हानि फलन: Difference between revisions

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{{Short description|Mathematical relation assigning a probability event to a cost}}
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[[गणितीय अनुकूलन]] और [[निर्णय सिद्धांत]] में, हानि फलन या व्यय फलन (कभी-कभी त्रुटि फलन भी कहा जाता है) <ref name="ttf2001">{{cite book|first1=Trevor |last1=Hastie |authorlink1= |first2=Robert |last2=Tibshirani |authorlink2=Robert Tibshirani|first3=Jerome H. |last3=Friedman |authorlink3=Jerome H. Friedman |title=The Elements of Statistical Learning |publisher=Springer |year=2001 |isbn=0-387-95284-5 |page=18 |url=https://web.stanford.edu/~hastie/ElemStatLearn/}}</ref> ऐसा फलन है जो [[वास्तविक संख्या]] पर घटना (संभाव्यता सिद्धांत) या अधिक चर के मूल्यों को मानचित्रित करता है जो घटना से जुड़ी कुछ व्यय का प्रतिनिधित्व करता है। [[अनुकूलन समस्या]] हानि फलन को अल्प करने का प्रयास करती है। उद्देश्य फलन या तो हानि फलन है या इसका विपरीत (विशिष्ट डोमेन में, विभिन्न रूप से पुरस्कार फलन, लाभ फलन, उपयोगिता फलन, [[फिटनेस कार्य|फिटनेस फलन]], आदि) कहा जाता है, जिस स्थिति में इसे अधिकतम किया जाना है। हानि फलन में पदानुक्रम के कई स्तरों में शब्द सम्मिलित हो सकते हैं।
[[गणितीय अनुकूलन]] और [[निर्णय सिद्धांत]] में, '''हानि फलन''' या व्यय फलन (कभी-कभी त्रुटि फलन भी कहा जाता है) <ref name="ttf2001">{{cite book|first1=Trevor |last1=Hastie |authorlink1= |first2=Robert |last2=Tibshirani |authorlink2=Robert Tibshirani|first3=Jerome H. |last3=Friedman |authorlink3=Jerome H. Friedman |title=The Elements of Statistical Learning |publisher=Springer |year=2001 |isbn=0-387-95284-5 |page=18 |url=https://web.stanford.edu/~hastie/ElemStatLearn/}}</ref> ऐसा फलन है जो [[वास्तविक संख्या]] पर घटना (संभाव्यता सिद्धांत) या अधिक चर के मूल्यों को मानचित्रित करता है जो घटना से जुड़ी कुछ व्यय का प्रतिनिधित्व करता है। [[अनुकूलन समस्या]] हानि फलन को अल्प करने का प्रयास करती है। उद्देश्य फलन या तो हानि फलन है या इसका विपरीत (विशिष्ट डोमेन में, विभिन्न रूप से पुरस्कार फलन, लाभ फलन, उपयोगिता फलन, [[फिटनेस फलन|फिटनेस फलन]], आदि) कहा जाता है, जिस स्थिति में इसे अधिकतम किया जाना है। हानि फलन में पदानुक्रम के कई स्तरों में शब्द सम्मिलित हो सकते हैं।


आँकड़ों में, सामान्यतः [[पैरामीटर अनुमान]] के लिए हानि फलन का उपयोग किया जाता है, और प्रश्न में घटना आँकड़ों के उदाहरण के लिए अनुमानित और वास्तविक मूल्यों के मध्य अंतर का कुछ फलन है। [[पियरे-साइमन लाप्लास]] जितनी प्राचीन अवधारणा को 20वीं दशक के मध्य में [[अब्राहम का जन्म हुआ|अब्राहम वाल्ड]] द्वारा आंकड़ों में पुनः प्रस्तुत किया गया था।<ref>{{cite book |first=A. |last=Wald |title=Statistical Decision Functions |publisher=Wiley |year=1950 |url=https://psycnet.apa.org/record/1951-01400-000}}</ref> [[अर्थशास्त्र]] के संदर्भ में, उदाहरण के लिए, यह सामान्यतः [[आर्थिक लागत|आर्थिक व्यय]] या [[पछतावा (निर्णय सिद्धांत)|निर्णय सिद्धांत]] है। [[सांख्यिकीय वर्गीकरण]] में, यह उदाहरण के त्रुटिपूर्ण वर्गीकरण के लिए दंड है। [[जिवानांकिकी]] में, इसका उपयोग बीमा संदर्भ में प्रीमियम पर भुगतान किए गए मॉडल लाभों के लिए विशेष रूप से 1920 के दशक में हेराल्ड क्रैमर के कार्यों के पश्चात से किया जाता है।<ref>{{cite book |last=Cramér |first=H. |year=1930 |title=On the mathematical theory of risk |work=Centraltryckeriet }}</ref> [[इष्टतम नियंत्रण]] में, वांछित मूल्य प्राप्त करने में विफल रहने के लिए हानि का दंड है। [[वित्तीय जोखिम प्रबंधन|वित्तीय संकट प्रबंधन]] में, फलन को मौद्रिक हानि के लिए मानचित्रित किया जाता है।
आँकड़ों में, सामान्यतः [[पैरामीटर अनुमान]] के लिए हानि फलन का उपयोग किया जाता है, और प्रश्न में घटना आँकड़ों के उदाहरण के लिए अनुमानित और वास्तविक मूल्यों के मध्य अंतर का कुछ फलन है। [[पियरे-साइमन लाप्लास]] जितनी प्राचीन अवधारणा को 20वीं दशक के मध्य में [[अब्राहम का जन्म हुआ|अब्राहम वाल्ड]] द्वारा आंकड़ों में पुनः प्रस्तुत किया गया था।<ref>{{cite book |first=A. |last=Wald |title=Statistical Decision Functions |publisher=Wiley |year=1950 |url=https://psycnet.apa.org/record/1951-01400-000}}</ref> [[अर्थशास्त्र]] के संदर्भ में, उदाहरण के लिए, यह सामान्यतः [[आर्थिक लागत|आर्थिक व्यय]] या [[पछतावा (निर्णय सिद्धांत)|निर्णय सिद्धांत]] है। [[सांख्यिकीय वर्गीकरण]] में, यह उदाहरण के त्रुटिपूर्ण वर्गीकरण के लिए दंड है। [[जिवानांकिकी]] में, इसका उपयोग बीमा संदर्भ में प्रीमियम पर भुगतान किए गए मॉडल लाभों के लिए विशेष रूप से 1920 के दशक में हेराल्ड क्रैमर के फलनों के पश्चात से किया जाता है।<ref>{{cite book |last=Cramér |first=H. |year=1930 |title=On the mathematical theory of risk |work=Centraltryckeriet }}</ref> [[इष्टतम नियंत्रण]] में, वांछित मूल्य प्राप्त करने में विफल रहने के लिए हानि का दंड है। [[वित्तीय जोखिम प्रबंधन|वित्तीय संकट प्रबंधन]] में, फलन को मौद्रिक हानि के लिए मानचित्रित किया जाता है।


