बहुपद: Difference between revisions

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{{for|~~less elementary aspects of the subject~~|~~Polynomial ring~~}}

[[:hi:गणित|गणित]] में~~, '''बहुपद''' एक ऐसा~~ [[:hi:व्यंजक|व्यंजक]] है जिसमें [[:hi:अनिश्चित (चर)|अनिश्चित]] ~~([[:hi:चर|चर]] भी कहा जाता है)~~ और [[:hi:गुणक|गुणांक]] होते हैं, जिसमें केवल [[:hi:जोड़|जोड़]], [[:hi:घटाना|घटाव]], [[:hi:गुणा|गुणा]], और चर के गैर-ऋणात्मक [[:hi:पूर्णांक|पूर्णांक]] [[:hi:घातांक|घातांक]] के संचालन सम्मिलित होते हैं। अनिश्चित {{Math|''x''}} के बहुपद का एक उदाहरण: {{Math|''x''2 − 4''x'' + 7}} है। तीन चरों में एक उदाहरण: {{Math|''x''3 + 2''xyz''2 − ''yz'' + 1}} है।

'''बहुपद,''' [[:hi:गणित|गणित]] में वह [[:hi:व्यंजक|व्यंजक]] है जिसमें [[:hi:अनिश्चित (चर)|अनिश्चित पद]] और [[:hi:गुणक|गुणांक]] होते हैं, जिसमें केवल [[:hi:जोड़|जोड़]], [[:hi:घटाना|घटाव]], [[:hi:गुणा|गुणा]], और पद के गैर-ऋणात्मक [[:hi:पूर्णांक|पूर्णांक]] [[:hi:घातांक|घातांक]] के संचालन सम्मिलित होते हैं। अनिश्चित {{Math|''x''}} के बहुपद का एक उदाहरण: {{Math|''x''2 − 4''x'' + 7}} है। तीन चरों में एक उदाहरण: {{Math|''x''3 + 2''xyz''2 − ''yz'' + 1}} है।

गणित और विज्ञान के कई क्षेत्रों में बहुपद उपस्थित होता है। उदाहरण: उनका उपयोग [[बहुपद समीकरण]] बनाने के लिए किया जाता है, जो प्राथमिक शब्द समस्याओं से लेकर जटिल वैज्ञानिक समस्याओं तक, समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला को एन्कोड करते हैं;उनका उपयोग बहुपद ~~कार्यों को~~ परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जो बुनियादी रसायन विज्ञान और भौतिकी से लेकर अर्थशास्त्र और सामाजिक विज्ञान तक की सेटिंग्स में दिखाई देते हैं;वे अन्य ~~कार्यों को~~ अनुमानित करने के लिए कैलकुलस और संख्यात्मक विश्लेषण में उपयोग किए जाते ~~हैं।उन्नत~~ गणित में, बहुपद का उपयोग बहुपद के ~~छल्ले~~ और बीजगणितीय ~~किस्मों~~ के निर्माण के लिए किया जाता है, जो बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में केंद्रीय अवधारणाएं हैं।

गणित और विज्ञान के कई क्षेत्रों में बहुपद उपस्थित होता है। '''उदाहरण''': उनका उपयोग [[बहुपद समीकरण]] बनाने के लिए किया जाता है, जो प्राथमिक शब्द समस्याओं से लेकर जटिल वैज्ञानिक समस्याओं तक, समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला को एन्कोड करते हैं;उनका उपयोग बहुपद फलनको परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जो बुनियादी रसायन विज्ञान और भौतिकी से लेकर अर्थशास्त्र और सामाजिक विज्ञान तक की सेटिंग्स में दिखाई देते हैं;वे अन्य फलनको अनुमानित करने के लिए कैलकुलस और संख्यात्मक विश्लेषण में उपयोग किए जाते हैं। उन्नत गणित में, बहुपद का उपयोग बहुपद के वलय और बीजगणितीय विविधता के निर्माण के लिए किया जाता है, जो बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में केंद्रीय अवधारणाएं हैं।

== व्युत्पत्ति ==

Line 10:

== संकेतन और शब्दावली ==

[[File:Polynomialdeg3.svg|thumb|ग्राफ 3 के बहुपद फलन का आलेख]]

बहुपद में होने वाले x को आमतौर पर एक चर या अनिश्चित कहा जाता है। जब बहुपद को व्यंजक के रूप में माना जाता है, तो x एक निश्चित प्रतीक है जिसका कोई मान नहीं है (इसका मान "अनिश्चित" है)। हालांकि, जब कोई बहुपद द्वारा परिभाषित ~~फ़ंक्शन~~ पर विचार करता है, तो x ~~फ़ंक्शन~~ के तर्क का प्रतिनिधित्व करता है, और इसलिए इसे "चर" कहा जाता है। कई लेखक इन दोनों शब्दों का परस्पर प्रयोग करते हैं।

बहुपद में होने वाले x को आमतौर पर एक चर या अनिश्चित कहा जाता है। जब बहुपद को व्यंजक के रूप में माना जाता है, तो x एक निश्चित प्रतीक है जिसका कोई मान नहीं है (इसका मान "अनिश्चित" है)। हालांकि, जब कोई बहुपद द्वारा परिभाषित फलन पर विचार करता है, तो x फलन के तर्क का प्रतिनिधित्व करता है, और इसलिए इसे "चर" कहा जाता है। कई लेखक इन दोनों शब्दों का परस्पर प्रयोग करते हैं।

अनिश्चित (इंडेटरमिनते) ''x'' में एक बहुपद ''P'' को आमतौर पर या तो ''P'' या ''P'' (''x'') के रूप में दर्शाया जाता है। औपचारिक रूप से, बहुपद का नाम ''P'' है, न कि ''P'' (''x''), लेकिन [[:hi:फलन|कार्यात्मक संकेतन]] ''P'' (''x'') का उपयोग उस समय से होता है जब बहुपद और संबंधित ~~फ़ंक्शन~~ के बीच का अंतर स्पष्ट नहीं था। इसके अलावा, कार्यात्मक संकेतन अक्सर एक वाक्यांश, एक बहुपद और उसके अनिश्चित में निर्दिष्ट करने के लिए उपयोगी होता है। उदाहरण के लिए, "मान लीजिए P (x) एक बहुपद है" के लिए एक आशुलिपि है" "मान लीजिए ''P'' अनिश्चित ''x'' में एक बहुपद है" के लिए एक आशुलिपि है। दूसरी ओर, जब अनिश्चित के नाम पर जोर देना आवश्यक नहीं है, तो कई सूत्र बहुत सरल और पढ़ने में आसान होते हैं यदि बहुपद की प्रत्येक घटना में अनिश्चित के नाम प्रकट नहीं होते हैं।

अनिश्चित (इंडेटरमिनते) ''x'' में एक बहुपद ''P'' को आमतौर पर या तो ''P'' या ''P'' (''x'') के रूप में दर्शाया जाता है। औपचारिक रूप से, बहुपद का नाम ''P'' है, न कि ''P'' (''x''), लेकिन [[:hi:फलन|कार्यात्मक संकेतन]] ''P'' (''x'') का उपयोग उस समय से होता है जब बहुपद और संबंधित फलन के बीच का अंतर स्पष्ट नहीं था। इसके अलावा, कार्यात्मक संकेतन अक्सर एक वाक्यांश, एक बहुपद और उसके अनिश्चित में निर्दिष्ट करने के लिए उपयोगी होता है। उदाहरण के लिए, "मान लीजिए P (x) एक बहुपद है" के लिए एक आशुलिपि है" "मान लीजिए ''P'' अनिश्चित ''x'' में एक बहुपद है" के लिए एक आशुलिपि है। दूसरी ओर, जब अनिश्चित के नाम पर जोर देना आवश्यक नहीं है, तो कई सूत्र बहुत सरल और पढ़ने में आसान होते हैं यदि बहुपद की प्रत्येक घटना में अनिश्चित के नाम प्रकट नहीं होते हैं।

गणितीय वस्तु के लिए दो अंकन होने की अस्पष्टता को बहुपद के लिए कार्यात्मक संकेतन के सामान्य अर्थ पर विचार करके औपचारिक रूप से हल किया जा सकता है। यदि a एक संख्या, एक चर, एक अन्य बहुपद, या, अधिक सामान्य रूप से, किसी भी अभिव्यक्ति को दर्शाता है, तो P(a) परंपरा द्वारा, P में x के लिए a को प्रतिस्थापित करने के परिणाम को दर्शाता है। इस प्रकार, बहुपद P ~~फ़ंक्शन~~ को परिभाषित करता है।

गणितीय वस्तु के लिए दो अंकन होने की अस्पष्टता को बहुपद के लिए कार्यात्मक संकेतन के सामान्य अर्थ पर विचार करके औपचारिक रूप से हल किया जा सकता है। यदि a एक संख्या, एक चर, एक अन्य बहुपद, या, अधिक सामान्य रूप से, किसी भी अभिव्यक्ति को दर्शाता है, तो P(a) परंपरा द्वारा, P में x के लिए a को प्रतिस्थापित करने के परिणाम को दर्शाता है। इस प्रकार, बहुपद P फलन को परिभाषित करता है।

<math>a\mapsto P(a),</math>

Line 20:

जो कि P से जुड़ा एक बहुपद फलन है। अक्सर, इस संकेतन का उपयोग करते समय, कोई यह मान लेता है कि a एक संख्या है। हालाँकि, कोई भी इसका उपयोग किसी भी डोमेन में कर सकता है जहाँ जोड़ और गुणा परिभाषित हैं (अर्थात कोई भी रिंग)। विशेष रूप से, यदि a एक बहुपद है तो P(a) भी एक बहुपद है।

अधिक विशेष रूप से, जब ''a'' अनिश्चित ''x'' है, तो इस ~~फ़ंक्शन~~ द्वारा ''x'' की [[:hi:छवि (गणित)|छवि]] बहुपद ''P'' ही है (''x'' के लिए ''x'' को प्रतिस्थापित करने से कुछ भी नहीं बदलता है)।

अधिक विशेष रूप से, जब ''a'' अनिश्चित ''x'' है, तो इस फलन द्वारा ''x'' की [[:hi:छवि (गणित)|छवि]] बहुपद ''P'' ही है (''x'' के लिए ''x'' को प्रतिस्थापित करने से कुछ भी नहीं बदलता है)।

दूसरे शब्दों में,

Line 35:

<math>a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dotsb + a_2 x^2 + a_1 x + a_0,</math>

जहाँ पे <math>a_0, \ldots, a_n</math> अचर हैं जो बहुपद के ''गुणांक'' कहलाते हैं, और <math>x</math> अनिश्चित है। <ref name=":12">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Polynomial|url=https://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> "अनिश्चित" शब्द का अर्थ है कि <math>x</math> किसी विशेष मूल्य का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, हालांकि इसके लिए किसी भी मूल्य को प्रतिस्थापित किया जा सकता है। मैपिंग जो इस प्रतिस्थापन के परिणाम को प्रतिस्थापित मान से जोड़ता है वह एक [[:hi:फलन|~~फ़ंक्शन~~ है]], जिसे ''बहुपद ~~फ़ंक्शन~~'' कहा जाता है।

जहाँ पे <math>a_0, \ldots, a_n</math> अचर हैं जो बहुपद के ''गुणांक'' कहलाते हैं, और <math>x</math> अनिश्चित है। <ref name=":12">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Polynomial|url=https://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> "अनिश्चित" शब्द का अर्थ है कि <math>x</math> किसी विशेष मूल्य का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, हालांकि इसके लिए किसी भी मूल्य को प्रतिस्थापित किया जा सकता है। मैपिंग जो इस प्रतिस्थापन के परिणाम को प्रतिस्थापित मान से जोड़ता है वह एक [[:hi:फलन|फलन है]], जिसे ''बहुपद फलन'' कहा जाता है।

इसे और अधिक संक्षिप्त रूप से [[:hi:संकलन|योग संकेतन]] का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है:

Line 41:

अर्थात्, एक बहुपद या तो शून्य हो सकता है या गैर-शून्य [[:hi:जोड़|पदों]] की एक परिमित संख्या के योग के रूप में लिखा जा सकता है। प्रत्येक पद में एक संख्या . का गुणनफल होता है{{Snd}}शब्द का [[:hi:गुणक|गुणांक]] कहा जाता है {{Efn|The coefficient of a term may be any number from a specified set. If that set is the set of real numbers, we speak of "polynomials over the reals". Other common kinds of polynomials are polynomials with integer coefficients, polynomials with complex coefficients, and polynomials with coefficients that are integers [[modular arithmetic|modulo]] some [[prime number]] {{math|''p''}}.}}और अनिश्चित की एक सीमित संख्या, गैर-ऋणात्मक पूर्णांक शक्तियों तक विस्तारित ~~'''~~की गयी है।~~'''~~

अर्थात्, एक बहुपद या तो शून्य हो सकता है या गैर-शून्य [[:hi:जोड़|पदों]] की एक परिमित संख्या के योग के रूप में लिखा जा सकता है। प्रत्येक पद में एक संख्या . का गुणनफल होता है{{Snd}}शब्द का [[:hi:गुणक|गुणांक]] कहा जाता है {{Efn|The coefficient of a term may be any number from a specified set. If that set is the set of real numbers, we speak of "polynomials over the reals". Other common kinds of polynomials are polynomials with integer coefficients, polynomials with complex coefficients, and polynomials with coefficients that are integers [[modular arithmetic|modulo]] some [[prime number]] {{math|''p''}}.}}और अनिश्चित की एक सीमित संख्या, गैर-ऋणात्मक पूर्णांक शक्तियों तक विस्तारित की गयी है।

== वर्गीकरण ==

== '''वर्गीकरण''' ==

~~एक शब्द~~ में ~~एक अनिश्चितता पर~~ घातांक को उस ~~शब्द~~ में ~~उस अनिश्चितता~~ की ~~डिग्री कहा जाता है;शब्द~~ की ~~डिग्री~~ उस ~~शब्द में~~ अनिश्चितताओं की ~~डिग्री~~ का योग है, और एक बहुपद की ~~डिग्री गैर -~~गुणांक ~~के साथ किसी भी शब्द~~ की सबसे बड़ी ~~डिग्री~~ है।~~<ref name=":2">{{Cite web|title=Polynomials~~ {{~~!}} Brilliant~~ Math ~~& Science Wiki|url=https://brilliant.org/wiki/polynomials/|access-date=2020-08-28|website=brilliant.org|language=en-us}}</ref> क्योंकि {{math~~|''x'' {{=}} ''x''1}}, एक लिखित ~~प्रतिपादक~~ के बिना एक अनिश्चित की डिग्री एक है।

किसी पद में अनिश्चित काल के घातांक को उस पद में अनिश्चित काल की घात कहते हैं। किसी पद की घात उस पद की अनिश्चितताओं की घातों का योग है, और बहुपद की घात अशून्य गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात है। क्योंकि {{Math|''x'' {{=}} ''x''1}}, एक लिखित घातांक के बिना एक अनिश्चित की डिग्री एक है।

~~{{anchor|constant polynomial}}~~

जिस पद में कोई अनिश्चितता न हो और एक बहुपद जिसमें कोई अनिश्चितता न हो, तो उसे क्रमशः अचर पद और अचर बहुपद कहते हैं।{{efn|This terminology dates from the time when the distinction was not clear between a polynomial and the function that it defines: a constant term and a constant polynomial define [[constant function]]s.{{citation needed|date=July 2020}}}} अचर पद और अशून्य स्थिर बहुपद की घात 0 है। 0 की घात (जिसका कोई पद नहीं है) के लिए शून्य बहुपद को आमतौर पर परिभाषित नहीं माना जाता है (नीचे देखें)।<ref name=Barbeau-2003-pp1-2>{{harvnb|Barbeau|2003|pp=[https://books.google.com/books?id=CynRMm5qTmQC&pg=PA1 1]–2}}</ref>

~~बिना किसी~~ अनिश्चितता ~~के साथ एक शब्द~~ और ~~बिना किसी अनिश्चित के~~ एक बहुपद को क्रमशः ~~कहा जाता है, एक निरंतर शब्द~~ और ~~एक निरंतर बहुपद।~~{{efn|This terminology dates from the time when the distinction was not clear between a polynomial and the function that it defines: a constant term and a constant polynomial define [[constant function]]s.{{citation needed|date=July 2020}}}} ~~एक निरंतर शब्द की डिग्री~~ और ~~एक नॉनज़ेरो निरंतर~~ बहुपद की ~~डिग्री~~ 0~~. शून्य बहुपद~~ 0 की ~~डिग्री है~~ (~~जिसमें~~ कोई ~~शब्द~~ नहीं है) को आमतौर पर परिभाषित नहीं माना जाता है (~~लेकिन~~ नीचे देखें)।<ref name=Barbeau-2003-pp1-2>{{harvnb|Barbeau|2003|pp=[https://books.google.com/books?id=CynRMm5qTmQC&pg=PA1 1]–2}}</ref>

~~उदाहरण के लिए:~~

~~:<math> -5x^2y </math>~~

एक शब्द है।गुणांक है {{math|−5}}, अनिश्चित हैं {{math|''x''}} तथा {{math|''y''}}, की उपाधि {{math|''x''}} दो है, जबकि की डिग्री {{math|''y''}} एक है।पूरे शब्द की डिग्री इसमें प्रत्येक अनिश्चितता की डिग्री का योग है, इसलिए इस उदाहरण में डिग्री है {{math|2 + 1 {{=}} 3}}।

~~कई शब्दों का योग बनाने से एक बहुपद पैदा होता है।उदाहरण~~ के लिए~~, निम्नलिखित एक बहुपद है~~:

'''उदाहरण के लिए:'''

:<math>\underbrace{_\,3x^2}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{1}\end{smallmatrix}} \underbrace{-_\,5x}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{2}\end{smallmatrix}} \underbrace{+_\,4}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{3}\end{smallmatrix}}. </math>

इसमें तीन शब्द होते हैं: पहला डिग्री दो है, दूसरा डिग्री एक है, और तीसरा डिग्री शून्य है।

~~{{anchor|linear polynomial}}छोटी डिग्री के बहुपद को विशिष्ट नाम दिए गए हैं।डिग्री शून्य का~~ एक ~~बहुपद एक निरंतर बहुपद~~ है, ~~या बस एक स्थिर है।डिग्री एक~~, दो ~~या तीन के बहुपद क्रमशः रैखिक बहुपद~~, ~~द्विघात बहुपद और क्यूबिक बहुपद हैं।<ref name=":2" />उच्च~~ डिग्री ~~के लिए, विशिष्ट नामों~~ का ~~आमतौर पर उपयोग नहीं किया जाता~~ है, हालांकि चतुर्थक बहुपद (डिग्री चार के लिए) और क्विंटिक बहुपद (डिग्री पांच के लिए) कभी -कभी उपयोग किए जाते हैं।डिग्री के नाम बहुपद या इसकी शर्तों पर लागू किए जा सकते हैं।उदाहरण के लिए, शब्द {{math|2''x''}} में {{~~math~~|~~''x''2 +~~ 2~~''x''~~ + 1}} ~~एक द्विघात बहुपद में एक रैखिक शब्द~~ है।

:

यह एक पद है। गुणांक -5 है, अनिश्चित x और y हैं, x की डिग्री दो है, जबकि y की डिग्री एक है। संपूर्ण पद की घात इसमें प्रत्येक अनिश्चित की घातों का योग है, इसलिए इस उदाहरण में घात {{Math|2 + 1 {{=}} 3}} है।

{{anchor|zero polynomial}}बहुपद 0, जिसे कोई शर्त नहीं माना जा सकता है, को शून्य बहुपद कहा जाता है।अन्य निरंतर बहुपद के विपरीत, इसकी डिग्री शून्य नहीं है।बल्कि, शून्य बहुपद की डिग्री या तो स्पष्ट रूप से अपरिभाषित छोड़ दी जाती है, या नकारात्मक के रूप में परिभाषित की जाती है (या तो −1 या −−)।<ref>{{MathWorld |urlname=ZeroPolynomial |title=Zero Polynomial}}</ref> शून्य बहुपद भी अद्वितीय है कि यह एक ~~अनिश्चित में एकमात्र~~ बहुपद ~~है जिसमें जड़ों की एक अनंत संख्या होती है।शून्य बहुपद का ग्राफ, {{math|~~''f''(''~~x'') {{=}} 0}}, एक्स-एक्सिस है।~~

