दशमलव: Difference between revisions

[[File:Decimal_digit.png|thumb|upright=1.2|दशमलव प्रणाली में संख्या का मान रखें]]दशमलव [[अंक प्रणाली]] (जिसे आधार-दस स्थितीय अंक प्रणाली और {{IPAc-en|ˈ|d|iː|n|ər|i}}<ref>{{OED|denary}}</ref> या दशकीय भी कहा जाता है) [[पूर्णांक]] और गैर-पूर्णांक [[संख्या]]ओं को दर्शाने के लिए मानक प्रणाली है। यह हिंदू-अरबिक अंक प्रणाली के गैर-पूर्णांक संख्या का विस्तार है।<ref>{{Cite journal |last=Cajori |first=Florian |date=Feb 1926 |title=The History of Arithmetic. Louis Charles Karpinski |url=https://www.journals.uchicago.edu/doi/10.1086/358384 |journal=Isis |publisher=[[University of Chicago Press]] |volume=8 |issue=1 |pages=231–232 |doi=10.1086/358384 |issn=0021-1753}}</ref> दशमलव प्रणाली में संख्याओं को दर्शाने की विधि को अधिकांश दशमलव संकेतन के रूप में संदर्भित किया जाता है।<ref>{{Cite book |last=Yong |first=Lam Lay |url=http://dx.doi.org/10.1142/5425 |title=Fleeting Footsteps |last2=Se |first2=Ang Tian |date=April 2004 |publisher=[[World Scientific]] |isbn=978-981-238-696-0 |at=268 |doi=10.1142/5425 |access-date=March 17, 2022}}</ref>

एक दशमलव अंक (अधिकांश केवल दशमलव या, कम सही रूप से, दशमलव संख्या), सामान्यतः दशमलव अंक प्रणाली में एक संख्या के अंकन को संदर्भित करता है। दशमलव को कभी -कभी एक [[दशमलव विभाजक]] (सामान्यतः। या, {{math|25.9703}} या {{math|3,1415}} के रूप में) द्वारा पहचाना जा सकता है।<ref name=":1">{{Cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |date=March 10, 2022 |title=Decimal Point |url=https://mathworld.wolfram.com/DecimalPoint.html |url-status=live |access-date=March 17, 2022 |website=Wolfram MathWorld |language=en}}</ref> दशमलव विशेष रूप से दशमलव विभाजक के बाद विशेष रूप से अंकों को संदर्भित कर सकता है, जैसे कि {{math|3.14}} में {{pi}} का अनुमान हैदशमलव विभाजक के बाद शून्य-अंक किसी मान की शुद्धता को दर्शाने के उद्देश्य से काम करते हैं।

दशमलव प्रणाली में जिन संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, वे दशमलव अंश हैं। अर्थात्, {{math|''a''/10^''n''}} के रूप का [[अंश (गणित)|भिन्न (गणित)]] , जहाँ {{math|''a''}} एक पूर्णांक है, और {{math|''n''}} एक [[गैर-नकारात्मक पूर्णांक]] है।

== [[दशमलव अंक]]न ==

 

संख्याएँ लिखने के लिए, दशमलव प्रणाली दस दशमलव अंक, एक [[दशमलव चिह्न]], और, नकारात्मक संख्याओं के लिए, एक [[ घटाव का चिन्ह |घटाव का चिन्ह]] "−" का उपयोग करती है। दशमलव अंक [[0]], [[1]], 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 हैं;<ref>In some countries, such as [[Arab language|Arab speaking]] ones, other [[glyph]]s are used for the digits</ref> दशमलव विभाजक डॉट "{{math|.}}" है कई अन्य देशों में (अधिकांश अंग्रेजी बोलने वाले),<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=दशमलव|url=https://mathworld.wolfram.com/दशमलव.html|access-date=2020-08-22|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> और एक अल्पविराम "{{math|,}}" का प्रयोग किया जाता है।<ref name=":1" />

यदि {{math|''m'' > 0}}, अर्थात्, यदि पहले अनुक्रम में कम से कम दो अंक होते हैं, तो यह सामान्यतः माना जाता है कि पहला अंक {{math|''a''_''m''}} शून्य नहीं है।कुछ परिस्थितियों में बाईं ओर एक या एक से अधिक 0 होना उपयोगी हो सकता है; यह दशमलव द्वारा दर्शाए गए मूल्य को नहीं बदलता है: उदाहरण के लिए, {{math|1=3.14 = 03.14 = 003.14}}।इसी प्रकार, यदि दशमलव चिह्न के दाईं ओर अंतिम अंक शून्य है - अर्थात्, तो, यदि {{math|1=''b''_''n'' = 0}}- इसे हटाया जा सकता है; इसके विपरीत, ट्रेनिंग शून्य को दशमलव चिह्न के बाद प्रतिनिधित्व संख्या को बदलने के बिना जोड़ा जा सकता है; {{NoteTag|text=Sometimes, the extra zeros are used for indicating the [[accuracy and precision|accuracy]] of a measurement. For example, "15.00&nbsp;m" may indicate that the measurement error is less than one centimetre (0.01&nbsp;m), while "15&nbsp;m" may mean that the length is roughly fifteen metres and that the error may exceed 10&nbsp;centimetres.}} उदाहरण के लिए, {{math|1=15 = 15.0 = 15.00}} और {{math|1=5.2 = 5.20 = 5.200}}।

जब एक अंक का अभिन्न अंग शून्य होता है, तो यह हो सकता है, सामान्यतः [[ कम्प्यूटिंग |कम्प्यूटिंग]] में, कि पूर्णांक भाग नहीं लिखा जाता है (उदाहरण के लिए, {{math|.1234}}, के अतिरिक्त {{math|0.1234}})। सामान्य लेखन में, यह सामान्यतः बचा जाता है, क्योंकि दशमलव निशान और अन्य विराम चिह्न के बीच भ्रम के जोखिम के कारण।

इस तरह के किसी भी दशमलव अंश, अर्थात्: {{Math|1=''d''_''n'' = 0}} के लिए {{Math|''n'' > ''N''}}, प्रतिस्थापित करके इसके समकक्ष अनंत दशमलव विस्तार में परिवर्तित किया जा सकता है {{Math|''d''_''N''}} द्वारा {{Math|''d''_''N'' − 1}} और सभी बाद के 0s को 9s द्वारा प्रतिस्थापित करना (0.999 देखें ...)।

[[ लम्बा विभाजन | लम्बा विभाजन]] एक तर्कसंगत संख्या के अनंत दशमलव विस्तार की गणना करने की अनुमति देता है।यदि तर्कसंगत संख्या एक दशमलव अंश है, तो विभाजन अंततः रुक जाता है, एक दशमलव अंक का उत्पादन करता है, जो कि अनंत रूप से कई शून्य जोड़कर अनंत विस्तार में लंबे समय तक हो सकता है। यदि तर्कसंगत संख्या दशमलव अंश नहीं है, तो विभाजन अनिश्चित काल तक जारी रह सकता है। चूंकि, चूंकि सभी क्रमिक अवशेष विभाजक से कम होते हैं, इसलिए केवल संभावित अवशेषों की एक परिमित संख्या होती है, और कुछ जगह के बाद, अंक के समान अनुक्रम को भागफल में अनिश्चित काल तक दोहराया जाना चाहिए। अर्थात्, एक को दोहराया दशमलव है। उदाहरण के लिए,

अधिकांश उद्देश्यों के लिए, चूंकि, द्विआधारी मूल्यों को मनुष्यों से प्रस्तुति या इनपुट के लिए समतुल्य दशमलव मूल्यों में या परिवर्तित किया जाता है;कंप्यूटर प्रोग्राम डिफ़ॉल्ट रूप से दशमलव में शाब्दिक व्यक्त करते हैं।(123.1, उदाहरण के लिए, कंप्यूटर प्रोग्राम में इस तरह लिखा जाता है, चाहे कई कंप्यूटर भाषाएं उस संख्या को ठीक से एनकोड करने में असमर्थ हों।)

कंप्यूटर हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर दोनों भी आंतरिक अभ्यावेदन का उपयोग करते हैं जो दशमलव मानों को संग्रहीत करने और अंकगणित करने के लिए प्रभावी रूप से दशमलव हैं। अधिकांश यह अंकगणित डेटा पर किया जाता है जो [[बाइनरी-कोडित दशमलव]] के कुछ प्रकार का उपयोग करके एन्कोड किया जाता है,<ref name="Schmid_1983">{{cite book |title=दशमलव गणना|first=Hermann |author=Schmid<!-- General Electric Company, Binghamton, New York, US --> |author-link=Hermann Schmid (computer scientist) |orig-year=1974 |date=1983 |edition=1 (reprint) |publisher=Robert E. Krieger Publishing Company |location=Malabar, Florida |isbn=0-89874-318-4}}</ref><ref name="Schmid_1974">{{cite book |title=दशमलव गणना|first=Hermann |author=Schmid<!-- General Electric Company, Binghamton, New York, USA --> |author-link=Hermann Schmid (computer scientist) |date=1974 |edition=1st |publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=Binghamton, New York|isbn=0-471-76180-X |url-access=registration |url=https://archive.org/details/decimalcomputati0000schm }}</ref> विशेष रूप से डेटाबेस कार्यान्वयन में, लेकिन उपयोग में अन्य दशमलव प्रतिनिधित्व हैं ([[दशमलव अस्थायी बिंदु]] जैसे कि [[IEEE 754]] के नए संशोधन में)।

[[File:Qinghuajian, Suan Biao.jpg|thumb|upright|चीन में [[युद्धरत राज्य]]ों की अवधि के समय दुनिया की सबसे पुरानी दशमलव गुणन तालिका को 305 ईसा पूर्व से डेटिंग, बांस की पर्चियों से बनाया गया था।]]कई प्राचीन संस्कृतियों की गणना दस के आधार पर अंकों के साथ की जाती है, कभी -कभी मानव हाथों के कारण तर्क दिया जाता है कि सामान्यतः दस अंगुलियों/अंक होते हैं।<ref>{{citation|first=Tobias|last=Dantzig|title=Number / The Language of Science |edition=4th |year=1954|publisher=The Free Press (Macmillan Publishing Co.) |isbn=0-02-906990-4|page=12}}</ref> [[सिंधु घाटी सभ्यता]] में उपयोग किए जाने वाले मानकीकृत भार ({{circa|3300–1300 BCE}}) अनुपात पर आधारित थे: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 100, 200, और 500, जबकि उनके मानकीकृत शासक- मोहनजो-दारो शासक - को दस समान भागों में विभाजित किया गया था।<ref>Sergent, Bernard (1997), ''Genèse de l'Inde'' (in French), Paris: Payot, p. 113, {{ISBN|2-228-89116-9}}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Coppa | first1 = A. | display-authors = etal | year = 2006 | title = Early Neolithic tradition of dentistry: Flint tips were surprisingly effective for drilling tooth enamel in a prehistoric population | bibcode = 2006Natur.440..755C | journal = Nature | volume = 440 | issue = 7085| pages = 755–56 | doi = 10.1038/440755a | pmid = 16598247 | s2cid = 6787162 }}</ref><ref>Bisht, R. S. (1982), "Excavations at Banawali: 1974–77", in Possehl, Gregory L. (ed.), Harappan ''Civilisation: A Contemporary Perspective'', New Delhi: Oxford and IBH Publishing Co., pp. 113–24</ref> लगभग 3000 ईसा पूर्व के बाद से सबूतों में मिस्र के चित्रलिपि, एक विशुद्ध रूप से दशमलव प्रणाली का उपयोग करते हैं,<ref>Georges Ifrah: ''From One to Zero. A Universal History of Numbers'', Penguin Books, 1988, {{isbn|0-14-009919-0}}, pp.&nbsp;200–13 (Egyptian Numerals)</ref> जैसा कि [[क्रेटन हाइरोग्लिफ़्स]] ({{circa|1625−1500 BCE}}) उन [[ मीनियों का |मीनियों का]] जिनके अंक मिस्र के मॉडल पर बारीकी से आधारित हैं।<ref>Graham Flegg: Numbers: their history and meaning, Courier Dover Publications, 2002, {{isbn|978-0-486-42165-0}}, p.&nbsp;50</ref><ref>Georges Ifrah: ''From One to Zero. A Universal History of Numbers'', Penguin Books, 1988, {{isbn|0-14-009919-0}}, pp. 213–18 (Cretan numerals)</ref> और दशमलव प्रणाली [[कांस्य युग ग्रीस]] की लगातार कांस्य युग की संस्कृतियों को सौंपी गई थी, जिसमें [[रैखिक ए]] (सी. 18 वीं शताब्दी ईसा पूर्व bc1450 ईसा पूर्व) और [[रैखिक बी]] (सी। 1375−1200 ईसा पूर्व) सम्मिलित थे - [[शास्त्रीय ग्रीस|मौलिक ग्रीस]] की संख्या प्रणाली ने दस की शक्तियों का भी उपयोग किया था,रोमन अंक 5 का एक मध्यवर्ती आधार है।<ref name="Greek numerals">{{Cite web |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Greek_numbers.html |title=Greek numbers |access-date=2019-07-21}}</ref> विशेष रूप से, पॉलीमैथ [[आर्किमिडीज]] (सी। 287–212 ईसा पूर्व) ने अपने [[रेत रेकनर]] में एक दशमलव स्थिति प्रणाली का आविष्कार किया जो 10 पर आधारित था⁸<ref name="Greek numerals"/> और बाद में जर्मन गणितज्ञ [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] का नेतृत्व किया, जो कि हाइट्स साइंस ने अपने दिनों में पहले ही पहुंच लिया होगा यदि आर्किमिडीज ने अपनी सरल खोज की क्षमता को पूरी तरह से अनुभव किया होता।<ref>[[Karl Menninger (mathematics)|Menninger, Karl]]: ''Zahlwort und Ziffer. Eine Kulturgeschichte der Zahl'', Vandenhoeck und Ruprecht, 3rd. ed., 1979, {{isbn|3-525-40725-4}}, pp.&nbsp;150–53</ref> [[हित्तियों]] (15 वीं शताब्दी ईसा पूर्व के बाद से) भी सख्ती से दशमलव थे।<ref>Georges Ifrah: ''From One to Zero. A Universal History of Numbers'', Penguin Books, 1988, {{isbn|0-14-009919-0}}, pp. 218f. (The Hittite hieroglyphic system)</ref>

नौ खंडों में अपनी पुस्तक गणितीय ग्रंथ (1247 (1247<ref>Jean-Claude Martzloff, A History of Chinese Mathematics, Springer 1997  {{isbn|3-540-33782-2}}</ref>) 0.96644 को निरूपित किया

जे। लेनार्ट बर्गग्रेन ने नोट किया कि 10 वीं शताब्दी में लिखे गए अरब गणितज्ञ अबू'ल-हसन अल-उक्लिडिसी की एक पुस्तक में पहली बार स्थित दशमलव अंश दिखाई देते हैं।<ref name=Berggren>{{cite book | first=J. Lennart | last=Berggren | title=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook | chapter=Mathematics in Medieval Islam |editor-first=Victor J.|editor-last=Katz|publisher=Princeton University Press | year=2007 | isbn=978-0-691-11485-9 | page=530 }}</ref> यहूदी गणितज्ञ [[इमैनुएल बोनफिल्स]] ने [[साइमन स्टीविन]] की आशंका के साथ 1350 के आसपास दशमलव अंशों का उपयोग किया, लेकिन उनका प्रतिनिधित्व करने के लिए कोई संकेतन विकसित नहीं किया।<ref>[[Solomon Gandz|Gandz, S.]]: The invention of the decimal fractions and the application of the exponential calculus by Immanuel Bonfils of Tarascon (c. 1350), Isis 25 (1936), 16–45.</ref> फारसी गणितज्ञ जमशिद अल-कशी ने प्रमाणित किया कि 15 वीं शताब्दी में खुद दशमलव अंशों की खोज की गई थी।<ref name=Berggren />[[अलखावरिज़्मी]] ने 9 वीं शताब्दी की प्रारंभ में इस्लामी देशों में अंश प्रस्तुत किया; एक चीनी लेखक ने आरोप लगाया है कि उनकी अंश प्रस्तुति [[सूरज बैंगनी सु शांत]] से पारंपरिक चीनी गणितीय अंश की एक त्रुटिहीन प्रति थी।<ref name=Lam/> एक क्षैतिज बार के बिना नीचे और नीचे की तरफ अंश पर अंश के साथ अंश का यह रूप अल-उक्लिडिसी द्वारा और अल-काशी द्वारा उनके कार्य अंकगणितीय कुंजी में भी उपयोग किया गया था।<ref name=Lam/><ref>{{cite journal | last1 = Lay Yong | first1 = Lam | author-link = Lam Lay Yong | title = A Chinese Genesis, Rewriting the history of our numeral system | journal = Archive for History of Exact Sciences | volume = 38 | pages = 101–08 }}</ref>

[[जॉन नेपियर]] ने 1620 में मरणोपरांत प्रकाशित, लॉगरिथम्स के निर्माण तालिकाओं पर अपनी पुस्तक में एक दशमलव संख्या के पूर्णांक भाग को अलग करने के लिए अवधि (।) का उपयोग करके प्रारंभ किया।<ref name="constructionIA">{{cite book|title=[[Commons:File:The_Construction_of_the_Wonderful_Canon_of_Logarithms.djvu|The Construction of the Wonderful Canon of Logarithms]]|first=John|last=Napier|translator-last1=Macdonald|translator-first1= William Rae|date=1889|orig-date=1620|publisher=Blackwood & Sons|publication-place=Edinburgh|via=Internet Archive|quote=In numbers distinguished thus by a period in their midst, whatever is written after the period is a fraction, the denominator of which is unity with as many cyphers after it as there are figures after the period.}}</ref>{{rp|p. 8, archive p. 32)}}

भारत में दस प्रतीकों के एक सेट का उपयोग करके हर संभव [[प्राकृतिक संख्या]] को व्यक्त करने की एक विधि।कई भारतीय भाषाएं एक सीधी दशमलव प्रणाली दिखाती हैं। कई [[इंडो-आर्यन भाषाएँ]] और द्रविड़ियन भाषाओं में 10 और 20 के बीच संख्या 10 के अतिरिक्त नियमित पैटर्न में व्यक्त की गई है।<ref>{{cite web|url=http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Indian_numerals.html|title=Indian numerals|work=Ancient Indian mathematics|access-date=2015-05-22|archive-date=2007-09-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20070929131009/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/%7Ehistory/HistTopics/Indian_numerals.html|url-status=dead}}</ref>

प्रत्येक आदेश के लिए एक शब्द के साथ एक सीधा दशमलव रैंक प्रणाली (10) {{lang|zh|十}}, 100 {{lang|zh|百}}, 1000 {{lang|zh|千}}, 10,000 {{lang|zh|万}}), और जिसमें 11 को दस-एक के रूप में और 23 को दो-दस-तीन के रूप में, और 89,345 को 8 (दस हजारों) के रूप में और {{lang|zh|万}} 9 (हजार) {{lang|zh|千}} 3 (सौ) {{lang|zh|百}} 4 (दसियों) {{lang|zh|十}} 5 [[चीनी भाषा]] में व्यक्त किया गया है, और [[वियतनामी भाषा]] में कुछ अनियमितताओं के साथ पाया जाता है।