विचलन: Difference between revisions
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{{Short description|Vector operator that measures the expansion or outgoingness of a vector field}} | {{Short description|Vector operator that measures the expansion or outgoingness of a vector field}} | ||
{{About| | {{About|divergence in vector calculus|divergence of infinite series|Divergent series|divergence in statistics|Divergence (statistics)|other uses}} | ||
{{Calculus|Vector}} | {{Calculus|Vector}} | ||
[[File:Divergence_(captions).svg|500px|thumb|upright=1.75|alt= A vector field with diverging vectors, a vector field with converging vectors, and a vector field with parallel vectors that neither diverge nor converge|विभिन्न वेक्टर क्षेत्रों का विचलन। बिंदु (एक्स, वाई) से वैक्टर का विचलन एक्स-घटक के आंशिक व्युत्पन्न-के-सम्मान-से-एक्स के योग के बराबर होता है और उस पर वाई-घटक के आंशिक व्युत्पन्न-के- लिए-वाई के योग के बराबर होता है जिसका बिंदु: | [[File:Divergence_(captions).svg|500px|thumb|upright=1.75|alt= A vector field with diverging vectors, a vector field with converging vectors, and a vector field with parallel vectors that neither diverge nor converge|विभिन्न वेक्टर क्षेत्रों का विचलन। बिंदु (एक्स, वाई) से वैक्टर का विचलन एक्स-घटक के आंशिक व्युत्पन्न-के-सम्मान-से-एक्स के योग के बराबर होता है और उस पर वाई-घटक के आंशिक व्युत्पन्न-के- लिए-वाई के योग के बराबर होता है जिसका बिंदु: | ||
<math>\nabla\!\cdot(\mathbf{V}(x,y))=\frac{\partial\ {V_x(x,y)}}{\partial{x}}+\frac{\partial\ {V_y(x,y)}}{\partial{y}}</math>]]सदिश कलन में, विचलन वह सदिश संचालिका है जो सदिश क्षेत्र पर संचालित होता है, प्रत्येक बिंदु पर सदिश क्षेत्र के स्रोत की मात्रा देने वाले [[अदिश क्षेत्र]] का उत्पादन भी करता है। अधिक तकनीकी रूप से यदि देंखे तो विचलन किसी दिए गए बिंदु के चारों ओर अधिकतम मात्रा में सदिश क्षेत्र के बाहरी प्रवाह की मात्रा के घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है। | <math>\nabla\!\cdot(\mathbf{V}(x,y))=\frac{\partial\ {V_x(x,y)}}{\partial{x}}+\frac{\partial\ {V_y(x,y)}}{\partial{y}}</math>]]सदिश कलन में, '''विचलन''' वह सदिश संचालिका है जो सदिश क्षेत्र पर संचालित होता है, प्रत्येक बिंदु पर सदिश क्षेत्र के स्रोत की मात्रा देने वाले [[अदिश क्षेत्र]] का उत्पादन भी करता है। अधिक तकनीकी रूप से यदि देंखे तो विचलन किसी दिए गए बिंदु के चारों ओर अधिकतम मात्रा में सदिश क्षेत्र के बाहरी प्रवाह की मात्रा के घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है। | ||
उदाहरण के रूप में, हवा को गर्म या ठंडा होने पर यदि बात करें तो प्रत्येक बिंदु पर हवा का [[वेग]] सदिश क्षेत्र को परिभाषित करता है। जबकि हवा का क्षेत्र गर्म होता है, यह सभी दिशाओं में फैलता है, और इस प्रकार वेग क्षेत्र उस क्षेत्र से बाहर की ओर इंगित करता है। इस प्रकार उस क्षेत्र में वेग क्षेत्र के विचलन का धनात्मक मूल्य होगा। जबकि हवा ठंडी होती है और इस प्रकार सिकुड़ती है, वेग के विचलन का ऋणात्मक मान होता है। | उदाहरण के रूप में, हवा को गर्म या ठंडा होने पर यदि बात करें तो प्रत्येक बिंदु पर हवा का [[वेग]] सदिश क्षेत्र को परिभाषित करता है। जबकि हवा का क्षेत्र गर्म होता है, यह सभी दिशाओं में फैलता है, और इस प्रकार वेग क्षेत्र उस क्षेत्र से बाहर की ओर इंगित करता है। इस प्रकार उस क्षेत्र में वेग क्षेत्र के '''विचलन''' का धनात्मक मूल्य होगा। जबकि हवा ठंडी होती है और इस प्रकार सिकुड़ती है, कि वेग के विचलन का ऋणात्मक मान होता है। | ||
== विचलन की भौतिक व्याख्या == | == विचलन की भौतिक व्याख्या == | ||
भौतिक दृष्टि से, सदिश क्षेत्र का अपसरण वह सीमा है जिस तक सदिश क्षेत्र का प्रवाह किसी दिए गए बिंदु पर स्रोत की तरह व्यवहार करती है। यह इसकी बहिर्गामीता का स्थानीय माप है - वह सीमा जिस तक अंतरिक्ष के अतिसूक्ष्म क्षेत्र से बाहर निकलने वाले क्षेत्र सदिश उसमें प्रवेश करने की तुलना में अधिक हैं। वह बिंदु जिस पर फ्लक्स बहिर्गामी होता है, धनात्मक विचलित होता है और इसे अधिकांश क्षेत्र का स्रोत कहा जाता है। वह बिंदु जिस पर फ्लक्स को अंदर की ओर निर्देशित किया जाता है, ऋणात्मक विचलन होता है, और इसे अधिकांश क्षेत्र का सिंक कहा जाता है। किसी दिए गए बिंदु को घेरने वाली छोटी सतह के माध्यम से क्षेत्र का प्रवाह जितना अधिक होता है, उस बिंदु पर विचलन का मान उतना ही अधिक होता है। वह बिंदु जिस पर संलग्न सतह के माध्यम से शून्य प्रवाह होता है, शून्य विचलन होता है। | भौतिक दृष्टि से, सदिश क्षेत्र का अपसरण वह सीमा है जिस तक सदिश क्षेत्र का प्रवाह किसी दिए गए बिंदु पर स्रोत की तरह व्यवहार करती है। यह इसकी बहिर्गामीता का स्थानीय माप है - वह सीमा जिस तक अंतरिक्ष के अतिसूक्ष्म क्षेत्र से बाहर निकलने वाले क्षेत्र सदिश उसमें प्रवेश करने की तुलना में अधिक हैं। वह बिंदु जिस पर फ्लक्स बहिर्गामी होता है, धनात्मक विचलित होता है और इसे अधिकांश क्षेत्र का स्रोत कहा जाता है। वह बिंदु जिस पर फ्लक्स को अंदर की ओर निर्देशित किया जाता है, ऋणात्मक विचलन होता है, और इसे अधिकांश क्षेत्र का सिंक कहा जाता है। किसी दिए गए बिंदु को घेरने वाली छोटी सतह के माध्यम से क्षेत्र का प्रवाह जितना अधिक होता है, उस बिंदु पर विचलन का मान उतना ही अधिक होता है। वह बिंदु जिस पर संलग्न सतह के माध्यम से शून्य प्रवाह होता है, शून्य विचलन होता है। | ||
सदिश क्षेत्र के विचलन को अधिकांशतः तरल, तरल या गैस के [[वेग क्षेत्र]] के सरल उदाहरण का उपयोग करके चित्रित किया जाता है। गतिमान गैस के प्रत्येक बिंदु पर वेग, गति और दिशा होती है, जिसे सदिश (गणित और भौतिकी) द्वारा दर्शाया जा सकता है, इसलिए गैस का वेग सदिश क्षेत्र बनाता है। यदि किसी गैस को गर्म किया जाए तो वह फैलती है। यह सभी दिशाओं में बाहर की ओर गैस कणों की शुद्ध गति का कारण बनेगा। गैस में कोई भी बंद सतह गैस को घेरेगी जो फैल रही है, इसलिए सतह के माध्यम से गैस का बाहरी प्रवाह होगा तो वेग क्षेत्र में हर स्थान पर धनात्मक विचलन होगा। इसी प्रकार यदि गैस को ठंडा किया जाए तो वह सिकुड़ेगी। किसी भी मात्रा में गैस के कणों के लिए अधिक जगह होगी, इसलिए द्रव के बाहरी दबाव से किसी भी बंद सतह के माध्यम से गैस की मात्रा का शुद्ध प्रवाह होगा। इसलिए वेग क्षेत्र में हर जगह ऋणात्मक विचलन होता है। इसके विपरीत, स्थिर तापमान और दबाव पर गैस में, किसी भी बंद सतह से गैस का शुद्ध प्रवाह शून्य होता है। गैस गतिमान हो सकती है, लेकिन किसी भी बंद सतह में प्रवाहित होने वाली गैस की आयतन दर बाहर बहने वाली आयतन दर के बराबर होनी चाहिए, इसलिए शुद्ध प्रवाह शून्य है। इस प्रकार गैस के वेग में हर स्थान पर शून्य मान के साथ विचलित होता है। वह क्षेत्र जिसमें हर स्थान पर शून्य मान के साथ विचलन होता है, [[सोलेनोइडल वेक्टर क्षेत्र]] कहलाता है। | सदिश क्षेत्र के '''विचलन''' को अधिकांशतः तरल, तरल या गैस के [[वेग क्षेत्र]] के सरल उदाहरण का उपयोग करके चित्रित किया जाता है। गतिमान गैस के प्रत्येक बिंदु पर वेग, गति और दिशा होती है, जिसे सदिश (गणित और भौतिकी) द्वारा दर्शाया जा सकता है, इसलिए गैस का वेग सदिश क्षेत्र बनाता है। यदि किसी गैस को गर्म किया जाए तो वह फैलती है। यह सभी दिशाओं में बाहर की ओर गैस कणों की शुद्ध गति का कारण बनेगा। गैस में कोई भी बंद सतह गैस को घेरेगी जो फैल रही है, इसलिए सतह के माध्यम से गैस का बाहरी प्रवाह होगा तो वेग क्षेत्र में हर स्थान पर धनात्मक विचलन होगा। इसी प्रकार यदि गैस को ठंडा किया जाए तो वह सिकुड़ेगी। किसी भी मात्रा में गैस के कणों के लिए अधिक जगह होगी, इसलिए द्रव के बाहरी दबाव से किसी भी बंद सतह के माध्यम से गैस की मात्रा का शुद्ध प्रवाह होगा। इसलिए वेग क्षेत्र में हर जगह ऋणात्मक विचलन होता है। इसके विपरीत, स्थिर तापमान और दबाव पर गैस में, किसी भी बंद सतह से गैस का शुद्ध प्रवाह शून्य होता है। गैस गतिमान हो सकती है, लेकिन किसी भी बंद सतह में प्रवाहित होने वाली गैस की आयतन दर बाहर बहने वाली आयतन दर के बराबर होनी चाहिए, इसलिए शुद्ध प्रवाह शून्य है। इस प्रकार गैस के वेग में हर स्थान पर शून्य मान के साथ विचलित होता है। वह क्षेत्र जिसमें हर स्थान पर शून्य मान के साथ विचलन होता है, [[सोलेनोइडल वेक्टर क्षेत्र]] कहलाता है। | ||
यदि गैस को केवल किसी बिंदु या छोटे क्षेत्र में गर्म किया जाता है, या किसी छोटी ट्यूब में प्रस्तुत किया जाता है जो किसी बिंदु पर अतिरिक्त गैस के स्रोत की आपूर्ति करती है, तो वहाँ गैस का विस्तार होगा, इसके चारों ओर द्रव कणों को सभी दिशाओं में बाहर धकेल दिया जाएगा। यह गर्म बिंदु पर केंद्रित पूरे गैस में | यदि गैस को केवल किसी बिंदु या छोटे क्षेत्र में गर्म किया जाता है, या किसी छोटी ट्यूब में प्रस्तुत किया जाता है जो किसी बिंदु पर अतिरिक्त गैस के स्रोत की आपूर्ति करती है, तो वहाँ गैस का विस्तार होगा, इसके चारों ओर द्रव कणों को सभी दिशाओं में बाहर धकेल दिया जाएगा। यह गर्म बिंदु पर केंद्रित पूरे गैस में बाहरी वेग क्षेत्र का कारण बनेगा। गर्म बिंदु को घेरने वाली किसी भी बंद सतह से निकलने वाले गैस कणों का प्रवाह होगा, इसलिए उस बिंदु पर धनात्मक विचलन होता है। चूंकि किसी भी बंद सतह में बिंदु को सम्मलित नहीं करने से अंदर गैस का निरंतर घनत्व होगा, इसलिए जिस प्रकार कई द्रव कण मात्रा छोड़ने के रूप में प्रवेश कर रहे हैं, इस प्रकार आयतन से शुद्ध प्रवाह शून्य है। इसलिए किसी अन्य बिंदु पर विचलन शून्य है। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
[[Image:Definition of divergence.svg|thumb|एक बिंदु पर विचलन {{math|'''x'''}} प्रवाह के अनुपात की सीमा है <math>\Phi</math> सतह के माध्यम से {{math|''S''<sub>''i''</sub>}} (लाल तीर) मात्रा के लिए <math>|V_i|</math> बंद क्षेत्रों के किसी भी क्रम के लिए {{math|''V''<sub>1</sub>, ''V''<sub>2</sub>, ''V''<sub>3</sub>, …}} संलग्नित {{math|'''x'''}} जो ज़ीरो आयतन तक पहुंचता है:<br/> <math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \lim_{|V_i| \to 0} \frac{\Phi(S_i)}{|V_i|}</math>]]किसी वेक्टर क्षेत्र {{math|'''F'''}} का विचलन बिंदु {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} पर {{math|'''F'''('''x''')}} की [[सतह अभिन्न]] के अनुपात की [[सीमा (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया है आयतन {{math|''V''}} की बंद सतह से बाहर {{math|''V''}} संलग्नित {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} की मात्रा के लिए, जैसा {{math|''V''}} शून्य हो जाता है | [[Image:Definition of divergence.svg|thumb|एक बिंदु पर विचलन {{math|'''x'''}} प्रवाह के अनुपात की सीमा है <math>\Phi</math> सतह के माध्यम से {{math|''S''<sub>''i''</sub>}} (लाल तीर) मात्रा के लिए <math>|V_i|</math> बंद क्षेत्रों के किसी भी क्रम के लिए {{math|''V''<sub>1</sub>, ''V''<sub>2</sub>, ''V''<sub>3</sub>, …}} संलग्नित {{math|'''x'''}} जो ज़ीरो आयतन तक पहुंचता है:<br/> <math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \lim_{|V_i| \to 0} \frac{\Phi(S_i)}{|V_i|}</math>]]किसी वेक्टर क्षेत्र {{math|'''F'''}} का [[विचलन बिंदु]] {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} पर {{math|'''F'''('''x''')}} की [[सतह अभिन्न]] के अनुपात की [[सीमा (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया है आयतन {{math|''V''}} की बंद सतह से बाहर {{math|''V''}} संलग्नित {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} की मात्रा के लिए, जैसा {{math|''V''}} शून्य हो जाता है | ||
:{{oiint | :{{oiint | ||
| preintegral = <math>\left. \operatorname{div} \mathbf{F} \right|_\mathbf{x_0} = \lim_{V \to 0} \frac{1}{|V|}</math> | | preintegral = <math>\left. \operatorname{div} \mathbf{F} \right|_\mathbf{x_0} = \lim_{V \to 0} \frac{1}{|V|}</math> | ||
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| integrand = <math>\mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS</math> | | integrand = <math>\mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS</math> | ||
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जहां {{math|{{abs|''V''}}}} का आयतन है {{math|''V''}}, {{math|''S''(''V'')}} की सीमा {{math|''V''}} है , और <math>\mathbf{\hat n}</math> उस सतह के लिए बाहरी [[सामान्य वेक्टर]] है। इस प्रकार यह देखा जा सकता है कि उपरोक्त सीमा में आयतन के किसी भी अनुक्रम के लिए {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} के समान मान में परिवर्तित हो जाती है और शून्य मात्रा तक पहुँच जाती हैं। परिणाम, {{math|div '''F'''}}, का | जहां {{math|{{abs|''V''}}}} का आयतन है {{math|''V''}}, {{math|''S''(''V'')}} की सीमा {{math|''V''}} है , और <math>\mathbf{\hat n}</math> उस सतह के लिए बाहरी [[सामान्य वेक्टर]] है। इस प्रकार यह देखा जा सकता है कि उपरोक्त सीमा में आयतन के किसी भी अनुक्रम के लिए {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} के समान मान में परिवर्तित हो जाती है और शून्य मात्रा तक पहुँच जाती हैं। परिणाम, {{math|div '''F'''}}, का अदिश कार्य {{math|'''x'''}} है। | ||
चूंकि यह परिभाषा समन्वय-मुक्त है, यह दर्शाता है कि विचलन किसी भी [[समन्वय प्रणाली]] में समान है। चूंकि यह अधिकांशतः विचलन की गणना करने के लिए व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है; जब वेक्टर क्षेत्र | चूंकि यह परिभाषा समन्वय-मुक्त है, यह दर्शाता है कि विचलन किसी भी [[समन्वय प्रणाली]] में समान है। चूंकि यह अधिकांशतः विचलन की गणना करने के लिए व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है; जब वेक्टर क्षेत्र समन्वय प्रणाली में दिया जाता है तो नीचे दी गई समन्वय परिभाषाएँ उपयोग करने में बहुत सरल होती हैं। | ||
हर जगह शून्य विचलन वाला | हर जगह शून्य विचलन वाला सदिश क्षेत्र सोलेनोइडल सदिश क्षेत्र कहलाता है - इस स्थिति में किसी भी बंद सतह के पास कोई शुद्ध प्रवाह नहीं होता है। | ||
== निर्देशांक में परिभाषा == | == निर्देशांक में परिभाषा == | ||
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=== कार्तीय निर्देशांक === | === कार्तीय निर्देशांक === | ||
त्रि-आयामी | त्रि-आयामी [[कार्तीय निर्देशांक]] में, निरंतर भिन्न वेक्टर क्षेत्र का विचलन <math>\mathbf{F} = F_x\mathbf{i} + F_y\mathbf{j} + F_z\mathbf{k}</math> [[अदिश (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया है - मूल्यवान कार्य: | ||
:<math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot (F_x,F_y,F_z) = \frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.</math> | :<math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot (F_x,F_y,F_z) = \frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.</math> | ||
चूंकि निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त किया गया है, परिणाम [[रोटेशन मैट्रिक्स]] के अनुसार अपरिवर्तनीय है, जैसा कि भौतिक व्याख्या से पता चलता है। इसका कारण यह है कि जैकोबियन मैट्रिक्स का पता लगाना और इसके निर्धारक {{math|''N''}}-आयामी वेक्टर क्षेत्र {{math|'''F'''}} में {{mvar|N}}-विमीय स्थान किसी भी व्युत्क्रम रैखिक परिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है। | चूंकि निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त किया गया है, परिणाम [[रोटेशन मैट्रिक्स]] के अनुसार अपरिवर्तनीय है, जैसा कि भौतिक व्याख्या से पता चलता है। इसका कारण यह है कि जैकोबियन मैट्रिक्स का पता लगाना और इसके निर्धारक {{math|''N''}}-आयामी वेक्टर क्षेत्र {{math|'''F'''}} में {{mvar|N}}-विमीय स्थान किसी भी व्युत्क्रम रैखिक परिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है। | ||
विचलन के लिए सामान्य संकेतन {{math|∇ · '''F'''}} | विचलन के लिए सामान्य संकेतन {{math|∇ · '''F'''}} सुविधाजनक स्मरक है, जहां डॉट ऑपरेशन को इंगित करता है जो [[डॉट उत्पाद]] की याद दिलाता है: के घटकों को लें तो {{math|∇}} ऑपरेटर ([[का]] देखें), उन्हें संबंधित घटकों पर लागू करें {{math|'''F'''}}, और परिणामों का योग करें। क्योंकि यह ऑपरेटर को लागू करना तथा उसके घटकों को गुणा करने से पृथक होता हैं है, इसे [[अंकन का दुरुपयोग]] माना जाता है। | ||
=== बेलनाकार निर्देशांक === | === बेलनाकार निर्देशांक === | ||
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:<math>\operatorname{div} \mathbf F = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac1r \frac{\partial}{\partial r} \left(rF_r\right) + \frac1r \frac{\partial F_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}. | :<math>\operatorname{div} \mathbf F = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac1r \frac{\partial}{\partial r} \left(rF_r\right) + \frac1r \frac{\partial F_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}. | ||
</math> | </math> | ||
अभिव्यक्ति की वैधता के लिए स्थानीय निर्देशांक का उपयोग महत्वपूर्ण है। यदि हम विचार करें {{math|'''x'''}} स्थिति वेक्टर और कार्य {{math|''r''('''x''')}}, {{math|''θ''('''x''')}}, और {{math|''z''('''x''')}}, जो सामान्य रूप से सदिश को संबंधित वैश्विक बेलनाकार निर्देशांक प्रदान करते हैं <math>r(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_r(\mathbf{x})</math>, <math>\theta(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_{\theta}(\mathbf{x})</math>, और <math>z(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_z(\mathbf{x})</math>. विशेष रूप से, यदि हम पहचान फंक्शन पर विचार करें {{math|1='''F'''('''x''') = '''x'''}}, हम पाते हैं कि: | अभिव्यक्ति की वैधता के लिए '''स्थानीय निर्देशांक''' का उपयोग महत्वपूर्ण है। यदि हम विचार करें {{math|'''x'''}} स्थिति वेक्टर और कार्य {{math|''r''('''x''')}}, {{math|''θ''('''x''')}}, और {{math|''z''('''x''')}}, जो सामान्य रूप से सदिश को संबंधित वैश्विक बेलनाकार निर्देशांक प्रदान करते हैं <math>r(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_r(\mathbf{x})</math>, <math>\theta(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_{\theta}(\mathbf{x})</math>, और <math>z(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_z(\mathbf{x})</math>. विशेष रूप से, यदि हम पहचान फंक्शन पर विचार करें {{math|1='''F'''('''x''') = '''x'''}}, हम पाते हैं कि: | ||
:<math>\theta(\mathbf{F}(\mathbf{x})) = \theta \neq F_{\theta}(\mathbf{x}) = 0</math>. | :<math>\theta(\mathbf{F}(\mathbf{x})) = \theta \neq F_{\theta}(\mathbf{x}) = 0</math>. | ||
=== [[गोलाकार निर्देशांक]] === | === [[गोलाकार निर्देशांक]] === | ||
गोलाकार निर्देशांक में, {{mvar|θ}} के साथ कोण {{mvar|z}} अक्ष और {{mvar|φ}} के चारों ओर घुमाव {{mvar|z}} अक्ष, और {{math|'''F'''}} फिर से स्थानीय इकाई निर्देशांक में लिखा गया विचलन कुछ इस प्रकार है{{refn|[http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html Spherical coordinates] at Wolfram Mathworld}} | '''गोलाकार निर्देशांक''' में, {{mvar|θ}} के साथ कोण {{mvar|z}} अक्ष और {{mvar|φ}} के चारों ओर घुमाव {{mvar|z}} अक्ष, और {{math|'''F'''}} फिर से स्थानीय इकाई निर्देशांक में लिखा गया विचलन कुछ इस प्रकार है{{refn|[http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html Spherical coordinates] at Wolfram Mathworld}} | ||
:<math>\operatorname{div}\mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac1{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 F_r\right) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin\theta\, F_\theta) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi}.</math> | :<math>\operatorname{div}\mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac1{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 F_r\right) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin\theta\, F_\theta) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi}.</math> | ||
=== टेन्सर क्षेत्र === | === टेन्सर क्षेत्र === | ||
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A_{31} & A_{32} & A_{33} | A_{31} & A_{32} & A_{33} | ||
\end{bmatrix}</math> | \end{bmatrix}</math> | ||
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में विचलन प्रथम-क्रम टेन्सर क्षेत्र है{{sfn|Gurtin|1981|loc=p. 30}} और दो प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है:<ref>{{cite web |title=1.14 टेंसर कैलकुलस I: टेंसर फील्ड्स|work=Foundations of Continuum Mechanics |url=http://homepages.engineering.auckland.ac.nz/~pkel015/SolidMechanicsBooks/Part_III/Chapter_1_Vectors_Tensors/Vectors_Tensors_14_Tensor_Calculus.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20130108133336/http://homepages.engineering.auckland.ac.nz/~pkel015/SolidMechanicsBooks/Part_III/Chapter_1_Vectors_Tensors/Vectors_Tensors_14_Tensor_Calculus.pdf |archive-date=2013-01-08 |url-status=live }}</ref> | [[कार्तीय निर्देशांक]] प्रणाली में विचलन प्रथम-क्रम टेन्सर क्षेत्र है{{sfn|Gurtin|1981|loc=p. 30}} और दो प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है:<ref>{{cite web |title=1.14 टेंसर कैलकुलस I: टेंसर फील्ड्स|work=Foundations of Continuum Mechanics |url=http://homepages.engineering.auckland.ac.nz/~pkel015/SolidMechanicsBooks/Part_III/Chapter_1_Vectors_Tensors/Vectors_Tensors_14_Tensor_Calculus.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20130108133336/http://homepages.engineering.auckland.ac.nz/~pkel015/SolidMechanicsBooks/Part_III/Chapter_1_Vectors_Tensors/Vectors_Tensors_14_Tensor_Calculus.pdf |archive-date=2013-01-08 |url-status=live }}</ref> | ||
:<math>\operatorname{div} (\mathbf{A}) | :<math>\operatorname{div} (\mathbf{A}) | ||
= \cfrac{\partial A_{ik}}{\partial x_k}~\mathbf{e}_i = A_{ik,k}~\mathbf{e}_i | = \cfrac{\partial A_{ik}}{\partial x_k}~\mathbf{e}_i = A_{ik,k}~\mathbf{e}_i | ||
| Line 119: | Line 119: | ||
=== सामान्य निर्देशांक === | === सामान्य निर्देशांक === | ||
[[आइंस्टीन संकेतन]] का उपयोग करके हम [[वक्रीय निर्देशांक]] में विचलन पर विचार कर सकते हैं, जिसे हम लिखते हैं {{math|''x''<sup>1</sup>, …, ''x''<sup>''i''</sup>, …, ''x''<sup>''n''</sup>}}, | [[आइंस्टीन संकेतन]] का उपयोग करके हम [[वक्रीय निर्देशांक]] में विचलन पर विचार कर सकते हैं, जिसे हम लिखते हैं {{math|''x''<sup>1</sup>, …, ''x''<sup>''i''</sup>, …, ''x''<sup>''n''</sup>}}, जहां {{mvar|n}} डोमेन के आयामों की संख्या है। यहां, ऊपरी सूचकांक समन्वय या घटक की संख्या को संदर्भित करता है, इसलिए {{math|''x''<sup>2</sup>}} दूसरे घटक को संदर्भित करता है, न कि मात्रा को {{mvar|x}} चुकता करती हैं। सूचकांक चर {{mvar|i}} घटक को संदर्भित करने के लिए उपयोग किया जाता है, जैसे {{math|''x''<sup>''i''</sup>}}. विचलन को तब [https://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=59087 Voss] [[हरमन वेइल]] सूत्र के माध्यम से लिखा जा सकता है,<ref>{{cite web|last1=Grinfeld|first1=Pavel|title=वॉस-वेइल फॉर्मूला (यूट्यूब लिंक)|website=[[YouTube]] |url=https://www.youtube.com/watch?v=BD2AiFk651E&list=PLlXfTHzgMRULkodlIEqfgTS-H1AY_bNtq&index=23| archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211211/BD2AiFk651E| archive-date=2021-12-11 | url-status=live|access-date=9 January 2018|language=en}}{{cbignore}}</ref> जैसे: | ||
:<math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial \left(\rho\, F^i\right)}{\partial x^i},</math> | :<math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial \left(\rho\, F^i\right)}{\partial x^i},</math> | ||
जहां <math>\rho</math> आयतन तत्व का स्थानीय गुणांक है और {{math|''F<sup>i</sup>''}} के घटक हैं {{nowrap|<math>\mathbf{F}=F^i\mathbf{e}_i</math>}} स्थानीय असामान्यीकृत वक्रीय निर्देशांकों के संबंध में | जहां <math>\rho</math> आयतन तत्व का स्थानीय गुणांक है और {{math|''F<sup>i</sup>''}} के घटक हैं {{nowrap|<math>\mathbf{F}=F^i\mathbf{e}_i</math>}} स्थानीय असामान्यीकृत वक्रीय निर्देशांकों के संबंध में सहपरिवर्ती और प्रतिपरिवर्ती आधार (कभी-कभी इस रूप में लिखे जाते हैं {{nowrap|<math>\mathbf{e}_i = \partial\mathbf{x} / \partial x^i</math>)}}. आइंस्टीन नोटेशन का तात्पर्य योग से अधिक है {{mvar|i}}, क्योंकि यह ऊपरी और निचले सूचकांक दोनों के रूप में दिखाई देता है। | ||
मात्रा गुणांक {{mvar|ρ}} स्थिति का | मात्रा गुणांक {{mvar|ρ}} स्थिति का कार्य है जो समन्वय प्रणाली पर निर्भर करता है। कार्तीय, बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में, पहले की तरह ही सम्मेलनों का उपयोग करते हुए, हमारे पास क्रमशः है {{math|1=''ρ'' = 1}}, {{math|1=''ρ'' = ''r''}} और {{math|1=''ρ'' = ''r''<sup>2</sup> sin ''θ''}}, इसकी मात्रा <math display="inline">\rho = \sqrt{\left|\det g_{ab}\right|}</math> के रूप में भी इसे व्यक्त किया जा सकता है जहां {{math|''g<sub>ab</sub>''}} [[मीट्रिक टेंसर]] है। निर्धारक प्रकट होता है क्योंकि यह वैक्टर के सेट को देखते हुए मात्रा की उपयुक्त अपरिवर्तनीय परिभाषा प्रदान करता है। चूंकि निर्धारक अदिश राशि है जो सूचकांकों पर निर्भर नहीं करता है, इन्हें लिखकर दबाया जा सकता है <math display="inline">\rho=\sqrt{\left|\det g\right|}</math>. सामान्य स्थिति को संभालने के लिए पूर्ण मूल्य लिया जाता है जहां निर्धारक ऋणात्मक हो सकता है, जैसे कि छद्म-रीमैनियन रिक्त स्थान इत्यादि। वर्ग-मूल का कारण थोड़ा सूक्ष्म है: यह प्रभावी रूप से दोहरी-गिनती से बचा जाता है क्योंकि घुमावदार होने के कारण इसे कार्तीय निर्देशांक कहा जाता है। आयतन (निर्धारक) को जैकोबियन मैट्रिक्स और कार्तीय से वक्रीय निर्देशांक में परिवर्तन के निर्धारक के रूप में भी समझा जा सकता है, जिसके लिए {{math|1=''n'' = 3}} देता है {{nowrap|<math display="inline">\rho = \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial (x^1,x^2,x^3)}\right|</math>.}} | ||
कुछ परंपराएं अपेक्षा करती हैं कि सभी स्थानीय आधार तत्वों को इकाई लंबाई तक सामान्यीकृत किया जाए, जैसा कि पिछले अनुभागों में किया गया था। अगर हम लिखते हैं <math>\hat{\mathbf{e}}_i</math> सामान्यीकृत आधार के लिए, और <math>\hat{F}^i</math> के घटकों के लिए {{math|'''F'''}} इसके संबंध में, हमारे पास वह है | कुछ परंपराएं अपेक्षा करती हैं कि सभी स्थानीय आधार तत्वों को इकाई लंबाई तक सामान्यीकृत किया जाए, जैसा कि पिछले अनुभागों में किया गया था। अगर हम लिखते हैं <math>\hat{\mathbf{e}}_i</math> सामान्यीकृत आधार के लिए, और <math>\hat{F}^i</math> के घटकों के लिए {{math|'''F'''}} इसके संबंध में, हमारे पास वह है | ||
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F^i \sqrt{g_{ii}} \, \hat{\mathbf{e}}_i = | F^i \sqrt{g_{ii}} \, \hat{\mathbf{e}}_i = | ||
\hat{F}^i \hat{\mathbf{e}}_i,</math> | \hat{F}^i \hat{\mathbf{e}}_i,</math> | ||
मीट्रिक टेंसर के गुणों में से | [[मीट्रिक टेंसर]] के गुणों में से का उपयोग करना। अंतिम समानता के दोनों पक्षों को प्रतिपरिवर्ती तत्व के साथ डॉट करके <math>\hat{\mathbf{e}}^i</math>, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि <math display="inline">F^i = \hat{F}^i / \sqrt{g_{ii}}</math>. प्रतिस्थापित करने के बाद, सूत्र बन जाता है: | ||
:<math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \frac 1{\rho} \frac{\partial \left(\frac{\rho}{\sqrt{g_{ii}}}\hat{F}^i\right)}{\partial x^i} = | :<math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \frac 1{\rho} \frac{\partial \left(\frac{\rho}{\sqrt{g_{ii}}}\hat{F}^i\right)}{\partial x^i} = | ||
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== गुण == | == गुण == | ||
{{Main|वेक्टर कैल्कुलस पहचान}} | {{Main|वेक्टर कैल्कुलस पहचान}} | ||
निम्नलिखित सभी गुण कलन के सामान्य विभेदन नियमों से प्राप्त किए जा सकते हैं। सबसे महत्वपूर्ण बात, विचलन | निम्नलिखित सभी गुण कलन के सामान्य विभेदन नियमों से प्राप्त किए जा सकते हैं। सबसे महत्वपूर्ण बात, विचलन रैखिक संकारक है, अर्थात, | ||
:<math>\operatorname{div}(a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a \operatorname{div} \mathbf{F} + b \operatorname{div} \mathbf{G}</math> | :<math>\operatorname{div}(a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a \operatorname{div} \mathbf{F} + b \operatorname{div} \mathbf{G}</math> | ||
सभी वेक्टर क्षेत्रों के लिए {{math|'''F'''}} और {{math|'''G'''}} और सभी [[वास्तविक संख्या]]एँ {{math|''a''}} और {{math|''b''}}. | सभी वेक्टर क्षेत्रों के लिए {{math|'''F'''}} और {{math|'''G'''}} और सभी [[वास्तविक संख्या]]एँ {{math|''a''}} और {{math|''b''}}. | ||
निम्न प्रकार का | निम्न प्रकार का उत्पाद नियम है: यदि {{mvar|φ}} अदिश-मूल्यवान कार्य है और {{math|'''F'''}} सदिश क्षेत्र है, तो | ||
:<math>\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) = \operatorname{grad} \varphi \cdot \mathbf{F} + \varphi \operatorname{div} \mathbf{F},</math> | :<math>\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) = \operatorname{grad} \varphi \cdot \mathbf{F} + \varphi \operatorname{div} \mathbf{F},</math> | ||
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किसी भी सदिश क्षेत्र (तीन आयामों में) के कर्ल (गणित) का विचलन शून्य के बराबर है: | किसी भी सदिश क्षेत्र (तीन आयामों में) के कर्ल (गणित) का विचलन शून्य के बराबर है: | ||
:<math>\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=0.</math> | :<math>\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=0.</math> | ||
यदि | यदि सदिश क्षेत्र {{math|'''F'''}} शून्य विचलन के साथ गेंद पर परिभाषित किया गया है, तो वहाँ {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} सदिश क्षेत्र मौजूद है {{math|'''G'''}} के साथ गेंद पर {{math|'''F''' {{=}} curl '''G'''}}. में क्षेत्रों के लिए {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} इससे अधिक सामयिक रूप से जटिल होने के बाद वाले कथन को गलत कर सकता है (पॉइनकेयर लेम्मा देखें)। [[चेन कॉम्प्लेक्स]] के होमोलॉजी (गणित) द्वारा मापा गया बयान की सच्चाई की विफलता की डिग्री | ||
:<math>\{ \text{scalar fields on } U \} ~ \overset{\operatorname{grad}}{\rarr} ~ \{ \text{vector fields on } U \} ~ \overset{\operatorname{curl}}{\rarr} ~ \{ \text{vector fields on } U \} ~ \overset{\operatorname{div}}{\rarr} ~ \{ \text{scalar fields on } U \}</math> | :<math>\{ \text{scalar fields on } U \} ~ \overset{\operatorname{grad}}{\rarr} ~ \{ \text{vector fields on } U \} ~ \overset{\operatorname{curl}}{\rarr} ~ \{ \text{vector fields on } U \} ~ \overset{\operatorname{div}}{\rarr} ~ \{ \text{scalar fields on } U \}</math> | ||
अंतर्निहित क्षेत्र की जटिलता की | अंतर्निहित क्षेत्र की जटिलता की अच्छी मात्रा के रूप में कार्य करता है {{math|''U''}}. ये [[डॉ कहलमज गर्भाशय]] के प्रारंभ की मुख्य प्रेरणाएँ हैं। | ||
== अपघटन प्रमेय == | == अपघटन प्रमेय == | ||
{{Main|हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन}} | {{Main|हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन}} | ||
यह देखा जा सकता है कि कोई भी स्थिर प्रवाह {{math|'''v'''('''r''')}} में दो बार लगातार {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} पर अवकलनीय है और अधिक तेजी से विलुप्त हो जाता है जहाँ {{math|{{abs|'''r'''}} → ∞}} | यह देखा जा सकता है कि कोई भी स्थिर प्रवाह {{math|'''v'''('''r''')}} में दो बार लगातार {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} पर अवकलनीय है और अधिक तेजी से विलुप्त हो जाता है जहाँ {{math|{{abs|'''r'''}} → ∞}} अपरिमेय भाग में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है {{math|'''E'''('''r''')}} और स्रोत-मुक्त भाग {{math|'''B'''('''r''')}}. इसके अतिरिक्त, इन भागों को स्पष्ट रूप से संबंधित स्रोत घनत्व (ऊपर देखें) और संचलन घनत्व (लेख कर्ल (गणित) देखें) द्वारा निर्धारित किया जाता है: | ||
इर्रोटेशनल पार्ट के लिए किसी के पास है | इर्रोटेशनल पार्ट के लिए किसी के पास है | ||
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इस प्रकार | इस प्रकार | ||
:<math>\Phi (\mathbf{r})=\int_{\mathbb R^3}\,d^3\mathbf r'\;\frac{\operatorname{div} \mathbf{v}(\mathbf{r}')}{4\pi\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}.</math> | :<math>\Phi (\mathbf{r})=\int_{\mathbb R^3}\,d^3\mathbf r'\;\frac{\operatorname{div} \mathbf{v}(\mathbf{r}')}{4\pi\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}.</math> | ||
स्रोत-मुक्त भाग, {{math|'''B'''}}, इसी प्रकार लिखा जा सकता है: केवल स्केलर क्षमता को बदलना होगा {{math|Φ('''r''')}} | स्रोत-मुक्त भाग, {{math|'''B'''}}, इसी प्रकार लिखा जा सकता है: केवल स्केलर क्षमता को बदलना होगा {{math|Φ('''r''')}} वेक्टर क्षमता द्वारा {{math|'''A'''('''r''')}} और शर्तें {{math|−∇Φ}} द्वारा {{math|+∇ × '''A'''}}, और स्रोत घनत्व {{math|div '''v'''}} | ||
परिसंचरण घनत्व द्वारा {{math|∇ × '''v'''}}. | परिसंचरण घनत्व द्वारा {{math|∇ × '''v'''}}. | ||
यह अपघटन प्रमेय [[बिजली का गतिविज्ञान]] के स्थिर स्थिति का उप-उत्पाद है। यह अधिक सामान्य [[हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन]] का | यह अपघटन प्रमेय [[बिजली का गतिविज्ञान]] के स्थिर स्थिति का उप-उत्पाद है। यह अधिक सामान्य [[हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन]] का विशेष मामला है, जो तीन से अधिक आयामों में भी काम करता है। | ||
== परिमित आयामों में == | == परिमित आयामों में == | ||
सदिश क्षेत्र के विचलन को किसी भी | सदिश क्षेत्र के विचलन को किसी भी <math>n</math> आयामों की परिमित संख्या में परिभाषित किया जा सकता है। यदि | ||
:<math>\mathbf{F} = (F_1 , F_2 , \ldots F_n) ,</math> | :<math>\mathbf{F} = (F_1 , F_2 , \ldots F_n) ,</math> | ||
यूक्लिडियन समन्वय प्रणाली में निर्देशांक के साथ {{math|''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>}}, परिभाषित करना | यूक्लिडियन समन्वय प्रणाली में निर्देशांक के साथ {{math|''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>}}, परिभाषित करना | ||
:<math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x_1} + \frac{\partial F_2}{\partial x_2} + \cdots + \frac{\partial F_n}{\partial x_n}.</math> | :<math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x_1} + \frac{\partial F_2}{\partial x_2} + \cdots + \frac{\partial F_n}{\partial x_n}.</math> | ||
1D स्थिति में, {{math|'''F'''}} | 1D स्थिति में, {{math|'''F'''}} नियमित कार्य को कम कर देता है, और विचलन व्युत्पन्न को कम कर देता है। | ||
{{math|''n''}}विचलन रैखिक ऑपरेटर है, और यह उत्पाद किसी {{mvar|φ}}. स्केलर-वैल्यू फ़ंक्शन के नियम को संतुष्ट करता है | {{math|''n''}}विचलन रैखिक ऑपरेटर है, और यह उत्पाद किसी {{mvar|φ}}. स्केलर-वैल्यू फ़ंक्शन के नियम को संतुष्ट करता है | ||
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:<math>\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi (\nabla\cdot\mathbf{F})</math> | :<math>\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi (\nabla\cdot\mathbf{F})</math> | ||
== [[बाहरी व्युत्पन्न]] से संबंध == | == [[बाहरी व्युत्पन्न]] से संबंध == | ||
कोई बाहरी व्युत्पन्न के | कोई बाहरी व्युत्पन्न के विशेष स्थिति के रूप में विचलन को व्यक्त कर सकता है, {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} 2-रूप को 3-रूप में लेता है। वर्तमान दो-रूप को परिभाषित करें | ||
:<math>j = F_1 \, dy \wedge dz + F_2 \, dz \wedge dx + F_3 \, dx \wedge dy .</math> | :<math>j = F_1 \, dy \wedge dz + F_2 \, dz \wedge dx + F_3 \, dx \wedge dy .</math> | ||
यह घनत्व के सामान द्रव में प्रति इकाई समय सतह के माध्यम से बहने वाली सामग्री की मात्रा को मापता है {{math|''ρ'' {{=}} 1 ''dx'' ∧ ''dy'' ∧ ''dz''}} स्थानीय वेग {{math|'''F'''}} से चलती है। इसका बाहरी व्युत्पन्न {{math|''dj''}} इसके बाद दिया जाता है | |||