समीकरण: Difference between revisions

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{{Infobox person

| name = समीकरण

| image = [[File:Algebraic equation notation.svg|150px]]

}}

== समीकरण बनाना ==

~~किसी भी प्रकार के समीकरण के~~ वास्तविक समाधान ~~की ओर बढ़ने~~ से पहले, ~~इसे हल के लिए तैयार करने के लिए~~ कुछ प्रारंभिक ~~संक्रियाओं को करना आवश्यक~~ है।

वास्तविक समाधान में जाने से पहले, हमें समीकरणों पर कुछ प्रारंभिक संचालन करने की आवश्यकता है।

~~अभी भी अधिक प्रारंभिक कार्य~~ प्रस्तावित ~~समस्या~~ की ~~स्थितियों~~ से समीकरण (''समी-करण, समी-करा या समी-क्रिया''; ''समा, बराबर'' और ''कर्'' से करना; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने का है। ~~इस तरह के प्रारंभिक कार्य के~~ लिए बीजगणित या अंकगणित के एक या एक से अधिक ~~मौलिक संचालन के आवेदन~~ की आवश्यकता हो सकती है।

हमें प्रस्तावित प्रश्न की दी गई शर्तों से समीकरण (''समी-करण, समी-करा या समी-क्रिया''; ''समा, बराबर'' और ''कर्'' से करना; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने की आवश्यकता है। इसके लिए बीजगणित या अंकगणित की एक या एक से अधिक मूलभूत संक्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।

भास्कर द्वितीय कहते हैं: "''यावत्-तावत्'' " को अज्ञात मात्रा के मूल्य ~~के रूप में माना जाता है।~~ फिर जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है-एक समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या ~~विभाजित करना~~ बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।

[[भास्कर द्वितीय]] कहते हैं: "''यावत्-तावत्'' " को अज्ञात मात्रा का मान/मूल्य मान लें। फिर ठीक वैसा ही करें, जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है- किसी समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या भाग देना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।

[[File:Equation illustration colour.svg|thumb|बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण]]

== बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण ==

~~बीजगणितीय~~ व्यंजक ~~क्या है? आइए इसे~~ एक ~~उदाहरण से समझने की कोशिश करते हैं।~~

बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण <ref>भारतीय गणितम के लिए एक प्राइमर, भारतीय-गणित-प्रवेश- भाग -1। संस्कृत प्रमोशन फाउंडेशन।''(A Primer to Bhāratīya Gaṇitam , Bhāratīya-Gaṇita-Praveśa- Part-1''. Samskrit Promotion Foundation.) 2021. [[ISBN (identifier)|ISBN]] [[Special:BookSources/978-81-951757-2-7|<bdi>978-81-951757-2-7</bdi>]].</ref>से समझा जा सकता है।

~~गीता कहती है कि उसके पास माला~~ से 10 कंचे ज्यादा हैं। हम ठीक से नहीं जानते कि माला के पास कितने कंचे हैं। उसके पास कितने भी कंचे हो सकते हैं। लेकिन हम जानते हैं कि

~~गीता~~ के ~~कंचों~~ की संख्या = ~~माला~~ के ~~कंचों~~ की संख्या + 10

राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के ज्यादा हैं। हम ठीक से नहीं जानते कि श्याम के पास कितने सिक्के हैं। उसके पास कितने भी सिक्के हो सकते हैं। लेकिन हम जानते हैं कि राम के सिक्कों की संख्या = श्याम के सिक्कों की संख्या + 10

हम '~~माला~~ के ~~कंचों~~ की संख्या' को अक्षर x से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।

हम 'श्याम के सिक्कों की संख्या' को अक्षर x से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।

x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,

~~गीता~~ के ~~कंचों~~ की संख्या = x+10

राम के सिक्कों की संख्या = x+10

अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।

प्रतीकों के प्रयोग ~~में बीजगणित प्रचुर मात्रा में~~ है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।

बीजगणित प्रतीकों के प्रयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं, जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।

{| class="wikitable"

|+

Line 42:

Line 45:

नी , ........

|या ३

|या ३५

का ४

का १४

नी ८

नी ८२

|3x

|35x

4y

14y

8z

82z

|-

|2

Line 56:

Line 59:

|<nowiki>-</nowiki>

|या का

या ३ का ४

या ३५ का १४

|x + y

3x + 4y

35x + 14y

|-

|3

Line 65:

Line 68:

|भा

|याकाभा

याकाभा ३

याकाभा ३२

|xy

~~3xy~~

32xy

|-

| 4

Line 94:

Line 97:

|रूपम्

|रू

|रू ३

|रू ३२

|3

|32

|-

|8

Line 102:

Line 105:

| मात्रा के ऊपर बिंदु (.)

|'''.'''

रू ४

रू ४३२

|~~<nowiki>~~-~~4</nowiki>~~

| -432

|}

अक्षर '<nowiki/>''या'' '(''यावत्-तावत्'' का संक्षिप्त रूप),अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को '<nowiki/>''याव'' ' कहा जाता था, जो ''यावत्-तावत्-वर्ग'' (''वर्ग'' का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। स्थिर पद को '''रू'' 'अक्षर से निरूपित किया गया था, जो ''रूपा'' का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि उपरोक्त तालिका में दिखाया गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।

अक्षर या (यावत्-तावत् का संक्षिप्त रूप) अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को यव कहा जाता था, जो यावत्-तावत्-वर्ग (वर्ग का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। समीकरण लिखते समय, अचर पद को रू अक्षर से निरूपित किया जाता था, जो रूपा का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि ऊपर दी गई तालिका में देखा गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।

यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न ''या'' , ''का'', और ''नी'' हैं। ये ''यावत्-तावत्,'' ''कालका'' और ''नीलका'' के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के गुणनफल को ''याकाभा'' के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ ''या'' और ''का'' दो अज्ञात हैं और ''भा'' उनके गुणनफल के लिए है।

यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न या , का, और नी हैं। ये यावत्-तावत्, कालका और नीलका के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के ~~उत्पाद~~ को याकाभा के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ या और का दो अज्ञात हैं और भा उनके ~~उत्पाद~~ के लिए है।

निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।

Line 121:

|-

|1

|x + 1

|x + 17

|या १ रू १

|या १ रू १७

|-

|2

|3x - 7

|7x - 17

|या ३ रू ७'''.'''

|या ७ रू १७'''.'''

|-

|3

|2x – 8

|18x – 8

|या २ रू ८'''.'''

|या १८ रू ८'''.'''

|-

|4

|15x2 + 7x - 2

|15x2 + 17x - 2

|याव १५ या ७ रू २'''.'''

|-

|5

|1x4 + 6x3 + 25x2 + ~~48x~~ + 64

|1x4 + 16x3 + 25x2 + 8x + 6

|यावव १ याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४

|यावव १ याघ १६ याव २५ या ८ रू ६

|-

|6

|~~18x~~2 + 12xy - 6xz -6x

|8x2 + 12xy - 6xz -16x

|याव १८ याकाभा १२ यानीभा ६'''.''' या ६'''.'''

|याव ८ याकाभा १२ यानीभा ६'''.''' या १६'''.'''

|}

== बीजीय ~~संकेतन ==~~

हम देखेंगे कि प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।

* अज्ञात संख्याओं के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीकों में ''यावत-तावत'' (जितना जितना हो) का ''या'' के प्रारंभिक शब्दांश, ''कालका'' (काला) का ''का'' , ''नीलका'' (नीला) का ''नी'' , ''पीत'' (पीला) का ''पी'' शामिल है, आदि ।

समीकरण 10x - 8 = x2 +1 पर विचार करें

* दो अज्ञातों के गुणनफल को उनके बाद रखे ''भाविता'' (उत्पाद) के प्रारंभिक शब्दांश ''भा'' द्वारा दर्शाया जाता है। शक्तियों को वर्ग (वर्ग) के व , घन (घन) के घ, के प्रारंभिक अक्षरों ''वा'' द्वारा दर्शाया गया है; ''वावा'' का मतलब ''वर्गवर्ग'', चौथी शक्ति है। कभी-कभी ''घट'' (उत्पाद) का प्रारंभिक शब्दांश ''घा'' शक्तियों के योग के लिए होता है।

* प्रतीक के बगल में एक गुणांक रखा गया है। अचर पद को ''रूप'' (रूप) के प्रारंभिक प्रतीक '''''रु''''' द्वारा निरूपित किया जाता है।

* ऋणात्मक पूर्णांक के ऊपर एक बिंदु रखा गया है

* एक समीकरण के दो पक्षों को एक दूसरे के नीचे रखा जाता है। इस प्रकार समीकरण ~~X4~~ - 2X2 ~~- 400x = 9999; के रूप में लिखा गया है~~

~~यावव~~ 1 ~~याव 2● या 400● रू ०~~

~~यावव ० याव ० या ० रू ९९९९~~

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,

~~जिसका अर्थ है या के लिए x लिखना~~

0x2 + 10x - 8 = 1x2 + 0x + 1

x4 ~~-2x~~2 ~~-400x+0 = 0x~~4 ~~+0x2<~~/~~sup>+0x+9999~~

x2, x1, x0 (स्थिर पद/अवधि) की स्थितियों का निरीक्षण करने पर कुछ स्वरूप मिलता है? समीकरण लिखने का सामान्य तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम(descending order) में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।

~~यदि कई अज्ञात हैं, तो~~ एक ~~ही तरह~~ के ~~लोगों~~ को एक ~~ही कॉलम में शून्य गुणांक~~ के ~~साथ~~ लिखा ~~जाता है, यदि आवश्यक हो। इस प्रकार~~ समीकरण

[[ब्रह्मगुप्त]] ने समीकरण को ''समकरण'' या ''संकरण'' कहा है। इसका अर्थ है 'समान बनाना'। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा गया था। प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।

~~197x~~ - ~~1644y~~ - z = ~~6302 द्वारा~~ दर्शाया गया है

चतुर्वेद पृथूदकस्वामिन् (864 ईस्वी) ने ब्रह्म-स्फूट-सिद्धांत पर अपनी टिप्पणी में समीकरण 40x - 48 = x2 + 51 को नीचे के रूप में लिखा है

{| class="wikitable"

|+

!देवनागरी

!लिप्यंतरण

!

