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समीकरण
समीकरण
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Latest revision as of 17:58, 31 October 2022

समीकरण बनाना

वास्तविक समाधान में जाने से पहले, हमें समीकरणों पर कुछ प्रारंभिक संचालन करने की आवश्यकता है।

हमें प्रस्तावित प्रश्न की दी गई शर्तों से समीकरण (समी-करण, समी-करा या समी-क्रिया; समा, बराबर और कर् से करना; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने की आवश्यकता है। इसके लिए बीजगणित या अंकगणित की एक या एक से अधिक मूलभूत संक्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।

भास्कर द्वितीय कहते हैं: "यावत्-तावत् " को अज्ञात मात्रा का मान/मूल्य मान लें। फिर ठीक वैसा ही करें, जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है- किसी समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या भाग देना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।

File:Equation illustration colour.svg

बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण

बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण ^[1]से समझा जा सकता है।

राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के ज्यादा हैं। हम ठीक से नहीं जानते कि श्याम के पास कितने सिक्के हैं। उसके पास कितने भी सिक्के हो सकते हैं। लेकिन हम जानते हैं कि राम के सिक्कों की संख्या = श्याम के सिक्कों की संख्या + 10

हम 'श्याम के सिक्कों की संख्या' को अक्षर x से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।

x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,

राम के सिक्कों की संख्या = x+10

अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।

बीजगणित प्रतीकों के प्रयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं, जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।


क्रमांक	बीजीय व्यंजक का संघटक	संस्कृत शब्द	प्रतीक/चिह्न	उदाहरण
1	अज्ञात	यावत्तावत् कालकः नीलकः , ......	या का नी , ........	या ३५ का १४ नी ८२	35x 14y 82z
2	योगफल	योगः	-	या का या ३५ का १४	x + y 35x + 14y
3	गुणनफल	भावितम्	भा	याकाभा याकाभा ३२	xy 32xy
4	वर्ग	वर्गः	व	याव	x²
5	घनक्षेत्र	घनः	घ	याघ	x³
6	चौथी शक्ति	वर्ग-वर्गः	वव	यावव	x⁴
7	स्थायी अवधि	रूपम्	रू	रू ३२	32
8	ऋणात्मक	ऋणम्	मात्रा के ऊपर बिंदु (.)	. रू ४३२	-432

अक्षर 'या '(यावत्-तावत् का संक्षिप्त रूप),अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को 'याव ' कहा जाता था, जो यावत्-तावत्-वर्ग (वर्ग का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। स्थिर पद को 'रू 'अक्षर से निरूपित किया गया था, जो रूपा का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि उपरोक्त तालिका में दिखाया गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।

यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न या , का, और नी हैं। ये यावत्-तावत्, कालका और नीलका के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के गुणनफल को याकाभा के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ या और का दो अज्ञात हैं और भा उनके गुणनफल के लिए है।

निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।


क्रमांक	आधुनिक संकेतन	प्राचीन भारतीय संकेतन
1	x + 17	या १ रू १७
2	7x - 17	या ७ रू १७^.
3	18x – 8	या १८ रू ८^.
4	15x² + 17x - 2	याव १५ या ७ रू २^.
5	1x⁴ + 16x³ + 25x² + 8x + 6	यावव १ याघ १६ याव २५ या ८ रू ६
6	8x² + 12xy - 6xz -16x	याव ८ याकाभा १२ यानीभा ६^. या १६^.

हम देखेंगे कि प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।

समीकरण 10x - 8 = x² +1 पर विचार करें

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,

0x² + 10x - 8 = 1x² + 0x + 1

x², x¹, x⁰ (स्थिर पद/अवधि) की स्थितियों का निरीक्षण करने पर कुछ स्वरूप मिलता है? समीकरण लिखने का सामान्य तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम(descending order) में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।

ब्रह्मगुप्त ने समीकरण को समकरण या संकरण कहा है। इसका अर्थ है 'समान बनाना'। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा गया था। प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।

चतुर्वेद पृथूदकस्वामिन् (864 ईस्वी) ने ब्रह्म-स्फूट-सिद्धांत पर अपनी टिप्पणी में समीकरण 40x - 48 = x² + 51 को नीचे के रूप में लिखा है


