परिमाणक्रम

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परिमाण का क्रम कुछ प्रासंगिक रूप से समझे जाने वाले संदर्भ मूल्य के सापेक्ष मान के लघुगणक का अनुमान है, सामान्यतः 10, लघुगणक के आधार और परिमाण के मूल्यों के प्रतिनिधि के रूप में व्याख्या की गई हैं। सामान्य अर्थों में वितरण होते हैं तथा इस प्रकार के वितरण के नमूने लिए गए मानों के परिमाण-क्रम पर विचार कर अधिक सहजज्ञान युक्त हो सकता है। जब संदर्भ मान 10 होता है, तो परिमाण के क्रम को मान के आधार-10 प्रतिनिधित्व में अंकों की संख्या के रूप में समझा जा सकता है। इसी प्रकार, यदि संदर्भ मान 2 कुछ घात में से एक है, चूंकि कंप्यूटर डेटा को बाइनरी प्रारूप में संग्रहीत करते हैं, तो परिमाण को उस मान को संग्रहीत करने के लिए आवश्यक कंप्यूटर मेमोरी की मात्रा के संदर्भ में समझा जा सकता है।

परिमाण के क्रम में अंतर को "दशक (लॉग पैमाना)" (यानी, दस के घटक) में आधार -10 लघुगणकीय पैमाने पर मापा जा सकता है। विभिन्न परिमाणों की संख्याओं के उदाहरण परिमाण (संख्या) के आदेशों पर पाये जा सकते हैं।

परिभाषा

सामान्यतः किसी संख्या के परिमाण का क्रम उस संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली 10 की सबसे छोटी घात होती है। किसी संख्या $N$ के परिमाण के क्रम की गणना करने के लिए, संख्या को पहले निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है:

$N=a\times 10^{b}$

जहां ${\frac {1}{\sqrt {10}}}\leq a<{\sqrt {10}}$, या लगभग $0.316\lesssim a\lesssim 3.16$.फिर, $b$ संख्या के परिमाणक्रम का प्रतिनिधित्व करता है। परिमाणक्रम किसी भी पूर्णांक की हो सकता है। नीचे दी गई तालिका इस परिभाषा के प्रकाश में कुछ संख्याओं के परिमाण के क्रम को दर्शाती है:

संख्या $N$	अभिव्यक्ति में $N=a\times 10^{b}$	परिमाणक्रम $b$
0.2	2 × 10−1	−1
1	1 × 100	0
5	0.5 × 101	1
6	0.6 × 101	1
31	3.1 × 101	1
32	0.32 × 102	2
999	0.999 × 103	3
1000	1 × 103	3

$10^{b-1/2}$ और $10^{b+1/2}$ का ज्यामितीय मतलब है $10^{b}$, जिसका मतलब है कि वास्तव में मूल्य $10^{b}$ (अर्थात., $a=1$) $a$ के संभावित मूल्यों की सीमा के भीतर ज्यामितीय आधे रास्ते का प्रतिनिधित्व करता है।

कुछ सरल परिभाषा का उपयोग करते हैं जहां $0.5<a\leq 5$, शायद इसलिए कि अंकगणित का मतलब $10^{b}$ और $10^{b+c}$ दृष्टिकोण $5\times 10^{b+c-1}$ $c$ को बढ़ाने के लिए इस परिभाषा का $b$ के मूल्यों को थोड़ा कम करने का प्रभाव होता है:

संख्या $N$	अभिव्यक्ति में $N=a\times 10^{b}$	परिमाणक्रम $b$
0.2	2 × 10−1	−1
1	1 × 100	0
5	5 × 100	0
6	0.6 × 101	1
31	3.1 × 101	1
32	3.2 × 101	1
999	0.999 × 103	3
1000	1 × 103	3

अभी तक अन्य लोगों को उन मानों के लिए $a$ को प्रतिबंधित करता है जहां $1\leq a<10$, वैज्ञानिक संकेत में किसी संख्या के परिमाण के क्रम को उसके घातांक भाग के ठीक बराबर बनाना होता है।

उपयोग

परिमाणक्रम के आदेश का प्रयोग अनुमानित तुलना करने के लिए किया जाता है। यदि संख्याएँ परिमाण के क्रम से भिन्न होती हैं, तो x, y की तुलना में मात्रा से लगभग दस गुना भिन्न होता है। यदि मान परिमाण के दो क्रमों से भिन्न होते हैं, तो वे लगभग 100 के घटक से भिन्न होते हैं। परिमाण के समान क्रम की दो संख्याओं का पैमाना लगभग समान होता है: बड़ा मान छोटे मान के दस गुना से कम होता है। इंटरनेट डेटा की बढ़ती मात्रा ने हाल ही 2022 में समय के साथ नए एसआई उपसर्गों को जोड़ा गया है।

शब्दों में	उपसर्ग (प्रतीक)	दशमलव	दस की घात	परिमाणक्रम
नॉनिलियनथ	क्वेक्टो- (क्यू)	0.000000000000000000000000000001	10−30	−30
ऑक्टिलियनथ	रोंटो- (आर)	0.000000000000000000000000001	10−27	−27
सेप्टिल्यनथ	योक्टो- (वाई)	0.000000000000000000000001	10−24	−24
सेक्सटिलियनथ	ज़ेप्टो- (जेड)	0.000000000000000000001	10−21	−21
क्विंटिलियनथ	अट्टो- (ए)	0.000000000000000001	10−18	−18
क्वाड्रिलियनथ	फेम्टो- (एफ)	0.000000000000001	10−15	−15
ट्रिलियनथ	पिको- (पी)	0.000000000001	10−12	−12
बिलियनथ	नैनो- (एन)	0.000000001	10−9	−9
मिलियनथ	माइक्रो- (µ)	0.000001	10−6	−6
थाउज़न्ड्थ	मिली- (एम)	0.001	10−3	−3
हन्ड्रड्थ	सेंटी- (सी)	0.01	10−2	−2
टेन्थ	डेसी- (डी)	0.1	10−1	−1
वन		1	100	0
टेन	डेका- (दा)	10	101	1
हन्ड्रड	हेक्टो- (एच)	100	102	2
थाउज़न्ड	किलो- (के)	1000	103	3
मिलियन	मेगा- (एम)	1000000	106	6
बिलियन	गीगा- (जी)	1000000000	109	9
ट्रिलियन	टेरा- (टी)	1000000000000	1012	12
क्वाड्रिलियन	पेटा- (पी)	1000000000000000	1015	15
क्विंटिलियन	एक्सा- (ई)	1000000000000000000	1018	18
सेक्सटिलियन	जीटा- (जेड)	1000000000000000000000	1021	21
सेप्टिल्यन	योटा- (वाई)	1000000000000000000000000	1024	24
ऑक्टिलियन	रोन्ना- (आर)	1000000000000000000000000000	1027	27
नॉनिलियन	क्वेटा- (क्यू)	1000000000000000000000000000000	1030	30
शब्दों में	उपसर्ग (प्रतीक)	दशमलव	दस की घात	परिमाणक्रम

परिमाण के क्रम की गणना

किसी संख्या के परिमाण के क्रम को अंतःतया कहते हुए, संख्या में निहित 10 घतकों की संख्या है। अधिक सटीक रूप से, किसी संख्या के परिमाण के क्रम को सामान्य लघुगणक के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, सामान्यतः लघुगणक के पूर्णांक भाग के रूप में, जो ट्रंकेशन द्वारा प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, संख्या 4000000 में 6.602 का लघुगणक (आधार 10) है;इसके परिमाण के क्रम 6 है। काट-छाँट करते समय, परिमाण के इस क्रम की संख्या 10⁶ और 10⁷ के बीच होती है। इसी तरह के उदाहरण में, "उसके पास सात-आंकड़ा आय" वाक्यांश के साथ, परिमाण का क्रम संख्याओं की संख्या घटाकर एक है, इसलिए यह कैलकुलेटर के बिना 6 तक आसानी से निर्धारित किया जाता है। परिमाण का क्रम लघुगणकीय पैमाने पर अनुमानित स्थिति होती है।

परिमाण का क्रम

किसी चर का परिमाण-कोटि-अनुमान, जिसका सटीक मूल्य अज्ञात होता है, वह दस की निकटतम घात के आधार पर किया गया अनुमान है। उदाहरण के लिए, लगभग 3 अरब और 30 अरब (जैसे कि पृथ्वी की मानव आबादी) के बीच एक चर के लिए परिमाण का क्रम अनुमान 10 अरब है। किसी संख्या को उसके परिमाण के निकटतम अनुक्रम में राउंड करने के लिए, लघुगणक को निकटतम पूर्णांक में घेरता है। इस प्रकार 4000000, जिसका लघुगणक (आधार 10 में) 6.602 है, इसकी परिमाण के निकटतम क्रम के रूप में 7 है, क्योंकि "निकटतम" का तात्पर्य ट्रंकेशन के बजाय गोलाई से है। वैज्ञानिक संकेतन में लिखी गई संख्या के लिए, इस लघुगणकिक राउंडिंग स्केल को दस की अगली घात तक पूर्णांकित करने की आवश्यकता होती है, जब गुणक दस के वर्गमूल (लगभग 3.162) से अधिक होता है। उदाहरण के लिए, 1.7×10⁸ के परिमाण की निकटतम कोटि 8 है, जबकि 3.7×10⁸ के लिए परिमाण की निकटतम कोटि 9 है। परिमाण के क्रम अनुमान को कभी-कभी शून्य क्रम सन्निकटन भी कहा जाता है।

परिमाण अंतर का क्रम

दो मानों के बीच परिमाण-क्रम का अंतर 10 का गुणक है। उदाहरण के लिए, शनि ग्रह का द्रव्यमान पृथ्वी के द्रव्यमान का 95 गुना है, इसलिए शनि पृथ्वी की तुलना में अधिक विशाल परिमाण के दो आदेश हैं। लघुगणकीय पैमाने पर मापे जाने पर क्रम-परिमाण के अंतर को दशक कहा जाता है।

परिमाण के गैर-दशमलव क्रम

See also: लघुगणकीय मापक्रम

विश्व की विभिन्न दशमलव संख्या पद्धति संख्या के आकार की बेहतर परिकल्पना करने के लिए बड़े आधार का प्रयोग करती है और इसी बड़े आधार की घातयों के नाम उत्पन्न करती है। तालिका दर्शाती है कि आधार 10 और आधार 1000000 के लिए परिमाण का क्रम किस संख्या पर लक्षित है। यह देखा जा सकता है कि परिमाण के क्रम को इस उदाहरण में संख्या नाम में सम्मलित किया गया है, क्योंकि द्वि- का अर्थ 2 और त्रि- का अर्थ 3 है (ये केवल लंबे पैमाने में समझ में आता है), और प्रत्यय-बिलियन बताता है कि आधार 1000000 है। लेकिन संख्या नाम बिलियन, ट्रिलियन खुद (यहां पहले अध्याय की तुलना में अन्य अर्थों के साथ) परिमाण के आदेश के नाम नहीं हैं, वे "परिमाण" के नाम हैं, अर्थात संख्या 1000000000000 आदि है।

परिमाणक्रम	लॉग10 का है	लॉग1000000 का है	छोटा पैमाना	लंबा पैमाना
1	10	1000000	मिलियन	मिलियन
2	100	1000000000000	ट्रिलियन	बिलियन
3	1000	1000000000000000000	क्विंटिलियन	ट्रिलियन

दाईं ओर तालिका में एसआई इकाइयों का उपयोग एसआई उपसर्गों के साथ किया जाता है, जो मुख्य रूप से आधार 1000 परिमाणों को ध्यान में रखते हुए तैयार किए गए थे। आधार 1024 के साथ आईईसी मानक उपसर्गों का आविष्कार इलेक्ट्रॉनिक प्रौद्योगिकी में उपयोग के लिए किया गया था।

तारों की चमक के लिए प्राचीन स्पष्ट परिमाण आधार का उपयोग करता है ${\sqrt[{5}]{100}}\approx 2.512$ और उलटा होता है। आधुनिक संस्करण हालांकि गैर-पूर्णांक मानों के साथ लघुगणकीय पैमाने में बदल जाता है।

बहुत बड़ी संख्या

अत्यधिक बड़ी संख्या के लिए, परिमाण का सामान्यीकृत क्रम उनके दोहरे लघुगणक या अति-लघुगणक पर आधारित हो सकता है। इन्हें नीचे से पूर्णांक में पूर्णांकित करने से बहुत "गोल संख्याओं" के मध्य वर्ग प्राप्त होता है, उन्हें निकटतम पूर्णांक में पूर्णन तथा प्रतिलोम फलन के प्रयोग से "निकटतम" गोल संख्या प्राप्त होती है।

दोहरे लघुगणक से श्रेणियां प्राप्त होती हैं:

..., 1.0023–1.023, 1.023–1.26, 1.26–10, 10–10¹⁰, 10¹⁰–10¹⁰⁰, 10¹⁰⁰–10^1000,...

(पहले दो का उल्लेख किया गया है, और बाईं ओर का विस्तार, बहुत उपयोगी नहीं हो सकता है, वे केवल यह प्रदर्शित करते हैं कि अनुक्रम गणितीय रूप से बाईं ओर कैसे जारी रहता है)।

अति-लघुगणक श्रेणियों का उत्पादन करता है:

0–1, 1–10, 10–10¹⁰, 10¹⁰–10¹⁰¹⁰, 10¹⁰¹⁰–10¹⁰¹⁰¹⁰, ... अथवा

0-⁰10, ⁰10–¹10, ¹10–²10, ²10–³10, ³10–⁴10, ...

मध्य बिंदु जो यह निर्धारित करते हैं कि कौन सी गोल संख्या पहले की स्थिति में निकट है:

1.076, 2.071, 1453, 4.20×10³¹, 1.69×10³¹⁶,...

और, दूसरी स्थिति में प्रक्षेप विधि के आधार पर

-0.301, 0.5, 3.162, 1453, 1×10¹⁴⁵³, $(10\uparrow )^{1}10^{1453}$, $(10\uparrow )^{2}10^{1453}$