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
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=== द्विघात हानि फलन ===
=== द्विघात हानि फलन ===


द्विघात हानि फलन का उपयोग करते समय अल्प से अल्प वर्ग तकनीकों में किया जाता है। भिन्नता के गुणों के साथ-साथ सममित होने के कारण यह प्रायः अन्य हानि कार्यों की तुलना में अधिक गणितीय रूप से विनयशील होता है: लक्ष्य के ऊपर त्रुटि लक्ष्य के नीचे त्रुटि के समान परिमाण के समान हानि का कारण बनती है। यदि लक्ष्य t है, तो द्विघात हानि फलन है
द्विघात हानि फलन का उपयोग करते समय अल्प से अल्प वर्ग तकनीकों में किया जाता है। भिन्नता के गुणों के साथ-साथ सममित होने के कारण यह प्रायः अन्य हानि फलनों की अपेक्षा में अधिक गणितीय रूप से विनयशील होता है: लक्ष्य के ऊपर त्रुटि लक्ष्य के नीचे त्रुटि के समान परिमाण के समान हानि का कारण बनती है। यदि लक्ष्य t है, तो द्विघात हानि फलन है
:<math>\lambda(x) = C (t-x)^2 \; </math>
:<math>\lambda(x) = C (t-x)^2 \; </math>
कुछ स्थिर C के लिए; स्थिरांक के मान में किसी निर्णय पर कोई अंतर नहीं होता है, और इसे 1 के सामान समुच्चय के रूप अनुपस्थित किया जा सकता है। इसे 'वर्ग त्रुटि हानि' ('SEL') के रूप में भी जाना जाता है। <ref name="ttf2001" />
कुछ स्थिर C के लिए; स्थिरांक के मान में किसी निर्णय पर कोई अंतर नहीं होता है, और इसे 1 के सामान समुच्चय के रूप अनुपस्थित किया जा सकता है। इसे 'वर्ग त्रुटि हानि' ('SEL') के रूप में भी जाना जाता है। <ref name="ttf2001" />
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तात्पर्य यह है कि यदि इनपुट का मूल्यांकन सही है, तो आउटपुट 1 है। अन्यथा, यदि इनपुट का मूल्यांकन त्रुटिपूर्ण है, तो आउटपुट 0 होगा।
तात्पर्य यह है कि यदि इनपुट का मूल्यांकन सही है, तो आउटपुट 1 है। अन्यथा, यदि इनपुट का मूल्यांकन त्रुटिपूर्ण है, तो आउटपुट 0 होगा।


