समीकरण: Difference between revisions
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== समीकरण बनाना == | == समीकरण बनाना == | ||
वास्तविक समाधान में जाने से पहले हमें समीकरणों | वास्तविक समाधान में जाने से पहले, हमें समीकरणों पर कुछ प्रारंभिक संचालन करने की आवश्यकता है। | ||
हमें प्रस्तावित | हमें प्रस्तावित प्रश्न की दी गई शर्तों से समीकरण (''समी-करण, समी-करा या समी-क्रिया''; ''समा, बराबर'' और ''कर्'' से करना; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने की आवश्यकता है। इसके लिए बीजगणित या अंकगणित की एक या एक से अधिक मूलभूत संक्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है। | ||
भास्कर द्वितीय कहते हैं: "''यावत्-तावत्'' " को अज्ञात मात्रा का मान मान लें। फिर ठीक वैसा ही करें जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है- किसी समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या भाग देना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए। | [[भास्कर द्वितीय]] कहते हैं: "''यावत्-तावत्'' " को अज्ञात मात्रा का मान/मूल्य मान लें। फिर ठीक वैसा ही करें, जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है- किसी समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या भाग देना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए। | ||
[[File:Equation illustration colour.svg|thumb|बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण]] | |||
== बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण == | == बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण == | ||
बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण <ref>''A Primer to Bhāratīya Gaṇitam , Bhāratīya-Gaṇita-Praveśa- Part-1''. Samskrit Promotion Foundation. 2021. [[ISBN (identifier)|ISBN]] [[Special:BookSources/978-81-951757-2-7|<bdi>978-81-951757-2-7</bdi>]].</ref>से समझा जा सकता है। | बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण <ref>भारतीय गणितम के लिए एक प्राइमर, भारतीय-गणित-प्रवेश- भाग -1। संस्कृत प्रमोशन फाउंडेशन।''(A Primer to Bhāratīya Gaṇitam , Bhāratīya-Gaṇita-Praveśa- Part-1''. Samskrit Promotion Foundation.) 2021. [[ISBN (identifier)|ISBN]] [[Special:BookSources/978-81-951757-2-7|<bdi>978-81-951757-2-7</bdi>]].</ref>से समझा जा सकता है। | ||
राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के ज्यादा हैं। हम ठीक से नहीं जानते कि श्याम के पास कितने सिक्के हैं। उसके पास कितने भी सिक्के हो सकते हैं। लेकिन हम जानते हैं कि राम के सिक्कों की संख्या = श्याम के सिक्कों की संख्या + 10 | राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के ज्यादा हैं। हम ठीक से नहीं जानते कि श्याम के पास कितने सिक्के हैं। उसके पास कितने भी सिक्के हो सकते हैं। लेकिन हम जानते हैं कि राम के सिक्कों की संख्या = श्याम के सिक्कों की संख्या + 10 | ||
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अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है। | अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है। | ||
बीजगणित प्रतीकों के प्रयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था। | बीजगणित प्रतीकों के प्रयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं, जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था। | ||
