समीकरण: Difference between revisions

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{{Infobox person
| name              = समीकरण
| image              = [[File:Algebraic equation notation.svg|150px]]
}}
== समीकरण बनाना ==
== समीकरण बनाना ==
किसी भी प्रकार के समीकरण के वास्तविक समाधान की ओर बढ़ने से पहले, इसे हल के लिए तैयार करने के लिए कुछ प्रारंभिक संक्रियाओं को करना आवश्यक है।
वास्तविक समाधान में जाने से पहले, हमें समीकरणों  पर कुछ प्रारंभिक संचालन करने की आवश्यकता है।


अभी भी अधिक प्रारंभिक कार्य प्रस्तावित समस्या की स्थितियों से समीकरण (''समी-करण, समी-करा या समी-क्रिया''; ''समा, बराबर'' और ''कर्''  से करना; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने का है। इस तरह के प्रारंभिक कार्य के लिए बीजगणित या अंकगणित के एक या एक से अधिक मौलिक संचालन के आवेदन की आवश्यकता हो सकती है।
हमें प्रस्तावित प्रश्न  की दी गई शर्तों से समीकरण (''समी-करण, समी-करा या समी-क्रिया''; ''समा, बराबर'' और ''कर्''  से करना; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने की आवश्यकता है। इसके लिए बीजगणित या अंकगणित की एक या एक से अधिक मूलभूत संक्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।


भास्कर द्वितीय कहते हैं: "''यावत्-तावत्'' " को अज्ञात मात्रा के मूल्य के रूप में माना जाता है। फिर जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है-एक समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या विभाजित करना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।
[[भास्कर द्वितीय]] कहते हैं: "''यावत्-तावत्'' " को अज्ञात मात्रा का मान/मूल्य मान लें। फिर ठीक वैसा ही करें, जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है- किसी समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या भाग देना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।
[[File:Equation illustration colour.svg|thumb|बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण]]


== बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण ==
== बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण ==
बीजगणितीय व्यंजक क्या है? आइए इसे एक उदाहरण से समझने की कोशिश करते हैं।
बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण <ref>भारतीय गणितम के लिए एक प्राइमर, भारतीय-गणित-प्रवेश- भाग -1। संस्कृत प्रमोशन फाउंडेशन।''(A Primer to Bhāratīya Gaṇitam , Bhāratīya-Gaṇita-Praveśa- Part-1''. Samskrit Promotion Foundation.) 2021. [[ISBN (identifier)|ISBN]] [[Special:BookSources/978-81-951757-2-7|<bdi>978-81-951757-2-7</bdi>]].</ref>से समझा जा सकता है।
 
 
 
गीता कहती है कि उसके पास माला से 10 कंचे ज्यादा हैं। हम ठीक से नहीं जानते कि माला के पास कितने कंचे हैं। उसके पास कितने भी कंचे हो सकते हैं। लेकिन हम जानते हैं कि


गीता के कंचों की संख्या = माला के कंचों की संख्या + 10
राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के ज्यादा हैं। हम ठीक से नहीं जानते कि श्याम के पास कितने सिक्के  हैं। उसके पास कितने भी सिक्के हो सकते हैं। लेकिन हम जानते हैं कि राम के सिक्कों की संख्या = श्याम  के सिक्कों की संख्या + 10


हम 'माला के कंचों की संख्या' को अक्षर x से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।
हम 'श्याम  के सिक्कों की संख्या' को अक्षर x से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।


x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,
x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,


गीता के कंचों की संख्या = x+10
राम के सिक्कों की संख्या = x+10


अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।
अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।


प्रतीकों के प्रयोग में बीजगणित प्रचुर मात्रा में है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।
बीजगणित प्रतीकों के प्रयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं, जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
|+
|+
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नी , ........
नी , ........
|या ३
|या ३५
का ४
का १४


नी ८
नी ८२
|3x
|35x
4y
14y


8z
82z
|-
|-
|2
|2
Line 57: Line 59:
|<nowiki>-</nowiki>
|<nowiki>-</nowiki>
|या का
|या का
या ३ का ४
या ३५ का १४
|x + y
|x + y
3x + 4y
35x + 14y
|-
|-
|3
|3
Line 66: Line 68:
|भा
|भा
|याकाभा
|याकाभा
याकाभा ३
याकाभा ३२
|xy
|xy
3xy
32xy
|-
|-
| 4
| 4
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|रूपम्
|रूपम्
|रू
|रू
|रू ३
|रू ३२
|3
|32
|-
|-
|8
|8
Line 103: Line 105:
| मात्रा के ऊपर बिंदु  (.)
| मात्रा के ऊपर बिंदु  (.)
|'''.'''
|'''.'''
रू ४
रू ४३२
|<nowiki>-4</nowiki>
| -432
|}
|}


