विचलन: Difference between revisions
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[[File:Divergence_(captions).svg|500px|thumb|upright=1.75|alt= A vector field with diverging vectors, a vector field with converging vectors, and a vector field with parallel vectors that neither diverge nor converge|विभिन्न वेक्टर क्षेत्रों का विचलन। बिंदु (एक्स, वाई) से वैक्टर का विचलन एक्स-घटक के आंशिक व्युत्पन्न-के-सम्मान-से-एक्स के योग के बराबर होता है और उस पर वाई-घटक के आंशिक व्युत्पन्न-के- | [[File:Divergence_(captions).svg|500px|thumb|upright=1.75|alt= A vector field with diverging vectors, a vector field with converging vectors, and a vector field with parallel vectors that neither diverge nor converge|विभिन्न वेक्टर क्षेत्रों का विचलन। बिंदु (एक्स, वाई) से वैक्टर का विचलन एक्स-घटक के आंशिक व्युत्पन्न-के-सम्मान-से-एक्स के योग के बराबर होता है और उस पर वाई-घटक के आंशिक व्युत्पन्न-के- लिए-वाई के योग के बराबर होता है जिसका बिंदु: | ||
उदाहरण के | <math>\nabla\!\cdot(\mathbf{V}(x,y))=\frac{\partial\ {V_x(x,y)}}{\partial{x}}+\frac{\partial\ {V_y(x,y)}}{\partial{y}}</math>]]सदिश कलन में, '''विचलन''' वह सदिश संचालिका है जो सदिश क्षेत्र पर संचालित होता है, प्रत्येक बिंदु पर सदिश क्षेत्र के स्रोत की मात्रा देने वाले [[अदिश क्षेत्र]] का उत्पादन भी करता है। अधिक तकनीकी रूप से यदि देंखे तो विचलन किसी दिए गए बिंदु के चारों ओर अधिकतम मात्रा में सदिश क्षेत्र के बाहरी प्रवाह की मात्रा के घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है। | ||
उदाहरण के रूप में, हवा को गर्म या ठंडा होने पर यदि बात करें तो प्रत्येक बिंदु पर हवा का [[वेग]] सदिश क्षेत्र को परिभाषित करता है। जबकि हवा का क्षेत्र गर्म होता है, यह सभी दिशाओं में फैलता है, और इस प्रकार वेग क्षेत्र उस क्षेत्र से बाहर की ओर इंगित करता है। इस प्रकार उस क्षेत्र में वेग क्षेत्र के '''विचलन''' का धनात्मक मूल्य होगा। जबकि हवा ठंडी होती है और इस प्रकार सिकुड़ती है, कि वेग के विचलन का ऋणात्मक मान होता है। | |||
== विचलन की भौतिक व्याख्या == | == विचलन की भौतिक व्याख्या == | ||
भौतिक दृष्टि से, सदिश क्षेत्र का अपसरण वह सीमा है जिस तक सदिश क्षेत्र प्रवाह किसी दिए गए बिंदु पर स्रोत की तरह व्यवहार | भौतिक दृष्टि से, सदिश क्षेत्र का अपसरण वह सीमा है जिस तक सदिश क्षेत्र का प्रवाह किसी दिए गए बिंदु पर स्रोत की तरह व्यवहार करती है। यह इसकी बहिर्गामीता का स्थानीय माप है - वह सीमा जिस तक अंतरिक्ष के अतिसूक्ष्म क्षेत्र से बाहर निकलने वाले क्षेत्र सदिश उसमें प्रवेश करने की तुलना में अधिक हैं। वह बिंदु जिस पर फ्लक्स बहिर्गामी होता है, धनात्मक विचलित होता है और इसे अधिकांश क्षेत्र का स्रोत कहा जाता है। वह बिंदु जिस पर फ्लक्स को अंदर की ओर निर्देशित किया जाता है, ऋणात्मक विचलन होता है, और इसे अधिकांश क्षेत्र का सिंक कहा जाता है। किसी दिए गए बिंदु को घेरने वाली छोटी सतह के माध्यम से क्षेत्र का प्रवाह जितना अधिक होता है, उस बिंदु पर विचलन का मान उतना ही अधिक होता है। वह बिंदु जिस पर संलग्न सतह के माध्यम से शून्य प्रवाह होता है, शून्य विचलन होता है। | ||
सदिश क्षेत्र के विचलन को | सदिश क्षेत्र के '''विचलन''' को अधिकांशतः तरल, तरल या गैस के [[वेग क्षेत्र]] के सरल उदाहरण का उपयोग करके चित्रित किया जाता है। गतिमान गैस के प्रत्येक बिंदु पर वेग, गति और दिशा होती है, जिसे सदिश (गणित और भौतिकी) द्वारा दर्शाया जा सकता है, इसलिए गैस का वेग सदिश क्षेत्र बनाता है। यदि किसी गैस को गर्म किया जाए तो वह फैलती है। यह सभी दिशाओं में बाहर की ओर गैस कणों की शुद्ध गति का कारण बनेगा। गैस में कोई भी बंद सतह गैस को घेरेगी जो फैल रही है, इसलिए सतह के माध्यम से गैस का बाहरी प्रवाह होगा तो वेग क्षेत्र में हर स्थान पर धनात्मक विचलन होगा। इसी प्रकार यदि गैस को ठंडा किया जाए तो वह सिकुड़ेगी। किसी भी मात्रा में गैस के कणों के लिए अधिक जगह होगी, इसलिए द्रव के बाहरी दबाव से किसी भी बंद सतह के माध्यम से गैस की मात्रा का शुद्ध प्रवाह होगा। इसलिए वेग क्षेत्र में हर जगह ऋणात्मक विचलन होता है। इसके विपरीत, स्थिर तापमान और दबाव पर गैस में, किसी भी बंद सतह से गैस का शुद्ध प्रवाह शून्य होता है। गैस गतिमान हो सकती है, लेकिन किसी भी बंद सतह में प्रवाहित होने वाली गैस की आयतन दर बाहर बहने वाली आयतन दर के बराबर होनी चाहिए, इसलिए शुद्ध प्रवाह शून्य है। इस प्रकार गैस के वेग में हर स्थान पर शून्य मान के साथ विचलित होता है। वह क्षेत्र जिसमें हर स्थान पर शून्य मान के साथ विचलन होता है, [[सोलेनोइडल वेक्टर क्षेत्र]] कहलाता है। | ||
यदि गैस को केवल | यदि गैस को केवल किसी बिंदु या छोटे क्षेत्र में गर्म किया जाता है, या किसी छोटी ट्यूब में प्रस्तुत किया जाता है जो किसी बिंदु पर अतिरिक्त गैस के स्रोत की आपूर्ति करती है, तो वहाँ गैस का विस्तार होगा, इसके चारों ओर द्रव कणों को सभी दिशाओं में बाहर धकेल दिया जाएगा। यह गर्म बिंदु पर केंद्रित पूरे गैस में बाहरी वेग क्षेत्र का कारण बनेगा। गर्म बिंदु को घेरने वाली किसी भी बंद सतह से निकलने वाले गैस कणों का प्रवाह होगा, इसलिए उस बिंदु पर धनात्मक विचलन होता है। चूंकि किसी भी बंद सतह में बिंदु को सम्मलित नहीं करने से अंदर गैस का निरंतर घनत्व होगा, इसलिए जिस प्रकार कई द्रव कण मात्रा छोड़ने के रूप में प्रवेश कर रहे हैं, इस प्रकार आयतन से शुद्ध प्रवाह शून्य है। इसलिए किसी अन्य बिंदु पर विचलन शून्य है। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
[[Image:Definition of divergence.svg|thumb|एक बिंदु पर विचलन {{math|'''x'''}} प्रवाह के अनुपात की सीमा है <math>\Phi</math> सतह के माध्यम से {{math|''S''<sub>''i''</sub>}} (लाल तीर) मात्रा के लिए <math>|V_i|</math> बंद क्षेत्रों के किसी भी क्रम के लिए {{math|''V''<sub>1</sub>, ''V''<sub>2</sub>, ''V''<sub>3</sub>, …}} संलग्नित {{math|'''x'''}} जो ज़ीरो | [[Image:Definition of divergence.svg|thumb|एक बिंदु पर विचलन {{math|'''x'''}} प्रवाह के अनुपात की सीमा है <math>\Phi</math> सतह के माध्यम से {{math|''S''<sub>''i''</sub>}} (लाल तीर) मात्रा के लिए <math>|V_i|</math> बंद क्षेत्रों के किसी भी क्रम के लिए {{math|''V''<sub>1</sub>, ''V''<sub>2</sub>, ''V''<sub>3</sub>, …}} संलग्नित {{math|'''x'''}} जो ज़ीरो आयतन तक पहुंचता है:<br/> <math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \lim_{|V_i| \to 0} \frac{\Phi(S_i)}{|V_i|}</math>]]किसी वेक्टर क्षेत्र {{math|'''F'''}} का [[विचलन बिंदु]] {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} पर {{math|'''F'''('''x''')}} की [[सतह अभिन्न]] के अनुपात की [[सीमा (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया है आयतन {{math|''V''}} की बंद सतह से बाहर {{math|''V''}} संलग्नित {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} की मात्रा के लिए, जैसा {{math|''V''}} शून्य हो जाता है | ||
:{{oiint | :{{oiint | ||
| preintegral = <math>\left. \operatorname{div} \mathbf{F} \right|_\mathbf{x_0} = \lim_{V \to 0} \frac{1}{|V|}</math> | | preintegral = <math>\left. \operatorname{div} \mathbf{F} \right|_\mathbf{x_0} = \lim_{V \to 0} \frac{1}{|V|}</math> | ||
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| integrand = <math>\mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS</math> | | integrand = <math>\mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS</math> | ||
}} | }} | ||
जहां {{math|{{abs|''V''}}}} का आयतन है {{math|''V''}}, {{math|''S''(''V'')}} की सीमा {{math|''V''}} है , और <math>\mathbf{\hat n}</math> उस सतह के लिए बाहरी [[सामान्य वेक्टर]] है। इस प्रकार यह देखा जा सकता है कि उपरोक्त सीमा में आयतन के किसी भी अनुक्रम के लिए {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} के समान मान में परिवर्तित हो जाती है और शून्य मात्रा तक पहुँच जाती हैं। परिणाम, {{math|div '''F'''}}, का अदिश कार्य {{math|'''x'''}} है। | |||
चूंकि यह परिभाषा समन्वय-मुक्त है, यह दर्शाता है कि विचलन किसी भी [[समन्वय प्रणाली]] में समान है। | चूंकि यह परिभाषा समन्वय-मुक्त है, यह दर्शाता है कि विचलन किसी भी [[समन्वय प्रणाली]] में समान है। चूंकि यह अधिकांशतः विचलन की गणना करने के लिए व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है; जब वेक्टर क्षेत्र समन्वय प्रणाली में दिया जाता है तो नीचे दी गई समन्वय परिभाषाएँ उपयोग करने में बहुत सरल होती हैं। | ||
हर जगह शून्य विचलन वाला | हर जगह शून्य विचलन वाला सदिश क्षेत्र सोलेनोइडल सदिश क्षेत्र कहलाता है - इस स्थिति में किसी भी बंद सतह के पास कोई शुद्ध प्रवाह नहीं होता है। | ||
== निर्देशांक में परिभाषा == | == निर्देशांक में परिभाषा == | ||
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=== कार्तीय निर्देशांक === | === कार्तीय निर्देशांक === | ||
त्रि-आयामी | त्रि-आयामी [[कार्तीय निर्देशांक]] में, निरंतर भिन्न वेक्टर क्षेत्र का विचलन <math>\mathbf{F} = F_x\mathbf{i} + F_y\mathbf{j} + F_z\mathbf{k}</math> [[अदिश (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया है - मूल्यवान कार्य: | ||
:<math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot (F_x,F_y,F_z) = \frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.</math> | :<math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot (F_x,F_y,F_z) = \frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.</math> | ||
चूंकि निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त किया गया है, परिणाम [[रोटेशन मैट्रिक्स]] के अनुसार अपरिवर्तनीय है, जैसा कि भौतिक व्याख्या से पता चलता है। इसका कारण यह है कि जैकोबियन मैट्रिक्स का पता लगाना और इसके निर्धारक {{math|''N''}}-आयामी वेक्टर क्षेत्र {{math|'''F'''}} में {{mvar|N}}-विमीय स्थान किसी भी व्युत्क्रम रैखिक परिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है। | |||
विचलन के लिए सामान्य संकेतन {{math|∇ · '''F'''}} | विचलन के लिए सामान्य संकेतन {{math|∇ · '''F'''}} सुविधाजनक स्मरक है, जहां डॉट ऑपरेशन को इंगित करता है जो [[डॉट उत्पाद]] की याद दिलाता है: के घटकों को लें तो {{math|∇}} ऑपरेटर ([[का]] देखें), उन्हें संबंधित घटकों पर लागू करें {{math|'''F'''}}, और परिणामों का योग करें। क्योंकि यह ऑपरेटर को लागू करना तथा उसके घटकों को गुणा करने से पृथक होता हैं है, इसे [[अंकन का दुरुपयोग]] माना जाता है। | ||
=== बेलनाकार निर्देशांक === | === बेलनाकार निर्देशांक === | ||
स्थानीय इकाई [[बेलनाकार समन्वय प्रणाली]] में व्यक्त वेक्टर के लिए | स्थानीय इकाई [[बेलनाकार समन्वय प्रणाली]] में व्यक्त वेक्टर के लिए | ||
:<math>\mathbf{F}= \mathbf{e}_r F_r + \mathbf{e}_\theta F_\theta + \mathbf{e}_z F_z,</math> | :<math>\mathbf{F}= \mathbf{e}_r F_r + \mathbf{e}_\theta F_\theta + \mathbf{e}_z F_z,</math> | ||
जहां {{math|'''e'''<sub>''a''</sub>}} दिशा में इकाई वेक्टर है {{math|''a''}}, अंतर है{{refn|[http://mathworld.wolfram.com/CylindricalCoordinates.html Cylindrical coordinates] at Wolfram Mathworld}} | |||
:<math>\operatorname{div} \mathbf F = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac1r \frac{\partial}{\partial r} \left(rF_r\right) + \frac1r \frac{\partial F_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}. | :<math>\operatorname{div} \mathbf F = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac1r \frac{\partial}{\partial r} \left(rF_r\right) + \frac1r \frac{\partial F_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}. | ||
</math> | </math> | ||
अभिव्यक्ति की वैधता के लिए स्थानीय निर्देशांक का उपयोग महत्वपूर्ण है। यदि हम विचार करें {{math|'''x'''}} स्थिति वेक्टर और कार्य {{math|''r''('''x''')}}, {{math|''θ''('''x''')}}, और {{math|''z''('''x''')}}, जो सामान्य रूप से सदिश को संबंधित वैश्विक बेलनाकार निर्देशांक प्रदान करते हैं <math>r(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_r(\mathbf{x})</math>, <math>\theta(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_{\theta}(\mathbf{x})</math>, और <math>z(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_z(\mathbf{x})</math>. विशेष रूप से, यदि हम पहचान | अभिव्यक्ति की वैधता के लिए '''स्थानीय निर्देशांक''' का उपयोग महत्वपूर्ण है। यदि हम विचार करें {{math|'''x'''}} स्थिति वेक्टर और कार्य {{math|''r''('''x''')}}, {{math|''θ''('''x''')}}, और {{math|''z''('''x''')}}, जो सामान्य रूप से सदिश को संबंधित वैश्विक बेलनाकार निर्देशांक प्रदान करते हैं <math>r(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_r(\mathbf{x})</math>, <math>\theta(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_{\theta}(\mathbf{x})</math>, और <math>z(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_z(\mathbf{x})</math>. विशेष रूप से, यदि हम पहचान फंक्शन पर विचार करें {{math|1='''F'''('''x''') = '''x'''}}, हम पाते हैं कि: | ||
:<math>\theta(\mathbf{F}(\mathbf{x})) = \theta \neq F_{\theta}(\mathbf{x}) = 0</math>. | :<math>\theta(\mathbf{F}(\mathbf{x})) = \theta \neq F_{\theta}(\mathbf{x}) = 0</math>. | ||
=== [[गोलाकार निर्देशांक]] === | === [[गोलाकार निर्देशांक]] === | ||
गोलाकार निर्देशांक में, | '''गोलाकार निर्देशांक''' में, {{mvar|θ}} के साथ कोण {{mvar|z}} अक्ष और {{mvar|φ}} के चारों ओर घुमाव {{mvar|z}} अक्ष, और {{math|'''F'''}} फिर से स्थानीय इकाई निर्देशांक में लिखा गया विचलन कुछ इस प्रकार है{{refn|[http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html Spherical coordinates] at Wolfram Mathworld}} | ||
:<math>\operatorname{div}\mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac1{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 F_r\right) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin\theta\, F_\theta) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi}.</math> | :<math>\operatorname{div}\mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac1{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 F_r\right) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin\theta\, F_\theta) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi}.</math> | ||
=== टेन्सर क्षेत्र === | === टेन्सर क्षेत्र === | ||
{{math|'''A'''}} निरन्तर अवकलनीय दूसरे क्रम के [[टेंसर क्षेत्र]] को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: | |||
:<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix} | :<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix} | ||
| Line 61: | Line 60: | ||
A_{31} & A_{32} & A_{33} | A_{31} & A_{32} & A_{33} | ||
\end{bmatrix}</math> | \end{bmatrix}</math> | ||
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में विचलन | [[कार्तीय निर्देशांक]] प्रणाली में विचलन प्रथम-क्रम टेन्सर क्षेत्र है{{sfn|Gurtin|1981|loc=p. 30}} और दो प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है:<ref>{{cite web |title=1.14 टेंसर कैलकुलस I: टेंसर फील्ड्स|work=Foundations of Continuum Mechanics |url=http://homepages.engineering.auckland.ac.nz/~pkel015/SolidMechanicsBooks/Part_III/Chapter_1_Vectors_Tensors/Vectors_Tensors_14_Tensor_Calculus.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20130108133336/http://homepages.engineering.auckland.ac.nz/~pkel015/SolidMechanicsBooks/Part_III/Chapter_1_Vectors_Tensors/Vectors_Tensors_14_Tensor_Calculus.pdf |archive-date=2013-01-08 |url-status=live }}</ref> | ||
:<math>\operatorname{div} (\mathbf{A}) | :<math>\operatorname{div} (\mathbf{A}) | ||
= \cfrac{\partial A_{ik}}{\partial x_k}~\mathbf{e}_i = A_{ik,k}~\mathbf{e}_i | = \cfrac{\partial A_{ik}}{\partial x_k}~\mathbf{e}_i = A_{ik,k}~\mathbf{e}_i | ||
| Line 112: | Line 111: | ||
\end{bmatrix} | \end{bmatrix} | ||
</math> | </math> | ||
हमारे पास है | इस प्रकार हमारे पास निम्नलिखित समीकरण है | ||
:<math>\operatorname{div} (\mathbf{A^T}) = \nabla\cdot\mathbf A</math> | :<math>\operatorname{div} (\mathbf{A^T}) = \nabla\cdot\mathbf A</math> | ||
यदि टेंसर सममित है {{math|1=''A<sub>ij</sub>'' = ''A<sub>ji</sub>''}} तब <math>\operatorname{div} (\mathbf{A}) = \nabla\cdot\mathbf A</math>. इस | यदि टेंसर सममित है {{math|1=''A<sub>ij</sub>'' = ''A<sub>ji</sub>''}} तब <math>\operatorname{div} (\mathbf{A}) = \nabla\cdot\mathbf A</math>. इस प्रकार अधिकांश साहित्य में दो परिभाषाओं (और प्रतीक {{math|div}} और <math>\nabla\cdot</math>) को परस्पर उपयोग किया जाता है (विशेष रूप से यांत्रिकी समीकरणों में जहां टेन्सर समरूपता मान ली जाती है)। | ||
इसकी अभिव्यक्ति <math>\nabla\cdot\mathbf A</math> लेख डेल में बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक दिए गए हैं। | |||
=== सामान्य निर्देशांक === | === सामान्य निर्देशांक === | ||
[[आइंस्टीन संकेतन]] का उपयोग करके हम [[वक्रीय निर्देशांक]] में विचलन पर विचार कर सकते हैं, जिसे हम लिखते हैं {{math|''x''<sup>1</sup>, …, ''x''<sup>''i''</sup>, …, ''x''<sup>''n''</sup>}}, | [[आइंस्टीन संकेतन]] का उपयोग करके हम [[वक्रीय निर्देशांक]] में विचलन पर विचार कर सकते हैं, जिसे हम लिखते हैं {{math|''x''<sup>1</sup>, …, ''x''<sup>''i''</sup>, …, ''x''<sup>''n''</sup>}}, जहां {{mvar|n}} डोमेन के आयामों की संख्या है। यहां, ऊपरी सूचकांक समन्वय या घटक की संख्या को संदर्भित करता है, इसलिए {{math|''x''<sup>2</sup>}} दूसरे घटक को संदर्भित करता है, न कि मात्रा को {{mvar|x}} चुकता करती हैं। सूचकांक चर {{mvar|i}} घटक को संदर्भित करने के लिए उपयोग किया जाता है, जैसे {{math|''x''<sup>''i''</sup>}}. विचलन को तब [https://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=59087 Voss] [[हरमन वेइल]] सूत्र के माध्यम से लिखा जा सकता है,<ref>{{cite web|last1=Grinfeld|first1=Pavel|title=वॉस-वेइल फॉर्मूला (यूट्यूब लिंक)|website=[[YouTube]] |url=https://www.youtube.com/watch?v=BD2AiFk651E&list=PLlXfTHzgMRULkodlIEqfgTS-H1AY_bNtq&index=23| archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211211/BD2AiFk651E| archive-date=2021-12-11 | url-status=live|access-date=9 January 2018|language=en}}{{cbignore}}</ref> जैसे: | ||
:<math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial \left(\rho\, F^i\right)}{\partial x^i},</math> | :<math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial \left(\rho\, F^i\right)}{\partial x^i},</math> | ||
जहां <math>\rho</math> आयतन तत्व का स्थानीय गुणांक है और {{math|''F<sup>i</sup>''}} के घटक हैं {{nowrap|<math>\mathbf{F}=F^i\mathbf{e}_i</math>}} स्थानीय असामान्यीकृत वक्रीय निर्देशांकों के संबंध में सहपरिवर्ती और प्रतिपरिवर्ती आधार (कभी-कभी इस रूप में लिखे जाते हैं {{nowrap|<math>\mathbf{e}_i = \partial\mathbf{x} / \partial x^i</math>)}}. आइंस्टीन नोटेशन का तात्पर्य योग से अधिक है {{mvar|i}}, क्योंकि यह ऊपरी और निचले सूचकांक दोनों के रूप में दिखाई देता है। | |||
मात्रा गुणांक {{mvar|ρ}} स्थिति का कार्य है जो समन्वय प्रणाली पर निर्भर करता है। कार्तीय, बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में, पहले की तरह ही सम्मेलनों का उपयोग करते हुए, हमारे पास क्रमशः है {{math|1=''ρ'' = 1}}, {{math|1=''ρ'' = ''r''}} और {{math|1=''ρ'' = ''r''<sup>2</sup> sin ''θ''}}, इसकी मात्रा <math display="inline">\rho = \sqrt{\left|\det g_{ab}\right|}</math> के रूप में भी इसे व्यक्त किया जा सकता है जहां {{math|''g<sub>ab</sub>''}} [[मीट्रिक टेंसर]] है। निर्धारक प्रकट होता है क्योंकि यह वैक्टर के सेट को देखते हुए मात्रा की उपयुक्त अपरिवर्तनीय परिभाषा प्रदान करता है। चूंकि निर्धारक अदिश राशि है जो सूचकांकों पर निर्भर नहीं करता है, इन्हें लिखकर दबाया जा सकता है <math display="inline">\rho=\sqrt{\left|\det g\right|}</math>. सामान्य स्थिति को संभालने के लिए पूर्ण मूल्य लिया जाता है जहां निर्धारक ऋणात्मक हो सकता है, जैसे कि छद्म-रीमैनियन रिक्त स्थान इत्यादि। वर्ग-मूल का कारण थोड़ा सूक्ष्म है: यह प्रभावी रूप से दोहरी-गिनती से बचा जाता है क्योंकि घुमावदार होने के कारण इसे कार्तीय निर्देशांक कहा जाता है। आयतन (निर्धारक) को जैकोबियन मैट्रिक्स और कार्तीय से वक्रीय निर्देशांक में परिवर्तन के निर्धारक के रूप में भी समझा जा सकता है, जिसके लिए {{math|1=''n'' = 3}} देता है {{nowrap|<math display="inline">\rho = \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial (x^1,x^2,x^3)}\right|</math>.}} | |||
कुछ परंपराएं अपेक्षा करती हैं कि सभी स्थानीय आधार तत्वों को इकाई लंबाई तक सामान्यीकृत किया जाए, जैसा कि पिछले अनुभागों में किया गया था। अगर हम लिखते हैं <math>\hat{\mathbf{e}}_i</math> सामान्यीकृत आधार के लिए, और <math>\hat{F}^i</math> के घटकों के लिए {{math|'''F'''}} इसके संबंध में, हमारे पास वह है | कुछ परंपराएं अपेक्षा करती हैं कि सभी स्थानीय आधार तत्वों को इकाई लंबाई तक सामान्यीकृत किया जाए, जैसा कि पिछले अनुभागों में किया गया था। अगर हम लिखते हैं <math>\hat{\mathbf{e}}_i</math> सामान्यीकृत आधार के लिए, और <math>\hat{F}^i</math> के घटकों के लिए {{math|'''F'''}} इसके संबंध में, हमारे पास वह है | ||
:<math>\mathbf{F}=F^i \mathbf{e}_i = | :<math>\mathbf{F}=F^i \mathbf{e}_i = | ||
| Line 131: | Line 131: | ||
F^i \sqrt{g_{ii}} \, \hat{\mathbf{e}}_i = | F^i \sqrt{g_{ii}} \, \hat{\mathbf{e}}_i = | ||
\hat{F}^i \hat{\mathbf{e}}_i,</math> | \hat{F}^i \hat{\mathbf{e}}_i,</math> | ||
मीट्रिक टेंसर के गुणों में से | [[मीट्रिक टेंसर]] के गुणों में से का उपयोग करना। अंतिम समानता के दोनों पक्षों को प्रतिपरिवर्ती तत्व के साथ डॉट करके <math>\hat{\mathbf{e}}^i</math>, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि <math display="inline">F^i = \hat{F}^i / \sqrt{g_{ii}}</math>. प्रतिस्थापित करने के बाद, सूत्र बन जाता है: | ||
:<math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \frac 1{\rho} \frac{\partial \left(\frac{\rho}{\sqrt{g_{ii}}}\hat{F}^i\right)}{\partial x^i} = | :<math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \frac 1{\rho} \frac{\partial \left(\frac{\rho}{\sqrt{g_{ii}}}\hat{F}^i\right)}{\partial x^i} = | ||
\frac 1{\sqrt{\det g}} \frac{\partial \left(\sqrt{\frac{\det g}{g_{ii}}}\,\hat{F}^i\right)}{\partial x^i}.</math> | \frac 1{\sqrt{\det g}} \frac{\partial \left(\sqrt{\frac{\det g}{g_{ii}}}\,\hat{F}^i\right)}{\partial x^i}.</math> | ||
देखो{{section link|| | देखो{{section link||वक्रीय निर्देशांक में}} आगे की चर्चा के लिए। | ||
== गुण == | == गुण == | ||
{{Main| | {{Main|वेक्टर कैल्कुलस पहचान}} | ||
निम्नलिखित सभी गुण कलन के सामान्य विभेदन नियमों से प्राप्त किए जा सकते हैं। सबसे महत्वपूर्ण बात, विचलन | निम्नलिखित सभी गुण कलन के सामान्य विभेदन नियमों से प्राप्त किए जा सकते हैं। सबसे महत्वपूर्ण बात, विचलन रैखिक संकारक है, अर्थात, | ||
:<math>\operatorname{div}(a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a \operatorname{div} \mathbf{F} + b \operatorname{div} \mathbf{G}</math> | :<math>\operatorname{div}(a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a \operatorname{div} \mathbf{F} + b \operatorname{div} \mathbf{G}</math> | ||
सभी वेक्टर क्षेत्रों के लिए {{math|'''F'''}} और {{math|'''G'''}} और सभी [[वास्तविक संख्या]]एँ {{math|''a''}} और {{math|''b''}}. | सभी वेक्टर क्षेत्रों के लिए {{math|'''F'''}} और {{math|'''G'''}} और सभी [[वास्तविक संख्या]]एँ {{math|''a''}} और {{math|''b''}}. | ||
निम्न प्रकार का | निम्न प्रकार का उत्पाद नियम है: यदि {{mvar|φ}} अदिश-मूल्यवान कार्य है और {{math|'''F'''}} सदिश क्षेत्र है, तो | ||
:<math>\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) = \operatorname{grad} \varphi \cdot \mathbf{F} + \varphi \operatorname{div} \mathbf{F},</math> | :<math>\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) = \operatorname{grad} \varphi \cdot \mathbf{F} + \varphi \operatorname{div} \mathbf{F},</math> | ||
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:<math>\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi (\nabla\cdot\mathbf{F}).</math> | :<math>\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi (\nabla\cdot\mathbf{F}).</math> | ||
दो वेक्टर क्षेत्रों के क्रॉस उत्पाद के लिए अन्य उत्पाद नियम {{math|'''F'''}} और {{math|'''G'''}} तीन आयामों में [[कर्ल (गणित)]] | दो वेक्टर क्षेत्रों के क्रॉस उत्पाद के लिए अन्य उत्पाद नियम {{math|'''F'''}} और {{math|'''G'''}} तीन आयामों में [[कर्ल (गणित)]] सम्मलित है और निम्नानुसार पढ़ता है: | ||
:<math>\operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = \operatorname{curl} \mathbf{F} \cdot\mathbf{G} - \mathbf{F} \cdot \operatorname{curl} \mathbf{G},</math> | :<math>\operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = \operatorname{curl} \mathbf{F} \cdot\mathbf{G} - \mathbf{F} \cdot \operatorname{curl} \mathbf{G},</math> | ||
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:<math>\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}).</math> | :<math>\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}).</math> | ||
अदिश क्षेत्र का [[लाप्लासियन]] क्षेत्र के [[ढाल]] का विचलन है: | |||
:<math>\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi) = \Delta\varphi.</math> | :<math>\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi) = \Delta\varphi.</math> | ||
किसी भी सदिश क्षेत्र (तीन आयामों में) के कर्ल (गणित) का विचलन शून्य के बराबर है: | किसी भी सदिश क्षेत्र (तीन आयामों में) के कर्ल (गणित) का विचलन शून्य के बराबर है: | ||
:<math>\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=0.</math> | :<math>\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=0.</math> | ||
यदि | |||