गुणा: Difference between revisions
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{{See also| | {{See also|गुणक (भाषाविज्ञान)}} | ||
अंकगणित में, गुणन को अक्सर गुणन चिह्न या तो {{char|×}} या {{char|<math>\times</math>}} शर्तों के बीच यानी, [[ इन्फिक्स नोटेशन ]] में। | अंकगणित में, गुणन को अक्सर गुणन चिह्न या तो {{char|×}} या {{char|<math>\times</math>}} शर्तों के बीच यानी, [[ इन्फिक्स नोटेशन ]] में। उदाहरण के लिए, | ||
:<math>2\times 3 = 6</math> दो गुना तीन बराबर छह | :<math>2\times 3 = 6</math> दो गुना तीन बराबर छह | ||
:<math>3\times 4 = 12</math> | :<math>3\times 4 = 12</math> | ||
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:<math>2\times 2\times 2\times 2\times 2 = 32</math> | :<math>2\times 2\times 2\times 2\times 2 = 32</math> | ||
गुणन के लिए अन्य गणितीय संकेतन हैं: | गुणन के लिए अन्य गणितीय संकेतन हैं: | ||
* गुणन चिह्न × और सामान्य चर के बीच भ्रम को कम करने के लिए {{mvar|x}}, गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है, | * गुणन चिह्न × और सामान्य चर के बीच भ्रम को कम करने के लिए {{mvar|x}}, गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है,आमतौर पर एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु शायद ही कभी [[ पूर्ण विराम ]] | ||
:<math>5 \cdot 2</math> या <math>5\,.\,3</math> | :<math>5 \cdot 2</math> या <math>5\,.\,3</math> | ||
: मध्य बिंदु संकेतन, यूनिकोड में एन्कोड किया गया है {{unichar|22C5|dot operator}}, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है जहां अवधि का उपयोग [[ दशमलव विभाजक ]] के रूप में किया जाता है। जब डॉट ऑपरेटर वर्ण पहुंच योग्य नहीं होता है, तो [[ इंटरपंक ]] (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में [[ अल्पविराम (विराम चिह्न) ]] का उपयोग करते हैं, गुणा के लिए या तो अवधि या मध्य बिंदु का उपयोग किया जाता है।{{citation needed|date=August 2011}} | : मध्य बिंदु संकेतन, यूनिकोड में एन्कोड किया गया है {{unichar|22C5|dot operator}}, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है जहां अवधि का उपयोग [[ दशमलव विभाजक ]] के रूप में किया जाता है। जब डॉट ऑपरेटर वर्ण पहुंच योग्य नहीं होता है, तो [[ इंटरपंक ]] (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में [[ अल्पविराम (विराम चिह्न) ]] का उपयोग करते हैं, गुणा के लिए या तो अवधि या मध्य बिंदु का उपयोग किया जाता है।{{citation needed|date=August 2011}} | ||
:ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए शासित रेखा में गायब होने से रोकने के लिए किया जाता था, और अवधि/पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। हालाँकि, चूंकि [[ प्रौद्योगिकी मंत्रालय ]] ने 1968 में इस अवधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का फैसला किया था,<ref>{{Cite journal |doi=10.1038/218111c0 |title=अंकों पर विजय|journal=Nature |volume=218 |issue = 5137 |page=111 |year=1968 |bibcode=1968Natur.218S.111. |doi-access=free}}</ref> और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से अपनाया गया है, यह उपयोग अब केवल अधिक पारंपरिक पत्रिकाओं जैसे द लांसेट में पाया जाता है।<ref>{{cite web |title=द लैंसेट - पाण्डुलिपियों के इलेक्ट्रॉनिक प्रस्तुतीकरण के लिए प्रारूपण दिशानिर्देश|url=http://download.thelancet.com/pb/assets/raw/Lancet/authors/artwork-guidelines.pdf |access-date=2017-04-25}}</ref> | :ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए शासित रेखा में गायब होने से रोकने के लिए किया जाता था, और अवधि/पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। हालाँकि, चूंकि [[ प्रौद्योगिकी मंत्रालय ]] ने 1968 में इस अवधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का फैसला किया था,<ref>{{Cite journal |doi=10.1038/218111c0 |title=अंकों पर विजय|journal=Nature |volume=218 |issue = 5137 |page=111 |year=1968 |bibcode=1968Natur.218S.111. |doi-access=free}}</ref> और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से अपनाया गया है, यह उपयोग अब केवल अधिक पारंपरिक पत्रिकाओं जैसे द लांसेट में पाया जाता है।<ref>{{cite web |title=द लैंसेट - पाण्डुलिपियों के इलेक्ट्रॉनिक प्रस्तुतीकरण के लिए प्रारूपण दिशानिर्देश|url=http://download.thelancet.com/pb/assets/raw/Lancet/authors/artwork-guidelines.pdf |access-date=2017-04-25}}</ref> | ||
* | * [[ बीजगणित ]] में, [[ चर (गणित) ]] से जुड़े गुणन को अक्सर एक संयोजन गणित के रूप में लिखा जाता है उदाहरण के लिए, <math>xy</math> के लिये <math>x</math> बार <math>y</math> या <math>5x</math> पाँच बार के लिए <math>x</math>, जिसे निहित गुणन भी कहा जाता है। अंकन का उपयोग उन मात्राओं के लिए भी किया जा सकता है जो कोष्ठकों से घिरी हुई हैं उदाहरण के लिए, <math>5(2)</math>, <math>(5)2</math> या <math>(5)(2)</math> पांच बार दो के लिए। गुणन का यह निहित उपयोग अस्पष्टता का कारण बन सकता है जब समवर्ती चर किसी अन्य चर के नाम से मेल खाते हैं, जब एक कोष्ठक के सामने एक चर नाम को फ़ंक्शन नाम के साथ भ्रमित किया जा सकता है, या संचालन के क्रम के सही निर्धारण में।{{Citation needed|date=December 2021}} | ||
* सदिश गुणन में, क्रॉस और डॉट प्रतीकों के बीच अंतर होता है। [[ पार उत्पाद ]] आम तौर पर दो [[ वेक्टर (गणित) ]] के क्रॉस उत्पाद को लेने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक वेक्टर उत्पन्न होता है, जबकि डॉट दो वैक्टरों के [[ डॉट उत्पाद ]] को लेने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक स्केलर गणित होता है।{{Citation needed|date=December 2021}} | * सदिश गुणन में, क्रॉस और डॉट प्रतीकों के बीच अंतर होता है। [[ पार उत्पाद ]] आम तौर पर दो [[ वेक्टर (गणित) ]] के क्रॉस उत्पाद को लेने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक वेक्टर उत्पन्न होता है, जबकि डॉट दो वैक्टरों के [[ डॉट उत्पाद ]] को लेने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक स्केलर गणित होता है।{{Citation needed|date=December 2021}} | ||
[[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग ]] में, तारांकन चिह्न जैसा कि <code>5*2</code> अभी भी सबसे आम अंकन है। यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश कंप्यूटर ऐतिहासिक रूप से छोटे वर्ण सेट जैसे [[ ASCII ]] और [[ EBCDIC ]] तक सीमित थे जिनमें गुणन चिह्न जैसे कि <code>⋅</code> या <code>×</code>, जबकि प्रत्येक कीबोर्ड पर तारक (*) दिखाई देता है। यह प्रयोग [[ फोरट्रान ]] प्रोग्रामिंग भाषा में उत्पन्न हुआ।{{Citation needed|date=December 2021}} | [[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग | संगणक प्रोग्रामिंग]] में, तारांकन चिह्न जैसा कि <code>5*2</code> अभी भी सबसे आम अंकन है। यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश कंप्यूटर ऐतिहासिक रूप से छोटे वर्ण सेट जैसे [[ ASCII ]] और [[ EBCDIC ]] तक सीमित थे जिनमें गुणन चिह्न जैसे कि <code>⋅</code> या <code>×</code>, जबकि प्रत्येक कीबोर्ड पर तारक (*) दिखाई देता है। यह प्रयोग [[ फोरट्रान ]] प्रोग्रामिंग भाषा में उत्पन्न हुआ।{{Citation needed|date=December 2021}} | ||
