समता (भौतिकी): Difference between revisions

समानता <math>\hat{\mathcal P}^2 = \hat{1}</math> संबंध के कारण.[[ एबेलियन समूह |एबेलियन समूह]] <math>\mathbb{Z}_2</math> बनाती है| सभी एबेलियन समूहों के पास <math>\mathbb{Z}_2</math> के लिए केवल एक आयामी अलघुकरणीय निरूपण है। दो अलघुकरणीय अभ्यावेदन हैं: एक समता के अंतर्गत <math>\hat{\mathcal P}\phi = +\phi</math> भी है, दूसरा विषम <math>\hat{\mathcal P}\phi = -\phi</math> है| ये क्वांटम यांत्रिकी में उपयोगी हैं। हालाँकि, जैसा कि नीचे विस्तृत किया गया है, क्वांटम यांत्रिकी में अवस्थाओं को समानता के वास्तविक निरूपण के अंतर्गत बदलने की आवश्यकता नहीं है, बल्कि केवल प्रक्षेपीय अभ्यावेदन के अंतर्गत और इसलिए सिद्धांत रूप में एक समानता परिवर्तन किसी भी चरण (तरंगों) द्वारा अवस्था को घुमा सकता है।

 

* अदिशों : <math>\rho(R) = 1</math>, तुच्छ निरूपण  

* सदिश : <math>\rho(R) = R</math>, मौलिक निरूपण  

* <math> h </math>, the [[helicity (particle physics)|helicity]]

* <math> \Phi </math>, the [[magnetic flux]]

* <math> \mathbf x </math>, the [[position (vector)|position]] of a particle in three-space

* <math> \mathbf v </math>, the [[velocity]] of a particle

* <math> \mathbf a </math>, the [[acceleration]] of the particle

* <math> \mathbf p </math>, the [[linear momentum]] of a particle

* <math> \rho \, \mathbf v </math>, mass flow{{efn|

An example of a mass flow rate would the direction and rate, by weight, at which a river moves sediment. It is a composite form of [[linear momentum]], and is closely related to the flow of [[sound]] oscillations through a medium.

* <math> \mathbf F </math>, the [[force (physics)|force]] exerted on a particle

* <math> \mathbf J </math>, the electric [[current density]]

* <math> \mathbf E </math>, the [[electric field]]

* <math> \mathbf D </math>, the [[electric displacement field]]

* <math> \mathbf P </math>, the [[electric polarization]]

* <math> \mathbf A </math>, the electromagnetic [[vector potential]]

* <math> \mathbf S </math>, the [[Poynting vector]] (flow of electromagnetic power).

* <math> t </math>, the [[time]] when an event occurs

* <math> m </math>, the [[mass]] of a particle

* <math> E </math>, the [[energy]] of the particle

* <math> P </math>, [[Power (physics)|power]] (rate of [[work (physics)|work]] done)

* <math> \rho </math>, the electric [[charge density]]

* <math> V </math>, the [[scalar (physics)|scalar]] [[electric potential]] ([[volt]]age)

* <math> \rho </math>, [[energy density]] of the [[electromagnetic field]]

* <math> \mathbf L </math>, the [[angular momentum]] of a particle (both [[orbital motion|orbital]] and [[Spin (physics)|spin]]) (axial vector)

* <math> \mathbf B </math>, the [[magnetic field]] (axial vector)

* <math> \mathbf H </math>, the [[magnetic field#The Difference between B and H|auxiliary magnetic field]]

* <math> \mathbf M </math>, the [[magnetization]]

* <math> T_{ij} </math>, [[Maxwell stress tensor]].

* All ''masses'', ''charges'', ''coupling constants'', and other scalar physical constants, '''''except''''' those associated with the ''[[weak force]]''.

<u><big>क्वांटम यांत्रिकी</big></u>

एक इस प्रकार होना चाहिए <math>\hat{\mathcal P}^2\, \psi{\left(r\right)} = e^{i\phi}\psi{\left(r\right)}</math>, चूंकि एक समग्र चरण अवकलन योग्य नहीं है। परिचालक <math>\hat{\mathcal P}^2</math>, जो एक अवस्था की समता को दो बार व्युत्क्रम करता है, अंतरिक्ष समय अपरिवर्तनीय छोड़ देता है, और इसी तरह एक आंतरिक समरूपता है जो चरणों द्वारा अपने आइगेन स्टेट्स को घुमाती है जो अवयव <math>e^{i\phi}</math> है| यदि <math>\hat{\mathcal P}^2</math> एक अवयव है <math>e^{iQ}</math> चरण घूर्णन के निरंतर U(1) समरूपता समूह की, फिर <math>e^{-iQ}</math>यह U(1) का भाग है और इसी प्रकार एक समरूपता भी है। विशेष रूप से, हम इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं <math>\hat{\mathcal P}' \equiv \hat{\mathcal P}\, e^{-{iQ}/{2}}</math>, जो एक समरूपता भी है, और इसलिए हम <math>\hat{\mathcal P}</math>. के के स्थान पर <math>\hat{\mathcal P}'</math>आवाहन के रूप में चुन सकते हैं| ध्यान दें कि <math>{\hat{\mathcal P}'}^2 = 1</math> इसलिए <math>\hat{\mathcal P}'</math> ईगेनवेल्यूज <math>\pm 1</math> हैं| समता परिवर्तन के अंतर्गत ईगेनवेल्यूज +1 के साथ तरंग फलन सम और विषम फलन हैं, जबकि ईगेनवेल्यूज -1 विषम कार्यों से समरूप है।<ref>{{cite book |last=Levine |first=Ira N. |date=1991 |title=क्वांटम रसायन|edition=4th |publisher=Prentice-Hall |page=163 |isbn=0-205-12770-3}}</ref> हालाँकि, जब ऐसा कोई समरूपता समूह उपस्थित नहीं होता है, तो यह हो सकता है कि सभी समता परिवर्तनों में कुछ ईजेनवेल्यूज़ हों जो <math>\pm 1</math> के अलावा अन्य चरण हों |

इलेक्ट्रॉनिक तरंग फलन के लिए, यहां तक ​​​​कि अवस्थाओं को साधारणतः गेरेड (जर्मन: यहां तक) के लिए एक सबस्क्रिप्ट जी द्वारा इंगित किया जाता है और एक सबस्क्रिप्ट यू के लिए अनगेरेड (जर्मन: विषम) द्वारा विषम अवस्थाओं का संकेत दिया जाता है। उदाहरण के लिए, हाइड्रोजन अणु आयन का निम्नतम ऊर्जा स्तर (H₂⁺) <math>1\sigma_g</math> चिह्नित किया गया है और अगला-निकटतम (उच्च) ऊर्जा स्तर <math>1\sigma_u</math>चिह्नित किया गया है|.<ref>{{cite book |last=Levine |first=Ira N. |date=1991 |title=क्वांटम रसायन|edition=4th |publisher=Prentice-Hall |page=355 |isbn=0-205-12770-3}}</ref>

जब समानता एबेलियन समूह ℤ उत्पन्न करती है₂, कोई सदैव क्वांटम अवस्थाओं के रैखिक संयोजन ले सकता है जैसे कि वे समता के अंतर्गत या तो विषम या विषम हैं (चित्र देखें)। इस प्रकार ऐसे अवस्थाओं की समता ±1 है। बहुकण अवस्था की समानता प्रत्येक अवस्था की समानता का उत्पाद है; दूसरे शब्दों में समता एक गुणक क्वांटम संख्या है।

*यदि <math>\left[\hat{H}, \hat{P}\right] = 0</math>, फिर एक गैर-पतित स्वदेशी <math>\hat{H}</math> समता संचालिका का आइगेन अवस्था भी है; उदाहरण, <math>\hat{H}</math> का एक गैर-पतित ईजेनफलन  या तो अपरिवर्तनीय है <math>\hat{\mathcal{P}}</math> या इसके द्वारा साइन इन करके बदला जाता है|

*<math>\hat{H}</math> के कुछ गैर-पतित आइगेन फलन समानता से अप्रभावित (अपरिवर्तनीय) हैं <math>\hat{\mathcal{P}}</math> और अन्य केवल संकेत में व्युत्क्रम हो जाते हैं जब हैमिल्टनियन संचालक और समता संचालक कम्यूट करते हैं|

'''<u>बहु-कण प्रणालियाँ: परमाणु, अणु, नाभिक</u>'''

परमाणु कक्षकों में समता (−1) होती है^ℓ, जहां घातांक ℓ [[ अज़ीमुथल क्वांटम संख्या |अज़ीमुथल क्वांटम संख्या]] है। ℓ = 1, 3, ... के साथ कक्षकों p, f, ... के लिए समता विषम होती है और यदि इन कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों की विषम संख्या होती है तो परमाणु अवस्था में विषम समता होती है। उदाहरण के लिए, नाइट्रोजन परमाणु की मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन विन्यास 1s 2s²2p³ होता है और शब्द प्रतीक  ⁴S^o द्वारा पहचाना जाता है , जहां सुपरस्क्रिप्ट o विषम समता दर्शाता है। हालाँकि तीसरा उत्साहित शब्द लगभग 83,300  cm⁻¹पर है जमीनी अवस्था के ऊपर इलेक्ट्रॉन विन्यास 1s है²2s²2p²3s में सम समानता है क्योंकि केवल दो 2p इलेक्ट्रॉन हैं, और इसका शब्द प्रतीक ⁴P है (ओ सुपरस्क्रिप्ट के बिना)|।<ref name=NIST>[http://physics.nist.gov/PhysRefData/ASD/levels_form.html NIST Atomic Spectrum Database] To read the nitrogen atom energy levels, type "N I" in the Spectrum box and click on Retrieve data.</ref>

परमाणु हाइपरफाइन हैमिल्टनियन के प्रभाव के कारण पॉइंट ग्रुप इनवर्जन संक्रिया ''i'' के साथ कम्यूट नहीं करता है। परमाणु हाइपरफाइन हैमिल्टनियन जी और यू कंपट्रानीय अवस्था (जिसे ''ऑर्थो-पैरा'' मिक्सिंग कहा जाता है) के घूर्णी स्तरों को मिला सकते हैं और ''ऑर्थो''-''पैरा'' पारगमन को उत्तपन कर सकते हैं|<ref>{{cite journal | last = Pique | first = J. P.|display-authors=etal | year = 1984 | title =हाइपरफाइन-इंड्यूज्ड अनगेराडे-गेराड सिमेट्री ब्रेकिंग इन ए होमोन्यूक्लियर डायटोमिक मॉलिक्यूल इन ए डिसोसिएशन लिमिट:<math>^{127}</math>I<math>_{2}</math> at the <math>^{2} P_{3/2}</math> − <गणित>^{2}P_{1/2}</math> सीमा| journal = Phys. Rev. Lett. | volume = 52 | issue = 4| pages = 267–269 | doi = 10.1103/PhysRevLett.52.267 | bibcode = 1984PhRvL..52..267P }}</ref><ref name="Critchley2001">{{cite journal | last = Critchley | first = A. D. J.|display-authors=etal | year = 2001 | title =H<math>_{2}^{+}</math> में शुद्ध घूर्णन संक्रमण का प्रत्यक्ष मापन| journal = Phys. Rev. Lett. | volume = 86 | issue = 9| pages = 1725–1728 | doi = 10.1103/PhysRevLett.86.1725 | pmid = 11290233| bibcode = 2001PhRvL..86.1725C }}</ref>

परमाणु नाभिक में, प्रत्येक न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन या न्यूट्रॉन) की स्थिति सम या विषम समता होती है, और परमाणु विन्यास का अनुमान परमाणु शेल मॉडल का उपयोग करके लगाया जा सकता है। परमाणुओं में इलेक्ट्रॉनों के लिए, न्यूक्लियॉन अवस्था में विषम समग्र समता होती है यदि और केवल विषम-समता वाले अवस्थाओं में न्यूक्लियंस की संख्या विषम होती है। समता को साधारणतः परमाणु स्पिन मान के बाद + (सम) या - (विषम) के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, [[ ऑक्सीजन के समस्थानिक |ऑक्सीजन के समस्थानिक]] ों में सम्मिलित हैं ¹⁷O(5/2+), जिसका अर्थ है कि घुमाव 5/2 है और समता सम है। शेल मॉडल इसे समझाता है क्योंकि पहले 16 न्यूक्लियॉन जोड़े जाते हैं ताकि प्रत्येक जोड़ी में स्पिन शून्य और समता हो, और अंतिम न्यूक्लियॉन 1d में हो_5/2 खोल, जिसमें d कक्षक के लिए ℓ = 2 के बाद से समता है।<ref>{{cite book |last1=Cottingham |first1=W.N. |last2=Greenwood |first2=D.A. |date=1986 |title=परमाणु भौतिकी का परिचय|publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-31960-9 |page=[https://archive.org/details/introductiontonu0000cott/page/57 57] |url=https://archive.org/details/introductiontonu0000cott/page/57 }}</ref>

'''<u>क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत</u>'''

यह दिखाने के लिए कि [[ क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स |क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स]] समता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, हमें यह साबित करना होगा कि क्रिया अपरिवर्तनीय है और परिमाणीकरण भी अपरिवर्तनीय है। सरलता के लिए हम मानेंगे कि [[ विहित परिमाणीकरण |विहित परिमाणीकरण]] का उपयोग किया जाता है; निर्वात अवस्था तब निर्माण द्वारा समता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होती है। कार्रवाई का व्युत्क्रम मैक्सवेल के समीकरणों के पारम्परिक निश्चरता से अनुसरण करता है। विहित परिमाणीकरण प्रक्रिया के निश्चरता पर काम किया जा सकता है, और यह अभाव संचालक के परिवर्तन पर निर्भर करता है|:{{Citation needed|date=October 2015}}

: पा (पी, ±) पी⁺ = −a(−p, ±)