C0-सेमीग्रुप: Difference between revisions

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गणित में एक ~~''सीओ''-~~[[semigroup|~~अर्थसमूह~~]] [[घातांक प्रकार्य]] का सामान्यीकरण है, जिसे दृढ़ता से निरंतर एक-परिधि अर्थसमूह के रूप में भी जाना जाता है। जैसे घातांक प्रकार्य रैखिक निरंतर गुणांक सामान्य अंतर समीकरणों के समाधान प्रदान करते हैं और ~~दृढ़ता~~ से निरंतर सेमीग्रुप बनच रिक्त स्थान में रैखिक निरंतर गुणांक [[साधारण अंतर समीकरण|साधारण अंतर समीकरणों]] के समाधान प्रदान करते हैं। ~~बानाच~~ स्थानों में इस तरह के अंतर समीकरण ~~उदा~~ से उत्पन्न होते हैं जैसे कि विलंब अवकल समीकरण और आंशिक अवकल समीकरण।

गणित में एक [[semigroup|C0-सेमीग्रुप]] [[घातांक प्रकार्य]] का सामान्यीकरण है, जिसे दृढ़ता से निरंतर एक-परिधि अर्थसमूह के रूप में भी जाना जाता है। जैसे घातांक प्रकार्य रैखिक निरंतर गुणांक सामान्य अंतर समीकरणों के समाधान प्रदान करते हैं और निश्चित रूप से निरंतर सेमीग्रुप बनच रिक्त स्थान में रैखिक निरंतर गुणांक [[साधारण अंतर समीकरण|साधारण अंतर समीकरणों]] के समाधान प्रदान करते हैं। बनच स्थानों में इस तरह के अंतर समीकरण उदाहरण से उत्पन्न होते हैं, जैसे कि विलंब अवकल समीकरण और आंशिक अवकल समीकरण।

औपचारिक रूप ~~से एक दृढ़ता~~ से निरंतर ~~अर्धसमूह~~ सेमीग्रुप (आर+,+) कुछ बनच रिक्त स्थान ~~एक्स~~ पर, जो [[मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी|मजबूत संचालक सीन विज्ञान]] में~~, निरंतर है। इस प्रकार कठोरता से बोलना एक दृढ़ता से~~ निरंतर ~~अर्धसमूह एक अर्धसमूह नहीं~~ है, ~~बल्कि~~ एक विशेष अर्धसमूह का निरंतर प्रतिनिधित्व है।

औपचारिक रूप से निरंतर सेमीग्रुप, सेमीग्रुप ('''R'''+,+) कुछ बनच रिक्त स्थान X पर इस प्रकार कठोरता से बोलना एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह एक अर्धसमूह नहीं है। जो [[मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी|मजबूत संचालक सीन विज्ञान]] में निरंतर कार्यरत है, परन्तु एक विशेष अर्धसमूह का निरंतर प्रतिनिधित्व है।

== '''औपचारिक परिभाषा''' ==

Line 10:

<math> T : \mathbb{R}_+ \to L(X) </math>

जो ऐसा है कि

# <math> T(0) = I </math>, ([[पहचान ऑपरेटर|पहचान संचालक]] ~~चालू~~ <math>X</math>)

# <math> T(0) = I </math>, ([[पहचान ऑपरेटर|पहचान संचालक]] <math>X</math> पर)

# <math>\forall t,s \ge 0 : \ T(t + s) = T(t) T(s)</math>

# <math>\forall x_0 \in X: \ \|T(t) x_0 - x_0\| \to 0</math>, जैसा <math>t\downarrow 0</math>.

पहले दो स्वयंसिद्ध बीजगणितीय हैं और यह ~~बताएं~~ <math>T</math> अर्धसमूह का प्रतिनिधित्व है <math>{(\mathbb{R}_+,+)}</math> अंतिम है और बताता है कि <math>T</math> मजबूत संचालक सीन विज्ञान में [[निरंतरता (टोपोलॉजी)|निरंतरता]] है।

पहले दो स्वयंसिद्ध बीजगणितीय हैं और यह बताया गया है कि <math>T</math> अर्धसमूह का प्रतिनिधित्व है और <math>{(\mathbb{R}_+,+)}</math> अंतिम है और बताता है कि <math>T</math> मजबूत संचालक सीन विज्ञान में [[निरंतरता (टोपोलॉजी)|निरंतरता]] है।

== '''अनंत डायनमो''' ==

~~दृढ़ता~~ से निरंतर ~~अर्धसमूह ''टी'' के अत्यल्प~~ डायनमो ~~''ए''~~ द्वारा परिभाषित किया गया है:

सी ओ सेमीग्रुप में एक अनंत डायनमो को निश्चित रूप से निरंतर डायनमो द्वारा परिभाषित किया गया है:

: <math> A\,x = \lim_{t\downarrow0} \frac1t\,(T(t)- I)\,x </math>

A, D(A) का प्रांत x∈X का समुच्चय है और जिसके लिए यह सीमा स्थित है; डी (ए) एक रैखिक उपसमष्टि है और ए इस पर रैखिक कार्यक्षेत्र है।<ref>Partington (2004) page 23</ref> ए [[बंद ऑपरेटर|बंद संचालक]] है, चूंकि आवश्यक रूप से बाध्य नहीं है और कार्यक्षेत्र ~~एक्स~~ में सघन है।<ref>Partington (2004) page 24</ref>

A, D(A) का प्रांत x∈X का समुच्चय है और जिसके लिए यह सीमा स्थित है; ''D''(''A'') एक रैखिक उपसमष्टि है और A इस पर रैखिक कार्यक्षेत्र है।<ref>Partington (2004) page 23</ref> [[बंद ऑपरेटर|बंद संचालक]] है, चूंकि आवश्यक रूप से बाध्य नहीं है और कार्यक्षेत्र X में सघन है।<ref>Partington (2004) page 24</ref>

ए के साथ दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह टी को अधिकांशतः प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है <math>e^{At}</math> (या समकक्ष <math>\exp(At)</math>). यह संकेतन [[मैट्रिक्स घातीय]] के लिए और कार्यात्मक कलन (उदाहरण के लिए [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] के माध्यम से) के माध्यम से परिभाषित एक के कार्यों के लिए संगत है।

A के साथ दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह T को अधिकांशतः प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है <math>e^{At}</math> (या समकक्ष <math>\exp(At)</math>). यह संकेतन [[मैट्रिक्स घातीय]] के लिए और कार्यात्मक कलन (उदाहरण के लिए [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] के माध्यम से) के माध्यम से परिभाषित एक के कार्यों के लिए संगत है।

== '''समान रूप से निरंतर अर्धसमूह''' ==

एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह टी है जैसे कि

एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह T है, जैसे कि

:<math> \lim_{t \to 0^+} \| T(t) - I \| = 0 </math>

रखती है। इस स्थिति में T का ~~अत्यल्प~~ डायनमो A परिबद्ध है और हमारे पास है

रखती है। इस स्थिति में T का अति अल्प डायनमो A परिबद्ध है और हमारे पास

:<math> \mathcal{D}(A)=X </math>

Line 39:

:<math> T(t) := e^{At}</math>.

