फंक्टर: Difference between revisions

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गणित में, विशेष रूप से [[ श्रेणी सिद्धांत ]], एक फंक्शनर [[ श्रेणी (गणित) ]] के बीच एक नक्शा (गणित) है।फंक्शनर्स को पहले बीजगणितीय टोपोलॉजी में माना जाता था, जहां बीजगणितीय वस्तुएं (जैसे [[ मौलिक समूह ]]) [[ सामयिक स्थान ]] स्थान से जुड़े होते हैं, और इन बीजीय वस्तुओं के बीच के नक्शे रिक्त स्थान के बीच निरंतर फ़ंक्शन मानचित्रों से जुड़े होते हैं।आजकल, विभिन्न श्रेणियों से संबंधित करने के लिए आधुनिक गणित में फंक्शनर्स का उपयोग किया जाता है।इस प्रकार, गणित के भीतर सभी क्षेत्रों में फंक्शनर्स महत्वपूर्ण हैं, जिसमें श्रेणी सिद्धांत लागू किया जाता है।
गणित में, विशेष रूप से [[ श्रेणी सिद्धांत |श्रेणी सिद्धांत]] , क्रियात्मकता [[ श्रेणी (गणित) |श्रेणी (गणित)]] के बीच नक्शा (गणित) है। क्रियात्मकता को पहले बीजगणितीय टोपोलॉजी में माना जाता था, जहां बीजगणितीय वस्तुएं (जैसे [[ मौलिक समूह |मौलिक समूह]] ) [[ सामयिक स्थान |सामयिक स्थान]] स्थान से जुड़े होते हैं, और इन बीजीय वस्तुओं के बीच के नक्शे रिक्त स्थान के बीच निरंतर फ़ंक्शन मानचित्रों से जुड़े होते हैं। आजकल, विभिन्न श्रेणियों से संबंधित करने के लिए आधुनिक गणित में क्रियात्मकता का उपयोग किया जाता है।इस प्रकार, गणित के भीतर सभी क्षेत्रों में क्रियात्मकता महत्वपूर्ण हैं, जिसमें श्रेणी सिद्धांत लागू किया जाता है।


शब्द '' श्रेणी '' और '' फंक्शनर '' क्रमशः दार्शनिकों [[ अरस्तू ]] और [[ रुडोल्फ कार्नाप ]] के गणितज्ञों द्वारा उधार लिए गए थे।<ref>{{citation|first1=Saunders|last1=Mac Lane|author-link1=Saunders Mac Lane|title=Categories for the Working Mathematician|publisher=Springer-Verlag|location=New York|year=1971|isbn=978-3-540-90035-1|page=30}}</ref> उत्तरार्द्ध एक भाषाविज्ञान संदर्भ में फंक्शनर का इस्तेमाल किया;<ref>[[Rudolf Carnap|Carnap, Rudolf]] (1937). ''The Logical Syntax of Language'', Routledge & Kegan, pp.&nbsp;13–14.</ref>
शब्द ''श्रेणी'' और ''क्रियात्मकता'' क्रमशः दार्शनिकों [[ अरस्तू |अरस्तू]] और [[ रुडोल्फ कार्नाप |रुडोल्फ कार्नाप]] के गणितज्ञों द्वारा उधार लिए गए थे।<ref>{{citation|first1=Saunders|last1=Mac Lane|author-link1=Saunders Mac Lane|title=Categories for the Working Mathematician|publisher=Springer-Verlag|location=New York|year=1971|isbn=978-3-540-90035-1|page=30}}</ref> उत्तरार्द्ध भाषाविज्ञान संदर्भ में क्रियात्मकता का उपयोग किया, <ref>[[Rudolf Carnap|Carnap, Rudolf]] (1937). ''The Logical Syntax of Language'', Routledge & Kegan, pp.&nbsp;13–14.</ref> इसके लिए फ़ंक्शन शब्द देखें।
फ़ंक्शन शब्द देखें।


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
[[File:Functor.svg|thumb|फंक्टर <math>F</math> मॉर्फिज्म की रचना को संरक्षित करना चाहिए <math>\tau</math> और <math>\sigma</math>]]C और D को श्रेणी (गणित) होने दें।C से D तक एक 'फ़नक्टर' F एक मैपिंग है{{sfnp|Jacobson|2009|loc=p. 19, def. 1.2}}
[[File:Functor.svg|thumb|फंक्टर <math>F</math> मॉर्फिज्म की रचना को संरक्षित करना चाहिए <math>\tau</math> और <math>\sigma</math>]]C और D को श्रेणी (गणित) में C से D तक 'क्रियात्मकता' F मैपिंग है{{sfnp|Jacobson|2009|loc=p. 19, def. 1.2}}
* प्रत्येक वस्तु को संबद्ध करता है <math>X</math> किसी वस्तु के लिए सी में <math>F(X)</math> डी में,
* प्रत्येक वस्तु को संबद्ध करता है <math>X</math> किसी वस्तु के लिए सी में <math>F(X)</math> डी में,
* प्रत्येक रूपांतरण को संबद्ध करता है <math>f \colon X \to Y</math> सी में एक मॉर्फिज्म <math>F(f) \colon F(X) \to F(Y)</math> डी में ऐसा है कि निम्नलिखित दो शर्तें हैं:
* प्रत्येक रूपांतरण को संबद्ध करता है <math>f \colon X \to Y</math> C में मॉर्फिज्म <math>F(f) \colon F(X) \to F(Y)</math> D में ऐसा है कि निम्नलिखित दो शर्तें हैं:
** <math>F(\mathrm{id}_{X}) = \mathrm{id}_{F(X)}\,\!</math> हर वस्तु के लिए <math>X</math> सी में,
** <math>F(\mathrm{id}_{X}) = \mathrm{id}_{F(X)}\,\!</math> हर वस्तु के लिए <math>X</math> C में,
** <math>F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)</math> सभी रूपों के लिए <math>f \colon X \to Y\,\!</math> और <math>g \colon Y\to Z</math> सी।
** <math>F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)</math> सभी रूपों के लिए <math>f \colon X \to Y\,\!</math> और <math>g \colon Y\to Z</math> C।


अर्थात्, फंक्शनर्स को मॉर्फिज्म की रूपरेखा को संरक्षित करना चाहिए और मॉर्फिज़्म की फ़ंक्शन रचना।
अर्थात क्रियात्मकता को मॉर्फिज्म की रूपरेखा को संरक्षित करना चाहिए और मॉर्फिज़्म की फ़ंक्शन रचना को प्रदर्शित करते हैं।


=== सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन ===
=== सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन ===
{{See also|Covariance and contravariance (computer science)}}
{{See also|सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण (कंप्यूटर विज्ञान)}}
गणित में कई निर्माण हैं जो फंक्शनर होंगे लेकिन इस तथ्य के लिए कि वे आकारिकी को चारों ओर घुमाएंगे और संरचना को उल्टा कर देते हैं।हम तब एक कॉन्ट्रैवेरियनट फनक्टर '' f '' को '' C '' से '' D '' से एक मैपिंग के रूप में परिभाषित करते हैं
*प्रत्येक वस्तु को संबद्ध करता है <math>X</math> एक वस्तु के साथ C में <math>F(X)</math> डी में,
*प्रत्येक रूपांतरण को संबद्ध करता है <math>f \colon X\to Y</math> एक मॉर्फिज्म के साथ सी में <math>F(f) \colon F(Y) \to F(X)</math> डी में ऐसा है कि निम्नलिखित दो शर्तें हैं:
**<math>F(\mathrm{id}_X) = \mathrm{id}_{F(X)}\,\!</math> हर वस्तु के लिए <math>X</math> सी में,
**<math>F(g \circ f) = F(f) \circ F(g)</math> सभी रूपों के लिए <math>f \colon X\to Y</math> और <math>g \colon Y\to Z</math> सी।


ध्यान दें कि कॉन्ट्रैवेरिएंट फंक्शनर्स रचना की दिशा को उलटते हैं।
गणित में कई निर्माण हैं जो क्रियात्मक होंगे लेकिन इस तथ्य के लिए कि वे आकारिकी को चारों ओर घुमाएंगे और संरचना को व्युत्क्रम रूप में परिवर्तित कर देती हैं। हम तब कॉन्ट्रैवेरियनट फनक्टर ''f'' को ''C'' से ''D'' से मैपिंग के रूप में परिभाषित करते हैं
*प्रत्येक वस्तु को संबद्ध करता है <math>X</math> वस्तु के साथ C में <math>F(X)</math> D में,
*प्रत्येक रूपांतरण को संबद्ध करता है <math>f \colon X\to Y</math> मॉर्फिज्म के साथ C में <math>F(f) \colon F(Y) \to F(X)</math> D में ऐसा है कि निम्नलिखित दो शर्तें हैं:
**<math>F(\mathrm{id}_X) = \mathrm{id}_{F(X)}\,\!</math> हर वस्तु के लिए <math>X</math> C में,
**<math>F(g \circ f) = F(f) \circ F(g)</math> सभी रूपों के लिए <math>f \colon X\to Y</math> और <math>g \colon Y\to Z</math> C।


साधारण फंक्शनर्स को 'कोवेरिएंट फंक्शनर्स' भी कहा जाता है ताकि उन्हें कॉन्ट्रैवेरिएंट वाले से अलग किया जा सके।ध्यान दें कि कोई भी [[ विपरीत श्रेणी ]] में एक सहसंयोजक फ़नक्टर के रूप में एक कॉन्ट्रैवेरिएंट फंक्शनर को परिभाषित कर सकता है <math>C^\mathrm{op}</math>.{{sfnp|Jacobson|2009|pp=19–20}} कुछ लेखक सभी अभिव्यक्तियों को सहसंयोजक रूप से लिखना पसंद करते हैं।अर्थात् कहने के बजाय <math>F \colon  C\to D</math> एक कॉन्ट्रैवेरियनट फंक्टर है, वे बस लिखते हैं <math>F \colon C^{\mathrm{op}} \to D</math> (या कभी -कभी <math>F \colon C \to D^{\mathrm{op}}</math>) और इसे एक फंक्शनर कहें।
ध्यान दें कि कॉन्ट्रैवेरिएंट क्रियात्मकता रचना की दिशा को व्युत्क्रम कर देते हैं।


कॉन्ट्रैवेरियनट फनक्रेटर्स को कभी -कभी कोफंक्टर भी कहा जाता है।<ref name="Popescu1979">{{cite book|last1=Popescu|first1=Nicolae|last2=Popescu|first2=Liliana|title=Theory of categories|date=1979|publisher=Springer|location=Dordrecht|isbn=9789400995505|page=12|url=https://books.google.com/books?id=YnHwCAAAQBAJ&q=cofunctor+covariant&pg=PA12|access-date=23 April 2016}}</ref>
साधारण क्रियात्मकता को 'कोवेरिएंट क्रियात्मकता' भी कहा जाता है जिससे कि उन्हें कॉन्ट्रैवेरिएंट वाले से अलग किया जा सके। ध्यान दें कि कोई भी [[ विपरीत श्रेणी |विपरीत श्रेणी]] में सहसंयोजक क्रियात्मकता के रूप में कॉन्ट्रैवेरिएंट क्रियात्मकता <math>C^\mathrm{op}</math> को परिभाषित कर सकता है,{{sfnp|Jacobson|2009|pp=19–20}} कुछ लेखक सभी अभिव्यक्तियों को सहसंयोजक रूप से लिखना पसंद करते हैं अर्थात कहने के अतिरिक्त <math>F \colon  C\to D</math> कॉन्ट्रैवेरियनट फंक्टर है, वे <math>F \colon C^{\mathrm{op}} \to D</math> लिखते हैं (या कभी -कभी <math>F \colon C \to D^{\mathrm{op}}</math>) और इसे क्रियात्मकता कहते हैं।
एक सम्मेलन है जो वैक्टर को संदर्भित करता है -आई।, [[ वेक्टर क्षेत्र ]], वर्गों के स्थान के तत्व <math>\Gamma(TM)</math> एक [[ स्पर्शरेखा ]] बंडल की <math>TM</math>—एएस कॉन्ट्रैवेरियन और कोवेक्टर्स के लिए-आई। <math>\Gamma\mathord\left(T^*M\right)</math> एक cotangent बंडल की <math>T^*M</math>—एक सहसंयोजक।यह शब्दावली भौतिकी में उत्पन्न होती है, और इसके औचित्य का आइंस्टीन योग में सूचकांकों (ऊपर और नीचे) की स्थिति के साथ करना है जैसे <math>{x'}^{\,i} = \Lambda^i_j x^j</math> के लिए <math>\mathbf{x}' = \boldsymbol{\Lambda}\mathbf{x}</math> या <math>\omega'_i = \Lambda^j_i \omega_j</math> के लिए <math>\boldsymbol{\omega}' = \boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\Lambda}^\textsf{T}.</math> इस औपचारिकता में यह देखा गया है कि समन्वय परिवर्तन प्रतीक <math>\Lambda^j_i</math> (मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करना <math>\boldsymbol{\Lambda}^\textsf{T}</math>) कोवेक्टर निर्देशांक पर उसी तरह से वैक्टर के आधार पर कार्य करता है: <math>\mathbf{e}_i = \Lambda^j_i\mathbf{e}_j</math>-उनस यह वेक्टर निर्देशांक पर विपरीत तरीके से कार्य करता है (लेकिन उसी तरह जैसे कि आधार पर कोवेक्टर्स: <math>\mathbf{e}^i = \Lambda^i_j \mathbf{e}^j</math>)।यह शब्दावली श्रेणी के सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले एक के विपरीत है क्योंकि यह कोवेक्टर्स है जिसमें सामान्य रूप से पुलबैक होते हैं और इस प्रकार कंट्रैथेरिएंट होते हैं, जबकि सामान्य रूप से वैक्टर सहसंयोजक होते हैं क्योंकि उन्हें आगे बढ़ाया जा सकता है।[[ वैक्टर के सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन ]] भी देखें।
 
कॉन्ट्रैवेरियनट क्रियात्मकता को कभी -कभी कोफंक्टर भी कहा जाता है।<ref name="Popescu1979">{{cite book|last1=Popescu|first1=Nicolae|last2=Popescu|first2=Liliana|title=Theory of categories|date=1979|publisher=Springer|location=Dordrecht|isbn=9789400995505|page=12|url=https://books.google.com/books?id=YnHwCAAAQBAJ&q=cofunctor+covariant&pg=PA12|access-date=23 April 2016}}</ref> यह सम्मेलन है जो वैक्टर I को संदर्भित करता है। [[ वेक्टर क्षेत्र |वेक्टर क्षेत्र]] , वर्गों के स्थान के तत्व <math>\Gamma(TM)</math> [[ स्पर्शरेखा |स्पर्शरेखा]] बंडल की <math>TM</math>—एएस कॉन्ट्रैवेरियन और कोवेक्टर्स के लिए I से संदर्भित किया जाता हैं। <math>\Gamma\mathord\left(T^*M\right)</math> स्पर्शरेखा बंडल की <math>T^*M</math> सहसंयोजक हैं। यह शब्दावली भौतिकी में उत्पन्न होती है, और इसके औचित्य का आइंस्टीन योग में सूचकांकों (ऊपर और नीचे) की स्थिति के साथ करना है जैसे <math>{x'}^{\,i} = \Lambda^i_j x^j</math> के लिए <math>\mathbf{x}' = \boldsymbol{\Lambda}\mathbf{x}</math> या <math>\omega'_i = \Lambda^j_i \omega_j</math> के लिए <math>\boldsymbol{\omega}' = \boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\Lambda}^\textsf{T}.</math> इस औपचारिकता में यह देखा गया है कि समन्वय परिवर्तन प्रतीक <math>\Lambda^j_i</math> (मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करना <math>\boldsymbol{\Lambda}^\textsf{T}</math>) कोवेक्टर निर्देशांक पर उसी प्रकार से वैक्टर के आधार पर कार्य करता है: <math>\mathbf{e}_i = \Lambda^j_i\mathbf{e}_j</math>-उनसे यह वेक्टर निर्देशांक पर विपरीत तरीके से कार्य करता है (लेकिन उसी प्रकार जैसे कि आधार पर कोवेक्टर्स: <math>\mathbf{e}^i = \Lambda^i_j \mathbf{e}^j</math>)। यह शब्दावली श्रेणी के सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले के विपरीत है क्योंकि यह कोवेक्टर्स है जिसमें सामान्य रूप से पुलबैक होते हैं और इस प्रकार कंट्रैथेरिएंट होते हैं, जबकि सामान्य रूप से वैक्टर सहसंयोजक होते हैं क्योंकि उन्हें आगे बढ़ाया जा सकता है।[[ वैक्टर के सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन | वैक्टर के सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन]] भी देखें।


=== विपरीत फंक्शनक ===
=== विपरीत फंक्शनक ===
हर फंक्टर <math>F \colon  C\to D</math> विपरीत फंक्शनर को प्रेरित करता है <math>F^\mathrm{op} \colon  C^\mathrm{op}\to D^\mathrm{op}</math>, कहां <math>C^\mathrm{op}</math> और <math>D^\mathrm{op}</math> इसके विपरीत श्रेणी हैं <math>C</math> और <math>D</math>.<ref>{{citation|first1=Saunders|last1=Mac Lane|author-link1=Saunders Mac Lane|first2=Ieke|last2=Moerdijk|author-link2=Ieke Moerdijk|title=Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory|publisher=Springer|year=1992|isbn=978-0-387-97710-2}}</ref> परिभाषा से, <math>F^\mathrm{op}</math> समान तरीके से वस्तुओं और आकारिकी को मानचित्र <math>F</math>।तब से <math>C^\mathrm{op}</math> के साथ मेल नहीं खाता है <math>C</math> एक श्रेणी के रूप में, और इसी तरह के लिए <math>D</math>, <math>F^\mathrm{op}</math> से प्रतिष्ठित है <math>F</math>।उदाहरण के लिए, रचना करते समय <math>F \colon  C_0\to C_1</math> साथ <math>G \colon  C_1^\mathrm{op}\to C_2</math>, एक का उपयोग करना चाहिए <math>G\circ F^\mathrm{op}</math> या <math>G^\mathrm{op}\circ F</math>।ध्यान दें कि, विपरीत श्रेणी की संपत्ति के बाद, <math>\left(F^\mathrm{op}\right)^\mathrm{op} = F</math>।
हर फंक्टर <math>F \colon  C\to D</math> विपरीत क्रियात्मकता को प्रेरित करता है <math>F^\mathrm{op} \colon  C^\mathrm{op}\to D^\mathrm{op}</math>, जहाँ <math>C^\mathrm{op}</math> और <math>D^\mathrm{op}</math> इसके विपरीत श्रेणी <math>C</math> और <math>D</math> हैं <ref>{{citation|first1=Saunders|last1=Mac Lane|author-link1=Saunders Mac Lane|first2=Ieke|last2=Moerdijk|author-link2=Ieke Moerdijk|title=Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory|publisher=Springer|year=1992|isbn=978-0-387-97710-2}}</ref> इस प्रकार इस परिभाषा से <math>F^\mathrm{op}</math> समान विधियों से वस्तुओं और आकारिकी को मानचित्र <math>F</math> का उपयोग किया जाता है। तब से <math>C^\mathrm{op}</math> के साथ मेल नहीं खाता है <math>C</math> श्रेणी के रूप में, और इसी प्रकार <math>D</math>, <math>F^\mathrm{op}</math> <math>F</math> से प्रतिष्ठित है। उदाहरण के लिए, रचना करते समय <math>F \colon  C_0\to C_1</math> साथ <math>G \colon  C_1^\mathrm{op}\to C_2</math>, का उपयोग <math>G\circ F^\mathrm{op}</math> या <math>G^\mathrm{op}\circ F</math> द्वारा करना चाहिए। ध्यान दें कि विपरीत श्रेणी की संपत्ति के बाद, <math>\left(F^\mathrm{op}\right)^\mathrm{op} = F</math> को संदर्भित किया जाता है।


=== bifunctors और multipactors ===
=== द्विभाजक और मल्टीपैक्टर्स ===
एक bifunctor (जिसे बाइनरी फंक्शनर के रूप में भी जाना जाता है) एक फ़ंक्टर है जिसका डोमेन एक [[ उत्पाद श्रेणी ]] है।उदाहरण के लिए, [[ सींग का फंक्टर ]] प्रकार का है {{nowrap|''C<sup>op</sup>'' × ''C'' → '''Set'''}}।इसे दो तर्कों में एक फ़ंक्टर के रूप में देखा जा सकता है।होम फंक्टर एक प्राकृतिक उदाहरण है;यह एक तर्क में विपरीत है, दूसरे में सहसंयोजक।
एक द्विभाजक (जिसे बाइनरी क्रियात्मकता के रूप में भी जाना जाता है) फ़ंक्टर है जिसका डोमेन [[ उत्पाद श्रेणी |उत्पाद श्रेणी]] है। उदाहरण के लिए, [[ सींग का फंक्टर |सींग का फंक्टर]] {{nowrap|''C<sup>op</sup>'' × ''C'' → '''Set'''}} प्रकार का है। इसे दो तर्कों में फ़ंक्टर के रूप में देखा जा सकता है। होम फंक्टर प्राकृतिक उदाहरण है, यह तर्क में विपरीत है, दूसरे में यह सहसंयोजक की भाँति उपयोग होता है।


एक 'मल्टीफ़ंक्टर' एन चर के लिए फ़नक्टर अवधारणा का एक सामान्यीकरण है।तो, उदाहरण के लिए, एक bifunctor के साथ एक मल्टीफंक्टर है {{nowrap|1=''n'' = 2}}।
'मल्टीफ़ंक्टर' एन चर के लिए क्रियात्मकता अवधारणा का सामान्यीकरण है। उदाहरण के लिए, द्विभाजक के साथ मल्टीफंक्टर {{nowrap|1=''n'' = 2}} है।


== गुण ==
== गुण ==
फंक्शनर [[ स्वयंसिद्ध ]]ों के दो महत्वपूर्ण परिणाम हैं:
क्रियात्मकता [[ स्वयंसिद्ध |स्वयंसिद्ध]] के दो महत्वपूर्ण परिणाम हैं:
* एफ सी में प्रत्येक कम्यूटेटिव आरेख को डी में एक कम्यूटेटिव आरेख में बदल देता है;
* F C में प्रत्येक कम्यूटेटिव आरेख को D में कम्यूटेटिव आरेख में बदल देता है,
* यदि F C में एक [[ समाकृतिकता ]] है, तो F (f) D में एक आइसोमोर्फिज्म है।
* यदि F C में [[ समाकृतिकता |समाकृतिकता]] है, तो F (f) D में आइसोमोर्फिज्म है।


एक फ़ंक्शनर्स की रचना कर सकता है, अर्थात् यदि F A से B तक एक फ़न्क्टर है और G B से C तक एक फ़न्क्टर है तो कोई समग्र फंक्शनर बना सकता है {{nowrap|''G'' ∘ ''F''}} ए से सी से फंक्शनर्स की रचना साहचर्य है जहां परिभाषित किया गया है।फंक्शनर्स की रचना की पहचान पहचान फंक्शनर है।इससे पता चलता है कि फ़ंक्शनर्स को श्रेणियों की श्रेणियों में रूपांतरण माना जा सकता है, उदाहरण के लिए [[ छोटी श्रेणियों की श्रेणी ]] में।
एक क्रियात्मकता की रचना कर सकता है, अर्थात् यदि F A से B तक क्रियात्मकता है और G B से C तक क्रियात्मकता है तो कोई समग्र क्रियात्मकता बना सकता है, {{nowrap|''G'' ∘ ''F''}} A से C से क्रियात्मकता की रचना साहचर्य है जहाँ परिभाषित किया गया है। क्रियात्मकता की रचना की पहचान क्रियात्मकता है। इससे पता चलता है कि क्रियात्मकता को श्रेणियों में रूपांतरण माना जा सकता है, उदाहरण के लिए [[ छोटी श्रेणियों की श्रेणी |छोटी श्रेणियों की श्रेणी]] में इत्यादि।


एकल वस्तु के साथ एक छोटी श्रेणी एक [[ मोनोइड ]] के रूप में एक ही बात है: एक-वस्तु श्रेणी के रूपवाद को मोनोइड के तत्वों के रूप में माना जा सकता है, और श्रेणी में रचना को मोनोइड ऑपरेशन के रूप में माना जाता है।एक ऑब्जेक्ट श्रेणियों के बीच फंक्शनर्स मोनोइड [[ समरूपता ]] के अनुरूप हैं।तो एक अर्थ में, मनमानी श्रेणियों के बीच फंक्शनर्स एक से अधिक वस्तुओं के साथ श्रेणियों के लिए मोनोइड होमोमोर्फिज्म का एक प्रकार का सामान्यीकरण है।
एकल वस्तु के साथ छोटी श्रेणी [[ मोनोइड |मोनोइड]] के रूप में ही बात है: एक-वस्तु श्रेणी के रूपवाद को मोनोइड के तत्वों के रूप में माना जा सकता है, और श्रेणी में रचना को मोनोइड ऑपरेशन के रूप में माना जाता है। ऑब्जेक्ट श्रेणियों के बीच क्रियात्मकता मोनोइड [[ समरूपता |समरूपता]] के अनुरूप हैं। तो अर्थ में श्रेणियों के बीच क्रियात्मकता से अधिक वस्तुओं के साथ श्रेणियों के लिए मोनोइड होमोमोर्फिज्म का प्रकार का सामान्यीकरण है।


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
;[[ आरेख (श्रेणी सिद्धांत) ]]: श्रेणियों सी और जे के लिए, सी में टाइप जे का एक आरेख एक सहसंयोजक फंक्टर है <math>D \colon J\to C</math>।
;[[ आरेख (श्रेणी सिद्धांत) |आरेख (श्रेणी सिद्धांत)]]: श्रेणियों C और J के लिए, C में टाइप J का आरेख <math>D \colon J\to C</math> सहसंयोजक फंक्टर है ।
;Presheaf (श्रेणी सिद्धांत) | (श्रेणी सैद्धांतिक) Presheaf: C और J के लिए, C पर एक J-PRESHEAF एक कॉन्ट्रैवेरियन फंक्शनर है <math>D \colon C\to J</math>.{{paragraph}}विशेष मामले में जब j सेट किया जाता है, तो सेट और फ़ंक्शंस की श्रेणी, '' d '' को '' C '' पर एक presheaf (श्रेणी सिद्धांत) कहा जाता है।
;प्रेसीफ (श्रेणी सिद्धांत) या (श्रेणी सैद्धांतिक) प्रेसीफ: C और J के लिए, C पर J प्रेसीफ कॉन्ट्रैवेरियन क्रियात्मकता है <math>D \colon C\to J</math> विशेष स्थिति में जब J सेट किया जाता है, तो सेट और फ़ंक्शंस की श्रेणी, ''d'' को ''C'' पर प्रेसीफ (श्रेणी सिद्धांत) कहा जाता है।
;Presheaves (एक टोपोलॉजिकल स्पेस से अधिक): यदि '' x '' एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, तो समावेश के तहत आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट ओपन ('' x '') '' x '' में खुले सेट।हर आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट की तरह, ओपन ('' x '') एक ही तीर जोड़कर एक छोटी श्रेणी बनाता है {{nowrap|''U'' → ''V''}} अगर और केवल अगर <math>U \subseteq V</math>।ओपन (एक्स) पर कॉन्ट्रैवेरियनट फनक्रेटर्स को एक्स पर प्रेफ़ेफ़ कहा जाता है। उदाहरण के लिए, हर ओपन सेट यू को यू पर वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्यों के साहचर्य बीजगणित को असाइन करके, एक एक्स पर बीजगणितों का एक प्रेसिफ़ प्राप्त करता है।
;प्रीशेव्स (एक टोपोलॉजिकल स्पेस से अधिक): यदि ''x'' टोपोलॉजिकल स्पेस है, तो समावेश के अनुसार आंशिक रूप से ऑर्डर सेट ओपन ('' x '') ''x'' में खुले सेट किए गए है। हर आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के प्रकार ओपन ('' x '') ही तीर जोड़कर छोटी श्रेणी बनाता है, {{nowrap|''U'' → ''V''}} यदि और केवल यदि <math>U \subseteq V</math> या ओपन (X) पर कॉन्ट्रैवेरियनट क्रियात्मकता को X पर प्रेफ़ेफ़ कहा जाता है। उदाहरण के लिए, हर ओपन समूह U को U पर वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्यों के साहचर्य बीजगणित को असाइन करके X पर बीजगणितों का प्रेसिफ़ प्राप्त करता है।
;लगातार फंक्टर: फंक्शनर {{nowrap|''C'' → ''D''}} जो सी की प्रत्येक वस्तु को डी में एक निश्चित ऑब्जेक्ट एक्स और सी में प्रत्येक रूपांतरण को एक्स पर पहचान मॉर्फिज़्म के लिए मैप करता है। इस तरह के फंक्शनल को एक निरंतर या चयन फंक्शनर कहा जाता है।
;लगातार फंक्टर: क्रियात्मकता {{nowrap|''C'' → ''D''}} जो C की प्रत्येक वस्तु को D में निश्चित ऑब्जेक्ट X और C में प्रत्येक रूपांतरण को X पर पहचान मॉर्फिज़्म के लिए मैप करता है। इस प्रकार के फंक्शनल को निरंतर या चयन क्रियात्मकता कहा जाता है।{{term|term=एंडोफंक्टर}}: एक फ़ंक्शन जो उसी श्रेणी में श्रेणी को मैप करता है, उदाहरण के रूप बहुपद क्रियात्मकता इसका उदाहरण हैं।{{term|term=पहचान फ़ैक्टर}}: श्रेणी सी में, लिखित 1<sub>''C''</sub> या आईडी<sub>''C''</sub> अपने आप को वस्तु और खुद के लिए रूपांतरण मानते हैं। पहचान फ़ंक्शनर एंडोफंक्टर है।
; {{term|term=Endofunctor}}: एक फ़ंक्शन जो उसी श्रेणी में एक श्रेणी को मैप करता है;उदा।, बहुपद फंक्शनर।
;विकर्ण क्रियात्मकता: विकर्ण क्रियात्मकता को क्रियात्मकता के रूप में D<sup>C</sup> से फंक्टर श्रेणी D तक परिभाषित किया गया है जो उस ऑब्जेक्ट पर प्रत्येक ऑब्जेक्ट को D में निरंतर फ़ंक्शनर को भेजता है।
; {{term|term=Identity functor}}: श्रेणी सी में, लिखित 1<sub>''C''</sub> या आईडी<sub>''C''</sub>, अपने आप को एक वस्तु और खुद के लिए एक रूपांतरण मानते हैं।पहचान फ़ंक्शनर एक एंडोफंक्टर है।
;फ़ंक्शन को सीमित करें: इस निश्चित [[ सूचकांक श्रेणी |सूचकांक श्रेणी]] J के लिए यदि प्रत्येक फ़ंक्टर {{nowrap|''J'' → ''C''}} [[ सीमा (श्रेणी सिद्धांत) |सीमा (श्रेणी सिद्धांत)]] है उदाहरण के लिए यदि C पूरा हो गया है, तो सीमा फ़ंक्टर {{nowrap|''C''<sup>''J''</sup> → ''C''}} प्रत्येक फ़ंक्टर को इसकी सीमा सौंपता है। इस फ़ंक्शनर के अस्तित्व को यह महसूस करके सिद्ध किया जाता है कि यह [[ आसन्न फंक्शनर्स |आसन्न क्रियात्मकता]] है। विकर्ण क्रियात्मकता के लिए राइट-एडजॉइंट और [[ Freyd Adjoint Functor Theorem |फ्रीड एडज्वाइंट फंक्शनल प्रमेय]] का आह्वान कर रहा है। इसके लिए पसंद के स्वयंसिद्ध के उपयुक्त संस्करण की आवश्यकता होती है। इसी प्रकार की टिप्पणी को सीमा फंक्टर पर लागू होती है (जो अपने कोलिमिट फंक्टर के प्रत्येक फ़ंक्टर को असाइन करती है और सहसंयोजक है)।
;विकर्ण फंक्शनर: विकर्ण फंक्शनर को फंक्शनर के रूप में डी से फंक्टर श्रेणी डी तक परिभाषित किया गया है<sup>C </sup> जो उस ऑब्जेक्ट पर प्रत्येक ऑब्जेक्ट को D में निरंतर फ़ंक्शनर को भेजता है।
;पावर सेट फ़न्टर: पावर सेट क्रियात्मकता {{nowrap|''P'' : '''Set''' → '''Set'''}} प्रत्येक सेट को अपने [[ सत्ता स्थापित |सत्ता स्थापित]] और प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए मानचित्र <math> f \colon X \to Y</math> उस नक्शे के लिए जो भेजता है <math>U \in \mathcal{P}(X)</math> इसकी छवि के लिए <math>f(U) \in \mathcal{P}(Y)</math>।एक कॉन्ट्रैवेरियन पावर सेट फ़ंक्टर पर भी विचार कर सकता है जो भेजता है <math> f \colon X \to Y </math> उस नक्शे के लिए जो भेजता है <math>V \subseteq Y</math> इसकी [[ उलटा छवि |व्युत्क्रम प्रतिबिम्ब]] के लिए <math>f^{-1}(V) \subseteq X.</math>उदाहरण के लिए, यदि <math>X = \{0,1\}</math> तब <math>F(X) = \mathcal{P}(X) = \{\{\}, \{0\}, \{1\}, X\}</math>। मान लीजिए <math>f(0) = \{\}</math> और <math>f(1) = X</math> इत्यादि। फिर <math>F(f)</math> वह फ़ंक्शन है जो किसी भी सबसेट को भेजता है <math>U</math> का <math>X</math> इसकी छवि के लिए <math>f(U)</math>, इस मामले में जिसका अर्थ है <math>\{\} \mapsto f(\{\}) = \{\}</math>, जहाँ <math>\mapsto</math> के अनुसार मानचित्रण को दर्शाता है <math>F(f)</math>, तो यह भी <math>(F(f))(\{\})= \{\}</math> लिखा जा सकता है। अन्य मूल्यों के लिए,<math>
;फ़ंक्शन को सीमित करें: एक निश्चित [[ सूचकांक श्रेणी ]] J के लिए, यदि प्रत्येक फ़ंक्टर {{nowrap|''J'' → ''C''}} एक [[ सीमा (श्रेणी सिद्धांत) ]] है (उदाहरण के लिए यदि C पूरा हो गया है), तो सीमा फ़ंक्टर {{nowrap|''C''<sup>''J''</sup> → ''C''}} प्रत्येक फ़ंक्टर को इसकी सीमा सौंपता है।इस फ़ंक्शनर के अस्तित्व को यह महसूस करके साबित किया जा सकता है कि यह [[ आसन्न फंक्शनर्स ]] है। विकर्ण फंक्शनर के लिए राइट-एडजॉइंट और [[ Freyd Adjoint Functor Theorem ]] का आह्वान कर रहा है।इसके लिए पसंद के स्वयंसिद्ध के एक उपयुक्त संस्करण की आवश्यकता होती है।इसी तरह की टिप्पणी Colimit Functor पर लागू होती है (जो अपने Colimit के प्रत्येक फ़ंक्टर को असाइन करती है, और सहसंयोजक है)।
;पावर सेट फ़न्टर: पावर सेट फ़नक्टर {{nowrap|''P'' : '''Set''' → '''Set'''}} प्रत्येक सेट को अपने [[ सत्ता स्थापित ]] और प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए मानचित्र <math> f \colon X \to Y</math> उस नक्शे के लिए जो भेजता है <math>U \in \mathcal{P}(X)</math> इसकी छवि के लिए <math>f(U) \in \mathcal{P}(Y)</math>।एक कॉन्ट्रैवेरियन पावर सेट फ़ंक्टर पर भी विचार कर सकता है जो भेजता है <math> f \colon X \to Y </math> उस नक्शे के लिए जो भेजता है <math>V \subseteq Y</math> इसकी [[ उलटा छवि ]] के लिए <math>f^{-1}(V) \subseteq X.</math>{{paragraph}} उदाहरण के लिए, यदि <math>X = \{0,1\}</math> तब <math>F(X) = \mathcal{P}(X) = \{\{\}, \{0\}, \{1\}, X\}</math>।मान लीजिए <math>f(0) = \{\}</math> और <math>f(1) = X</math>।फिर <math>F(f)</math> वह फ़ंक्शन है जो किसी भी सबसेट को भेजता है <math>U</math> का <math>X</math> इसकी छवि के लिए <math>f(U)</math>, इस मामले में जिसका अर्थ है <math>\{\} \mapsto f(\{\}) = \{\}</math>, कहां <math>\mapsto</math> के तहत मानचित्रण को दर्शाता है <math>F(f)</math>, तो यह भी लिखा जा सकता है <math>(F(f))(\{\})= \{\}</math>।अन्य मूल्यों के लिए,<math>
     \{0\} \mapsto f(\{0\})  = \{f(0)\}      = \{\{\}\},\ </math> <math>
     \{0\} \mapsto f(\{0\})  = \{f(0)\}      = \{\{\}\},\ </math> <math>
     \{1\} \mapsto f(\{1\})  = \{f(1)\}      = \{X\},\ </math> <math>
     \{1\} \mapsto f(\{1\})  = \{f(1)\}      = \{X\},\ </math> <math>
   \{0,1\} \mapsto f(\{0,1\}) = \{f(0), f(1)\} = \{\{\}, X\}.
   \{0,1\} \mapsto f(\{0,1\}) = \{f(0), f(1)\} = \{\{\}, X\}.
</math> ध्यान दें कि <math>f(\{0, 1\})</math> नतीजतन [[ तुच्छ टोपोलॉजी ]] उत्पन्न करता है <math>X</math>।यह भी ध्यान दें कि हालांकि फ़ंक्शन <math>f</math> इस उदाहरण में के पावर सेट पर मैप किया गया <math>X</math>, यह सामान्य रूप से मामला नहीं है।
</math> ध्यान दें कि <math>f(\{0, 1\})</math> परिणामस्वरूप <math>X</math> [[ तुच्छ टोपोलॉजी |टोपोलॉजी]] उत्पन्न करता है। यह भी ध्यान दें कि फ़ंक्शन <math>f</math> इस उदाहरण में के पावर सेट <math>X</math> पर मैप किया गया , यह सामान्य रूप से स्थिति नहीं है।
; {{visible anchor|Dual vector space}}: वह नक्शा जो प्रत्येक [[ सदिश स्थल ]] को अपने दोहरे स्थान को सौंपता है और प्रत्येक रैखिक ऑपरेटर को इसके दोहरे या ट्रांसपोज़ में एक निश्चित [[ क्षेत्र (गणित) ]] पर सभी वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी से एक कॉन्ट्रैवेरियनट फंक्टर है।
; {{visible anchor|दोहरी वेक्टर अंतरिक्ष}}: वह नक्शा जो प्रत्येक [[ सदिश स्थल |सदिश स्थल]] को अपने दोहरे स्थान को सौंपता है और प्रत्येक रैखिक ऑपरेटर को इसके दोहरे या ट्रांसपोज़ में निश्चित [[ क्षेत्र (गणित) |क्षेत्र (गणित)]] पर सभी वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी से कॉन्ट्रैवेरियनट फंक्टर है।
;मौलिक समूह: नुकीले टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी पर विचार करें, अर्थात् प्रतिष्ठित बिंदुओं के साथ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान।वस्तुएं जोड़े हैं {{nowrap|(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}}, जहां एक्स एक टोपोलॉजिकल स्पेस और एक्स है<sub>0</sub> एक्स में एक बिंदु है। एक रूपवाद से {{nowrap|(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}} को {{nowrap|(''Y'', ''y''<sub>0</sub>)}} एक सतत फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) मानचित्र द्वारा दिया गया है {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} साथ {{nowrap|1=''f''(''x''<sub>0</sub>) = ''y''<sub>0</sub>}}.{{paragraph}} प्रतिष्ठित बिंदु x के साथ हर टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स के लिए<sub>0</sub>, एक X पर आधारित मौलिक समूह को परिभाषित कर सकता है<sub>0</sub>, निरूपित {{nowrap|π<sub>1</sub>(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}}।यह एक्स पर आधारित लूप के [[ होमोटॉपी ]] वर्गों का [[ समूह (गणित) ]] है<sub>0</sub>, कॉन्टेनेशन के समूह संचालन के साथ।यदि {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} नुकीले स्थानों का एक रूपवाद है, फिर बेस पॉइंट एक्स के साथ एक्स में प्रत्येक लूप<sub>0</sub> आधार बिंदु y के साथ y में एक लूप प्राप्त करने के लिए f के साथ बनाया जा सकता है<sub>0</sub>।यह ऑपरेशन होमोटोपी तुल्यता संबंध और छोरों की संरचना के साथ संगत है, और हमें एक समूह होमोमोर्फिज्म मिलता है {{nowrap|π(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}} को {{nowrap|π(''Y'', ''y''<sub>0</sub>)}}।इस प्रकार हम [[ समूहों की श्रेणी ]] में नुकीले टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी से एक फ़ंक्टर प्राप्त करते हैं।{{paragraph}} टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान (प्रतिष्ठित बिंदु के बिना) की श्रेणी में, कोई जेनेरिक घटता के होमोटॉपी वर्गों पर विचार करता है, लेकिन जब तक वे एक समापन बिंदु साझा नहीं करते हैं, तब तक उन्हें बनाया नहीं जा सकता है।इस प्रकार एक के पास मौलिक समूह के बजाय मौलिक समूह है, और यह निर्माण फंक्शनल है।
;मौलिक समूह: नुकीले टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी पर विचार करें, अर्थात् प्रतिष्ठित बिंदुओं के साथ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान। वस्तुएं जोड़े हैं {{nowrap|(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}}, जहां X<sub>0</sub> टोपोलॉजिकल स्पेस और X है X यहाँ पर बिंदु है। रूपवाद नियम से {{nowrap|(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}} को {{nowrap|(''Y'', ''y''<sub>0</sub>)}} सतत फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) मानचित्र द्वारा दिया गया है {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} साथ {{nowrap|1=''f''(''x''<sub>0</sub>) = ''y''<sub>0</sub>}}. प्रतिष्ठित बिंदु x के साथ हर टोपोलॉजिकल स्पेस X<sub>0</sub> के लिए, X<sub>0</sub> पर आधारित मौलिक समूह को निरूपित {{nowrap|π<sub>1</sub>(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}} द्वारा परिभाषित कर सकता है। यह X<sub>0</sub> पर आधारित लूप के [[ होमोटॉपी |होमोटॉपी]] वर्गों का [[ समूह (गणित) |समूह (गणित)]] है, कॉन्टेनेशन के समूह संचालन के साथ किया जाता हैं। यदि {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} नुकीले स्थानों का रूपवाद है, फिर बेस पॉइंट X के साथ X<sub>0</sub> में प्रत्येक लूप आधार बिंदु y के साथ y में लूप प्राप्त करने के लिए f<sub>0</sub> के साथ बनाया जा सकता है। यह ऑपरेशन होमोटोपी तुल्यता संबंध और छोरों की संरचना के साथ संगत है और हमें समूह {{nowrap|π(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}} को {{nowrap|π(''Y'', ''y''<sub>0</sub>)}} का होमोमोर्फिज्म मिलता है। इस प्रकार हम [[ समूहों की श्रेणी |समूहों की श्रेणी]] में नुकीले टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी से फ़ंक्टर प्राप्त करते हैं। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान (प्रतिष्ठित बिंदु के बिना) की श्रेणी में, कोई जेनेरिक घटता के होमोटॉपी वर्गों पर विचार करता है, लेकिन जब तक वे समापन बिंदु साझा नहीं करते हैं, तब तक उन्हें बनाया नहीं जा सकता है। इस प्रकार के पास मौलिक समूह के अतिरिक्त मौलिक समूह है, और यह निर्माण फंक्शनल है।
;निरंतर कार्यों का बीजगणित: वास्तविक सहयोगी बीजगणित की श्रेणी के लिए [[ टोपोलॉजी ]] की श्