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अक्षर ''या'' (''यावत्-तावत्'' का संक्षिप्त रूप) अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को ''याव'' | अक्षर '<nowiki/>''या'' '(''यावत्-तावत्'' का संक्षिप्त रूप),अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को '<nowiki/>''याव'' ' कहा जाता था, जो ''यावत्-तावत्-वर्ग'' (''वर्ग'' का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। स्थिर पद को '''रू'' 'अक्षर से निरूपित किया गया था, जो ''रूपा'' का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि उपरोक्त तालिका में दिखाया गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है। | ||
यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न ''या'' , ''का'', और ''नी'' हैं। ये ''यावत्-तावत्,'' ''कालका'' और ''नीलका'' के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के | यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न ''या'' , ''का'', और ''नी'' हैं। ये ''यावत्-तावत्,'' ''कालका'' और ''नीलका'' के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के गुणनफल को ''याकाभा'' के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ ''या'' और ''का'' दो अज्ञात हैं और ''भा'' उनके गुणनफल के लिए है। | ||
निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है। | निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है। | ||
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x<sup>2</sup>, x<sup>1</sup>, x<sup>0</sup> (स्थिर पद/अवधि) की स्थितियों का निरीक्षण करने पर कुछ स्वरूप मिलता है? समीकरण लिखने का सामान्य तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम(descending order) में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है। | x<sup>2</sup>, x<sup>1</sup>, x<sup>0</sup> (स्थिर पद/अवधि) की स्थितियों का निरीक्षण करने पर कुछ स्वरूप मिलता है? समीकरण लिखने का सामान्य तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम(descending order) में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है। | ||
ब्रह्मगुप्त ने समीकरण को ''समकरण'' या ''संकरण'' | [[ब्रह्मगुप्त]] ने समीकरण को ''समकरण'' या ''संकरण'' कहा है। इसका अर्थ है 'समान बनाना'। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा गया था। प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था। | ||
चतुर्वेद पृथूदकस्वामिन् (864 ईस्वी) ने ब्रह्म-स्फूट-सिद्धांत पर अपनी टिप्पणी में समीकरण 40x - 48 = x<sup>2</sup> + 51 को नीचे के रूप में लिखा है | चतुर्वेद पृथूदकस्वामिन् (864 ईस्वी) ने ब्रह्म-स्फूट-सिद्धांत पर अपनी टिप्पणी में समीकरण 40x - 48 = x<sup>2</sup> + 51 को नीचे के रूप में लिखा है | ||
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''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।'' | ''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।'' | ||
''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<ref>Bījagaṇita, ch. Avyaktādi-guṇana, vs.6,7, p.8</ref> | ''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<ref>बीजगणित, अध्या. अव्यक्तदि-गुणन , बनाम 6,7, पृ.8(Bījagaṇita, ch. Avyaktādi-guṇana, vs.6,7, p.8)</ref> | ||
"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल ''भाविता'' है। भिन्न आदि ज्ञात की स्थति में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) वही हैं जो अंकगणित में बताए गए हैं।" | "एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल ''भाविता'' है। भिन्न आदि ज्ञात की स्थति में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) वही हैं जो अंकगणित में बताए गए हैं।" | ||
=== बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव === | === बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव === | ||
भास्कर द्वितीय अज्ञात मात्राओं के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते हैं: | भास्कर द्वितीय अज्ञात मात्राओं के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते हैं: | ||