इस प्रकार एक रैखिक अर्धसमूह संकारक A एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह का अतिसूक्ष्म है यदि और केवल यदि A एक परिबद्ध रैखिक ~~संचालिका~~ है।<ref>{{citation |last=Pazy |first=A. |title=Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations |page=2 |publisher=Springer-Verlag |location=New York |year=1983 |isbn=0-387-90845-5 }}</ref> यदि X एक परिमित-आयामी ~~बैनच~~ स्थान है, तो कोई भी दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह है। एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह के लिए जो एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह नहीं है और अत्यल्प A बाध्य नहीं है। इस में <math>e^{At}</math> जुटने की आवश्यकता नहीं है।

इस प्रकार एक रैखिक अर्धसमूह संकारक A एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह का अतिसूक्ष्म है। यदि और केवल यदि A एक परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर है।<ref>{{citation |last=Pazy |first=A. |title=Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations |page=2 |publisher=Springer-Verlag |location=New York |year=1983 |isbn=0-387-90845-5 }}</ref> यदि X एक परिमित-आयामी बनच स्थान है, तो कोई भी दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह है। एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह के लिए जो एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह नहीं है, अत्यल्प जनरेटर A बाध्य नहीं है। इस में <math>e^{At}</math> जुटने की आवश्यकता नहीं है।

== '''उदाहरण''' ==

Line 46:

बनच स्थान पर विचार करें <math>C_0(\mathbb{R}):=\{f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C} \text{ continuous}:

\forall \epsilon >0 ~\exists c>0 \text{ such that } \vert f(x) \vert \leq \epsilon ~

\forall x\in \mathbb{R} \setminus [-c,c] \}</math> अधिमान से संपन्न <math>\Vert f\Vert := \text{sup}_{x\in \mathbb {R}}\vert f(x) \vert</math>. होने देना <math>q: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}</math> के साथ एक सतत कार्य करें <math>\text{sup}_{s\in \mathbb{R}}\text{Re}(q(s))<\infin</math>. परिचालक <math>M_qf:=q\cdot f</math> ~~डोमेन~~ के साथ <math>D(M_q):=\{f\in C_0(\mathbb{R}): q\cdot f \in C_0(\mathbb{R}) \}</math> एक बंद सघन रूप से परिभाषित अर्धसमूह है और गुणन कार्यक्षेत्र अर्धसमूह उत्पन्न करता है <math>(T_q(t))_{t\geq 0}</math> कहाँ पे <math>T_q(t)f:= \mathrm{e}^{qt}f.</math> गुणन संचालकों को [[विकर्ण मैट्रिक्स]] के अनंत आयामी सामान्यीकरण और बहुत सारे गुणों के रूप में देखा जा सकता है, <math>M_q</math> के गुणों से प्राप्त किया जा सकता है <math>q</math>. उदाहरण के लिए <math>M_q</math> पर आबद्ध है <math>C_0(\mathbb{R)}</math> और केवल <math>q</math> घिरा है।<ref>{{citation|surname1=Klaus-Jochen Engel|title=A short course on operator semigroups|publisher=Springer|publication-place=New York, N.Y.|at=pp. 20ff|isbn=0-387-36619-9|date=2006|language=German

\forall x\in \mathbb{R} \setminus [-c,c] \}</math> अधिमान से संपन्न <math>\Vert f\Vert := \text{sup}_{x\in \mathbb {R}}\vert f(x) \vert</math>. होने देना <math>q: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}</math> के साथ एक सतत कार्य करें <math>\text{sup}_{s\in \mathbb{R}}\text{Re}(q(s))<\infin</math>. परिचालक <math>M_qf:=q\cdot f</math> कार्यक्षेत्र के साथ <math>D(M_q):=\{f\in C_0(\mathbb{R}): q\cdot f \in C_0(\mathbb{R}) \}</math> एक बंद सघन रूप से परिभाषित अर्धसमूह है और गुणन कार्यक्षेत्र अर्धसमूह उत्पन्न करता है <math>(T_q(t))_{t\geq 0}</math> कहाँ पे <math>T_q(t)f:= \mathrm{e}^{qt}f.</math> गुणन संचालकों को [[विकर्ण मैट्रिक्स]] के अनंत आयामी सामान्यीकरण और बहुत सारे गुणों के रूप में देखा जा सकता है, <math>M_q</math> के गुणों से प्राप्त किया जा सकता है <math>q</math>. उदाहरण के लिए <math>M_q</math> पर आबद्ध है <math>C_0(\mathbb{R)}</math> और केवल <math>q</math> घिरा है।<ref>{{citation|surname1=Klaus-Jochen Engel|title=A short course on operator semigroups|publisher=Springer|publication-place=New York, N.Y.|at=pp. 20ff|isbn=0-387-36619-9|date=2006|language=German

}}</ref>

Line 57:

== '''सार [[कॉची समस्या]]एं''' ==

== [[कॉची समस्या|'''सार''']] '''[[कॉची समस्या|कॉची समस्याएं]]''' ==

सार कॉची समस्या पर विचार करें:

:<math>u'(t)=Au(t),~~~u(0)=x,</math>

जहां ए बनच रिक्त एक्स कार्यक्षेत्र और x∈X पर एक बंद है। इस समस्या के समाधान की दो अवधारणाएँ हैं:

जहां A बनच रिक्त एक्स कार्यक्षेत्र और x∈X पर एक बंद है। इस समस्या के समाधान की दो अवधारणाएँ हैं:

* एक सतत अवकलनीय फलन u:[0,∞)→X को कॉची समस्या का '~~शास्त्रीय~~ समाधान' कहा जाता है यदि u(t) ∈ D(A) सभी t > 0 के लिए और यह प्रारंभिक मूल्य समस्या को संतुष्ट करता है,

* एक सतत अवकलनीय फलन u:[0,∞)→X को कॉची समस्या का 'मौलिक समाधान' कहा जाता है यदि u(t) ∈ D(A) सभी t > 0 के लिए और यह प्रारंभिक मूल्य समस्या को संतुष्ट करता है,

* एक सतत फलन u:[0,∞) → X को कॉची समस्या का 'हल्का समाधान' कहा जाता है यदि

:<math>\int_0^t u(s)\,ds\in D(A)\text{ and }A \int_0^t u(s)\,ds=u(t)-x.</math>

एक हल्का समाधान एक ~~शास्त्रीय~~ समाधान है और अगर यह लगातार भिन्न होता है।<ref>Arendt et al. Proposition 3.1.2</ref>

एक हल्का समाधान एक मौलिक समाधान है और अगर यह लगातार भिन्न होता है।<ref>Arendt et al. Proposition 3.1.2</ref>

निम्नलिखित प्रमेय सार कॉची समस्याओं और दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूहों को जोड़ता है।

प्रमेय<ref>Arendt et al. Theorem 3.1.12</ref>बता दें कि 'ए' एक बैनच '~~एक्स~~' पर एक बंद ऑपरेटर है। निम्नलिखित दावे समतुल्य हैं:

प्रमेय<ref>Arendt et al. Theorem 3.1.12</ref>बता दें कि 'A' एक बैनच 'X' पर एक बंद ऑपरेटर है। निम्नलिखित दावे समतुल्य हैं:

# सभी ''x''∈''X'' के लिए सार कॉची समस्या का एक अनूठा हल्का समाधान मौजूद है,

# ऑपरेटर 'ए' एक जोरदार निरंतर अर्धसमूह उत्पन्न करता है,

# ऑपरेटर 'A' एक जोरदार निरंतर अर्धसमूह उत्पन्न करता है,

# ''A'' का [[विलायक सेट]] खाली नहीं है और सभी ''x'' ∈ ''D''(''A'') के लिए कॉची समस्या का एक अनूठा ~~शास्त्रीय~~ समाधान ~~मौजूद~~ है।

# ''A'' का [[विलायक सेट]] खाली नहीं है और सभी ''x'' ∈ ''D''(''A'') के लिए कॉची समस्या का एक अनूठा मौलिक समाधान उपस्थित है।

जब ये ~~दावे~~ मान्य होते हैं तो कॉची समस्या का समाधान ''u''(''t'') = ''T''(''t'')''x'' के साथ ''T'' द्वारा दिया जाता है 'ए' द्वारा उत्पन्न दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह।

जब ये प्रमाण मान्य होते हैं, तो कॉची समस्या का समाधान ''u''(''t'') = ''T''(''t'')''x'' के साथ ''T'' द्वारा दिया जाता है 'A' द्वारा उत्पन्न दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह।

== '''पीढ़ी प्रमेय''' ==

Line 80:

=== समान रूप से निरंतर अर्धसमूह ===

दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह टी को 'समान रूप से निरंतर' कहा जाता है यदि ~~प्रारूप टी~~ → टी (टी) [0, ∞) से एल (~~एक्स~~) तक निरंतर है।

दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह टी को 'समान रूप से निरंतर' कहा जाता है यदि मैप ''t'' → ''T''(''t'') [0, ∞) से ''L''(''X'') तक निरंतर है।

समान रूप से निरंतर अर्धसमूह का डायनमो एक परिबद्ध संचालक है।

=== विश्लेषणात्मक अर्धसमूह ===

=== संकुचन अर्धसमूह ===

=== अलग-अलग अर्धसमूह ===

एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह टी को 'अंततः अलग-अलग' कहा जाता है यदि डायनमो उपस्थित है तो {{math|''t''0 > 0}}, ऐसा है कि {{math|''T''(''t''0)''X''⊂''D''(''A'')}} (समतुल्य: {{math|''T''(''t'')''X'' ⊂ ''D''(''A'')}} सभी के लिए {{math|''t'' ≥ ''t''0)}} और T 'नियमित अवकलनीय' है यदि {{math|''T''(''t'')''X'' ⊂ ''D''(''A'')}} सभी के लिए {{math|''t'' > 0}}.

एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह T को 'अंततः अलग-अलग' कहा जाता है। यदि डायनमो उपस्थित है तो {{math|''t''0 > 0}}, ऐसा है कि {{math|''T''(''t''0)''X''⊂''D''(''A'')}} (समतुल्य: {{math|''T''(''t'')''X'' ⊂ ''D''(''A'')}} सभी के लिए {{math|''t'' ≥ ''t''0)}} और T 'नियमित अवकलनीय' है, यदि {{math|''T''(''t'')''X'' ⊂ ''D''(''A'')}} सभी के लिए {{math|''t'' > 0}}.

हर विश्लेषणात्मक अर्धसमूह तुरंत अलग-अलग होता है।

प्रत्येक विश्लेषणात्मक अर्धसमूह तुरंत अलग-अलग होता है।

कॉची समस्याओं के संदर्भ में एक समतुल्य विशेषता निम्नलिखित है: ए द्वारा उत्पन्न दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह अंततः भिन्न होता है। यदि और केवल तभी उपस्थित होता है {{math|''t''1 ≥ 0}} ऐसा कि सभी के लिए {{math|''x'' ∈ ''X''}} अमूर्त कौशी समस्या का समाधान u अवकलनीय है {{math|(''t''1, ∞)}}. यदि टी हो तो तुरंत भिन्न होता है, तो शून्य चुना जा सकता है।

कॉची समस्याओं के संदर्भ में एक समतुल्य विशेषता निम्नलिखित है: A द्वारा उत्पन्न दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह अंततः भिन्न होता है। यदि केवल तभी उपस्थित होता है {{math|''t''1 ≥ 0}} ऐसा कि सभी के लिए {{math|''x'' ∈ ''X''}} अमूर्त कौशी समस्या का समाधान u अवकलनीय है {{math|(''t''1, ∞)}}. यदि ''t''1 हो तो तुरंत भिन्न होता है, तो शून्य चुना जा सकता है।

=== कॉम्पैक्ट सेमीग्रुप्स ===

एक दृढ़ता से निरंतर सेमीग्रुप टी को 'अंततः कॉम्पैक्ट' कहा जाता है यदि कोई ~~टी मौजूद~~ है0> 0 ऐसा कि टी(टी0) एक [[कॉम्पैक्ट ऑपरेटर]] है (समकक्ष~~<ref>Engel and Nagel Lemma II.4.22</ref>~~ अगर टी(टी) सभी ~~टी ≥ टी~~ के लिए एक कॉम्पैक्ट ~~ऑपरेटर~~ है~~0~~)। यदि ''T''(''t'') सभी ''t'' > 0 के लिए एक कॉम्पैक्ट संचालक है, तो को तुरंत कॉम्पैक्ट कहा जाता है।

एक दृढ़ता से निरंतर सेमीग्रुप T को 'अंततः कॉम्पैक्ट' कहा जाता है। यदि कोई T उपस्थित है T0> 0 ऐसा कि T(T0) एक [[कॉम्पैक्ट ऑपरेटर|कॉम्पैक्ट संचालक]] है (समकक्ष अगर T(T) सभी T≥ T के लिए एक कॉम्पैक्ट संचालक है)। यदि ''T''(''t'') सभी ''t'' > 0 के लिए एक कॉम्पैक्ट संचालक है, तो अर्धसमूह को तुरंत कॉम्पैक्ट कहा जाता है।

=== सामान्य निरंतर अर्धसमूह ===

यदि एक 'टी' ~~मौजूद~~ है तो एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह को अंततः आदर्श निरंतर कहा जाता है0≥ 0 ऐसा कि ~~नक्शा~~ t → T(t) से निरंतर है (टी0, ∞) से एल(~~एक्स~~)। अर्धसमूह को 'तत्काल मानक निरंतर' कहा जाता है यदि टी0 शून्य चुना जा सकता है।

यदि एक 'T' उपस्थित है तो एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह को अंततः आदर्श निरंतर कहा जाता है t0≥ 0 ऐसा कि मैप t → T(t) से निरंतर है (T0, ∞) से L(X)। अर्धसमूह को 'तत्काल मानक निरंतर' कहा जाता है। यदि T0 शून्य चुना जा सकता है।

ध्यान दें कि ~~तत्काल~~ मानक निरंतर ~~सेमीग्रुप~~ के लिए मैप t→ T(t) t = 0 में निरंतर नहीं हो सकता है (जो ~~सेमीग्रुप~~ को समान रूप से निरंतर बना देगा)।

ध्यान दें कि निरन्तर मानक निरंतर अर्धसमूह के लिए मैप t→ T(t) t = 0 में निरंतर नहीं हो सकता है (जो अर्धंसमूह को समान रूप से निरंतर बना देगा)।

विश्लेषणात्मक सेमीग्रुप्स, (अंततः) ~~डिफरेंशियल सेमीग्रुप्स~~ और (अंततः) कॉम्पैक्ट ~~सेमीग्रुप्स~~ सभी अंततः मानक निरंतर हैं।<ref>Engel and Nagel (diagram II.4.26)</ref>