== हानि और उद्देश्य कार्यों का निर्माण ==
== हानि और उद्देश्य फलनों का निर्माण ==
{{See also|स्कोरिंग नियम}}
{{See also|स्कोरिंग नियम}}
कई अनुप्रयोगों में, विशेष स्थिति के रूप में हानि कार्यों सहित वस्तुनिष्ठ कार्य, समस्या निर्माण द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। अन्य स्थितियों में, निर्णयकर्ता की वरीयता को अनुकूलन के लिए उपयुक्त रूप में अदिश-मूल्यवान फलन (जिसे [[उपयोगिता]] फलन भी कहा जाता है) द्वारा प्राप्त और प्रतिनिधित्व किया जाना चाहिए- [[रैगनार फ्रेश|राग्नार फ्रिस्क]] ने अपने नोबेल पुरस्कार व्याख्यान में इस समस्या पर प्रकाश डाला है।<ref>{{cite book| first=Ragnar|last=Frisch|date=1969 |title= The Nobel Prize–Prize Lecture|chapter=From utopian theory to practical applications: the case of econometrics|url=https://www.nobelprize.org/prizes/economic-sciences/1969/frisch/lecture/|access-date=15 February 2021}}</ref>
कई अनुप्रयोगों में, विशेष स्थिति के रूप में हानि फलनों सहित वस्तुनिष्ठ फलन, समस्या निर्माण द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। अन्य स्थितियों में, निर्णयकर्ता की वरीयता को अनुकूलन के लिए उपयुक्त रूप में अदिश-मूल्यवान फलन (जिसे [[उपयोगिता]] फलन भी कहा जाता है) द्वारा प्राप्त और प्रतिनिधित्व किया जाना चाहिए- [[रैगनार फ्रेश|राग्नार फ्रिस्क]] ने अपने नोबेल पुरस्कार व्याख्यान में इस समस्या पर प्रकाश डाला है।<ref>{{cite book| first=Ragnar|last=Frisch|date=1969 |title= The Nobel Prize–Prize Lecture|chapter=From utopian theory to practical applications: the case of econometrics|url=https://www.nobelprize.org/prizes/economic-sciences/1969/frisch/lecture/|access-date=15 February 2021}}</ref>