अक्षर '<nowiki/>''या'' '(''यावत्-तावत्''  का संक्षिप्त रूप),अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को '<nowiki/>''याव'' ' कहा जाता था, जो ''यावत्-तावत्-वर्ग'' (''वर्ग''  का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। स्थिर पद को '''रू'' 'अक्षर से निरूपित किया गया था, जो ''रूपा''  का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि उपरोक्त तालिका में दिखाया गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।


 
यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न ''या'' , ''का'', और ''नी''   हैं। ये ''यावत्-तावत्,'' ''कालका'' और ''नीलका''  के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के गुणनफल को ''याकाभा'' के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ ''या'' और ''का'' दो अज्ञात हैं और ''भा''  उनके गुणनफल के लिए है।
अक्षर ''या'' (''यावत्-तावत्'' का संक्षिप्त रूप) अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को यव कहा जाता था, जो ''यावत्-तावत्-वर्ग'' (वर्ग का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। समीकरण लिखते समय, अचर पद को ''रू'' अक्षर से निरूपित किया जाता था, जो रूपा  का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि ऊपर दी गई तालिका में देखा गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।
 
 
 
यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न ''या'' , ''का'', और ''नी''   हैं। ये ''यावत्-तावत्,'' ''कालका'' और ''नीलका''  के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के उत्पाद को ''याकाभा'' के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ ''या'' और ''का'' दो अज्ञात हैं और ''भा''  उनके उत्पाद के लिए है।


निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।
निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।
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|-
|-
|1
|1
|x + 1
|x + 17
|या १ रू १
|या १ रू १७
|-
|-
|2
|2
|3x - 7
|7x - 17
|या ३ रू ७<sup>'''.'''</sup>
|या ७ रू १७<sup>'''.'''</sup>
|-
|-
|3
|3
|2x – 8
|18x – 8
|या २ रू ८<sup>'''.'''</sup>
|या १८ रू ८<sup>'''.'''</sup>
|-
|-
|4
|4
|15x<sup>2</sup> + 7x - 2
|15x<sup>2</sup> + 17x - 2
|याव १५ या ७ रू २<sup>'''.'''</sup>
|याव १५ या ७ रू २<sup>'''.'''</sup>
|-
|-
|5
|5
|1x<sup>4</sup> + 6x<sup>3</sup> + 25x<sup>2</sup> + 48x + 64
|1x<sup>4</sup> + 16x<sup>3</sup> + 25x<sup>2</sup> + 8x + 6
|यावव १ याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४
|यावव १ याघ १६ याव २५ या ८ रू ६
|-
|-
|6
|6
|18x<sup>2</sup> + 12xy - 6xz -6x
|8x<sup>2</sup> + 12xy - 6xz -16x
|याव १८ याकाभा १२ यानीभा ६<sup>'''.'''</sup> या ६<sup>'''.'''</sup>
|याव ८ याकाभा १२ यानीभा ६<sup>'''.'''</sup> या १६<sup>'''.'''</sup>
|}
|}


हम देखेंगे कि प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।
हम देखेंगे कि प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।
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0x<sup>2</sup> + 10x - 8 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 1
0x<sup>2</sup> + 10x - 8 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 1


x<sup>2</sup>, x<sup>1</sup>, x<sup>0</sup> (स्थिर पद/अवधि) की स्थितियों का निरीक्षण करें। क्या आप कोई प्रतिरूप नोटिस कर सकते हैं? समीकरण लिखने का मानक तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।
x<sup>2</sup>, x<sup>1</sup>, x<sup>0</sup> (स्थिर पद/अवधि) की स्थितियों का निरीक्षण करने पर कुछ स्वरूप मिलता है? समीकरण लिखने का सामान्य तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम(descending order) में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।
 
ब्रह्मगुप्त ने समीकरण को समकरण या संकरण कहा। इसका अर्थ है 'समान बनाना'। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा जाता है। प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।


हम देखेंगे कि यह समीकरण चतुर्वेद पृथूदकस्वामिन् (864 ईस्वी) ने ब्रह्म-स्फूट-सिद्धांत पर अपने भाष्य में कैसे लिखा था। वह समीकरण लिखते  हैं।
[[ब्रह्मगुप्त]] ने समीकरण को ''समकरण''  या ''संकरण''  कहा है। इसका अर्थ है 'समान बनाना'। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा गया था। प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।


10x - 8 = x<sup>2</sup> + 1 इस प्रकार है:
चतुर्वेद पृथूदकस्वामिन् (864 ईस्वी) ने ब्रह्म-स्फूट-सिद्धांत पर अपनी टिप्पणी में समीकरण 40x - 48 = x<sup>2</sup> + 51 को नीचे के रूप में लिखा है
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
|+
|+
Line 171: Line 165:
!आधुनिक संकेतन
!आधुनिक संकेतन
|-
|-
|याव ०  या १०  रू ८'''<sup>.</sup>'''
|याव ०  या ४०  रू ४८'''<sup>.</sup>'''
याव १  या ०    रू १
याव १  या ०    रू ५१
|याव  0 या  10 rū 8'''<sup>.</sup>'''
|याव  0 या  40 rū 48'''<sup>.</sup>'''
याव  1 या  0 rū 1
याव  1 या  0 rū 51
|⇒
|⇒
|0x<sup>2</sup> + 10 x - 8 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 1
|0x<sup>2</sup> + 0 x - 8 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 51
|}
|}
भास्कर द्वितीय के बीजगणित से समीकरण का एक और उदाहरण है:
भास्कर द्वितीय के बीजगणित से समीकरण का एक और उदाहरण यहां दिया गया है:


X<sup>4</sup> - 2x<sup>2</sup> - 400x = 9999
x<sup>4</sup> - 2x<sup>2</sup> - 400x = 9999


इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,
इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,
Line 189: Line 183:


== बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया ==
== बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया ==




Line 198: Line 191:
''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।''
''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।''


''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<ref>बीजगणित, चौ. अव्यक्तादि -गुणन , बनाम 6,7,पृष्ठ.8</ref>
''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<ref>बीजगणित, अध्या. अव्यक्तदि-गुणन , बनाम 6,7, पृ.8(Bījagaṇita, ch. Avyaktādi-guṇana, vs.6,7, p.8)</ref>


"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल भाविता है। भिन्न आदि ज्ञात के मामले में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) अंकगणित में वर्णित समान हैं।"
"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल ''भाविता''  है। भिन्न आदि ज्ञात की स्थति में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) वही हैं जो अंकगणित में बताए गए हैं।"


=== बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव ===
=== बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव ===
भास्कर  द्वितीय अज्ञात राशियों के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते  हैं:
भास्कर  द्वितीय अज्ञात मात्राओं के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते  हैं:


''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<ref>बीजगणित चौ. अव्यक्त-संकलन-व्यवकलना, बनाम 6, पृष्ठ.7</ref>
''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<ref>बीजगणित अध्या. अव्यक्त-संकलन-व्यवकलन, बनाम 6, पृ.7(Bījagaṇita ch. Avyakta-saṅkalana-vyavakalana, vs.6, p.7)</ref>


"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"
"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत/विषम शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"


'''व्याख्या:'''
'''व्याख्या:'''


यह सर्वविदित है कि जोड़ और घटाव केवल समान पदों में ही किया जा सकता है और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना है। समान शब्द वे शब्द हैं जिनमें समान अक्षर चर होते हैं जो समान शक्तियों के लिए उठाए जाते हैं। उदा., या ३, या ४, या ५ समान पद हैं। याव २, याव ५, याव ७ भी समान पद  हैं। का ३, का ७, का १५ भी समान पद हैं।आजकल हम कहते हैं कि 3x, 4x, 5x समान पद हैं। इसी प्रकार 2x<sup>2</sup>, 5x<sup>2</sup>, 7x<sup>2</sup> समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं। जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 3x + 5x को 8x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 10x<sup>2</sup> - 4x<sup>2</sup> को 6x<sup>2</sup> के रूप में सरल बनाया जा सकता है।
जोड़ और घटाव समान पदों के साथ किया जा सकता है, और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना होता है। समान घातों के लिए उठाए गए समान अक्षर चर को समान पदों के रूप में माना जाता है। उदा., ''या ४,या ५, या ६''  समान पद हैं। ''याव ७, याव ८, याव ९''  भी समान पद  हैं। ''का ३, का ७, का १५''  भी समान पद हैं। वर्तमान में हम कहते हैं कि 4x, 5x, 6x समान पद हैं। इसी प्रकार 7x<sup>2</sup>, 8x<sup>2</sup>, 9x<sup>2</sup> समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं।जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 4x + 6x को 10x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 9x<sup>2</sup> - 7x<sup>2</sup> को 2x<sup>2</sup> के रूप में सरल बनाया जा सकता है।


विपरीत पद वे पद हैं जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा.या ३, याव ३, याघ ४, का ५, काव, याकाभा । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x<sup>2</sup>, 4x<sup>3</sup>, 5y, y<sup>2</sup>, xy के रूप में दर्शाया जाता है।
विपरीत पद वे पद हैं, जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा: ''या''  ३, ''याव''  ३, ''याघ''  ४, ''का''  ५, ''काव'', ''याकाभा'' । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x<sup>2</sup>, 4x<sup>3</sup>, 5y, y<sup>2</sup>, xy के रूप में दर्शाया जाता है।


=== बीजीय व्यंजकों का गुणन ===
=== बीजीय व्यंजकों का गुणन ===
बीजगणित गुणन का नियम देता है -
बीजगणित गुणन का नियम देता इस प्रकार देता है -


''गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।''
''गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।''


''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<ref>बीजगणित चौ. अव्यक्तादि -गुणन , बनाम.8,पृष्ठ.8</ref>
''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<ref>बीजगणित अध्या. अव्यक्तदि-गुणन , बनाम.8, पृ.8(Bījagaṇita ch. Avyaktādi-guṇana, vs.8, p.8)</ref>


"गुणक को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और समस्या में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और सर्ड के वर्गों के मामले में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के मामले में बताई गई आंशिक उत्पादों की विधि यहां भी लागू होती है।"
"गुण्य को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और प्रश्न  में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और करणी (surd/सर्ड) के वर्गों कि स्थिति में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के स्थिति  में बताई गई आंशिक गुणनफलों  (partial products) की विधि यहां भी लागू होती है।"


'''व्याख्या'''
'''व्याख्या'''
Line 229: Line 222:
!आधुनिक संकेतन
!आधुनिक संकेतन
|-
|-
|यदि या ३ रू ५ और या ४ रू ७ क्रमशः गुणक और गुणक हैं,
|यदि या २ रू ४ और या ३ रू ५ क्रमशः गुण्य और गुणक हैं,
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:
उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:
|यदि 3x + 5 और 4x + 7 क्रमशः गुणक और गुणक हैं,
|यदि 2x +  4  और 3x + 5 क्रमशः गुण्य और गुणक हैं,


उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:
उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:
|-
|-
|गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ४ and रू ७
|गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ३  और रू ५
|गुणक के दो पद हैं, अर्थात् 4x और 7
|गुणक के दो पद हैं, अर्थात् 3x और 5
|-
|-
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।
|गुण्य को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।
(या ३ रू ५) X या ४ = याव १२ या २०
(या २ रू ४)) X या ३ = याव ६ या १२


(या ३ रू ५) X रू ७ = या २१ रू ३५
(या २ रू ४)) X रू ५ = या १० रू २०
|गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।
|गुण्य को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।
(3x + 5) X 4x = 12x<sup>2</sup> + 20x
(2x + 4) X 3x  = 6x<sup>2</sup> + 12x


(3x + 5) X 7 = 21x + 35
(2x + 4) X 5  = 10x + 20
|-
|-
|परिणाम जोड़ें।
|परिणाम जोड़ें।
गुणन परिणाम है:: याव् १२ या ४१ रू ३५
गुणन परिणाम है:: याव् ६ या २२ रू २०
|परिणाम जोड़ें।
|परिणाम जोड़ें।


गुणन परिणाम है: 12x<sup>2</sup> + 41x + 35
गुणन परिणाम है: 6x<sup>2</sup> + 22x + 20
|}
|}


 
यदि <math>ax + b</math> और <math>cx+d</math> क्रमशः गुण्य और गुणक हैं, तो उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:
 
यदि ax + b और cx + d क्रमशः गुणक और गुणक हैं, तो उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:


गुणक के दो पद हैं, अर्थात् cx और d। गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।
गुणक के दो पद हैं, अर्थात् cx और d। गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।


(ax +b) x cx = acx<sup>2</sup> + bcx
<math>(ax+b) cx = acx^2+bcx</math>


(ax + b) xd = adx + bd
<math>(ax+b)d = adx+bd</math>


परिणाम जोड़ें।
परिणाम जोड़ें।


गुणन परिणाम है: acx<