!आधुनिक संकेतन

|-

|याव ० या ४० रू ४८'''.'''

याव १ या ० रू ५१

|याव 0 या 40 rū 48'''.'''

याव 1 या 0 rū 51

|⇒

|0x2 + 0 x - 8 = 1x2 + 0x + 51

|}

भास्कर द्वितीय के बीजगणित से समीकरण का एक और उदाहरण यहां दिया गया है:

x4 - 2x2 - 400x = 9999

इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,

यावव १ याव २'''.''' या ४'''.'''०० रू ०

''या~~'' 197 ''का'' 1644● ''नी'' 1● ''रु'' 0~~

यावव ० याव ० या ० रू ९९९९

~~''या'' 0 ''का'' 0 ''नी'' 0 ''रु'' 6302~~

== बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया ==

~~जिसका अर्थ है, ''का'' के लिए y और ''नी'' के लिए z डालना~~

~~197x - 1644y - z + 0 = 0x + 0y + 0z + 6302~~

भास्कर द्वितीय बीजगणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए संक्रियाएँ इस प्रकार देते हैं :

~~भास्कर द्वितीय कहते हैं:~~

''स्याद्रूपवर्णाभिहतौ तु वर्णो द्वित्र्यादिकानां समजातिकानाम् ॥''

"फिर इसके एक तरफ अज्ञात (समीकरण) को दूसरी तरफ अज्ञात से घटाया जाना चाहिए, इसी तरह अज्ञात के वर्ग और अन्य शक्तियां भी;

''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।''

दूसरी तरफ की ज्ञात मात्राओं को दूसरी तरफ की ज्ञात मात्राओं से घटाया जाना चाहिए।"

''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<ref>बीजगणित, अध्या. अव्यक्तदि-गुणन , बनाम 6,7, पृ.8(Bījagaṇita, ch. Avyaktādi-guṇana, vs.6,7, p.8)</ref>

~~निम्नलिखित दृष्टांत भास्कर II~~ के ~~बीजगणित से है:~~

"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल ''भाविता'' है। भिन्न आदि ज्ञात की स्थति में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) वही हैं जो अंकगणित में बताए गए हैं।"

"इस प्रकार ~~दोनों पक्ष~~ हैं

=== बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव ===

भास्कर द्वितीय अज्ञात मात्राओं के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते हैं:

''या'' ~~''वा'' 4 ''या'' 34~~<~~sup~~>●</~~sup~~> ~~''रु'' 72~~

''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<ref>बीजगणित अध्या. अव्यक्त-संकलन-व्यवकलन, बनाम 6, पृ.7(Bījagaṇita ch. Avyakta-saṅkalana-vyavakalana, vs.6, p.7)</ref>

~~''या'' ''वा'' 0 ''या'' 0 ''रु'' 90~~

"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत/विषम शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"

~~पूर्ण समाशोधन (समाशोधन) पर, दोनों पक्षों के अवशेष हैं~~

'''व्याख्या:'''

''या'' ''वा'' 4 ''या'' 34● ~~''रु'' 0~~

जोड़ और घटाव समान पदों के साथ किया जा सकता है, और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना होता है। समान घातों के लिए उठाए गए समान अक्षर चर को समान पदों के रूप में माना जाता है। उदा., ''या ४,या ५, या ६'' समान पद हैं। ''याव ७, याव ८, याव ९'' भी समान पद हैं। ''का ३, का ७, का १५'' भी समान पद हैं। वर्तमान में हम कहते हैं कि 4x, 5x, 6x समान पद हैं। इसी प्रकार 7x2, 8x2, 9x2 समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं।जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 4x + 6x को 10x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 9x2 - 7x2 को 2x2 के रूप में सरल बनाया जा सकता है।

''या'' ''वा'' 0 ''या'' 0 ''रु'' 18

विपरीत पद वे पद हैं, जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा: ''या'' ३, ''याव'' ३, ''याघ'' ४, ''का'' ५, ''काव'', ''याकाभा'' । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x2, 4x3, 5y, y2, xy के रूप में दर्शाया जाता है।

~~यानी~~, 4x2 -~~34x~~= 18

=== बीजीय व्यंजकों का गुणन ===

बीजगणित गुणन का नियम देता इस प्रकार देता है -

''गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।''

''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<ref>बीजगणित अध्या. अव्यक्तदि-गुणन , बनाम.8, पृ.8(Bījagaṇita ch. Avyaktādi-guṇana, vs.8, p.8)</ref>

"गुण्य को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और प्रश्न में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और करणी (surd/सर्ड) के वर्गों कि स्थिति में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के स्थिति में बताई गई आंशिक गुणनफलों (partial products) की विधि यहां भी लागू होती है।"

'''व्याख्या'''

{| class="wikitable"

!प्राचीन भारतीय संकेतन

!आधुनिक संकेतन

|-

|यदि या २ रू ४ और या ३ रू ५ क्रमशः गुण्य और गुणक हैं,

उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:

|यदि 2x + 4 और 3x + 5 क्रमशः गुण्य और गुणक हैं,

उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:

|-

|गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ३ और रू ५

|गुणक के दो पद हैं, अर्थात् 3x और 5

|-

|गुण्य को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।

(या २ रू ४)) X या ३ = याव ६ या १२

(या २ रू ४)) X रू ५ = या १० रू २०

|गुण्य को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।

(2x + 4) X 3x = 6x2 + 12x

(2x + 4) X 5 = 10x + 20

|-

|परिणाम जोड़ें।

गुणन परिणाम है:: याव् ६ या २२ रू २०

|परिणाम जोड़ें।

गुणन परिणाम है: 6x2 + 22x + 20

|}

यदि <math>ax + b</math> और <math>cx+d</math> क्रमशः गुण्य और गुणक हैं, तो उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:

गुणक के दो पद हैं, अर्थात् cx और d। गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।

परिणाम जोड़ें।

गुणन परिणाम है: <math>acx^2+(bc+ad)x+bd</math>

== समीकरणों का वर्गीकरण ==

~~ऐसा लगता~~ है कि समीकरणों का ~~सबसे पहला~~ हिंदू वर्गीकरण उनकी ~~डिग्री~~ के अनुसार हुआ है, जैसे कि सरल (तकनीकी रूप से ''यावत्-तावत्'' ~~(जितना या उतना ही, अर्थात् एक मनमानी मात्रा)~~ कहा जाता है), द्विघात ''(~~वर्ग)~~''~~, घन और द्विघात (''वर्ग-~~वर्ग'')। इसका संदर्भ लगभग 300 ईसा पूर्व के एक विहित कार्य में मिलता है। लेकिन आगे की प्रमाण के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (''~~एक-वर्ण-समीकरण~~'')~~, (2) कई अज्ञात में समीकरण~~ (''~~अनेक~~-~~वर्ण-समीकरण~~'')~~, और (3) अज्ञात के उत्पादों से जुड़े समीकरण (''भैविता)''~~ )

लगभग 300 ई.पू. के विहित कार्य में यह पाया गया है कि समीकरणों का हिंदू वर्गीकरण उनकी घातों के अनुसार हुआ है, जैसे कि सरल (तकनीकी रूप से ''यावत्-तावत्'' कहा जाता है), द्विघात (''वर्ग''), घनीय(''घन'') और द्विघात (''वर्ग-वर्ग''))।

~~प्रथम वर्ग को फिर से दो उप वर्गों~~ में ~~विभाजित किया गया है, अर्थात~~, (i) ~~रैखिक समीकरण, और~~ (ii) ~~द्विघात~~ समीकरण (''~~अव्यक्त~~-~~वर्ग~~- समीकरण'')। यहाँ से हमारे पास समीकरणों को उनकी डिग्री के अनुसार वर्गीकृत करने की हमारी वर्तमान पद्धति की शुरुआत है। चतुर्वेद पृथुदका स्वामी (860) द्वारा अपनाई गई वर्गीकरण पद्धति थोड़ी भिन्न है। उनके चार वर्ग हैं: (1) एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (2) ~~अधिक~~ अज्ञात ~~के साथ रैखिक~~ समीकरण, (3) ~~अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक, दो या अधिक अज्ञात के साथ समीकरण~~, और (4) अज्ञात के उत्पादों ~~को शामिल करने वाले~~ समीकरण . चूँकि तृतीय वर्ग के समीकरण को हल करने की विधि मध्य पद के उन्मूलन के सिद्धांत पर आधारित है, इसलिए उस वर्ग को ''~~मध्यमाहारन~~'' (मध्यम से-"मध्य", अहारण से -"उन्मूलन", इसलिए अर्थ "उन्मूलन मध्य अवधि का" कहा जाता है। )। अन्य वर्गों के लिए, ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए पुराने नामों को बरकरार रखा गया है। वर्गीकरण की इस पद्धति का अनुसरण बाद के लेखकों ने किया है।

लेकिन आगे के पुष्ट प्रमाणों के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (''

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+{{Infobox person
+| name               = समीकरण
+| image              = [[File:Algebraic equation notation.svg|150px]]
+}}
 == समीकरण बनाना ==
-किसी भी प्रकार के समीकरण के वास्तविक समाधान की ओर बढ़ने से पहले, इसे हल के लिए तैयार करने के लिए कुछ प्रारंभिक संक्रियाओं को करना आवश्यक है।
+वास्तविक समाधान में जाने से पहले, हमें समीकरणों  पर कुछ प्रारंभिक संचालन करने की आवश्यकता है।
-अभी भी अधिक प्रारंभिक कार्य प्रस्तावित समस्या की स्थितियों से समीकरण (''समी-करण, समी-करा या समी-क्रिया''; ''समा, बराबर'' और ''कर्''  से करना; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने का है। इस तरह के प्रारंभिक कार्य के लिए बीजगणित या अंकगणित के एक या एक से अधिक मौलिक संचालन के आवेदन की आवश्यकता हो सकती है।
+हमें प्रस्तावित प्रश्न  की दी गई शर्तों से समीकरण (''समी-करण, समी-करा या समी-क्रिया''; ''समा, बराबर'' और ''कर्''  से करना; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने की आवश्यकता है। इसके लिए बीजगणित या अंकगणित की एक या एक से अधिक मूलभूत संक्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।
-भास्कर द्वितीय कहते हैं: "''यावत्-तावत्'' " को अज्ञात मात्रा के मूल्य के रूप में माना जाता है। फिर जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है-एक समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या विभाजित करना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।
+[[भास्कर द्वितीय]] कहते हैं: "''यावत्-तावत्'' " को अज्ञात मात्रा का मान/मूल्य  मान लें। फिर ठीक वैसा ही करें, जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है- किसी समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या भाग देना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।
+[[File:Equation illustration colour.svg|thumb|बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण]]
 == बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण ==
-बीजगणितीय व्यंजक क्या है? आइए इसे एक उदाहरण से समझने की कोशिश करते हैं।
+बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण <ref>भारतीय गणितम के लिए एक प्राइमर, भारतीय-गणित-प्रवेश- भाग -1। संस्कृत प्रमोशन फाउंडेशन।''(A Primer to Bhāratīya Gaṇitam , Bhāratīya-Gaṇita-Praveśa- Part-1''. Samskrit Promotion Foundation.) 2021. [[ISBN (identifier)|ISBN]] [[Special:BookSources/978-81-951757-2-7|<bdi>978-81-951757-2-7</bdi>]].</ref>से समझा जा सकता है।
-गीता कहती है कि उसके पास माला से 10 कंचे ज्यादा हैं। हम ठीक से नहीं जानते कि माला के पास कितने कंचे हैं। उसके पास कितने भी कंचे हो सकते हैं। लेकिन हम जानते हैं कि
-गीता के कंचों की संख्या = माला के कंचों की संख्या + 10
+राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के ज्यादा हैं। हम ठीक से नहीं जानते कि श्याम के पास कितने सिक्के  हैं। उसके पास कितने भी सिक्के हो सकते हैं। लेकिन हम जानते हैं कि राम के सिक्कों की संख्या = श्याम  के सिक्कों की संख्या + 10
-हम 'माला के कंचों की संख्या' को अक्षर x से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।
+हम 'श्याम  के सिक्कों की संख्या' को अक्षर x से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।
 x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,
-गीता के कंचों की संख्या = x+10
+राम के सिक्कों की संख्या = x+10
 अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।
-प्रतीकों के प्रयोग में बीजगणित प्रचुर मात्रा में है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।
+बीजगणित प्रतीकों के प्रयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं, जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।
 {| class="wikitable"
 |+
@@ Line 42: / Line 45: @@
 नी , ........
-|या ३
+|या ३५
-का ४
+का १४
-नी ८
+नी ८२
-|3x
+|35x
 y
 z
 |-
 |2
@@ Line 56: / Line 59: @@
 |<nowiki>-</nowiki>
 |या का
-या ३ का ४
+या ३५ का १४
 |x + y
-x + 4y
+x + 14y
 |-
 |3
@@ Line 65: / Line 68: @@
 |भा
 |याकाभा
-याकाभा ३
+याकाभा  ३२
 |xy
 xy
 |-
 | 4
@@ Line 94: / Line 97: @@
 |रूपम्
 |रू
-|रू ३
+|रू ३२
-|3
+|32
 |-
 |8
@@ Line 102: / Line 105: @@
 | मात्रा के ऊपर बिंदु  (.)
 |'''.'''
-रू ४
+रू ४३२
-|<nowiki>-4</nowiki>
+| -432
 |}