उद्देश्य कार्यों के निर्माण के लिए उपस्थित विधियों को दो समर्पित सम्मेलनों की परिचालन में एकत्रित किया जाता है।<ref name="TangianGruber1997">{{Cite book
उद्देश्य फलनों के निर्माण के लिए उपस्थित विधियों को दो समर्पित सम्मेलनों की परिचालन में एकत्रित किया जाता है।<ref name="TangianGruber1997">{{Cite book
|last1=Tangian |first1=Andranik |last2=Gruber |first2=Josef |date=1997
|last1=Tangian |first1=Andranik |last2=Gruber |first2=Josef |date=1997
|title= Constructing Scalar-Valued Objective Functions. Proceedings of the Third International Conference on Econometric Decision Models: Constructing Scalar-Valued Objective Functions, University of Hagen, held in Katholische Akademie Schwerte September 5–8, 1995|series= Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems |volume=453|isbn= 978-3-540-63061-6 |doi= 10.1007/978-3-642-48773-6
|title= Constructing Scalar-Valued Objective Functions. Proceedings of the Third International Conference on Econometric Decision Models: Constructing Scalar-Valued Objective Functions, University of Hagen, held in Katholische Akademie Schwerte September 5–8, 1995|series= Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems |volume=453|isbn= 978-3-540-63061-6 |doi= 10.1007/978-3-642-48773-6
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विशेष रूप से, [[Andranik Tangian|एंड्रानिक टैंजियन]] ने दिखाया कि सबसे उपयोगी उद्देश्य फलन-द्विघात और योज्य कुछ उदासीनता बिंदुओं द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। उन्होंने इस संपत्ति का उपयोग इन वस्तुनिष्ठ कार्यों के निर्माण के लिए मॉडल में या तो [[क्रमिक उपयोगिता]] या [[कार्डिनल उपयोगिता]] आँकड़ों से किया था, जो निर्णय निर्माताओं के साथ कंप्यूटर-सहायता प्राप्त साक्षात्कारों के माध्यम से प्राप्त हुए थे।<ref name="Tangian2002">{{Cite journal|last=Tangian |first=Andranik |year=2002|title= Constructing a quasi-concave quadratic objective function from interviewing a decision maker|journal= European Journal of Operational Research |volume=141 |issue=3 |pages=608–640 |doi=10.1016/S0377-2217(01)00185-0 |s2cid= 39623350 }}</ref><ref name="Tangian2004additiveUtility">{{Cite journal|last=Tangian |first=Andranik |year=2004|title= A model for ordinally constructing additive objective functions|journal= European Journal of Operational Research |volume=159 |issue=2 |pages=476–512|doi = 10.1016/S0377-2217(03)00413-2  | s2cid= 31019036 }}</ref> अन्य विचारों के अतिरिक्त, उन्होंने 16 वेस्टफेलियन विश्वविद्यालयों और 271 जर्मन क्षेत्रों के मध्य अकर्मण्य दर को सामान करने के लिए यूरोपीय सब्सिडी के लिए बजट को इष्टतम रूप से वितरित करने के लिए वस्तुनिष्ठ कार्यों का निर्माण किया।<ref name="Tangian2004universityBudgets">{{Cite journal |last=Tangian |first=Andranik |year=2004 |title= Redistribution of university budgets with respect to the status quo |journal= European Journal of Operational Research |volume=157 |issue=2 |pages=409–428|doi = 10.1016/S0377-2217(03)00271-6 }}</ref><ref name="Tangian2008RegionalEnemployment">{{Cite journal|last=Tangian |first=Andranik |year=2008
विशेष रूप से, [[Andranik Tangian|एंड्रानिक टैंजियन]] ने दिखाया कि सबसे उपयोगी उद्देश्य फलन-द्विघात और योज्य कुछ उदासीनता बिंदुओं द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। उन्होंने इस संपत्ति का उपयोग इन वस्तुनिष्ठ फलनों के निर्माण के लिए मॉडल में या तो [[क्रमिक उपयोगिता]] या [[कार्डिनल उपयोगिता]] आँकड़ों से किया था, जो निर्णय निर्माताओं के साथ कंप्यूटर-सहायता प्राप्त साक्षात्कारों के माध्यम से प्राप्त हुए थे।<ref name="Tangian2002">{{Cite journal|last=Tangian |first=Andranik |year=2002|title= Constructing a quasi-concave quadratic objective function from interviewing a decision maker|journal= European Journal of Operational Research |volume=141 |issue=3 |pages=608–640 |doi=10.1016/S0377-2217(01)00185-0 |s2cid= 39623350 }}</ref><ref name="Tangian2004additiveUtility">{{Cite journal|last=Tangian |first=Andranik |year=2004|title= A model for ordinally constructing additive objective functions|journal= European Journal of Operational Research |volume=159 |issue=2 |pages=476–512|doi = 10.1016/S0377-2217(03)00413-2  | s2cid= 31019036 }}</ref> अन्य विचारों के अतिरिक्त, उन्होंने 16 वेस्टफेलियन विश्वविद्यालयों और 271 जर्मन क्षेत्रों के मध्य अकर्मण्य दर को सामान करने के लिए यूरोपीय सब्सिडी के लिए बजट को इष्टतम रूप से वितरित करने के लिए वस्तुनिष्ठ फलनों का निर्माण किया।<ref name="Tangian2004universityBudgets">{{Cite journal |last=Tangian |first=Andranik |year=2004 |title= Redistribution of university budgets with respect to the status quo |journal= European Journal of Operational Research |volume=157 |issue=2 |pages=409–428|doi = 10.1016/S0377-2217(03)00271-6 }}</ref><ref name="Tangian2008RegionalEnemployment">{{Cite journal|last=Tangian |first=Andranik |year=2008
|title= Multi-criteria optimization of regional employment policy: A simulation analysis for Germany |journal= Review of Urban and Regional Development |volume=20 |issue=2|pages=103–122 |url= https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1467-940X.2008.00144.x |doi = 10.1111/j.1467-940X.2008.00144.x }}</ref>
|title= Multi-criteria optimization of regional employment policy: A simulation analysis for Germany |journal= Review of Urban and Regional Development |volume=20 |issue=2|pages=103–122 |url= https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1467-940X.2008.00144.x |doi = 10.1111/j.1467-940X.2008.00144.x }}</ref>
== अपेक्षित हानि ==
== अपेक्षित हानि ==
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==== फ़्रीक्वेंटिस्ट अपेक्षित हानि ====
==== फ़्रीक्वेंटिस्ट अपेक्षित हानि ====
हम पूर्व में होने वाले संदर्भ में अपेक्षित हानि को परिभाषित करते हैं। इसे प्रेक्षित मान X के प्रायिकता वितरण, P<sub>''θ''</sub> के संबंध में अपेक्षित मान लेकर प्राप्त किया जाता है इसे निर्णय नियम δ और पैरामीटर θ के 'संकटकार्य' के रूप में भी जाना जाता है।<ref>{{SpringerEOM| title=Risk of a statistical procedure |id=R/r082490 |first=M.S. |last=Nikulin}}</ref><ref>
हम पूर्व में होने वाले संदर्भ में अपेक्षित हानि को परिभाषित करते हैं। इसे प्रेक्षित मान X के प्रायिकता वितरण, P<sub>''θ''</sub> के संबंध में अपेक्षित मान लेकर प्राप्त किया जाता है इसे निर्णय नियम δ और पैरामीटर θ के 'संकटफलन' के रूप में भी जाना जाता है।<ref>{{SpringerEOM| title=Risk of a statistical procedure |id=R/r082490 |first=M.S. |last=Nikulin}}</ref><ref>
{{cite book
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  |title=Statistical decision theory and Bayesian Analysis
  |title=Statistical decision theory and Bayesian Analysis
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: <math>R(\theta, \delta) = \operatorname{E}_\theta L\big( \theta, \delta(X) \big) = \int_X L\big( \theta, \delta(x) \big) \, \mathrm{d} P_\theta (x) .</math>
: <math>R(\theta, \delta) = \operatorname{E}_\theta L\big( \theta, \delta(X) \big) = \int_X L\big( \theta, \delta(x) \big) \, \mathrm{d} P_\theta (x) .</math>
यहाँ, θ प्रकृति की निश्चित लेकिन संभवतः अज्ञात अवस्था है, X सांख्यिकीय जनसंख्या से स्टोकेस्टिक रूप से खींची गई टिप्पणियों का सदिश है, <math>\operatorname{E}_\theta</math>, X के सभी जनसंख्या मूल्यों पर अपेक्षा है,  dP<sub>''θ''</sub> X के घटना स्थान पर संभावना माप है (θ द्वारा पैरामीट्रिज्ड) और समाकलन का मूल्यांकन X के संपूर्ण [[समर्थन (माप सिद्धांत)]] पर किया जाता है।
यहाँ, θ प्रकृति की निश्चित किंतु संभवतः अज्ञात अवस्था है, X सांख्यिकीय जनसंख्या से स्टोकेस्टिक रूप से खींची गई टिप्पणियों का सदिश है, <math>\operatorname{E}_\theta</math>, X के सभी जनसंख्या मूल्यों पर अपेक्षा है,  dP<sub>''θ''</sub> X के घटना स्थान पर संभावना माप है (θ द्वारा पैरामीट्रिज्ड) और समाकलन का मूल्यांकन X के संपूर्ण [[समर्थन (माप सिद्धांत)]] पर किया जाता है।


==== बायेसियन अपेक्षित हानि ====
==== बायेसियन अपेक्षित हानि ====
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*न्यूनतम औसत हानि के साथ निर्णय नियम का चयन करें (अर्थात हानि फलन के अपेक्षित मूल्य को अल्प करें): <math display="block"> \underset{\delta} {\operatorname{arg\,min}} \operatorname{E}_{\theta \in \Theta} [R(\theta,\delta)] = \underset{\delta} {\operatorname{arg\,min}} \ \int_{\theta \in \Theta} R(\theta,\delta) \, p(\theta) \,d\theta. </math>
*न्यूनतम औसत हानि के साथ निर्णय नियम का चयन करें (अर्थात हानि फलन के अपेक्षित मूल्य को अल्प करें): <math display="block"> \underset{\delta} {\operatorname{arg\,min}} \operatorname{E}_{\theta \in \Theta} [R(\theta,\delta)] = \underset{\delta} {\operatorname{arg\,min}} \ \int_{\theta \in \Theta} R(\theta,\delta) \, p(\theta) \,d\theta. </math>
== हानि फलन का चयन ==
== हानि फलन का चयन ==
ध्वनि सांख्यिकीय अभ्यास के लिए किसी विशेष प्रारम्भ समस्या के संदर्भ में अनुभव किए गए वास्तविक स्वीकार्य भिन्नता के अनुरूप अनुमानक का चयन करने की आवश्यकता होती है। इस प्रकार, हानि कार्यों के प्रारम्भ उपयोग में, प्रारम्भ समस्या को मॉडल करने के लिए किस सांख्यिकीय पद्धति का उपयोग करना है, यह उस हानि को जानने पर निर्भर करता है जो समस्या की विशेष परिस्थितियों में त्रुटिपूर्ण होने से अनुभव किया जाएगा।<ref>{{cite book |last=Pfanzagl |first=J. |year=1994 |title=Parametric Statistical Theory |location=Berlin |publisher=Walter de Gruyter |isbn=978-3-11-013863-4 }}</ref>
ध्वनि सांख्यिकीय अभ्यास के लिए किसी विशेष प्रारम्भ समस्या के संदर्भ में अनुभव किए गए वास्तविक स्वीफलन भिन्नता के अनुरूप अनुमानक का चयन करने की आवश्यकता होती है। इस प्रकार, हानि फलनों के प्रारम्भ उपयोग में, प्रारम्भ समस्या को मॉडल करने के लिए किस सांख्यिकीय पद्धति का उपयोग करना है, यह उस हानि को जानने पर निर्भर करता है जो समस्या की विशेष परिस्थितियों में त्रुटिपूर्ण होने से अनुभव किया जाएगा।<ref>{{cite book |last=Pfanzagl |first=J. |year=1994 |title=Parametric Statistical Theory |location=Berlin |publisher=Walter de Gruyter |isbn=978-3-11-013863-4 }}</ref>


सामान्य उदाहरण में [[स्थान पैरामीटर]] का अनुमान लगाना सम्मिलित है। विशिष्ट सांख्यिकीय मान्यताओं के अनुसार, माध्य या औसत स्थान का अनुमान लगाने के लिए आँकड़ा है जो अल्प से अल्प वर्गों के अनुसार अनुभवी हानि को अल्प करता है। वर्ग-त्रुटि हानि फलन, जबकि माध्य अनुमानक है जो निरपेक्ष-अंतर हानि फलन के अनुसार अनुभव किए गए अपेक्षित हानि को अल्प करता है। अभी भी भिन्न-भिन्न अनुमानक अन्य, अल्प सामान्य परिस्थितियों में इष्टतम होंगे।
सामान्य उदाहरण में [[स्थान पैरामीटर]] का अनुमान लगाना सम्मिलित है। विशिष्ट सांख्यिकीय मान्यताओं के अनुसार, माध्य या औसत स्थान का अनुमान लगाने के लिए आँकड़ा है जो अल्प से अल्प वर्गों के अनुसार अनुभवी हानि को अल्प करता है। वर्ग-त्रुटि हानि फलन, जबकि माध्य अनुमानक है जो निरपेक्ष-अंतर हानि फलन के अनुसार अनुभव किए गए अपेक्षित हानि को अल्प करता है। अभी भी भिन्न-भिन्न अनुमानक अन्य, अल्प सामान्य परिस्थितियों में इष्टतम होंगे।
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व्यय के अन्य उपाय संभव हैं, उदाहरण के लिए [[सार्वजनिक स्वास्थ्य]] या [[सुरक्षा इंजीनियरिंग|सुरक्षा अभियांत्रिकी]] के क्षेत्र में [[मृत्यु दर]] या रुग्णता का होना।
व्यय के अन्य उपाय संभव हैं, उदाहरण के लिए [[सार्वजनिक स्वास्थ्य]] या [[सुरक्षा इंजीनियरिंग|सुरक्षा अभियांत्रिकी]] के क्षेत्र में [[मृत्यु दर]] या रुग्णता का होना।


अधिकांश अनुकूलन एल्गोरिदम के लिए, हानि फलन होना वांछनीय है जो विश्व स्तर पर [[निरंतर कार्य|निरंतर]] फलन और भिन्न-भिन्न फलन हो।
अधिकांश अनुकूलन एल्गोरिदम के लिए, हानि फलन होना वांछनीय है जो विश्व स्तर पर [[निरंतर फलन|निरंतर]] फलन और भिन्न-भिन्न फलन हो।


दो अधिक ही सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले हानि फलन औसत वर्ग त्रुटि हैं, <math>L(a) = a^2</math>, और [[पूर्ण विचलन]], <math>L(a)=|a|</math>. चूंकि पूर्ण हानि यह है कि यह भिन्न-भिन्न नहीं है <math>a=0</math>. वर्ग हानि यह है कि इसमें [[ग़ैर|अन्य]] का वर्चस्व होने की प्रवृत्ति होती है- जब समुच्चय पर योग किया जाता है <math>a</math> (जैसा कि <math display="inline">\sum_{i=1}^n L(a_i) </math>), अंतिम योग औसत a-मान की अभिव्यक्ति के अतिरिक्त कुछ विशेष रूप से बड़े a-मानों का परिणाम होता है।
दो अधिक ही सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले हानि फलन औसत वर्ग त्रुटि हैं, <math>L(a) = a^2</math>, और [[पूर्ण विचलन]], <math>L(a)=|a|</math> है। चूंकि पूर्ण हानि यह है कि <math>a=0</math> यह भिन्न-भिन्न नहीं है। वर्ग हानि यह है कि इसमें [[ग़ैर|अन्य]] का वर्चस्व होने की प्रवृत्ति होती है- जब समुच्चय पर योग किया जाता है <math>a</math> (जैसा कि <math display="inline">\sum_{i=1}^n L(a_i) </math>), अंतिम योग औसत a-मान की अभिव्यक्ति के अतिरिक्त कुछ विशेष रूप से बड़े a-मानों का परिणाम होता है।


हानि फलन का चयन के इच्छानुसार नहीं है। यह अधिक ही प्रतिबंधात्मक है और कभी-कभी हानि फलन को इसके वांछनीय गुणों से चिह्नित किया जा सकता है।<ref>Detailed information on mathematical principles of the loss function choice is given in Chapter 2 of the book {{cite book|title=Robust and Non-Robust Models in Statistics|first1=B.|last1=Klebanov|first2=Svetlozat T.|last2=Rachev|first3=Frank J.|last3=Fabozzi|publisher=Nova Scientific Publishers, Inc.|location=New York|year=2009}} (and references there).</ref> रुचि के सिद्धांतों में, उदाहरण के लिए, i.i.d की स्थिति में सममित आंकड़ों के वर्ग की पूर्णता में अवलोकन, पूर्ण सूचना का सिद्धांत और कुछ अन्य की आवश्यकता है।
हानि फलन का चयन के इच्छानुसार नहीं है। यह अधिक ही प्रतिबंधात्मक है और कभी-कभी हानि फलन को इसके वांछनीय गुणों से चिह्नित किया जा सकता है।<ref>Detailed information on mathematical principles of the loss function choice is given in Chapter 2 of the book {{cite book|title=Robust and Non-Robust Models in Statistics|first1=B.|last1=Klebanov|first2=Svetlozat T.|last2=Rachev|first3=Frank J.|last3=Fabozzi|publisher=Nova Scientific Publishers, Inc.|location=New York|year=2009}} (and references there).</ref> रुचि के सिद्धांतों में, उदाहरण के लिए, i.i.d की स्थिति में सममित आंकड़ों के वर्ग की पूर्णता में अवलोकन, पूर्ण सूचना का सिद्धांत और कुछ अन्य की आवश्यकता है।


डब्ल्यू एडवर्ड्स डेमिंग और [[नसीम निकोलस तालेब]] का विचार है कि अनुभवजन्य वास्तविकता, उत्तम गणितीय गुण नहीं, हानि के कार्यों का चयन करने का एकमात्र आधार होना चाहिए, और वास्तविक हानि प्रायः गणितीय रूप से उत्तम नहीं होते हैं और भिन्न-भिन्न, निरंतर, सममित आदि नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, व्यक्ति जो वायुयान के गेट के बंद होने से पूर्व आता है वह अभी भी वायुयान बना सकता है, लेकिन व्यक्ति जो पश्चात में आता है वह नहीं कर सकता है, अंतराल और विषमता जो थोड़ा शीघ्र पहुंचने की तुलना में थोड़ा देर से पहुंचना अधिक मूल्य बना देता है। दवा की मात्रा में, अधिक अल्प दवा की व्यय प्रभावकारिता की अल्पता हो सकती है, जबकि अधिक व्यय सहनीय विषाक्तता हो सकती है, विषमता का उदाहरण- ट्रैफ़िक, पाइप, बीम, पारिस्थितिकी, जलवायु, आदि बिंदु तक थोड़े ध्यान देने योग्य परिवर्तन के साथ बढ़े हुए भार या तनाव को सहन कर सकते हैं, फिर बैक अप हो सकते हैं या भयावह रूप से खंडित हो सकते हैं। डेमिंग और तालेब विचार देते हैं कि ये स्थितियाँ, वास्तविक जीवन की समस्याओं में सामान्य हैं, संभवतः शास्त्रीय कोमल, निरंतर, सममित, विभेदक स्तिथियों की तुलना में अधिक सामान्य हैं।<ref>{{Cite book|title=Out of the Crisis|last=Deming|first=W. Edwards|publisher=The MIT Press|year=2000|isbn=9780262541152}}</ref>
डब्ल्यू एडवर्ड्स डेमिंग और [[नसीम निकोलस तालेब]] का विचार है कि अनुभवजन्य वास्तविकता, उत्तम गणितीय गुण नहीं, हानि के फलनों का चयन करने का एकमात्र आधार होना चाहिए, और वास्तविक हानि प्रायः गणितीय रूप से उत्तम नहीं होते हैं और भिन्न-भिन्न, निरंतर, सममित आदि नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, व्यक्ति जो वायुयान के गेट के बंद होने से पूर्व आता है वह अभी भी वायुयान बना सकता है, किंतु व्यक्ति जो पश्चात में आता है वह नहीं कर सकता है, अंतराल और विषमता जो थोड़ा शीघ्र पहुंचने की अपेक्षा में थोड़ा देर से पहुंचना अधिक मूल्य बना देता है। दवा की मात्रा में, अधिक अल्प दवा की व्यय प्रभावकारिता की कमी हो सकती है, जबकि अधिक व्यय सहनीय विषाक्तता हो सकती है, विषमता का एक और उदाहरण है। ट्रैफ़िक, पाइप, बीम, पारिस्थितिकी, जलवायु, आदि बिंदु तक थोड़े ध्यान देने योग्य परिवर्तन के साथ बढ़े हुए भार या तनाव को सहन कर सकते हैं, फिर वापस आ जाते हैं या भयावह रूप से खंडित हो सकते हैं। डेमिंग और तालेब विचार देते हैं कि ये स्थितियाँ, वास्तविक जीवन की समस्याओं में सामान्य हैं, संभवतः शास्त्रीय कोमल, निरंतर, सममित, विभेदक स्तिथियों की अपेक्षा में अधिक सामान्य हैं।<ref>{{Cite book|title=Out of the Crisis|last=Deming|first=W. Edwards|publisher=The MIT Press|year=2000|isbn=9780262541152}}</ref>
== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* [[बायेसियन पछतावा|बायेसियन खेद]]
* [[वर्गीकरण के लिए हानि फलन]]
* [[वर्गीकरण के लिए हानि कार्य]]
*अधिकतम हानि पर छूट
*छूट अधिकतम हानि  
* [[काज हानि]]
* [[काज हानि]]
* [[स्कोरिंग नियम]]
* [[स्कोरिंग नियम]]
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|bibcode=1985sdtb.book.....B }}
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*{{cite journal|url=https://www.researchgate.net/publication/5216117|doi=10.1093/oxrep/16.4.43|title=Making monetary policy: Objectives and rules|journal=Oxford Review of Economic Policy|volume=16|issue=4|pages=43–59|year=2000|last1=Cecchetti|first1=S.}}
[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Loss Function]]
 
[[Category:CS1 errors]]
*{{cite journal|doi=10.1016/0164-0704(87)90016-4|title=Loss functions and public policy|journal=Journal of Macroeconomics|volume=9|issue=4|pages=489–504|year=1987|last1=Horowitz|first1=Ann R.}}
[[Category:Collapse templates|Loss Function]]
 
[[Category:Created On 13/02/2023|Loss Function]]
*{{cite journal|jstor=1911380|title=Asymmetric Policymaker Utility Functions and Optimal Policy under Uncertainty|journal=Econometrica|volume=44|issue=1|pages=53–66|last1=Waud|first1=Roger N.|year=1976|doi=10.2307/1911380}}
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Latest revision as of 16:14, 12 October 2023

