समता (भौतिकी): Difference between revisions

भौतिक विज्ञान में, एक समानता परिवर्तन (जिसे समता व्युत्क्रमण भी कहा जाता है) ''एक'' त्रिविम -आयामी अंतरिक्ष [[ समन्वय | समन्वय]] के संकेत में घुमाव है। तीन आयामों में, यह तीनों स्थानिक निर्देशांक (एक [[ बिंदु प्रतिबिंब | बिंदु प्रतिबिंब]] ) के संकेत में एक साथ घुमाव का भी उल्लेख कर सकता है:

इसे एक भौतिक घटना के [[ चिरायता (भौतिकी) | चिरायता (भौतिकी)]] के लिए एक परीक्षण के रूप में भी सोचा जा सकता है, जिसमें एक समता व्युत्क्रम एक घटना को अपनी दर्पण प्रतिबिम्ब में बदल देता है। [[ कमजोर अंतःक्रिया | मन्द अंतःक्रिया]] के अपवाद के साथ, [[ प्राथमिक कण | प्राथमिक कण]] ों की सभी मौलिक अंतःक्रिया समता के अंतर्गत सममित होती हैं। मन्द अंतःक्रिया चिराल है और इस प्रकार भौतिक विज्ञान में चिरायता की परीक्षण के लिए एक साधन प्रदान किया जाता है। पारस्परिक क्रियाओं में जो समता के अंतर्गत सममित हैं, जैसे कि परमाणु और आणविक भौतिक विज्ञान में विद्युत चुंबकत्व, समानता एक प्रभावशाली नियंत्रण [[ सिद्ध | सिद्ध]] ांत अंतर्निहित क्वांटम पारगमन के रूप में फलन करता है।

P का एक मैट्रिक्स निरूपण (किसी भी आयामों की संख्या में ) निर्धारक 1 के बराबर होता है, और इसलिए एक [[ रोटेशन | घूर्णन]] से भिन्न होता है, जिसमें एक निर्धारक 1 के बराबर होता है। दो-आयामी विमान में, चिन्ह में सभी निर्देशांक का एक साथ घुमाव एक समता परिवर्तन ''नहीं''  है; यह 180° घुमाव के समान है।

क्वांटम यांत्रिकी में, एक समता परिवर्तन द्वारा अपरिवर्तित तरंग कार्यों को [[ सम और विषम कार्य | सम और विषम फलन]] ों के कार्यों के रूप में परिभाषित किया जाता है, जबकि जो एक समता परिवर्तन के अंतर्गत संकेत बदलते हैं वे विषम फलन हैं।

घूर्णन के अंतर्गत , पारम्परिक ज्यामितीय वस्तुओं को [[ अदिश (भौतिकी) |अदिश (भौतिकी)]] ,[[ यूक्लिडियन वेक्टर | यूक्लिडियन सदिश]] और उच्च श्रेणी के टेंसर में वर्गीकृत किया जा सकता है। [[ शास्त्रीय भौतिकी |पारम्परिक भौतिक विज्ञान]] में, भौतिक विन्यास को प्रत्येक समरूपता समूह के अभ्यावेदन के अंतर्गत बदलने की आवश्यकता होती है।

[[ क्वांटम यांत्रिकी | क्वांटम यांत्रिकी]] की भविष्यवाणी है कि [[ हिल्बर्ट अंतरिक्ष | हिल्बर्ट अंतरिक्ष]] में अवस्थाओं को घूर्णन के '''[[ समूह (गणित) |समूह]]'''[[ समूह (गणित) | (गणित)]] के निरूपण के अंतर्गत बदलने की जरूरत नहीं है, लेकिन यह केवल प्रक्षेपीय अभ्यावेदन के अंतर्गत होता है। प्रक्षेपीय शब्द इस तथ्य को संदर्भित करता है कि यदि कोई प्रत्येक अवस्था के चरण का प्रक्षेपण करता है, वहाँ हम याद रखते हैं कि क्वांटम अवस्था का संपूर्ण चरण अवलोकन योग्य नहीं है, तो एक प्रक्षेपीय अभ्यावेदन सामान्य अभ्यावेदन में कम हो जाता है। सभी अभ्यावेदन भी प्रक्षेपी अभ्यावेदन हैं, लेकिन इसके विपरीत सत्य नहीं है, इसलिए क्वांटम अवस्थाओं पर प्रक्षेप्य निरूपण की स्थिति पारम्परिक अवस्थाओं पर निरूपण की स्थिति से मन्द है।

किसी भी समूह का प्रक्षेप्य निरूपण समूह विस्तार समूह के केंद्रीय विस्तार के सामान्य निरूपण के लिए समरूप है। उदाहरण के लिए, 3-आयामी घूर्णन समूह के प्रक्षेपी निरूपण , जो कि [[ विशेष ऑर्थोगोनल समूह ]] SO(3) है, [[ विशेष एकात्मक समूह ]] SU(2) के सामान्य निरूपण हैं। घूर्णन समूह के प्रक्षेपी अभ्यावेदन जो अभ्यावेदन नहीं हैं उन्हें [[ spinor |स्पाइनर]] कहा जाता है और इसलिए क्वांटम अवस्था न केवल [[ टेन्सर ]] के रूप में बल्कि स्पिनर्स के रूप में भी परिवर्तित हो सकते हैं।

यदि कोई इसमें समता द्वारा वर्गीकरण जोड़ता है, तो इन्हें विस्तारित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, की धारणाओं में

* अदिश ({{nowrap|1=''P'' = +1}}) और [[ छद्म अदिश (भौतिकी) ]]भौतिकी) ({{nowrap|1=''P'' = −1}}) जो घूर्णी रूप से अपरिवर्तनीय हैं।

* सदिश ({{nowrap|1=''P'' = −1}}) और अक्षीय सदिश (जिसे [[ pseudovector | छद्म सदिश क्षेत्र]] भी कहा जाता है) ({{nowrap|1=''P'' = +1}}) जो दोनों घूर्णन के अंतर्गत सदिश के रूप में परिवर्तित हो जाते हैं।

जिसका नकारात्मक निर्धारक भी है और एक वैध समता परिवर्तन बनाता है। फिर, उन्हें घूर्णन (या क्रमिक रूप से एक्स-, वाई-, और जेड-प्रतिबिंबों का संपादन) के साथ जोड़कर पहले से परिभाषित विशेष समता परिवर्तन को पुनः प्राप्त किया जा सकता है। दिया गया पहला समता परिवर्तन आयामों की एक समान संख्या में काम नहीं करता है, हालाँकि, इसका परिणाम एक सकारात्मक निर्धारक में होता है। सम आयामों में समता परिवर्तन (या निर्देशांक की विषम संख्या का कोई भी प्रतिबिंब) का केवल बाद वाला उदाहरण प्रयोग किया जा सकता है।

समानता <math>\hat{\mathcal P}^2 = \hat{1}</math> संबंध के कारण.[[ एबेलियन समूह |एबेलियन समूह]] <math>\mathbb{Z}_2</math> बनाती है| सभी एबेलियन समूहों के पास <math>\mathbb{Z}_2</math> के लिए केवल एक आयामी अलघुकरणीय निरूपण है। दो अलघुकरणीय अभ्यावेदन हैं: एक समता के अंतर्गत <math>\hat{\mathcal P}\phi = +\phi</math> भी है, दूसरा विषम <math>\hat{\mathcal P}\phi = -\phi</math> है| ये क्वांटम यांत्रिकी में उपयोगी हैं। हालाँकि, जैसा कि नीचे विस्तृत किया गया है, क्वांटम यांत्रिकी में अवस्थाओं को समानता के वास्तविक निरूपण के अंतर्गत बदलने की आवश्यकता नहीं है, बल्कि केवल प्रक्षेपीय अभ्यावेदन के अंतर्गत और इसलिए सिद्धांत रूप में एक समानता परिवर्तन किसी भी चरण (तरंगों) द्वारा अवस्था को घुमा सकता है।

'''<u>ओ (3) का निरूपण</u>'''

 

अदिशों , छद्म अदिश , सदिश और स्यूडोवेक्टर्स के उपरोक्त वर्गीकरण को लिखने का एक वैकल्पिक तरीका अभ्यावेदन स्थान के संदर्भ में है जिसमें प्रत्येक वस्तु रूपांतरित होती है। यह [[ समूह समरूपता |समूह समरूपता]] <math>\rho</math> के संदर्भ में दिया जा सकता है।जो अभ्यावेदन को परिभाषित करता है। एक मैट्रिक्स <math>R\in \text{O}(3),</math>के लिए,

* अदिशों : <math>\rho(R) = 1</math>, तुच्छ निरूपण  

* वैक्टर: <math>\rho(R) = R</math>, मौलिक निरूपण  

* स्यूडोवैक्टर: <math>\rho(R) = \det(R)R.</math>

जब तक अभ्यावेदन प्रतिबंधित है <math>\text{SO}(3)</math>, अदिश और स्यूडोअदिश समान रूप से रूपांतरित होते हैं, जैसा कि सदिश और स्यूडोसदिश करते हैं।

न्यूटन की गति का समीकरण <math>\mathbf{F} = m\mathbf{a}</math> (यदि द्रव्यमान स्थिर है) दो सदिशों के बराबर है, और इसलिए समता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। गुरुत्व के नियम में भी केवल सदिश सम्मिलित होते हैं और इसलिए समता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय भी है।

पारम्परिक [[ बिजली का गतिविज्ञान |वैद्युतगतिकी]] में, चार्ज घनत्व <math>\rho</math> एक अदिश राशि है, विद्युत क्षेत्र, <math>\mathbf{E}</math>, और वर्तमान <math>\mathbf{j}</math> सदिश हैं, लेकिन चुंबकीय क्षेत्र, <math>\mathbf{B}</math> एक अक्षीय सदिश है। हालाँकि, मैक्सवेल के समीकरण समता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं क्योंकि अक्षीय सदिश का [[ कर्ल (गणित) ]] एक सदिश है।

पारम्परिक भौतिक चर के दो प्रमुख विभाजनों में या तो सम या विषम समता है। जिस तरह से विशेष चर और सदिश किसी भी श्रेणी में छांटे जाते हैं, वह इस बात पर निर्भर करता है कि अंतरिक्ष के आयामों की संख्या विषम या सम संख्या है या नहीं। समता परिवर्तन के लिए विषम या नीचे दी गई श्रेणियां एक अलग, लेकिन घनिष्ठ रूप से संबंधित वितरण है।

=== विषम ===

क्लासिकल वेरिएबल्स जिनके संकेत अंतरिक्ष के व्युत्क्रम में उलटे होने पर फ़्लिप करते हैं, मुख्य रूप से सदिश होते हैं। वे सम्मिलित करते हैं:

* <math> h </math>, the [[helicity (particle physics)|helicity]]

* <math> \Phi </math>, the [[magnetic flux]]

* <math> \mathbf x </math>, the [[position (vector)|position]] of a particle in three-space

* <math> \mathbf v </math>, the [[velocity]] of a particle

* <math> \mathbf a </math>, the [[acceleration]] of the particle

* <math> \mathbf p </math>, the [[linear momentum]] of a particle

* <math> \rho \, \mathbf v </math>, mass flow{{efn|

An example of a mass flow rate would the direction and rate, by weight, at which a river moves sediment. It is a composite form of [[linear momentum]], and is closely related to the flow of [[sound]] oscillations through a medium.

* <math> \mathbf F </math>, the [[force (physics)|force]] exerted on a particle

* <math> \mathbf J </math>, the electric [[current density]]

* <math> \mathbf E </math>, the [[electric field]]

* <math> \mathbf D </math>, the [[electric displacement field]]

* <math> \mathbf P </math>, the [[electric polarization]]

* <math> \mathbf A </math>, the electromagnetic [[vector potential]]

* <math> \mathbf S </math>, the [[Poynting vector]] (flow of electromagnetic power).

पारम्परिक चर, मुख्य रूप से अदिश राशियाँ, जो स्थानिक व्युत्क्रम पर नहीं बदलती हैं, उनमें सम्मिलित हैं:

* <math> t </math>, the [[time]] when an event occurs

* <math> m </math>, the [[mass]] of a particle

* <math> E </math>, the [[energy]] of the particle

* <math> P </math>, [[Power (physics)|power]] (rate of [[work (physics)|work]] done)

* <math> \rho </math>, the electric [[charge density]]

* <math> V </math>, the [[scalar (physics)|scalar]] [[electric potential]] ([[volt]]age)

* <math> \rho </math>, [[energy density]] of the [[electromagnetic field]]

* <math> \mathbf L </math>, the [[angular momentum]] of a particle (both [[orbital motion|orbital]] and [[Spin (physics)|spin]]) (axial vector)

* <math> \mathbf B </math>, the [[magnetic field]] (axial vector)

* <math> \mathbf H </math>, the [[magnetic field#The Difference between B and H|auxiliary magnetic field]]

* <math> \mathbf M </math>, the [[magnetization]]

* <math> T_{ij} </math>, [[Maxwell stress tensor]].

* All ''masses'', ''charges'', ''coupling constants'', and other scalar physical constants, '''''except''''' those associated with the ''[[weak force]]''.

'''<u>क्वांटम यांत्रिकी</u>'''

[[Image:parity 1drep.png|thumb|200px|right|समानता के दो आयामी निरूपण क्वांटम अवस्थाओं की एक जोड़ी द्वारा दिए जाते हैं जो समता के अंतर्गत एक दूसरे में जाते हैं। हालांकि, इस निरूपण को हमेशा अवस्थाओं के रैखिक संयोजनों में घटाया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक समता के अंतर्गत या तो विषम या विषम है। एक का कहना है कि समता के सभी अलघुकरणीय निरूपण एक आयामी हैं।]]क्वांटम यांत्रिकी में, स्पेसटाइम परिवर्तन क्वांटम अवस्थाओं पर फलन करते हैं। समता परिवर्तन, <math>\hat{\mathcal P}</math>, एक एकात्मक संचालिका है, सामान्य रूप से अवस्था पर फलन करता है <math>\psi</math> निम्नलिखित नुसार: <math>\hat{\mathcal P}\, \psi{\left(r\right)} = e^{{i\phi}/{2}}\psi{\left(-r\right)}</math>.

एक तो होना चाहिए <math>\hat{\mathcal P}^2\, \psi{\left(r\right)} = e^{i\phi}\psi{\left(r\right)}</math>, चूंकि एक समग्र चरण अप्राप्य है। परिचालक <math>\hat{\mathcal P}^2</math>, जो एक अवस्था की समता को दो बार उलट देता है, स्पेसटाइम अपरिवर्तनीय छोड़ देता है, और इसी तरह एक आंतरिक समरूपता है जो चरणों द्वारा अपने आइजनस्टेट्स को घुमाती है <math>e^{i\phi}</math>. यदि <math>\hat{\mathcal P}^2</math> एक तत्व है <math>e^{iQ}</math> चरण घूर्णन के निरंतर यू (1) समरूपता समूह की, फिर  <math>e^{-iQ}</math>यह U(1) का हिस्सा है और इसी प्रकार एक सममिति भी है। विशेष रूप से, हम परिभाषित कर सकते हैं <math>\hat{\mathcal P}' \equiv \hat{\mathcal P}\, e^{-{iQ}/{2}}</math>, जो एक समरूपता भी है, और इसलिए हम कॉल करना चुन सकते हैं <math>\hat{\mathcal P}'</math> हमारे समता संचालिका, के बजाय <math>\hat{\mathcal P}</math>. ध्यान दें कि <math>{\hat{\mathcal P}'}^2 = 1</math> इसलिए <math>\hat{\mathcal P}'</math> ईगेनवेल्यूज हैं <math>\pm 1</math>. समता परिवर्तन के अंतर्गत eigenvalue +1 के साथ तरंग फलन सम और विषम फलन हैं, जबकि eigenvalue -1 विषम कार्यों से मेल खाता है।<ref>{{cite book |last=Levine |first=Ira N. |date=1991 |title=क्वांटम रसायन|edition=4th |publisher=Prentice-Hall |page=163 |isbn=0-205-12770-3}}</ref> हालाँकि, जब ऐसा कोई समरूपता समूह मौजूद नहीं होता है, तो यह हो सकता है कि सभी समता परिवर्तनों में कुछ ईजेनवेल्यूज़ हों जो इसके अलावा अन्य चरण हों <math>\pm 1</math>.