देवनागरी	लिप्यंतरण		आधुनिक संकेतन
याव ० या ४० रू ४८^. याव १ या ० रू ५१	याव 0 या 40 rū 48^. याव 1 या 0 rū 51	⇒	0x² + 0 x - 8 = 1x² + 0x + 51

भास्कर द्वितीय के बीजगणित से समीकरण का एक और उदाहरण यहां दिया गया है:

x⁴ - 2x² - 400x = 9999

इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,

यावव १ याव २^. या ४^.०० रू ०

यावव ० याव ० या ० रू ९९९९

बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया

भास्कर द्वितीय बीजगणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए संक्रियाएँ इस प्रकार देते हैं :

स्याद्रूपवर्णाभिहतौ तु वर्णो द्वित्र्यादिकानां समजातिकानाम् ॥

वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।

भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥^[2]

"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल भाविता है। भिन्न आदि ज्ञात की स्थति में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) वही हैं जो अंकगणित में बताए गए हैं।"

बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव

भास्कर द्वितीय अज्ञात मात्राओं के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते हैं:

योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।^[3]

"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत/विषम शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"

व्याख्या:

जोड़ और घटाव समान पदों के साथ किया जा सकता है, और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना होता है। समान घातों के लिए उठाए गए समान अक्षर चर को समान पदों के रूप में माना जाता है। उदा., या ४,या ५, या ६ समान पद हैं। याव ७, याव ८, याव ९ भी समान पद हैं। का ३, का ७, का १५ भी समान पद हैं। वर्तमान में हम कहते हैं कि 4x, 5x, 6x समान पद हैं। इसी प्रकार 7x², 8x², 9x² समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं।जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 4x + 6x को 10x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 9x² - 7x² को 2x² के रूप में सरल बनाया जा सकता है।

विपरीत पद वे पद हैं, जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा: या ३, याव ३, याघ ४, का ५, काव, याकाभा । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x², 4x³, 5y, y², xy के रूप में दर्शाया जाता है।

बीजीय व्यंजकों का गुणन

बीजगणित गुणन का नियम देता इस प्रकार देता है -

गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।

अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥^[4]

"गुण्य को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और प्रश्न में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और करणी (surd/सर्ड) के वर्गों कि स्थिति में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के स्थिति में बताई गई आंशिक गुणनफलों (partial products) की विधि यहां भी लागू होती है।"

व्याख्या

प्राचीन भारतीय संकेतन	आधुनिक संकेतन
यदि या २ रू ४ और या ३ रू ५ क्रमशः गुण्य और गुणक हैं, उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:	यदि 2x + 4 और 3x + 5 क्रमशः गुण्य और गुणक हैं, उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:
गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ३ और रू ५	गुणक के दो पद हैं, अर्थात् 3x और 5
गुण्य को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है। (या २ रू ४)) X या ३ = याव ६ या १२ (या २ रू ४)) X रू ५ = या १० रू २०	गुण्य को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है। (2x + 4) X 3x = 6x² + 12x (2x + 4) X 5 = 10x + 20
परिणाम जोड़ें। गुणन परिणाम है:: याव् ६ या २२ रू २०	परिणाम जोड़ें। गुणन परिणाम है: 6x² + 22x + 20

यदि $ax+b$ और $cx+d$ क्रमशः गुण्य और गुणक हैं, तो उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:

गुणक के दो पद हैं, अर्थात् cx और d। गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।

$(ax+b)cx=acx^{2}+bcx$

$(a x + b$

[1]

[2]

[3]

[4]

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 == बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण ==
-बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण <ref>''A Primer to Bhāratīya Gaṇitam , Bhāratīya-Gaṇita-Praveśa- Part-1''. Samskrit Promotion Foundation. 2021. [[ISBN (identifier)|ISBN]] [[Special:BookSources/978-81-951757-2-7|<bdi>978-81-951757-2-7</bdi>]].</ref>से समझा जा सकता है।
+बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण <ref>भारतीय गणितम के लिए एक प्राइमर, भारतीय-गणित-प्रवेश- भाग -1। संस्कृत प्रमोशन फाउंडेशन।''(A Primer to Bhāratīya Gaṇitam , Bhāratīya-Gaṇita-Praveśa- Part-1''. Samskrit Promotion Foundation.) 2021. [[ISBN (identifier)|ISBN]] [[Special:BookSources/978-81-951757-2-7|<bdi>978-81-951757-2-7</bdi>]].</ref>से समझा जा सकता है।
 राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के ज्यादा हैं। हम ठीक से नहीं जानते कि श्याम के पास कितने सिक्के  हैं। उसके पास कितने भी सिक्के हो सकते हैं। लेकिन हम जानते हैं कि राम के सिक्कों की संख्या = श्याम  के सिक्कों की संख्या + 10
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 ''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।''
-''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<ref>Bījagaṇita, ch. Avyaktādi-guṇana, vs.6,7, p.8</ref>
+''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<ref>बीजगणित, अध्या. अव्यक्तदि-गुणन , बनाम 6,7, पृ.8(Bījagaṇita, ch. Avyaktādi-guṇana, vs.6,7, p.8)</ref>
 "एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल ''भाविता''  है। भिन्न आदि ज्ञात की स्थति में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) वही हैं जो अंकगणित में बताए गए हैं।"
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 भास्कर  द्वितीय अज्ञात मात्राओं के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते  हैं:
-''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<ref>Bījagaṇita ch. Avyakta-saṅkalana-vyavakalana, vs.6, p.7</ref>
+''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<ref>बीजगणित अध्या. अव्यक्त-संकलन-व्यवकलन, बनाम 6, पृ.7(Bījagaṇita ch. Avyakta-saṅkalana-vyavakalana, vs.6, p.7)</ref>
 "जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत/विषम शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"
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 ''गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।''
-''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<ref>Bījagaṇita ch. Avyaktādi-guṇana, vs.8, p.8</ref>
+''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<ref>बीजगणित अध्या. अव्यक्तदि-गुणन , बनाम.8, पृ.8(Bījagaṇita ch. Avyaktādi-guṇana, vs.8, p.8)</ref>
 "गुण्य को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और प्रश्न  में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और करणी (surd/सर्ड) के वर्गों कि स्थिति में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के स्थिति  में बताई गई आंशिक  गुणनफलों  (partial products) की विधि यहां भी लागू होती है।"
@@ Line 365: / Line 365: @@
 ''अव्यक्तान्तरभक्तं व्यस्ततां समानऽव्यक्तं।''
-''कक्षा व्यक्ताः शोध यशद्रूपाणी तदधस्तात II ''<ref>Brāhma-sphuṭa-siddhānta, Ch 18, vs.43,p.314</ref>
+''कक्षा व्यक्ताः शोध यशद्रूपाणी तदधस्तात II ''<ref>ब्रह्म-स्फूट-सिद्धांत, अध्याय 18, बनाम 43, पृष्ठ 314(Brāhma-sphuṭa-siddhānta, Ch 18, vs.43,p.314)</ref>
 "पूर्ण संख्याओं का अंतर, उत्क्रम और अज्ञात के अंतर से विभाजित, एक समीकरण में अज्ञात का [मान] है।"
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 ''एकाव्यक्तं शोधयेदन्यपक्षाद्रूपाण्यन्यस्येतरस्माच्च पक्षात्''
-''शेषाव्यक्तेनोद्धरेद्रूपशेषं व्यक्तं मानं जायतेऽव्यक्तराशेः''॥<ref>(Bijagaṇita, ch. Ekavarṇa-samīkaraṇa, vs.1, 2, pp.43,44)</ref>
+''शेषाव्यक्तेनोद्धरेद्रूपशेषं व्यक्तं मानं जायतेऽव्यक्तराशेः''॥<ref>बीजगणित, अध्या. एकवर्ण-समीकरण, बनाम 1, 2, पीपी.43,44(Bijagaṇita, ch. Ekavarṇa-samīkaraṇa, vs.1, 2, pp.43,44)</ref>
 "अज्ञात मात्रा (x) मान लें। रद्द करने या कम करने या गुणा करने या विभाजित करने के बाद अज्ञात शब्दों से जुड़े कारकों को एक तरफ और स्थिर शब्दों को दूसरी तरफ स्थानांतरित करके वांछित प्रक्रिया करें। अज्ञात के गुणांक से पदों को विभाजित करें और अज्ञात कारक के मान की गणना करें।"
@@ Line 657: / Line 657: @@
 x = 7,  Y = 8, Z = 9
-'''ब्रह्मगुप्त का नियम''': ब्रह्मगुप्त (628) कई अज्ञात से जुड़े रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए निम्नलिखित नियम बताते हैं :
+'''ब्रह्मगुप्त का नियम''': ब्रह्मगुप्त (628), कई अज्ञात से जुड़े रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए निम्नलिखित नियम बताते हैं :
-"पहले अज्ञात के पक्ष से अन्य अज्ञात को हटाकर और पहले अज्ञात के गुणांक से विभाजित करके, पहले अज्ञात का मान प्राप्त किया जाता है।पहले अज्ञात के अधिक मूल्यों के मामले में, दो और दो (उनमें से) चाहिए उन्हें आम भाजक में कम करने के बाद विचार किया जाना चाहिए। और इसी तरह बार-बार किया जाना चाहिए। यदि अंतिम समीकरण में अधिक अज्ञात रहते हैं, तो चूर्णित्र(pulveriser) की विधि को नियोजित किया जाना चाहिए। फिर विपरीत तरीके से आगे बढ़ने पर अन्य अज्ञात के मान मिल सकते हैं।"
+"पहले अज्ञात के पक्ष से अन्य अज्ञात को हटाकर और पहले अज्ञात के गुणांक से विभाजित करके, पहले अज्ञात का मान प्राप्त किया जाता है।पहले अज्ञात के अधिक मूल्यों के मामले में, दो और दो (उनमें से) चाहिए, उन्हें आम भाजक में कम करने के बाद विचार किया जाना चाहिए। और इसी तरह बार-बार किया जाना चाहिए। यदि अंतिम समीकरण में अधिक अज्ञात रहते हैं, तो चूर्णित्र(pulveriser) की विधि को नियोजित किया जाना चाहिए। फिर विपरीत तरीके से आगे बढ़ने पर, अन्य अज्ञात के मान मिल सकते हैं।"
-चतुर्वेद पृथुदका स्वामी  (860) ने इसे इस प्रकार समझाया है: "एक ऐसे उदाहरण में जिसमें दो या दो से अधिक अज्ञात मात्राएँ, रंगों  जैसे हों ''यावत्-तावत्'' , आदि  को उनके मूल्यों के लिए ग्रहण किया जाना चाहिए। उन पर उदाहरण के कथन के अनुरूप सभी संचालन किए जाने चाहिए और इस प्रकार दो या दो से अधिक पक्षों और समीकरणों को भी ध्यान से तैयार किया जाना चाहिए।पहले दो और दो के बीच सम-निकासी( Equi-clearance) की जानी चाहिए और इसी तरह अंतिम तक: एक तरफ से एक अज्ञात को हटा देना चाहिए, अन्य अज्ञात को एक सामान्य भाजक में घटाया जाना चाहिए और साथ ही विपरीत पक्ष से निरपेक्ष संख्या को हटा देना चाहिए।अन्य अज्ञात के अवशेषों को पहले अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक से विभाजित किया जा रहा है, जो पहले अज्ञात का मान देगा।यदि ऐसे कई मान प्राप्त हों, तो उनमें से दो और दो के साथ, सामान्य हर में कमी के बाद समीकरण बनाए जाने चाहिए।