गुणा की जाने वाली संख्याओं को आम तौर पर [[ गुणन ]]खंड कहा जाता है। गुणा की जाने वाली संख्या गुण्य है, और जिस संख्या से गुणा किया जाता है वह गुणक है। आमतौर पर, गुणक को पहले और गुण्य को दूसरे स्थान पर रखा जाता है ,हालांकि कभी-कभी पहला कारक गुणक और दूसरा गुणक होता है। इसके अलावा, चूंकि गुणन का परिणाम कारकों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, गुणक और गुणक के बीच का अंतर केवल एक बहुत ही प्रारंभिक स्तर पर और कुछ गुणन एल्गोरिदम में उपयोगी होता है, जैसे कि [[ लंबा गुणन ]], इसलिए, कुछ स्रोतों में, गुणक शब्द को कारक के पर्याय के रूप में माना जाता है। बीजगणित में, एक संख्या जो एक चर या अभिव्यक्ति का गुणक है उदाहरण के लिए, 3 में <math>3xy^2</math> को गुणांक कहा जाता है। | गुणा की जाने वाली संख्याओं को आम तौर पर [[ गुणन ]]खंड कहा जाता है। गुणा की जाने वाली संख्या गुण्य है, और जिस संख्या से गुणा किया जाता है वह गुणक है। आमतौर पर, गुणक को पहले और गुण्य को दूसरे स्थान पर रखा जाता है ,हालांकि कभी-कभी पहला कारक गुणक और दूसरा गुणक होता है। इसके अलावा, चूंकि गुणन का परिणाम कारकों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, गुणक और गुणक के बीच का अंतर केवल एक बहुत ही प्रारंभिक स्तर पर और कुछ गुणन एल्गोरिदम में उपयोगी होता है, जैसे कि [[ लंबा गुणन ]], इसलिए, कुछ स्रोतों में, गुणक शब्द को कारक के पर्याय के रूप में माना जाता है। बीजगणित में, एक संख्या जो एक चर या अभिव्यक्ति का गुणक है उदाहरण के लिए, 3 में <math>3xy^2</math> को गुणांक कहा जाता है। | ||
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== संगणना == | == संगणना == | ||
{{Main| | {{Main|गुणन एल्गोरिथ्म}} | ||
[[file:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|200px|right|thumb|शिक्षित बंदर - 1918 का एक [[ टिन का खिलौना ]], जिसका उपयोग गुणन कैलकुलेटर के रूप में किया जाता है। <छोटा>उदाहरण के लिए: बंदर के पैर को 4 और 9 पर सेट करें, और उत्पाद - 36 - उसके हाथों में प्राप्त करें।</छोटा>]]पेंसिल और कागज का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करने के कई सामान्य तरीकों के लिए छोटी संख्याओं | [[file:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|200px|right|thumb|शिक्षित बंदर - 1918 का एक [[ टिन का खिलौना ]], जिसका उपयोग गुणन कैलकुलेटर के रूप में किया जाता है। <छोटा>उदाहरण के लिए: बंदर के पैर को 4 और 9 पर सेट करें, और उत्पाद - 36 - उसके हाथों में प्राप्त करें।</छोटा>]]पेंसिल और कागज का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करने के कई सामान्य तरीकों के लिए छोटी संख्याओं आमतौर पर 0 से 9 तक कोई भी दो संख्या)के याद किए गए या परामर्शित उत्पादों की गुणन तालिका की आवश्यकता होती है। हालाँकि, एक विधि, प्राचीन मिस्री गुणन एल्गोरिथम, नहीं है। नीचे दिया गया उदाहरण दीर्घ गुणन मानक एल्गोरिथम , ग्रेड-स्कूल गुणन दिखाता है: | ||
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139676498390 (= 139,676,498,390) | 139676498390 (= 139,676,498,390) | ||
[[ जर्मनी ]] जैसे कुछ देशों में, उपरोक्त गुणन को समान रूप से दर्शाया गया है, लेकिन मूल उत्पाद को क्षैतिज रखा गया है और गणना गुणक के पहले अंक से शुरू होती है: | [[ जर्मनी ]] जैसे कुछ देशों में, उपरोक्त गुणन को समान रूप से दर्शाया गया है, लेकिन मूल उत्पाद को क्षैतिज रखा गया है और गणना गुणक के पहले अंक से शुरू होती है: | ||
23958233 · 5830 | 23958233 · 5830 ———————————————— | ||
119791165 | 119791165 | ||
191665864 | 191665864 | ||
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=== ऐतिहासिक एल्गोरिदम === | === ऐतिहासिक एल्गोरिदम === | ||
गुणन के तरीके [[ प्राचीन मिस्र ]] | गुणन के तरीके [[ प्राचीन मिस्र ]] {{Citation needed span|text=Greek, Indian,|date=December 2021|reason=This claim is not sourced in the subsections below.}} और चीन का इतिहास प्राचीन चीन की सभ्यताएं लेखन में प्रलेखित थे,। | ||
लगभग 18,000 से 20,000 ईसा पूर्व ईशांगो की हड्डी [[ मध्य अफ्रीका ]] में ऊपरी पुरापाषाण युग में गुणन के ज्ञान का संकेत दे | लगभग 18,000 से 20,000 ईसा पूर्व ईशांगो की हड्डी [[ मध्य अफ्रीका ]] में ऊपरी पुरापाषाण युग में गुणन के ज्ञान का संकेत दे दिया था, लेकिन यह काल्पनिक है।{{Verification needed|date=December 2021}} | ||
==== मिस्रवासी ==== | ==== मिस्रवासी ==== | ||
{{Main| | {{Main|प्राचीन मिस्र का गुणन}} | ||
पूर्णांकों और भिन्नों के गुणन की मिस्री विधि, जो कि [[ रिहंद गणितीय पेपिरस ]] में प्रलेखित है, उत्तरोत्तर जोड़ और दोहरीकरण द्वारा थी। उदाहरण के लिए, 13 और 21 का गुणनफल ज्ञात करने के लिए व्यक्ति को 21 को तीन बार दुगुना करके प्राप्त करना होता है {{nowrap|1=2 × 21 = 42}}, {{nowrap|1=4 × 21 = 2 × 42 = 84}}, {{nowrap|1=8 × 21 = 2 × 84 = 168}}. पूर्ण उत्पाद तब दोहरीकरण अनुक्रम में पाए जाने वाले उपयुक्त शब्दों को जोड़कर पाया जा सकता है: | पूर्णांकों और भिन्नों के गुणन की मिस्री विधि, जो कि [[ रिहंद गणितीय पेपिरस ]] में प्रलेखित है, उत्तरोत्तर जोड़ और दोहरीकरण द्वारा थी। उदाहरण के लिए, 13 और 21 का गुणनफल ज्ञात करने के लिए व्यक्ति को 21 को तीन बार दुगुना करके प्राप्त करना होता है {{nowrap|1=2 × 21 = 42}}, {{nowrap|1=4 × 21 = 2 × 42 = 84}}, {{nowrap|1=8 × 21 = 2 × 84 = 168}}. पूर्ण उत्पाद तब दोहरीकरण अनुक्रम में पाए जाने वाले उपयुक्त शब्दों को जोड़कर पाया जा सकता है: | ||
:13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273. | :13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273. | ||
==== [[ बेबीलोन ]] | ==== [[ बेबीलोन ]] ==== | ||
बेबीलोनियों ने आधुनिक समय के [[ दशमलव विस्तार ]] के अनुरूप एक [[ साठवाँ ]] [[ स्थितीय संख्या प्रणाली ]] का उपयोग किया। इस प्रकार, बेबीलोनियाई गुणन आधुनिक दशमलव गुणन के समान था। याद रखने की सापेक्ष कठिनाई के कारण {{nowrap|60 × 60}} विभिन्न उत्पादों, बेबीलोनियन गणितज्ञों ने गुणन सारणी का उपयोग किया। इन तालिकाओं में एक निश्चित प्रमुख संख्या n: n, 2n, ..., 20n के पहले बीस गुणकों की सूची शामिल थी; इसके बाद 10n: 30n 40n, और 50n के गुणक आते हैं। फिर किसी भी सेक्सेजिमल उत्पाद की गणना करने के लिए, 53 | बेबीलोनियों ने आधुनिक समय के [[ दशमलव विस्तार ]] के अनुरूप एक [[ साठवाँ ]] [[ स्थितीय संख्या प्रणाली ]] का उपयोग किया। इस प्रकार, बेबीलोनियाई गुणन आधुनिक दशमलव गुणन के समान था। याद रखने की सापेक्ष कठिनाई के कारण {{nowrap|60 × 60}} विभिन्न उत्पादों, बेबीलोनियन गणितज्ञों ने गुणन सारणी का उपयोग किया। इन तालिकाओं में एक निश्चित प्रमुख संख्या n: n, 2n, ..., 20n के पहले बीस गुणकों की सूची शामिल थी; इसके बाद 10n: 30n 40n, और 50n के गुणक आते हैं। फिर किसी भी सेक्सेजिमल उत्पाद की गणना करने के लिए, 53 n कहें गए, तालिका से गणना की गई 50 n और 3 n को जोड़ने के लिए केवल एक की आवश्यकता है।{{Citation needed|date=December 2021}} | ||
==== चीनी ==== | ==== चीनी ==== | ||
{{see also| | {{see also|चीनी गुणा तालिका}} | ||
[[File:Multiplication algorithm.GIF|thumb|right|250px|{{nowrap|1=38 × 76 = 2888}}]]300 ईसा पूर्व के गणितीय पाठ [[ सू की तुलना में झोउ शांत है ]] में, और [[ गणितीय कला पर नौ अध्याय ]], गुणन गणना शब्दों में लिखी गई थी, हालांकि प्रारंभिक चीनी गणितज्ञों ने स्थानीय मूल्य वृद्धि, घटाव, गुणा और भाग को शामिल करते हुए [[ रॉड कैलकुलस ]] को नियोजित किया था। [[ युद्धरत राज्य ]] | [[File:Multiplication algorithm.GIF|thumb|right|250px|{{nowrap|1=38 × 76 = 2888}}]]300 ईसा पूर्व के गणितीय पाठ [[ सू की तुलना में झोउ शांत है ]] में, और [[ गणितीय कला पर नौ अध्याय ]], गुणन गणना शब्दों में लिखी गई थी, हालांकि प्रारंभिक चीनी गणितज्ञों ने स्थानीय मूल्य वृद्धि, घटाव, गुणा और भाग को शामिल करते हुए [[ रॉड कैलकुलस ]] को नियोजित किया था। [[ युद्धरत राज्य ]] की अवधि के अंत तक चीनी पहले से ही एक चीनी गुणन तालिका का उपयोग कर रहे थे। | ||
=== आधुनिक तरीके === | === आधुनिक तरीके === | ||
[[Image:Gelosia multiplication 45 256.png|right|250px|thumb|45 और 256 का गुणनफल। ध्यान दें कि 45 में अंकों का क्रम बाएँ कॉलम में उल्टा है। गुणन का कैरी स्टेप गणना के अंतिम चरण में (बोल्ड में) किया जा सकता है, का अंतिम उत्पाद लौटाता है {{nowrap|1=45 × 256 = 11520}}. यह [[ जाली गुणन ]] का एक रूप है।]]हिंदू-अरबी अंक प्रणाली पर आधारित गुणन की आधुनिक विधि का वर्णन सर्वप्रथम [[ ब्रह्मगुप्त ]] ने किया था। ब्रह्मगुप्त ने जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियम दिए। [[ प्रिंसटन विश्वविद्यालय ]] में गणित के तत्कालीन प्रोफेसर [[ हेनरी बर्चर्ड फाइन ]] ने निम्नलिखित लिखा: | [[Image:Gelosia multiplication 45 256.png|right|250px|thumb|45 और 256 का गुणनफल। ध्यान दें कि 45 में अंकों का क्रम बाएँ कॉलम में उल्टा है। गुणन का कैरी स्टेप गणना के अंतिम चरण में (बोल्ड में) किया जा सकता है, का अंतिम उत्पाद लौटाता है {{nowrap|1=45 × 256 = 11520}}. यह [[ जाली गुणन ]] का एक रूप है।]]हिंदू-अरबी अंक प्रणाली पर आधारित गुणन की आधुनिक विधि का वर्णन सर्वप्रथम [[ ब्रह्मगुप्त ]] ने किया था। ब्रह्मगुप्त ने जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियम दिए। [[ प्रिंसटन विश्वविद्यालय ]] में गणित के तत्कालीन प्रोफेसर [[ हेनरी बर्चर्ड फाइन ]] ने निम्नलिखित लिखा : | ||
:भारतीय न केवल स्थितीय दशमलव प्रणाली के आविष्कारक हैं, बल्कि प्रणाली के साथ प्राथमिक गणना में शामिल अधिकांश प्रक्रियाओं के भी आविष्कारक हैं। जोड़ और घटाव उन्होंने वैसा ही किया जैसा आजकल किया जाता है; वे बहुत प्रकार से गुणा करते थे, उन में हमारा भी, परन्तु बांटने का काम उन्हों ने बड़ी ढिठाई से किया। | :भारतीय न केवल स्थितीय दशमलव प्रणाली के आविष्कारक हैं, बल्कि प्रणाली के साथ प्राथमिक गणना में शामिल अधिकांश प्रक्रियाओं के भी आविष्कारक हैं। जोड़ और घटाव उन्होंने वैसा ही किया जैसा आजकल किया जाता है; वे बहुत प्रकार से गुणा करते थे, उन में हमारा भी, परन्तु बांटने का काम उन्हों ने बड़ी ढिठाई से किया। | ||
ये स्थानीय मान दशमलव अंकगणितीय एल्गोरिदम 9वीं शताब्दी की शुरुआत में [[ अलखावरिज़मी ]] द्वारा अरब देशों में पेश किए गए थे और 13 वीं शताब्दी में [[ फिबोनैकी ]] द्वारा पश्चिमी दुनिया में लोकप्रिय हुए। | ये स्थानीय मान दशमलव अंकगणितीय एल्गोरिदम 9वीं शताब्दी की शुरुआत में [[ अलखावरिज़मी ]] द्वारा अरब देशों में पेश किए गए थे और 13 वीं शताब्दी में [[ फिबोनैकी ]] द्वारा पश्चिमी दुनिया में लोकप्रिय हुए। | ||
Revision as of 13:23, 16 February 2023
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<डिव क्लास = राइट>
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