बेल बहुपद: Difference between revisions
From Vigyanwiki
No edit summary |
No edit summary |
||
| (3 intermediate revisions by 3 users not shown) | |||
| Line 29: | Line 29: | ||
== संयुक्त अर्थ == | == संयुक्त अर्थ == | ||
घातीय बेल बहुपद एक सेट को विभाजित करने | घातीय बेल बहुपद एक सेट को विभाजित करने की विधियों से संबंधित जानकारी को कूटबद्ध करता है। उदाहरण के लिए, यदि हम एक सेट {A, B, C} पर विचार करते हैं, तो इसे दो गैर-खाली, गैर-अतिव्यापी उपसमुच्चय में विभाजित किया जा सकता है, जिसे 3 अलग-अलग विधियों से भागों या ब्लॉकों के रूप में भी जाना जाता है: | ||
:{{A}, {B, C}} | :{{A}, {B, C}} | ||
| Line 39: | Line 39: | ||
यहाँ, B<sub>3,2</sub> की सदस्यताएँ हमें बताता है कि हम 3 तत्वों के साथ सेट के विभाजन को 2 ब्लॉकों में विभाजित करने पर विचार कर रहे हैं। प्रत्येक x<sub>i</sub> की सबस्क्रिप्ट किसी दिए गए विभाजन में i तत्वों (या आकार i के ब्लॉक) के साथ ब्लॉक की उपस्थिति को दर्शता है। तो यहाँ, x<sub>2</sub> दो तत्वों के साथ एक ब्लॉक की उपस्थिति को दर्शता करता है। इसी प्रकार, x<sub>1</sub> एकल तत्व वाले ब्लॉक की उपस्थिति को दर्शता है। x का प्रतिपादक<sub>i</sub><sup>j</sup> दर्शता है कि एकल विभाजन में आकार i के ऐसे j ब्लॉक हैं। यहाँ, चूँकि दोनों x<sub>1</sub> और x<sub>2</sub> प्रतिपादक 1 है, यह दर्शता करता है कि दिए गए विभाजन में केवल एक ऐसा ब्लॉक है। [[एकपद]] का गुणांक दर्शता करता है कि ऐसे कितने विभाजन हैं। हमारे स्थितियों के लिए, 3 तत्वों के साथ 2 ब्लॉकों में एक सेट के 3 विभाजन हैं, जहां प्रत्येक विभाजन में तत्वों को 1 और 2 के आकार के दो ब्लॉकों में विभाजित किया गया है। | यहाँ, B<sub>3,2</sub> की सदस्यताएँ हमें बताता है कि हम 3 तत्वों के साथ सेट के विभाजन को 2 ब्लॉकों में विभाजित करने पर विचार कर रहे हैं। प्रत्येक x<sub>i</sub> की सबस्क्रिप्ट किसी दिए गए विभाजन में i तत्वों (या आकार i के ब्लॉक) के साथ ब्लॉक की उपस्थिति को दर्शता है। तो यहाँ, x<sub>2</sub> दो तत्वों के साथ एक ब्लॉक की उपस्थिति को दर्शता करता है। इसी प्रकार, x<sub>1</sub> एकल तत्व वाले ब्लॉक की उपस्थिति को दर्शता है। x का प्रतिपादक<sub>i</sub><sup>j</sup> दर्शता है कि एकल विभाजन में आकार i के ऐसे j ब्लॉक हैं। यहाँ, चूँकि दोनों x<sub>1</sub> और x<sub>2</sub> प्रतिपादक 1 है, यह दर्शता करता है कि दिए गए विभाजन में केवल एक ऐसा ब्लॉक है। [[एकपद]] का गुणांक दर्शता करता है कि ऐसे कितने विभाजन हैं। हमारे स्थितियों के लिए, 3 तत्वों के साथ 2 ब्लॉकों में एक सेट के 3 विभाजन हैं, जहां प्रत्येक विभाजन में तत्वों को 1 और 2 के आकार के दो ब्लॉकों में विभाजित किया गया है। | ||
चूँकि किसी भी समुच्चय को एक ही ब्लॉक में केवल एक | चूँकि किसी भी समुच्चय को एक ही ब्लॉक में केवल एक विधि से विभाजित किया जा सकता है, उपरोक्त व्याख्या का अर्थ होगा कि B<sub>''n'',1</sub> = x<sub>''n''</sub>. इसी प्रकार, चूंकि केवल एक ही विधि है कि n तत्वों वाले एक सेट को n सिंगलटन में विभाजित किया जाए, B<sub>''n'',''n''</sub> = x<sub>1</sub><sup>n</sup>. | ||