इस तरह से अंत तक आगे बढ़ते हुए एक अज्ञात के मूल्य का पता लगाएं। यदि वह मान किसी अन्य अज्ञात के पदों में हो तो उन दोनों के गुणांक पारस्परिक रूप से दो अज्ञात के मान होंगे।यदि, हालांकि, उस मूल्य में और अधिक अज्ञात मौजूद हैं, तो चूर्णित्र(pulveriser) की विधि को नियोजित किया जाना चाहिए। कुछ अज्ञातों के लिए मनमाना मूल्य तब माना जा सकता है। "उपरोक्त नियम अनिश्चित और साथ ही निर्धारित समीकरणों को स्वीकार करता है। नियम के चित्रण में ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए सभी उदाहरण अनिश्चित चरित्र के हैं।
+चतुर्वेद पृथुदका स्वामी  (860) ने इसे इस प्रकार समझाया है: "एक ऐसे उदाहरण में जिसमें दो या दो से अधिक अज्ञात मात्राएँ, रंगों  जैसे हों ''यावत्-तावत्'' , आदि  को उनके मूल्यों के लिए ग्रहण किया जाना चाहिए। उन पर उदाहरण के कथन के अनुरूप सभी संचालन किए जाने चाहिए और इस प्रकार दो या दो से अधिक पक्षों और समीकरणों को भी ध्यान से तैयार किया जाना चाहिए। पहले दो और दो के बीच सम-निकासी( Equi-clearance) की जानी चाहिए और इसी तरह अंतिम तक: एक तरफ से एक अज्ञात को हटा देना चाहिए, अन्य अज्ञात को एक सामान्य भाजक में घटाया जाना चाहिए और साथ ही विपरीत पक्ष से निरपेक्ष संख्या को हटा देना चाहिए।अन्य अज्ञात के अवशेषों को पहले अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक से विभाजित किया जा रहा है, जो पहले अज्ञात का मान देगा। यदि ऐसे कई मान प्राप्त हों, तो उनमें से दो और दो के साथ, सामान्य हर में कमी के बाद समीकरण बनाए जाने चाहिए। इस तरह से अंत तक आगे बढ़ते हुए एक अज्ञात के मूल्य का पता लगाएं। यदि वह मान किसी अन्य अज्ञात के पदों में हो तो, उन दोनों के गुणांक पारस्परिक रूप से दो अज्ञात के मान होंगे। यदि, हालांकि, उस मूल्य में और अधिक अज्ञात मौजूद हैं, तो चूर्णित्र(pulveriser) की विधि को नियोजित किया जाना चाहिए। कुछ अज्ञातों के लिए मनमाना मूल्य तब माना जा सकता है। "उपरोक्त नियम अनिश्चित और साथ ही निर्धारित समीकरणों को स्वीकार करता है। नियम के चित्रण में ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए सभी उदाहरण अनिश्चित चरित्र के हैं।
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 == द्विघातीय समीकरण ==
-जैनियों (500-300 ईसा पूर्व) के प्रारंभिक विहित कार्यों में हम सरल द्विघात समीकरण का ज्यामितीय समाधान देखते हैं[[File:Quadratic equation.gif|alt=समीकरण|thumb|समीकरण ]]
+जैनियों (500-300 ईसा पूर्व) के प्रारंभिक विहित कार्यों में, हम सरल द्विघात समीकरण का ज्यामितीय समाधान देखते हैं[[File:Quadratic equation.gif|alt=समीकरण|thumb|समीकरण ]]
 <math>4h^2 -4dh =- c^2</math>  और इसके अलावा उमास्वती (सी 150 ई.पू.) के ''तत्त्वाधिगमा-सूत्र''  के रूप में भी पाया जाता है।
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 <math>{\displaystyle h = {\frac {1}{2}} (d-\sqrt{d^2-c^2})}</math>
-'''श्रीधर का शासन:'''  श्रीधर (सी। 750) द्विघात समीकरण को हल करने की उनकी विधि को स्पष्ट रूप से इंगित करते हैं ।
+'''श्रीधर का शासन:'''  श्रीधर (सी 750) द्विघात समीकरण को हल करने की उनकी विधि को स्पष्ट रूप से इंगित करते हैं ।
 बीजगणित पर उनका ग्रंथ अब खो गया है। लेकिन इसका प्रासंगिक अंश भास्कर द्वितीय और अन्य के उद्धरणों में संरक्षित है।
-श्रीधर की विधि है:
+श्रीधर की विधि निम्नलिखित प्रकार से है:
 "दोनों पक्षों (एक समीकरण के) को अज्ञात के वर्ग के गुणांक के चार गुणा के बराबर ज्ञात मात्रा से गुणा करें; दोनों पक्षों में अज्ञात के (मूल) गुणांक के वर्ग के बराबर एक ज्ञात मात्रा जोड़ें: फिर मूल निकालें ।"
