पैरेटो फ्रंट

बहुउद्देश्यीय अनुकूलन में, पैरेटो फ्रंट सभी पारेटो कुशल समाधानों का समुच्चय है। इसे व्यापक रूप से अभियांत्रिकी में उपयोग किया जाता है। यह प्रारूपो को प्रत्येक पैरामीटर की पूरी श्रृंखला पर विचार करने के अतिरक्त कुशल विकल्पों के समुच्चय पर ध्यान केंद्रित करने और इस समुच्चय के भीतर दुविधा को अंत करने की अनुमति देता है।

पैरेटो फ्रंटियर का उदाहरण। बॉक्सिंग बिंदु व्यवहार्य विकल्पों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और छोटे मूल्यों को बड़े लोगों के लिए पसंद किया जाता है। बिंदु C पेरेटो सीमा पर नहीं है क्योंकि यह बिंदु A और बिंदु B दोनों का प्रभुत्व है। बिंदु A और B पर किसी अन्य का सख्ती से प्रभुत्व नहीं है, और इसलिए यह सीमा पर स्थित है।

उत्पादन-संभावना की सीमा। लाल रेखा पारेटो-कुशल फ्रंटियर का एक उदाहरण है, जहां सीमांत और उसके नीचे का क्षेत्र विकल्पों का एक सतत समुच्चय है। सीमांत पर लाल बिंदु उत्पादन के पारेटो-इष्टतम विकल्पों के उदाहरण हैं। सीमा से दूर के बिंदु, जैसे कि N और K, पारेतो-प्रभावी नहीं हैं, क्योंकि सीमांत पर ऐसे बिंदु मौजूद हैं जो उन पर पारेटो-प्रभुत्व रखते हैं।

परिभाषा

पेरेटो फ्रंटियर, P(Y), को अधिक औपचारिक रूप से निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है। फलन के एक प्रणाली पर विचार करें $f:X\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$, जहाँ X मीट्रिक स्थान में व्यवहार्य निर्णयों का एक स्थान है $\mathbb {R} ^{n}$, और Y में मानदंड सदिश का व्यवहार्य समुच्चय है | $\mathbb {R} ^{m}$इस प्रकार है कि $Y=\{y\in \mathbb {R} ^{m}:\;y=f(x),x\in X\;\}$.

हम मानते हैं कि मापदंड मानों की अधिमानित दिशाएँ ज्ञात हैं। एक बिंदु $y^{\prime \prime }\in \mathbb {R} ^{m}$ दुसरे बिंदु $y^{\prime }\in \mathbb {R} ^{m}$ के लिए इस प्रकार अधिमानित किया जाता है की $y^{\prime \prime }\succ y^{\prime }$ सत्य हो। पेरेटो सीमांत इस प्रकार लिखा गया है:

$P(Y)=\{y^{\prime }\in Y:\;\{y^{\prime \prime }\in Y:\;y^{\prime \prime }\succ y^{\prime },y^{\prime }\neq y^{\prime \prime }\;\}=\emptyset \}.$

प्रतिस्थापन की सीमांत दर

अर्थशास्त्र में पैरेटो फ्रंटियर का एक महत्वपूर्ण दृष्टीकोण यह है कि पारेतो-दक्ष आवंटन पर, प्रतिस्थापन की सीमांत दर सभी उपभोक्ताओं के लिए समान होती है। एम उपभोक्ताओं और एन वस्तुओं के साथ एक प्रणाली और प्रत्येक उपभोक्ता के उपयोगिता फलन के रूप में विचार करके औपचारिक वर्णन $z_{i}=f^{i}(x^{i})$ प्राप्त किया जा सकता है जहां $x^{i}=(x_{1}^{i},x_{2}^{i},\ldots ,x_{n}^{i})$, सभी के लिए मान सदिश है तथा सभी के लिए व्यवहार्यता बाधा है $\sum _{i=1}^{m}x_{j}^{i}=b_{j}$ के लिए $j=1,\ldots ,n$. पेरेटो इष्टतम आवंटन खोजने के लिए, हम लैग्रैंगियन यांत्रिकी का अधिकतम प्रयोग करते हैं:

$L_{i}((x_{j}^{k})_{k,j},(\lambda _{k})_{k},(\mu _{j})_{j})=f^{i}(x^{i})+\sum _{k=2}^{m}\lambda _{k}(z_{k}-f^{k}(x^{k}))+\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}\left(b_{j}-\sum _{k=1}^{m}x_{j}^{k}\right)$

जहाँ $(\lambda _{k})_{k}$ और $(\mu _{j})_{j}$ गुणक के सदिश हैं। प्रत्येक संबंध में लैग्रैंगियन का आंशिक व्युत्पन्न $x_{j}^{k}$ लेना $j=1,\dots <!--\; \dots \; -->,$