विश्लेषणात्मक सेमीग्रुप्स, (अंततः) अवकलनीय अर्धसमूहों और (अंततः) कॉम्पैक्ट अर्धसमूहों सभी अंततः मानक निरंतर हैं।<ref>Engel and Nagel (diagram II.4.26)</ref>

~~== स्थिरता ==~~

~~===~~ घातीय स्थिरता ~~===~~

'''<big>स्थिरता</big>'''

'''<big>घातीय स्थिरता</big>'''

~~सेमीग्रुप~~ ''T'' का विकास स्थिरांक है

अर्धसमूह ''T'' का विकास स्थिरांक है

: <math> \omega_0 = \inf_{t>0} \frac1t \log \| T(t) \|. </math>

इसे इसलिए कहा जाता है क्योंकि यह संख्या सभी वास्तविक संख्याओं ω से भी कम होती है जैसे कि एक स्थिरांक M (≥ 1) ~~मौजूद~~ होता है

इसे इसलिए कहा जाता है क्योंकि यह संख्या सभी वास्तविक संख्याओं ω से भी कम उपस्थित होती हैं। जैसे कि एक स्थिरांक M (≥ 1) होता है

: <math>\|T(t)\| \leq Me^{\omega t}</math>

सभी टी ≥ 0 के लिए।

सभी T ≥ 0 के लिए।

निम्नलिखित समतुल्य हैं:<ref>Engel and Nagel Section V.1.b</ref>

#~~मौजूद~~ M,ω>0 ऐसा है कि सभी t ≥ 0 के लिए: <math>\|T(t)\|\leq M{\rm e}^{-\omega t},</math>

#स्थित M,ω>0 ऐसा है कि सभी t ≥ 0 के लिए: <math>\|T(t)\|\leq M{\rm e}^{-\omega t},</math>

#विकास की सीमा ऋणात्मक है: ω0<0,

# सेमीग्रुप [[वर्दी ऑपरेटर टोपोलॉजी]] में शून्य में परिवर्तित हो जाता है: <math>\lim_{t\to\infty}\|T(t)\|=0</math>,

# सेमीग्रुप [[वर्दी ऑपरेटर टोपोलॉजी|वर्दी संचालक घातीय प्रकार्य]] में शून्य में परिवर्तित हो जाता है: <math>\lim_{t\to\infty}\|T(t)\|=0</math>,

#वहाँ एक ~~टी मौजूद~~ है0> 0 ऐसा कि <math>\|T(t_0)\|<1</math>,

#वहाँ एक T उपस्थित है0> 0 ऐसा कि <math>\|T(t_0)\|<1</math>,

#वहाँ एक ~~टी मौजूद~~ है1> 0 ऐसा है कि T(t1) 1 से बिल्कुल छोटा है,

#वहाँ एक T उपस्थित है1> 0 ऐसा है कि T(t1) 1 से बिल्कुल छोटा है,

# एक p ∈ [1, ∞) ~~मौजूद~~ है जैसे कि सभी x∈X के लिए: <math>\int_0^\infty\|T(t)x\|^p\,dt<\infty</math>,

# एक p ∈ [1, ∞) स्थित है, जैसे कि सभी x∈X के लिए: <math>\int_0^\infty\|T(t)x\|^p\,dt<\infty</math>,

#सभी p ∈ [1, ∞) और सभी x∈ X के लिए: <math>\int_0^\infty\|T(t)x\|^p\,dt<\infty.</math>

एक अर्धसमूह जो इन समतुल्य शर्तों को पूरा करता है, उसे घातीय रूप से स्थिर या समान रूप से स्थिर कहा जाता है (उपरोक्त कथनों में से पहले तीन में से किसी एक को साहित्य के कुछ हिस्सों में परिभाषा के रूप में ~~लिया~~ जाता है)। वह '' एलp स्थितियाँ चरघातांकी स्थिरता के समतुल्य होती ~~हैं~~ जिसे 'डाटको-पाज़ी प्रमेय' कहा जाता है।

एक अर्धसमूह जो इन समतुल्य शर्तों को पूरा करता है, उसे घातीय रूप से स्थिर या समान रूप से स्थिर कहा जाता है (उपरोक्त कथनों में से पहले तीन में से किसी एक को साहित्य के कुछ हिस्सों में परिभाषा के रूप में प्रयोग किया जाता है)। वह ''Lp'' स्थितियाँ चरघातांकी स्थिरता के समतुल्य होती हैं। जिसे 'डाटको-पाज़ी प्रमेय' कहा जाता है।

यदि X एक [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष]] है, तो एक और स्थिति है जो ~~जनरेटर~~ के [[विलायक ऑपरेटर]] के संदर्भ में घातीय स्थिरता के बराबर है:<ref>Engel and Nagel Theorem V.1.11</ref> ~~सकारात्मक~~ वास्तविक भाग वाले सभी λ A के रिज़ॉल्वेंट सेट से संबंधित हैं और रिज़ॉल्वेंट ~~ऑपरेटर~~ समान रूप से ~~दाहिने आधे विमान~~ पर बंधा हुआ है, ~~यानी~~ (λI − A)−1 [[हार्डी स्पेस]] से संबंधित है <math>H^\infty(\mathbb{C}_+;L(X))</math>. इसे गियरहार्ट-प्रस प्रमेय कहा जाता है।

यदि X एक [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष]] है, तो एक और स्थिति है, जो अर्धसमूह के [[विलायक ऑपरेटर|विलायक अर्धचालक]] के संदर्भ में घातीय स्थिरता के बराबर है:<ref>Engel and Nagel Theorem V.1.11</ref> धनात्मक वास्तविक भाग वाले सभी λ A के रिज़ॉल्वेंट सेट से संबंधित हैं और रिज़ॉल्वेंट(विश्लेषक) संचालक समान रूप से दायीं आधी सतह पर बंधा हुआ है, अर्थात (λI − A)−1 [[हार्डी स्पेस]] से संबंधित है <math>H^\infty(\mathbb{C}_+;L(X))</math>। इसे गियरहार्ट-प्रस प्रमेय कहा जाता है।

एक ऑपरेटर 'ए' की ~~वर्णक्रमीय~~ सीमा स्थिर है

एक ऑपरेटर 'A' की वर्णक्रम की सीमा स्थिर है

:<math>s(A):=\sup\{{\rm Re}\,\lambda:\lambda\in\sigma(A)\}</math>,

इस ~~परंपरा~~ के साथ कि s(A) = −∞ अगर A का [[स्पेक्ट्रम]] ~~खाली~~ है।

इस स्थिति के साथ कि s(A) = −∞ अगर A का [[स्पेक्ट्रम]] बिल्कुल रिक्त है।

एक ~~सेमीग्रुप~~ की वृद्धि और उसके ~~जनरेटर~~ की वर्णक्रमीय सीमा से संबंधित हैं:<ref>Engel and Nagel Proposition IV2.2</ref> एस (ए) ≤ω0(टी)। उदाहरण हैं<ref>Engel and Nagel Section IV.2.7, Luo et al. Example 3.6</ref> जहां एस(ए) ~~< ω~~0(टी)। यदि s(A) = ω0(टी), तो टी को 'वर्णक्रमीय निर्धारित विकास की स्थिति' को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है। अंततः मानक-निरंतर अर्धसमूह वर्णक्रमीय निर्धारित वृद्धि की स्थिति को संतुष्ट करते हैं।<ref>Engel and Nagel Corollary 4.3.11</ref> यह इन सेमीग्रुप्स के लिए घातीय स्थिरता का एक और समकक्ष विशेषता देता है:

एक अर्धसमूह की वृद्धि और उसके डायनमो की वर्णक्रमीय सीमा से संबंधित हैं:<ref>Engel and Nagel Proposition IV2.2</ref> ''s(A)≤ω0(T)''। उदाहरण हैं<ref>Engel and Nagel Section IV.2.7, Luo et al. Example 3.6</ref> जहां ''s(A)≤ω0(T)''। यदि ''s''(''A'') = ''ω''0(''T''),, तो T को 'वर्णक्रमीय निर्धारित विकास की स्थिति' को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है। अंततः मानक-निरंतर अर्धसमूह वर्णक्रमीय निर्धारित वृद्धि की स्थिति को संतुष्ट करते हैं।<ref>Engel and Nagel Corollary 4.3.11</ref> यह इन सेमीग्रुप्स के लिए घातीय स्थिरता का एक और समकक्ष विशेषता देता है:

*अंततः मानक-निरंतर अर्धसमूह चरघातांकी रूप से स्थिर होता है यदि और केवल यदि s(A) < 0।

*अंततः मानक-निरंतर अर्धसमूह चरघातांकी रूप से स्थिर होता है, यदि और केवल यदि s(A) < 0।

ध्यान दें कि अंततः कॉम्पैक्ट, अंततः अलग-अलग, विश्लेषणात्मक और समान रूप से निरंतर ~~सेमिग्रुप~~ अंततः मानक-निरंतर होते हैं ~~ताकि~~ वर्णक्रमीय निर्धारित विकास की स्थिति विशेष रूप से उन सेमीग्रुप के लिए हो।

ध्यान दें कि अंततः कॉम्पैक्ट, अंततः अलग-अलग, विश्लेषणात्मक और समान रूप से निरंतर सेमीग्रुप अंततः मानक-निरंतर होते हैं, क्योंकि वर्णक्रमीय निर्धारित विकास की स्थिति विशेष रूप से उन सेमीग्रुप के लिए हो।

=== मजबूत स्थिरता ===

यदि सभी x ∈ X के लिए एक अत्यधिक निरंतर अर्धसमूह T को 'दृढ़ता से स्थिर' या 'असामयिक रूप से स्थिर' कहा जाता है: <math>\lim_{t\to\infty}\|T(t)x\|=0</math>.

घातीय स्थिरता का ~~तात्पर्य~~ मजबूत स्थिरता से है, लेकिन ~~अगर~~ एक्स अनंत-आयामी है (यह एक्स परिमित-आयामी के लिए सच है) तो इसका ~~विलोम आम तौर पर~~ सच नहीं है।

घातीय स्थिरता का अर्थ मजबूत स्थिरता से है, लेकिन सामान्यतः यदि एक्स अनंत-आयामी है (यह एक्स परिमित-आयामी के लिए सही है) तो इसका उल्टा सामान्यतः सच नहीं है।

मजबूत स्थिरता के लिए निम्नलिखित पर्याप्त स्थिति को 'अरेंड्ट-बैट्टी-ल्यूबिच-फोंग प्रमेय' कहा जाता है:<ref name="Arendt and Batty">{{ citation | last1=Arendt| first1=Wolfgang| last2=Batty| first2=Charles| title=Tauberian theorems and stability of one-parameter semigroups | year=1988| journal=Transactions of the American Mathematical Society |volume=306 |issue= 2|pages=837–852 |doi=10.1090/S0002-9947-1988-0933321-3 | doi-access=free}}</ref><ref name="Lyubich and Phong">{{ citation | last1=Lyubich| first1=Yu| last2=Phong| first2=Vu Quoc| title=Asymptotic stability of linear differential equations in Banach spaces | year=1988| journal=Studia Mathematica |volume=88 |issue=1 |pages=37–42 | doi=10.4064/sm-88-1-37-42| doi-access=free}}</ref> मान लो की

मजबूत स्थिरता के लिए निम्नलिखित पर्याप्त स्थिति को 'अरेंड्ट-बैट्टी-ल्यूबिच-फोंग प्रमेय' कहा जाता है: माना की

# T घिरा हुआ है: एक M ≥ 1 ऐसा ~~मौजूद~~ है <math>\|T(t)\|\leq M</math>,

# T घिरा हुआ है: एक M ≥ 1 ऐसा उपस्थित है <math>\|T(t)\|\leq M</math>,

# ए में काल्पनिक अक्ष पर [[अवशिष्ट स्पेक्ट्रम]] नहीं है, और

# A में काल्पनिक अक्ष पर [[अवशिष्ट स्पेक्ट्रम]] नहीं है, और

# काल्पनिक अक्ष पर स्थित A का स्पेक्ट्रम गणनीय है।

तब T दृढ़ता से स्थिर है।

यदि ~~एक्स रिफ्लेक्सिव है~~ तो स्थितियां सरल हो जाती हैं: यदि टी बाध्य है~~, ए~~ में काल्पनिक धुरी पर कोई ईजेनवैल्यू नहीं है और काल्पनिक धुरी पर स्थित ए के स्पेक्ट्रम की गणना की जा सकती ~~है,~~ तो टी दृढ़ता से स्थिर है।

यदि X बाध्य है। तो स्थितियां सरल हो जाती हैं: यदि T बाध्य है और डायनमो A में काल्पनिक धुरी पर कोई ईजेनवैल्यू नहीं है और काल्पनिक धुरी पर स्थित ए के स्पेक्ट्रम की गणना की जा सकती है। तो T दृढ़ता से स्थिर है।

== यह भी देखें ==

Line 163:

* [[संकुचन अर्धसमूह]]

* मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल

* [[~~ऑपरेटरों~~ का मजबूत निरंतर परिवार]]

* [[संचालकों का मजबूत निरंतर परिवार]]

* [[सार अंतर समीकरण]]

==टिप्पणियाँ==

Line 173:

Line 172:

~~==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==~~

*अंक शास्त्र

*आंशिक विभेदक समीकरण

*देरी अंतर समीकरण

*बनच स्थान

*परिबद्ध संचालिका

*कार्यात्मक गणना

*रैखिक ऑपर

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@@ Line 2: / Line 2: @@
 {{DISPLAYTITLE:''C''<sub>0</sub>-semigroup }}
-गणित में एक ''सीओ''-[[semigroup|अर्थसमूह]] [[घातांक प्रकार्य]] का सामान्यीकरण है, जिसे दृढ़ता से निरंतर एक-परिधि अर्थसमूह के रूप में भी जाना जाता है। जैसे घातांक प्रकार्य रैखिक निरंतर गुणांक सामान्य अंतर समीकरणों के समाधान प्रदान करते हैं और दृढ़ता से निरंतर सेमीग्रुप बनच रिक्त स्थान में रैखिक निरंतर गुणांक [[साधारण अंतर समीकरण|साधारण अंतर समीकरणों]] के समाधान प्रदान करते हैं। बानाच स्थानों में इस तरह के अंतर समीकरण उदा से उत्पन्न होते हैं जैसे कि विलंब अवकल समीकरण और आंशिक अवकल समीकरण।
+गणित में एक  [[semigroup|C0-सेमीग्रुप]] [[घातांक प्रकार्य]] का सामान्यीकरण है, जिसे दृढ़ता से निरंतर एक-परिधि अर्थसमूह के रूप में भी जाना जाता है। जैसे घातांक प्रकार्य रैखिक निरंतर गुणांक सामान्य अंतर समीकरणों के समाधान प्रदान करते हैं और निश्चित रूप से निरंतर सेमीग्रुप बनच रिक्त स्थान में रैखिक निरंतर गुणांक [[साधारण अंतर समीकरण|साधारण अंतर समीकरणों]] के समाधान प्रदान करते हैं। बनच स्थानों में इस तरह के अंतर समीकरण उदाहरण से उत्पन्न होते हैं, जैसे कि विलंब अवकल समीकरण और आंशिक अवकल समीकरण।
-औपचारिक रूप से एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह सेमीग्रुप (आर<sub>+</sub>,+) कुछ बनच रिक्त स्थान एक्स पर, जो [[मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी|मजबूत संचालक सीन विज्ञान]] में, निरंतर है। इस प्रकार कठोरता से बोलना एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह एक अर्धसमूह नहीं है, बल्कि एक विशेष अर्धसमूह का निरंतर प्रतिनिधित्व है।
+औपचारिक रूप से निरंतर सेमीग्रुप, सेमीग्रुप ('''R'''<sub>+</sub>,+) कुछ बनच रिक्त स्थान X पर इस प्रकार कठोरता से बोलना एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह एक अर्धसमूह नहीं है। जो [[मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी|मजबूत संचालक सीन विज्ञान]] में निरंतर कार्यरत है, परन्तु एक विशेष अर्धसमूह का निरंतर प्रतिनिधित्व है।
 == '''औपचारिक परिभाषा''' ==
@@ Line 10: / Line 10: @@
 <math> T : \mathbb{R}_+ \to   L(X) </math>
 जो ऐसा है कि
-# <math> T(0) = I </math>,   ([[पहचान ऑपरेटर|पहचान संचालक]] चालू <math>X</math>)
+# <math> T(0) = I </math>,   ([[पहचान ऑपरेटर|पहचान संचालक]] <math>X</math> पर)
 # <math>\forall t,s \ge 0 : \ T(t + s) = T(t) T(s)</math>
 # <math>\forall x_0 \in X: \ \|T(t) x_0 - x_0\| \to 0</math>, जैसा <math>t\downarrow 0</math>.
-पहले दो स्वयंसिद्ध बीजगणितीय हैं और यह बताएं <math>T</math> अर्धसमूह का प्रतिनिधित्व है <math>{(\mathbb{R}_+,+)}</math> अंतिम  है और बताता है कि  <math>T</math> मजबूत संचालक सीन विज्ञान में [[निरंतरता (टोपोलॉजी)|निरंतरता]]  है।
+पहले दो स्वयंसिद्ध बीजगणितीय हैं और यह बताया गया है कि <math>T</math> अर्धसमूह का प्रतिनिधित्व है और <math>{(\mathbb{R}_+,+)}</math> अंतिम  है और बताता है कि  <math>T</math> मजबूत संचालक सीन विज्ञान में [[निरंतरता (टोपोलॉजी)|निरंतरता]]  है।
 == '''अनंत डायनमो''' ==
-दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह ''टी'' के अत्यल्प डायनमो ''ए''  द्वारा परिभाषित किया गया है:
+सी ओ सेमीग्रुप में एक अनंत डायनमो को निश्चित रूप से निरंतर डायनमो   द्वारा परिभाषित किया गया है:
 : <math> A\,x = \lim_{t\downarrow0} \frac1t\,(T(t)- I)\,x </math>
-A, D(A) का प्रांत x∈X का समुच्चय है और जिसके लिए यह सीमा स्थित है; डी (ए) एक रैखिक उपसमष्टि है और ए इस पर रैखिक कार्यक्षेत्र है।<ref>Partington (2004) page 23</ref>  ए [[बंद ऑपरेटर|बंद संचालक]] है, चूंकि आवश्यक रूप से बाध्य  नहीं है और कार्यक्षेत्र एक्स में सघन है।<ref>Partington (2004) page 24</ref>
+A, D(A) का प्रांत x∈X का समुच्चय है और जिसके लिए यह सीमा स्थित है; ''D''(''A'') एक रैखिक उपसमष्टि है और A इस पर रैखिक कार्यक्षेत्र है।<ref>Partington (2004) page 23</ref>   [[बंद ऑपरेटर|बंद संचालक]] है, चूंकि आवश्यक रूप से बाध्य  नहीं है और कार्यक्षेत्र X में सघन है।<ref>Partington (2004) page 24</ref>
-ए के साथ दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह टी को अधिकांशतः प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है <math>e^{At}</math> (या समकक्ष <math>\exp(At)</math>). यह संकेतन [[मैट्रिक्स घातीय]] के लिए और कार्यात्मक कलन (उदाहरण के लिए [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] के माध्यम से) के माध्यम से परिभाषित एक  के कार्यों के लिए संगत है।
+A के साथ दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह T को अधिकांशतः प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है <math>e^{At}</math> (या समकक्ष <math>\exp(At)</math>). यह संकेतन [[मैट्रिक्स घातीय]] के लिए और कार्यात्मक कलन (उदाहरण के लिए [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] के माध्यम से) के माध्यम से परिभाषित एक  के कार्यों के लिए संगत है।
 == '''समान रूप से निरंतर अर्धसमूह''' ==
-एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह टी है जैसे कि
+एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह T है, जैसे कि
 :<math> \lim_{t \to 0^+} \| T(t) - I \| = 0 </math>
-रखती है। इस स्थिति में T का अत्यल्प डायनमो  A परिबद्ध है और हमारे पास है
+रखती है। इस स्थिति में T का अति अल्प डायनमो  A परिबद्ध है और हमारे पास
 :<math> \mathcal{D}(A)=X </math>
@@ Line 39: / Line 39: @@
 :<math> T(t) := e^{At}</math>.
-इस प्रकार एक रैखिक अर्धसमूह संकारक A एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह का अतिसूक्ष्म  है यदि और केवल यदि A एक परिबद्ध रैखिक संचालिका है।<ref>{{citation |last=Pazy |first=A. |title=Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations |page=2 |publisher=Springer-Verlag |location=New York |year=1983 |isbn=0-387-90845-5 }}</ref> यदि X एक परिमित-आयामी बैनच स्थान है, तो कोई भी दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह है। एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह के लिए जो एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह नहीं है और अत्यल्प  A बाध्य नहीं है। इस  में <math>e^{At}</math> जुटने की आवश्यकता नहीं है।
+इस प्रकार एक रैखिक अर्धसमूह संकारक A एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह का अतिसूक्ष्म  है। यदि और केवल यदि A एक परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर है।<ref>{{citation |last=Pazy |first=A. |title=Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations |page=2 |publisher=Springer-Verlag |location=New York |year=1983 |isbn=0-387-90845-5 }}</ref> यदि X एक परिमित-आयामी बनच स्थान है, तो कोई भी दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह है। एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह के लिए जो एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह नहीं है, अत्यल्प जनरेटर A बाध्य नहीं है। इस  में <math>e^{At}</math> जुटने की आवश्यकता नहीं है।
 == '''उदाहरण''' ==
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 बनच स्थान पर विचार करें <math>C_0(\mathbb{R}):=\{f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C} \text{ continuous}:
 \forall \epsilon >0 ~\exists c>0 \text{ such that } \vert f(x) \vert \leq \epsilon ~
-\forall x\in \mathbb{R} \setminus [-c,c] \}</math> अधिमान से संपन्न <math>\Vert f\Vert := \text{sup}_{x\in \mathbb {R}}\vert f(x) \vert</math>. होने देना <math>q: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}</math> के साथ एक सतत कार्य करें <math>\text{sup}_{s\in \mathbb{R}}\text{Re}(q(s))<\infin</math>. परिचालक <math>M_qf:=q\cdot f</math> डोमेन के साथ <math>D(M_q):=\{f\in C_0(\mathbb{R}): q\cdot f \in C_0(\mathbb{R})   \}</math> एक बंद सघन रूप से परिभाषित अर्धसमूह है और गुणन कार्यक्षेत्र अर्धसमूह उत्पन्न करता है <math>(T_q(t))_{t\geq 0}</math> कहाँ पे <math>T_q(t)f:= \mathrm{e}^{qt}f.</math> गुणन संचालकों को [[विकर्ण मैट्रिक्स]] के अनंत आयामी सामान्यीकरण और बहुत सारे गुणों के रूप में देखा जा सकता है, <math>M_q</math> के गुणों से प्राप्त किया जा सकता है  <math>q</math>. उदाहरण के लिए <math>M_q</math> पर आबद्ध है <math>C_0(\mathbb{R)}</math> और केवल <math>q</math> घिरा है।<ref>{{citation|surname1=Klaus-Jochen Engel|title=A short course on operator semigroups|publisher=Springer|publication-place=New York, N.Y.|at=pp.&nbsp;20ff|isbn=0-387-36619-9|date=2006|language=German
+\forall x\in \mathbb{R} \setminus [-c,c] \}</math> अधिमान से संपन्न <math>\Vert f\Vert := \text{sup}_{x\in \mathbb {R}}\vert f(x) \vert</math>. होने देना <math>q: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}</math> के साथ एक सतत कार्य करें <math>\text{sup}_{s\in \mathbb{R}}\text{Re}(q(s))<\infin</math>. परिचालक <math>M_qf:=q\cdot f</math> कार्यक्षेत्र के साथ <math>D(M_q):=\{f\in C_0(\mathbb{R}): q\cdot f \in C_0(\mathbb{R})   \}</math> एक बंद सघन रूप से परिभाषित अर्धसमूह है और गुणन कार्यक्षेत्र अर्धसमूह उत्पन्न करता है <math>(T_q(t))_{t\geq 0}</math> कहाँ पे <math>T_q(t)f:= \mathrm{e}^{qt}f.</math> गुणन संचालकों को [[विकर्ण मैट्रिक्स]] के अनंत आयामी सामान्यीकरण और बहुत सारे गुणों के रूप में देखा जा सकता है, <math>M_q</math> के गुणों से प्राप्त किया जा सकता है  <math>q</math>. उदाहरण के लिए <math>M_q</math> पर आबद्ध है <math>C_0(\mathbb{R)}</math> और केवल <math>q</math> घिरा है।<ref>{{citation|surname1=Klaus-Jochen Engel|title=A short course on operator semigroups|publisher=Springer|publication-place=New York, N.Y.|at=pp.&nbsp;20ff|isbn=0-387-36619-9|date=2006|language=German
 }}</ref>
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-== '''सार [[कॉची समस्या]]एं''' ==
+== [[कॉची समस्या|'''सार''']] '''[[कॉची समस्या|कॉची समस्याएं]]''' ==
 सार कॉची समस्या पर विचार करें:
 :<math>u'(t)=Au(t),~~~u(0)=x,</math>
-जहां ए बनच रिक्त एक्स कार्यक्षेत्र और x∈X पर एक बंद है। इस समस्या के समाधान की दो अवधारणाएँ हैं:
+जहां A बनच रिक्त एक्स कार्यक्षेत्र और x∈X पर एक बंद है। इस समस्या के समाधान की दो अवधारणाएँ हैं:
-* एक सतत अवकलनीय फलन u:[0,∞)→X को कॉची समस्या का 'शास्त्रीय समाधान' कहा जाता है यदि u(t) ∈ D(A) सभी t > 0 के लिए और यह प्रारंभिक मूल्य समस्या को संतुष्ट करता है,
+* एक सतत अवकलनीय फलन u:[0,∞)→X को कॉची समस्या का 'मौलिक समाधान' कहा जाता है यदि u(t) ∈ D(A) सभी t > 0 के लिए और यह प्रारंभिक मूल्य समस्या को संतुष्ट करता है,
 * एक सतत फलन u:[0,∞) → X को कॉची समस्या का 'हल्का समाधान' कहा जाता है यदि
 :<math>\int_0^t u(s)\,ds\in D(A)\text{ and }A \int_0^t u(s)\,ds=u(t)-x.</math>
-एक हल्का समाधान एक शास्त्रीय समाधान है और अगर यह लगातार भिन्न होता है।<ref>Arendt et al. Proposition 3.1.2</ref>
+एक हल्का समाधान एक मौलिक समाधान है और अगर यह लगातार भिन्न होता है।<ref>Arendt et al. Proposition 3.1.2</ref>
 निम्नलिखित प्रमेय सार कॉची समस्याओं और दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूहों को जोड़ता है।
-प्रमेय<ref>Arendt et al. Theorem 3.1.12</ref>बता दें कि 'ए' एक बैनच  'एक्स' पर एक बंद ऑपरेटर है। निम्नलिखित दावे समतुल्य हैं:
+प्रमेय<ref>Arendt et al. Theorem 3.1.12</ref>बता दें कि 'A' एक बैनच  'X' पर एक बंद ऑपरेटर है। निम्नलिखित दावे समतुल्य हैं:
 # सभी ''x''∈''X'' के लिए सार कॉची समस्या का एक अनूठा हल्का समाधान मौजूद है,
-# ऑपरेटर 'ए' एक जोरदार निरंतर अर्धसमूह उत्पन्न करता है,
