मॉडल सिद्धांत: Difference between revisions
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{{Short description|Area of mathematical logic}} | {{Short description|Area of mathematical logic}} | ||
[[गणितीय तर्क]] में, मॉडल सिद्धांत एक औपचारिक सिद्धांतों [[संरचना (गणितीय तर्क)]] के बारे में प्रमाणों को व्यक्त करने वाली [[औपचारिक भाषा]] में [[सिद्धांत (गणितीय तर्क)]] (वाक्य का एक संग्रह (गणितीय तर्क) और उनके मॉडल (उन संरचनाओं में जिनमें सिद्धांत के प्रमाण होते हैं) के बीच संबंधों का अध्ययन है।<ref>Chang and Keisler, [https://books.google.com/books?id=uiHq0EmaFp0C&pg=PA1 p. 1]</ref> जांच किए गए पहलुओं में एक सिद्धांत के मॉडलों की संख्या और आकार, एक दूसरे के साथ विभिन्न मॉडलों के संबंध और औपचारिक भाषा के साथ उनकी बातचीत सम्मिलित है। विशेष रूप से, मॉडल सिद्धांतकार उन समुच्चयों की भी जांच करते हैं जिन्हें एक सिद्धांत के एक मॉडल में परिभाषित किया जा सकता हैं, और ऐसे [[निश्चित सेट|निश्चित समुच्चय]] का एक दूसरे से संबंध करते हैं। | |||
[[गणितीय तर्क]] में, मॉडल सिद्धांत एक औपचारिक सिद्धांतों [[संरचना (गणितीय तर्क)]] के बारे में | |||
एक अलग अनुशासन के रूप में, मॉडल सिद्धांत वापस [[अल्फ्रेड टार्स्की]] के पास जाता है, जिन्होंने पहली बार 1954 में प्रकाशन में | एक अलग अनुशासन के रूप में, मॉडल सिद्धांत वापस [[अल्फ्रेड टार्स्की]] के पास जाता है, जिन्होंने पहली बार 1954 में प्रकाशन में "मॉडल का सिद्धांत" शब्द का प्रयोग किया था।<ref>{{Cite book|chapter-url=https://plato.stanford.edu/entries/model-theory/|title=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|chapter=Model Theory|year=2020|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University}}</ref> | ||
1970 के दशक के बाद से, इस विषय को [[सहारों शेलाह]] के [[स्थिर सिद्धांत]] द्वारा निर्णायक रूप से आकार दिया गया है। | 1970 के दशक के बाद से, इस विषय को [[सहारों शेलाह]] के [[स्थिर सिद्धांत]] द्वारा निर्णायक रूप से आकार दिया गया है। | ||
गणितीय तर्क के अन्य क्षेत्रों जैसे प्रमाण सिद्धांत की तुलना में, मॉडल सिद्धांत | गणितीय तर्क के अन्य क्षेत्रों जैसे प्रमाण सिद्धांत की तुलना में, मॉडल सिद्धांत प्रायः औपचारिक कठोरता से कम चिंतित होता है और आत्मा में चिरसम्मत गणित के करीब होता है। | ||
इसने टिप्पणी को प्रेरित किया है कि | |||
[[बीजगणितीय ज्यामिति]] और [[डायोफैंटाइन ज्यामिति]] के मॉडल सिद्धांत के अनुप्रयोग | इसने टिप्पणी को प्रेरित किया है कि "यदि [[सबूत सिद्धांत|प्रमाण सिद्धांत]] पवित्र के बारे में है, तो आदर्श सिद्धांत अपवित्र के बारे में है"।<ref>Dirk van Dalen, (1980; Fifth revision 2013) "Logic and Structure" Springer. ''(See [https://link.springer.com/content/pdf/bfm%3A978-1-4471-4558-5%2F1.pdf page 1.]'')</ref> [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और [[डायोफैंटाइन ज्यामिति]] के मॉडल सिद्धांत के अनुप्रयोग चिरसम्मत गणित के साथ इस निकटता को दर्शाते हैं, क्योंकि वे प्रायः बीजगणितीय और मॉडल-सैद्धांतिक परिणामों और तकनीकों का एकीकरण सम्मिलित करते हैं। | ||
मॉडल सिद्धांत के क्षेत्र में सबसे प्रमुख विद्वतापूर्ण संगठन [[प्रतीकात्मक तर्क के लिए एसोसिएशन]] है। | मॉडल सिद्धांत के क्षेत्र में सबसे प्रमुख विद्वतापूर्ण संगठन [[प्रतीकात्मक तर्क के लिए एसोसिएशन]] है। | ||
== | == अवलोकन == | ||
यह पृष्ठ अनंत संरचनाओं के | यह पृष्ठ अनंत संरचनाओं के अंतिम पहले क्रम के [[तर्क]] मॉडल सिद्धांत पर केंद्रित है। | ||
विषय के इतिहास में उतार-चढ़ाव वाले मॉडल के भीतर निश्चित | विषय के इतिहास में उतार-चढ़ाव वाले मॉडल के भीतर निश्चित समुच्चयों के वर्ग के विपरीत एक सिद्धांत के मॉडल के वर्ग पर सापेक्ष जोर दिया गया है, और दो दिशाओं को क्रमशः 1973 और 1997 से सारगर्भित विशेषताओं द्वारा संक्षेपित किया गया है: | ||
: मॉडल सिद्धांत = [[सार्वभौमिक बीजगणित]] + तर्क<ref>Chang and Keisler, [https://books.google.com/books?id=uiHq0EmaFp0C&pg=PA1 p. 1]</ref> | : मॉडल सिद्धांत = [[सार्वभौमिक बीजगणित]] + तर्क<ref>Chang and Keisler, [https://books.google.com/books?id=uiHq0EmaFp0C&pg=PA1 p. 1]</ref> | ||
जहां सार्वभौमिक बीजगणित गणितीय संरचनाओं और तार्किक सिद्धांतों के लिए तर्क के लिए | जहां सार्वभौमिक बीजगणित गणितीय संरचनाओं और तार्किक सिद्धांतों के लिए तर्क के लिए स्थिर है; और | ||
: मॉडल सिद्धांत = बीजगणितीय ज्यामिति - [[क्षेत्र (गणित)]] एस। | : मॉडल सिद्धांत = बीजगणितीय ज्यामिति - [[क्षेत्र (गणित)]] एस। | ||
जहां तार्किक सूत्र परिभाषित करने योग्य हैं, एक क्षेत्र में किस्मों के लिए कौन से समीकरण हैं।<ref>Hodges (1997), p. vii</ref> | जहां तार्किक सूत्र परिभाषित करने योग्य हैं, एक क्षेत्र में किस्मों के लिए कौन से समीकरण हैं।<ref>Hodges (1997), p. vii</ref> फिर भी, मॉडलों की कक्षाओं और उनमें परिभाषित किए जाने वाले समुच्चयों की परस्पर क्रिया पूरे इतिहास में मॉडल सिद्धांत के विकास के लिए महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, जबकि स्थिरता को मूल रूप से किसी दिए गए [[प्रमुखता]] में उनके मॉडलों की संख्या के आधार पर सिद्धांतों को वर्गीकृत करने के लिए पेश किया गया था, स्थिरता सिद्धांत परिभाषित निश्चित समुच्चयों की ज्यामिति को समझने के लिए महत्वपूर्ण प्रमाणित हुआ। | ||
== प्रथम-क्रम मॉडल सिद्धांत की मौलिक धारणाएँ == | == प्रथम-क्रम मॉडल सिद्धांत की मौलिक धारणाएँ == | ||
=== प्रथम-क्रम तर्क === | === प्रथम-क्रम तर्क === | ||
{{main| | {{main|पहले क्रम का तर्क}} | ||
[[तर्क प्रतीकों की तालिका]] के माध्यम से R(f(x,y),z) या y = x + 1 जैसे [[परमाणु सूत्र]] | [[तर्क प्रतीकों की तालिका]] के माध्यम से R(f(x,y),z) या y = x + 1 जैसे [[परमाणु सूत्र]] से एक प्रथम-क्रम सूत्र बनाया गया है। <math>\neg,\land,\lor,\rightarrow</math> और परिमाणकों का उपसर्ग <math>\forall v</math> या <math>\exists v</math>. एक वाक्य एक सूत्र है जिसमें एक चर की प्रत्येक घटना संबंधित परिमाणक के दायरे में होती है। सूत्रों के उदाहरण हैं φ (या φ(x) इस तथ्य को चिह्नित करने के लिए कि अधिक से अधिक x φ में एक अनबाउंड चर है) और ψ को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: | ||
:<math>\begin{array}{lcl} \varphi & = & \forall u\forall v(\exists w (x\times w=u\times v)\rightarrow(\exists w(x\times w=u)\lor\exists w(x\times w=v)))\land x\ne 0\land x\ne1, | :<math>\begin{array}{lcl} \varphi & = & \forall u\forall v(\exists w (x\times w=u\times v)\rightarrow(\exists w(x\times w=u)\lor\exists w(x\times w=v)))\land x\ne 0\land x\ne1, | ||
:\\\psi & = & \forall u\forall v((u\times v=x)\rightarrow (u=x)\lor(v=x))\land x\ne 0\land x\ne1. \end{array}</math> | :\\\psi & = & \forall u\forall v((u\times v=x)\rightarrow (u=x)\lor(v=x))\land x\ne 0\land x\ne1. \end{array}</math> | ||
(ध्यान दें कि समानता के प्रतीक का यहाँ दोहरा अर्थ है।) यह सहज रूप से स्पष्ट है कि ऐसे सूत्रों को गणितीय अर्थ में कैसे अनुवादित किया जाए। σ में<sub>smr</sub>-संरचना <math>\mathcal N</math> उदाहरण के लिए, एक तत्व n सूत्र φ को संतुष्ट करता है | (ध्यान दें कि समानता के प्रतीक का यहाँ दोहरा अर्थ है।) यह सहज रूप से स्पष्ट है कि ऐसे सूत्रों को गणितीय अर्थ में कैसे अनुवादित किया जाए। σ में<sub>smr</sub>- संरचना में <math>\mathcal N</math> प्राकृतिक संख्याओं के उदाहरण के लिए, एक तत्व n सूत्र φ को संतुष्ट करता है और केवल यदि n एक अभाज्य संख्या है तो सूत्र ψ समान रूप से इर्रेड्यूसिबल तत्व को परिभाषित करता है।संतुष्टि संबंध के लिए तर्स्की ने एक कठोर परिभाषा दी, जिसे कभी-कभी "तर्स्की की सत्य की परिभाषा (टी-स्कीमा)" भी कहा जाता है <math>\models</math>, ताकि कोई आसानी से प्रमाणित कर सके: | ||
:<math>\mathcal N\models\varphi(n) \iff n</math> एक अभाज्य संख्या है। | :<math>\mathcal N\models\varphi(n) \iff n</math> एक अभाज्य संख्या है। | ||
:<math>\mathcal N\models\psi(n) \iff n</math> अलघुकरणीय है। | :<math>\mathcal N\models\psi(n) \iff n</math> अलघुकरणीय है। | ||
एक | एक समुच्चय <math>T</math> वाक्यों की संख्या को एक (प्रथम-क्रम) सिद्धांत (गणितीय तर्क) कहा जाता है, जो समुच्चय में वाक्यों को अपने सिद्धांतों के रूप में लेता है। यदि कोई मॉडल है तो एक सिद्धांत संतोषजनक है <math>\mathcal M\models T</math>, अर्थात एक संरचना (उपयुक्त हस्ताक्षर की) जो <math>T</math> समुच्चय में सभी वाक्यों को पूरा करती है, एक पूर्ण सिद्धांत एक ऐसा सिद्धांत है जिसमें प्रत्येक वाक्य (गणितीय तर्क) या उसका निषेध सम्मिलित है। किसी संरचना द्वारा संतुष्ट सभी वाक्यों के पूर्ण सिद्धांत को उस संरचना का सिद्धांत भी कहा जाता है। | ||
किसी संरचना द्वारा संतुष्ट सभी वाक्यों के पूर्ण सिद्धांत को उस संरचना का सिद्धांत भी कहा जाता है। | |||
यह गोडेल की [[पूर्णता प्रमेय]] | यह गोडेल की [[पूर्णता प्रमेय]] (उनके अपूर्णता प्रमेय के साथ भ्रमित नहीं होना) का एक परिणाम है कि एक सिद्धांत का एक मॉडल है और केवल अगर यह सुसंगत है, अर्थात सिद्धांत द्वारा कोई विरोधाभास प्रमाणित नहीं होता है। इसलिए, मॉडल सिद्धांतकार प्रायः "संतोषजनक" के पर्याय के रूप में "संगत" का उपयोग करते हैं। | ||
इसलिए, मॉडल सिद्धांतकार | |||
=== बुनियादी मॉडल-सैद्धांतिक अवधारणाएं === | === बुनियादी मॉडल-सैद्धांतिक अवधारणाएं === | ||
एक [[हस्ताक्षर (तर्क)]] या | एक [[हस्ताक्षर (तर्क)]] या भाषा गैर-तार्किक प्रतीकों का एक समुच्चय है, जैसे कि प्रत्येक प्रतीक या तो एक स्थिर प्रतीक है, या निर्दिष्ट [[arity|एरिटी]] योग के साथ एक फलन या संबंध प्रतीक है। ध्यान दें कि कुछ साहित्य में, निरंतर प्रतीकों को शून्य एरिटी के साथ फलन प्रतीकों के रूप में माना जाता है, और इसलिए उन्हें छोड़ दिया जाता है। संरचना (गणितीय तर्क) एक समुच्चय है <math> M</math> संबंधों और कार्यों के रूप में हस्ताक्षर के प्रत्येक प्रतीक की व्याख्या के साथ <math> M </math> (एक संरचना की दूसरी संरचना की [[व्याख्या (मॉडल सिद्धांत)]] की औपचारिक धारणा के साथ भ्रमित नहीं होना)। | ||
उदाहरण: आदेशित छल्लों के लिए एक सामान्य हस्ताक्षर | उदाहरण: आदेशित छल्लों के लिए एक सामान्य हस्ताक्षर <math>\sigma_{or}=\{0,1,+,\times,-,<\}</math> है, कहाँ <math>0</math> और <math>1</math> 0-एरी फलन प्रतीक हैं (जिन्हें निरंतर प्रतीकों के रूप में भी जाना जाता है), <math>+</math> और <math>\times</math> बाइनरी (= 2-एरी) फलन प्रतीक हैं, <math>-</math> एक यूनरी (= 1-एरी) फलन प्रतीक है, और <math> < </math> एक द्विआधारी संबंध प्रतीक है। फिर, जब इन प्रतीकों की व्याख्या उनके सामान्य अर्थ के अनुरूप की जाती है <math>\Q</math> (ताकि उदा. <math> + </math> से एक फलन है, <math>\Q^2</math> को <math>\Q</math> और <math> < </math> का <math>\Q^2</math> उपसमुच्चय है), एक संरचना <math>(\Q,\sigma_{or})</math> प्राप्त करता है। | ||
संरचना <math> \mathcal{N} </math> मॉडल कहा जाता है{{clarification needed|date=November 2022|reason=Or "be a model of"? It would be helpful to be explicit to the extent that the distinction between "structures" and "models" (model as noun, not verb) is often a point of confusion for beginners.}} पहले क्रम के वाक्यों का एक | संरचना <math> \mathcal{N} </math> मॉडल कहा जाता है{{clarification needed|date=November 2022|reason=Or "be a model of"? It would be helpful to be explicit to the extent that the distinction between "structures" and "models" (model as noun, not verb) is often a point of confusion for beginners.}} पहले क्रम के वाक्यों का एक समुच्चय <math> T</math> [स्पष्टीकरण की आवश्यकता] मॉडल करने के लिए कहा जाता है, दिए गए भाषा में यदि प्रत्येक वाक्य में <math>T</math> में सत्य है <math> \mathcal{N} </math> पहले निर्दिष्ट हस्ताक्षर की व्याख्या के संबंध में <math> \mathcal{N} </math>. (फिर से, एक संरचना की दूसरी संरचना की व्याख्या (मॉडल सिद्धांत) की औपचारिक धारणा से भ्रमित नहीं होना चाहिए)। | ||
एक | एक आधार (गणित) <math>\mathcal A</math> एक σ-संरचना का <math>\mathcal B</math> इसके डोमेन का एक उपसमुच्चय है, जो इसके हस्ताक्षर σ में सभी कार्यों के तहत बंद है, जिसे σ में सभी कार्यों और संबंधों को उपसमुच्चय में प्रतिबंधित करके σ-संरचना के रूप में माना जाता है। | ||
यह बीजगणित से समरूप अवधारणाओं का सामान्यीकरण करता है; उदाहरण के लिए, एक उपसमूह गुणा और व्युत्क्रम के साथ हस्ताक्षर में एक उपसंरचना है। | यह बीजगणित से समरूप अवधारणाओं का सामान्यीकरण करता है; उदाहरण के लिए, एक उपसमूह गुणा और व्युत्क्रम के साथ हस्ताक्षर में एक उपसंरचना है। | ||
किसी प्रथम-क्रम सूत्र φ और किसी भी तत्व a | एक उपसंरचना को प्राथमिक कहा जाता है यदि किसी प्रथम-क्रम सूत्र φ और किसी भी तत्व a<sub>1</sub>, ..., ए<sub>''n''</sub> का <math>\mathcal A</math>, | ||
:<math>\mathcal A\models \varphi(a_1, ...,a_n)</math> अगर और केवल अगर <math>\mathcal B\models \varphi(a_1, ...,a_n)</math>. | :<math>\mathcal A\models \varphi(a_1, ...,a_n)</math> अगर और केवल अगर <math>\mathcal B\models \varphi(a_1, ...,a_n)</math>. | ||
विशेष रूप से, यदि φ एक वाक्य है और <math>\mathcal A</math> की एक प्राथमिक संरचना <math>\mathcal B</math>, तब | विशेष रूप से, यदि φ एक वाक्य है और <math>\mathcal A</math> की एक प्राथमिक संरचना <math>\mathcal B</math>, तब <math>\mathcal A\models \varphi</math> यदि और केवल <math>\mathcal B\models \varphi</math>. इस प्रकार, एक प्राथमिक उपसंरचना एक सिद्धांत का एक मॉडल है, ठीक उसी समय जब अधिरचना एक मॉडल है। | ||
उदाहरण: जबकि बीजगणितीय संख्याओं का क्षेत्र <math>\overline{\mathbb{Q}}</math> जटिल संख्याओं के क्षेत्र का एक प्राथमिक उपसंरचना है <math>\mathbb{C}</math>, तर्कसंगत क्षेत्र <math>\mathbb{Q}</math> नहीं है, जैसा कि हम व्यक्त कर सकते हैं कि पहले क्रम के वाक्य के रूप में | उदाहरण: जबकि बीजगणितीय संख्याओं का क्षेत्र <math>\overline{\mathbb{Q}}</math> जटिल संख्याओं के क्षेत्र का एक प्राथमिक उपसंरचना है <math>\mathbb{C}</math>, तर्कसंगत क्षेत्र <math>\mathbb{Q}</math> नहीं है, जैसा कि हम व्यक्त कर सकते हैं कि "2 का एक वर्गमूल है" पहले क्रम के वाक्य के रूप में संतुष्ट है <math>\mathbb{C}</math> लेकिन द्वारा नहीं <math>\mathbb{Q}</math>. | ||
σ-संरचना का एक [[एम्बेडिंग]] <math>\mathcal A</math> दूसरे σ-संरचना में <math>\mathcal B</math> एक मानचित्र f: A → B डोमेन के बीच है जिसे एक समरूपता के रूप में लिखा जा सकता है <math>\mathcal A</math> के एक | σ-संरचना का एक [[एम्बेडिंग]] <math>\mathcal A</math> दूसरे σ-संरचना में <math>\mathcal B</math> एक मानचित्र f: A → B डोमेन के बीच है जिसे एक समरूपता के रूप में लिखा जा सकता है <math>\mathcal A</math> के एक संरचना के साथ <math>\mathcal B</math>. यदि इसे एक प्रारंभिक संरचना के साथ एक समरूपता के रूप में लिखा जा सकता है, तो इसे एक प्राथमिक एम्बेडिंग कहा जाता है। प्रत्येक एम्बेडिंग एक [[इंजेक्शन]] समरूपता है, लेकिन बातचीत केवल तभी होती है जब हस्ताक्षर में कोई संबंध प्रतीक नहीं होता है, जैसे समूहों या क्षेत्रों में नहीं होता है। | ||
किसी क्षेत्र या सदिश समष्टि को इसकी कुछ संरचना की उपेक्षा करके एक (क्रमविनिमेय) समूह के रूप में माना जा सकता है। मॉडल सिद्धांत में संबंधित धारणा मूल हस्ताक्षर के | किसी क्षेत्र या सदिश समष्टि को इसकी कुछ संरचना की उपेक्षा करके एक (क्रमविनिमेय) समूह के रूप में माना जा सकता है। मॉडल सिद्धांत में संबंधित धारणा मूल हस्ताक्षर के उपसमुच्चय के लिए एक संरचना की कमी की है। विपरीत संबंध को विस्तार कहा जाता है - उदा। परिमेय संख्याओं का (योगात्मक) समूह, जिसे हस्ताक्षर {+,0} में एक संरचना के रूप में माना जाता है, को हस्ताक्षर {×,+,1,0} के साथ एक क्षेत्र में या हस्ताक्षर {+ के साथ एक आदेशित समूह में विस्तारित किया जा सकता है।,0,<}. | ||
इसी तरह, यदि σ' एक हस्ताक्षर है जो एक और हस्ताक्षर σ को बढ़ाता है, तो एक पूर्ण σ'-सिद्धांत को σ-सूत्रों के | इसी तरह, यदि σ' एक हस्ताक्षर है जो एक और हस्ताक्षर σ को बढ़ाता है, तो एक पूर्ण σ'-सिद्धांत को σ-सूत्रों के समुच्चय के साथ इसके वाक्यों के समुच्चय को काटकर σ तक सीमित किया जा सकता है। इसके विपरीत, एक पूर्ण σ-सिद्धांत को σ'-सिद्धांत के रूप में माना जा सकता है, और कोई इसे (एक से अधिक तरीकों से) पूर्ण σ'-सिद्धांत तक विस्तारित कर सकता है।इस संबंध में कभी-कभी कमी और विस्तार की शर्तें भी लागू होती हैं। | ||
=== सघनता और लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय === | === सघनता और लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय === | ||
सघनता प्रमेय में कहा गया है कि यदि S का प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय संतोषजनक है तो S वाक्यों का एक समुच्चय संतोषजनक है। संतोषजनक के बजाय सुसंगत कथन तुच्छ है, क्योंकि प्रत्येक | सघनता प्रमेय में कहा गया है कि यदि S का प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय संतोषजनक है तो S वाक्यों का एक समुच्चय संतोषजनक है। संतोषजनक के बजाय सुसंगत कथन तुच्छ है, क्योंकि प्रत्येक प्रमाण में उपयोग किए जाने वाले पूर्ववृत्तों की केवल एक सीमित संख्या हो सकती है। पूर्णता प्रमेय हमें इसे संतुष्टि के लिए स्थानांतरित करने की अनुमति देता है। हालाँकि, [[कॉम्पैक्टनेस प्रमेय]] के कई प्रत्यक्ष (अर्थ संबंधी) प्रमाण भी हैं। | ||
एक उपप्रमेय के रूप में (अर्थात्, इसका प्रतिधनात्मक), संघनन प्रमेय कहता है कि प्रत्येक असंतुष्ट प्रथम-क्रम सिद्धांत का एक परिमित असंतोषजनक उपसमुच्चय होता | एक उपप्रमेय के रूप में (अर्थात्, इसका प्रतिधनात्मक), संघनन प्रमेय कहता है कि प्रत्येक असंतुष्ट प्रथम-क्रम सिद्धांत का एक परिमित असंतोषजनक उपसमुच्चय होता है।यह प्रमेय मॉडल सिद्धांत में केंद्रीय महत्व का है, जहां "सघनता से" शब्द सामान्य हैं।<ref>Marker, p. 34</ref> | ||
लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय प्रथम-क्रम मॉडल सिद्धांत की एक और आधारशिला है। | लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय प्रथम-क्रम मॉडल सिद्धांत की एक और आधारशिला है। | ||
लोवेनहाइम-स्कोलेम प्रमेय के अनुसार, एक गणनीय हस्ताक्षर में प्रत्येक अनंत संरचना में एक गणनीय प्राथमिक उपसंरचना होती है। इसके विपरीत, किसी भी अनंत कार्डिनल κ के लिए एक गणनीय हस्ताक्षर में प्रत्येक अनंत संरचना जो κ से कम कार्डिनैलिटी की है, प्राथमिक रूप से कार्डिनैलिटी κ की | लोवेनहाइम-स्कोलेम प्रमेय के अनुसार, एक गणनीय हस्ताक्षर में प्रत्येक अनंत संरचना में एक गणनीय प्राथमिक उपसंरचना होती है। इसके विपरीत, किसी भी अनंत कार्डिनल κ के लिए एक गणनीय हस्ताक्षर में प्रत्येक अनंत संरचना जो κ से कम कार्डिनैलिटी की है, प्राथमिक रूप से कार्डिनैलिटी κ की एक और संरचना में एम्बेड की जा सकती है (बेशुमार हस्ताक्षरों के लिए एक सीधा सामान्यीकरण है)। विशेष रूप से, लोवेनहाइम-स्कोलेम प्रमेय का अर्थ है कि अनंत मॉडलों के साथ एक गणनीय मॉडल के साथ-साथ मनमाने ढंग से बड़े मॉडल भी होते हैं।<ref>Marker, p. 45</ref> | ||
एक निश्चित अर्थ में लिंडस्ट्रॉम के प्रमेय द्वारा | एक निश्चित अर्थ में लिंडस्ट्रॉम के प्रमेय द्वारा सही बनाया गया, प्रथम-क्रम तर्क सबसे अभिव्यंजक तर्क है जिसके लिए लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय और कॉम्पैक्टनेस प्रमेय दोनों हैं।<ref>Barwise and Feferman, p. 43</ref> | ||
== निश्चितता == | == निश्चितता == | ||
=== [[परिभाषित करने योग्य सेट]] === | === [[परिभाषित करने योग्य सेट|परिभाषित करने योग्य समुच्चय]] === | ||
मॉडल सिद्धांत में, | मॉडल सिद्धांत में, परिभाषित करने योग्य समुच्चय अध्ययन की महत्वपूर्ण वस्तुएँ हैं। उदाहरण के लिए, में <math>\mathbb N</math> सूत्र | ||
:<math>\forall u\forall v(\exists w (x\times w=u\times v)\rightarrow(\exists w(x\times w=u)\lor\exists w(x\times w=v)))\land x\ne 0\land x\ne1</math> | :<math>\forall u\forall v(\exists w (x\times w=u\times v)\rightarrow(\exists w(x\times w=u)\lor\exists w(x\times w=v)))\land x\ne 0\land x\ne1</math> | ||
अभाज्य संख्याओं के | अभाज्य संख्याओं के सबसमुच्चय को परिभाषित करता है, जबकि सूत्र | ||
:<math>\exists y (2\times y = x)</math> | :<math>\exists y (2\times y = x)</math> | ||
सम संख्याओं के | सम संख्याओं के उपसमुच्चय को परिभाषित करता है। | ||
इसी | इसी प्रकार, n मुक्त चर वाले सूत्र निम्न के उपसमुच्चय को परिभाषित करते हैं <math>\mathcal{M}^n</math>. उदाहरण के लिए, एक क्षेत्र में, सूत्र: | ||
:<math> y = x \times x</math> | :<math> y = x \times x</math> | ||
सभी के वक्र को परिभाषित करता है <math>(x,y)</math> ऐसा है कि <math>y = x^2</math>. | सभी के वक्र को परिभाषित करता है <math>(x,y)</math> ऐसा है कि <math>y = x^2</math>. | ||
यहां बताई गई दोनों परिभाषाएं पैरामीटर-मुक्त हैं, | यहां बताई गई दोनों परिभाषाएं पैरामीटर-मुक्त हैं, अर्थात, परिभाषित करने वाले सूत्र किसी निश्चित डोमेन तत्वों का उल्लेख नहीं करते हैं। हालांकि, कोई भी मॉडल से मापदंडों के साथ परिभाषा पर विचार कर सकता है। | ||
उदाहरण के लिए, में <math>\mathbb{R}</math>, सूत्र | उदाहरण के लिए, में <math>\mathbb{R}</math>, सूत्र | ||
:<math> y = x \times x + \pi</math> | :<math> y = x \times x + \pi</math> | ||
पैरामीटर का उपयोग करता है <math>\pi</math> से <math>\mathbb{R}</math> एक वक्र को परिभाषित करने के | पैरामीटर का उपयोग करता है <math>\pi</math> से <math>\mathbb{R}</math> एक वक्र को परिभाषित करने के लिए होता है।<ref>Marker, p. 19</ref> | ||
=== क्वांटिफायर को | === क्वांटिफायर को समाप्त करना === | ||
सामान्यतः, क्वांटिफायर के बिना निश्चित समुच्चय का वर्णन करना आसान होता है, जबकि संभवतः नेस्टेड क्वांटिफायर वाले निश्चित समुच्चय अधिक जटिल हो सकते हैं।<ref>Marker, p. 71</ref> | |||
यदि किसी सिद्धांत में क्वांटिफायर | यह निश्चित समुच्चयों के विश्लेषण के लिए [[क्वांटिफायर उन्मूलन]] को एक महत्वपूर्ण उपकरण बनाता है: एक सिद्धांत टी में मात्रात्मक विलोपन है यदि प्रत्येक प्रथम-क्रम सूत्र φ(x<sub>1</sub>, ..., X<sub>''n''</sub>) इसके हस्ताक्षर के ऊपर एक प्रथम-क्रम सूत्र ψ(x<sub>1</sub>, ..., X<sub>''n''</sub>) क्वांटिफायर के बिना, अर्थात <math>\forall x_1\dots\forall x_n(\phi(x_1,\dots,x_n)\leftrightarrow \psi(x_1,\dots,x_n))</math> टी के सभी मॉडलों में रखती है।<ref>Marker, p. 72</ref> | ||
यदि किसी संरचना के सिद्धांत में क्वांटिफायर उन्मूलन है, तो संरचना में परिभाषित प्रत्येक समुच्चय मूल परिभाषा के समान पैरामीटर पर क्वांटिफायर-मुक्त सूत्र द्वारा निश्चित है। उ | |||