विचलन: Difference between revisions
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{{Short description|Vector operator that measures the expansion or outgoingness of a vector field}} | {{Short description|Vector operator that measures the expansion or outgoingness of a vector field}} | ||
{{About| | {{About|divergence in vector calculus|divergence of infinite series|Divergent series|divergence in statistics|Divergence (statistics)|other uses}} | ||
{{Calculus|Vector}} | {{Calculus|Vector}} | ||
[[File:Divergence_(captions).svg|500px|thumb|upright=1.75|alt= A vector field with diverging vectors, a vector field with converging vectors, and a vector field with parallel vectors that neither diverge nor converge|विभिन्न वेक्टर क्षेत्रों का विचलन। बिंदु (एक्स, वाई) से वैक्टर का विचलन एक्स-घटक के आंशिक व्युत्पन्न-के-सम्मान-से-एक्स के योग के बराबर होता है और उस पर वाई-घटक के आंशिक व्युत्पन्न-के- लिए-वाई के योग के बराबर होता है जिसका बिंदु: | [[File:Divergence_(captions).svg|500px|thumb|upright=1.75|alt= A vector field with diverging vectors, a vector field with converging vectors, and a vector field with parallel vectors that neither diverge nor converge|विभिन्न वेक्टर क्षेत्रों का विचलन। बिंदु (एक्स, वाई) से वैक्टर का विचलन एक्स-घटक के आंशिक व्युत्पन्न-के-सम्मान-से-एक्स के योग के बराबर होता है और उस पर वाई-घटक के आंशिक व्युत्पन्न-के- लिए-वाई के योग के बराबर होता है जिसका बिंदु: | ||
<math>\nabla\!\cdot(\mathbf{V}(x,y))=\frac{\partial\ {V_x(x,y)}}{\partial{x}}+\frac{\partial\ {V_y(x,y)}}{\partial{y}}</math>]]सदिश कलन में, विचलन वह सदिश संचालिका है जो सदिश क्षेत्र पर संचालित होता है, प्रत्येक बिंदु पर सदिश क्षेत्र के स्रोत की मात्रा देने वाले [[अदिश क्षेत्र]] का उत्पादन भी करता है। अधिक तकनीकी रूप से यदि देंखे तो विचलन किसी दिए गए बिंदु के चारों ओर अधिकतम मात्रा में सदिश क्षेत्र के बाहरी प्रवाह की मात्रा के घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है। | <math>\nabla\!\cdot(\mathbf{V}(x,y))=\frac{\partial\ {V_x(x,y)}}{\partial{x}}+\frac{\partial\ {V_y(x,y)}}{\partial{y}}</math>]]सदिश कलन में, '''विचलन''' वह सदिश संचालिका है जो सदिश क्षेत्र पर संचालित होता है, प्रत्येक बिंदु पर सदिश क्षेत्र के स्रोत की मात्रा देने वाले [[अदिश क्षेत्र]] का उत्पादन भी करता है। अधिक तकनीकी रूप से यदि देंखे तो विचलन किसी दिए गए बिंदु के चारों ओर अधिकतम मात्रा में सदिश क्षेत्र के बाहरी प्रवाह की मात्रा के घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है। | ||
उदाहरण के रूप में, हवा को गर्म या ठंडा होने पर यदि बात करें तो प्रत्येक बिंदु पर हवा का [[वेग]] सदिश क्षेत्र को परिभाषित करता है। जबकि हवा का क्षेत्र गर्म होता है, यह सभी दिशाओं में फैलता है, और इस प्रकार वेग क्षेत्र उस क्षेत्र से बाहर की ओर इंगित करता है। इस प्रकार उस क्षेत्र में वेग क्षेत्र के विचलन का धनात्मक मूल्य होगा। जबकि हवा ठंडी होती है और इस प्रकार सिकुड़ती है, वेग के विचलन का ऋणात्मक मान होता है। | उदाहरण के रूप में, हवा को गर्म या ठंडा होने पर यदि बात करें तो प्रत्येक बिंदु पर हवा का [[वेग]] सदिश क्षेत्र को परिभाषित करता है। जबकि हवा का क्षेत्र गर्म होता है, यह सभी दिशाओं में फैलता है, और इस प्रकार वेग क्षेत्र उस क्षेत्र से बाहर की ओर इंगित करता है। इस प्रकार उस क्षेत्र में वेग क्षेत्र के '''विचलन''' का धनात्मक मूल्य होगा। जबकि हवा ठंडी होती है और इस प्रकार सिकुड़ती है, कि वेग के विचलन का ऋणात्मक मान होता है। | ||
== विचलन की भौतिक व्याख्या == | == विचलन की भौतिक व्याख्या == | ||
भौतिक दृष्टि से, सदिश क्षेत्र का अपसरण वह सीमा है जिस तक सदिश क्षेत्र का प्रवाह किसी दिए गए बिंदु पर स्रोत की तरह व्यवहार करती है। यह इसकी बहिर्गामीता का स्थानीय माप है - वह सीमा जिस तक अंतरिक्ष के अतिसूक्ष्म क्षेत्र से बाहर निकलने वाले क्षेत्र सदिश उसमें प्रवेश करने की तुलना में अधिक हैं। वह बिंदु जिस पर फ्लक्स बहिर्गामी होता है, धनात्मक विचलित होता है और इसे अधिकांश क्षेत्र का स्रोत कहा जाता है। वह बिंदु जिस पर फ्लक्स को अंदर की ओर निर्देशित किया जाता है, ऋणात्मक विचलन होता है, और इसे अधिकांश क्षेत्र का सिंक कहा जाता है। किसी दिए गए बिंदु को घेरने वाली छोटी सतह के माध्यम से क्षेत्र का प्रवाह जितना अधिक होता है, उस बिंदु पर विचलन का मान उतना ही अधिक होता है। वह बिंदु जिस पर संलग्न सतह के माध्यम से शून्य प्रवाह होता है, शून्य विचलन होता है। | भौतिक दृष्टि से, सदिश क्षेत्र का अपसरण वह सीमा है जिस तक सदिश क्षेत्र का प्रवाह किसी दिए गए बिंदु पर स्रोत की तरह व्यवहार करती है। यह इसकी बहिर्गामीता का स्थानीय माप है - वह सीमा जिस तक अंतरिक्ष के अतिसूक्ष्म क्षेत्र से बाहर निकलने वाले क्षेत्र सदिश उसमें प्रवेश करने की तुलना में अधिक हैं। वह बिंदु जिस पर फ्लक्स बहिर्गामी होता है, धनात्मक विचलित होता है और इसे अधिकांश क्षेत्र का स्रोत कहा जाता है। वह बिंदु जिस पर फ्लक्स को अंदर की ओर निर्देशित किया जाता है, ऋणात्मक विचलन होता है, और इसे अधिकांश क्षेत्र का सिंक कहा जाता है। किसी दिए गए बिंदु को घेरने वाली छोटी सतह के माध्यम से क्षेत्र का प्रवाह जितना अधिक होता है, उस बिंदु पर विचलन का मान उतना ही अधिक होता है। वह बिंदु जिस पर संलग्न सतह के माध्यम से शून्य प्रवाह होता है, शून्य विचलन होता है। | ||
सदिश क्षेत्र के विचलन को अधिकांशतः तरल, तरल या गैस के [[वेग क्षेत्र]] के सरल उदाहरण का उपयोग करके चित्रित किया जाता है। गतिमान गैस के प्रत्येक बिंदु पर वेग, गति और दिशा होती है, जिसे सदिश (गणित और भौतिकी) द्वारा दर्शाया जा सकता है, इसलिए गैस का वेग सदिश क्षेत्र बनाता है। यदि किसी गैस को गर्म किया जाए तो वह फैलती है। यह सभी दिशाओं में बाहर की ओर गैस कणों की शुद्ध गति का कारण बनेगा। गैस में कोई भी बंद सतह गैस को घेरेगी जो फैल रही है, इसलिए सतह के माध्यम से गैस का बाहरी प्रवाह होगा तो वेग क्षेत्र में हर स्थान पर धनात्मक विचलन होगा। इसी प्रकार यदि गैस को ठंडा किया जाए तो वह सिकुड़ेगी। किसी भी मात्रा में गैस के कणों के लिए अधिक जगह होगी, इसलिए द्रव के बाहरी दबाव से किसी भी बंद सतह के माध्यम से गैस की मात्रा का शुद्ध प्रवाह होगा। इसलिए वेग क्षेत्र में हर जगह ऋणात्मक विचलन होता है। इसके विपरीत, स्थिर तापमान और दबाव पर गैस में, किसी भी बंद सतह से गैस का शुद्ध प्रवाह शून्य होता है। गैस गतिमान हो सकती है, लेकिन किसी भी बंद सतह में प्रवाहित होने वाली गैस की आयतन दर बाहर बहने वाली आयतन दर के बराबर होनी चाहिए, इसलिए शुद्ध प्रवाह शून्य है। इस प्रकार गैस के वेग में हर स्थान पर शून्य मान के साथ विचलित होता है। वह क्षेत्र जिसमें हर स्थान पर शून्य मान के साथ विचलन होता है, [[सोलेनोइडल वेक्टर क्षेत्र]] कहलाता है। | सदिश क्षेत्र के '''विचलन''' को अधिकांशतः तरल, तरल या गैस के [[वेग क्षेत्र]] के सरल उदाहरण का उपयोग करके चित्रित किया जाता है। गतिमान गैस के प्रत्येक बिंदु पर वेग, गति और दिशा होती है, जिसे सदिश (गणित और भौतिकी) द्वारा दर्शाया जा सकता है, इसलिए गैस का वेग सदिश क्षेत्र बनाता है। यदि किसी गैस को गर्म किया जाए तो वह फैलती है। यह सभी दिशाओं में बाहर की ओर गैस कणों की शुद्ध गति का कारण बनेगा। गैस में कोई भी बंद सतह गैस को घेरेगी जो फैल रही है, इसलिए सतह के माध्यम से गैस का बाहरी प्रवाह होगा तो वेग क्षेत्र में हर स्थान पर धनात्मक विचलन होगा। इसी प्रकार यदि गैस को ठंडा किया जाए तो वह सिकुड़ेगी। किसी भी मात्रा में गैस के कणों के लिए अधिक जगह होगी, इसलिए द्रव के बाहरी दबाव से किसी भी बंद सतह के माध्यम से गैस की मात्रा का शुद्ध प्रवाह होगा। इसलिए वेग क्षेत्र में हर जगह ऋणात्मक विचलन होता है। इसके विपरीत, स्थिर तापमान और दबाव पर गैस में, किसी भी बंद सतह से गैस का शुद्ध प्रवाह शून्य होता है। गैस गतिमान हो सकती है, लेकिन किसी भी बंद सतह में प्रवाहित होने वाली गैस की आयतन दर बाहर बहने वाली आयतन दर के बराबर होनी चाहिए, इसलिए शुद्ध प्रवाह शून्य है। इस प्रकार गैस के वेग में हर स्थान पर शून्य मान के साथ विचलित होता है। वह क्षेत्र जिसमें हर स्थान पर शून्य मान के साथ विचलन होता है, [[सोलेनोइडल वेक्टर क्षेत्र]] कहलाता है। | ||
यदि गैस को केवल किसी बिंदु या छोटे क्षेत्र में गर्म किया जाता है, या किसी छोटी ट्यूब में प्रस्तुत किया जाता है जो किसी बिंदु पर अतिरिक्त गैस के स्रोत की आपूर्ति करती है, तो वहाँ गैस का विस्तार होगा, इसके चारों ओर द्रव कणों को सभी दिशाओं में बाहर धकेल दिया जाएगा। यह गर्म बिंदु पर केंद्रित पूरे गैस में बाहरी वेग क्षेत्र का कारण बनेगा। गर्म बिंदु को घेरने वाली किसी भी बंद सतह से निकलने वाले गैस कणों का प्रवाह होगा, इसलिए उस बिंदु पर धनात्मक विचलन होता है। चूंकि किसी भी बंद सतह में बिंदु को सम्मलित नहीं करने से अंदर गैस का निरंतर घनत्व होगा, इसलिए जिस प्रकार कई द्रव कण मात्रा छोड़ने के रूप में प्रवेश कर रहे हैं, इस प्रकार आयतन से शुद्ध प्रवाह शून्य है। इसलिए किसी अन्य बिंदु पर विचलन शून्य है। | यदि गैस को केवल किसी बिंदु या छोटे क्षेत्र में गर्म किया जाता है, या किसी छोटी ट्यूब में प्रस्तुत किया जाता है जो किसी बिंदु पर अतिरिक्त गैस के स्रोत की आपूर्ति करती है, तो वहाँ गैस का विस्तार होगा, इसके चारों ओर द्रव कणों को सभी दिशाओं में बाहर धकेल दिया जाएगा। यह गर्म बिंदु पर केंद्रित पूरे गैस में बाहरी वेग क्षेत्र का कारण बनेगा। गर्म बिंदु को घेरने वाली किसी भी बंद सतह से निकलने वाले गैस कणों का प्रवाह होगा, इसलिए उस बिंदु पर धनात्मक विचलन होता है। चूंकि किसी भी बंद सतह में बिंदु को सम्मलित नहीं करने से अंदर गैस का निरंतर घनत्व होगा, इसलिए जिस प्रकार कई द्रव कण मात्रा छोड़ने के रूप में प्रवेश कर रहे हैं, इस प्रकार आयतन से शुद्ध प्रवाह शून्य है। इसलिए किसी अन्य बिंदु पर विचलन शून्य है। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
[[Image:Definition of divergence.svg|thumb|एक बिंदु पर विचलन {{math|'''x'''}} प्रवाह के अनुपात की सीमा है <math>\Phi</math> सतह के माध्यम से {{math|''S''<sub>''i''</sub>}} (लाल तीर) मात्रा के लिए <math>|V_i|</math> बंद क्षेत्रों के किसी भी क्रम के लिए {{math|''V''<sub>1</sub>, ''V''<sub>2</sub>, ''V''<sub>3</sub>, …}} संलग्नित {{math|'''x'''}} जो ज़ीरो आयतन तक पहुंचता है:<br/> <math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \lim_{|V_i| \to 0} \frac{\Phi(S_i)}{|V_i|}</math>]]किसी वेक्टर क्षेत्र {{math|'''F'''}} का विचलन बिंदु {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} पर {{math|'''F'''('''x''')}} की [[सतह अभिन्न]] के अनुपात की [[सीमा (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया है आयतन {{math|''V''}} की बंद सतह से बाहर {{math|''V''}} संलग्नित {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} की मात्रा के लिए, जैसा {{math|''V''}} शून्य हो जाता है | [[Image:Definition of divergence.svg|thumb|एक बिंदु पर विचलन {{math|'''x'''}} प्रवाह के अनुपात की सीमा है <math>\Phi</math> सतह के माध्यम से {{math|''S''<sub>''i''</sub>}} (लाल तीर) मात्रा के लिए <math>|V_i|</math> बंद क्षेत्रों के किसी भी क्रम के लिए {{math|''V''<sub>1</sub>, ''V''<sub>2</sub>, ''V''<sub>3</sub>, …}} संलग्नित {{math|'''x'''}} जो ज़ीरो आयतन तक पहुंचता है:<br/> <math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \lim_{|V_i| \to 0} \frac{\Phi(S_i)}{|V_i|}</math>]]किसी वेक्टर क्षेत्र {{math|'''F'''}} का [[विचलन बिंदु]] {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} पर {{math|'''F'''('''x''')}} की [[सतह अभिन्न]] के अनुपात की [[सीमा (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया है आयतन {{math|''V''}} की बंद सतह से बाहर {{math|''V''}} संलग्नित {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} की मात्रा के लिए, जैसा {{math|''V''}} शून्य हो जाता है | ||
:{{oiint | :{{oiint | ||
| preintegral = <math>\left. \operatorname{div} \mathbf{F} \right|_\mathbf{x_0} = \lim_{V \to 0} \frac{1}{|V|}</math> | | preintegral = <math>\left. \operatorname{div} \mathbf{F} \right|_\mathbf{x_0} = \lim_{V \to 0} \frac{1}{|V|}</math> | ||
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=== कार्तीय निर्देशांक === | === कार्तीय निर्देशांक === | ||
त्रि-आयामी | त्रि-आयामी [[कार्तीय निर्देशांक]] में, निरंतर भिन्न वेक्टर क्षेत्र का विचलन <math>\mathbf{F} = F_x\mathbf{i} + F_y\mathbf{j} + F_z\mathbf{k}</math> [[अदिश (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया है - मूल्यवान कार्य: | ||
:<math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot (F_x,F_y,F_z) = \frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.</math> | :<math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot (F_x,F_y,F_z) = \frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.</math> | ||
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:<math>\operatorname{div} \mathbf F = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac1r \frac{\partial}{\partial r} \left(rF_r\right) + \frac1r \frac{\partial F_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}. | :<math>\operatorname{div} \mathbf F = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac1r \frac{\partial}{\partial r} \left(rF_r\right) + \frac1r \frac{\partial F_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}. | ||
</math> | </math> | ||
अभिव्यक्ति की वैधता के लिए स्थानीय निर्देशांक का उपयोग महत्वपूर्ण है। यदि हम विचार करें {{math|'''x'''}} स्थिति वेक्टर और कार्य {{math|''r''('''x''')}}, {{math|''θ''('''x''')}}, और {{math|''z''('''x''')}}, जो सामान्य रूप से सदिश को संबंधित वैश्विक बेलनाकार निर्देशांक प्रदान करते हैं <math>r(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_r(\mathbf{x})</math>, <math>\theta(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_{\theta}(\mathbf{x})</math>, और <math>z(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_z(\mathbf{x})</math>. विशेष रूप से, यदि हम पहचान फंक्शन पर विचार करें {{math|1='''F'''('''x''') = '''x'''}}, हम पाते हैं कि: | अभिव्यक्ति की वैधता के लिए '''स्थानीय निर्देशांक''' का उपयोग महत्वपूर्ण है। यदि हम विचार करें {{math|'''x'''}} स्थिति वेक्टर और कार्य {{math|''r''('''x''')}}, {{math|''θ''('''x''')}}, और {{math|''z''('''x''')}}, जो सामान्य रूप से सदिश को संबंधित वैश्विक बेलनाकार निर्देशांक प्रदान करते हैं <math>r(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_r(\mathbf{x})</math>, <math>\theta(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_{\theta}(\mathbf{x})</math>, और <math>z(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_z(\mathbf{x})</math>. विशेष रूप से, यदि हम पहचान फंक्शन पर विचार करें {{math|1='''F'''('''x''') = '''x'''}}, हम पाते हैं कि: | ||
:<math>\theta(\mathbf{F}(\mathbf{x})) = \theta \neq F_{\theta}(\mathbf{x}) = 0</math>. | :<math>\theta(\mathbf{F}(\mathbf{x})) = \theta \neq F_{\theta}(\mathbf{x}) = 0</math>. | ||
=== [[गोलाकार निर्देशांक]] === | === [[गोलाकार निर्देशांक]] === | ||
गोलाकार निर्देशांक में, {{mvar|θ}} के साथ कोण {{mvar|z}} अक्ष और {{mvar|φ}} के चारों ओर घुमाव {{mvar|z}} अक्ष, और {{math|'''F'''}} फिर से स्थानीय इकाई निर्देशांक में लिखा गया विचलन कुछ इस प्रकार है{{refn|[http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html Spherical coordinates] at Wolfram Mathworld}} | '''गोलाकार निर्देशांक''' में, {{mvar|θ}} के साथ कोण {{mvar|z}} अक्ष और {{mvar|φ}} के चारों ओर घुमाव {{mvar|z}} अक्ष, और {{math|'''F'''}} फिर से स्थानीय इकाई निर्देशांक में लिखा गया विचलन कुछ इस प्रकार है{{refn|[http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html Spherical coordinates] at Wolfram Mathworld}} | ||
:<math>\operatorname{div}\mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac1{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 F_r\right) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin\theta\, F_\theta) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi}.</math> | :<math>\operatorname{div}\mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac1{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 F_r\right) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin\theta\, F_\theta) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi}.</math> | ||
=== टेन्सर क्षेत्र === | === टेन्सर क्षेत्र === | ||
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A_{31} & A_{32} & A_{33} | A_{31} & A_{32} & A_{33} | ||
\end{bmatrix}</math> | \end{bmatrix}</math> | ||
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में विचलन प्रथम-क्रम टेन्सर क्षेत्र है{{sfn|Gurtin|1981|loc=p. 30}} और दो प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है:<ref>{{cite web |title=1.14 टेंसर कैलकुलस I: टेंसर फील्ड्स|work=Foundations of Continuum Mechanics |url=http://homepages.engineering.auckland.ac.nz/~pkel015/SolidMechanicsBooks/Part_III/Chapter_1_Vectors_Tensors/Vectors_Tensors_14_Tensor_Calculus.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20130108133336/http://homepages.engineering.auckland.ac.nz/~pkel015/SolidMechanicsBooks/Part_III/Chapter_1_Vectors_Tensors/Vectors_Tensors_14_Tensor_Calculus.pdf |archive-date=2013-01-08 |url-status=live }}</ref> | [[कार्तीय निर्देशांक]] प्रणाली में विचलन प्रथम-क्रम टेन्सर क्षेत्र है{{sfn|Gurtin|1981|loc=p. 30}} और दो प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है:<ref>{{cite web |title=1.14 टेंसर कैलकुलस I: टेंसर फील्ड्स|work=Foundations of Continuum Mechanics |url=http://homepages.engineering.auckland.ac.nz/~pkel015/SolidMechanicsBooks/Part_III/Chapter_1_Vectors_Tensors/Vectors_Tensors_14_Tensor_Calculus.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20130108133336/http://homepages.engineering.auckland.ac.nz/~pkel015/SolidMechanicsBooks/Part_III/Chapter_1_Vectors_Tensors/Vectors_Tensors_14_Tensor_Calculus.pdf |archive-date=2013-01-08 |url-status=live }}</ref> | ||
:<math>\operatorname{div} (\mathbf{A}) | :<math>\operatorname{div} (\mathbf{A}) | ||
= \cfrac{\partial A_{ik}}{\partial x_k}~\mathbf{e}_i = A_{ik,k}~\mathbf{e}_i | = \cfrac{\partial A_{ik}}{\partial x_k}~\mathbf{e}_i = A_{ik,k}~\mathbf{e}_i | ||
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=== सामान्य निर्देशांक === | === सामान्य निर्देशांक === | ||
[[आइंस्टीन संकेतन]] का उपयोग करके हम [[वक्रीय निर्देशांक]] में विचलन पर विचार कर सकते हैं, जिसे हम लिखते हैं {{math|''x''<sup>1</sup>, …, ''x''<sup>''i''</sup>, …, ''x''<sup>''n''</sup>}}, | [[आइंस्टीन संकेतन]] का उपयोग करके हम [[वक्रीय निर्देशांक]] में विचलन पर विचार कर सकते हैं, जिसे हम लिखते हैं {{math|''x''<sup>1</sup>, …, ''x''<sup>''i''</sup>, …, ''x''<sup>''n''</sup>}}, जहां {{mvar|n}} डोमेन के आयामों की संख्या है। यहां, ऊपरी सूचकांक समन्वय या घटक की संख्या को संदर्भित करता है, इसलिए {{math|''x''<sup>2</sup>}} दूसरे घटक को संदर्भित करता है, न कि मात्रा को {{mvar|x}} चुकता करती हैं। सूचकांक चर {{mvar|i}} घटक को संदर्भित करने के लिए उपयोग किया जाता है, जैसे {{math|''x''<sup>''i''</sup>}}. विचलन को तब [https://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=59087 Voss] [[हरमन वेइल]] सूत्र के माध्यम से लिखा जा सकता है,<ref>{{cite web|last1=Grinfeld|first1=Pavel|title=वॉस-वेइल फॉर्मूला (यूट्यूब लिंक)|website=[[YouTube]] |url=https://www.youtube.com/watch?v=BD2AiFk651E&list=PLlXfTHzgMRULkodlIEqfgTS-H1AY_bNtq&index=23| archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211211/BD2AiFk651E| archive-date=2021-12-11 | url-status=live|access-date=9 January 2018|language=en}}{{cbignore}}</ref> जैसे: | ||
:<math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial \left(\rho\, F^i\right)}{\partial x^i},</math> | :<math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial \left(\rho\, F^i\right)}{\partial x^i},</math> | ||
जहां <math>\rho</math> आयतन तत्व का स्थानीय गुणांक है और {{math|''F<sup>i</sup>''}} के घटक हैं {{nowrap|<math>\mathbf{F}=F^i\mathbf{e}_i</math>}} स्थानीय असामान्यीकृत वक्रीय निर्देशांकों के संबंध में | जहां <math>\rho</math> आयतन तत्व का स्थानीय गुणांक है और {{math|''F<sup>i</sup>''}} के घटक हैं {{nowrap|<math>\mathbf{F}=F^i\mathbf{e}_i</math>}} स्थानीय असामान्यीकृत वक्रीय निर्देशांकों के संबंध में सहपरिवर्ती और प्रतिपरिवर्ती आधार (कभी-कभी इस रूप में लिखे जाते हैं {{nowrap|<math>\mathbf{e}_i = \partial\mathbf{x} / \partial x^i</math>)}}. आइंस्टीन नोटेशन का तात्पर्य योग से अधिक है {{mvar|i}}, क्योंकि यह ऊपरी और निचले सूचकांक दोनों के रूप में दिखाई देता है। | ||
मात्रा गुणांक {{mvar|ρ}} स्थिति का कार्य है जो समन्वय प्रणाली पर निर्भर करता है। कार्तीय, बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में, पहले की तरह ही सम्मेलनों का उपयोग करते हुए, हमारे पास क्रमशः है {{math|1=''ρ'' = 1}}, {{math|1=''ρ'' = ''r''}} और {{math|1=''ρ'' = ''r''<sup>2</sup> sin ''θ''}}, इसकी मात्रा <math display="inline">\rho = \sqrt{\left|\det g_{ab}\right|}</math> के रूप में भी इसे व्यक्त किया जा सकता है जहां {{math|''g<sub>ab</sub>''}} [[मीट्रिक टेंसर]] है। निर्धारक प्रकट होता है क्योंकि यह वैक्टर के सेट को देखते हुए मात्रा की उपयुक्त अपरिवर्तनीय परिभाषा प्रदान करता है। चूंकि निर्धारक अदिश राशि है जो सूचकांकों पर निर्भर नहीं करता है, इन्हें लिखकर दबाया जा सकता है <math display="inline">\rho=\sqrt{\left|\det g\right|}</math>. सामान्य स्थिति को संभालने के लिए पूर्ण मूल्य लिया जाता है जहां निर्धारक ऋणात्मक हो सकता है, जैसे कि छद्म-रीमैनियन रिक्त | मात्रा गुणांक {{mvar|ρ}} स्थिति का कार्य है जो समन्वय प्रणाली पर निर्भर करता है। कार्तीय, बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में, पहले की तरह ही सम्मेलनों का उपयोग करते हुए, हमारे पास क्रमशः है {{math|1=''ρ'' = 1}}, {{math|1=''ρ'' = ''r''}} और {{math|1=''ρ'' = ''r''<sup>2</sup> sin ''θ''}}, इसकी मात्रा <math display="inline">\rho = \sqrt{\left|\det g_{ab}\right|}</math> के रूप में भी इसे व्यक्त किया जा सकता है जहां {{math|''g<sub>ab</sub>''}} [[मीट्रिक टेंसर]] है। निर्धारक प्रकट होता है क्योंकि यह वैक्टर के सेट को देखते हुए मात्रा की उपयुक्त अपरिवर्तनीय परिभाषा प्रदान करता है। चूंकि निर्धारक अदिश राशि है जो सूचकांकों पर निर्भर नहीं करता है, इन्हें लिखकर दबाया जा सकता है <math display="inline">\rho=\sqrt{\left|\det g\right|}</math>. सामान्य स्थिति को संभालने के लिए पूर्ण मूल्य लिया जाता है जहां निर्धारक ऋणात्मक हो सकता है, जैसे कि छद्म-रीमैनियन रिक्त स्थान इत्यादि। वर्ग-मूल का कारण थोड़ा सूक्ष्म है: यह प्रभावी रूप से दोहरी-गिनती से बचा जाता है क्योंकि घुमावदार होने के कारण इसे कार्तीय निर्देशांक कहा जाता है। आयतन (निर्धारक) को जैकोबियन मैट्रिक्स और कार्तीय से वक्रीय निर्देशांक में परिवर्तन के निर्धारक के रूप में भी समझा जा सकता है, जिसके लिए {{math|1=''n'' = 3}} देता है {{nowrap|<math display="inline">\rho = \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial (x^1,x^2,x^3)}\right|</math>.}} | ||
कुछ परंपराएं अपेक्षा करती हैं कि सभी स्थानीय आधार तत्वों को इकाई लंबाई तक सामान्यीकृत किया जाए, जैसा कि पिछले अनुभागों में किया गया था। अगर हम लिखते हैं <math>\hat{\mathbf{e}}_i</math> सामान्यीकृत आधार के लिए, और <math>\hat{F}^i</math> के घटकों के लिए {{math|'''F'''}} इसके संबंध में, हमारे पास वह है | कुछ परंपराएं अपेक्षा करती हैं कि सभी स्थानीय आधार तत्वों को इकाई लंबाई तक सामान्यीकृत किया जाए, जैसा कि पिछले अनुभागों में किया गया था। अगर हम लिखते हैं <math>\hat{\mathbf{e}}_i</math> सामान्यीकृत आधार के लिए, और <math>\hat{F}^i</math> के घटकों के लिए {{math|'''F'''}} इसके संबंध में, हमारे पास वह है | ||
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F^i \sqrt{g_{ii}} \, \hat{\mathbf{e}}_i = | F^i \sqrt{g_{ii}} \, \hat{\mathbf{e}}_i = | ||
\hat{F}^i \hat{\mathbf{e}}_i,</math> | \hat{F}^i \hat{\mathbf{e}}_i,</math> | ||
मीट्रिक टेंसर के गुणों में से का उपयोग करना। अंतिम समानता के दोनों पक्षों को प्रतिपरिवर्ती तत्व के साथ डॉट करके <math>\hat{\mathbf{e}}^i</math>, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि <math display="inline">F^i = \hat{F}^i / \sqrt{g_{ii}}</math>. प्रतिस्थापित करने के बाद, सूत्र बन जाता है: | [[मीट्रिक टेंसर]] के गुणों में से का उपयोग करना। अंतिम समानता के दोनों पक्षों को प्रतिपरिवर्ती तत्व के साथ डॉट करके <math>\hat{\mathbf{e}}^i</math>, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि <math display="inline">F^i = \hat{F}^i / \sqrt{g_{ii}}</math>. प्रतिस्थापित करने के बाद, सूत्र बन जाता है: | ||
:<math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \frac 1{\rho} \frac{\partial \left(\frac{\rho}{\sqrt{g_{ii}}}\hat{F}^i\right)}{\partial x^i} = | :<math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \frac 1{\rho} \frac{\partial \left(\frac{\rho}{\sqrt{g_{ii}}}\hat{F}^i\right)}{\partial x^i} = | ||
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== वक्रीय निर्देशांक में == | == वक्रीय निर्देशांक में == | ||
उपयुक्त व्यंजक वक्ररेखीय निर्देशांक ग्रेड, कर्ल, डिव, लाप्लासियन में अधिक जटिल है। सदिश क्षेत्र का विचलन स्वाभाविक रूप से आयाम के किसी भी अलग-अलग कई गुना तक फैलता है {{math|''n''}} जिसका आयतन {{mvar|μ}} का रूप है (या [[कई गुना घनत्व]]) , उदा. [[रीमैनियन कई गुना]] या [[लोरेंट्ज़ियन कई गुना]] सदिश क्षेत्र के लिए दो रूपों के लिए {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} के निर्माण का सामान्यीकरण , ऐसे कई गुना सदिश क्षेत्र पर {{math|''X''}} परिभाषित करता है {{math|(''n'' − 1)}}-प्रपत्र {{math|1=''j'' = ''i''<sub>''X''</sub> ''μ''}} अनुबंध करके प्राप्त किया {{math|''X''}} साथ {{mvar|μ}}. विचलन तब द्वारा परिभाषित कार्य है | उपयुक्त व्यंजक '''वक्ररेखीय निर्देशांक''' ग्रेड, कर्ल, डिव, लाप्लासियन में अधिक जटिल है। सदिश क्षेत्र का विचलन स्वाभाविक रूप से आयाम के किसी भी अलग-अलग कई गुना तक फैलता है {{math|''n''}} जिसका आयतन {{mvar|μ}} का रूप है (या [[कई गुना घनत्व]]) , उदा. [[रीमैनियन कई गुना]] या [[लोरेंट्ज़ियन कई गुना]] सदिश क्षेत्र के लिए दो रूपों के लिए {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} के निर्माण का सामान्यीकरण , ऐसे कई गुना सदिश क्षेत्र पर {{math|''X''}} परिभाषित करता है {{math|(''n'' − 1)}}-प्रपत्र {{math|1=''j'' = ''i''<sub>''X''</sub> ''μ''}} अनुबंध करके प्राप्त किया {{math|''X''}} साथ {{mvar|μ}}. विचलन तब द्वारा परिभाषित कार्य है | ||
:<math>dj = (\operatorname{div} X) \mu .</math> | :<math>dj = (\operatorname{div} X) \mu .</math> | ||
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:<math>\operatorname{div}(X) = \frac{1}{\sqrt{\left|\det g \right|}} \, \partial_a \left(\sqrt{\left|\det g \right|} \, X^a\right),</math> | :<math>\operatorname{div}(X) = \frac{1}{\sqrt{\left|\det g \right|}} \, \partial_a \left(\sqrt{\left|\det g \right|} \, X^a\right),</math> | ||
जहां {{mvar|g}} मीट्रिक टेंसर है और <math>\partial_a</math> समन्वय के संबंध में {{math|''x''{{i sup|''a''}}}} (के निर्धारक का निरपेक्ष मान) आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है। मीट्रिक का वर्गमूल प्रकट होता है क्योंकि विचलन को [[मात्रा]] की सही अवधारणा के साथ लिखा जाना चाहिए। घुमावदार निर्देशांक में, आधार सदिश अब असामान्य नहीं हैं; निर्धारक इस स्थिति में मात्रा के सही विचार को कूटबद्ध करता है। यहाँ पर यह बार प्रकट होता है, जिससे कि <math>X^a</math> फ्लैट स्थान में परिवर्तित किया जा सकता है (जहां निर्देशांक वास्तव में ऑर्थोनॉर्मल हैं), और बार फिर ऐसा <math>\partial_a</math> समतल स्थान में भी परिवर्तित हो जाता है, जिससे कि अंत में, साधारण विचलन को समतल स्थान में आयतन की सामान्य अवधारणा के साथ लिखा जा सके (अर्थात इकाई आयतन, अर्थात एक, अर्थात नीचे नहीं लिखा गया)। वर्ग-मूल भाजक में दिखाई देता है, क्योंकि व्युत्पन्न विपरीत विधि से (सहप्रसरण और सदिशों का प्रतिप्रसरण) सदिश (जो [[सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण]] है) में परिवर्तित होता है। समतल समन्वय प्रणाली प्राप्त करने का यह विचार जहां पारंपरिक विधि से स्थानीय संगणना की जा सकती है, उसे [[mylegs|माईलेग्स (mylegs)]] कहा जाता है। इसे देखने की अलग विधि यह ध्यान रखना है कि विचलन भेष में कोडिफरेंशियल है। विचलन अभिव्यक्ति से मेल खाता है <math>\star d\star</math> साथ <math>d</math> [[एक समारोह का अंतर|फंक्शन का अंतर]] और <math>\star</math> [[हॉज स्टार]] या हॉज स्टार, इसके निर्माण से, आयतन फॉर्म को सभी सही जगहों पर प्रकट होने का कारण बनता है। | जहां {{mvar|g}} [[मीट्रिक टेंसर]] है और <math>\partial_a</math> समन्वय के संबंध में {{math|''x''{{i sup|''a''}}}} (के निर्धारक का निरपेक्ष मान) आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है। मीट्रिक का वर्गमूल प्रकट होता है क्योंकि विचलन को [[मात्रा]] की सही अवधारणा के साथ लिखा जाना चाहिए। घुमावदार निर्देशांक में, आधार सदिश अब असामान्य नहीं हैं; निर्धारक इस स्थिति में मात्रा के सही विचार को कूटबद्ध करता है। यहाँ पर यह बार प्रकट होता है, जिससे कि <math>X^a</math> फ्लैट स्थान में परिवर्तित किया जा सकता है (जहां निर्देशांक वास्तव में ऑर्थोनॉर्मल हैं), और बार फिर ऐसा <math>\partial_a</math> समतल स्थान में भी परिवर्तित हो जाता है, जिससे कि अंत में, साधारण विचलन को समतल स्थान में आयतन की सामान्य अवधारणा के साथ लिखा जा सके (अर्थात इकाई आयतन, अर्थात एक, अर्थात नीचे नहीं लिखा गया)। वर्ग-मूल भाजक में दिखाई देता है, क्योंकि व्युत्पन्न विपरीत विधि से (सहप्रसरण और सदिशों का प्रतिप्रसरण) सदिश (जो [[सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण]] है) में परिवर्तित होता है। समतल समन्वय प्रणाली प्राप्त करने का यह विचार जहां पारंपरिक विधि से स्थानीय संगणना की जा सकती है, उसे [[mylegs|माईलेग्स (mylegs)]] कहा जाता है। इसे देखने की अलग विधि यह ध्यान रखना है कि विचलन भेष में कोडिफरेंशियल है। विचलन अभिव्यक्ति से मेल खाता है <math>\star d\star</math> साथ <math>d</math> [[एक समारोह का अंतर|फंक्शन का अंतर]] और <math>\star</math> [[हॉज स्टार]] या हॉज स्टार, इसके निर्माण से, आयतन फॉर्म को सभी सही जगहों पर प्रकट होने का कारण बनता है। | ||
== [[टेन्सर]] का विचलन == | == [[टेन्सर]] का विचलन == | ||
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:<math>(\operatorname{div} T) (Y_1 , \ldots , Y_{q-1}) = {\operatorname{trace}} \Big(X \mapsto \sharp (\nabla T) (X , \cdot , Y_1 , \ldots , Y_{q-1}) \Big);</math> | :<math>(\operatorname{div} T) (Y_1 , \ldots , Y_{q-1}) = {\operatorname{trace}} \Big(X \mapsto \sharp (\nabla T) (X , \cdot , Y_1 , \ldots , Y_{q-1}) \Big);</math> | ||
अर्थात् | अर्थात् हम सहपरिवर्ती व्युत्पन्न के पहले दो सहपरिवर्ती सूचकांकों पर ट्रेस लेते हैं।{{efn| The choice of "first" covariant index of a tensor is intrinsic and depends on the ordering of the terms of the Cartesian product of vector spaces on which the tensor is given as a multilinear map {{math|V × V × ... × V → '''R'''}}. But equally well defined choices for the divergence could be made by using other indices. Consequently, it is more natural to specify the divergence of {{math|''T''}} with respect to a specified index. There are however two important special cases where this choice is essentially irrelevant: with a totally symmetric contravariant tensor, when every choice is equivalent, and with a totally antisymmetric contravariant tensor ({{aka}} a ''k''-vector), when the choice affects only the sign.}} | ||
<math>\sharp</math> h> प्रतीक संगीत समरूपता को संदर्भित करता है। | <math>\sharp</math> h> प्रतीक संगीत समरूपता को संदर्भित करता है। | ||
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