चैनल क्षमता: Difference between revisions

[[ शोर-चैनल कोडिंग प्रमेय ]] की शर्तों के बाद, किसी दिए गए [[ चैनल (संचार) ]] की चैनल क्षमता उच्चतम सूचना दर है (प्रति इकाई समय में सूचना एंट्रोपी की इकाइयों में) जिसे मनमाने ढंग से छोटी त्रुटि संभावना के साथ प्राप्त किया जा सकता है। <ref>{{cite web |url=http://www.cs.ucl.ac.uk/staff/S.Bhatti/D51-notes/node31.html |author=Saleem Bhatti |title=चैनल क्षमता|work=Lecture notes for M.Sc. Data Communication Networks and Distributed Systems D51 -- Basic Communications and Networks |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20070821212637/http://www.cs.ucl.ac.uk/staff/S.Bhatti/D51-notes/node31.html |archive-date=2007-08-21 }}</ref><ref>{{cite web | url = http://www.st-andrews.ac.uk/~www_pa/Scots_Guide/iandm/part8/page1.html | title = सिग्नल शोर की तरह दिखते हैं!| author = Jim Lesurf | work = Information and Measurement, 2nd ed.}}</ref>

1948 में क्लाउड ई. शैनन द्वारा विकसित सूचना सिद्धांत, चैनल क्षमता की धारणा को परिभाषित करता है और एक गणितीय मॉडल प्रदान करता है जिसके द्वारा इसकी गणना की जा सकती है। मुख्य परिणाम बताता है कि चैनल की क्षमता, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, चैनल के इनपुट और आउटपुट के बीच पारस्परिक जानकारी के अधिकतम द्वारा दिया जाता है, जहां इनपुट वितरण के संबंध में अधिकतमकरण होता है। <ref>{{cite book| author = Thomas M. Cover, Joy A. Thomas | title = सूचना सिद्धांत के तत्व| publisher = John Wiley & Sons, New York |year=2006| isbn = 9781118585771 |url=https://books.google.com/books?id=VWq5GG6ycxMC&q=%22channel+capacity%22}}</ref>

चैनल क्षमता की धारणा आधुनिक वायरलाइन और वायरलेस संचार प्रणालियों के विकास के लिए केंद्रीय रही है, उपन्यास [[ त्रुटि सुधार कोड ]] तंत्र के आगमन के साथ जिसके परिणामस्वरूप चैनल क्षमता द्वारा वादा की गई सीमा के बहुत करीब प्रदर्शन प्राप्त हुआ है।

संचार प्रणाली के लिए बुनियादी गणितीय मॉडल निम्नलिखित है:

कहां:

* <math>W</math> प्रेषित किया जाने वाला संदेश है;

* <math>X</math> चैनल इनपुट प्रतीक है (<math>X^n</math> का क्रम है <math>n</math> प्रतीक) एक वर्णमाला में लिया गया_(औपचारिक_भाषा) <math>\mathcal{X}</math>;

* <math>Y</math> चैनल आउटपुट प्रतीक है (<math>Y^n</math> का क्रम है <math>n</math> प्रतीक) एक वर्णमाला में लिया गया <math>\mathcal{Y}</math>;

* <math>f_n</math> लंबाई के ब्लॉक के लिए एन्कोडिंग फ़ंक्शन है <math>n</math>;

* <math>p(y|x) = p_{Y|X}(y|x)</math> शोर वाला चैनल है, जिसे एक [[ सशर्त संभाव्यता वितरण ]] द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है; और,

* <math>g_n</math> लंबाई के ब्लॉक के लिए डिकोडिंग फ़ंक्शन है <math>n</math>.

होने देना <math>X</math> और <math>Y</math> यादृच्छिक चर के रूप में मॉडलिंग करें। इसके अलावा, चलो <math> p_{Y|X}(y|x)</math> का सशर्त प्रायिकता बंटन फलन हो <math>Y</math> दिया गया <math>X</math>, जो संचार चैनल की एक अंतर्निहित निश्चित संपत्ति है। फिर [[ सीमांत वितरण ]] का विकल्प <math>p_X(x)</math> पूरी तरह से [[ संयुक्त संभाव्यता वितरण ]] निर्धारित करता है <math>p_{X,Y}(x,y)</math> पहचान के कारण

जो, बदले में, एक पारस्परिक सूचना को प्रेरित करता है <math>I(X;Y)</math>. चैनल क्षमता के रूप में परिभाषित किया गया है

जहां सभी संभावित विकल्पों पर Infimum और supremum को लिया जाता है <math>p_X(x)</math>.

चैनल क्षमता स्वतंत्र चैनलों पर योगात्मक है।<ref>{{cite book |last1=Cover |first1=Thomas M. |last2=Thomas |first2=Joy A. |title=सूचना सिद्धांत के तत्व|publisher=Wiley-Interscience |edition=Second |date=2006 |pages=206–207 |chapter=Chapter 7: Channel Capacity |isbn=978-0-471-24195-9}}</ref> इसका अर्थ है कि दो स्वतंत्र चैनलों का संयुक्त रूप से उपयोग करने से वैसी ही सैद्धांतिक क्षमता मिलती है जैसी उन्हें स्वतंत्र रूप से उपयोग करने की होती है।

अधिक औपचारिक रूप से, चलो <math>p_{1}</math> और <math>p_{2}</math> ऊपर के रूप में प्रतिरूपित दो स्वतंत्र चैनल बनें; <math>p_{1}</math> एक इनपुट वर्णमाला होना <math>\mathcal{X}_{1}</math> और एक आउटपुट वर्णमाला <math>\mathcal{Y}_{1}</math>. मैं आगे जा रहा हूँ <math>p_{2}</math>.

हम उत्पाद चैनल को परिभाषित करते हैं <math>p_{1}\times p_2</math> जैसा

यह प्रमेय कहता है:

<math display="block"> C(p_{1}\times p_{2}) = C(p_{1}) + C(p_{2})</math>

 

{{Proof|

{{main|Shannon capacity of a graph}}

यदि G एक [[ अप्रत्यक्ष ग्राफ ]] है, तो इसका उपयोग एक संचार चैनल को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है जिसमें प्रतीक ग्राफ के कोने होते हैं, और दो कोडवर्ड एक दूसरे के साथ भ्रमित हो सकते हैं यदि प्रत्येक स्थिति में उनके प्रतीक समान या आसन्न हों। ऐसे चैनल की शैनन क्षमता को खोजने की कम्प्यूटेशनल जटिलता खुली रहती है, लेकिन यह एक अन्य महत्वपूर्ण ग्राफ इनवेरिएंट, लोवाज़ नंबर द्वारा ऊपरी सीमा में हो सकती है।<ref>{{citation | first = László | last = Lovász | author-link = László Lovász | title = On the Shannon Capacity of a Graph | journal = [[IEEE Transactions on Information Theory]] | volume = IT-25 | issue = 1 | year = 1979 | pages = 1–7 | doi = 10.1109/tit.1979.1055985 }}.</ref>

== शोर-चैनल कोडिंग प्रमेय ==

 

शोर-चैनल कोडिंग प्रमेय बताता है कि किसी भी त्रुटि संभावना के लिए ε> 0 और किसी भी संचरण सूचना सिद्धांत के लिए # दर आर चैनल क्षमता सी से कम है, एक एन्कोडिंग और डिकोडिंग योजना है जो दर आर पर डेटा संचारित करती है जिसकी त्रुटि संभावना ε से कम है पर्याप्त बड़ी ब्लॉक लंबाई के लिए। साथ ही, चैनल क्षमता से अधिक किसी भी दर के लिए, रिसीवर पर त्रुटि की संभावना 0.5 हो जाती है क्योंकि ब्लॉक की लंबाई अनंत हो जाती है।

बी हर्ट्ज [[ बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) ]] और सिग्नल-टू-शोर अनुपात एस/एन के साथ एक योगात्मक सफेद गॉसियन शोर (एडब्ल्यूजीएन) चैनल के लिए चैनल क्षमता अवधारणा का एक अनुप्रयोग शैनन-हार्टले प्रमेय है:

C को [[ बिट्स प्रति सेकंड ]] में मापा जाता है यदि लघुगणक को आधार 2 में लिया जाता है, या Nat (यूनिट) प्रति सेकंड यदि [[ प्राकृतिक ]] लघुगणक का उपयोग किया जाता है, तो B को [[ हेटर्स ]]़ में माना जाता है; संकेत और शोर शक्तियाँ S और N एक रेखीय शक्ति_(भौतिकी)#इकाइयों (जैसे वाट या वोल्ट) में व्यक्त की जाती हैं²). चूंकि S/N के आंकड़े अक्सर [[ डेसिबल ]] में उद्धृत किए जाते हैं, इसलिए रूपांतरण की आवश्यकता हो सकती है। उदाहरण के लिए, 30 dB का सिग्नल-टू-नॉइज़ अनुपात एक रैखिक शक्ति अनुपात के अनुरूप होता है <math> 10^{30/10} = 10^3 = 1000</math>.

यह अनुभाग<ref>{{citation | author = David Tse, Pramod Viswanath | title = Fundamentals of Wireless Communication | publisher = Cambridge University Press, UK | year=2005| isbn = 9780521845274 |url=https://books.google.com/books?id=66XBb5tZX6EC&q=%22Channel+capacity%22}}</ref> सिंगल-एंटीना, पॉइंट-टू-पॉइंट परिदृश्य पर केंद्रित है। एकाधिक एंटेना वाले सिस्टम में चैनल क्षमता के लिए, एमआईएमओ पर आलेख देखें।

=== बैंडलिमिटेड AWGN चैनल ===

{{main|Shannon–Hartley theorem}}

[[File:Channel Capacity with Power- and Bandwidth-Limited Regimes.png|thumb|पावर-सीमित शासन और बैंडविड्थ-सीमित शासन के साथ AWGN चैनल क्षमता का संकेत दिया गया। यहां, <math>\frac{\bar{P}}{N_0}=1</math>; बी और सी को अन्य मूल्यों के लिए आनुपातिक रूप से बढ़ाया जा सकता है।]]यदि औसत प्राप्त शक्ति है <math>\bar{P}</math> [डब्ल्यू], कुल बैंडविड्थ है <math>W</math> हर्ट्ज़ में, और शोर शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व है <math>N_0</math> [W/Hz], AWGN चैनल क्षमता है

कहां <math>\frac{\bar{P}}{N_0 W}</math> प्राप्त सिग्नल-टू-शोर अनुपात (SNR) है। इस परिणाम को शैनन-हार्टले प्रमेय के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite book|title=इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग की पुस्तिका|year=1996|publisher=Research & Education Association|isbn=9780878919819|page=D-149|url=https://books.google.com/books?id=-WJS3VnvomIC&q=%22Shannon%E2%80%93Hartley+theorem%22&pg=RA1-SL4-PA41}}</ref>

जब एसएनआर छोटा होता है (एसएनआर ≪ 0 डीबी), क्षमता <math>C\approx \frac{\bar{P}}{N_0 \ln 2} </math> शक्ति में रैखिक है लेकिन बैंडविड्थ के प्रति असंवेदनशील है। इसे शक्ति-सीमित शासन कहा जाता है।

बैंडविड्थ-सीमित शासन और शक्ति-सीमित शासन चित्र में सचित्र हैं।

=== आवृत्ति-चयनात्मक AWGN चैनल ===

[[ लुप्त होती ]] की क्षमता | आवृत्ति-चयनात्मक चैनल तथाकथित पानी भरने वाले एल्गोरिदम बिजली आवंटन द्वारा दिया जाता है,

कहां <math>P_n^*=\max \left\{ \left(\frac{1}{\lambda}-\frac{N_0}{|\bar{h}_n|^2} \right),0 \right\}</math> और <math>|\bar{h}_n|^2</math> सबचैनल का लाभ है <math>n</math>, साथ <math>\lambda</math> शक्ति की कमी को पूरा करने के लिए चुना गया।

=== धीमा-लुप्त होती चैनल ===

एक लुप्त होती | धीमी-लुप्त होती चैनल में, जहां सुसंगतता समय विलंबता की आवश्यकता से अधिक है, चैनल द्वारा समर्थित विश्वसनीय संचार की अधिकतम दर के रूप में कोई निश्चित क्षमता नहीं है, <math>\log_2 (1+|h|^2 SNR)</math>, यादृच्छिक चैनल लाभ पर निर्भर करता है <math>|h|^2</math>, जो ट्रांसमीटर के लिए अज्ञात है। यदि ट्रांसमीटर दर पर डेटा को एनकोड करता है <math>R</math> [बिट्स / एस / हर्ट्ज], एक गैर-शून्य संभावना है कि डिकोडिंग त्रुटि संभावना को मनमाने ढंग से छोटा नहीं किया जा सकता है,

:<math>p_{out}=\mathbb{P}(\log(1+|h|^2 SNR)<R)</math>,

जिस स्थिति में कहा जाता है कि सिस्टम आउटेज में है। एक गैर-शून्य संभावना के साथ कि चैनल गहरा फीका है, धीमी गति से लुप्त होती चैनल की क्षमता सख्त अर्थों में शून्य है। हालांकि, का सबसे बड़ा मूल्य निर्धारित करना संभव है <math>R</math> जैसे आउटेज की संभावना <math>p_{out}</math> मै रुक जाना <math>\epsilon</math>. इस मान को के रूप में जाना जाता है <math>\epsilon</math>-आउटेज क्षमता।

=== तेजी से लुप्त होती चैनल ===

एक फेडिंग | फास्ट-फेडिंग चैनल में, जहां विलंबता की आवश्यकता सुसंगतता समय से अधिक है और कोडवर्ड की लंबाई कई सुसंगतता अवधियों तक फैली हुई है, बड़ी संख्या में सुसंगतता समय अंतरालों पर कोडिंग करके कई स्वतंत्र चैनल फ़ेड्स पर औसत कर सकते हैं। इस प्रकार, संचार की विश्वसनीय दर प्राप्त करना संभव है <math>\mathbb{E}(\log_2 (1+|h|^2 SNR))</math> [बिट्स/सेकंड/हर्ट्ज] और इस मूल्य को तेजी से लुप्त होती चैनल की क्षमता के रूप में बोलना सार्थक है।

* [[ बैंडविड्थ (कंप्यूटिंग) ]]

* [[ बिट दर ]]

* [[ कोड दर ]]

* [[ निक्विस्ट दर ]]

* [[ नेगेंट्रॉपी ]]

* [[ अतिरेक (सूचना सिद्धांत) ]]

* [[ प्रेषक ]], डेटा संपीड़न, [[ रिसीवर (सूचना सिद्धांत) ]]

* [[ स्पेक्ट्रल दक्षता ]]

* [[ प्रवाह ]]

* [[ सहकारी विविधता ]]

* [http://webdemo.inue.uni-stuttgart.de/webdemos/08_research/capacity/ AWGN Channel Capacity with various constraints on the channel input (interactive demonstration)]

 

*तंग ऊपरी सीमा

[[Category: Machine Translated Page]]