अनेक पदों के योग से एक बहुपद बनता है। '''उदाहरण के लिए, निम्नलिखित एक बहुपद है:'''

~~एक से अधिक अनिश्चितता में बहुपद के मामले में~~, ~~एक बहुपद को सजातीय कहा जाता है~~ {{~~nowrap|degree~~ {{~~math|''n''~~}}}} ~~यदि इसके सभी गैर-शून्य शर्तें हैं~~ {{~~nowrap|degree~~ {{~~math|''n''~~}}}}।शून्य बहुपद सजातीय है, और, एक सजातीय बहुपद के रूप में, इसकी डिग्री अपरिभाषित है।{{~~efn|In fact, as a [[homogeneous function]], it is homogeneous of ''every'' degree.~~{{~~citation needed|date=July 2020~~}}}~~} उदाहरण के लिए, {{math|''x''3~~</~~sup~~>~~''y''2 + 7''x''2''y''3 − 3''x''5}}~~ डिग्री ~~5 का सजातीय~~ है। ~~अधिक जानकारी के लिए, सजातीय बहुपद देखें।~~

<math>\underbrace{_\,3x^2}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{1}\end{smallmatrix}} \underbrace{-_\,5x}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{2}\end{smallmatrix}} \underbrace{+_\,4}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{3}\end{smallmatrix}}. </math>

:

इसके तीन पद हैं: पहली डिग्री दो है, दूसरी डिग्री एक है, और तीसरी डिग्री शून्य है।

~~इसके अतिरिक्त कानून का उपयोग किसी भी पसंदीदा आदेश में शर्तों~~ को ~~फिर से व्यवस्थित करने के लिए किया जा सकता है।एक अनिश्चित के साथ~~ बहुपद ~~में, शर्तों को आमतौर पर डिग्री के अनुसार आदेश दिया जाता है~~, या ~~तो अवरोही शक्तियों में {{math|~~''x''~~}}, पहले सबसे बड़ी डिग्री के कार्यकाल के साथ, या आरोही शक्तियों में {{math|~~''x''~~}}।बहुपद {{math|3~~''x''<~~sup>~~2~~</sup~~> ~~- 5''x'' + 4}} के अवरोही शक्तियों में लिखा गया है~~ {{~~math~~|~~''x''}}।पहले कार्यकाल में गुणांक है~~ {{~~math|3~~}}~~, अनिश्चित {{math~~|''x''}}, और प्रतिपादक {{math|2}}।दूसरे कार्यकाल में, गुणांक {{nowrap|is {{math|−5}}}}।तीसरा शब्द एक स्थिर है।क्योंकि एक गैर-शून्य बहुपद की डिग्री किसी एक शब्द की सबसे बड़ी डिग्री है, इस बहुपद की डिग्री दो है।<ref>{{harvnb|Edwards|1995|p=[https://~~books~~.~~google.com~~/~~books?id~~=~~ylFR4h5BIDEC&pg~~=~~PA78 78]~~}}</ref>

छोटे भिन्नों के बहुपदों को विशेष नाम दिए गए हैं। शून्य घात वाला बहुपद एक अचर बहुपद या केवल एक अचर होता है। एक, दो या तीन घात वाले बहुपद क्रमशः ''रैखिक बहुपद,'' ''[[:hi:द्विघात फलन|द्विघात बहुपद]]'' और ''घन बहुपद'' होते हैं।<ref name=":2">{{Cite web|title=Polynomials {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|url=https://brilliant.org/wiki/polynomials/|access-date=2020-08-28|website=brilliant.org|language=en-us}}</ref> उच्च डिग्री के लिए, विशिष्ट नामों का आमतौर पर उपयोग नहीं किया जाता है, हालांकि कभी-कभी ''क्वार्टिक बहुपद'' (डिग्री चार के लिए) और ''क्विंटिक बहुपद'' (डिग्री पांच के लिए) का उपयोग किया जाता है। डिग्री के नाम बहुपद या इसकी शर्तों पर लागू हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, {{Math|''x''2 + 2''x'' + 1}} में पद {{Math|2''x''}} एक द्विघात बहुपद में एक रैखिक पद है।

~~एक ही शक्तियों~~ के लिए उठाए गए एक ही अनिश्चितता के साथ दो शब्द समान शर्तों या जैसे शब्दों को कहा जाता है, ~~और उन्हें एक ही शब्द में वितरण कानून~~ का उपयोग ~~करके संयुक्त~~ किया ~~जा सकता~~ है, ~~जिसका गुणांक उन शर्तों~~ के ~~गुणांक~~ का ~~योग है जो संयुक्त थे।ऐसा हो सकता है कि यह गुणांक 0 बनाता~~ है।~~<ref name="Edwards-1995-p47"/>~~बहुपद ~~को नॉनज़ेरो गुणांक के साथ~~ शर्तों ~~की संख्या से वर्गीकृत किया जा सकता है, ताकि एक-अवधि~~ के ~~बहुपद को एक मोनोमियल कहा जाता है~~,{{~~efn~~|~~Some authors use "monomial" to mean "[[monic polynomial|monic]] monomial". See~~ {{~~cite book~~ |~~first=Anthony W. |last=Knapp |title=Advanced Algebra: Along with a Companion Volume Basic Algebra |page=457 |year=2007 |publisher=Springer |isbn=978-0-8176-4522-9}}~~}} एक ~~दो-अवधि के~~ बहुपद को एक द्विपद कहा जाता है, और एक तीन-अवधि के बहुपद को ट्रिनोमियल कहा जाता है।क्वाड्रिनोमियल शब्द का उपयोग कभी-कभी चार-अवधि के बहुपद के लिए किया जाता है।

~~{{anchor|real polynomial|complex polynomial|integer polynomial}}~~एक ~~वास्तविक~~ बहुपद ~~वास्तविक गुणांक~~ के ~~साथ एक~~ बहुपद ~~है।जब इसका उपयोग किसी फ़ंक्शन~~ को ~~परिभाषित करने के लिए किया~~ जाता है, तो डोमेन इतना प्रतिबंधित नहीं होता है।हालांकि, एक वास्तविक बहुपद कार्य वास्तविक रूप ~~से एक वास्तविक बहुपद द्वारा~~ परिभाषित ~~रियल के लिए एक फ़ंक्शन है।इसी तरह, एक पूर्णांक~~ बहुपद ~~पूर्णांक गुणांक के साथ~~ एक बहुपद है, और ~~एक जटिल बहुपद जटिल गुणांक के~~ साथ एक बहुपद है।

बहुपद 0, जिसे एक पद के रूप में नहीं माना जा सकता है, इसे शून्य बहुपद कहा जाता है। अन्य अचर बहुपदों के विपरीत, इसका घात शून्य नहीं होती है। बल्कि, शून्य बहुपद की डिग्री को या तो स्पष्ट रूप से अपरिभाषित छोड़ दिया जाता है, या ऋणात्मक (या तो -1 या −∞) के रूप में परिभाषित किया जाता है।<ref>{{MathWorld |urlname=ZeroPolynomial |title=Zero Polynomial}}</ref> शून्य बहुपद इस मायने में भी अद्वितीय है कि यह एक अनिश्चित में एकमात्र बहुपद है और साथ में जिसमें अनंत संख्या की मूलें होती हैं। शून्य बहुपद का ग्राफ, {{math|''f''(''x'') {{=}} 0}}, ''x'' -अक्ष (एक्सिस) है।

{{~~anchor~~|~~univariate~~|~~bivariate|Number of variables|Multivariate polynomial~~}}~~एक अनिश्चित में एक बहुपद को एक अनिच्छुक बहुपद~~ कहा जाता है, ~~एक से अधिक अनिश्चितता में एक बहुपद को~~ '~~बहुभिन्नरूपी बहुपद~~' ~~कहा जाता है।दो अनिश्चितताओं के साथ एक बहुपद को~~ '~~bivariate बहुपद~~' ~~कहा जाता है।<ref name=":1">~~{{~~Cite web~~|~~last=Weisstein~~|~~first=Eric W.|title=Polynomial|url=https://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en~~}}</ref>ये धारणाएं उस तरह के बहुपद के बारे में अधिक बताती हैं जो आमतौर पर व्यक्तिगत बहुपदों की तुलना में काम कर रही है;उदाहरण के लिए, जब Univariate Polynomials के साथ काम करते हैं, तो कोई भी निरंतर बहुपद (~~जो गैर-स्थिर बहुपद के घटाव के परिणामस्वरूप हो सकता है~~) ~~को बाहर नहीं करता~~ है, ~~हालांकि सख्ती से बोलने~~ के ~~लिए, निरंतर बहुपद~~ में ~~कोई भी अनिश्चितता नहीं होती है।बहुभिन्नरूपी बहुपद को आगे बढ़ाना संभव है~~, ~~जो कि अधिकतम संख्या में अनिश्चितता की अधिकतम संख्या के अनुसार bivariate~~, ~~trivariate~~, ~~और इसी तरह~~ के रूप में वर्गीकृत है।फिर से, ताकि विचाराधीन वस्तुओं का सेट घटाव के तहत बंद हो जाए, ट्रिविअरेट बहुपदों का एक अध्ययन आमतौर पर बीवरिएट बहुपद की अनुमति देता है, ~~और इसी तरह।यह केवल बहुपद में कहना भी आम है~~ {{math|''x'', ''y''}}, ~~तथा {{math|~~''z''~~}}, अनुमत अनिश्चितता को सूचीबद्ध करना।~~

एक से अधिक अनिश्चित बहुपदों के मामले में, एक बहुपद को {{Nowrap|degree {{math|''n''}}}} का ''समघात'' (होमोजेनियस) कहा जाता है, यदि इसके ''सभी'' गैर-शून्य पदों में {{Nowrap|degree {{math|''n''}}}} है। शून्य बहुपद ''समघात'' (होमोजेनियस पोलयनोमिअल) है, और एक सजातीय बहुपद के रूप में, इसकी डिग्री अपरिभाषित है।{{efn|In fact, as a [[homogeneous function]], it is homogeneous of ''every'' degree.{{citation needed|date=July 2020}}}} उदाहरण के लिए, {{math|''x''3''y''2 + 7''x''2''y''3 − 3''x''5}} डिग्री 5 का ''समघात'' है। अधिक जानकारी के लिए, ''समघात'' बहुपद देखें।

~~{{anchor~~|~~evaluation}}एक बहुपद के मूल्यांकन~~ में ~~प्रत्येक अनिश्चितता~~ के लिए एक संख्यात्मक मान को प्रतिस्थापित करना और संकेतित गुणन और परिवर्धन को बाहर ले जाना शामिल है।एक अनिश्चित में ~~बहुपद के लिए~~, ~~मूल्यांकन~~ आमतौर पर ~~हॉर्नर~~ की ~~विधि का उपयोग करके अधिक कुशल (प्रदर्शन करने~~ के ~~लिए अंकगणित संचालन~~ की ~~कम संख्या) है:~~

जोड़ के क्रमविनिमेयता [[:hi:क्रमविनिमेयता|कम्यूटेटिव कानून]] का प्रयोग किसी भी पसंदीदा क्रम में शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए किया जा सकता है। एक अनिश्चित के साथ बहुपदों में, शर्तों को आमतौर पर डिग्री के अनुसार आदेश दिया जाता है, या तो " {{Math|''x''}} की अवरोही शक्तियों" में, पहले सबसे बड़ी डिग्री की अवधि के साथ, या " {{Math|''x''}} की आरोही शक्तियों" में। बहुपद {{Math|3''x''2 - 5''x'' + 4}} को {{Math|''x''}} के अवरोही घातों में लिखा जाता है। पहले पद का गुणांक {{Math|3}}, अनिश्चित {{Math|''x''}}, और घातांक {{Math|2}} है। दूसरे पद में, गुणांक {{Nowrap|is {{math|−5}}}} । तीसरा पद एक स्थिरांक है। चूँकि गैर-शून्य ''बहुपद'' की घात किसी एक पद की सबसे बड़ी घात होती है, इसलिए इस बहुपद की घात दो होती है।<ref>{{harvnb|Edwards|1995|p=[https://books.google.com/books?id=ylFR4h5BIDEC&pg=PA78 78]}}</ref> समान अनिश्चितता वाले दो शब्दों को समान शक्तियों के लिए उठाया जाता है, उन्हें "समान चर " या "सदृश चर" कहा जाता है, और उन्हें वितरण नियम का उपयोग करके एक एकल पद में संयोजित किया जा सकता है जिसका गुणांक पदों के गुणांकों का योग है। ऐसा हो सकता है कि यह गुणांक 0 बनाता है।<ref name="Edwards-1995-p47" />बहुपदों को अशून्य गुणांक वाले पदों की संख्या के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है ताकि एक पद वाले बहुपद को एकपदी कहा जा सके,,{{efn|Some authors use "monomial" to mean "[[monic polynomial|monic]] monomial". See {{cite book |first=Anthony W. |last=Knapp |title=Advanced Algebra: Along with a Companion Volume Basic Algebra |page=457 |year=2007 |publisher=Springer |isbn=978-0-8176-4522-9}}}} दो-पद वाले बहुपद को द्विपद कहा जाता है, और तीन-पद वाले बहुपद को त्रिपद कहा जाता है। शब्द "चतुर्भुज" का प्रयोग कभी-कभी चार-पद के बहुपद के लिए किया जाता है।

:<~~math~~>~~(((((a_n~~ x + a_{~~n-1~~})x ~~+ a_~~{n-2}~~)x + \dotsb + a_3)x + a_2)x + a_1)x + a_0~~.</~~math~~>

एक वास्तविक बहुपद [[:hi:वास्तविक संख्या|वास्तविक]] गुणांक वाला बहुपद है। जब किसी [[:hi:फलन|फलन]] को परिभाषित करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है, तो [[:hi:फलन का प्रभावक्षेत्र|डोमेन]] इतना प्रतिबंधित नहीं होता है। हालाँकि, एक वास्तविक बहुपद फलन वास्तविक से वास्तविक तक का एक फलन है जिसे वास्तविक बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है। इसी तरह, एक पूर्णांक बहुपद [[:hi:पूर्णांक|पूर्णांक]] गुणांक वाला बहुपद है, और एक जटिल बहुपद [[:hi:समिश्र संख्या|जटिल]] गुणांक वाला बहुपद है।

एक अनिश्चित बहुपद को एक अविभाज्य बहुपद कहा जाता है, और एक से अधिक अनिश्चित बहुपद को "बहुभिन्नरूपी बहुपद" कहा जाता है। दो अनिश्चितों वाले बहुपद को द्विपद बहुपद कहते हैं।<ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Polynomial|url=https://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> ये धारणाएं आम तौर पर उन बहुपदों के प्रकारों को संदर्भित करती हैं जो अलग-अलग बहुपदों की तुलना में उन पर काम करती हैं; उदाहरण के लिए, जब अविभाज्य बहुपदों (univariate polynomials) के साथ काम करते हैं, तो कोई निरंतर बहुपद (जो गैर-स्थिर बहुपदों के घटाव के परिणामस्वरूप हो सकता है) को बाहर नहीं करता है, हालांकि कड़ाई से बोलते हुए, निरंतर बहुपद में कोई भी अनिश्चित नहीं होता है। अनुमत अनिश्चितताओं की अधिकतम संख्या के अनुसार, बहुभिन्नरूपी बहुपदों को ''द्विपद'', ''त्रिपद'', आदि के रूप में वर्गीकृत करना संभव है। फिर से, ताकि विचाराधीन वस्तुओं के सेट को घटाव के तहत बंद किया जा सके, ट्रिवेरिएट बहुपदों का एक अध्ययन आमतौर पर द्विचर बहुपदों की अनुमति देता है, और इसी तरह। यह कहना भी आम है कि " {{Math|''x'', ''y''}}, और {{Math|''z''}} में बहुपद ", अनुमत अनिश्चितों को सूचीबद्ध करते हैं।

बहुपद के मूल्यांकन में प्रत्येक अनिश्चित के लिए एक संख्यात्मक मान को प्रतिस्थापित करना और संकेतित गुणन और परिवर्धन करना शामिल है। अनिश्चित बहुपद के लिए, [[हॉर्नर की विधि]] का उपयोग करके मूल्यांकन आम तौर पर अधिक कुशल होता है (प्रदर्शन करने के लिए अंकगणितीय संचालन की कम संख्या):

एक अनिश्चित बहुपद के लिए, मूल्यांकन आमतौर पर हॉर्नर की विधि का उपयोग करके अधिक कुशल होता है

:

<math>(((((a_n x + a_{n-1})x + a_{n-2})x + \dotsb + a_3)x + a_2)x + a_1)x + a_0.</math>

== अंकगणित ==

=== जोड़ और घटाव ===

~~Polynomials~~ को जोड़ के साहचर्य ~~कानून (एक ही राशि में एक साथ सभी शर्तों को समूहित करना)~~ का उपयोग करके जोड़ा जा सकता है, संभवतः इसके बाद (~~कम्यूटेटिव~~ कानून का उपयोग ~~करके~~) और ~~जैसे शब्दों का~~ संयोजन किया जाता है।<ref name="Edwards-1995-p47">{{cite book |last=Edwards |first=Harold M. |title=Linear Algebra |publisher=Springer |year=1995 |isbn=978-0-8176-3731-6 |page=47 |url=https://books.google.com/books?id=ylFR4h5BIDEC&pg=PA47}}</ref><ref>{{cite book |last=Salomon |first=David |title=Coding for Data and Computer Communications |publisher=Springer |year=2006 |isbn=978-0-387-23804-3 |page=459 |url=https://books.google.com/books?id=Zr9bjEpXKnIC&pg=PA459}}</ref> उदाहरण के लिए, यदि

जोड़ के साहचर्य नियम का उपयोग करकेबहुपदों को जोड़ के साहचर्य नियम का उपयोग करके जोड़ा जा सकता है (उनके सभी पदों को एक साथ योग में समूहित करना),संभवतः इसके बाद समान पदों (कम्यूटिव कानून का उपयोग करते हुए) का पुनर्क्रमण और संयोजन '''किया जाता है।'''

<ref name="Edwards-1995-p47">{{cite book |last=Edwards |first=Harold M. |title=Linear Algebra |publisher=Springer |year=1995 |isbn=978-0-8176-3731-6 |page=47 |url=https://books.google.com/books?id=ylFR4h5BIDEC&pg=PA47}}</ref><ref>{{cite book |last=Salomon |first=David |title=Coding for Data and Computer Communications |publisher=Springer |year=2006 |isbn=978-0-387-23804-3 |page=459 |url=https://books.google.com/books?id=Zr9bjEpXKnIC&pg=PA459}}</ref>

उदाहरण के लिए, यदि

:<math> P = 3x^2 - 2x + 5xy - 2 </math> तथा <math> Q = -3x^2 + 3x + 4y^2 + 8</math>

फिर योग

:<math>P + Q = 3x^2 - 2x + 5xy - 2 - 3x^2 + 3x + 4y^2 + 8 </math>

के रूप में ~~फिर से संगठित~~ और ~~फिर से संगठित~~ किया जा सकता है

के रूप में पुन: व्यवस्थित और पुन: समूहित किया जा सकता है

:<math>P + Q = (3x^2 - 3x^2) + (- 2x + 3x) + 5xy + 4y^2 + (8 - 2) </math>

और फिर ~~सरल हो गया~~

और फिर सरलीकृत करने के लिए

:<math>P + Q = x + 5xy + 4y^2 + 6.</math>

जब ~~बहुपद~~ को एक साथ जोड़ा जाता है, तो परिणाम एक और बहुपद होता है।<ref name=":0">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=PagNAQAAIAAJ&q=the+addition+of+polynomials+is+an+operation+that+takes+any+two+polynomials+and+produce+always+another+polynomial,|title=Introduction to Algebra|date=1965|publisher=Yale University Press|pages=621|language=en|quote=Any two such polynomials can be added, subtracted, or multiplied. Furthermore , the result in each case is another polynomial}}</ref>

जब बहुपदों को एक साथ जोड़ा जाता है, तो परिणाम एक और बहुपद होता है।<ref name=":0">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=PagNAQAAIAAJ&q=the+addition+of+polynomials+is+an+operation+that+takes+any+two+polynomials+and+produce+always+another+polynomial,|title=Introduction to Algebra|date=1965|publisher=Yale University Press|pages=621|language=en|quote=Any two such polynomials can be added, subtracted, or multiplied. Furthermore , the result in each case is another polynomial}}</ref>

~~बहुपद~~ का घटाव समान है।

बहुपदों का घटाव समान होता है।

=== गुणन ===

~~बहुपद~~ भी गुणा किया जा सकता ~~है।दो~~ बहुपदों के ~~उत्पाद का विस्तार~~ करने के लिए~~, शर्तों के योग में~~, वितरण ~~कानून~~ को बार -बार लागू किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप

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बहुपद: Difference between revisions

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 {{Short description|Type of mathematical expressions}}
-{{for|less elementary aspects of the subject|Polynomial ring}}
+{{for|विषय के कम प्राथमिक पहलू|बहुपद वलय}}
-[[:hi:गणित|गणित]] में, '''बहुपद''' एक ऐसा [[:hi:व्यंजक|व्यंजक]] है जिसमें [[:hi:अनिश्चित (चर)|अनिश्चित]] ([[:hi:चर|चर]] भी कहा जाता है) और [[:hi:गुणक|गुणांक]] होते हैं, जिसमें केवल [[:hi:जोड़|जोड़]], [[:hi:घटाना|घटाव]], [[:hi:गुणा|गुणा]], और चर के गैर-ऋणात्मक [[:hi:पूर्णांक|पूर्णांक]] [[:hi:घातांक|घातांक]] के संचालन सम्मिलित होते हैं। अनिश्चित {{Math|''x''}} के बहुपद का एक उदाहरण: {{Math|''x''<sup>2</sup> − 4''x'' + 7}} है। तीन चरों में एक उदाहरण: {{Math|''x''<sup>3</sup> + 2''xyz''<sup>2</sup> − ''yz'' + 1}} है।
+'''बहुपद,''' [[:hi:गणित|गणित]] में वह [[:hi:व्यंजक|व्यंजक]] है जिसमें [[:hi:अनिश्चित (चर)|अनिश्चित पद]] और [[:hi:गुणक|गुणांक]] होते हैं, जिसमें केवल [[:hi:जोड़|जोड़]], [[:hi:घटाना|घटाव]], [[:hi:गुणा|गुणा]], और पद के गैर-ऋणात्मक [[:hi:पूर्णांक|पूर्णांक]] [[:hi:घातांक|घातांक]] के संचालन सम्मिलित होते हैं। अनिश्चित {{Math|''x''}} के बहुपद का एक उदाहरण: {{Math|''x''<sup>2</sup> − 4''x'' + 7}} है। तीन चरों में एक उदाहरण: {{Math|''x''<sup>3</sup> + 2''xyz''<sup>2</sup> − ''yz'' + 1}} है।
-गणित और विज्ञान के कई क्षेत्रों में बहुपद उपस्थित होता है। उदाहरण: उनका उपयोग [[बहुपद समीकरण]] बनाने के लिए किया जाता है, जो प्राथमिक शब्द समस्याओं से लेकर जटिल वैज्ञानिक समस्याओं तक, समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला को एन्कोड करते हैं;उनका उपयोग बहुपद कार्यों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जो बुनियादी रसायन विज्ञान और भौतिकी से लेकर अर्थशास्त्र और सामाजिक विज्ञान तक की सेटिंग्स में दिखाई देते हैं;वे अन्य कार्यों को अनुमानित करने के लिए कैलकुलस और संख्यात्मक विश्लेषण में उपयोग किए जाते हैं।उन्नत गणित में, बहुपद का उपयोग बहुपद के छल्ले और बीजगणितीय किस्मों के निर्माण के लिए किया जाता है, जो बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में केंद्रीय अवधारणाएं हैं।
+गणित और विज्ञान के कई क्षेत्रों में बहुपद उपस्थित होता है। '''उदाहरण''': उनका उपयोग [[बहुपद समीकरण]] बनाने के लिए किया जाता है, जो प्राथमिक शब्द समस्याओं से लेकर जटिल वैज्ञानिक समस्याओं तक, समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला को एन्कोड करते हैं;उनका उपयोग बहुपद फलनको परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जो बुनियादी रसायन विज्ञान और भौतिकी से लेकर अर्थशास्त्र और सामाजिक विज्ञान तक की सेटिंग्स में दिखाई देते हैं;वे अन्य फलनको अनुमानित करने के लिए कैलकुलस और संख्यात्मक विश्लेषण में उपयोग किए जाते हैं। उन्नत गणित में, बहुपद का उपयोग बहुपद के वलय और बीजगणितीय विविधता के निर्माण के लिए किया जाता है, जो बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में केंद्रीय अवधारणाएं हैं।
 == व्युत्पत्ति ==
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 == संकेतन और शब्दावली ==
 [[File:Polynomialdeg3.svg|thumb|ग्राफ 3 के बहुपद फलन का आलेख]]
-बहुपद में होने वाले x को आमतौर पर एक चर या अनिश्चित कहा जाता है। जब बहुपद को व्यंजक के रूप में माना जाता है, तो x एक निश्चित प्रतीक है जिसका कोई मान नहीं है (इसका मान "अनिश्चित" है)। हालांकि, जब कोई बहुपद द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन पर विचार करता है, तो x फ़ंक्शन के तर्क का प्रतिनिधित्व करता है, और इसलिए इसे "चर" कहा जाता है। कई लेखक इन दोनों शब्दों का परस्पर प्रयोग करते हैं।
+बहुपद में होने वाले x को आमतौर पर एक चर या अनिश्चित कहा जाता है। जब बहुपद को व्यंजक के रूप में माना जाता है, तो x एक निश्चित प्रतीक है जिसका कोई मान नहीं है (इसका मान "अनिश्चित" है)। हालांकि, जब कोई बहुपद द्वारा परिभाषित फलन पर विचार करता है, तो x फलन के तर्क का प्रतिनिधित्व करता है, और इसलिए इसे "चर" कहा जाता है। कई लेखक इन दोनों शब्दों का परस्पर प्रयोग करते हैं।
-अनिश्चित (इंडेटरमिनते) ''x'' में एक बहुपद ''P'' को आमतौर पर या तो ''P'' या ''P'' (''x'') के रूप में दर्शाया जाता है। औपचारिक रूप से, बहुपद का नाम ''P'' है, न कि ''P'' (''x''), लेकिन [[:hi:फलन|कार्यात्मक संकेतन]] ''P'' (''x'') का उपयोग उस समय से होता है जब बहुपद और संबंधित फ़ंक्शन के बीच का अंतर स्पष्ट नहीं था। इसके अलावा, कार्यात्मक संकेतन अक्सर एक वाक्यांश, एक बहुपद और उसके अनिश्चित में निर्दिष्ट करने के लिए उपयोगी होता है। उदाहरण के लिए, "मान लीजिए P (x) एक बहुपद है" के लिए एक आशुलिपि है" "मान लीजिए ''P'' अनिश्चित ''x'' में एक बहुपद है" के लिए एक आशुलिपि है। दूसरी ओर, जब अनिश्चित के नाम पर जोर देना आवश्यक नहीं है, तो कई सूत्र बहुत सरल और पढ़ने में आसान होते हैं यदि बहुपद की प्रत्येक घटना में अनिश्चित के नाम प्रकट नहीं होते हैं।
+अनिश्चित (इंडेटरमिनते) ''x'' में एक बहुपद ''P'' को आमतौर पर या तो ''P'' या ''P'' (''x'') के रूप में दर्शाया जाता है। औपचारिक रूप से, बहुपद का नाम ''P'' है, न कि ''P'' (''x''), लेकिन [[:hi:फलन|कार्यात्मक संकेतन]] ''P'' (''x'') का उपयोग उस समय से होता है जब बहुपद और संबंधित फलन के बीच का अंतर स्पष्ट नहीं था। इसके अलावा, कार्यात्मक संकेतन अक्सर एक वाक्यांश, एक बहुपद और उसके अनिश्चित में निर्दिष्ट करने के लिए उपयोगी होता है। उदाहरण के लिए, "मान लीजिए P (x) एक बहुपद है" के लिए एक आशुलिपि है" "मान लीजिए ''P'' अनिश्चित ''x'' में एक बहुपद है" के लिए एक आशुलिपि है। दूसरी ओर, जब अनिश्चित के नाम पर जोर देना आवश्यक नहीं है, तो कई सूत्र बहुत सरल और पढ़ने में आसान होते हैं यदि बहुपद की प्रत्येक घटना में अनिश्चित के नाम प्रकट नहीं होते हैं।
-गणितीय वस्तु के लिए दो अंकन होने की अस्पष्टता को बहुपद के लिए कार्यात्मक संकेतन के सामान्य अर्थ पर विचार करके औपचारिक रूप से हल किया जा सकता है। यदि a एक संख्या, एक चर, एक अन्य बहुपद, या, अधिक सामान्य रूप से, किसी भी अभिव्यक्ति को दर्शाता है, तो P(a) परंपरा द्वारा, P में x के लिए a को प्रतिस्थापित करने के परिणाम को दर्शाता है। इस प्रकार, बहुपद P फ़ंक्शन को परिभाषित करता है।
+गणितीय वस्तु के लिए दो अंकन होने की अस्पष्टता को बहुपद के लिए कार्यात्मक संकेतन के सामान्य अर्थ पर विचार करके औपचारिक रूप से हल किया जा सकता है। यदि a एक संख्या, एक चर, एक अन्य बहुपद, या, अधिक सामान्य रूप से, किसी भी अभिव्यक्ति को दर्शाता है, तो P(a) परंपरा द्वारा, P में x के लिए a को प्रतिस्थापित करने के परिणाम को दर्शाता है। इस प्रकार, बहुपद P फलन को परिभाषित करता है।
 <math>a\mapsto P(a),</math>
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 जो कि P से जुड़ा एक बहुपद फलन है। अक्सर, इस संकेतन का उपयोग करते समय, कोई यह मान लेता है कि a एक संख्या है। हालाँकि, कोई भी इसका उपयोग किसी भी डोमेन में कर सकता है जहाँ जोड़ और गुणा परिभाषित हैं (अर्थात कोई भी रिंग)। विशेष रूप से, यदि a एक बहुपद है तो P(a) भी एक बहुपद है।