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 "अज्ञात के वर्ग के गुणांक से चार गुना गुणा करें और अज्ञात के गुणांक के वर्ग को जोड़ें; फिर अज्ञात के वर्ग के गुणांक के दोगुने से विभाजित वर्गमूल निकालें, इसे अज्ञात का मूल्य कहा जाता है।"
-"या अज्ञात के वर्ग के गुणांक से गुणा करके और अज्ञात के गुणांक के आधे के वर्ग को जोड़कर, वर्गमूल निकालें। फिर पहले की तरह आगे बढ़ते हुए, यह अज्ञात के गुणांक के आधे से कम हो जाता है और गुणांक से विभाजित हो जाता है अज्ञात के वर्ग का। इस भागफल को अज्ञात का मान कहा जाता है।"
+"या अज्ञात के वर्ग के गुणांक से गुणा करके और अज्ञात के गुणांक के आधे के वर्ग को जोड़कर, वर्गमूल निकालें। फिर पहले की तरह आगे बढ़ते हुए, यह अज्ञात के गुणांक के आधे से कम हो जाता है और अज्ञात के वर्ग के गुणांक से विभाजित हो जाता है। इस भागफल को अज्ञात का मान कहा जाता है।"
 <math>ax^2 + bx = c</math>
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 ब्रह्मगुप्त (628) कहते हैं: "अवशेषों के अंतर के वर्ग के योग का वर्गमूल और अवशेषों के गुणनफल का दो वर्ग गुना, अवशेषों के अंतर से जोड़ा और घटाया जाता है, और आधा (देता है) वांछित अवशेष क्रम से किया जाता है ।"
-[[गणित का विकास|नारायण]] (1357) लिखते हैं: "दो मात्राओं के अंतर के वर्ग का वर्गमूल और उनके गुणनफल का चार गुना उनका योग होता है।"
+[[गणित का विकास|नारायण]] (1357) लिखते हैं: "दो राशियों के गुणनफल के चार गुना के अंतर के वर्ग का वर्गमूल, उनका योग होता है।"
-"मात्राओं के अंतर का वर्ग उनके गुणनफल के दुगुने के साथ उनके वर्गों के योग के बराबर होता है। इस परिणाम का वर्गमूल गुणनफल का दोगुना योग होता है।"
+"मात्राओं के अंतर का वर्ग, उनके गुणनफल के दुगुने के साथ, उनके वर्गों के योग के बराबर होता है। इस परिणाम का वर्गमूल, गुणनफल का दोगुना योग होता है।"
-(2) के समाधान के लिए [[महावीर]] (850) द्वारा निम्नलिखित नियम दिया गया है: "अर्ध-परिधि के वर्ग से क्षेत्रफल (एक आयत का) का चार गुना घटाएँ, फिर उस (शेष) के वर्गमूल और अर्ध-परिधि के बीच ''संक्रमण''  द्वारा आधार/समतल और उर्ध्वाधर प्राप्त होते हैं।"
+(2) के समाधान के लिए, [[महावीर]] (850) द्वारा निम्नलिखित नियम दिया गया है: "अर्ध-परिधि के वर्ग से क्षेत्रफल (एक आयत का) का चार गुना घटाएँ, फिर उस (शेष) के वर्गमूल और अर्ध-परिधि के बीच ''संक्रमण''  द्वारा आधार/समतल और उर्ध्वाधर प्राप्त होते हैं।"
 <math>{\displaystyle x = {\frac{1}{2}}}(a + {\sqrt{a^2-4b}})</math>
@@ Line 814: / Line 814: @@
 <math>{\displaystyle y = {\frac{1}{2}}}(a - {\sqrt{a^2-4b}})</math>
-नारायण कहते हैं: "योग के वर्ग का वर्गमूल घटा गुणनफल के चार गुना का अंतर है।"
+नारायण कहते हैं:"गुणन के चार गुना योग के वर्ग का वर्गमूल अंतर है।"
 (3) के लिए महावीर नियम देते हैं: "विकर्ण के वर्ग से (एक आयत के) क्षेत्र को दो बार जोड़ें और घटाएं और वर्गमूल निकालें। इनमें से बड़े और छोटे (मूलों) के बीच ''संक्रमण'' द्वारा, आधार/समतल  और उर्ध्वाधर पाए जाते हैं।
@@ Line 877: / Line 877: @@
 == संदर्भ ==
+<references />
+[[Category:Articles using infobox templates with no data rows]]
+[[Category:Articles with hCards]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Organic Articles]]
 [[Category:गणित]]
-<references />
 [[Category:बीजगणित]]
 [[Category:समीकरण]]

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