समीकरण: Difference between revisions

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{{Infobox person
| name              = समीकरण
| image              = [[File:Algebraic equation notation.svg|150px]]
}}
== समीकरण बनाना ==
== समीकरण बनाना ==
किसी भी प्रकार के समीकरण के वास्तविक समाधान की ओर बढ़ने से पहले, इसे हल के लिए तैयार करने के लिए कुछ प्रारंभिक संक्रियाओं को करना आवश्यक है।
वास्तविक समाधान में जाने से पहले, हमें समीकरणों  पर कुछ प्रारंभिक संचालन करने की आवश्यकता है।


अभी भी अधिक प्रारंभिक कार्य प्रस्तावित समस्या की स्थितियों से समीकरण (''समी-करण, समी-करा या समी-क्रिया''; ''समा, बराबर'' और ''कर्''  से करना; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने का है। इस तरह के प्रारंभिक कार्य के लिए बीजगणित या अंकगणित के एक या एक से अधिक मौलिक संचालन के आवेदन की आवश्यकता हो सकती है।
हमें प्रस्तावित प्रश्न  की दी गई शर्तों से समीकरण (''समी-करण, समी-करा या समी-क्रिया''; ''समा, बराबर'' और ''कर्''  से करना; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने की आवश्यकता है। इसके लिए बीजगणित या अंकगणित की एक या एक से अधिक मूलभूत संक्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।


भास्कर द्वितीय कहते हैं: "''यावत्-तावत्'' को अज्ञात मात्रा के मूल्य के रूप में माना जाता है। फिर जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है-एक समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या विभाजित करना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।
[[भास्कर द्वितीय]] कहते हैं: "''यावत्-तावत्'' " को अज्ञात मात्रा का मान/मूल्य मान लें। फिर ठीक वैसा ही करें, जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है- किसी समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या भाग देना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।
[[File:Equation illustration colour.svg|thumb|बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण]]


== बीजीय संकेतन ==
== बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण ==
बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण <ref>भारतीय गणितम के लिए एक प्राइमर, भारतीय-गणित-प्रवेश- भाग -1। संस्कृत प्रमोशन फाउंडेशन।''(A Primer to Bhāratīya Gaṇitam , Bhāratīya-Gaṇita-Praveśa- Part-1''. Samskrit Promotion Foundation.) 2021. [[ISBN (identifier)|ISBN]] [[Special:BookSources/978-81-951757-2-7|<bdi>978-81-951757-2-7</bdi>]].</ref>से समझा जा सकता है।


* अज्ञात संख्याओं के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीकों में ''यावत-तावत'' (जितना जितना हो) का ''या''  के प्रारंभिक शब्दांश, ''कालका''  (काला) का ''का'' , ''नीलका''  (नीला) का ''नी''  , ''पीत'' (पीला) का ''पी''  शामिल है, आदि ।
राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के ज्यादा हैं। हम ठीक से नहीं जानते कि श्याम के पास कितने सिक्के हैं। उसके पास कितने भी सिक्के हो सकते हैं। लेकिन हम जानते हैं कि राम के सिक्कों की संख्या = श्याम के सिक्कों की संख्या + 10
* दो अज्ञातों के गुणनफल को उनके बाद रखे ''भाविता'' (उत्पाद) के प्रारंभिक शब्दांश ''भा'' द्वारा दर्शाया जाता है। शक्तियों को वर्ग (वर्ग) के व , घन (घन) के घ,  के प्रारंभिक अक्षरों ''वा'' द्वारा दर्शाया गया है; ''वावा''  का मतलब ''वर्गवर्ग'', चौथी शक्ति है। कभी-कभी ''घट'' (उत्पाद) का प्रारंभिक शब्दांश ''घा'' शक्तियों के योग के लिए होता है।
* प्रतीक के बगल में एक गुणांक रखा गया है। अचर पद को ''रूप'' (रूप) के प्रारंभिक प्रतीक '''''रु'''''  द्वारा निरूपित किया जाता है।
* ऋणात्मक पूर्णांक के ऊपर एक बिंदु रखा गया है
* एक समीकरण के दो पक्षों को एक दूसरे के नीचे रखा जाता है। इस प्रकार समीकरण X<sup>4</sup> - 2X<sup>2</sup> - 400x = 9999; के रूप में लिखा गया है
यावव 1 याव 2<sup>●</sup> या 400<sup>●</sup>  रू ०


यावव ० याव ०  या ०  रू ९९९९
हम 'श्याम के सिक्कों की संख्या' को अक्षर x से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।


जिसका अर्थ है या के लिए x लिखना
x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,


x<sup>4</sup> -2x<sup>2</sup> -400x+0 = 0x<sup>4</sup> +0x<sup>2</sup>+0x+9999
राम के सिक्कों की संख्या = x+10


यदि कई अज्ञात हैं, तो एक ही तरह के लोगों को एक ही कॉलम में शून्य गुणांक के साथ लिखा जाता है, यदि आवश्यक हो। इस प्रकार समीकरण
अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।


197x - 1644y - z = 6302 द्वारा दर्शाया गया है
बीजगणित प्रतीकों के प्रयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं, जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।
{| class="wikitable"
|+
!क्रमांक
!बीजीय व्यंजक का संघटक
! संस्कृत शब्द
!प्रतीक/चिह्न
!उदाहरण
!
|-
| 1
|अज्ञात
|यावत्तावत्
कालकः


''या'' 197 ''का'' 1644<sup>●</sup> ''नी'' 1<sup>●</sup> ''रु'' 0
नीलकः , ......
|या
का


''या'' 0 ''का'' 0 ''नी'' 0 ''रु''  6302
नी , ........
|या ३५
का १४


जिसका अर्थ है,  ''का''  के लिए  y और ''नी''  के लिए  z  डालना
नी ८२
|35x
14y


197x - 1644y - z + 0 = 0x + 0y + 0z + 6302
82z
|-
|2
|योगफल
|योगः
|<nowiki>-</nowiki>
|या का
या ३५ का १४
|x + y
35x + 14y
|-
|3
|गुणनफल
|भावितम्
|भा
|याकाभा
याकाभा  ३२
|xy
32xy
|-
| 4
|वर्ग
| वर्गः
|व
|याव
|x<sup>2</sup>
|-
|5
| घनक्षेत्र
|घनः
|घ
|याघ
|x<sup>3</sup>
|-
|6
|चौथी शक्ति
|वर्ग​-वर्गः
|वव
|यावव
|x<sup>4</sup>
|-
|7
|स्थायी अवधि
|रूपम्
|रू
|रू ३२
|32
|-
|8
|ऋणात्मक
|ऋणम्
| मात्रा के ऊपर बिंदु  (.)
|'''.'''
रू ४३२
| -432
|}


भास्कर द्वितीय कहते हैं:
अक्षर '<nowiki/>''या'' '(''यावत्-तावत्''  का संक्षिप्त रूप),अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को '<nowiki/>''याव'' ' कहा जाता था, जो ''यावत्-तावत्-वर्ग'' (''वर्ग''  का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। स्थिर पद को '''रू'' 'अक्षर से निरूपित किया गया था, जो ''रूपा''  का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि उपरोक्त तालिका में दिखाया गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।


"फिर इसके एक तरफ अज्ञात (समीकरण) को दूसरी तरफ अज्ञात से घटाया जाना चाहिए, इसी तरह अज्ञात के वर्ग और अन्य शक्तियां भी;
यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न ''या'' , ''का'', और ''नी''   हैं। ये ''यावत्-तावत्,'' ''कालका'' और ''नीलका''  के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के गुणनफल को ''याकाभा'' के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ ''या''  और ''का''  दो अज्ञात हैं और ''भा''  उनके गुणनफल के लिए है।


दूसरी तरफ की ज्ञात मात्राओं को दूसरी तरफ की ज्ञात मात्राओं से घटाया जाना चाहिए।"
निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।
{| class="wikitable"
|+
!क्रमांक
!आधुनिक संकेतन
!प्राचीन भारतीय संकेतन
|-
|1
|x + 17
|या १ रू १७
|-
|2
|7x - 17
|या ७ रू १७<sup>'''.'''</sup>
|-
|3
|18x – 8
|या १८ रू ८<sup>'''.'''</sup>
|-
|4
|15x<sup>2</sup> + 17x - 2
|याव १५ या ७ रू २<sup>'''.'''</sup>
|-
|5
|1x<sup>4</sup> + 16x<sup>3</sup> + 25x<sup>2</sup> + 8x + 6
|यावव १ याघ १६ याव २५ या ८ रू ६
|-
|6
|8x<sup>2</sup> + 12xy - 6xz -16x
|याव ८ याकाभा १२ यानीभा ६<sup>'''.'''</sup> या १६<sup>'''.'''</sup>
|}
 
हम देखेंगे कि प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।
 
समीकरण 10x - 8 = x<sup>2</sup> +1 पर विचार करें


निम्नलिखित दृष्टांत भास्कर II के बीजगणित से है:
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,


"इस प्रकार दोनों पक्ष हैं
0x<sup>2</sup> + 10x - 8 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 1


''या''  ''वा''  4 ''या''  34<sup>●</sup> ''रु''  72
x<sup>2</sup>, x<sup>1</sup>, x<sup>0</sup> (स्थिर पद/अवधि) की स्थितियों का निरीक्षण करने पर कुछ स्वरूप मिलता है? समीकरण लिखने का सामान्य तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम(descending order) में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।


''या''  ''वा''  0 ''या''  0 ''रु'' 90
[[ब्रह्मगुप्त]] ने समीकरण को ''समकरण''  या ''संकरण''  कहा है। इसका अर्थ है 'समान बनाना'। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा गया था। प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।


पूर्ण समाशोधन (समाशोधन) पर, दोनों पक्षों के अवशेष हैं
चतुर्वेद पृथूदकस्वामिन् (864 ईस्वी) ने ब्रह्म-स्फूट-सिद्धांत पर अपनी टिप्पणी में समीकरण 40x - 48 = x<sup>2</sup> + 51 को नीचे के रूप में लिखा है
{| class="wikitable"
|+
!देवनागरी
!लिप्यंतरण
!
!आधुनिक संकेतन
|-
|याव ०  या ४०  रू ४८'''<sup>.</sup>'''
याव १  या ०    रू ५१
|याव  0 या  40 rū 48'''<sup>.</sup>'''
याव  1 या  0 rū  51
|⇒
|0x<sup>2</sup> + 0 x - 8 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 51
|}
भास्कर द्वितीय के बीजगणित से समीकरण का एक और उदाहरण यहां दिया गया है:


''या''  ''वा''  4 ''या''  34<sup>●</sup> ''रु''  0
x<sup>4</sup> - 2x<sup>2</sup> - 400x = 9999


''या''  ''वा''  0 ''या''  0 ''रु''  18
इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,


यानी, 4x<sup>2</sup> -34x= 18
यावव १ याव २'''<sup>.</sup>'''   या  ४<sup>'''.'''</sup>०० रू ०
 
यावव ० याव ०   या  ०       रू ९९९९
 
== बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया ==
 
 
भास्कर द्वितीय बीजगणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए संक्रियाएँ इस प्रकार देते  हैं :
 
''स्याद्रूपवर्णाभिहतौ तु वर्णो द्वित्र्यादिकानां समजातिकानाम् ॥''
 
''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।''
 
''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<ref>बीजगणित, अध्या. अव्यक्तदि-गुणन , बनाम 6,7, पृ.8(Bījagaṇita, ch. Avyaktādi-guṇana, vs.6,7, p.8)</ref>
 
"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल ''भाविता''  है। भिन्न आदि ज्ञात की स्थति में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) वही हैं जो अंकगणित में बताए गए हैं।"
 
=== बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव ===
भास्कर  द्वितीय अज्ञात मात्राओं के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते  हैं:
 
''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<ref>बीजगणित अध्या. अव्यक्त-संकलन-व्यवकलन, बनाम 6, पृ.7(Bījagaṇita ch. Avyakta-saṅkalana-vyavakalana, vs.6, p.7)</ref>
 
"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत/विषम शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"
 
'''व्याख्या:'''
 
जोड़ और घटाव समान पदों के साथ किया जा सकता है, और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना होता है। समान घातों के लिए उठाए गए समान अक्षर चर को समान पदों के रूप में माना जाता है। उदा., ''या  ४,या  ५, या  ६''  समान पद हैं। ''याव  ७, याव ८, याव  ९''  भी समान पद  हैं। ''का ३, का ७, का १५''  भी समान पद हैं। वर्तमान में हम कहते हैं कि 4x, 5x, 6x समान पद हैं। इसी प्रकार 7x<sup>2</sup>, 8x<sup>2</sup>, 9x<sup>2</sup> समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं।जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 4x + 6x को 10x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 9x<sup>2</sup> - 7x<sup>2</sup> को 2x<sup>2</sup> के रूप में सरल बनाया जा सकता है।
 
विपरीत पद वे पद हैं, जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा: ''या''  ३, ''याव''  ३, ''याघ''  ४, ''का''  ५, ''काव'', ''याकाभा'' । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x<sup>2</sup>, 4x<sup>3</sup>, 5y, y<sup>2</sup>, xy के रूप में दर्शाया जाता है।
 
=== बीजीय व्यंजकों का गुणन ===
बीजगणित गुणन का नियम देता इस प्रकार देता है -
 
''गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।''
 
''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<ref>बीजगणित अध्या. अव्यक्तदि-गुणन , बनाम.8, पृ.8(Bījagaṇita ch. Avyaktādi-guṇana, vs.8, p.8)</ref>
 
"गुण्य को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और प्रश्न  में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और करणी (surd/सर्ड) के वर्गों कि स्थिति में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के स्थिति  में बताई गई आंशिक  गुणनफलों  (partial products) की विधि यहां भी लागू होती है।"
 
'''व्याख्या'''
{| class="wikitable"
!प्राचीन भारतीय संकेतन
!आधुनिक संकेतन
|-
|यदि या २ रू ४ और या ३ रू ५ क्रमशः गुण्य और गुणक हैं,
उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:
|यदि 2x +  4  और 3x + 5 क्रमशः गुण्य और गुणक हैं,
 
उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:
|-
|गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ३  और रू ५
|गुणक के दो पद हैं, अर्थात् 3x और 5
|-
|गुण्य को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।
(या २ रू ४)) X या ३ = याव ६ या १२
 
(या २ रू ४)) X रू ५ = या १० रू २०
|गुण्य को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।
(2x +  4) X 3x  = 6x<sup>2</sup> + 12x
 
(2x +  4) X 5  = 10x + 20
|-
|परिणाम जोड़ें।
गुणन परिणाम है:: याव् ६ या २२ रू २०
|परिणाम जोड़ें।
 
गुणन परिणाम है: 6x<sup>2</sup> + 22x + 20
|}
 
यदि <math>ax + b</math> और <math>cx+d</math> क्रमशः गुण्य और गुणक हैं, तो उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:
 
गुणक के दो पद हैं, अर्थात् cx और d। गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।
 
<math>(ax+b) cx = acx^2+bcx</math>
 
<math>(ax+b)d = adx+bd</math>
 
परिणाम जोड़ें।
 
गुणन परिणाम है: <math>acx^2+(bc+ad)x+bd</math>


== समीकरणों का वर्गीकरण ==
== समीकरणों का वर्गीकरण ==
ऐसा लगता है कि समीकरणों का सबसे पहला हिंदू वर्गीकरण उनकी डिग्री के अनुसार हुआ है, जैसे कि सरल (तकनीकी रूप से ''यावत्-तावत्''  (जितना या उतना ही, अर्थात् एक मनमानी  मात्रा) कहा जाता है), द्विघात ''(वर्ग)'', घन और द्विघात (''वर्ग-वर्ग'')। इसका संदर्भ लगभग 300 ईसा पूर्व के एक विहित कार्य में मिलता है। लेकिन आगे की प्रमाण के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (''एक-वर्ण-समीकरण''), (2) कई अज्ञात में समीकरण (''अनेक-वर्ण-समीकरण''), और (3) अज्ञात के उत्पादों से जुड़े समीकरण (''भैविता)'' )
लगभग 300 ई.पू. के विहित कार्य में यह पाया गया है कि समीकरणों का हिंदू वर्गीकरण उनकी घातों  के अनुसार हुआ है, जैसे कि सरल (तकनीकी रूप से ''यावत्-तावत्''  कहा जाता है), द्विघात (''वर्ग''), घनीय(''घन'') और द्विघात (''वर्ग-वर्ग''))।
 
लेकिन आगे के पुष्ट प्रमाणों के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (''एक-वर्ण-समीकरण''), (2) कई अज्ञात में समीकरण (''अनेक-वर्ण-समीकरण''), और (3) अज्ञात के उत्पादों से जुड़े समीकरण (''भैविता'')।
 
एक अज्ञात में समीकरणों (''एक-वर्ण-समीकरण'') को फिर से दो उप वर्गों में विभाजित किया जाता है, अर्थात, (i) रैखिक समीकरण, और (ii) द्विघात समीकरण (''अव्यक्त-वर्ग-समीकरण'')।यहाँ से हमारे पास, समीकरणों को उनकी घातों के अनुसार वर्गीकृत करने की हमारी वर्तमान पद्धति की शुरुआत है।


प्रथम वर्ग को फिर से दो उप वर्गों में विभाजित किया गया है, अर्थात, (i) रैखिक समीकरण, और (ii) द्विघात समीकरण (''अव्यक्त-वर्ग-  समीकरण'')। यहाँ से हमारे पास समीकरणों को उनकी डिग्री के अनुसार वर्गीकृत करने की हमारी वर्तमान पद्धति की शुरुआत है। चतुर्वेद पृथुदका स्वामी (860) द्वारा अपनाई गई वर्गीकरण पद्धति थोड़ी भिन्न है। उनके चार वर्ग हैं: (1) एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (2) अधिक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (3) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक, दो या अधिक अज्ञात के साथ समीकरण, और (4) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण . चूँकि तृतीय वर्ग के समीकरण को हल करने की विधि मध्य पद के उन्मूलन के सिद्धांत पर आधारित है, इसलिए उस वर्ग को ''मध्यमाहारन'' (मध्यम से-"मध्य", अहारण से -"उन्मूलन", इसलिए अर्थ "उन्मूलन मध्य अवधि का" कहा जाता है। )। अन्य वर्गों के लिए, ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए पुराने नामों को बरकरार रखा गया है। वर्गीकरण की इस पद्धति का अनुसरण बाद के लेखकों ने किया है।
चतुर्वेद पृथुदकास्वामी (860) द्वारा अपनाई गई वर्गीकरण की पद्धति थोड़ी भिन्न है। उन्होंने वर्गीकृत इस प्रकार किया है : (1) एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (2) अधिक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (3) उनकी दूसरी और उच्च घातों में एक, दो या अधिक अज्ञात के साथ समीकरण, और (4) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। चूंकि तृतीय वर्ग के समीकरण के समाधान की विधि मध्य पद के उन्मूलन के सिद्धांत पर आधारित है, इसलिए उस वर्ग को ''मध्यमाहारण'' (मध्यम से, "''मध्य''", अहारण "''उन्मूलन''", इसलिए अर्थ -" मध्य अवधि का उन्मूलन" कहा जाता है।")। अन्य वर्गों के लिए, ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए पुराने नामों को बरकरार रखा गया है। वर्गीकरण की इस पद्धति का अनुसरण बाद के लेखकों ने किया है।


भास्कर द्वितीय तीसरे वर्ग में दो प्रकारों को अलग करता है, अर्थात (i) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक अज्ञात में समीकरण और (ii) दूसरी और उच्च शक्तियों में दो या दो से अधिक अज्ञात वाले समीकरण।' कृष्ण के अनुसार (1580) समीकरण मुख्य रूप से दो वर्गों के होते हैं: (1) एक अज्ञात में समीकरण और (जेड) दो या दो से अधिक अज्ञात में समीकरण। वर्ग (1) में फिर से दो उपवर्ग होते हैं: (i) सरल समीकरण और ( ii) द्विघात और उच्च समीकरण। वर्ग (2) में तीन उपवर्ग हैं: (i) एक साथ रैखिक समीकरण, (ii) अज्ञात की दूसरी और उच्च शक्तियों वाले समीकरण, और (iii) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। फिर वह देखता है कि इन पांच वर्गों को कक्षा (1) और (2) के दूसरे उपवर्गों को मध्यमहाहारन के रूप में एक वर्ग में शामिल करके चार तक कम किया जा सकता है।
भास्कर द्वितीय, तीसरे वर्ग में दो प्रकारों को अलग करते हैं , अर्थात् "(i) अपनी दूसरी और उच्च घातों में एक अज्ञात में समीकरण और (ii) अपनी दूसरी और उच्च घातों में दो या दो से अधिक अज्ञात में समीकरण।' कृष्ण के अनुसार (1580) समीकरण मुख्य रूप से दो वर्गों के होते हैं: (1) एक अज्ञात में समीकरण और (2) दो या दो से अधिक अज्ञात में समीकरण। पहले वर्गीकरण में दो उपवर्ग शामिल हैं: (i) सरल समीकरण और (ii) द्विघात और उच्च समीकरण। दूसरे वर्गीकरण में तीन उपवर्ग हैं: (i) एक साथ रैखिक समीकरण, (ii) अज्ञात की दूसरी और उच्च घातों वाले समीकरण, और (iii) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। फिर वह देखते हैं कि इन पांच वर्गों को, कक्षा (1) और (2) के दूसरे उपवर्गों को ''मध्यमाहारण''  के रूप में एक वर्ग में शामिल करके, घटाकर चार किया जा सकता है।


== एक अज्ञात में रैखिक समीकरण ==
== एक अज्ञात में रैखिक समीकरण ==
एक रैखिक समीकरण, एक समीकरण है जिसमें चर, गुणांक और स्थिरांक की केवल पहली घात होती है। उदाहरण के लिए, समीकरण 4x + 7 = 8 एक चर में एक रैखिक समीकरण है। इसे प्रथम-क्रम समीकरण कहा जाता है क्योंकि चर (x) की घात एक है। यदि समीकरण में x की उच्चतम शक्ति दो के रूप में है, अर्थात x<sup>2</sup> , तो यह एक द्विघात (द्वितीय क्रम) समीकरण होगा।


==== प्रारंभिक समाधान: ====
==== प्रारंभिक समाधान: ====
जैसा कि पहले ही कहा गया है, एक अज्ञात में एक रैखिक समीकरण का ज्यामितीय समाधान सुलबा में पाया जाता है, जिसमें से सबसे पहला 800 ईसा पूर्व के बाद का नहीं है। स्थानांग-सूत्र (सी। 300 ईसा पूर्व) में इसके नाम (यवत-तवत) से एक रैखिक समीकरण का संदर्भ है जो समाधान की विधि का सूचक है! उस समय पीछा किया। हालांकि, हमारे पास इसके बारे में और कोई सबूत नहीं है। सरल बीजगणितीय समीकरणों और उनके समाधान के लिए एक विधि से संबंधित समस्याओं के निस्संदेह मूल्य का सबसे पहला हिंदू रिकॉर्ड बख्शाली ग्रंथ में मिलता है, जो शायद ईसाई युग की शुरुआत के बारे में लिखा गया था।
जैसा कि पहले ही कहा गया है, एक अज्ञात में एक रैखिक समीकरण का ज्यामितीय समाधान ''शुल्बसूत्र''; ''śulba'' में पाया जाता है, जिसमें से सबसे पहला 800 ईसा पूर्व से पहले का है।  
 
''स्थानांग-सूत्र'' (सी 300 ईसा पूर्व) में इसके नाम (''यावत्-तावत्'') से एक रैखिक समीकरण का संदर्भ है, जो उस समय के समाधान की विधि का सूचक है।
 
बख्शाली ग्रंथ में सरल बीजगणितीय समीकरणों और समाधान पद्धति से जुडे प्रश्न  हैं, जो शायद ईसाई युग की शुरुआत में लिखी गई थीं।


एक समस्या यह है कि "पहले को दी गई राशि ज्ञात नहीं है। दूसरी को पहले की तुलना में दोगुना दिया जाता है, तीसरे को दूसरे से तीन गुना और चौथे को तीसरे से चार गुना अधिक दिया जाता है। वितरित की गई कुल राशि है 132. पहले की राशि क्या है?"
एक परिप्रश्न यह है कि "पहले को दी गई राशि ज्ञात नहीं है। दूसरे को पहले की तुलना में दोगुना दिया जाता है, तीसरे को दूसरे से तीन गुना और चौथे को तीसरे से चार गुना अधिक दिया जाता है। वितरित की गई कुल राशि है 132, पहले की राशि क्या है?"


यदि x पहले को दी गई राशि हो, तो समस्या के अनुसार,
यदि x पहले को दी गई राशि हो, तो प्रश्न  के अनुसार,


x + 2X + 6x + 24X = 132।
<math>x+2x+6x+24x=132</math>


==== असत्य स्थिति का नियम: ====
==== असत्य स्थिति का नियम: ====
Line 90: Line 303:
|}
|}
'गुणा किया हुआ'
'गुणा किया हुआ'
{| class="wikitable"
|+
|1
|2
|2*3=6
|6*4 =24
|}
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
|+
|+
Line 97: Line 317:
|24
|24
|}
|}
जोड़ा गया' 33. "दृश्यमान मात्रा को विभाजित करें'
जोड़ा गया
 
1 + 2 + 6 + 24 = 33
 
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"दृश्यमान मात्रा को विभाजित करें'
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(यह है) दी गई राशि (पहले को)।"
(यह है) दी गई राशि (पहले को)।"


बख्शाली ग्रंथ में समस्याओं के एक और सेट का समाधान अंततः ax+ b=p प्रकार के समीकरण की ओर ले जाता है। इसके समाधान के लिए दी गई विधि यह है कि x के लिए कोई मनमाना मान g रखा जाए, ताकि
बख्शाली ग्रंथ में प्रश्नों  के समूह का ,एक और समाधान अंततः ax+ b=p प्रकार के समीकरण की ओर ले जाता है। इसके समाधान के लिए दी गई विधि यह है कि x के लिए कोई मनमाना मान g रखा जाए, ताकि


ag+ b =p' कहते हैं।
ag+ b =p' कहा जाए ।


तब सही मान होगा
तब सही मान इस प्रकार होगा


x = (p - p')/a +g
<math>{\displaystyle x = {\frac{(p - p')}{a}} + g}</math>


==== रैखिक समीकरणों का हल ====
==== रैखिक समीकरणों का हल ====
आर्यभट्ट प्रथम (499) कहते हैं:
[[आर्यभट्ट]] (499) कहते हैं:
 
"दो व्यक्तियों से संबंधित ज्ञात "राशि" के अंतर को अज्ञात के गुणांकों के अंतर से विभाजित किया जाना चाहिए। भागफल अज्ञात का मान होगा, यदि उनकी संपत्ति समान हो।"
 
यह नियम इस प्रकार के प्रश्न  पर विचार करता है: दो व्यक्ति, जो समान रूप से अमीर हैं, के पास क्रमशः c, d नकद में पैसे की इकाइयों के साथ एक निश्चित अज्ञात राशि का a, b गुना है। वह राशि क्या है?
 
मान लीजिए x अज्ञात राशि है, दी गई जानकारी के साथ
 
ax + c = bx+ d
 
इसलिए  <math>{\displaystyle x = {\frac{(d - c)}{(a- b)}}}</math>
 
जिस वजह से  नियम।
 
bx + c = dx + e के रूप के रैखिक समीकरण को हल करने का नियम, जहाँ b, c, d और e संख्याएँ दी गई हैं, ब्रह्मगुप्त द्वारा निम्नानुसार दिया गया है।
 
''अव्यक्तान्तरभक्तं व्यस्ततां समानऽव्यक्तं।''
 
''कक्षा व्यक्ताः शोध यशद्रूपाणी तदधस्तात II ''<ref>ब्रह्म-स्फूट-सिद्धांत, अध्याय 18, बनाम 43, पृष्ठ 314(Brāhma-sphuṭa-siddhānta, Ch 18, vs.43,p.314)</ref>
 
"पूर्ण संख्याओं का अंतर, उत्क्रम और अज्ञात के अंतर से विभाजित, एक समीकरण में अज्ञात का [मान] है।"
 
'''व्याख्या''': समीकरण पर विचार करें, bx + c = dx + e
 
यहाँ x अज्ञात राशि है जिसका मान ज्ञात करना है। अक्षर b और d इसके गुणांक हैं। शेष अक्षर c और e संख्यात्मक स्थिरांक हैं।
 
निरपेक्ष संख्याओं का अंतर = c-e
 
उत्क्रमित  पूर्ण संख्याओं का अंतर = e-c
 
अज्ञात के गुणांकों का अंतर = b - d
 
x के रूप में पाया जाता है
 
<math>{\displaystyle x  = {\frac {(e-c)}{(b-d)} }}</math>
 
 
 
भास्कर  द्वितीय  बताते हैं कि उपरोक्त सूत्र कैसे प्राप्त किया जाता है।


"दो व्यक्तियों से संबंधित ज्ञात "राशि" के अंतर को अज्ञात के गुणांकों के अंतर से विभाजित किया जाना चाहिए। यदि उनकी संपत्ति समान है, तो भागफल अज्ञात का मान होगा।"
''यावत्तावत् कल्प्यमव्यक्तराशेर्मानं तस्मिन् कुर्वतोद्दिष्टमेव ।''


यह नियम इस प्रकार की समस्या पर विचार करता है: दो व्यक्ति, जो समान रूप से समृद्ध हैं, के पास क्रमशः a, b एक निश्चित अज्ञात राशि का c, d के साथ एक साथ है।
''तुल्यौ पक्षौ साधनीयौ प्रयत्नात्त्यक्त्वा क्षिप्त्वा वाऽपि संगुण्य भक्त्वा ॥''


नकद में पैसे की इकाइयों। वह राशि क्या है?
''एकाव्यक्तं शोधयेदन्यपक्षाद्रूपाण्यन्यस्येतरस्माच्च पक्षात्''


यदि x अज्ञात राशि हो, तो समस्या से
''शेषाव्यक्तेनोद्धरेद्रूपशेषं व्यक्तं मानं जायतेऽव्यक्तराशेः''॥<ref>बीजगणित, अध्या. एकवर्ण-समीकरण, बनाम 1, 2, पीपी.43,44(Bijagaṇita, ch. Ekavarṇa-samīkaraṇa, vs.1, 2, pp.43,44)</ref>


ax + c = bx+ d।
"अज्ञात मात्रा (x) मान लें। रद्द करने या कम करने या गुणा करने या विभाजित करने के बाद अज्ञात शब्दों से जुड़े कारकों को एक तरफ और स्थिर शब्दों को दूसरी तरफ स्थानांतरित करके वांछित प्रक्रिया करें। अज्ञात के गुणांक से पदों को विभाजित करें और अज्ञात कारक के मान की गणना करें।"


इसलिए x = (d-c) / (a-b)
'''व्याख्या''': उदाहरण के लिए, आइए हम निम्नलिखित समीकरण पर विचार करें:


इसलिए नियम।
6x - 5 = 2x + 3


ब्रह्मगुप्त कहते हैं:
(i) अज्ञात पदों वाले कारकों को एक तरफ और अचरों को दूसरी तरफ स्थानांतरित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,


"एक (रैखिक) समीकरण में एक अज्ञात में, ज्ञात शब्दों का अंतर रिवर्स ऑर्डर में लिया जाता है, अज्ञात के गुणांक के अंतर से विभाजित होता है
6x - 2x = 3 + 5


(अज्ञात का मूल्य है)।
इसलिए, 4x = 8


श्रीपति लिखते हैं:
ii) अज्ञात के गुणांक द्वारा पदों को विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं


"पहले ज्ञात पद को छोड़कर किसी भी पक्ष (समीकरण के) से अज्ञात को हटा दें; दूसरी तरफ उल्टा (किया जाना चाहिए)। गुणांक के अंतर से विभाजित रिवर्स ऑर्डर में लिए गए निरपेक्ष शब्दों का अंतर अज्ञात का मान अज्ञात का होगा।
x = 2


भास्कर द्वितीय कहता है:
श्रीपति लिखते हैं:


"अज्ञात को एक तरफ से दूसरी तरफ से और दूसरी तरफ निरपेक्ष पद को पहली तरफ से घटाएं। अवशिष्ट निरपेक्ष संख्या को अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक से विभाजित किया जाना चाहिए; इस प्रकार अज्ञात का मूल्य ज्ञात हो जाता है।
"पहले ज्ञात पद को छोड़कर किसी भी पक्ष (समीकरण के) से अज्ञात को हटा दें; दूसरी तरफ उत्क्रम (किया जाना चाहिए)। उत्क्रमण (उल्टे क्रम में लिए गए )निरपेक्ष पदों के अंतर को अज्ञात के गुणांकों के अंतर से विभाजित करने पर अज्ञात का मान होगा।


नारायण लिखते हैं:
नारायण लिखते हैं:


"एक तरफ से 'अज्ञात' और दूसरी तरफ से ज्ञात मात्रा को साफ़ करें, फिर अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक द्वारा ज्ञात अवशिष्ट को विभाजित करें। इस प्रकार निश्चित रूप से अज्ञात का मूल्य ज्ञात हो जाएगा।"
"एक तरफ से 'अज्ञात' और दूसरी तरफ से ज्ञात मात्रा को निवारक करें(हटा दें), फिर अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक द्वारा ज्ञात अवशिष्ट को विभाजित करें। इस प्रकार निश्चित रूप से अज्ञात का मूल्य ज्ञात हो जाएगा।"
 
उदाहरण के लिए हम ब्रह्मगुप्त द्वारा प्रस्तावित एक समस्या लेते हैं:


"उस समय के लिए बीते हुए दिनों की संख्या बताएं जब अवशिष्ट डिग्री के बारहवें भाग में एक से चार गुना वृद्धि हुई हो, जमा आठ शेष के बराबर होगा
उदाहरण के लिए हम ब्रह्मगुप