+अक्षर '<nowiki/>''या'' '(''यावत्-तावत्''  का संक्षिप्त रूप),अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को '<nowiki/>''याव'' ' कहा जाता था, जो ''यावत्-तावत्-वर्ग'' (''वर्ग''  का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। स्थिर पद को '''रू'' 'अक्षर से निरूपित किया गया था, जो ''रूपा''  का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि उपरोक्त तालिका में दिखाया गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।
-अक्षर या (यावत्-तावत् का संक्षिप्त रूप) अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को यव कहा जाता था, जो यावत्-तावत्-वर्ग (वर्ग का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। समीकरण लिखते समय, अचर पद को रू अक्षर से निरूपित किया जाता था, जो रूपा  का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि ऊपर दी गई तालिका में देखा गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।
+यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न ''या'' , ''का'', और ''नी''   हैं। ये ''यावत्-तावत्,'' ''कालका'' और ''नीलका''  के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के गुणनफल को ''याकाभा'' के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ ''या''  और ''का''  दो अज्ञात हैं और ''भा''  उनके गुणनफल के लिए है।
-यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न या , का, और नी   हैं। ये यावत्-तावत्, कालका और नीलका  के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के उत्पाद को याकाभा के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ या और का दो अज्ञात हैं और भा  उनके उत्पाद के लिए है।
 निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।
@@ Line 121: / Line 121: @@
 |-
 |1
-|x + 1
+|x + 17
-|या १ रू १
+|या १ रू १७
 |-
 |2
-|3x - 7
+|7x - 17
-|या ३ रू ७<sup>'''.'''</sup>
+|या ७ रू १७<sup>'''.'''</sup>
 |-
 |3
-|2x – 8
+|18x – 8
-|या २ रू ८<sup>'''.'''</sup>
+|या १८ रू ८<sup>'''.'''</sup>
 |-
 |4
-|15x<sup>2</sup> + 7x - 2
+|15x<sup>2</sup> + 17x - 2
 |याव १५ या ७ रू २<sup>'''.'''</sup>
 |-
 |5
-|1x<sup>4</sup> + 6x<sup>3</sup> + 25x<sup>2</sup> + 48x + 64
+|1x<sup>4</sup> + 16x<sup>3</sup> + 25x<sup>2</sup> + 8x + 6
-|यावव १ याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४
+|यावव १ याघ १६ याव २५ या ८ रू ६
 |-
 |6
-|18x<sup>2</sup> + 12xy - 6xz -6x
+|8x<sup>2</sup> + 12xy - 6xz -16x
-|याव १८ याकाभा १२ यानीभा ६<sup>'''.'''</sup> या ६<sup>'''.'''</sup>
+|याव ८ याकाभा १२ यानीभा ६<sup>'''.'''</sup> या १६<sup>'''.'''</sup>
 |}
-== बीजीय संकेतन ==
+हम देखेंगे कि प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।
-* अज्ञात संख्याओं के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीकों में ''यावत-तावत'' (जितना जितना हो) का ''या''   के प्रारंभिक शब्दांश, ''कालका''  (काला) का ''का'' , ''नीलका''  (नीला) का ''नी''  , ''पीत'' (पीला) का ''पी''   शामिल है, आदि ।
+समीकरण 10x - 8 = x<sup>2</sup> +1 पर विचार करें
-* दो अज्ञातों के गुणनफल को उनके बाद रखे ''भाविता'' (उत्पाद) के प्रारंभिक शब्दांश ''भा''  द्वारा दर्शाया जाता है। शक्तियों को वर्ग (वर्ग) के व , घन (घन) के घ,  के प्रारंभिक अक्षरों ''वा'' द्वारा दर्शाया गया है; ''वावा''  का मतलब ''वर्गवर्ग'', चौथी शक्ति है। कभी-कभी ''घट'' (उत्पाद) का प्रारंभिक शब्दांश ''घा'' शक्तियों के योग के लिए होता है।
-* प्रतीक के बगल में एक गुणांक रखा गया है। अचर पद को ''रूप''  (रूप) के प्रारंभिक प्रतीक '''''रु'''''  द्वारा निरूपित किया जाता है।
-* ऋणात्मक पूर्णांक के ऊपर एक बिंदु रखा गया है
-* एक समीकरण के दो पक्षों को एक दूसरे के नीचे रखा जाता है। इस प्रकार समीकरण X<sup>4</sup> - 2X<sup>2</sup> - 400x = 9999; के रूप में लिखा गया है
-यावव 1 याव 2<sup>●</sup> या 400<sup>●</sup>  रू ०
-यावव ०  याव ०  या ०  रू ९९९९
+इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,
-जिसका अर्थ है या के लिए x लिखना
+x<sup>2</sup> + 10x - 8 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 1
-x<sup>4</sup> -2x<sup>2</sup> -400x+0 = 0x<sup>4</sup> +0x<sup>2</sup>+0x+9999