गणितीय अनुकूलन और निर्णय सिद्धांत में, हानि फलन या व्यय फलन (कभी-कभी त्रुटि फलन भी कहा जाता है) [1] ऐसा फलन है जो वास्तविक संख्या पर घटना (संभाव्यता सिद्धांत) या अधिक चर के मूल्यों को मानचित्रित करता है जो घटना से जुड़ी कुछ व्यय का प्रतिनिधित्व करता है। अनुकूलन समस्या हानि फलन को अल्प करने का प्रयास करती है। उद्देश्य फलन या तो हानि फलन है या इसका विपरीत (विशिष्ट डोमेन में, विभिन्न रूप से पुरस्कार फलन, लाभ फलन, उपयोगिता फलन, फिटनेस फलन, आदि) कहा जाता है, जिस स्थिति में इसे अधिकतम किया जाना है। हानि फलन में पदानुक्रम के कई स्तरों में शब्द सम्मिलित हो सकते हैं।

आँकड़ों में, सामान्यतः पैरामीटर अनुमान के लिए हानि फलन का उपयोग किया जाता है, और प्रश्न में घटना आँकड़ों के उदाहरण के लिए अनुमानित और वास्तविक मूल्यों के मध्य अंतर का कुछ फलन है। पियरे-साइमन लाप्लास जितनी प्राचीन अवधारणा को 20वीं दशक के मध्य में अब्राहम वाल्ड द्वारा आंकड़ों में पुनः प्रस्तुत किया गया था।[2] अर्थशास्त्र के संदर्भ में, उदाहरण के लिए, यह सामान्यतः आर्थिक व्यय या निर्णय सिद्धांत है। सांख्यिकीय वर्गीकरण में, यह उदाहरण के त्रुटिपूर्ण वर्गीकरण के लिए दंड है। जिवानांकिकी में, इसका उपयोग बीमा संदर्भ में प्रीमियम पर भुगतान किए गए मॉडल लाभों के लिए विशेष रूप से 1920 के दशक में हेराल्ड क्रैमर के फलनों के पश्चात से किया जाता है।[3] इष्टतम नियंत्रण में, वांछित मूल्य प्राप्त करने में विफल रहने के लिए हानि का दंड है। वित्तीय संकट प्रबंधन में, फलन को मौद्रिक हानि के लिए मानचित्रित किया जाता है।

उदाहरण

निर्णय सिद्धांत

Main article: निर्णय सिद्धांत

लियोनार्ड जे. सैवेज ने विचार दिया कि अन्य-बायेसियन विधियों जैसे कि न्यूनतम उपयोग करते हुए, हानि का फलन निर्णय सिद्धांत के विचार पर आधारित होना चाहिए, अर्थात, किसी निर्णय से जुड़ी हानि सबसे उत्तम निर्णय के परिणामों के मध्य का अंतर होना चाहिए। यह किया जा सकता था कि अंतर्निहित परिस्थितियों की जानकारी हो और निर्णय जो वास्तव में उनके ज्ञात होने से पूर्व लिया गया हो।

द्विघात हानि फलन

द्विघात हानि फलन का उपयोग करते समय अल्प से अल्प वर्ग तकनीकों में किया जाता है। भिन्नता के गुणों के साथ-साथ सममित होने के कारण यह प्रायः अन्य हानि फलनों की अपेक्षा में अधिक गणितीय रूप से विनयशील होता है: लक्ष्य के ऊपर त्रुटि लक्ष्य के नीचे त्रुटि के समान परिमाण के समान हानि का कारण बनती है। यदि लक्ष्य t है, तो द्विघात हानि फलन है

कुछ स्थिर C के लिए; स्थिरांक के मान में किसी निर्णय पर कोई अंतर नहीं होता है, और इसे 1 के सामान समुच्चय के रूप अनुपस्थित किया जा सकता है। इसे 'वर्ग त्रुटि हानि' ('SEL') के रूप में भी जाना जाता है। [1]

t- परीक्षण, प्रतिगमन विश्लेषण मॉडल, प्रयोगों के डिजाइन, और अधिक कुछ सहित कई सामान्य आँकड़े, रैखिक प्रतिगमन सिद्धांत का उपयोग करके अल्प से अल्प वर्ग विधियों का उपयोग करते हैं, जो द्विघात हानि फलन पर आधारित है।

द्विघात हानि फलन का उपयोग रैखिक-द्विघात इष्टतम नियंत्रण समस्याओं में भी किया जाता है। इन समस्याओं में, अनिश्चितता के अभाव में भी, सभी लक्ष्य चरों के वांछित मूल्यों को प्राप्त करना संभव नहीं हो सकता है। प्रायः हानि को उनके वांछित मूल्यों से ब्याज के चर के विचलन में द्विघात रूप में व्यक्त किया जाता है; यह दृष्टिकोण विनयशील है क्योंकि इसका परिणाम रैखिक प्रथम-क्रम स्थितियों में होता है। स्टोकेस्टिक नियंत्रण के संदर्भ में, द्विघात रूप के अपेक्षित मूल्य का उपयोग किया जाता है।

0-1 हानि फलन

सांख्यिकी और निर्णय सिद्धांत में, प्रायः उपयोग किया जाने वाला हानि फलन 0-1 हानि फलन होता है