अधिक जटिल उदाहरण के रूप में, विचार करें | अधिक जटिल उदाहरण के रूप में, विचार करें | ||
| Line 50: | Line 50: | ||
साथ ही प्रत्येक मोनोमियल की डिग्री, जो मोनोमियल में प्रत्येक चर के घातांक का योग है, सेट में विभाजित ब्लॉकों की संख्या के बराबर है। अर्थात j<sub>1</sub> + j<sub>2</sub> + ... = k। इस प्रकार, एक पूर्ण बेल बहुपद B<sub>n</sub> दिया जाने पर, हम डिग्री k वाले उन सभी एकपदों को एकत्रित करके आंशिक बेल बहुपद B<sub>n,k</sub> को अलग कर सकते हैं। | साथ ही प्रत्येक मोनोमियल की डिग्री, जो मोनोमियल में प्रत्येक चर के घातांक का योग है, सेट में विभाजित ब्लॉकों की संख्या के बराबर है। अर्थात j<sub>1</sub> + j<sub>2</sub> + ... = k। इस प्रकार, एक पूर्ण बेल बहुपद B<sub>n</sub> दिया जाने पर, हम डिग्री k वाले उन सभी एकपदों को एकत्रित करके आंशिक बेल बहुपद B<sub>n,k</sub> को अलग कर सकते हैं। | ||
अंत में, यदि हम ब्लॉक के आकार की उपेक्षा करते हैं और सभी x<sub>''i''</sub> = x डालते हैं, तो आंशिक बेल बहुपद B<sub>''n'',''k''</sub> के गुणांकों का योग n तत्वों वाले एक सेट को k ब्लॉकों में विभाजित करने | अंत में, यदि हम ब्लॉक के आकार की उपेक्षा करते हैं और सभी x<sub>''i''</sub> = x डालते हैं, तो आंशिक बेल बहुपद B<sub>''n'',''k''</sub> के गुणांकों का योग n तत्वों वाले एक सेट को k ब्लॉकों में विभाजित करने की विधियों की कुल संख्या देगा, जो [[दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्या|दूसरी प्रकार की स्टर्लिंग संख्या]]ओं के समान है। साथ ही, पूर्ण बेल बहुपद B<sub>n</sub> के सभी गुणांकों का योग हमें n तत्वों के साथ एक सेट को गैर-अतिव्यापी उपसमुच्चय में विभाजित करने की विधियों की कुल संख्या देगा, जो बेल संख्या के समान है। | ||
सामान्य तौर पर, यदि पूर्णांक n एक पूर्णांक विभाजन है जिसमें एक योग है जिसमें 1 j<sub>1</sub> बार प्रकट होता है, 2 j<sub>2</sub> बार प्रकट होता है, और इसी प्रकार, फिर आकार n के एक सेट के विभाजन की संख्या जो पूर्णांक n के उस विभाजन के लिए ढह जाती है जब सेट के सदस्य अप्रभेद्य हो जाते हैं, बहुपद में संबंधित गुणांक होता है। | सामान्य तौर पर, यदि पूर्णांक n एक पूर्णांक विभाजन है जिसमें एक योग है जिसमें 1 j<sub>1</sub> बार प्रकट होता है, 2 j<sub>2</sub> बार प्रकट होता है, और इसी प्रकार, फिर आकार n के एक सेट के विभाजन की संख्या जो पूर्णांक n के उस विभाजन के लिए ढह जाती है जब सेट के सदस्य अप्रभेद्य हो जाते हैं, बहुपद में संबंधित गुणांक होता है। | ||
| Line 59: | Line 59: | ||
:<math>B_{6,2}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=6x_5x_1+15x_4x_2+10x_3^2</math> | :<math>B_{6,2}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=6x_5x_1+15x_4x_2+10x_3^2</math> | ||
क्योंकि 6 तत्वों के सेट को 2 ब्लॉक के रूप में विभाजित करने | क्योंकि 6 तत्वों के सेट को 2 ब्लॉक के रूप में विभाजित करने की विधियां हैं | ||
:6 के सेट को 5 + 1 के रूप में विभाजित करने | :6 के सेट को 5 + 1 के रूप में विभाजित करने की 6 विधि हैं, | ||
: 6 के सेट को 4 + 2 के रूप में विभाजित करने | : 6 के सेट को 4 + 2 के रूप में विभाजित करने की 15 विधि, और | ||
: 6 के सेट को 3 + 3 के रूप में विभाजित करने | : 6 के सेट को 3 + 3 के रूप में विभाजित करने की 10 विधि हैं। | ||
इसी प्रकार, | इसी प्रकार, | ||
:<math>B_{6,3}(x_1,x_2,x_3,x_4)=15x_4x_1^2+60x_3x_2x_1+15x_2^3</math> | :<math>B_{6,3}(x_1,x_2,x_3,x_4)=15x_4x_1^2+60x_3x_2x_1+15x_2^3</math> | ||
क्योंकि 6 तत्वों के सेट को 3 ब्लॉक के रूप में विभाजित करने | क्योंकि 6 तत्वों के सेट को 3 ब्लॉक के रूप में विभाजित करने की विधियां हैं | ||
: 6 के सेट को 4+1+1 के रूप में विभाजित करने | : 6 के सेट को 4+1+1 के रूप में विभाजित करने की 15 विधि हैं, | ||
:60 6 के सेट को 3+2+1 के रूप में विभाजित करने | :60 6 के सेट को 3+2+1 के रूप में विभाजित करने की विधियां, और | ||
: 6 के सेट को 2+2+2 के रूप में विभाजित करने | : 6 के सेट को 2+2+2 के रूप में विभाजित करने की 15 विधि हैं। | ||
== गुण == | == गुण == | ||
=== | === उत्पादक फलन === | ||
घातीय आंशिक बेल बहुपदों को इसके | घातीय आंशिक बेल बहुपदों को इसके उत्पादक फलन के दोहरे श्रृंखला विस्तार द्वारा परिभाषित किया जा सकता है: | ||
:<math> | :<math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
| Line 84: | Line 84: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
दूसरे शब्दों में, k- | दूसरे शब्दों में, k-वी घात के श्रृंखला विस्तार द्वारा समान मात्रा में क्या है: | ||
:<math> \frac{1}{k!}\left( \sum_{j=1}^\infty x_j \frac{t^j}{j!} \right)^k = \sum_{n=k}^\infty B_{n,k}(x_1,\ldots,x_{n-k+1}) \frac{t^n}{n!}, \qquad k = 0, 1, 2, \ldots </math> | :<math> \frac{1}{k!}\left( \sum_{j=1}^\infty x_j \frac{t^j}{j!} \right)^k = \sum_{n=k}^\infty B_{n,k}(x_1,\ldots,x_{n-k+1}) \frac{t^n}{n!}, \qquad k = 0, 1, 2, \ldots </math> | ||
पूर्ण घातीय बेल बहुपद | पूर्ण घातीय बेल बहुपद <math>\Phi(t,1)</math> द्वारा परिभाषित किया गया है, या दूसरे शब्दों में: | ||
:<math> \Phi(t,1) = \exp\left( \sum_{j=1}^\infty x_j \frac{t^j}{j!} \right) = \sum_{n=0}^\infty B_n(x_1,\ldots, x_n) \frac{t^n}{n!}.</math> | :<math> \Phi(t,1) = \exp\left( \sum_{j=1}^\infty x_j \frac{t^j}{j!} \right) = \sum_{n=0}^\infty B_n(x_1,\ldots, x_n) \frac{t^n}{n!}.</math> | ||
इस प्रकार, n-वाँ पूर्ण बेल बहुपद दिया जाता है | इस प्रकार, n-वाँ पूर्ण बेल बहुपद दिया जाता है | ||
:<math> B_n(x_1,\ldots, x_n) = \left. \left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^n \exp\left( \sum_{j=1}^n x_j \frac{t^j}{j!} \right) \right|_{t=0}. </math> | :<math> B_n(x_1,\ldots, x_n) = \left. \left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^n \exp\left( \sum_{j=1}^n x_j \frac{t^j}{j!} \right) \right|_{t=0}. </math> | ||
इसी प्रकार, साधारण आंशिक बेल बहुपद को | इसी प्रकार, साधारण आंशिक बेल बहुपद को उत्पादक फलन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है | ||
:<math> \hat{\Phi}(t,u) = \exp \left( u \sum_{j=1}^\infty x_j t^j \right) = \sum_{n\geq k\geq 0} \hat{B}_{n,k}(x_1,\ldots,x_{n-k+1}) t^n \frac{u^k}{k!}.</math> | :<math> \hat{\Phi}(t,u) = \exp \left( u \sum_{j=1}^\infty x_j t^j \right) = \sum_{n\geq k\geq 0} \hat{B}_{n,k}(x_1,\ldots,x_{n-k+1}) t^n \frac{u^k}{k!}.</math> | ||
या, समतुल्य, k-वें | या, समतुल्य, k-वें घात के श्रृंखला विस्तार द्वारा: | ||
:<math>\left(\sum_{j=1}^\infty x_j t^j\right)^k = \sum_{n=k}^\infty \hat{B}_{n,k}(x_1, \ldots, x_{n-k+1}) t^n. </math> | :<math>\left(\sum_{j=1}^\infty x_j t^j\right)^k = \sum_{n=k}^\infty \hat{B}_{n,k}(x_1, \ldots, x_{n-k+1}) t^n. </math> | ||
बेल बहुपद उत्पादक फलन के लिए अनुक्रम उत्पन्न करने वाले कार्यों और शक्तियों, अनुक्रम उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन के लघुगणक और [[घातांक]] की रचनाओं के विस्तार के लिए फ़ंक्शन परिवर्तन [[उत्पन्न करने वाले कार्य]] भी देखें। इनमें से प्रत्येक सूत्र को कॉमेट के संबंधित अनुभागों में उद्धृत किया गया है।{{Sfn|Comtet|1974}} | |||
| Line 105: | Line 105: | ||
आंशिक बेल बहुपदों की भी पुनरावृत्ति संबंध द्वारा दक्षतापूर्वक गणना की जा सकती है: | आंशिक बेल बहुपदों की भी पुनरावृत्ति संबंध द्वारा दक्षतापूर्वक गणना की जा सकती है: | ||
:<math> B_{n,k} = \sum_{i=1}^{n-k+1} \binom{n-1}{i-1} x_i B_{n-i,k-1},</math> | :<math> B_{n,k} = \sum_{i=1}^{n-k+1} \binom{n-1}{i-1} x_i B_{n-i,k-1},</math> | ||
जहाँ | |||
:<math> B_{0,0} = 1; </math> | :<math> B_{0,0} = 1; </math> | ||
:<math> B_{n,0} = 0 \text{ for } n \geq 1; </math> | :<math> B_{n,0} = 0 \text{ for } n \geq 1; </math> | ||
| Line 176: | Line 176: | ||
=== टचर्ड बहुपद === | === टचर्ड बहुपद === | ||
{{main| | {{main|टचर्ड बहुपद}} | ||
बहुपद स्पर्श <math>T_n(x) = \sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}\cdot x^k</math> x होने वाले सभी तर्कों पर पूर्ण बेल बहुपद के मान के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: | बहुपद स्पर्श <math>T_n(x) = \sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}\cdot x^k</math> x होने वाले सभी तर्कों पर पूर्ण बेल बहुपद के मान के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: | ||
: <math>T_n(x) = B_n(x,x,\dots,x).</math> | : <math>T_n(x) = B_n(x,x,\dots,x).</math> | ||
=== कनवल्शन | === कनवल्शन पहचान === | ||
अनुक्रमों के लिए x<sub>''n''</sub>, और<sub>''n''</sub>, n = 1, 2, ..., [[कनवल्शन]] को परिभाषित करें: | अनुक्रमों के लिए x<sub>''n''</sub>, और<sub>''n''</sub>, n = 1, 2, ..., [[कनवल्शन]] को परिभाषित करें: | ||
| Line 188: | Line 188: | ||
योग की सीमाएं 1 और n − 1 हैं, न कि 0 और n । | योग की सीमाएं 1 और n − 1 हैं, न कि 0 और n । | ||
मान ले <math>x_n^{k\diamondsuit}\,</math> अनुक्रम का nवाँ पद हो | |||
:<math>\displaystyle\underbrace{x\mathbin{\diamondsuit}\cdots\mathbin{\diamondsuit} x}_{k \text{ factors}}.\,</math> | :<math>\displaystyle\underbrace{x\mathbin{\diamondsuit}\cdots\mathbin{\diamondsuit} x}_{k \text{ factors}}.\,</math> | ||
तब{{Sfn|Cvijović|2011}} | तब{{Sfn|Cvijović|2011}} | ||
:<math>B_{n,k}(x_1,\dots,x_{n-k+1}) = {x_n^{k\diamondsuit} \over k!}.\,</math> | :<math>B_{n,k}(x_1,\dots,x_{n-k+1}) = {x_n^{k\diamondsuit} \over k!}.\,</math> | ||
उदाहरण के लिए, आइए | उदाहरण के लिए, आइए <math> B_{4,3}(x_1,x_2) </math> अपने पास गणना करें | ||
:<math> x = ( x_1 \ , \ x_2 \ , \ x_3 \ , \ x_4 \ , \dots ) </math> | :<math> x = ( x_1 \ , \ x_2 \ , \ x_3 \ , \ x_4 \ , \dots ) </math> | ||
| Line 206: | Line 206: | ||
* <math>B_{n,k}(1!,2!,\ldots,(n-k+1)!) = \binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} = L(n,k)</math> जो [[ये रही संख्या]] देता है। | * <math>B_{n,k}(1!,2!,\ldots,(n-k+1)!) = \binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} = L(n,k)</math> जो [[ये रही संख्या]] देता है। | ||
* <math>B_{n,k}(1,2,3,\ldots,n-k+1) = \binom{n}{k} k^{n-k} </math> जो | * <math>B_{n,k}(1,2,3,\ldots,n-k+1) = \binom{n}{k} k^{n-k} </math> जो महत्वपूर्ण फलन देता है। | ||
* <math>B_{n,k}(-x_1,x_2,-x_3,\ldots,(-1)^{n-k}x_{n-k+1}) = (-1)^n B_{n,k}(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_{n-k+1})</math> और <math>B_n(-x_1,x_2,-x_3,\ldots,(-1)^{n-1}x_n) = (-1)^n B_n(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)</math>. | * <math>B_{n,k}(-x_1,x_2,-x_3,\ldots,(-1)^{n-k}x_{n-k+1}) = (-1)^n B_{n,k}(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_{n-k+1})</math> और <math>B_n(-x_1,x_2,-x_3,\ldots,(-1)^{n-1}x_n) = (-1)^n B_n(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)</math>. | ||
* संपूर्ण बेल बहुपद द्विपद प्रकार के संबंध को संतुष्ट करते हैं: | * संपूर्ण बेल बहुपद द्विपद प्रकार के संबंध को संतुष्ट करते हैं: | ||
*:<math> B_n(x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n) = \sum_{i=0}^n {n \choose i} B_{n-i}(x_1, \ldots, x_{n-i})B_i(y_1, \ldots, y_i),</math> | *:<math> B_n(x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n) = \sum_{i=0}^n {n \choose i} B_{n-i}(x_1, \ldots, x_{n-i})B_i(y_1, \ldots, y_i),</math> | ||
*:<math> B_{n, k}\Bigl(\frac{x_{q+1}}{\binom{q+1}{q}}, \frac{x_{q+2}}{\binom{q+2}{q}}, \ldots\Bigr) = \frac{n!(q!)^k}{(n+qk)!} B_{n+qk, k}(\ldots, 0, 0, x_{q+1}, x_{q+2}, \ldots).</math> | *:<math> B_{n, k}\Bigl(\frac{x_{q+1}}{\binom{q+1}{q}}, \frac{x_{q+2}}{\binom{q+2}{q}}, \ldots\Bigr) = \frac{n!(q!)^k}{(n+qk)!} B_{n+qk, k}(\ldots, 0, 0, x_{q+1}, x_{q+2}, \ldots).</math> | ||
: यह कारक | : यह कॉमटेट की पुस्तक में कारक <math>(q!)^k</math> की चूक को ठीक करता है।।{{Sfn|Comtet|1974|loc=identity [3l"] on p. 136}} | ||
* | * जब <math>1 \le a < n</math>, | ||
:<math>B_{n, n-a}(x_1, \ldots, x_{a+1}) = \sum_{j = a+1}^{2a}\frac{j!}{a!}\binom{n}{j}(x_1)^{n-j} B_{a, j-a}\Bigl(\frac{x_2}{2}, \frac{x_3}{3}, \ldots, \frac{x_{2(a+1)-j}}{2(a+1)-j}\Bigr).</math> | :<math>B_{n, n-a}(x_1, \ldots, x_{a+1}) = \sum_{j = a+1}^{2a}\frac{j!}{a!}\binom{n}{j}(x_1)^{n-j} B_{a, j-a}\Bigl(\frac{x_2}{2}, \frac{x_3}{3}, \ldots, \frac{x_{2(a+1)-j}}{2(a+1)-j}\Bigr).</math> | ||
* आंशिक बेल बहुपद के विशेष स्थितियों: | * आंशिक बेल बहुपद के विशेष स्थितियों: | ||
| Line 253: | Line 253: | ||
=== ब्रूनो का सूत्र प्राप्त करें === | === ब्रूनो का सूत्र प्राप्त करें === | ||
{{main| | {{main|फा डी ब्रूनो का सूत्र}} | ||
फा डि ब्रूनो के सूत्र को बेल बहुपदों के संदर्भ में निम्नानुसार बताया जा सकता है: | फा डि ब्रूनो के सूत्र को बेल बहुपदों के संदर्भ में निम्नानुसार बताया जा सकता है: | ||
:<math>{d^n \over dx^n} f(g(x)) = \sum_{k=1}^n f^{(k)}(g(x)) B_{n,k} \left(g'(x),g''(x), \dots, g^{(n-k+1)}(x)\right).</math> | :<math>{d^n \over dx^n} f(g(x)) = \sum_{k=1}^n f^{(k)}(g(x)) B_{n,k} \left(g'(x),g''(x), \dots, g^{(n-k+1)}(x)\right).</math> | ||
इसी प्रकार, Faà di Bruno के सूत्र का एक | इसी प्रकार, Faà di Bruno के सूत्र का एक घात-श्रृंखला संस्करण निम्नानुसार बेल बहुपदों का उपयोग करके कहा जा सकता है। कल्पना कीजिये | ||
:<math>f(x)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n \qquad \text{and} \qquad g(x) = \sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} x^n.</math> | :<math>f(x)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n \qquad \text{and} \qquad g(x) = \sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} x^n.</math> | ||
| Line 264: | Line 264: | ||
:<math>g(f(x)) = \sum_{n=1}^\infty | :<math>g(f(x)) = \sum_{n=1}^\infty | ||
\frac{\sum_{k=1}^n b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1})}{n!} x^n.</math> | \frac{\sum_{k=1}^n b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1})}{n!} x^n.</math> | ||
विशेष रूप से, पूर्ण बेल बहुपद [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] के घातांक में दिखाई देते हैं: | विशेष रूप से, पूर्ण बेल बहुपद [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला|औपचारिक घात श्रृंखला]] के घातांक में दिखाई देते हैं: | ||
:<math>\exp\left(\sum_{i=1}^\infty {a_i \over i!} x^i \right) | :<math>\exp\left(\sum_{i=1}^\infty {a_i \over i!} x^i \right) | ||
= \sum_{n=0}^\infty {B_n(a_1,\dots,a_n) \over n!} x^n,</math> | = \sum_{n=0}^\infty {B_n(a_1,\dots,a_n) \over n!} x^n,</math> | ||
जो तर्कों के एक निश्चित अनुक्रम पर पूर्ण बेल बहुपदों के [[घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन]] का भी प्रतिनिधित्व करता है <math>a_1, a_2, \dots</math>. | जो तर्कों के एक निश्चित अनुक्रम पर पूर्ण बेल बहुपदों के [[घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन|घातीय उत्पादक फलन]] का भी प्रतिनिधित्व करता है <math>a_1, a_2, \dots</math>. | ||
===श्रृंखला का प्रत्यावर्तन=== | ===श्रृंखला का प्रत्यावर्तन=== | ||
{{main| | {{main|लैग्रेंज उलटा प्रमेय}} | ||
औपचारिक | |||
औपचारिक घात श्रृंखला में दो कार्य एफ और जी को व्यक्त किया जाना चाहिए | |||
:<math>f(w) = \sum_{k=0}^\infty f_k \frac{w^k}{k!}, \qquad \text{and} \qquad g(z) = \sum_{k=0}^\infty g_k \frac{z^k}{k!},</math> | :<math>f(w) = \sum_{k=0}^\infty f_k \frac{w^k}{k!}, \qquad \text{and} \qquad g(z) = \sum_{k=0}^\infty g_k \frac{z^k}{k!},</math> | ||
| Line 297: | Line 298: | ||
=== सममित बहुपद === | === सममित बहुपद === | ||
{{main| | {{main|न्यूटन की पहचान}} | ||
[[प्राथमिक सममित बहुपद]] <math>e_n</math> और घात योग सममित बहुपद <math>p_n</math> बेल बहुपदों का उपयोग करके एक दूसरे से संबंधित हो सकते हैं: | [[प्राथमिक सममित बहुपद]] <math>e_n</math> और घात योग सममित बहुपद <math>p_n</math> बेल बहुपदों का उपयोग करके एक दूसरे से संबंधित हो सकते हैं: | ||
: <math> | : <math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
| Line 311: | Line 312: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
ये सूत्र किसी को अपने शून्य के बेल बहुपदों के संदर्भ में मोनिक बहुपदों के गुणांकों को व्यक्त करने की अनुमति देते हैं। उदाहरण के लिए, केली-हैमिल्टन प्रमेय के साथ वे अपनी | ये सूत्र किसी को अपने शून्य के बेल बहुपदों के संदर्भ में मोनिक बहुपदों के गुणांकों को व्यक्त करने की अनुमति देते हैं। उदाहरण के लिए, केली-हैमिल्टन प्रमेय के साथ वे अपनी घातयों के निशान के संदर्भ में एक n × n वर्ग मैट्रिक्स A के निर्धारक की अभिव्यक्ति की ओर ले जाते हैं: | ||
: <math> \det (A) = \frac{(-1)^{n}}{n!} B_n(s_1, s_2, \ldots, s_n), ~\qquad \text{where } s_k = - (k - 1)! \operatorname{tr}(A^k).</math> | : <math> \det (A) = \frac{(-1)^{n}}{n!} B_n(s_1, s_2, \ldots, s_n), ~\qquad \text{where } s_k = - (k - 1)! \operatorname{tr}(A^k).</math> | ||
=== सममित समूहों का चक्र सूचकांक === | === सममित समूहों का चक्र सूचकांक === | ||
{{main| | {{main|चक्र सूचकांक}} | ||
[[सममित समूह]] का [[चक्र सूचकांक]] <math>S_n</math> पूर्ण बेल बहुपदों के संदर्भ में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है: | [[सममित समूह]] का [[चक्र सूचकांक]] <math>S_n</math> पूर्ण बेल बहुपदों के संदर्भ में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है: | ||
:<math> Z(S_n) = \frac{B_n(0!\,a_1, 1!\,a_2, \dots, (n-1)!\,a_n)}{n!}.</math> | :<math> Z(S_n) = \frac{B_n(0!\,a_1, 1!\,a_2, \dots, (n-1)!\,a_n)}{n!}.</math> | ||
| Line 332: | Line 333: | ||
=== हर्मिट बहुपद === | === हर्मिट बहुपद === | ||
{{main| | {{main|हर्मिट बहुपद}} | ||
[[हर्मिट बहुपद]]ों को बेल बहुपदों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है | [[हर्मिट बहुपद]]ों को बेल बहुपदों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है | ||
| Line 343: | Line 344: | ||
=== द्विपद प्रकार के बहुपद अनुक्रमों का प्रतिनिधित्व === | === द्विपद प्रकार के बहुपद अनुक्रमों का प्रतिनिधित्व === | ||
किसी भी क्रम के लिए | किसी भी क्रम के लिए a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>''n''</sub> अदिश राशि, चलो | ||
:<math>p_n(x)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) x^k.</math> | :<math>p_n(x)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) x^k.</math> | ||
| Line 349: | Line 350: | ||
:<math>p_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} p_k(x) p_{n-k}(y).</math> | :<math>p_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} p_k(x) p_{n-k}(y).</math> | ||
: उदाहरण: | : उदाहरण: A<sub>1</sub> के लिए = … = a<sub>''n''</sub> = 1, बहुपद <math>p_n(x)</math> टचर्ड बहुपदों का प्रतिनिधित्व करते हैं। | ||
अधिक सामान्यतः, हमारे पास यह परिणाम है: | अधिक सामान्यतः, हमारे पास यह परिणाम है: | ||
| Line 355: | Line 356: | ||
:प्रमेय: द्विपद प्रकार के सभी बहुपद अनुक्रम इस रूप के होते हैं। | :प्रमेय: द्विपद प्रकार के सभी बहुपद अनुक्रम इस रूप के होते हैं। | ||
यदि हम एक औपचारिक | यदि हम एक औपचारिक घात श्रृंखला को परिभाषित करते हैं | ||
:<math>h(x)=\sum_{k=1}^\infty {a_k \over k!} x^k,</math> | :<math>h(x)=\sum_{k=1}^\infty {a_k \over k!} x^k,</math> | ||
फिर सभी | फिर सभी n के लिए, | ||
:<math>h^{-1}\left( {d \over dx}\right) p_n(x) = n p_{n-1}(x).</math> | :<math>h^{-1}\left( {d \over dx}\right) p_n(x) = n p_{n-1}(x).</math> | ||
| Line 397: | Line 398: | ||
{{refend}} | {{refend}} | ||
{{DEFAULTSORT:Bell Polynomials}} | {{DEFAULTSORT:Bell Polynomials}} | ||
[[Category: | [[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Bell Polynomials]] | ||
[[Category:Created On 13/02/2023]] | [[Category:Created On 13/02/2023|Bell Polynomials]] | ||
[[Category:Machine Translated Page|Bell Polynomials]] | |||
[[Category:Pages with script errors|Bell Polynomials]] | |||
[[Category:Templates Vigyan Ready|Bell Polynomials]] | |||
[[Category:गणनात्मक कॉम्बिनेटरिक्स|Bell Polynomials]] | |||
[[Category:बहुपदों|Bell Polynomials]] | |||
Latest revision as of 10:05, 22 February 2023
साहचर्य गणित में, एरिक टेम्पल बेल के सम्मान में नामित बेल बहुपद का उपयोग सेट विभाजन के अध्ययन में किया जाता है। वे स्टर्लिंग नंबर और बेल नंबर से संबंधित हैं। वे कई अनुप्रयोगों में भी होते हैं, जैसे कि फा डि ब्रूनो के सूत्र में।
परिभाषाएँ
घातीय बेल बहुपद
आंशिक या अपूर्ण घातीय बेल बहुपद बहुपदों की एक त्रिकोणीय सरणी द्वारा दिए गए हैं