गुणनफल: Difference between revisions
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=== रैखिक मानचित्रण की संरचना === | === रैखिक मानचित्रण की संरचना === | ||
{{main| फलन संघटन}} | {{main| फलन संघटन}} | ||
एक रैखिक मानचित्रण को दो वेक्टर रिक्त स्थान V और W के बीच एक फलन f के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें अंतर्निहित क्षेत्र 'F' | एक रैखिक मानचित्रण को दो वेक्टर रिक्त स्थान V और W के बीच एक फलन f के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें अंतर्निहित क्षेत्र 'F' उपयुक्त है<ref>{{cite book|last1=Clarke|first1=Francis|title=Functional analysis, calculus of variations and optimal control|date=2013|publisher=Springer|location=Dordrecht|isbn=978-1447148203|pages=9–10}}</ref> | ||
:<math>f(t_1 x_1 + t_2 x_2) = t_1 f(x_1) + t_2 f(x_2), \forall x_1, x_2 \in V, \forall t_1, t_2 \in \mathbb{F}.</math> | :<math>f(t_1 x_1 + t_2 x_2) = t_1 f(x_1) + t_2 f(x_2), \forall x_1, x_2 \in V, \forall t_1, t_2 \in \mathbb{F}.</math> | ||
यदि कोई केवल परिमित आयामी वेक्टर रिक्त स्थान पर विचार करता है, तो | यदि कोई केवल परिमित आयामी वेक्टर रिक्त स्थान पर विचार करता है, तो | ||
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{{main|टेंसर गुणनफल}} | {{main|टेंसर गुणनफल}} | ||
दो परिमित आयामी सदिश स्थान V और W दिए गए हैं, उनमें से प्रदिश गुणनफल को (2,0) -प्रदिश | दो परिमित आयामी सदिश स्थान V और W दिए गए हैं, उनमें से प्रदिश गुणनफल को (2,0) -प्रदिश उपयुक्त के रूप में परिभाषित किया जा सकता है: | ||
:<math>V \otimes W(v, m) = V(v) W(w), \forall v \in V^*, \forall w \in W^*,</math> | :<math>V \otimes W(v, m) = V(v) W(w), \forall v \in V^*, \forall w \in W^*,</math> | ||
जहां ''V''<sup>*</sup> और ''W<sup>*,</sup>'' V और W के दोहरे स्थान को दर्शाता है।<ref>{{cite book|last1=Boothby|first1=William M.|title=An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry|url=https://archive.org/details/introductiontodi0000boot|url-access=registration|date=1986|publisher=Academic Press|location=Orlando|isbn=0080874398|page=[https://archive.org/details/introductiontodi0000boot/page/200 200]|edition=2nd}}</ref> | जहां ''V''<sup>*</sup> और ''W<sup>*,</sup>'' V और W के दोहरे स्थान को दर्शाता है।<ref>{{cite book|last1=Boothby|first1=William M.|title=An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry|url=https://archive.org/details/introductiontodi0000boot|url-access=registration|date=1986|publisher=Academic Press|location=Orlando|isbn=0080874398|page=[https://archive.org/details/introductiontodi0000boot/page/200 200]|edition=2nd}}</ref> | ||
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=== एक प्रदिश गुणनफल के साथ सभी वस्तुओं का वर्ग === | === एक प्रदिश गुणनफल के साथ सभी वस्तुओं का वर्ग === | ||