+x<sup>2</sup>, x<sup>1</sup>, x<sup>0</sup> (स्थिर पद/अवधि) की स्थितियों का निरीक्षण करने पर कुछ स्वरूप मिलता है? समीकरण लिखने का सामान्य तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम(descending order) में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।
-यदि कई अज्ञात हैं, तो एक ही तरह के लोगों को एक ही कॉलम में शून्य गुणांक के साथ लिखा जाता है, यदि आवश्यक हो। इस प्रकार समीकरण
+[[ब्रह्मगुप्त]] ने समीकरण को ''समकरण''  या ''संकरण''  कहा है। इसका अर्थ है 'समान बनाना'। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा गया था।  प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।
-x - 1644y - z = 6302 द्वारा दर्शाया गया है
+चतुर्वेद पृथूदकस्वामिन् (864 ईस्वी) ने ब्रह्म-स्फूट-सिद्धांत पर अपनी टिप्पणी में समीकरण 40x - 48 = x<sup>2</sup> + 51 को नीचे के रूप में लिखा है
+{| class="wikitable"
+|+
+!देवनागरी
+!लिप्यंतरण
+!
+!आधुनिक संकेतन
+|-
+|याव ०  या ४०  रू ४८'''<sup>.</sup>'''
+याव १  या ०    रू ५१
+|याव  0 या  40 rū 48'''<sup>.</sup>'''
+याव  1 या   0 rū  51
+|⇒
+|0x<sup>2</sup> + 0 x - 8 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 51
+|}
+भास्कर द्वितीय के बीजगणित से समीकरण का एक और उदाहरण यहां दिया गया है:
+x<sup>4</sup> - 2x<sup>2</sup> - 400x = 9999
+इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,
+यावव १ याव २'''<sup>.</sup>'''   या  ४<sup>'''.'''</sup>०० रू ०
-''या'' 197 ''का'' 1644<sup>●</sup> ''नी'' 1<sup>●</sup> ''रु'' 0
+यावव ० याव ०   या  ०       रू ९९९९
-''या'' 0 ''का'' 0 ''नी'' 0 ''रु''  6302
+== बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया ==
-जिसका अर्थ है,  ''का''   के लिए  y और ''नी''  के लिए  z  डालना
-x - 1644y - z + 0 = 0x + 0y + 0z + 6302
+भास्कर द्वितीय बीजगणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए संक्रियाएँ इस प्रकार देते  हैं :
-भास्कर द्वितीय कहते हैं:
+''स्याद्रूपवर्णाभिहतौ तु वर्णो द्वित्र्यादिकानां समजातिकानाम् ॥''
-"फिर इसके एक तरफ अज्ञात (समीकरण) को दूसरी तरफ अज्ञात से घटाया जाना चाहिए, इसी तरह अज्ञात के वर्ग और अन्य शक्तियां भी;
+''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।''
-दूसरी तरफ की ज्ञात मात्राओं को दूसरी तरफ की ज्ञात मात्राओं से घटाया जाना चाहिए।"
+''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<ref>बीजगणित, अध्या. अव्यक्तदि-गुणन , बनाम 6,7, पृ.8(Bījagaṇita, ch. Avyaktādi-guṇana, vs.6,7, p.8)</ref>
-निम्नलिखित दृष्टांत भास्कर II के बीजगणित से है:
+"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल ''भाविता''  है। भिन्न आदि ज्ञात की स्थति में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) वही हैं जो अंकगणित में बताए गए हैं।"
-"इस प्रकार दोनों पक्ष हैं
+=== बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव ===
+भास्कर  द्वितीय अज्ञात मात्राओं के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते  हैं:
-''या''  ''वा''  4 ''या''  34<sup>●</sup> ''रु''  72
+''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<ref>बीजगणित अध्या. अव्यक्त-संकलन-व्यवकलन, बनाम 6, पृ.7(Bījagaṇita ch. Avyakta-saṅkalana-vyavakalana, vs.6, p.7)</ref>
-''या''  ''वा''  0 ''या''  0 ''रु''  90
+"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत/विषम शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"
-पूर्ण समाशोधन (समाशोधन) पर, दोनों पक्षों के अवशेष हैं
+'''व्याख्या:'''
-''या''  ''वा''  4 ''या''  34<sup>●</sup> ''रु''  0
+जोड़ और घटाव समान पदों के साथ किया जा सकता है, और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना होता है। समान घातों के लिए उठाए गए समान अक्षर चर को समान पदों के रूप में माना जाता है। उदा., ''या  ४,या  ५, या  ६''  समान पद हैं। ''याव  ७, याव ८, याव  ९''  भी समान पद  हैं। ''का ३, का ७, का १५''  भी समान पद हैं। वर्तमान में हम कहते हैं कि 4x, 5x, 6x समान पद हैं। इसी प्रकार 7x<sup>2</sup>, 8x<sup>2</sup>, 9x<sup>2</sup> समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं।जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 4x + 6x को 10x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 9x<sup>2</sup> - 7x<sup>2</sup> को 2x<sup>2</sup> के रूप में सरल बनाया जा सकता है।
-''या''  ''वा''  0 ''या''  0 ''रु''  18
+विपरीत पद वे पद हैं, जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा: ''या''  ३, ''याव''  ३, ''याघ''  ४, ''का''  ५, ''काव'', ''याकाभा'' । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x<sup>2</sup>, 4x<sup>3</sup>, 5y, y<sup>2</sup>, xy के रूप में दर्शाया जाता है।
-यानी, 4x<sup>2</sup> -34x= 18
+=== बीजीय व्यंजकों का गुणन ===
+बीजगणित गुणन का नियम देता इस प्रकार देता है -
+''गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।''
+''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<ref>बीजगणित अध्या. अव्यक्तदि-गुणन , बनाम.8, पृ.8(Bījagaṇita ch. Avyaktādi-guṇana, vs.8, p.8)</ref>
+"गुण्य को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और प्रश्न  में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और करणी (surd/सर्ड) के वर्गों कि स्थिति में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के स्थिति  में बताई गई आंशिक  गुणनफलों  (partial products) की विधि यहां भी लागू होती है।"
+'''व्याख्या'''
+{| class="wikitable"
+!प्राचीन भारतीय संकेतन
+!आधुनिक संकेतन
+|-
+|यदि या २ रू ४ और या ३ रू ५ क्रमशः गुण्य और गुणक हैं,
+उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:
+|यदि 2x +  4  और 3x + 5 क्रमशः गुण्य और गुणक हैं,
+उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:
+|-
+|गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ३  और रू ५
+|गुणक के दो पद हैं, अर्थात् 3x और 5
+|-
+|गुण्य को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।
+(या २ रू ४)) X या ३ = याव ६ या १२
+(या २ रू ४)) X रू ५ = या १० रू २०
+|गुण्य को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।
+(2x +  4) X 3x  = 6x<sup>2</sup> + 12x
+(2x +  4) X 5   = 10x + 20
+|-
+|परिणाम जोड़ें।
+गुणन परिणाम है:: याव् ६ या २२ रू २०
+|परिणाम जोड़ें।
+गुणन परिणाम है: 6x<sup>2</sup> + 22x + 20
+|}
+यदि <math>ax + b</math> और <math>cx+d</math> क्रमशः गुण्य और गुणक हैं, तो उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:
+गुणक के दो पद हैं, अर्थात् cx और d। गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।
+<math>(ax+b) cx = acx^2+bcx</math>
+<math>(ax+b)d = adx+bd</math>
+परिणाम जोड़ें।
+गुणन परिणाम है: <math>acx^2+(bc+ad)x+bd</math>
 == समीकरणों का वर्गीकरण ==
-ऐसा लगता है कि समीकरणों का सबसे पहला हिंदू वर्गीकरण उनकी डिग्री के अनुसार हुआ है, जैसे कि सरल (तकनीकी रूप से ''यावत्-तावत्''  (जितना या उतना ही, अर्थात् एक मनमानी  मात्रा) कहा जाता है), द्विघात ''(वर्ग)'', घन और द्विघात (''वर्ग-वर्ग'')। इसका संदर्भ लगभग 300 ईसा पूर्व के एक विहित कार्य में मिलता है। लेकिन आगे की प्रमाण के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (''एक-वर्ण-समीकरण''), (2) कई अज्ञात में समीकरण (''अनेक-वर्ण-समीकरण''), और (3) अज्ञात के उत्पादों से जुड़े समीकरण (''भैविता)'' )
+लगभग 300 ई.पू. के विहित कार्य में यह पाया गया है कि समीकरणों का हिंदू वर्गीकरण उनकी घातों  के अनुसार हुआ है, जैसे कि सरल (तकनीकी रूप से ''यावत्-तावत्''  कहा जाता है), द्विघात (''वर्ग''), घनीय(''घन'') और द्विघात (''वर्ग-वर्ग''))।
-प्रथम वर्ग को फिर से दो उप वर्गों में विभाजित किया गया है, अर्थात, (i) रैखिक समीकरण, और (ii) द्विघात समीकरण (''अव्यक्त-वर्ग-  समीकरण'')। यहाँ से हमारे पास समीकरणों को उनकी डिग्री के अनुसार वर्गीकृत करने की हमारी वर्तमान पद्धति की शुरुआत है। चतुर्वेद पृथुदका स्वामी (860) द्वारा अपनाई गई वर्गीकरण पद्धति थोड़ी भिन्न है। उनके चार वर्ग हैं: (1) एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (2) अधिक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (3) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक, दो या अधिक अज्ञात के साथ समीकरण, और (4) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण . चूँकि तृतीय वर्ग के समीकरण को हल करने की विधि मध्य पद के उन्मूलन के सिद्धांत पर आधारित है, इसलिए उस वर्ग को ''मध्यमाहारन'' (मध्यम से-"मध्य", अहारण से -"उन्मूलन", इसलिए अर्थ "उन्मूलन मध्य अवधि का" कहा जाता है। )। अन्य वर्गों के लिए, ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए पुराने नामों को बरकरार रखा गया है। वर्गीकरण की इस पद्धति का अनुसरण बाद के लेखकों ने किया है।
+लेकिन आगे के पुष्ट प्रमाणों के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (''