संख्या: Difference between revisions

[[File:NumberSetinC.svg|thumb|[[जटिल संख्या]]ओं के [[सबसेट]]]]संख्या एक [[गणितीय वस्तु]] है जिसका उपयोग [[गिनती]], [[माप]] और [[नाममात्र संख्या]] के लिए किया जाता है। मूल उदाहरण [[प्राकृतिक संख्या]] [[1]], [[2]], [[3]], [[4]], और आगे हैं।<ref>{{Cite journal |title=number, n. |url=http://www.oed.com/view/Entry/129082 |journal=OED Online |language=en-GB |publisher=Oxford University Press |access-date=2017-05-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181004081907/http://www.oed.com/view/Entry/129082 |archive-date=2018-10-04 |url-status=live }}</ref> [[संख्या शब्द|संख्याओं]] को भाषा में संख्या शब्दों के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है। अधिक सार्वभौमिक रूप से, व्यक्तिगत संख्याओं को [[प्रतीक]]ों द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिन्हें अंक कहा जाता है;उदाहरण के लिए, [[5]] अंक है जो 5 का प्रतिनिधित्व करता है। जैसा कि केवल अपेक्षाकृत कम संख्या में प्रतीकों को याद किया जा सकता है, बुनियादी अंक आमतौर पर [[अंक प्रणाली]] में व्यवस्थित होते हैं, जो किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए संगठित तरीका है।सबसे आम अंक प्रणाली हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली है, जो दस मौलिक संख्यात्मक प्रतीकों के संयोजन का उपयोग करके किसी भी संख्या के प्रतिनिधित्व के लिए अनुमति देती है, जिसे [[संख्यात्मक अंक]] कहा जाता है।<ref>{{Cite journal |title=numeral, adj. and n. |url=http://www.oed.com/view/Entry/129111 |journal=OED Online |publisher=Oxford University Press |access-date=2017-05-16 |archive-date=2022-07-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220730095156/https://www.oed.com/start;jsessionid=B9929F0647C8EE5D4FDB3A3C1B2CA3C3?authRejection=true&url=%2Fview%2FEntry%2F129111 |url-status=live }}</ref>{{efn|In [[linguistics]], a [[numeral (linguistics)|numeral]] can refer to a symbol like 5, but also to a word or a phrase that names a number, like "five hundred"; numerals include also other words representing numbers, like "dozen".}} गिनती और मापने में उनके उपयोग के अलावा, अंकों ऑर्डर करने के लिए ([[ क्रमिक संख्या | क्रमिक संख्या]] के साथ), और कोड के लिए (जैसा कि [[आईएसबीएन]] के साथ) का उपयोग अक्सर लेबल के लिए ([[टेलीफोन नंबर]] के साथ) उपयोग किया जाता है। सामान्य उपयोग में एक संख्या उस संख्या से स्पष्ट रूप से भिन्न नहीं होती है जिसका वह प्रतिनिधित्व करता है।

[[गणित]] में, [[0|शून्य]] (0)<ref>{{Cite news |url=https://www.scientificamerican.com/article/history-of-zero/ |title=The Origin of Zero |last=Matson |first=John |work=Scientific American |access-date=2017-05-16 |language=en |archive-url=https://web.archive.org/web/20170826235655/https://www.scientificamerican.com/article/history-of-zero/ |archive-date=2017-08-26 |url-status=live }}</ref> ऋणात्मक संख्याएँ,<ref name=":0">{{Cite book |url=https://books.google.com/books?id=f6HlhlBuQUgC&pg=PA88 |title=A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity |last=Hodgkin |first=Luke |date=2005-06-02 |publisher=OUP Oxford |isbn=978-0-19-152383-0 |pages=85–88 |language=en |access-date=2017-05-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190204012433/https://books.google.com/books?id=f6HlhlBuQUgC&pg=PA88#v=onepage&q&f=false |archive-date=2019-02-04 |url-status=live }}</ref> [[तर्कसंगत संख्या|परिमेय संख्याएँ]] जैसे कि एक [[एक आधा|आधा]] <math>\left(\tfrac{1}{2}\right)</math>, [[वास्तविक संख्या]] जैसे कि [[2 का वर्गमूल]] <math>\left(\sqrt{2}\right)</math><ref>{{cite book |title=Mathematics across cultures : the history of non-western mathematics |date=2000 |publisher=Kluwer Academic |location=Dordrecht |isbn=1-4020-0260-2 |pages=410–411}}</ref> को शामिल करने के लिए सदियों से संख्या की धारणा को बढ़ाया गया है,<ref>{{Cite book |last=Descartes |first=René |title=La Géométrie &#124; The Geometry of René Descartes with a facsimile of the first edition |url=https://archive.org/details/geometryofrenede00rend |year=1954 |author-link=René Descartes |orig-year=1637 |publisher=[[Dover Publications]] |isbn=0-486-60068-8 |access-date=20 April 2011 }}</ref> और पाई({{pi}}) और सम्मिश्र संख्याएं जो −1 (काल्पनिक संख्या) के वर्गमूल के साथ वास्तविक संख्याओं का (और इसके गुणकों को जोड़कर या घटाने से वास्तविक संख्या के साथ इसके संयोजन) विस्तार करती हैं।<ref name=":0" /> संख्याओं के साथ गणना [[अंकगणित|अंकगणितीय]] संक्रियाओं के साथ की जाती है, सबसे परिचित, जोड़, [[घटाव]], गुणन, [[विभाजन (गणित)]], और [[घातांक]] हैं। उनके अध्ययन या उपयोग को अंकगणित कहा जाता है, शब्द जो [[संख्या सिद्धांत]], संख्याओं के गुणों के अध्ययन का भी उल्लेख कर सकता है।

उनके व्यावहारिक उपयोगों के अलावा, संख्याओं का दुनिया भर में सांस्कृतिक महत्व है।<ref name="Gilsdorf">{{Cite book |last=Gilsdorf |first=Thomas E. |url=https://books.google.com/books?id=IN8El-TTlSQC |title=Introduction to cultural mathematics : with case studies in the Otomies and the Incas |date=2012 |publisher=Wiley |isbn=978-1-118-19416-4 |location=Hoboken, N.J. |oclc=793103475}}</ref><ref name="Restivo">{{Cite book |last=Restivo |first=Sal P. |url=https://books.google.com/books?id=V0RuCQAAQBAJ&q=Mathematics+in+Society+and+History |title=Mathematics in society and history : sociological inquiries |date=1992 |isbn=978-94-011-2944-2 |location=Dordrecht |oclc=883391697}}</ref> उदाहरण के लिए, पश्चिमी समाज में, [[13 (संख्या)]] को अक्सर अशुभ माना जाता है, और मिलियन त्रुटिहीन मात्रा के बजाय बहुत अधिक संकेत दे सकता है।<ref name="Gilsdorf" /> यद्यपि इसे अब [[छद्म]] विज्ञान के रूप में माना जाता है, संख्या के रहस्यमय महत्व में विश्वास, जिसे अंक विज्ञान के रूप में जाना जाता है, प्राचीन और मध्ययुगीन विचार को अनुमति दी जाती है।<ref name="Ore">{{Cite book |last=Ore |first=Øystein |url=https://books.google.com/books?id=Sl_6BPp7S0AC |title=Number theory and its history |date=1988 |publisher=Dover |isbn=0-486-65620-9 |location=New York |oclc=17413345}}</ref> न्यूमेरोलॉजी ने [[ग्रीक गणित]] के विकास को बहुत प्रभावित किया, संख्या सिद्धांत में कई समस्याओं की जांच को उत्तेजित किया जो आज भी रुचि के हैं।<ref name="Ore" />

19 वीं शताब्दी के दौरान, गणितज्ञों ने कई अलग -अलग अमूर्तता विकसित करना शुरू कर दिया, जो संख्याओं के कुछ गुणों को साझा करते हैं, और अवधारणा को विस्तारित करने के रूप में देखा जा सकता है। सबसे पहले [[हाइपरकम्प्लेक्स संख्या|हाइपरकम्प्लेक्स संख्याएं]] थी, जिसमें जटिल संख्या प्रणाली के विभिन्न एक्सटेंशन या संशोधन शामिल थे।आधुनिक गणित में, संख्या प्रणालियों को अधिक सामान्य बीजगणितीय संरचनाओं जैसे रिंग (गणित) और [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्रों (गणित)]] के महत्वपूर्ण विशेष उदाहरण माना जाता है, और शब्द संख्या का अनुप्रयोग मौलिक महत्व के बिना, सम्मेलन का विषय है।<ref>Gouvêa, Fernando Q. ''[[The Princeton Companion to Mathematics]], Chapter II.1, "The Origins of Modern Mathematics"'', p. 82. Princeton University Press, September 28, 2008. {{isbn|978-0-691-11880-2}}. "Today, it is no longer that easy to decide what counts as a 'number.' The objects from the original sequence of 'integer, rational, real, and complex' are certainly numbers, but so are the ''p''-adics. The quaternions are rarely referred to as 'numbers,' on the other hand, though they can be used to coordinatize certain mathematical notions."</ref>

संख्याओं को अंकों से अलग किया जाना चाहिए, संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीकों।मिस्रियों ने पहले सिफर्ड अंक प्रणाली का आविष्कार किया, और यूनानियों ने इओनियन और डोरिक अक्षर पर अपनी गिनती संख्याओं को मैप करने के बाद यूनानियों को आविष्कार किया।<ref>{{Cite journal |last=Chrisomalis |first=Stephen |date=2003-09-01 |title=The Egyptian origin of the Greek alphabetic numerals |journal=Antiquity |volume=77 |issue=297 |pages=485–96 |doi=10.1017/S0003598X00092541 |s2cid=160523072 |issn=0003-598X }}</ref> रोमन अंकों, प्रणाली, जो रोमन वर्णमाला से अक्षरों के संयोजन का उपयोग करती थी, 14 वीं शताब्दी के अंत में श्रेष्ठ हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली के प्रसार तक यूरोप में प्रमुख रही, और हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करने के लिए सबसे आम प्रणाली बनी हुई हैआज दुनिया में संख्या।<ref name="Cengage Learning2">{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=dOxl71w-jHEC&pg=PA192 |title=The Earth and Its Peoples: A Global History, Volume 1 |last2=Crossley |first2=Pamela |last3=Headrick |first3=Daniel |last4=Hirsch |first4=Steven |last5=Johnson |first5=Lyman |publisher=Cengage Learning |year=2010 |isbn=978-1-4390-8474-8 |page=192 |quote=Indian mathematicians invented the concept of zero and developed the "Arabic" numerals and system of place-value notation used in most parts of the world today |first1=Richard |last1=Bulliet |access-date=2017-05-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170128072424/https://books.google.com/books?id=dOxl71w-jHEC&pg=PA192 |archive-date=2017-01-28 |url-status=live }}</ref>{{better source needed|date=January 2017}} सिस्टम की प्रभावशीलता की कुंजी [[शून्य]] के लिए प्रतीक था, जिसे प्राचीन [[भारतीय गणित]] द्वारा 500 ईस्वी के आसपास विकसित किया गया था।<ref name="Cengage Learning2" />

हड्डियों और अन्य कलाकृतियों की खोज उनमें कटौती के साथ की गई है कि कई लोगों का मानना है कि टैली के निशान हैं।<ref>{{Cite book |last=Marshack |first=Alexander |url=https://books.google.com/books?id=vbQ9AAAAIAAJ |title=The roots of civilization; the cognitive beginnings of man's first art, symbol, and notation. |date=1971 |publisher=McGraw-Hill |isbn=0-07-040535-2 |edition=[1st ed.] |location=New York |oclc=257105}}</ref> इन टैली के निशान का उपयोग बीते समय की गिनती के लिए किया जा सकता है, जैसे कि दिन की संख्या, चंद्र चक्र या मात्रा के रिकॉर्ड रखने, जैसे कि जानवरों की।

टैली सिस्टम में जगह मूल्य (आधुनिक [[दशमलव]] संकेतन में) की कोई अवधारणा नहीं है, जो बड़ी संख्या के अपने प्रतिनिधित्व को सीमित करता है।बहरहाल, टैली सिस्टम को पहले प्रकार का अमूर्त अंक प्रणाली माना जाता है।

स्थान मूल्य के साथ पहली ज्ञात प्रणाली माप की प्राचीन मेसोपोटामियन इकाइयाँ थीं। मेसोपोटामियन बेस & nbsp; 60 सिस्टम ({{circa|3400}}& nbsp; bc) और सबसे पहले ज्ञात आधार & nbsp; 10 सिस्टम की तारीखों को 3100 & nbsp; [[मिस्र]] में bc।<ref>{{cite web |url=http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egyptpapyrus.html#berlin |title=Egyptian Mathematical Papyri – Mathematicians of the African Diaspora |publisher=Math.buffalo.edu |access-date=2012-01-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150407231917/http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egyptpapyrus.html#berlin |archive-date=2015-04-07 |url-status=live }}</ref>

628 ईस्वी के लिए शून्य तिथियों का पहला ज्ञात प्रलेखित उपयोग, और [[भारतीय गणितज्ञ]] [[ब्रह्मगुप्त]] के मुख्य कार्य ब्रोहमस्फुसिद्धान्टा में दिखाई दिया।उन्होंने संख्या के रूप में & nbsp; 0 का इलाज किया और इसे शामिल करने वाले संचालन पर चर्चा की, जिसमें शून्य द्वारा विभाजन भी शामिल है।इस समय तक (7 वीं & nbsp; सेंचुरी) अवधारणा स्पष्ट रूप से कंबोडिया तक खमेर अंकों के रूप में पहुंच गई थी, और प्रलेखन ने बाद में चीन और इस्लामी दुनिया में फैलने के विचार को दिखाया।

[[File:Khmer Numerals - 605 from the Sambor inscriptions.jpg|thumb|[[खमेर अंक]]ों में 605 नंबर, 683 ईस्वी से शिलालेख से।दशमलव आकृति के रूप में शून्य का प्रारंभिक उपयोग।]]ब्रह्मगुप्त की ब्रहमस्फुसिधान्ता पहली पुस्तक है जो शून्य का उल्लेख संख्या के रूप में करती है, इसलिए ब्रह्मगुप्त को आमतौर पर शून्य की अवधारणा को बनाने के लिए पहला माना जाता है।उन्होंने नकारात्मक और सकारात्मक संख्याओं के साथ शून्य का उपयोग करने के नियम दिए, जैसे कि शून्य प्लस सकारात्मक संख्या सकारात्मक संख्या है, और नकारात्मक संख्या प्लस शून्य नकारात्मक संख्या है।Brāhmasphuṭasiddhantta शून्य को अपने आप में संख्या के रूप में इलाज करने के लिए जल्द से जल्द ज्ञात पाठ है, बजाय दूसरे नंबर का प्रतिनिधित्व करने में केवल प्लेसहोल्डर अंक के रूप में, जैसा कि बेबीलोनियों द्वारा किया गया था या मात्रा की कमी के लिए प्रतीक के रूप में, जैसा कि टॉलेमी द्वारा किया गया था औररोम वासी।

संख्या के रूप में 0 के उपयोग को जगह-मूल्य प्रणालियों में प्लेसहोल्डर अंक के रूप में इसके उपयोग से अलग किया जाना चाहिए।कई प्राचीन ग्रंथों का उपयोग & nbsp; 0।बेबीलोन और मिस्र के ग्रंथों ने इसका इस्तेमाल किया।मिस्रियों ने शून्य & nbsp; [[ डबल-एंट्री बहीखाता प्रणाली ]] में संतुलन को निरूपित करने के लिए एनएफआर शब्द का उपयोग किया।भारतीय ग्रंथों ने [[संस्कृत]] शब्द का इस्तेमाल किया {{lang|sa-Latn|Shunye}} या {{lang|sa|shunya}} शून्य की अवधारणा का उल्लेख करने के लिए।गणित के ग्रंथों में यह शब्द अक्सर संख्या शून्य को संदर्भित करता है।<ref>{{cite web |url=http://sunsite.utk.edu/math_archives/.http/hypermail/historia/apr99/0197.html |title=Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM&#93; The Zero Story: a question |publisher=Sunsite.utk.edu |date=1999-04-26 |access-date=2012-01-30 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20120112073735/http://sunsite.utk.edu/math_archives/.http/hypermail/historia/apr99/0197.html |archive-date=2012-01-12 }}</ref> इसी तरह की नस में, Pānini (5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व) ने [[अष्टाध्यायी]] में NULL (शून्य) ऑपरेटर का उपयोग किया, जो संस्कृत भाषा के लिए [[औपचारिक व्याकरण]] का प्रारंभिक उदाहरण ([[पिंगला]] भी देखें)।

ब्रह्मगुप्त से पहले शून्य के अन्य उपयोग हैं, हालांकि दस्तावेज उतना पूरा नहीं है जितना कि यह ब्रोहमस्फुसिदहन्टा में है।

रिकॉर्ड बताते हैं कि [[प्राचीन ग्रीस]] & nbsp की स्थिति के बारे में अनिश्चित लग रहा था; 0 संख्या के रूप में: उन्होंने खुद से पूछा कि 'कुछ भी नहीं' कुछ कैसे हो सकता है?दिलचस्प [[दार्शनिक]] के लिए अग्रणी और, मध्ययुगीन काल तक, & nbsp; 0 और [[ खालीपन ]] की प्रकृति और अस्तित्व के बारे में धार्मिक तर्क।एले के ज़ेनो के ज़ेनो के विरोधाभास & nbsp; 0 की अनिश्चित व्याख्या पर निर्भर करते हैं।(प्राचीन यूनानियों ने यह भी सवाल किया कि क्या & nbsp;{{num|1}} संख्या थी।)

दक्षिण-मध्य मेक्सिको के स्वर्गीय [[ ऑल्मेक ]] लोगों ने नई दुनिया में शून्य, शेल [[ ग्लाइफ ]]़ के लिए प्रतीक का उपयोग करना शुरू कर दिया, संभवतः द्वारा {{nowrap|4th century BC}} लेकिन निश्चित रूप से 40 & nbsp; bc द्वारा, जो [[माया अंक]]ों और [[माया कैलेंडर]] का अभिन्न अंग बन गया।माया अंकगणित का उपयोग किया गया आधार & nbsp; 4 और आधार & nbsp; 5 आधार के रूप में लिखा गया था & nbsp; 20।1961 में जॉर्ज आई। सैंचेज़ ने आधार & nbsp; 4, बेस & nbsp; 5 फिंगर एबाकस की सूचना दी।<ref>{{Cite book |last=Sánchez |first=George I. |author-link=George I. Sánchez |title=Arithmetic in Maya |publisher=self published |year=1961 |place=Austin, Texas}}</ref>{{Better source needed|reason=The only source is a self-published book, albeit one by a respected educator. According to the (favorable) review by David H. Kelley in 'American Anthropologist', Sánchez was neither a Mayanist nor a mathematician. The review does not mention the abacus.|date=September 2020}}

और सच्चे शून्य का उपयोग रोमन अंकों के साथ टेबल में किया गया था। {{lang|la|nulla}} मतलब कुछ भी नहीं, प्रतीक के रूप में नहीं।जब विभाजन का उत्पादन किया गया & nbsp; 0 शेष के रूप में, {{lang|la|nihil}}, यह भी कुछ भी नहीं, इस्तेमाल किया गया था।इन मध्ययुगीन शून्य का उपयोग भविष्य के सभी मध्ययुगीन कम्प्यूटस ([[ईस्टर]] के [[कैलकुलेटर]]) द्वारा किया गया था।उनके प्रारंभिक, एन का अलग उपयोग, बेडे या सहयोगी द्वारा रोमन अंकों की तालिका में 725, सच्चे शून्य प्रतीक के बारे में उपयोग किया गया था।

=== नकारात्मक संख्या ===

नकारात्मक संख्याओं की अमूर्त अवधारणा को चीन में 100-50 ईसा पूर्व की शुरुआत में मान्यता दी गई थी।[[गणितीय कला पर नौ अध्याय]]ों में आंकड़े के क्षेत्रों को खोजने के तरीके हैं;लाल छड़ का उपयोग सकारात्मक गुणांक को निरूपित करने के लिए किया गया था, नकारात्मक के लिए काला।<ref>{{Cite book |last=Staszkow |first=Ronald |author2=Robert Bradshaw |title=The Mathematical Palette (3rd ed.) |publisher=Brooks Cole |year=2004 |page=41 |isbn=0-534-40365-4}}</ref> पश्चिमी कार्य में पहला संदर्भ ग्रीस में 3 & nbsp; सेंचुरी ईस्वी में था।[[डायोफेंटस]] ने समीकरण के समकक्ष संदर्भित किया {{nowrap|4''x'' + 20 {{=}} 0}} (समाधान नकारात्मक है) [[अंकगणित]] में, यह कहते हुए कि समीकरण ने बेतुका परिणाम दिया।

600 के दशक के दौरान, ऋण का प्रतिनिधित्व करने के लिए भारत में नकारात्मक संख्या का उपयोग किया गया था।डायोफेंटस के पिछले संदर्भ पर 628 में ब्राहमस्फुसिद्दान्टा में भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त द्वारा अधिक स्पष्ट रूप से चर्चा की गई थी, जिन्होंने आज के उपयोग में रहने वाले सामान्य रूप से द्विघात फार्मूले का उत्पादन करने के लिए नकारात्मक संख्याओं का उपयोग किया था।हालाँकि, भारत में 12 वीं & nbsp; सदी में, भस्कारा II द्विघात समीकरणों के लिए नकारात्मक जड़ें देता है, लेकिन कहता है कि नकारात्मक मूल्य इस मामले में नहीं लिया जाना है, क्योंकि यह अपर्याप्त है;लोग नकारात्मक जड़ों को मंजूरी नहीं देते हैं।

अधिकांश भाग के लिए, यूरोपीय गणितज्ञों ने 17 वीं & nbsp; सेंचुरी तक नकारात्मक संख्याओं की अवधारणा का विरोध किया, हालांकि फाइबोनैचि ने वित्तीय समस्याओं में नकारात्मक समाधान की अनुमति दी, जहां उन्हें ऋण के रूप में व्याख्या की जा सकती है (अध्याय & nbsp; 13 [[द बुक ऑफ द एबाकस]], 1202) और बाद में नुकसान के रूप में (में {{lang|la|Flos}})।रेने डेसकार्टेस ने उन्हें झूठी जड़ें कही क्योंकि वे बीजगणितीय बहुपदों में फसली थीं, फिर भी उन्हें सच्ची जड़ों और झूठी जड़ों को भी स्वैप करने का तरीका मिला।इसी समय, चीनी इसी सकारात्मक संख्या के अंक के दाहिने-सबसे गैर-शून्य अंक के माध्यम से विकर्ण स्ट्रोक को खींचकर नकारात्मक संख्याओं का संकेत दे रहे थे।<ref>{{Cite book |last=Smith |first=David Eugene |author-link=David_Eugene_Smith |title=History of Modern Mathematics |publisher=Dover Publications |year=1958 |page=259 |isbn=0-486-20429-4}}</ref> यूरोपीय काम में नकारात्मक संख्याओं का पहला उपयोग [[निकोलस चौक्वेट]] द्वारा 15 वीं & nbsp; सेंचुरी के दौरान था।उन्होंने उन्हें घातांक के रूप में इस्तेमाल किया, लेकिन उन्हें बेतुका संख्या के रूप में संदर्भित किया।

हाल ही में 18 वीं शताब्दी के रूप में, इस धारणा पर समीकरणों द्वारा लौटे किसी भी नकारात्मक परिणाम को अनदेखा करना आम बात थी कि वे अर्थहीन थे।