''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<ref>Bījagaṇita ch. Avyakta-saṅkalana-vyavakalana, vs.6, p.7</ref> | ''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<ref>बीजगणित अध्या. अव्यक्त-संकलन-व्यवकलन, बनाम 6, पृ.7(Bījagaṇita ch. Avyakta-saṅkalana-vyavakalana, vs.6, p.7)</ref> | ||
"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत/विषम शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।" | "जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत/विषम शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।" | ||
| Line 203: | Line 204: | ||
'''व्याख्या:''' | '''व्याख्या:''' | ||
जोड़ और घटाव समान पदों के साथ किया जा सकता है और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना है। समान घातों के लिए उठाए गए समान अक्षर चर को समान पदों के रूप में माना जाता है। उदा., ''या ४,या ५, या ६'' समान पद हैं। ''याव ७, याव ८, याव ९'' भी समान पद हैं। ''का ३, का ७, का १५'' भी समान पद हैं। वर्तमान में हम कहते हैं कि 4x, 5x, 6x समान पद हैं। इसी प्रकार 7x<sup>2</sup>, 8x<sup>2</sup>, 9x<sup>2</sup> समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं।जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 4x + 6x को 10x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 9x<sup>2</sup> - 7x<sup>2</sup> को 2x<sup>2</sup> के रूप में सरल बनाया जा सकता है। | जोड़ और घटाव समान पदों के साथ किया जा सकता है, और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना होता है। समान घातों के लिए उठाए गए समान अक्षर चर को समान पदों के रूप में माना जाता है। उदा., ''या ४,या ५, या ६'' समान पद हैं। ''याव ७, याव ८, याव ९'' भी समान पद हैं। ''का ३, का ७, का १५'' भी समान पद हैं। वर्तमान में हम कहते हैं कि 4x, 5x, 6x समान पद हैं। इसी प्रकार 7x<sup>2</sup>, 8x<sup>2</sup>, 9x<sup>2</sup> समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं।जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 4x + 6x को 10x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 9x<sup>2</sup> - 7x<sup>2</sup> को 2x<sup>2</sup> के रूप में सरल बनाया जा सकता है। | ||
विपरीत पद वे पद हैं जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा | विपरीत पद वे पद हैं, जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा: ''या'' ३, ''याव'' ३, ''याघ'' ४, ''का'' ५, ''काव'', ''याकाभा'' । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x<sup>2</sup>, 4x<sup>3</sup>, 5y, y<sup>2</sup>, xy के रूप में दर्शाया जाता है। | ||
=== बीजीय व्यंजकों का गुणन === | === बीजीय व्यंजकों का गुणन === | ||
बीजगणित गुणन का नियम देता है - | बीजगणित गुणन का नियम देता इस प्रकार देता है - | ||
''गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।'' | ''गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।'' | ||
''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<ref>Bījagaṇita ch. Avyaktādi-guṇana, vs.8, p.8</ref> | ''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<ref>बीजगणित अध्या. अव्यक्तदि-गुणन , बनाम.8, पृ.8(Bījagaṇita ch. Avyaktādi-guṇana, vs.8, p.8)</ref> | ||
"गुण्य को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और | "गुण्य को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और प्रश्न में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और करणी (surd/सर्ड) के वर्गों कि स्थिति में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के स्थिति में बताई गई आंशिक गुणनफलों (partial products) की विधि यहां भी लागू होती है।" | ||
'''व्याख्या''' | '''व्याख्या''' | ||
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|- | |- | ||
|यदि या २ रू ४ और या ३ रू ५ क्रमशः गुण्य और गुणक हैं, | |यदि या २ रू ४ और या ३ रू ५ क्रमशः गुण्य और गुणक हैं, | ||
उनका | उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है: | ||
|यदि 2x + 4 और 3x + 5 क्रमशः गुण्य और गुणक हैं, | |यदि 2x + 4 और 3x + 5 क्रमशः गुण्य और गुणक हैं, | ||
उनका | उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है: | ||
|- | |- | ||
|गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ३ और रू ५ | |गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ३ और रू ५ | ||
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लेकिन आगे के पुष्ट प्रमाणों के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (''एक-वर्ण-समीकरण''), (2) कई अज्ञात में समीकरण (''अनेक-वर्ण-समीकरण''), और (3) अज्ञात के उत्पादों से जुड़े समीकरण (''भैविता'')। | लेकिन आगे के पुष्ट प्रमाणों के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (''एक-वर्ण-समीकरण''), (2) कई अज्ञात में समीकरण (''अनेक-वर्ण-समीकरण''), और (3) अज्ञात के उत्पादों से जुड़े समीकरण (''भैविता'')। | ||
एक अज्ञात में समीकरणों (''एक-वर्ण-समीकरण'') को फिर से दो उप वर्गों में विभाजित किया जाता है, अर्थात, (i) रैखिक समीकरण, और (ii) द्विघात समीकरण (''अव्यक्त-वर्ग-समीकरण'')।यहाँ से हमारे पास समीकरणों को उनकी घातों के अनुसार वर्गीकृत करने की हमारी वर्तमान पद्धति की शुरुआत | एक अज्ञात में समीकरणों (''एक-वर्ण-समीकरण'') को फिर से दो उप वर्गों में विभाजित किया जाता है, अर्थात, (i) रैखिक समीकरण, और (ii) द्विघात समीकरण (''अव्यक्त-वर्ग-समीकरण'')।यहाँ से हमारे पास, समीकरणों को उनकी घातों के अनुसार वर्गीकृत करने की हमारी वर्तमान पद्धति की शुरुआत है। | ||
भास्कर द्वितीय तीसरे वर्ग में दो प्रकारों को अलग करते हैं , अर्थात् "(i) अपनी दूसरी और उच्च घातों में एक अज्ञात में समीकरण और (ii) अपनी दूसरी और उच्च घातों में दो या दो से अधिक अज्ञात में समीकरण।' कृष्ण के अनुसार (1580) समीकरण मुख्य रूप से दो वर्गों के होते हैं: (1) एक अज्ञात में समीकरण और (2) दो या दो से अधिक अज्ञात में समीकरण। पहले वर्गीकरण में दो उपवर्ग शामिल हैं: (i) सरल समीकरण और (ii) द्विघात और उच्च समीकरण। दूसरे वर्गीकरण में तीन उपवर्ग हैं: (i) एक साथ रैखिक समीकरण, (ii) अज्ञात की दूसरी और उच्च घातों वाले समीकरण, और (iii) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। फिर वह देखते हैं कि इन पांच वर्गों को, कक्षा (1) और (2) के दूसरे उपवर्गों को ''मध्यमाहारण'' के रूप में एक वर्ग में शामिल करके, घटाकर चार किया जा सकता है। | चतुर्वेद पृथुदकास्वामी (860) द्वारा अपनाई गई वर्गीकरण की पद्धति थोड़ी भिन्न है। उन्होंने वर्गीकृत इस प्रकार किया है : (1) एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (2) अधिक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (3) उनकी दूसरी और उच्च घातों में एक, दो या अधिक अज्ञात के साथ समीकरण, और (4) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। चूंकि तृतीय वर्ग के समीकरण के समाधान की विधि मध्य पद के उन्मूलन के सिद्धांत पर आधारित है, इसलिए उस वर्ग को ''मध्यमाहारण'' (मध्यम से, "''मध्य''", अहारण "''उन्मूलन''", इसलिए अर्थ -" मध्य अवधि का उन्मूलन" कहा जाता है।")। अन्य वर्गों के लिए, ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए पुराने नामों को बरकरार रखा गया है। वर्गीकरण की इस पद्धति का अनुसरण बाद के लेखकों ने किया है। | ||
भास्कर द्वितीय, तीसरे वर्ग में दो प्रकारों को अलग करते हैं , अर्थात् "(i) अपनी दूसरी और उच्च घातों में एक अज्ञात में समीकरण और (ii) अपनी दूसरी और उच्च घातों में दो या दो से अधिक अज्ञात में समीकरण।' कृष्ण के अनुसार (1580) समीकरण मुख्य रूप से दो वर्गों के होते हैं: (1) एक अज्ञात में समीकरण और (2) दो या दो से अधिक अज्ञात में समीकरण। पहले वर्गीकरण में दो उपवर्ग शामिल हैं: (i) सरल समीकरण और (ii) द्विघात और उच्च समीकरण। दूसरे वर्गीकरण में तीन उपवर्ग हैं: (i) एक साथ रैखिक समीकरण, (ii) अज्ञात की दूसरी और उच्च घातों वाले समीकरण, और (iii) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। फिर वह देखते हैं कि इन पांच वर्गों को, कक्षा (1) और (2) के दूसरे उपवर्गों को ''मध्यमाहारण'' के रूप में एक वर्ग में शामिल करके, घटाकर चार किया जा सकता है। | |||
== एक अज्ञात में रैखिक समीकरण == | == एक अज्ञात में रैखिक समीकरण == | ||
एक रैखिक समीकरण एक समीकरण है जिसमें चर, गुणांक और स्थिरांक की केवल पहली घात होती है। उदाहरण के लिए, समीकरण 4x + 7 = 8 एक चर में एक रैखिक समीकरण है। इसे प्रथम-क्रम समीकरण कहा जाता है क्योंकि चर (x) की घात एक है। यदि समीकरण में x की उच्चतम शक्ति दो के रूप में है, अर्थात x<sup>2</sup> , तो यह एक द्विघात (द्वितीय क्रम) समीकरण होगा। | एक रैखिक समीकरण, एक समीकरण है जिसमें चर, गुणांक और स्थिरांक की केवल पहली घात होती है। उदाहरण के लिए, समीकरण 4x + 7 = 8 एक चर में एक रैखिक समीकरण है। इसे प्रथम-क्रम समीकरण कहा जाता है क्योंकि चर (x) की घात एक है। यदि समीकरण में x की उच्चतम शक्ति दो के रूप में है, अर्थात x<sup>2</sup> , तो यह एक द्विघात (द्वितीय क्रम) समीकरण होगा। | ||
==== प्रारंभिक समाधान: ==== | ==== प्रारंभिक समाधान: ==== | ||
जैसा कि पहले ही कहा गया है, एक अज्ञात में एक रैखिक समीकरण का ज्यामितीय समाधान ''शुल्बसूत्र''; ''śulba'' में पाया जाता है, जिसमें से सबसे पहला 800 ईसा पूर्व | जैसा कि पहले ही कहा गया है, एक अज्ञात में एक रैखिक समीकरण का ज्यामितीय समाधान ''शुल्बसूत्र''; ''śulba'' में पाया जाता है, जिसमें से सबसे पहला 800 ईसा पूर्व से पहले का है। | ||
''स्थानांग-सूत्र'' (सी 300 ईसा पूर्व) में इसके नाम (''यावत्-तावत्'') से एक रैखिक समीकरण का संदर्भ है, जो उस समय के समाधान की विधि का सूचक है। | ''स्थानांग-सूत्र'' (सी 300 ईसा पूर्व) में इसके नाम (''यावत्-तावत्'') से एक रैखिक समीकरण का संदर्भ है, जो उस समय के समाधान की विधि का सूचक है। | ||
बख्शाली ग्रंथ में सरल बीजगणितीय समीकरणों और समाधान पद्धति से | बख्शाली ग्रंथ में सरल बीजगणितीय समीकरणों और समाधान पद्धति से जुडे प्रश्न हैं, जो शायद ईसाई युग की शुरुआत में लिखी गई थीं। | ||
एक | एक परिप्रश्न यह है कि "पहले को दी गई राशि ज्ञात नहीं है। दूसरे को पहले की तुलना में दोगुना दिया जाता है, तीसरे को दूसरे से तीन गुना और चौथे को तीसरे से चार गुना अधिक दिया जाता है। वितरित की गई कुल राशि है 132, पहले की राशि क्या है?" | ||
यदि x पहले को दी गई राशि हो, तो | यदि x पहले को दी गई राशि हो, तो प्रश्न के अनुसार, | ||
<math>x+2x+6x+24x=132</math> | <math>x+2x+6x+24x=132</math> | ||
| Line 335: | Line 338: | ||
(यह है) दी गई राशि (पहले को)।" | (यह है) दी गई राशि (पहले को)।" | ||
बख्शाली ग्रंथ में | बख्शाली ग्रंथ में प्रश्नों के समूह का ,एक और समाधान अंततः ax+ b=p प्रकार के समीकरण की ओर ले जाता है। इसके समाधान के लिए दी गई विधि यह है कि x के लिए कोई मनमाना मान g रखा जाए, ताकि | ||
ag+ b =p' कहा जाए । | ag+ b =p' कहा जाए । | ||
तब सही मान होगा | तब सही मान इस प्रकार होगा | ||
<math>{\displaystyle x = {\frac{(p - p')}{a}} + g}</math> | <math>{\displaystyle x = {\frac{(p - p')}{a}} + g}</math> | ||
==== रैखिक समीकरणों का हल ==== | ==== रैखिक समीकरणों का हल ==== | ||
आर्यभट्ट (499) कहते हैं: | [[आर्यभट्ट]] (499) कहते हैं: | ||
"दो व्यक्तियों से संबंधित ज्ञात "राशि" के अंतर को अज्ञात के गुणांकों के अंतर से विभाजित किया जाना चाहिए। भागफल अज्ञात का मान होगा, यदि उनकी संपत्ति समान हो।" | "दो व्यक्तियों से संबंधित ज्ञात "राशि" के अंतर को अज्ञात के गुणांकों के अंतर से विभाजित किया जाना चाहिए। भागफल अज्ञात का मान होगा, यदि उनकी संपत्ति समान हो।" | ||
यह नियम इस प्रकार | यह नियम इस प्रकार के प्रश्न पर विचार करता है: दो व्यक्ति, जो समान रूप से अमीर हैं, के पास क्रमशः c, d नकद में पैसे की इकाइयों के साथ एक निश्चित अज्ञात राशि का a, b गुना है। वह राशि क्या है? | ||
मान लीजिए x अज्ञात राशि है, दी गई जानकारी के साथ | मान लीजिए x अज्ञात राशि है, दी गई जानकारी के साथ | ||
| Line 364: | Line 365: | ||
''अव्यक्तान्तरभक्तं व्यस्ततां समानऽव्यक्तं।'' | ''अव्यक्तान्तरभक्तं व्यस्ततां समानऽव्यक्तं।'' | ||
''कक्षा व्यक्ताः शोध यशद्रूपाणी तदधस्तात II ''<ref>Brāhma-sphuṭa-siddhānta, Ch 18, vs.43,p.314</ref> | ''कक्षा व्यक्ताः शोध यशद्रूपाणी तदधस्तात II ''<ref>ब्रह्म-स्फूट-सिद्धांत, अध्याय 18, बनाम 43, पृष्ठ 314(Brāhma-sphuṭa-siddhānta, Ch 18, vs.43,p.314)</ref> | ||
"पूर्ण संख्याओं का अंतर, उत्क्रम और अज्ञात के अंतर से विभाजित, एक समीकरण में अज्ञात का [मान] है।" | "पूर्ण संख्याओं का अंतर, उत्क्रम और अज्ञात के अंतर से विभाजित, एक समीकरण में अज्ञात का [मान] है।" | ||
| Line 381: | Line 382: | ||
<math>{\displaystyle x = {\frac {(e-c)}{(b-d)} }}</math> | <math>{\displaystyle x = {\frac {(e-c)}{(b-d)} }}</math> | ||
| Line 391: | Line 393: | ||
''एकाव्यक्तं शोधयेदन्यपक्षाद्रूपाण्यन्यस्येतरस्माच्च पक्षात्'' | ''एकाव्यक्तं शोधयेदन्यपक्षाद्रूपाण्यन्यस्येतरस्माच्च पक्षात्'' | ||
''शेषाव्यक्तेनोद्धरेद्रूपशेषं व्यक्तं मानं जायतेऽव्यक्तराशेः''॥<ref>(Bijagaṇita, ch. Ekavarṇa-samīkaraṇa, vs.1, 2, pp.43,44)</ref> | ''शेषाव्यक्तेनोद्धरेद्रूपशेषं व्यक्तं मानं जायतेऽव्यक्तराशेः''॥<ref>बीजगणित, अध्या. एकवर्ण-समीकरण, बनाम 1, 2, पीपी.43,44(Bijagaṇita, ch. Ekavarṇa-samīkaraṇa, vs.1, 2, pp.43,44)</ref> | ||
"अज्ञात मात्रा (x) मान लें। रद्द करने या कम करने या गुणा करने या विभाजित करने के बाद अज्ञात शब्दों से जुड़े कारकों को एक तरफ और स्थिर शब्दों को दूसरी तरफ स्थानांतरित करके वांछित प्रक्रिया करें। अज्ञात के गुणांक से पदों को विभाजित करें और अज्ञात कारक के मान की गणना करें।" | "अज्ञात मात्रा (x) मान लें। रद्द करने या कम करने या गुणा करने या विभाजित करने के बाद अज्ञात शब्दों से जुड़े कारकों को एक तरफ और स्थिर शब्दों को दूसरी तरफ स्थानांतरित करके वांछित प्रक्रिया करें। अज्ञात के गुणांक से पदों को विभाजित करें और अज्ञात कारक के मान की गणना करें।" | ||
| Line 417: | Line 419: | ||
"एक तरफ से 'अज्ञात' और दूसरी तरफ से ज्ञात मात्रा को निवारक करें(हटा दें), फिर अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक द्वारा ज्ञात अवशिष्ट को विभाजित करें। इस प्रकार निश्चित रूप से अज्ञात का मूल्य ज्ञात हो जाएगा।" | "एक तरफ से 'अज्ञात' और दूसरी तरफ से ज्ञात मात्रा को निवारक करें(हटा दें), फिर अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक द्वारा ज्ञात अवशिष्ट को विभाजित करें। इस प्रकार निश्चित रूप से अज्ञात का मूल्य ज्ञात हो जाएगा।" | ||
उदाहरण के लिए हम ब्रह्मगुप्त द्वारा प्रस्तावित | उदाहरण के लिए हम ब्रह्मगुप्त द्वारा प्रस्तावित एकप्रश्न लेते हैं: | ||
"उस समय के लिए बीते हुए दिनों की संख्या बताएं जब शेष डिग्री के बारहवें भाग में एक से चार गुना वृद्धि हुई हो, आठ गुना शेष डिग्री | "उस समय के लिए बीते हुए दिनों की संख्या बताएं जब शेष डिग्री के बारहवें भाग में एक से चार गुना वृद्धि हुई हो, आठ गुना शेष डिग्री और एक के बराबर होगा।" | ||
इसे चतुर्वेद पृथूदकस्वामिन् ने इस प्रकार हल किया है: | इसे चतुर्वेद पृथूदकस्वामिन् ने इस प्रकार हल किया है: | ||
| Line 447: | Line 449: | ||
इसलिए x= 11 | इसलिए x= 11 | ||
निम्नलिखितप्रश्न और उसका समाधान भास्कर द्वितीय के बीजगणित से हैं: | |||
"एक व्यक्ति के पास तीन सौ सिक्के और छह घोड़े हैं। दूसरे के पास समान मूल्य के दस घोड़े (प्रत्येक) हैं और उस पर सौ सिक्कों का कर्ज भी है। लेकिन वे | "एक व्यक्ति के पास तीन सौ सिक्के और छह घोड़े हैं। दूसरे के पास समान मूल्य के दस घोड़े (प्रत्येक) हैं और उस पर सौ सिक्कों का कर्ज भी है। लेकिन वे | ||
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==== संगमन/सहमति का नियम ==== | ==== संगमन/सहमति का नियम ==== | ||
लगभग सभी हिंदू लेखकों द्वारा आमतौर पर चर्चा किए जाने वाले एक विषय को ''सन्निपतन/संक्रमण'' (संगमन/सहमति) के विशेष नाम से जाना जाता है। नारायण (1350) के अनुसार इसे ''संक्रम'' और ''संक्रमा'' भी कहते हैं। ब्रह्मगुप्त (628) ने इसे बीजगणित में शामिल किया है जबकि अन्य इसे अंकगणित के दायरे में आने के रूप में मानते हैं। जैसा कि समीक्षक | लगभग सभी हिंदू लेखकों द्वारा आमतौर पर चर्चा किए जाने वाले एक विषय को ''सन्निपतन/संक्रमण'' (संगमन/सहमति) के विशेष नाम से जाना जाता है। नारायण (1350) के अनुसार इसे ''संक्रम'' और ''संक्रमा'' भी कहते हैं। ब्रह्मगुप्त (628) ने इसे बीजगणित में शामिल किया है जबकि अन्य इसे अंकगणित के दायरे में आने के रूप में मानते हैं। जैसा कि समीक्षक गंगाधर (1420) द्वारा समझाया गया है, यहां चर्चा का विषय "दो राशियों की जांच समवर्ती या उनके योग और अंतर के रूप में एक साथ उगाई बढ़ी।" | ||
दूसरे शब्दों में ''संक्रमण'' समकालिक समीकरणों का समाधान है | दूसरे शब्दों में ''संक्रमण'' समकालिक समीकरणों का समाधान है | ||
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x+ y= a, x-y= b | x+ y= a, x-y= b | ||
समाधान के लिए ब्रह्मगुप्त का नियम है: "योग को अंतर से बढ़ाया और घटाया जाता है और दो से विभाजित किया जाता है; (परिणाम दो अज्ञात मात्रा होगी): यह है संगमन/सहमति। एक ही नियम को उन्होंने अलग-अलग मौकों | समाधान के लिए ब्रह्मगुप्त का नियम है: "योग को अंतर से बढ़ाया और घटाया जाता है और दो से विभाजित किया जाता है; (परिणाम दो अज्ञात मात्रा होगी): यह है संगमन/सहमति। एक ही नियम को उन्होंने अलग-अलग मौकों परप्रश्न और उसके समाधान के रूप में दोहराया है। | ||
"दो (स्वर्गीय पिंडों) के अवशेषों का योग और अंतर, घात और काल (degrees and minutes) में जाना जाता है। अवशेष क्या हैं? अंतर को योग से जोड़ा और घटाया जाता है और आधा किया जाता है, परिणाम अवशेष हैं। | "दो (स्वर्गीय पिंडों) के अवशेषों का योग और अंतर, घात और काल (degrees and minutes) में जाना जाता है। अवशेष क्या हैं? अंतर को योग से जोड़ा और घटाया जाता है और आधा किया जाता है, परिणाम अवशेष हैं। | ||
==== रेखीय समीकरण ==== | ==== रेखीय समीकरण ==== | ||
महावीर निम्नलिखित उदाहरण देते हैं जो प्रत्येक के समाधान के नियमों के साथ-साथ एक समकालिक रैखिक समीकरण की ओर ले जाते हैं। | महावीर निम्नलिखित उदाहरण देते हैं, जो प्रत्येक के समाधान के नियमों के साथ-साथ एक समकालिक रैखिक समीकरण की ओर ले जाते हैं। | ||
उदाहरण: "9 नींबू और 7 सुगंधित बेल की एक साथ कीमत 107 है, फिर से 7 नींबू और 9 सुगंधित बेलों की कीमत एक साथ ली गई है 101 है। हे गणितज्ञ, मुझे जल्दी से एक नींबू और एक सुगंधित बेल की कीमत अलग-अलग बताओ।" | |||
यदि x, y क्रमशः एक नींबू और एक सुगंधित बेल की कीमतें हों, तो | यदि x, y क्रमशः एक नींबू और एक सुगंधित बेल की कीमतें हों, तो | ||
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इसके समाधान के साथ निम्नलिखित उदाहरण भास्कर द्वितीय के बीजगणित से लिया गया है: | इसके समाधान के साथ निम्नलिखित उदाहरण भास्कर द्वितीय के बीजगणित से लिया गया है: | ||