सामान्य रूप से, जब भी किसी के पास दो गणितीय [[ वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) |वस्तु (श्रेणी सिद्धांत)]] होती है जिसे इस तरह से जोड़ा जा सकता है जो एक रैखिक बीजगणित प्रदिश गुणनफल की तरह व्यवहार करता है, तो इसे सामान्य रूप से एक [[ मोनोइडल श्रेणी |मोनोइडल श्रेणी]] के [[ आंतरिक उत्पाद |आंतरिक गुणनफल]] के रूप में समझा जा सकता है। अर्थात्, मोनोइडल श्रेणी एक प्रदिश गुणनफल के अर्थ को सही से | सामान्य रूप से, जब भी किसी के पास दो गणितीय [[ वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) |वस्तु (श्रेणी सिद्धांत)]] होती है जिसे इस तरह से जोड़ा जा सकता है जो एक रैखिक बीजगणित प्रदिश गुणनफल की तरह व्यवहार करता है, तो इसे सामान्य रूप से एक [[ मोनोइडल श्रेणी |मोनोइडल श्रेणी]] के [[ आंतरिक उत्पाद |आंतरिक गुणनफल]] के रूप में समझा जा सकता है। अर्थात्, मोनोइडल श्रेणी एक प्रदिश गुणनफल के अर्थ को सही से सम्मिलित है; यह बिल्कुल इस धारणा को अधिग्रहण कर लेता है कि ऐसा क्यों है कि प्रदिश गुणनफल जिस तरह से व्यवहार करते हैं। अधिक यथावत रूप से, एक मोनोइडल श्रेणी सभी रचना का [[ वर्ग (सेट सिद्धांत) |वर्ग]] है (किसी दिए गए प्रकार के सिद्धांत का) जिसमें एक प्रदिश गुणनफल होता है। | ||
=== रैखिक बीजगणित में अन्य गुणनफल === | === रैखिक बीजगणित में अन्य गुणनफल === | ||
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Latest revision as of 12:03, 4 September 2023
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गणित में, एक गुणनफल गुणन का परिणाम होता है, या एक व्यंजक जो गुणन के लिए वस्तुओं (संख्याओं या चरों) की पहचान करता है, गुणक कहलाते हैं। उदाहरण के लिए, 30 6 और 5 (गुणा का परिणाम) का गुणनफल है, और का गुणनफल है और (यह दर्शाता है कि दो कारकों को एक साथ गुणा किया जाना चाहिए)।
जिस क्रम में वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्याओ को गुणा किया जाता है, उसका गुणनफल पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता; इसे गुणन की क्रमविनिमेयता के रूप में जाना जाता है। जब आव्यूह (गणित) या विभिन्न अन्य साहचर्य बीजगणित के इकाइयों को गुणा किया जाता है, तो गुणनफल सामान्य रूप से कारकों के क्रम पर निर्भर करता है। आव्यूह गुणन, उदाहरण के लिए, गैर-क्रमविनिमेय है, और ऐसा ही सामान्य रूप से अन्य बीजगणितों में भी गुणन है।
गणित में कई अलग-अलग प्रकार के गुणनफल हैं: केवल संख्याओं, बहुपदों या आव्यूहों का गुणन करने में सक्षम होने के अतिरिक्त, कोई भी अनेक भिन्न बीजगणितीय संरचनाओं पर गुणनफलों को परिभाषित कर सकता है।
दो संख्याओं का गुणनफल
यह खंड गुणन § परिभाषाओं का एक अंश है।
दो संख्याओं का गुणनफल या दो संख्याओं के बीच गुणन को सामान्य विशेष स्थितियों के लिए परिभाषित किया जा सकता है: पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ, भिन्न वास्तविक संख्याएँ, सम्मिश्र संख्याएँ और चतुष्कोण।
अनुक्रम का गुणनफल
अनुक्रम के गुणनफल के लिए गुणनफल संक्रियक को बड़े ग्रीक अक्षर φ Π द्वारा (बड़े सिग्मा Σ के योग प्रतीक के रूप में उपयोग के अनुरूप) द्वारा निरूपित किया जाता है।[1] उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति लिखने का एक और तरीका है।[2]
केवल एक संख्या वाले अनुक्रम का गुणनफल केवल वही संख्या होती है; बिना किसी कारक के गुणनफल को रिक्त गुणनफल के रूप में जाना जाता है, और यह 1 के बराबर है।
क्रमविनिमेय वलय
क्रमविनिमेय वलय का एक गुणनफल संक्रिया होती है।
पूर्णांकों के अवशेष वर्ग
वलयों में अवशेष कक्षाएं जोड़ा जा सकता है: