अभिन्न तत्व: Difference between revisions

अर्थात्, b, A पर एकात्मक बहुपद का मूल है।<ref>The above equation is sometimes called an integral equation and ''b'' is said to be integrally dependent on ''A'' (as opposed to [[algebraic dependent]].)</ref> B के तत्वों का समूह जो A पर अभिन्न है, B में A का 'इंटीग्रल क्लोजर' कहलाता है। यह B युक्त A का सबरिंग है। यदि B का प्रत्येक अवयव A पर समाकलित है,तो हम कहते हैं की B,A पर समाकलित है,या समतुल्य B,A का समाकलित विस्तार है।  

यदि A,B फ़ील्ड (गणित) हैं, तो समाकलित ओवर और समाकलित विस्तार की धारणा [[बीजगणितीय तत्व]] ओवर जो क्षेत्र सिद्धांत (गणित) में बीजगणितीय विस्तार हैं (चूंकि किसी भी [[बहुपद]] की जड़ एक मोनिक बहुपद की जड़ है) .

[[संख्या सिद्धांत]] में सबसे बड़ी घटना 'Z' पर समाकलित जटिल संख्याओं का घटना है (उदाहरण के लिए, <math>\sqrt{2}</math> या <math>1+i</math>); इस संदर्भ में, अभिन्न तत्वों को सामान्यतः [[बीजगणितीय पूर्णांक]] कहा जाता है। परिमेय संख्या 'Q' के परिमित क्षेत्र विस्तार k में बीजगणितीय पूर्णांक k का एक उप-वलय बनाते हैं, जिसे k के पूर्णांकों का वलय कहा जाता है, जो [[बीजगणितीय संख्या सिद्धांत]] में अध्ययन का केंद्रीय उद्देश्य है।

इस लेख में, शब्द वलय (गणित) को एक गुणात्मक पहचान के साथ क्रमविनिमेय वलय के समान समझा जाएगा।

समाकलन क्लोजर के कई उदाहरण हैं जो बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में पाए जा सकते हैं, क्योंकि यह बीजगणितीय विस्तार के लिए पूर्णांकों की छल्लों को परिभाषित करने के लिए वास्तविक है। <math>K/\mathbb{Q}</math> (या <math>L/\mathbb{Q}_p</math>).

पूर्णांक Q एकमात्र तत्व हैं जो Z पर अभिन्न हैं। दूसरे शब्दों में, Z, Q में Z का अभिन्न समापन है।

[[गॉसियन पूर्णांक]] फॉर्म की जटिल संख्याएँ हैं <math>a + b \sqrt{-1},\, a, b \in \mathbf{Z}</math>, और Z पर अभिन्न हैं। <math>\mathbf{Z}[\sqrt{-1}]</math> तब Z का अभिन्न समापन है <math>\mathbf{Q}(\sqrt{-1})</math>.सामान्य स्तर पर इस छल्ले को निरूपित किया जाता है <math>\mathcal{O}_{\mathbb{Q}[i]}</math>.

Z का अभिन्न समापन <math>\mathbf{Q}(\sqrt{5})</math> छल्ला है

यह और पिछला उदाहरण [[द्विघात पूर्णांक|द्विघात पूर्णांकों]] के उदाहरण हैं। एक द्विघात विस्तार का अभिन्न समापन <math>\mathbb{Q}(\sqrt{d})</math> एक मनमाना तत्व के [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]] का निर्माण करके पाया जा सकता है <math>a + b \sqrt{d}</math> और पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के लिए संख्या-सैद्धांतिक कसौटी खोजना। यह विश्लेषण द्विघात पूर्णांक # पूर्णांकों की अंगूठी का निर्धारण में पाया जा सकता है।

ζ एकता की जड़ हो। तब [[साइक्लोटोमिक क्षेत्र|साइक्लोटोमिक क्षेत्र(वृत्तभाजनिक क्षेत्र )]] Q(ζ) में Z का अभिन्न समापन Z[ζ] है।<ref>{{harvnb|Milne|loc=Theorem 6.4}}</ref> यह न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) का उपयोग करके और ईसेनस्टीन क्राइटिरीअन(मापदंड) का उपयोग करके पाया जा सकता है।

किसी भी वलय में एकता, निलपोटेंट तत्वों(शून्यंभावी तत्व) और इडेम्पोटेंट (वलय सिद्धांत) की जड़ें Z पर अभिन्न हैं।

=== [[ज्यामिति]] में इंटीग्रल क्लोजर ===

* उदाहरण के लिए, का अभिन्न समापन <math>\mathbb{C}[x,y,z]/(xy)</math> छल्ला है <math>\mathbb{C}[x,z] \times \mathbb{C}[y,z]</math> ज्यामितीय रूप से, पहली छल्ले से मेल खाती है <math>xz</math>-समतल के साथ ''yz समतल जुड़ा '''है |''''' उनके पास कोडिमेंशन 1 विलक्षणता है <math>z</math>-अक्ष जहां वे प्रतिच्छेद करते हैं।

* एक [[परिमित समूह]] G समूह को एक वलय A पर क्रिया करने दें। फिर A, A पर अभिन्न है^G, G द्वारा तय किए गए तत्वों का समूह ; [[फिक्स्ड-पॉइंट सबरिंग]] देखें।

* मान लें कि R एक वलय है और u एक इकाई (रिंग थ्योरी) है जिसमें R है। तब<ref>Kaplansky, 1.2. Exercise 4.</ref>

#u^-1 R का अभिन्न अंग है यदि और केवल यदि u⁻¹ ∈ R[u]।

# एक सामान्य प्रक्षेपी किस्म X के सजातीय समन्वय वलय का अभिन्न समापन वर्गों का वलय है<ref>{{harvnb|Hartshorne|1977|loc=Ch. II, Exercise 5.14}}</ref>

* C((''x'')) के परिमित विस्तार में C<nowiki></nowiki>''x''<nowiki></nowiki> का इंटीग्रल क्लोजर(अभिन्न समापन ) फॉर्म का है <math>\mathbf{C}[[x^{1/n}]]</math> (cf. [[प्यूसेक्स श्रृंखला]]){{citation needed|date=October 2012}}

 

 

: (ii) A और b द्वारा उत्पन्न B का सबरिंग A[b]अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है। अंतिम रूप से उत्पन्न A-मॉड्यूल;

: (iii) A [b] युक्त B का सबरिंग C मौजूद है और जो अंतिम रूप से उत्पन्न A-मॉड्यूल है;

: (iv) एक [[वफादार मॉड्यूल]] A [b] -मॉड्यूल M उपस्थित है जैसे कि M, A-मॉड्यूल के रूप में अंततः उत्पन्न होता है।

: 'प्रमेय' मान लीजिए कि आप एन तत्वों द्वारा उत्पन्न A-मॉड्यूल M का [[एंडोमोर्फिज्म]] हैं और A का आदर्श (छल्ला सिद्धांत) ऐसा है कि <math>u(M) \subset IM</math>. फिर एक संबंध है:

यह प्रमेय (I = A और u गुणा b द्वारा) देता है (iv) ⇒ (i) और बाकी आसान है। संयोग से, नाकायमा की लेम्मा भी इस प्रमेय का एक तात्कालिक परिणाम है।

=== इंटीग्रल क्लोजर एक रिंग === बनाता है

उपरोक्त चार समकक्ष कथनों से यह पता चलता है कि तत्वों का समुच्चय <math>B</math> जो अभिन्न हैं <math>A</math> का उपसमूह बनाता है<math>B</math>युक्त <math>A</math>. (उपपत्ति: यदि x, y के अवयव हैं<math>B</math>जो अभिन्न हैं <math>A</math>, तब <math>x + y, xy, -x</math> अभिन्न हैं <math>A</math> चूंकि वे स्थिर हैं <math>A[x]A[y]</math>, जो एक अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है <math>A</math> और शून्य से ही नष्ट हो जाता है।)<ref>This proof is due to Dedekind (Milne, ANT). Alternatively, one can use symmetric polynomials to show integral elements form a ring. (loc cit.)</ref> इस रिंग को इंटीग्रल क्लोजर कहा जाता है <math>A</math> में <math>B</math>.

उपरोक्त तुल्यता का एक अन्य परिणाम यह है कि निम्नलिखित अर्थों में समग्रता [[सकर्मक संबंध]] है। होने देना <math>C</math> एक अंगूठी युक्त हो <math>B</math> और <math>c \in C</math>. अगर <math>c</math> अभिन्न है<math>B</math>और<math>B</math>अभिन्न <math>A</math>, तब <math>c</math> अभिन्न है <math>A</math>. विशेष रूप से, अगर <math>C</math> स्वयं अभिन्न है<math>B</math>और<math>B</math>अभिन्न है <math>A</math>, तब <math>C</math> भी अभिन्न है <math>A</math>.

अगर <math>A</math> का अभिन्न समापन होता है <math>A</math> में<math>B</math>, तब A को 'पूर्ण रूप से बंद' कहा जाता है<math>B</math>. अगर <math>B</math> के अंशों का कुल वलय है <math>A</math>, (उदाहरण के लिए, भिन्नों का क्षेत्र जब <math>A</math> एक [[अभिन्न डोमेन]] है), तो कभी-कभी कोई योग्यता छोड़ देता है <math>B</math>&हेयरस्प; और बस का अभिन्न समापन कहते हैं <math>A</math>और<math>A</math> [[अभिन्न रूप से बंद डोमेन]] है।<ref>Chapter 2 of [[#Reference-idHS2006|Huneke and Swanson 2006]]</ref> उदाहरण के लिए, पूर्णांकों का वलय <math>\mathcal{O}_K</math> क्षेत्र में पूरी तरह से बंद है <math>K</math>.

यह स्थिति बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में लागू होती है जब पूर्णांकों की अंगूठी और एक क्षेत्र विस्तार से संबंधित होता है। विशेष रूप से, एक फ़ील्ड एक्सटेंशन दिया गया <math>L/K</math> का अभिन्न समापन <math>\mathcal{O}_K</math> में <math>L</math> पूर्णांकों का वलय है <math>\mathcal{O}_L</math>.

ध्यान दें कि ऊपर अभिन्नता की संक्रामकता का तात्पर्य है कि यदि <math>B</math> अभिन्न है <math>A</math>, तब <math>B</math> सबरिंग्स का एक संघ (समतुल्य रूप से एक [[आगमनात्मक सीमा]]) है जो सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होते हैं <math>A</math>-मॉड्यूल।

: एक निश्चित रूप से उत्पन्न मौजूद है <math>A</math>-सबमॉड्यूल <math>B</math> उसमें सम्मिलित है <math>A[b]</math>.

अंत में, धारणा है कि <math>A</math> का उपसमुच्चय हो <math>B</math> थोड़ा संशोधित किया जा सकता है। अगर <math>f:A \to B</math> एक [[रिंग समरूपता]] है, तो कोई कहता है <math>f</math> अभिन्न है अगर <math>B</math> अभिन्न है <math>f(A)</math>. इसी प्रकार कोई कहता है <math>f</math> परिमित है (<math>B</math> अंतिम रूप से उत्पन्न <math>A</math>-मॉड्यूल) या परिमित प्रकार (<math>B</math> अंतिम रूप से उत्पन्न <math>A</math>-अंगूठी पर बीजगणित)। इस दृष्टिकोण से, किसी के पास वह है

:<math>f</math> परिमित है अगर और केवल अगर <math>f</math> अभिन्न और परिमित प्रकार का है।

या अधिक स्पष्ट रूप से,

:<math>B</math> एक निश्चित रूप से उत्पन्न होता है <math>A</math>-मॉड्यूल अगर और केवल अगर <math>B</math> रूप में उत्पन्न होता है <math>A</math>-बीजगणित तत्वों की एक परिमित संख्या से अभिन्न <math>A</math>.

एक अभिन्न विस्तार A ⊆ B में गोइंग अप एंड गोइंग प्रॉपर्टी है। स्पष्ट रूप से, प्रमुख आदर्शों की एक श्रृंखला दी गई है <math>\mathfrak{p}_1 \subset \cdots \subset \mathfrak{p}_n</math> ए में एक मौजूद है <math>\mathfrak{p}'_1 \subset \cdots \subset \mathfrak{p}'_n</math> बी के साथ <math>\mathfrak{p}_i = \mathfrak{p}'_i \cap A</math> (ऊपर जा रहा है और झूठ बोल रहा है) और समावेशन संबंध के साथ दो अलग-अलग प्रमुख आदर्श एक ही मूल आदर्श (अतुलनीयता) से अनुबंध नहीं कर सकते हैं। विशेष रूप से, ए और बी के [[क्रुल आयाम]] समान हैं। इसके अलावा, यदि ए एक अभिन्न रूप से बंद डोमेन है, तो गोइंग-डाउन होल्ड (नीचे देखें)।

सामान्य तौर पर, गोइंग-अप का तात्पर्य लेटे-ओवर से है।<ref>{{harvnb|Kaplansky|1970|loc=Theorem 42}}</ref> इस प्रकार, नीचे में, हम केवल गोइंग-अप का अर्थ ऊपर जाना और लेटना कहते हैं।

जब ए, बी ऐसे डोमेन हैं कि बी ए पर अभिन्न है, ए एक क्षेत्र है अगर और केवल अगर बी एक क्षेत्र है। एक उपप्रमेय के रूप में, किसी ने: एक प्रमुख आदर्श दिया है <math>\mathfrak{q}</math> बी का, <math>\mathfrak{q}</math> बी का [[अधिकतम आदर्श]] है अगर और केवल अगर <math>\mathfrak{q} \cap A</math> ए का एक उच्चिष्ठ गुणज है। एक अन्य उपप्रमेय: यदि एल/के एक बीजीय विस्तार है, तो एल युक्त के कोई उपवलय एक क्षेत्र है।

मान लीजिए कि B एक ऐसा वलय है जो बीजगणितीय रूप से बंद एक उपवलय A और k पर समाकलित है। अगर <math>f: A \to k</math> एक समरूपता है, तो f एक समरूपता B → k तक विस्तारित होता है।<ref>{{harvnb|Bourbaki|2006|loc=Ch 5, §2, Corollary 4 to Theorem 1.}}</ref> यह गोइंग-अप से अनुसरण करता है।

होने देना <math>f: A \to B</math> अंगूठियों का एक अभिन्न विस्तार हो। फिर प्रेरित नक्शा

एक [[बंद नक्शा]] है; वास्तव में, <math>f^\#(V(I)) = V(f^{-1}(I))</math> किसी भी आदर्श के लिए मैं और <math>f^\#</math> आच्छादन मानचित्र है यदि f अंतःक्षेपी मानचित्र है। यह गोइंग-अप की एक ज्यामितीय व्याख्या है।

मान लीजिए कि B एक वलय है और A एक उपवलय है जो एक नोएथेरियन अभिन्न रूप से बंद डोमेन है (अर्थात, <math>\operatorname{Spec} A</math> एक सामान्य योजना है।) यदि बी ए पर अभिन्न है, तो <math>\operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A</math> विसर्जन (बीजगणित) है; यानी, [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] <math>\operatorname{Spec} A</math> [[भागफल टोपोलॉजी]] है।<ref>{{harvnb|Matsumura|1970|loc=Ch 2. Theorem 7}}</ref> सबूत [[रचनात्मक सेट (टोपोलॉजी)]] की धारणा का उपयोग करता है। (यह भी देखें: टोरसर (बीजगणितीय ज्यामिति)।)

अगर <math>B</math> अभिन्न है <math>A</math>, तब <math>B \otimes_A R</math> किसी भी ए-बीजगणित आर के लिए आर पर अभिन्न है।<ref>{{harvnb|Bourbaki|2006|loc=Ch 5, §1, Proposition 5}}</ref> विशेष रूप से, <math>\operatorname{Spec} (B \otimes_A R) \to \operatorname{Spec} R</math> बन्द है; यानी, अभिन्न विस्तार एक सार्वभौमिक रूप से बंद मानचित्र को प्रेरित करता है। इससे <u>इंटीग्रल एक्सटेंशन का ज्यामितीय लक्षण वर्णन</u> होता है। अर्थात्, 'बी' को केवल बहुत कम [[न्यूनतम प्रमुख आदर्श]]ों (जैसे, अभिन्न डोमेन या नोथेरियन रिंग) के साथ एक अंगूठी होने दें। तब ''बी'' एक (सबरिंग) ''ए'' पर अभिन्न है अगर और केवल अगर <math>\operatorname{Spec} (B \otimes_A R) \to \operatorname{Spec} R</math> किसी भी ए-बीजगणित आर के लिए बंद है।<ref>{{harvnb|Atiyah–MacDonald|1969|loc=Ch 5. Exercise 35}}</ref> विशेष रूप से, प्रत्येक उचित नक्शा सार्वभौमिक रूप से बंद होता है।<ref>{{Cite web|title=Section 32.14 (05JW): Universally closed morphisms—The Stacks project|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/05JW|website=stacks.math.columbia.edu|access-date=2020-05-11}}</ref>

 

 

: प्रस्ताव। चलो 'ए' अंश के क्षेत्र के साथ एक अभिन्न रूप से बंद डोमेन हो 'के', 'एल' 'के' का एक सामान्य [[सामान्य विस्तार]], ''बी'' ''ए का अभिन्न समापन '' एल '' में। फिर [[समूह (गणित)]] <math>G = \operatorname{Gal}(L/K)</math> के प्रत्येक फाइबर पर Group_action#Types_of_actions कार्य करता है <math>\operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A</math>.

सबूत। कल्पना करना <math>\mathfrak{p}_2 \ne \sigma(\mathfrak{p}_1)</math> किसी के लिए <math>\sigma</math> जी में। फिर, प्रधान परिहार द्वारा, एक तत्व x है <math>\mathfrak{p}_2</math> ऐसा है कि <math>\sigma(x) \not\in \mathfrak{p}_1</math> किसी के लिए <math>\sigma</math>. जी तत्व को ठीक करता है <math>y = \prod\nolimits_{\sigma} \sigma(x)</math> और इस प्रकार y विशुद्ध रूप से K के ऊपर अविभाज्य है। फिर कुछ शक्ति <math>y^e</math> के के अंतर्गत आता है; चूंकि ए पूरी तरह से बंद है, हमारे पास है: <math>y^e \in A.</math> इस प्रकार, हमने पाया <math>y^e</math> में है <math>\mathfrak{p}_2 \cap A</math> लेकिन अंदर नहीं <math>\mathfrak{p}_1 \cap A</math>; अर्थात।, <math>\mathfrak{p}_1 \cap A \ne \mathfrak{p}_2 \cap A</math>.