-अधिक विशेष रूप से, जब ''a'' अनिश्चित ''x'' है, तो इस फ़ंक्शन द्वारा ''x'' की [[:hi:छवि (गणित)|छवि]] बहुपद ''P'' ही है (''x'' के लिए ''x'' को प्रतिस्थापित करने से कुछ भी नहीं बदलता है)।
+अधिक विशेष रूप से, जब ''a'' अनिश्चित ''x'' है, तो इस फलन द्वारा ''x'' की [[:hi:छवि (गणित)|छवि]] बहुपद ''P'' ही है (''x'' के लिए ''x'' को प्रतिस्थापित करने से कुछ भी नहीं बदलता है)।
 दूसरे शब्दों में,
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 <math>a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dotsb + a_2 x^2 + a_1 x + a_0,</math>
-जहाँ पे <math>a_0, \ldots, a_n</math> अचर हैं जो बहुपद के ''गुणांक'' कहलाते हैं, और <math>x</math> अनिश्चित है। <ref name=":12">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Polynomial|url=https://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> "अनिश्चित" शब्द का अर्थ है कि <math>x</math> किसी विशेष मूल्य का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, हालांकि इसके लिए किसी भी मूल्य को प्रतिस्थापित किया जा सकता है। मैपिंग जो इस प्रतिस्थापन के परिणाम को प्रतिस्थापित मान से जोड़ता है वह एक [[:hi:फलन|फ़ंक्शन है]], जिसे ''बहुपद फ़ंक्शन'' कहा जाता है।
+जहाँ पे <math>a_0, \ldots, a_n</math> अचर हैं जो बहुपद के ''गुणांक'' कहलाते हैं, और <math>x</math> अनिश्चित है। <ref name=":12">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Polynomial|url=https://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> "अनिश्चित" शब्द का अर्थ है कि <math>x</math> किसी विशेष मूल्य का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, हालांकि इसके लिए किसी भी मूल्य को प्रतिस्थापित किया जा सकता है। मैपिंग जो इस प्रतिस्थापन के परिणाम को प्रतिस्थापित मान से जोड़ता है वह एक [[:hi:फलन|फलन है]], जिसे ''बहुपद फलन'' कहा जाता है।
 इसे और अधिक संक्षिप्त रूप से [[:hi:संकलन|योग संकेतन]] का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है:
@@ Line 41: / Line 41: @@
 <math>\sum_{k=0}^n a_k x^k</math>
-अर्थात्, एक बहुपद या तो शून्य हो सकता है या गैर-शून्य [[:hi:जोड़|पदों]] की एक परिमित संख्या के योग के रूप में लिखा जा सकता है। प्रत्येक पद में एक संख्या . का गुणनफल होता है{{Snd}}शब्द का [[:hi:गुणक|गुणांक]] कहा जाता है {{Efn|The coefficient of a term may be any number from a specified set. If that set is the set of real numbers, we speak of "polynomials over the reals". Other common kinds of polynomials are polynomials with integer coefficients, polynomials with complex coefficients, and polynomials with coefficients that are integers [[modular arithmetic|modulo]] some [[prime number]] {{math|''p''}}.}}और अनिश्चित की एक सीमित संख्या, गैर-ऋणात्मक पूर्णांक शक्तियों तक विस्तारित '''की गयी है।'''
+अर्थात्, एक बहुपद या तो शून्य हो सकता है या गैर-शून्य [[:hi:जोड़|पदों]] की एक परिमित संख्या के योग के रूप में लिखा जा सकता है। प्रत्येक पद में एक संख्या . का गुणनफल होता है{{Snd}}शब्द का [[:hi:गुणक|गुणांक]] कहा जाता है {{Efn|The coefficient of a term may be any number from a specified set. If that set is the set of real numbers, we speak of "polynomials over the reals". Other common kinds of polynomials are polynomials with integer coefficients, polynomials with complex coefficients, and polynomials with coefficients that are integers [[modular arithmetic|modulo]] some [[prime number]] {{math|''p''}}.}}और अनिश्चित की एक सीमित संख्या, गैर-ऋणात्मक पूर्णांक शक्तियों तक विस्तारित की गयी है।
-== वर्गीकरण ==
+== '''वर्गीकरण''' ==
-{{Further|Degree of a polynomial}}
+{{Further|बहुपद की घात}}
-एक शब्द में एक अनिश्चितता पर घातांक को उस शब्द में उस अनिश्चितता की डिग्री कहा जाता है;शब्द की डिग्री उस शब्द में अनिश्चितताओं की डिग्री का योग है, और एक बहुपद की डिग्री गैर -गुणांक के साथ किसी भी शब्द की सबसे बड़ी डिग्री है।<ref name=":2">{{Cite web|title=Polynomials {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|url=https://brilliant.org/wiki/polynomials/|access-date=2020-08-28|website=brilliant.org|language=en-us}}</ref> क्योंकि {{math|''x'' {{=}} ''x''<sup>1</sup>}}, एक लिखित प्रतिपादक के बिना एक अनिश्चित की डिग्री एक है।
+किसी पद में अनिश्चित काल के घातांक को उस पद में अनिश्चित काल की घात कहते हैं। किसी पद की घात उस पद की अनिश्चितताओं की घातों का योग है, और बहुपद की घात अशून्य गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात है। क्योंकि {{Math|''x'' {{=}} ''x''<sup>1</sup>}}, एक लिखित घातांक के बिना एक अनिश्चित की डिग्री एक है।
-{{anchor|constant polynomial}}
+जिस पद में कोई अनिश्चितता न हो और एक बहुपद जिसमें कोई अनिश्चितता न हो, तो उसे क्रमशः अचर पद और अचर बहुपद कहते हैं।{{efn|This terminology dates from the time when the distinction was not clear between a polynomial and the function that it defines: a constant term and a constant polynomial define [[constant function]]s.{{citation needed|date=July 2020}}}} अचर पद और अशून्य स्थिर बहुपद की घात 0 है। 0 की घात (जिसका कोई पद नहीं है) के लिए शून्य बहुपद को आमतौर पर परिभाषित नहीं माना जाता है (नीचे देखें)।<ref name=Barbeau-2003-pp1-2>{{harvnb|Barbeau|2003|pp=[https://books.google.com/books?id=CynRMm5qTmQC&pg=PA1 1]–2}}</ref>
-बिना किसी अनिश्चितता के साथ एक शब्द और बिना किसी अनिश्चित के एक बहुपद को क्रमशः कहा जाता है, एक निरंतर शब्द और एक निरंतर बहुपद।{{efn|This terminology dates from the time when the distinction was not clear between a polynomial and the function that it defines: a constant term and a constant polynomial define [[constant function]]s.{{citation needed|date=July 2020}}}} एक निरंतर शब्द की डिग्री और एक नॉनज़ेरो निरंतर बहुपद की डिग्री 0. शून्य बहुपद 0 की डिग्री है (जिसमें कोई शब्द नहीं है) को आमतौर पर परिभाषित नहीं माना जाता है (लेकिन नीचे देखें)।<ref name=Barbeau-2003-pp1-2>{{harvnb|Barbeau|2003|pp=[https://books.google.com/books?id=CynRMm5qTmQC&pg=PA1 1]–2}}</ref>
-उदाहरण के लिए:
-:<math> -5x^2y </math>
-एक शब्द है।गुणांक है {{math|−5}}, अनिश्चित हैं {{math|''x''}} तथा {{math|''y''}}, की उपाधि {{math|''x''}} दो है, जबकि की डिग्री {{math|''y''}} एक है।पूरे शब्द की डिग्री इसमें प्रत्येक अनिश्चितता की डिग्री का योग है, इसलिए इस उदाहरण में डिग्री है {{math|2 + 1 {{=}} 3}}।
-कई शब्दों का योग बनाने से एक बहुपद पैदा होता है।उदाहरण के लिए, निम्नलिखित एक बहुपद है:
+'''उदाहरण के लिए:'''
-:<math>\underbrace{_\,3x^2}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{1}\end{smallmatrix}} \underbrace{-_\,5x}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{2}\end{smallmatrix}} \underbrace{+_\,4}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{3}\end{smallmatrix}}. </math>
-इसमें तीन शब्द होते हैं: पहला डिग्री दो है, दूसरा डिग्री एक है, और तीसरा डिग्री शून्य है।
-{{anchor|linear polynomial}}छोटी डिग्री के बहुपद को विशिष्ट नाम दिए गए हैं।डिग्री शून्य का एक बहुपद एक निरंतर बहुपद है, या बस एक स्थिर है।डिग्री एक, दो या तीन के बहुपद क्रमशः रैखिक बहुपद, द्विघात बहुपद और क्यूबिक बहुपद हैं।<ref name=":2" />उच्च डिग्री के लिए, विशिष्ट नामों का आमतौर पर उपयोग नहीं किया जाता है, हालांकि चतुर्थक बहुपद (डिग्री चार के लिए) और क्विंटिक बहुपद (डिग्री पांच के लिए) कभी -कभी उपयोग किए जाते हैं।डिग्री के नाम बहुपद या इसकी शर्तों पर लागू किए जा सकते हैं।उदाहरण के लिए, शब्द {{math|2''x''}} में {{math|''x''<sup>2</sup> + 2''x'' + 1}} एक द्विघात बहुपद में एक रैखिक शब्द है।
+<math> -5x^2y </math>
+:
+यह एक पद है। गुणांक -5 है, अनिश्चित x और y हैं, x की डिग्री दो है, जबकि y की डिग्री एक है। संपूर्ण पद की घात इसमें प्रत्येक अनिश्चित की घातों का योग है, इसलिए इस उदाहरण में घात {{Math|2 + 1 {{=}} 3}} है।
-{{anchor|zero polynomial}}बहुपद 0, जिसे कोई शर्त नहीं माना जा सकता है, को शून्य बहुपद कहा जाता है।अन्य निरंतर बहुपद के विपरीत, इसकी डिग्री शून्य नहीं है।बल्कि, शून्य बहुपद की डिग्री या तो स्पष्ट रूप से अपरिभाषित छोड़ दी जाती है, या नकारात्मक के रूप में परिभाषित की जाती है (या तो −1 या −−)।<ref>{{MathWorld |urlname=ZeroPolynomial |title=Zero Polynomial}}</ref> शून्य बहुपद भी अद्वितीय है कि यह एक अनिश्चित में एकमात्र बहुपद है जिसमें जड़ों की एक अनंत संख्या होती है।शून्य बहुपद का ग्राफ, {{math|''f''(''x'') {{=}} 0}}, एक्स-एक्सिस है।
+अनेक पदों के योग से एक बहुपद बनता है। '''उदाहरण के लिए, निम्नलिखित एक बहुपद है:'''
-एक से अधिक अनिश्चितता में बहुपद के मामले में, एक बहुपद को सजातीय कहा जाता है {{nowrap|degree {{math|''n''}}}} यदि इसके सभी गैर-शून्य शर्तें हैं {{nowrap|degree {{math|''n''}}}}।शून्य बहुपद सजातीय है, और, एक सजातीय बहुपद के रूप में, इसकी डिग्री अपरिभाषित है।{{efn|In fact, as a [[homogeneous function]], it is homogeneous of ''every'' degree.{{citation needed|date=July 2020}}}} उदाहरण के लिए, {{math|''x''<sup>3</sup>''y''<sup>2</sup> + 7''x''<sup>2</sup>''y''<sup>3</sup> − 3''x''<sup>5</sup>}} डिग्री 5 का सजातीय है। अधिक जानकारी के लिए, सजातीय बहुपद देखें।
+<math>\underbrace{_\,3x^2}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{1}\end{smallmatrix}} \underbrace{-_\,5x}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{2}\end{smallmatrix}} \underbrace{+_\,4}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{3}\end{smallmatrix}}. </math>
+:
+इसके तीन पद हैं: पहली डिग्री दो है, दूसरी डिग्री एक है, और तीसरी डिग्री शून्य है।
-इसके अतिरिक्त कानून का उपयोग किसी भी पसंदीदा आदेश में शर्तों को फिर से व्यवस्थित करने के लिए किया जा सकता है।एक अनिश्चित के साथ बहुपद में, शर्तों को आमतौर पर डिग्री के अनुसार आदेश दिया जाता है, या तो अवरोही शक्तियों में {{math|''x''}}, पहले सबसे बड़ी डिग्री के कार्यकाल के साथ, या आरोही शक्तियों में {{math|''x''}}।बहुपद {{math|3''x''<sup>2</sup> - 5''x'' + 4}} के अवरोही शक्तियों में लिखा गया है {{math|''x''}}।पहले कार्यकाल में गुणांक है {{math|3}}, अनिश्चित {{math|''x''}}, और प्रतिपादक {{math|2}}।दूसरे कार्यकाल में, गुणांक {{nowrap|is {{math|−5}}}}।तीसरा शब्द एक स्थिर है।क्योंकि एक गैर-शून्य बहुपद की डिग्री किसी एक शब्द की सबसे बड़ी डिग्री है, इस बहुपद की डिग्री दो है।<ref>{{harvnb|Edwards|1995|p=[https://books.google.com/books?id=ylFR4h5BIDEC&pg=PA78 78]}}</ref>
+छोटे भिन्नों के बहुपदों को विशेष नाम दिए गए हैं। शून्य घात वाला बहुपद एक अचर बहुपद या केवल एक अचर होता है। एक, दो या तीन घात वाले बहुपद क्रमशः ''रैखिक बहुपद,'' ''[[:hi:द्विघात फलन|द्विघात बहुपद]]'' और ''घन बहुपद'' होते हैं।<ref name=":2">{{Cite web|title=Polynomials {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|url=https://brilliant.org/wiki/polynomials/|access-date=2020-08-28|website=brilliant.org|language=en-us}}</ref> उच्च डिग्री के लिए, विशिष्ट नामों का आमतौर पर उपयोग नहीं किया जाता है, हालांकि कभी-कभी ''क्वार्टिक बहुपद'' (डिग्री चार के लिए) और ''क्विंटिक बहुपद'' (डिग्री पांच के लिए) का उपयोग किया जाता है। डिग्री के नाम बहुपद या इसकी शर्तों पर लागू हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, {{Math|''x''<sup>2</sup> + 2''x'' + 1}} में पद {{Math|2''x''}} एक द्विघात बहुपद में एक रैखिक पद है।
-एक ही शक्तियों के लिए उठाए गए एक ही अनिश्चितता के साथ दो शब्द समान शर्तों या जैसे शब्दों को कहा जाता है, और उन्हें एक ही शब्द में वितरण कानून का उपयोग करके संयुक्त किया जा सकता है, जिसका गुणांक उन शर्तों के गुणांक का योग है जो संयुक्त थे।ऐसा हो सकता है कि यह गुणांक 0 बनाता है।<ref name="Edwards-1995-p47"/>बहुपद को नॉनज़ेरो गुणांक के साथ शर्तों की संख्या से वर्गीकृत किया जा सकता है, ताकि एक-अवधि के बहुपद को एक मोनोमियल कहा जाता है,{{efn|Some authors use "monomial" to mean "[[monic polynomial|monic]] monomial". See {{cite book |first=Anthony W. |last=Knapp |title=Advanced Algebra: Along with a Companion Volume Basic Algebra |page=457 |year=2007 |publisher=Springer |isbn=978-0-8176-4522-9}}}} एक दो-अवधि के बहुपद को एक द्विपद कहा जाता है, और एक तीन-अवधि के बहुपद को ट्रिनोमियल कहा जाता है।क्वाड्रिनोमियल शब्द का उपयोग कभी-कभी चार-अवधि के बहुपद के लिए किया जाता है।
-{{anchor|real polynomial|complex polynomial|integer polynomial}}एक वास्तविक बहुपद वास्तविक गुणांक के साथ एक बहुपद है।जब इसका उपयोग किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, तो डोमेन इतना प्रतिबंधित नहीं होता है।हालांकि, एक वास्तविक बहुपद कार्य वास्तविक रूप से एक वास्तविक बहुपद द्वारा परिभाषित रियल के लिए एक फ़ंक्शन है।इसी तरह, एक पूर्णांक बहुपद पूर्णांक गुणांक के साथ एक बहुपद है, और एक जटिल बहुपद जटिल गुणांक के साथ एक बहुपद है।
+बहुपद 0, जिसे एक पद के रूप में नहीं माना जा सकता है, इसे शून्य बहुपद कहा जाता है। अन्य अचर बहुपदों के विपरीत, इसका घात शून्य नहीं होती है। बल्कि, शून्य बहुपद की डिग्री को या तो स्पष्ट रूप से अपरिभाषित छोड़ दिया जाता है, या ऋणात्मक (या तो -1 या −∞) के रूप में परिभाषित किया जाता है।<ref>{{MathWorld |urlname=ZeroPolynomial |title=Zero Polynomial}}</ref> शून्य बहुपद इस मायने में भी अद्वितीय है कि यह एक अनिश्चित में एकमात्र बहुपद है और साथ में जिसमें अनंत संख्या की मूलें होती हैं। शून्य बहुपद का ग्राफ, {{math|''f''(''x'') {{=}} 0}}, ''x'' -अक्ष (एक्सिस) है।
-{{anchor|univariate|bivariate|Number of variables|Multivariate polynomial}}एक अनिश्चित में एक बहुपद को एक अनिच्छुक बहुपद कहा जाता है, एक से अधिक अनिश्चितता में एक बहुपद को 'बहुभिन्नरूपी बहुपद' कहा जाता है।दो अनिश्चितताओं के साथ एक बहुपद को 'bivariate बहुपद' कहा जाता है।<ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Polynomial|url=https://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>ये धारणाएं उस तरह के बहुपद के बारे में अधिक बताती हैं जो आमतौर पर व्यक्तिगत बहुपदों की तुलना में काम कर रही है;उदाहरण के लिए, जब Univariate Polynomials के साथ काम करते हैं, तो कोई भी निरंतर बहुपद (जो गैर-स्थिर बहुपद के घटाव के परिणामस्वरूप हो सकता है) को बाहर नहीं करता है, हालांकि सख्ती से बोलने के लिए, निरंतर बहुपद में कोई भी अनिश्चितता नहीं होती है।बहुभिन्नरूपी बहुपद को आगे बढ़ाना संभव है, जो कि अधिकतम संख्या में अनिश्चितता की अधिकतम संख्या के अनुसार bivariate, trivariate, और इसी तरह के रूप में वर्गीकृत है।फिर से, ताकि विचाराधीन वस्तुओं का सेट घटाव के तहत बंद हो जाए, ट्रिविअरेट बहुपदों का एक अध्ययन आमतौर पर बीवरिएट बहुपद की अनुमति देता है, और इसी तरह।यह केवल बहुपद में कहना भी आम है {{math|''x'', ''y''}}, तथा {{math|''z''}}, अनुमत अनिश्चितता को सूचीबद्ध करना।
+एक से अधिक अनिश्चित बहुपदों के मामले में, एक बहुपद को {{Nowrap|degree {{math|''n''}}}} का ''समघात''  (होमोजेनियस) कहा जाता है, यदि इसके ''सभी'' गैर-शून्य पदों में {{Nowrap|degree {{math|''n''}}}} है। शून्य बहुपद ''समघात''  (होमोजेनियस पोलयनोमिअल) है, और एक सजातीय बहुपद के रूप में, इसकी डिग्री अपरिभाषित है।{{efn|In fact, as a [[homogeneous function]], it is homogeneous of ''every'' degree.{{citation needed|date=July 2020}}}} उदाहरण के लिए, {{math|''x''<sup>3</sup>''y''<sup>2</sup> + 7''x''<sup>2</sup>''y''<sup>3</sup> − 3''x''<sup>5</sup>}} डिग्री 5 का ''समघात'' है। अधिक जानकारी के लिए, ''समघात''  बहुपद देखें।
-{{anchor|evaluation}}एक बहुपद के मूल्यांकन में प्रत्येक अनिश्चितता के लिए एक संख्यात्मक मान को प्रतिस्थापित करना और संकेतित गुणन और परिवर्धन को बाहर ले जाना शामिल है।एक अनिश्चित में बहुपद के लिए, मूल्यांकन आमतौर पर हॉर्नर की विधि का उपयोग करके अधिक कुशल (प्रदर्शन करने के लिए अंकगणित संचालन की कम संख्या) है:
+जोड़ के क्रमविनिमेयता [[:hi:क्रमविनिमेयता|कम्यूटेटिव कानून]] का प्रयोग  किसी भी पसंदीदा क्रम में शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए किया जा सकता है। एक अनिश्चित के साथ बहुपदों में, शर्तों को आमतौर पर डिग्री के अनुसार आदेश दिया जाता है, या तो " {{Math|''x''}} की अवरोही शक्तियों" में, पहले सबसे बड़ी डिग्री की अवधि के साथ, या " {{Math|''x''}} की आरोही शक्तियों" में। बहुपद {{Math|3''x''<sup>2</sup> - 5''x'' + 4}} को {{Math|''x''}} के अवरोही घातों में लिखा जाता है। पहले पद का गुणांक {{Math|3}}, अनिश्चित {{Math|''x''}}, और घातांक {{Math|2}} है। दूसरे पद में, गुणांक {{Nowrap|is {{math|−5}}}} । तीसरा पद एक स्थिरांक है। चूँकि गैर-शून्य ''बहुपद'' की घात किसी एक पद की सबसे बड़ी घात होती है, इसलिए इस बहुपद की घात दो होती है।<ref>{{harvnb|Edwards|1995|p=[https://books.google.com/books?id=ylFR4h5BIDEC&pg=PA78 78]}}</ref> समान अनिश्चितता वाले दो शब्दों को समान शक्तियों के लिए उठाया जाता है, उन्हें "समान चर " या "सदृश चर" कहा जाता है, और उन्हें वितरण नियम का उपयोग करके एक एकल पद में संयोजित किया जा सकता है जिसका गुणांक पदों के गुणांकों का योग है। ऐसा हो सकता है कि यह गुणांक 0 बनाता है।<ref name="Edwards-1995-p47" />बहुपदों को अशून्य गुणांक वाले पदों की संख्या के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है ताकि एक पद वाले बहुपद को एकपदी कहा जा सके,,{{efn|Some authors use "monomial" to mean "[[monic polynomial|monic]] monomial". See {{cite book |first=Anthony W. |last=Knapp |title=Advanced Algebra: Along with a Companion Volume Basic Algebra |page=457 |year=2007 |publisher=Springer |isbn=978-0-8176-4522-9}}}} दो-पद वाले बहुपद को द्विपद कहा जाता है, और तीन-पद वाले बहुपद को त्रिपद कहा जाता है। शब्द "चतुर्भुज" का प्रयोग कभी-कभी चार-पद के बहुपद के लिए किया जाता है।
-:<math>(((((a_n x + a_{n-1})x + a_{n-2})x + \dotsb + a_3)x + a_2)x + a_1)x + a_0.</math>
+एक वास्तविक बहुपद [[:hi:वास्तविक संख्या|वास्तविक]] गुणांक वाला बहुपद है। जब किसी [[:hi:फलन|फलन]] को परिभाषित करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है, तो [[:hi:फलन का प्रभावक्षेत्र|डोमेन]] इतना प्रतिबंधित नहीं होता है। हालाँकि, एक वास्तविक बहुपद फलन वास्तविक से वास्तविक तक का एक फलन है जिसे वास्तविक बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है। इसी तरह, एक पूर्णांक बहुपद [[:hi:पूर्णांक|पूर्णांक]] गुणांक वाला बहुपद है, और एक जटिल बहुपद [[:hi:समिश्र संख्या|जटिल]] गुणांक वाला बहुपद है।
+एक अनिश्चित बहुपद को एक अविभाज्य बहुपद कहा जाता है, और एक से अधिक अनिश्चित बहुपद को "बहुभिन्नरूपी बहुपद" कहा जाता है। दो अनिश्चितों वाले बहुपद को द्विपद बहुपद कहते हैं।<ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Polynomial|url=https://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> ये धारणाएं आम तौर पर उन बहुपदों के प्रकारों को संदर्भित करती हैं जो अलग-अलग बहुपदों की तुलना में उन पर काम करती हैं; उदाहरण के लिए, जब अविभाज्य बहुपदों (univariate polynomials) के साथ काम करते हैं, तो कोई निरंतर बहुपद (जो गैर-स्थिर बहुपदों के घटाव के परिणामस्वरूप हो सकता है) को बाहर नहीं करता है, हालांकि कड़ाई से बोलते हुए, निरंतर बहुपद में कोई भी अनिश्चित नहीं होता है। अनुमत अनिश्चितताओं की अधिकतम संख्या के अनुसार, बहुभिन्नरूपी बहुपदों को ''द्विपद'', ''त्रिपद'', आदि के रूप में वर्गीकृत करना संभव है। फिर से, ताकि विचाराधीन वस्तुओं के सेट को घटाव के तहत बंद किया जा सके, ट्रिवेरिएट बहुपदों का एक अध्ययन आमतौर पर द्विचर बहुपदों की अनुमति देता है, और इसी तरह। यह कहना भी आम है कि " {{Math|''x'', ''y''}}, और {{Math|''z''}} में बहुपद ", अनुमत अनिश्चितों को सूचीबद्ध करते हैं।
+बहुपद के मूल्यांकन में प्रत्येक अनिश्चित के लिए एक संख्यात्मक मान को प्रतिस्थापित करना और संकेतित गुणन और परिवर्धन करना शामिल है। अनिश्चित बहुपद के लिए, [[हॉर्नर की विधि]] का उपयोग करके मूल्यांकन आम तौर पर अधिक कुशल होता है (प्रदर्शन करने के लिए अंकगणितीय संचालन की कम संख्या):
+एक अनिश्चित बहुपद के लिए, मूल्यांकन आमतौर पर हॉर्नर की विधि का उपयोग करके अधिक कुशल होता है
+:
+<math>(((((a_n x + a_{n-1})x + a_{n-2})x + \dotsb + a_3)x + a_2)x + a_1)x + a_0.</math>
 == अंकगणित ==
 === जोड़ और घटाव ===
-Polynomials को जोड़ के साहचर्य कानून (एक ही राशि में एक साथ सभी शर्तों को समूहित करना) का उपयोग करके जोड़ा जा सकता है, संभवतः इसके बाद (कम्यूटेटिव कानून का उपयोग करके) और जैसे शब्दों का संयोजन किया जाता है।<ref name="Edwards-1995-p47">{{cite book |last=Edwards |first=Harold M. |title=Linear Algebra |publisher=Springer |year=1995 |isbn=978-0-8176-3731-6 |page=47 |url=https://books.google.com/books?id=ylFR4h5BIDEC&pg=PA47}}</ref><ref>{{cite book |last=Salomon |first=David |title=Coding for Data and Computer Communications |publisher=Springer |year=2006 |isbn=978-0-387-23804-3 |page=459 |url=https://books.google.com/books?id=Zr9bjEpXKnIC&pg=PA459}}</ref> उदाहरण के लिए, यदि
+जोड़ के साहचर्य नियम का उपयोग करकेबहुपदों को जोड़ के साहचर्य नियम का उपयोग करके जोड़ा जा सकता है (उनके सभी पदों को एक साथ योग में समूहित करना),संभवतः इसके बाद समान पदों (कम्यूटिव कानून का उपयोग करते हुए) का पुनर्क्रमण और संयोजन '''किया जाता है।'''
+<ref name="Edwards-1995-p47">{{cite book |last=Edwards |first=Harold M. |title=Linear Algebra |publisher=Springer |year=1995 |isbn=978-0-8176-3731-6 |page=47 |url=https://books.google.com/books?id=ylFR4h5BIDEC&pg=PA47}}</ref><ref>{{cite book |last=Salomon |first=David |title=Coding for Data and Computer Communications |publisher=Springer |year=2006 |isbn=978-0-387-23804-3 |page=459 |url=https://books.google.com/books?id=Zr9bjEpXKnIC&pg=PA459}}</ref>
+उदाहरण के लिए, यदि
 :<math> P = 3x^2 - 2x + 5xy - 2 </math> तथा <math> Q = -3x^2 + 3x + 4y^2 + 8</math>
 फिर योग
 :<math>P + Q = 3x^2 - 2x + 5xy - 2 - 3x^2 + 3x + 4y^2 + 8 </math>
-के रूप में फिर से संगठित और फिर से संगठित किया जा सकता है
+के रूप में पुन: व्यवस्थित और पुन: समूहित किया जा सकता है
 :<math>P + Q = (3x^2 - 3x^2) +  (- 2x + 3x) + 5xy    + 4y^2 + (8 - 2) </math>
-और फिर सरल हो गया
+और फिर सरलीकृत करने के लिए
 :<math>P + Q = x + 5xy + 4y^2 + 6.</math>
-जब बहुपद को एक साथ जोड़ा जाता है, तो परिणाम एक और बहुपद होता है।<ref name=":0">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=PagNAQAAIAAJ&q=the+addition+of+polynomials+is+an+operation+that+takes+any+two+polynomials+and+produce+always+another+polynomial,|title=Introduction to Algebra|date=1965|publisher=Yale University Press|pages=621|language=en|quote=Any two such polynomials can be added, subtracted, or multiplied. Furthermore , the result in each case is another polynomial}}</ref>
+जब बहुपदों को एक साथ जोड़ा जाता है, तो परिणाम एक और बहुपद होता है।<ref name=":0">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=PagNAQAAIAAJ&q=the+addition+of+polynomials+is+an+operation+that+takes+any+two+polynomials+and+produce+always+another+polynomial,|title=Introduction to Algebra|date=1965|publisher=Yale University Press|pages=621|language=en|quote=Any two such polynomials can be added, subtracted, or multiplied. Furthermore , the result in each case is another polynomial}}</ref>
-बहुपद का घटाव समान है।
+बहुपदों का घटाव समान होता है।
 === गुणन ===
-बहुपद भी गुणा किया जा सकता है।दो बहुपदों के उत्पाद का विस्तार करने के लिए, शर्तों के योग में, वितरण कानून को बार -बार लागू किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप