ठोस कोण: Difference between revisions
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{{short description|Measure of how large an object appears to an observer at a given point in three-dimensional space}} | {{short description|Measure of how large an object appears to an observer at a given point in three-dimensional space}} | ||
{{distinguish|गोलाकार कोण से भ्रमित नहीं होना चाहिए}} | {{distinguish|गोलाकार कोण से भ्रमित नहीं होना चाहिए}} | ||
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| name = | | name = ठोस कोण | ||
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[[ ज्यामिति ]] में, ठोस कोण (प्रतीक: {{math|Ω}})किसी विशेष बिंदु से [[ देखने के क्षेत्र |दृष्टि क्षेत्र]] की मात्रा का माप है जो किसी दिए गए | [[ ज्यामिति ]] में, '''ठोस कोण'''(प्रतीक: {{math|Ω}})किसी विशेष बिंदु से [[ देखने के क्षेत्र |दृष्टि क्षेत्र]] की मात्रा का माप है जो किसी दिए गए पिंडको कवर करता है। अर्थात्, यह एक उपाय है कि उस बिंदु से देखने वाले पर्यवेक्षक को पिंडकितनी बड़ी दिखाई देती है। जिस बिंदु से पिंडको देखा जाता है उसे ठोस कोण का शीर्ष कहा जाता है, और कहा जाता है कि पिंडउस बिंदु पर अपना ठोस कोण बनाती है। | ||
अन्तरराष्ट्रीय मात्रक प्रणाली(एसआई) में, एक ठोस कोण को विमाहीन संख्या इकाई में व्यक्त किया जाता है जिसे [[ steradian |स्टेरेडियन]] (प्रतीक: sr) कहा जाता है। स्टेरेडियन शीर्ष के चारों ओर [[ इकाई क्षेत्र |इकाई क्षेत्र]] पर इकाई वृत्त से मेल खाता है, इसलिए | अन्तरराष्ट्रीय मात्रक प्रणाली(एसआई) में, एक ठोस कोण को विमाहीन संख्या इकाई में व्यक्त किया जाता है जिसे [[ steradian |स्टेरेडियन]] (प्रतीक: sr) कहा जाता है। स्टेरेडियन शीर्ष के चारों ओर [[ इकाई क्षेत्र |इकाई क्षेत्र]] पर इकाई वृत्त से मेल खाता है, इसलिए पिंडजो शीर्ष से सभी अर्धरखा को अवरुद्ध करती है, इकाई क्षेत्र के कुल सतह क्षेत्र <math>4\pi</math> के बराबर स्टेरेडियन की संख्या को कवर करेगी। ठोस कोणों को डिग्री, मिनट और सेकंड जैसे कोणीय उपायों के वर्गों में भी मापा जा सकता है। | ||
पास की छोटी | पास की छोटी पिंडदूर की बड़ी पिंडके समान ठोस कोण अंतरित कर सकती है। उदाहरण के लिए, हालाँकि चंद्रमा सूर्य से बहुत छोटा है, यह पृथ्वी के बहुत करीब भी है। दरअसल, जैसा कि पृथ्वी पर किसी भी बिंदु से देखा जाता है, दोनों वस्तुओं में लगभग समान ठोस कोण और स्पष्ट आकार होता है। यह सूर्य ग्रहण के दौरान स्पष्ट होता है। | ||
== परिभाषा और गुण == | == परिभाषा और गुण == | ||
{{See also|गोलाकार बहुभुज क्षेत्र}} | {{See also|गोलाकार बहुभुज क्षेत्र}} | ||
स्टेरेडियन में | स्टेरेडियन में पिंडका ठोस कोण इकाई क्षेत्र के खंड के क्षेत्रफल के बराबर होता है, जो शीर्ष पर केंद्रित होता है, जो कि पिंडको कवर करता है। स्टेरेडियन में इकाई क्षेत्र के खंड का क्षेत्रफल देना रेडियन में इकाई वृत्त के चाप की लंबाई देने के समान है। जिस प्रकार रेडियन में समतलीय कोण एक चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात होता है, उसी तरह स्टेरेडियन में ठोस कोण किसी पिंडद्वारा किसी गोले पर आच्छादित क्षेत्रफल का अनुपात उक्त त्रिज्या के वर्ग वृत्त द्वारा दिए गए क्षेत्रफल से होता है। सूत्र है<math display=block>\Omega=\frac{A}{r^2},</math>जहाँ A गोलाकार सतह क्षेत्र है और r विचारित गोले की त्रिज्या है। | ||
ठोस कोण | ठोस कोण अधिकांशतः खगोल शास्त्र, भौतिकी और विशेष रूप से [[ खगोल भौतिकी |खगोल भौतिकी]] में उपयोग किए जाते हैं। किसी पिंडका ठोस कोण जो बहुत दूर है, क्षेत्रफल से वर्ग दूरी के अनुपात के अनुपात में होता है। यहाँ क्षेत्र का अर्थ पिंडका वह क्षेत्र है जब उसे देखने की दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है। | ||
[[Image:Solid_Angle,_1_Steradian.svg|thumb|एक गोले पर कोई भी क्षेत्र जो इसके त्रिज्या के वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है, जब इसके केंद्र से देखा जाता है, तो ठीक एक स्टेरेडियन अंतरित होता है।]] | [[Image:Solid_Angle,_1_Steradian.svg|thumb|एक गोले पर कोई भी क्षेत्र जो इसके त्रिज्या के वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है, जब इसके केंद्र से देखा जाता है, तो ठीक एक स्टेरेडियन अंतरित होता है।]]गोले का ठोस कोण इसके आंतरिक भाग में किसी भी बिंदु 4π sr से मापा जाता है, और घन के केंद्र पर उसके फलक द्वारा अंतरित ठोस कोण उसका एक-छठा है, या {{sfrac|2{{pi}}|3}} sr है। ठोस कोणों को वर्ग डिग्री में भी मापा जा सकता है (1 sr = {{pars|s=200%|{{sfrac|180|{{pi}}}}}}<sup>2</sup> वर्ग डिग्री), वर्ग मिनट और वर्ग सेकंड में, या गोले के अंशों में (1 sr = {{sfrac|1|4{{pi}}}} आंशिक क्षेत्र), जिसे[[ विवाद (इकाई) | स्पैट (इकाई) (]]1 sp = 4π sr) के रूप में भी जाना जाता है। | ||
गोलीय निर्देशांक में अवकल के लिए एक सूत्र है, | गोलीय निर्देशांक में अवकल के लिए एक सूत्र है, | ||
<math display=block>d\Omega = \sin\theta\,d\theta\,d\varphi,</math> | <math display=block>d\Omega = \sin\theta\,d\theta\,d\varphi,</math> | ||
जहां {{mvar|θ}} अक्षांश (उत्तरी ध्रुव से कोण) है और {{mvar|φ}} देशांतर है। | |||
यादृच्छिक [[ उन्मुख सतह |उन्मुख सतह]] {{mvar|S}} के लिए बिंदु {{mvar|P}} पर अंतरित ठोस कोण सतह {{mvar|S}} के केंद्र {{mvar|P}}, के साथ इकाई क्षेत्र के प्रक्षेपण के ठोस कोण के बराबर है, जिसकी गणना [[ सतह अभिन्न |सतह समाकलन]] के रूप में की जा सकती है: | |||
<math display=block>\Omega = \iint_S \frac{ \hat{r} \cdot \hat{n}}{r^2}\,dS \ = \iint_S \sin\theta\,d\theta\,d\varphi,</math> | <math display=block>\Omega = \iint_S \frac{ \hat{r} \cdot \hat{n}}{r^2}\,dS \ = \iint_S \sin\theta\,d\theta\,d\varphi,</math> | ||
जहां <math>\hat{r} = \vec{r} / r</math> के अनुरूप इकाई सदिश है <math> \vec{r} </math>, बिंदु {{mvar|P}} के संबंध में सतह {{math|''dS''}} के अतिसूक्ष्म क्षेत्र की[[ स्थिति वेक्टर | स्थिति सदिश]] और जहाँ <math> \hat{n} </math>, {{math|''dS''}} को इकाई [[ सामान्य वेक्टर |सामान्य सदिश]] का प्रतिनिधित्व करता है। यहां तक कि | जहां <math>\hat{r} = \vec{r} / r</math> के अनुरूप इकाई सदिश है <math> \vec{r} </math>, बिंदु {{mvar|P}} के संबंध में सतह {{math|''dS''}} के अतिसूक्ष्म क्षेत्र की[[ स्थिति वेक्टर | स्थिति सदिश]] और जहाँ <math> \hat{n} </math>, {{math|''dS''}} को इकाई [[ सामान्य वेक्टर |सामान्य सदिश]] का प्रतिनिधित्व करता है। यहां तक कि यदि इकाई क्षेत्र पर सतह {{mvar|S}} पर प्रक्षेपण [[ समरूपी |समरूपी]] नहीं है, तो अदिश गुणनफल <math>\hat{r} \cdot \hat{n}</math> है। | ||
इस प्रकार कोई | इस प्रकार कोई भी छोटे से पहलू द्वारा अंतरित ठोस कोण का अनुमान लगा सकता है जिसमें सपाट सतह क्षेत्र {{math|''dS''}}, अभिविन्यास <math>\hat{n}</math>, दर्शक से {{math|''r''}} दूरी इस प्रकार है: | ||
<math display=block>d\Omega = 4 \pi \left(\frac{dS}{A}\right) \, (\hat{r} \cdot \hat{n}),</math> | <math display=block>d\Omega = 4 \pi \left(\frac{dS}{A}\right) \, (\hat{r} \cdot \hat{n}),</math> | ||
जहां [[ एक गोले का सतह क्षेत्र | गोले का सतह क्षेत्र]] {{math|1=''A'' = 4{{pi}}''r''<sup>2</sup>}} है। | जहां [[ एक गोले का सतह क्षेत्र |गोले का सतह क्षेत्र]] {{math|1=''A'' = 4{{pi}}''r''<sup>2</sup>}} है। | ||
== व्यावहारिक अनुप्रयोग == | == व्यावहारिक अनुप्रयोग == | ||
*[[ चमक | | *[[ चमक |दीप्त]] तीव्रता और दीप्त को परिभाषित करना, और संबंधित विकिरणमापी मात्राएं विकिरक तीव्रता और विकिरक | ||
*[[ गोलाकार त्रिभुज |गोलाकार त्रिभुज]] के गोलाकार अतिरिक्त {{math|''E''}} की गणना करना | *[[ गोलाकार त्रिभुज |गोलाकार त्रिभुज]] के गोलाकार अतिरिक्त {{math|''E''}} की गणना करना | ||
* [[ सीमा तत्व विधि ]] (बीईएम) का उपयोग करके क्षमता की गणना | * [[ सीमा तत्व विधि | सीमा तत्व विधि]] (बीईएम) का उपयोग करके क्षमता की गणना | ||
* धातु परिसरों में [[ लिगेंड | लिगेंड]] के आकार का मूल्यांकन, लिगैंड शंकु कोण देखें | * धातु परिसरों में [[ लिगेंड |लिगेंड]] के आकार का मूल्यांकन, लिगैंड शंकु कोण देखें | ||
* चार्ज वितरण के आसपास [[ विद्युत क्षेत्र ]] और [[ चुंबकीय क्षेत्र ]] की ताकत की गणना करना | * चार्ज वितरण के आसपास [[ विद्युत क्षेत्र |विद्युत क्षेत्र]] और [[ चुंबकीय क्षेत्र |चुंबकीय क्षेत्र]] की ताकत की गणना करना | ||
*गॉस के नियम की व्युत्पत्ति | *गॉस के नियम की व्युत्पत्ति | ||
* गर्मी हस्तांतरण में उत्सर्जक शक्ति और विकिरण की गणना | * गर्मी हस्तांतरण में उत्सर्जक शक्ति और विकिरण की गणना | ||
* [[ रदरफोर्ड बिखराव ]] में | * [[ रदरफोर्ड बिखराव | रदरफोर्ड प्रभाव]] में अनुप्रस्थ काट की गणना करना | ||
* [[ रमन बिखरना ]] में | * [[ रमन बिखरना | रमण प्रभाव]] में अनुप्रस्थ काट की गणना करना | ||
* [[ प्रकाशित तंतु ]] के [[ स्वीकृति शंकु ]] का ठोस कोण | * [[ प्रकाशित तंतु | प्रकाशित तंतु]] के [[ स्वीकृति शंकु |स्वीकृति शंकु]] का ठोस कोण | ||
== सामान्य वस्तुओं के लिए ठोस कोण == | == सामान्य वस्तुओं के लिए ठोस कोण == | ||
=== शंकु, गोलाकार | === शंकु, गोलाकार कैप, गोलार्ध === | ||
[[Image:Steradian cone and cap.svg|thumb|right|250px|एक गोले के अंदर शंकु (1) और गोलाकार | [[Image:Steradian cone and cap.svg|thumb|right|250px|एक गोले के अंदर शंकु (1) और गोलाकार कैप (2) का खंड। इस आंकड़े में {{math|''θ'' {{=}} ''A''/2}} और {{math|''r'' {{=}} 1}}.]]ठोस कोण के शीर्ष पर [[ शंकु (ज्यामिति) |शंकु (ज्यामिति)]] का ठोस कोण, और [[ शीर्ष (ज्यामिति) |शीर्ष (ज्यामिति)]] कोण 2{{math|''θ''}} के साथ, इकाई गोले पर[[ गोलाकार टोपी | गोलाकार कैप]] का क्षेत्रफल है | ||
<math display=block>\Omega = 2\pi \left (1 - \cos\theta \right)\ = 4\pi \sin^2 \frac{\theta}{2}.</math> | <math display=block>\Omega = 2\pi \left (1 - \cos\theta \right)\ = 4\pi \sin^2 \frac{\theta}{2}.</math> | ||
छोटे{{math|''θ''}} के लिए जैसे कि{{math|cos ''θ'' ≈ 1 − ''θ''<sup>2</sup>/2}} यह {{math|π''θ''<sup>2</sup>}}, | छोटे {{math|''θ''}} के लिए जैसे कि {{math|cos ''θ'' ≈ 1 − ''θ''<sup>2</sup>/2}} यह {{math|π''θ''<sup>2</sup>}}, वृत्त का क्षेत्रफल कम हो जाता है। | ||
उपरोक्त गोलाकार निर्देशांक में इकाई सतह तत्व का उपयोग करके निम्नलिखित [[ दोहरा अभिन्न |दोहरा | उपरोक्त गोलाकार निर्देशांक में इकाई सतह तत्व का उपयोग करके निम्नलिखित [[ दोहरा अभिन्न |दोहरा समाकलन]] की गणना करके पाया जाता है: | ||
<math display=block>\begin{align} | <math display=block>\begin{align} | ||
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&= 2\pi\left(1 - \cos\theta \right). | &= 2\pi\left(1 - \cos\theta \right). | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
यह सूत्र बिना कलन के भी निकाला जा सकता है। 2200 साल पहले [[ आर्किमिडीज |आर्किमिडीज]]ने | यह सूत्र बिना कलन के भी निकाला जा सकता है। 2200 साल पहले [[ आर्किमिडीज |आर्किमिडीज]] ने सिद्ध किया कि गोलाकार कैप का सतह क्षेत्र हमेशा वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर होता है, जिसकी त्रिज्या गोलाकार कैप के रिम से उस बिंदु तक की दूरी के बराबर होती है, जहां कैप की समरूपता की अक्ष कैप को काटती है।<ref>{{cite journal |year = 2015 |title = Archimedes on Spheres and Cylinders |journal = Math Pages |url = http://www.mathpages.com/home/kmath343/kmath343.htm}}</ref> आरेख में इस त्रिज्या के रूप में दिया गया है | ||
<math display=block> 2r \sin \frac{\theta}{2}. </math> | <math display=block> 2r \sin \frac{\theta}{2}. </math> | ||
अतः | अतः इकाई गोले के लिए गोलाकार कैप का ठोस कोण इस प्रकार दिया जाता है | ||
<math display=block> \Omega = 4\pi \sin^2 \frac{\theta}{2} = 2\pi \left (1 - \cos\theta \right). </math> | <math display=block> \Omega = 4\pi \sin^2 \frac{\theta}{2} = 2\pi \left (1 - \cos\theta \right). </math> | ||
जब {{math|''θ''}} = {{sfrac|{{pi}}|2}}, , गोलीय | जब {{math|''θ''}} = {{sfrac|{{pi}}|2}}, , गोलीय कैप 2{{pi}} ठोस कोण वाला अर्धगोला बन जाती है। | ||
शंकु के पूरक का ठोस कोण है | शंकु के पूरक का ठोस कोण है | ||
<math display=block>4\pi - \Omega = 2\pi \left(1 + \cos\theta \right) = 4\pi\cos^2 \frac{\theta}{2}.</math> | <math display=block>4\pi - \Omega = 2\pi \left(1 + \cos\theta \right) = 4\pi\cos^2 \frac{\theta}{2}.</math> | ||
यह | यह खगोलीय गोले के उस भाग का ठोस कोण भी है जिसे अक्षांश {{math|''θ''}} पर स्थित खगोलीय प्रेक्षक पृथ्वी के घूर्णन के रूप में देख सकता है। भूमध्य रेखा पर सभी खगोलीय गोले दिखाई देते हैं, किसी भी ध्रुव पर, केवल आधा। | ||
शंकु के अक्ष से कोण {{mvar|''γ''}} पर | शंकु के अक्ष से कोण {{mvar|''γ''}} पर समतल द्वारा काटे गए गोलाकार कैप के खंड द्वारा अंतरित ठोस कोण और शंकु के शीर्ष से गुजरते हुए सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है<ref name = Mazonka>{{cite arXiv |last = Mazonka |first = Oleg |year = 2012 |title = Solid Angle of Conical Surfaces, Polyhedral Cones, and Intersecting Spherical Caps |eprint=1205.1396 |class = math.MG}}</ref> | ||
<math display=block> \Omega = 2 \left[ \arccos \left(\frac{\sin\gamma}{\sin\theta}\right) - \cos\theta \arccos\left(\frac{\tan\gamma}{\tan\theta}\right) \right]. </math> | <math display=block> \Omega = 2 \left[ \arccos \left(\frac{\sin\gamma}{\sin\theta}\right) - \cos\theta \arccos\left(\frac{\tan\gamma}{\tan\theta}\right) \right]. </math> | ||
उदाहरण के लिए, यदि {{math|1=''γ'' = −''θ''}}, तो सूत्र उपरोक्त गोलाकार | उदाहरण के लिए, यदि {{math|1=''γ'' = −''θ''}}, तो सूत्र उपरोक्त गोलाकार कैप सूत्र में कम हो जाता है: पहला शब्द {{pi}},बन जाता है, और दूसरा {{math|{{pi}} cos ''θ''}} बन जाता है। | ||
=== [[ चतुर्पाश्वीय ]] === | === [[ चतुर्पाश्वीय ]] === | ||
बता दें कि OABC | बता दें कि OABC चतुष्फलक का शीर्ष है जिसकी उत्पत्ति O पर है और त्रिकोणीय फलक ABC द्वारा अंतरित है, जहां <math>\vec a\ ,\, \vec b\ ,\, \vec c </math> शीर्षों A, B और C की सदिश स्थितियाँ हैं। [[ शीर्ष कोण |शीर्ष कोण]] {{mvar|θ<sub>a</sub>}} परिभाषित करें कोण BOC होना और तदनुसार {{mvar|θ<sub>b</sub>}}, {{mvar|θ<sub>c</sub>}} को परिभाषित करना। मान लीजिए कि <math>\phi_{ab}</math> उन समतलों के बीच [[ द्वितल कोण |द्वितल कोण]] हैं जिनमें चतुष्फलकीय फलक OAC और OBC होते हैं और <math>\phi_{ac}</math>, <math>\phi_{bc}</math> को परिभाषित करते हैं। त्रिकोणीय सतह ABC द्वारा अंतरित ठोस कोण {{math|Ω}} द्वारा दिया गया है | ||
<math display=block> \Omega = \left(\phi_{ab} + \phi_{bc} + \phi_{ac}\right)\ - \pi.</math> | <math display=block> \Omega = \left(\phi_{ab} + \phi_{bc} + \phi_{ac}\right)\ - \pi.</math> | ||
यह [[ गोलाकार अधिकता | गोलाकार]] | यह [[ गोलाकार अधिकता |गोलाकार]] आधिक्य के सिद्धांत से अनुसरण करता है और यह इस तथ्य की ओर जाता है कि प्रमेय के अनुरूप प्रमेय है कि "प्लैनर त्रिकोण के आंतरिक कोणों का योग {{pi}}, के बराबर है", के चार आंतरिक ठोस कोणों के योग के लिए चतुष्फलक इस प्रकार है: | ||
<math display=block> \sum_{i=1}^4 \Omega_i = 2 \sum_{i=1}^6 \phi_i\ - 4 \pi,</math> | <math display=block> \sum_{i=1}^4 \Omega_i = 2 \sum_{i=1}^6 \phi_i\ - 4 \pi,</math> | ||
जहां <math>\phi_i</math> चतुष्फलकीय फलक OAB, OAC, OBC और ABC वाले किन्हीं भी दो तलों के बीच सभी छह द्वितल कोणों की श्रेणी में होते हैं।<ref>{{cite journal |last1=Hopf |first1=Heinz |title=Selected Chapters of Geometry |journal=ETH Zurich |date=1940 |pages=1–2 |url=http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/Other/hopf-samelson.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20180921122755/http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/Other/hopf-samelson.pdf |archive-date=2018-09-21 |url-status=live}}</ref> | जहां <math>\phi_i</math> चतुष्फलकीय फलक OAB, OAC, OBC और ABC वाले किन्हीं भी दो तलों के बीच सभी छह द्वितल कोणों की श्रेणी में होते हैं।<ref>{{cite journal |last1=Hopf |first1=Heinz |title=Selected Chapters of Geometry |journal=ETH Zurich |date=1940 |pages=1–2 |url=http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/Other/hopf-samelson.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20180921122755/http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/Other/hopf-samelson.pdf |archive-date=2018-09-21 |url-status=live}}</ref> | ||
मूल O पर चतुष्फलक के ठोस कोण की गणना के लिए | मूल O पर चतुष्फलक के ठोस कोण की गणना के लिए उपयोगी सूत्र जो विशुद्ध रूप से शीर्ष कोणों {{mvar|θ<sub>a</sub>}}, {{mvar|θ<sub>b</sub>}}, {{mvar|θ<sub>c</sub>}} का फलन है, ल'हुइलियर के प्रमेय द्वारा दिया गया है<ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/LHuiliersTheorem.html|title=L'Huilier's Theorem – from Wolfram MathWorld |publisher=Mathworld.wolfram.com |date=2015-10-19|access-date=2015-10-19}}</ref><ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/SphericalExcess.html|title=Spherical Excess – from Wolfram MathWorld |publisher=Mathworld.wolfram.com |date=2015-10-19|access-date=2015-10-19}}</ref> जैसा | ||
<math display="block"> \tan \left( \frac{1}{4} \Omega \right) = | <math display="block"> \tan \left( \frac{1}{4} \Omega \right) = | ||
\sqrt{ \tan \left( \frac{\theta_s}{2}\right) \tan \left( \frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \tan \left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \tan \left(\frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)}, </math> | \sqrt{ \tan \left( \frac{\theta_s}{2}\right) \tan \left( \frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \tan \left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \tan \left(\frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)}, </math> | ||
जहां | |||
<math display=block> \theta_s = \frac {\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}. </math> | <math display=block> \theta_s = \frac {\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}. </math> | ||
एक | एक सूत्र में 3 आयामी समष्टि में शिखरों को सदिश के रूप में व्यक्त करना सम्मलित है। मान लीजिए <math>\vec a\ ,\, \vec b\ ,\, \vec c </math> शीर्षों A, B और C की सदिश स्थितियाँ हैं, और {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, और {{mvar|c}} प्रत्येक सदिश (मूल-बिंदु दूरी) का परिमाण हैं। त्रिकोणीय सतह ABC द्वारा अंतरित ठोस कोण {{math|Ω}} है:<ref>{{cite journal| first=Folke| last=Eriksson| title= On the measure of solid angles| journal= Math. Mag.| volume=63|issue=3|pages=184–187|year=1990| doi=10.2307/2691141| jstor=2691141}}</ref><ref>{{cite journal| last = Van Oosterom| first = A|author2=Strackee, J | year = 1983| title = The Solid Angle of a Plane Triangle| journal = IEEE Trans. Biomed. Eng.| volume = BME-30| issue = 2| pages = 125–126| doi = 10.1109/TBME.1983.325207| pmid = 6832789| s2cid = 22669644}}</ref> | ||
<math display=block>\tan \left( \frac{1}{2} \Omega \right) = | <math display=block>\tan \left( \frac{1}{2} \Omega \right) = | ||
\frac{\left|\vec a\ \vec b\ \vec c\right|}{abc + \left(\vec a \cdot \vec b\right)c + \left(\vec a \cdot \vec c\right)b + \left(\vec b \cdot \vec c\right)a}, | \frac{\left|\vec a\ \vec b\ \vec c\right|}{abc + \left(\vec a \cdot \vec b\right)c + \left(\vec a \cdot \vec c\right)b + \left(\vec b \cdot \vec c\right)a}, | ||
</math> | </math> | ||
जहां | |||
<math display=block>\left|\vec a\ \vec b\ \vec c\right|=\vec a \cdot (\vec b \times \vec c)</math> | <math display=block>\left|\vec a\ \vec b\ \vec c\right|=\vec a \cdot (\vec b \times \vec c)</math> | ||
तीन | तीन सदिश के [[ ट्रिपल उत्पाद |त्रिक गुणनफल]] को दर्शाता है और <math>\vec a \cdot \vec b</math> अदिश गुणनफल को दर्शाता है। | ||
ऋणात्मक या गलत ठोस कोणों से बचने के लिए यहां सावधानी बरतनी चाहिए। संभावित त्रुटियों का स्रोत यह है कि अदिश त्रिक गुणनफल ऋणात्मक हो सकता है यदि {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}} गलत निर्धारक है। कम्प्यूटिंग एक पर्याप्त समाधान है क्योंकि समीकरण का कोई अन्य भाग आवलन पर निर्भर नहीं करता है। दूसरा नुकसान तब होता है जब अदिश त्रिक गुणनफल धनात्मक होता है लेकिन विभाजक ऋणात्मक होता है। इस मामले में ऋणात्मक मान देता है जिसे {{pi}} से बढ़ाया जाना चाहिए। | |||
===पिरामिड=== | ===पिरामिड=== | ||
शीर्ष कोण{{mvar|a}} और {{mvar|b}} (पिरामिड के विपरीत दिशा के चेहरों को मापा गया | शीर्ष कोण {{mvar|a}} और {{mvar|b}} (पिरामिड के विपरीत दिशा के चेहरों को मापा गया द्वितल कोण) के साथ चार-तरफा समकोणीय [[ पिरामिड (ज्यामिति) |पिरामिड (ज्यामिति)]] का ठोस कोण है | ||
<math display=block>\Omega = 4 \arcsin \left( \sin \left({a \over 2}\right) \sin \left({b \over 2}\right) \right). </math> | <math display=block>\Omega = 4 \arcsin \left( \sin \left({a \over 2}\right) \sin \left({b \over 2}\right) \right). </math> | ||
यदि पिरामिड के आधार की दोनों ओर की लंबाई ({{math|''α''}} और {{math|''β''}})और आधार आयत के केंद्र से पिरामिड के शीर्ष (गोले का केंद्र) तक की दूरी({{math|''d''}}) ज्ञात हो, तो उपरोक्त समीकरण हो सकता है देने के लिए हेरफेर किया जाना | यदि पिरामिड के आधार की दोनों ओर की लंबाई ({{math|''α''}} और {{math|''β''}}) और आधार आयत के केंद्र से पिरामिड के शीर्ष (गोले का केंद्र) तक की दूरी ({{math|''d''}}) ज्ञात हो, तो उपरोक्त समीकरण हो सकता है देने के लिए हेरफेर किया जाना | ||
<math display=block>\Omega = 4 \arctan \frac {\alpha\beta} {2d\sqrt{4d^2 + \alpha^2 + \beta^2}}. </math> | <math display=block>\Omega = 4 \arctan \frac {\alpha\beta} {2d\sqrt{4d^2 + \alpha^2 + \beta^2}}. </math> | ||
समकोण {{mvar|n}}-गोनल पिरामिड का ठोस कोण, जहाँ पिरामिड का आधार परिवृत्त{{mvar|r}} का एक नियमित {{mvar|n}}पक्षीय बहुभुज है, एक पिरामिड ऊँचाई {{mvar|h}} के साथ है | समकोण {{mvar|n}}-गोनल पिरामिड का ठोस कोण, जहाँ पिरामिड का आधार परिवृत्त {{mvar|r}} का एक नियमित {{mvar|n}} पक्षीय बहुभुज है, एक पिरामिड ऊँचाई {{mvar|h}} के साथ है | ||
<math display=block>\Omega = 2\pi - 2n \arctan\left(\frac {\tan \left({\pi\over n}\right)}{\sqrt{1 + {r^2 \over h^2}}} \right). </math> | <math display=block>\Omega = 2\pi - 2n \arctan\left(\frac {\tan \left({\pi\over n}\right)}{\sqrt{1 + {r^2 \over h^2}}} \right). </math> | ||
किनारों {{math|{''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>}, ... ''s''<sub>''n''</sub>}} का प्रतिनिधित्व करने वाले इकाई | किनारों {{math|{''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>}, ... ''s''<sub>''n''</sub>}} का प्रतिनिधित्व करने वाले इकाई सदिश के अनुक्रम द्वारा परिभाषित {{math|''n''}} पक्षीय आधार के साथ यादृच्छिक पिरामिड का ठोस कोण कुशलता से गणना की जा सकती है:<ref name ="Mazonka"/> | ||
<math display=block> \Omega = 2\pi - \arg \prod_{j=1}^{n} \left( | <math display=block> \Omega = 2\pi - \arg \prod_{j=1}^{n} \left( | ||
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\right). | \right). | ||
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जहाँ कोष्ठक (* *) | जहाँ कोष्ठक (* *) अदिश गुणनफल है और वर्गाकार कोष्ठक [* * *] त्रिगुणात्मक गुणनफल है, और {{mvar|i}} [[ काल्पनिक इकाई | काल्पनिक इकाई]] है। सूचकांकों का चक्रण किया जाता है: {{math|''s''<sub>0</sub> {{=}} ''s''<sub>''n''</sub>}} और {{math|''s''<sub>1</sub> {{=}} ''s''<sub>''n'' + 1</sub>}}। जटिल गुणनफल बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष कोण से जुड़े चरण को जोड़ते हैं। चूंकि,<math>2\pi</math> का गुणक <math>\arg</math> के ब्रांच कट में खो गया है और इसे अलग से मार्ग किया जाना चाहिए। इसके अतिरिक्त, जटिल चरणों के चलने वाले गुणनफल को लगभग समांतर खंडों की सीमा में अधः प्रवाह से बचने के लिए कभी-कभी बढ़ाया जाना चाहिए। | ||
=== अक्षांश-देशांतर आयत === | === अक्षांश-देशांतर आयत === | ||
[[ ग्लोब | ग्लोब]] पर | [[ ग्लोब | ग्लोब]] पर अक्षांश-देशांतर आयत का ठोस कोण होता है | ||
<math display=block>\left ( \sin \phi_\mathrm{N} - \sin \phi_\mathrm{S} \right ) \left ( \theta_\mathrm{E} - \theta_\mathrm{W} \,\! \right)\;\mathrm{sr},</math> | <math display=block>\left ( \sin \phi_\mathrm{N} - \sin \phi_\mathrm{S} \right ) \left ( \theta_\mathrm{E} - \theta_\mathrm{W} \,\! \right)\;\mathrm{sr},</math> | ||
जहाँ {{math|''φ''<sub>N</sub>}} और {{math|''φ''<sub>S</sub>}} [[ अक्षांश | अक्षांश]]उत्तर और दक्षिण रेखाएँ हैं ([[ भूमध्य रेखा |भूमध्य रेखा]]से रेडियन में उत्तर की ओर बढ़ते कोण के साथ मापा जाता है), और {{math|''θ''<sub>E</sub>}} और {{math|''θ''<sub>W</sub>}} देशांतर की पूर्व और पश्चिम रेखाएँ हैं (जहाँ रेडियन में कोण पूर्व की ओर बढ़ता है)।<ref>{{cite journal| year = 2003| title = Area of a Latitude-Longitude Rectangle| journal = The Math Forum @ Drexel| url = http://mathforum.org/library/drmath/view/63767.html}}</ref> गणितीय रूप से, यह कोण {{math|''ϕ''<sub>N</sub> − ''ϕ''<sub>S</sub>}} के | जहाँ {{math|''φ''<sub>N</sub>}} और {{math|''φ''<sub>S</sub>}} [[ अक्षांश |अक्षांश]] उत्तर और दक्षिण रेखाएँ हैं ([[ भूमध्य रेखा |भूमध्य रेखा]] से रेडियन में उत्तर की ओर बढ़ते कोण के साथ मापा जाता है), और {{math|''θ''<sub>E</sub>}} और {{math|''θ''<sub>W</sub>}} देशांतर की पूर्व और पश्चिम रेखाएँ हैं (जहाँ रेडियन में कोण पूर्व की ओर बढ़ता है)।<ref>{{cite journal| year = 2003| title = Area of a Latitude-Longitude Rectangle| journal = The Math Forum @ Drexel| url = http://mathforum.org/library/drmath/view/63767.html}}</ref> गणितीय रूप से, यह कोण {{math|''ϕ''<sub>N</sub> − ''ϕ''<sub>S</sub>}} के चाप का प्रतिनिधित्व करता है जो {{math|''θ''<sub>E</sub> − ''θ''<sub>W</sub>}}रेडियन द्वारा गोले के चारों ओर घूमता है। जब देशांतर 2{{pi}} रेडियन तक फैला होता है और अक्षांश {{pi}} रेडियन तक फैला होता है, तो ठोस कोण गोले का होता है। | ||
अक्षांश-देशांतर आयत को आयताकार पिरामिड के ठोस कोण से भ्रमित नह | |||