अनंत: Difference between revisions

{{About||प्रतीक के लिए  |अनंत प्रतीक देखें।|"अनंत" और "अनंत" के अन्य उपयोगों के लिए, अनंत (बहुविकल्पी) देखें।}}

{{distinguish|अनंत (बहुविकल्पी) के साथ भ्रमित न हों।}}

[[File:Reflections 1090029.jpg|thumb|upright=1.5|right|[[अनंत दर्पण|विरोधी दर्पणों]] के बीच निरंतर प्रकाश प्रतिबिंब के कारण ऐसा लगता है कि उनके भीतर असीम स्थान और पुनरावृत्ति है।]]'''अनंत''' वह है जो असीम, अंतहीन या किसी भी [[प्राकृतिक संख्या]] से बड़ा है। इसे प्रायः अनंत प्रतीक {{char|<math>\infty</math>}} द्वारा निरूपित किया जाता है।

[[ग्रीक गणित|प्राचीन यूनानियों]] के समय से अनंत की दार्शनिक प्रकृति दार्शनिकों के बीच कई चर्चाओं का विषय रही है। 17वीं शताब्दी में, अनंत प्रतीक<ref name=":1">{{Cite web |last=Allen |first=Donald |date=2003 |title=The History of Infinity |url=https://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/infinity/infinity.pdf |access-date=Nov 15, 2019 |website=Texas A&M Mathematics}}</ref> और [[अतिसूक्ष्म कलन|अतिसूक्ष्म गणना]] के प्रारम्भ के साथ, गणितज्ञों ने [[अनंत श्रृंखला]] के साथ काम करना प्रारम्भ किया और जिसे कुछ गणितज्ञों (एल'हॉपिटल और बर्नौली सहित)<ref name="Jesseph" /> ने असीम रूप से छोटी मात्रा के रूप में माना लेकिन अनंत को अंतहीन प्रक्रियाओं से जोड़ा जाता रहा। जैसा कि गणितज्ञ गणना की नींव के साथ संघर्ष कर रहे थे, यह स्पष्ट नहीं था कि क्या अनंत को एक संख्या या परिमाण के रूप में माना जा सकता है और यदि ऐसा है तो यह कैसे किया जा सकता है।<ref name=":1" /> 19वीं शताब्दी के अंत में, [[जॉर्ज कैंटर]] ने [[अनंत सेट|अनंत समुच्चयों]] और अनंत संख्याओं का अध्ययन करके अनंत के गणितीय अध्ययन को विस्तृत किया, यह दिखाते हुए कि वे विभिन्न आकारों के हो सकते हैं।<ref name=":1" /><ref>{{Cite book |last1=Gowers |first1=Timothy |url=https://www.worldcat.org/oclc/659590835 |title=The Princeton companion to mathematics |last2=Barrow-Green |first2=June |publisher=Princeton University Press |others=Imre Leader, Princeton University |year=2008 |isbn=978-1-4008-3039-8 |location=Princeton |language=en |oclc=659590835}}</ref> उदाहरण के लिए, यदि किसी रेखा को उसके सभी बिंदुओं के समुच्चय के रूप में देखा जाता है, तो उनकी अनंत संख्या (अर्थात् रेखा की [[प्रमुखता|प्रधानता]]) [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] की संख्या से बड़ी होती है।<ref>{{harvnb|Maddox|2002|loc=pp. 113–117}}</ref> इस प्रयोग में, अनंत एक गणितीय अवधारणा है, और अनंत गणितीय वस्तुओं का अध्ययन किया जा सकता है, हेरफेर किया जा सकता है और किसी अन्य [[गणितीय वस्तु]] की तरह ही उपयोग किया जा सकता है।  

अनंत की गणितीय अवधारणा पुरानी दार्शनिक अवधारणा को परिशोधित और विस्तारित करती है, विशेष रूप से अनंत समुच्चयों के असीम रूप से कई अलग-अलग आकारों को प्रस्तुत करके। जर्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के स्वयंसिद्ध सिद्धांतों में, जिस पर अधिकांश आधुनिक गणित विकसित की जा सकती हैं, [[अनंत का स्वयंसिद्ध]] है, जो अनंत समुच्चयों के अस्तित्व का दायित्व देता है।<ref name=":1" /> अनंतता की गणितीय अवधारणा और अनंत समुच्चयों के हेरफेर का उपयोग गणित में प्रत्येक स्थान पर किया जाता है, यहां तक कि [[साहचर्य]] जैसे क्षेत्रों में भी जिनका उनसे कोई लेना-देना नहीं है। उदाहरण के लिए, फर्मेट के अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण [[प्राथमिक अंकगणित|प्रारंभिक अंकगणित]] के संदर्भ में दी गई लंबी समस्या को हल करने के लिए बहुत बड़े [[ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड|अनंत समुच्चयोंं]] के अस्तित्व पर निर्भर करता है।<ref>{{cite journal |last=McLarty |first=Colin |date=15 January 2014|orig-date=September 2010 |title=What Does it Take to Prove Fermat's Last Theorem? Grothendieck and the Logic of Number Theory |url=https://www.cambridge.org/core/journals/bulletin-of-symbolic-logic/article/abs/what-does-it-take-to-prove-fermats-last-theorem-grothendieck-and-the-logic-of-number-theory/80EDFF3616F8D58590EBA0DCB9FD2E3E |journal=The Bulletin of Symbolic Logic |volume=16 |issue=3 |pages=359–377 |doi=10.2178/bsl/1286284558 |via=Cambridge University Press |s2cid=13475845}}</ref>

भौतिकी और [[ब्रह्माण्ड विज्ञान]] में, क्या ब्रह्माण्ड स्थानिक रूप से अनंत है यह एक विवादास्पद प्रश्न है।  

{{Further|अनंत (दर्शनशास्त्र)}}

प्राचीन संस्कृतियों में अनंत की प्रकृति के बारे में विभिन्न विचार थे। [[वैदिक काल|प्राचीन भारतीयों]] और [[प्राचीन ग्रीस|यूनानियों]] ने सटीक औपचारिकता में अनंत को परिभाषित नहीं किया जैसा कि आधुनिक गणित करता है और इसके स्थान पर एक दार्शनिक अवधारणा के रूप में अनंत तक पहुंच गया है। 

ग्रीस में अनंत का सबसे पहला रिकॉर्ड किया गया विचार [[Anaximander|एक यूनानी वैज्ञानिक]] (सी.-610 - सी.-546 ईसा पूर्व) का हो सकता है जो एक पूर्व-ईश्वरीय यूनानी दार्शनिक था। उन्होंने अपरिमित शब्द का प्रयोग किया, जिसका अर्थ है "असीमित", "अनिश्चित", और संभवतः इसका अनुवाद "अनंत" के रूप में किया जा सकता है।<ref name=":1" /><ref>{{harvnb|Wallace|2004|p=44}}</ref>  

अरस्तू (350 ईसा पूर्व) संभावित अनंत को [[वास्तविक अनंत]] से अलग करता है, जिसे वह विभिन्न विरोधाभासों के कारण असंभव मानता था जो इसे उत्पन्न करता प्रतीत होता था।<ref>{{cite book |author=Aristotle  |url=http://classics.mit.edu/Aristotle/physics.3.iii.html |translator-last1=Hardie|translator-first1=R. P. |translator-last2=Gaye|translator-first2=R. K. |at=Book 3, Chapters 5–8|title=भौतिक विज्ञान|publisher=The Internet Classics Archive}}</ref> यह तर्क दिया गया है कि, इस दृष्टिकोण के अनुरूप,  [[हेलेनिस्टिक]] यूनानियों में अनंत का आतंक था,<ref>{{cite journal |author=Goodman |first=Nicolas D. |year=1981 |editor1-last=Richman |editor1-first=F. |title=Reflections on Bishop's philosophy of mathematics |journal=Constructive Mathematics. Lecture Notes in Mathematics |series=Lecture Notes in Mathematics |publisher=Springer |volume=873|pages=135–145 |doi=10.1007/BFb0090732 |isbn=978-3-540-10850-4 }}</ref><ref>Maor, p. 3</ref> जो, उदाहरण के लिए, समझाएगा कि क्यों [[यूक्लिड]] (सी. 300 ई.पू.) ने यह नहीं कहा कि अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं, बल्कि "अभाज्य संख्याएँ अभाज्य संख्याओं की किसी भी निर्धारित बहुसंख्यक संख्या से अधिक हैं।"<ref>{{Cite journal |last=Sarton |first=George |date=March 1928 |title=''The Thirteen Books of Euclid's Elements''. Thomas L. Heath , Heiberg |url=https://www.journals.uchicago.edu/doi/10.1086/346308 |journal=Isis |volume=10 |issue=1 |pages=60–62 |doi=10.1086/346308 |issn=0021-1753 |via=The University of Chicago Press Journals}}</ref> यह भी कहा गया है कि [[अभाज्य संख्याओं की अनंतता]] को साबित करने में यूक्लिड "अनंत के आतंक पर काबू पाने वाले पहले व्यक्ति थे"।<ref>{{Cite book |last=Hutten |first=Ernest Hirschlaff |url=https://archive.org/details/originsofscience0000hutt_n9u7 |title=The origins of science; an inquiry into the foundations of Western thought |date=1962 |publisher=London, Allen and Unwin |others=Internet Archive |isbn=978-0-04-946007-2 |pages=1–241 |language=en |access-date=2020-01-09}}</ref> यूक्लिड की [[समानांतर अभिधारणा]] से संबंधित एक समान विवाद है, जिसका कभी-कभी अनुवाद किया जाता है-

=== ज़ेनो- अकिलिस और कछुआ ===

{{Main|ज़ेनो के विरोधाभास § अकिलिस और कछुआ}}

[[एलिया का ज़ेनो|एलिया के ज़ेनो]] (सी.-495 - सी.-430 ई.पू.) ने अनंत के विषय में किसी भी दृष्टिकोण को आगे नहीं बढ़ाया। फिर भी, उनके विरोधाभास,<ref name="Zeno's paradoxes">{{cite web|url=https://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/ |title=Zeno's Paradoxes |date=October 15, 2010 |website=Stanford University |access-date=April 3, 2017}}</ref> विशेष रूप से "अकिलिस और कछुआ", का इसमें महत्वपूर्ण योगदान था जिसमें उन्होंने लोकप्रिय अवधारणाओं की अपर्याप्तता को स्पष्ट किया। विरोधाभासों को [[बर्ट्रेंड रसेल]] द्वारा "अथाह सूक्ष्म और गहन" के रूप में वर्णित किया गया था।<ref>{{harvnb|Russell|1996|p=347}}</ref>  

[[Achilles|अकिलिस]] कछुआ दौड़ता है जो बाद वाले को एक प्रमुख प्रारम्भ देता है।

*चरण 1- कछुआ के प्रारम्भिक बिंदु पर अकिलिस दौड़ता है जबकि कछुआ आगे बढ़ता है।

*चरण 2- अकिलिस आगे बढ़ता है जहां कछुआ चरण 1 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है।

*चरण 3- अकिलिस आगे बढ़ता है जहां कछुआ चरण 2 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है।

*चरण 4- अकिलिस आगे बढ़ता है जहां कछुआ चरण 3 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है। आदि।

स्पष्ट रूप से, अकिलिस कभी भी कछुए से आगे नहीं निकलता है, क्योंकि वह कितने भी कदम पूरे कर लेता है, कछुआ उसके आगे रहता है।

[[भारतीय गणित|जैन गणितीय]] ग्रंथ सूर्य प्रज्ञापति (सी. चौथी-तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) सभी संख्याओं को तीन सेटों में वर्गीकृत करता है- गणना योग्य, असंख्य और अनंत। इनमें से प्रत्येक को आगे तीन आदेशों में उपविभाजित किया गया था-<ref>{{cite book|author=Ian Stewart|title=Infinity: a Very Short Introduction|url=https://books.google.com/books?id=iewwDgAAQBAJ&pg=PA117|year=2017|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-875523-4|page=117|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20170403200429/https://books.google.com/books?id=iewwDgAAQBAJ&pg=PA117|archive-date=April 3, 2017}}</ref>

* गणनीय- निम्नतम, मध्यवर्ती और उच्चतम

*असंख्य- लगभग असंख्य, वास्तव में असंख्य, और असंख्य रूप से अनगिनत

*अनंत- लगभग अनंत, वास्तव में अनंत, असीम रूप से अनंत

17वीं शताब्दी में, यूरोपीय गणितज्ञों ने अनंत संख्याओं और अनंत व्यंजकों का व्यवस्थित ढंग से प्रयोग करना प्रारम्भकिया। 1655 में, [[जॉन वालिस]] ने पहली बार अपने डी सेक्शनिबस कॉनिसिस में इस तरह की संख्या के लिए<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=OQZxHpG2y3UC&q=infinity|title=A History of Mathematical Notations|last=Cajori|first=Florian|publisher=Cosimo, Inc.|year=2007|isbn=9781602066854|volume=1|pages=214|language=en}}</ref> अंकन {{char|<math>\infty</math>}} का उपयोग किया और <math>{1\over \infty}

[[हरमन वेइल]] ने 1930 में दिए गए एक गणितीय-दार्शनिक संबोधन का प्रारम्भ किया-<ref>{{citation|first=Hermann|last=Weyl|title=Levels of Infinity / Selected Writings on Mathematics and Philosophy|editor=Peter Pesic|year=2012|publisher=Dover|isbn=978-0-486-48903-2|page=17}}</ref>

{{Main|अनंत प्रतीक}}

 

अनंत प्रतीक <math>\infty</math> (जिसे कभी-कभी [[limniscate|द्विपाशी]] कहा जाता है,) एक गणितीय प्रतीक है जो अनंत की अवधारणा का प्रतिनिधित्व करता है। प्रतीक [[यूनिकोड|एकल कोड]] में U+221E <math>\infty</math> अनंत (&amp;अनंत)<ref>{{Cite web|url=https://www.compart.com/en/unicode/U+221E|title=Unicode Character "∞" (U+221E)|last=AG|first=Compart|website=Compart.com|language=en|access-date=2019-11-15}}</ref> और [[LaTeX|लाटेक्स (LaTeX)]] में<code>\infty</code><ref>{{Cite web|url=https://oeis.org/wiki/List_of_LaTeX_mathematical_symbols|title=List of LaTeX mathematical symbols - OeisWiki|website=oeis.org|access-date=2019-11-15}}</ref>के रूप में एन्कोड किया गया है।

 

यह जॉन वालिस द्वारा 1655 में पेश किया गया था,<ref>{{citation

  | year = 1990| isbn = 978-3-540-52335-2 }}</ref> और इसके प्रारम्भ के बाद से, आधुनिक रहस्यवाद और साहित्यिक प्रतीकवाद<ref>{{citation|title=Nabokov: The Mystery of Literary Structures|first=Leona|last=Toker|publisher=Cornell University Press|year=1989|isbn=978-0-8014-2211-9|page=159|url=https://books.google.com/books?id=Jud1q_NrqpcC&pg=PA159|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20160509095701/https://books.google.com/books?id=Jud1q_NrqpcC&pg=PA159|archive-date=2016-05-09}}</ref> में गणित के बाहर भी इसका उपयोग किया गया है।<ref>{{citation|title=Dreams, Illusion, and Other Realities|first=Wendy Doniger|last=O'Flaherty|publisher=University of Chicago Press|year=1986|isbn=978-0-226-61855-5|page=243|url=https://books.google.com/books?id=vhNNrX3bmo4C&pg=PA243|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20160629143323/https://books.google.com/books?id=vhNNrX3bmo4C&pg=PA243|archive-date=2016-06-29}}</ref>

* <math>\int_{a}^{b} f(t)\, dt = \infty</math>