तविक संख्याओं के क्रमित जोड़े के रूप में <math>(a_1, b_1)</math> तथा <math>(a_2, b_2)</math>, उत्पाद <math>z_1\times z_2</math> है <math>(a_1\times a_2 - b_1\times b_2, a_1\times b_2 + a_2\times b_1)</math>. यह रीलों के समान ही है <math>a_1\times a_2</math> जब काल्पनिक भाग <math>b_1</math> तथा <math>b_2</math> शून्य हैं।{{Citation needed|date=December 2021}} | :जटिल संख्याओं को ध्यान में रखते हुए <math>z_1</math> तथा <math>z_2</math> वास्तविक संख्याओं के क्रमित जोड़े के रूप में <math>(a_1, b_1)</math> तथा <math>(a_2, b_2)</math>, उत्पाद <math>z_1\times z_2</math> है <math>(a_1\times a_2 - b_1\times b_2, a_1\times b_2 + a_2\times b_1)</math>. यह रीलों के समान ही है <math>a_1\times a_2</math> जब काल्पनिक भाग <math>b_1</math> तथा <math>b_2</math> शून्य हैं।{{Citation needed|date=December 2021}} | ||
: समतुल्य, निरूपित करना <math>\sqrt{-1}</math> जैसा <math>i</math>, अपने पास <math>z_1 \times z_2 = (a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1 \times a_2)+(a_1\times b_2i)+(b_1\times a_2i)+(b_1\times b_2i^2)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)i.</math><ref name=":0"/><ref name=":2"/>:वैकल्पिक रूप से, त्रिकोणमितीय रूप में, यदि <math>z_1 = r_1(\cos\phi_1+i\sin\phi_1), z_2 = r_2(\cos\phi_2+i\sin\phi_2)</math>, फिर<math display="inline">z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\phi_1 + \phi_2) + i\sin(\phi_1 + \phi_2)).</math><ref name=":0"/> | : समतुल्य, निरूपित करना <math>\sqrt{-1}</math> जैसा <math>i</math>, अपने पास <math>z_1 \times z_2 = (a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1 \times a_2)+(a_1\times b_2i)+(b_1\times a_2i)+(b_1\times b_2i^2)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)i.</math><ref name=":0"/><ref name=":2">{{Cite web|title=गुणा|url=https://planetmath.org/Multiplication|access-date=2021-12-29|website=planetmath.org}}</ref>:वैकल्पिक रूप से, त्रिकोणमितीय रूप में, यदि <math>z_1 = r_1(\cos\phi_1+i\sin\phi_1), z_2 = r_2(\cos\phi_2+i\sin\phi_2)</math>, फिर<math display="inline">z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\phi_1 + \phi_2) + i\sin(\phi_1 + \phi_2)).</math><ref name=":0"/> | ||
आगे सामान्यीकरण | आगे सामान्यीकरण | ||
: ऊपर समूह सिद्धांत में | : ऊपर समूह सिद्धांत में गुणा देखें, और [[ गुणक समूह ]], जिसमें उदाहरण के लिए मैट्रिक्स गुणन शामिल है। एक बहुत ही सामान्य, और अमूर्त, गुणन की अवधारणा एक रिंग गणित में गुणात्मक रूप से निरूपित दूसरा बाइनरी ऑपरेशन के रूप में है। रिंग का एक उदाहरण जो उपरोक्त संख्या प्रणालियों में से कोई नहीं है, एक बहुपद वलय है आप बहुपदों को जोड़ और गुणा कर सकते हैं, लेकिन बहुपद किसी भी सामान्य अर्थ में संख्या नहीं हैं। | ||
;विभाजन | ;विभाजन | ||
Revision as of 14:03, 16 February 2023
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<डिव क्लास = राइट>
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