+# ऑपरेटर 'A' एक जोरदार निरंतर अर्धसमूह उत्पन्न करता है,
-# ''A'' का [[विलायक सेट]] खाली नहीं है और सभी ''x'' ∈ ''D''(''A'') के लिए कॉची समस्या का एक अनूठा शास्त्रीय समाधान मौजूद है।
+# ''A'' का [[विलायक सेट]] खाली नहीं है और सभी ''x'' ∈ ''D''(''A'') के लिए कॉची समस्या का एक अनूठा मौलिक समाधान उपस्थित है।
-जब ये दावे मान्य होते हैं तो कॉची समस्या का समाधान ''u''(''t'') = ''T''(''t'')''x'' के साथ ''T'' द्वारा दिया जाता है 'ए' द्वारा उत्पन्न दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह।
+जब ये प्रमाण मान्य होते हैं, तो कॉची समस्या का समाधान ''u''(''t'') = ''T''(''t'')''x'' के साथ ''T'' द्वारा दिया जाता है 'A' द्वारा उत्पन्न दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह।
 == '''पीढ़ी प्रमेय''' ==
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 === समान रूप से निरंतर अर्धसमूह ===
-दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह टी को 'समान रूप से निरंतर' कहा जाता है यदि प्रारूप टी → टी (टी) [0, ∞) से एल (एक्स) तक निरंतर है।
+दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह टी को 'समान रूप से निरंतर' कहा जाता है यदि मैप ''t'' → ''T''(''t'') [0, ∞) से ''L''(''X'') तक निरंतर है।
 समान रूप से निरंतर अर्धसमूह का डायनमो एक परिबद्ध संचालक है।
 === विश्लेषणात्मक अर्धसमूह ===
-{{Main|analytic semigroup}}
+{{Main|विश्लेषणात्मक अर्धसमूह}}
 === संकुचन अर्धसमूह ===
-{{Main|contraction semigroup}}
+{{Main|संकुचन अर्धसमूह}}
 === अलग-अलग अर्धसमूह ===
-एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह टी को 'अंततः अलग-अलग' कहा जाता है यदि डायनमो उपस्थित है तो {{math|''t''<sub>0</sub>&nbsp;>&nbsp;0}}, ऐसा है कि {{math|''T''(''t''<sub>0</sub>)''X''⊂''D''(''A'')}} (समतुल्य: {{math|''T''(''t'')''X'' ⊂ ''D''(''A'')}} सभी के लिए {{math|''t''&nbsp;≥&nbsp;''t''<sub>0</sub>)}} और T 'नियमित अवकलनीय' है यदि {{math|''T''(''t'')''X''&nbsp;⊂&nbsp;''D''(''A'')}} सभी के लिए {{math|''t''&nbsp;>&nbsp;0}}.
+एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह T को 'अंततः अलग-अलग' कहा जाता है। यदि डायनमो उपस्थित है तो {{math|''t''<sub>0</sub>&nbsp;>&nbsp;0}}, ऐसा है कि {{math|''T''(''t''<sub>0</sub>)''X''⊂''D''(''A'')}} (समतुल्य: {{math|''T''(''t'')''X'' ⊂ ''D''(''A'')}} सभी के लिए {{math|''t''&nbsp;≥&nbsp;''t''<sub>0</sub>)}} और T 'नियमित अवकलनीय' है, यदि {{math|''T''(''t'')''X''&nbsp;⊂&nbsp;''D''(''A'')}} सभी के लिए {{math|''t''&nbsp;>&nbsp;0}}.
-हर विश्लेषणात्मक अर्धसमूह तुरंत अलग-अलग होता है।
+प्रत्येक विश्लेषणात्मक अर्धसमूह तुरंत अलग-अलग होता है।
-कॉची समस्याओं के संदर्भ में एक समतुल्य विशेषता निम्नलिखित है: ए द्वारा उत्पन्न दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह अंततः भिन्न होता है। यदि और केवल तभी उपस्थित होता है {{math|''t''<sub>1</sub>&nbsp;≥&nbsp;0}} ऐसा कि सभी के लिए {{math|''x''&nbsp;∈&nbsp;''X''}} अमूर्त कौशी समस्या का समाधान u अवकलनीय है {{math|(''t''<sub>1</sub>,&nbsp;∞)}}. यदि टी हो तो  तुरंत भिन्न होता है, तो शून्य चुना जा सकता है।
+कॉची समस्याओं के संदर्भ में एक समतुल्य विशेषता निम्नलिखित है: A द्वारा उत्पन्न दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह अंततः भिन्न होता है। यदि केवल तभी उपस्थित होता है {{math|''t''<sub>1</sub>&nbsp;≥&nbsp;0}} ऐसा कि सभी के लिए {{math|''x''&nbsp;∈&nbsp;''X''}} अमूर्त कौशी समस्या का समाधान u अवकलनीय है {{math|(''t''<sub>1</sub>,&nbsp;∞)}}. यदि ''t''<sub>1</sub> हो तो  तुरंत भिन्न होता है, तो शून्य चुना जा सकता है।
 === कॉम्पैक्ट सेमीग्रुप्स ===
-एक दृढ़ता से निरंतर सेमीग्रुप टी को 'अंततः कॉम्पैक्ट' कहा जाता है यदि कोई टी मौजूद है<sub>0</sub>> 0 ऐसा कि टी(टी<sub>0</sub>) एक [[कॉम्पैक्ट ऑपरेटर]] है (समकक्ष<ref>Engel and Nagel Lemma II.4.22</ref> अगर टी(टी) सभी टी ≥ टी के लिए एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है<sub>0</sub>)। यदि ''T''(''t'') सभी ''t'' > 0 के लिए एक कॉम्पैक्ट संचालक है, तो  को तुरंत कॉम्पैक्ट कहा जाता है।
+एक दृढ़ता से निरंतर सेमीग्रुप T को 'अंततः कॉम्पैक्ट' कहा जाता है। यदि कोई T उपस्थित है T<sub>0</sub>> 0 ऐसा कि T(T<sub>0</sub>) एक [[कॉम्पैक्ट ऑपरेटर|कॉम्पैक्ट संचालक]] है (समकक्ष अगर T(T) सभी T≥ T के लिए एक कॉम्पैक्ट संचालक है)। यदि ''T''(''t'') सभी ''t'' > 0 के लिए एक कॉम्पैक्ट संचालक है, तो अर्धसमूह को तुरंत कॉम्पैक्ट कहा जाता है।
 === सामान्य निरंतर अर्धसमूह ===
-यदि एक 'टी' मौजूद है तो एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह को अंततः आदर्श निरंतर कहा जाता है<sub>0</sub>≥ 0 ऐसा कि नक्शा t → T(t) से निरंतर है (टी<sub>0</sub>, ∞) से एल(एक्स)। अर्धसमूह को 'तत्काल मानक निरंतर' कहा जाता है यदि टी<sub>0</sub> शून्य चुना जा सकता है।
+यदि एक 'T' उपस्थित है तो एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह को अंततः आदर्श निरंतर कहा जाता है t<sub>0</sub>≥ 0 ऐसा कि मैप t → T(t) से निरंतर है (T<sub>0</sub>, ∞) से L(X)। अर्धसमूह को 'तत्काल मानक निरंतर' कहा जाता है। यदि T<sub>0</sub> शून्य चुना जा सकता है।
-ध्यान दें कि तत्काल मानक निरंतर सेमीग्रुप के लिए मैप t→ T(t) t = 0 में निरंतर नहीं हो सकता है (जो सेमीग्रुप को समान रूप से निरंतर बना देगा)।
+ध्यान दें कि निरन्तर मानक निरंतर अर्धसमूह के लिए मैप t→ T(t) t = 0 में निरंतर नहीं हो सकता है (जो अर्धंसमूह को समान रूप से निरंतर बना देगा)।
-विश्लेषणात्मक सेमीग्रुप्स, (अंततः) डिफरेंशियल सेमीग्रुप्स और (अंततः) कॉम्पैक्ट सेमीग्रुप्स सभी अंततः मानक निरंतर हैं।<ref>Engel and Nagel (diagram II.4.26)</ref>
+विश्लेषणात्मक सेमीग्रुप्स, (अंततः) अवकलनीय अर्धसमूहों और (अंततः) कॉम्पैक्ट अर्धसमूहों सभी अंततः मानक निरंतर हैं।<ref>Engel and Nagel (diagram II.4.26)</ref>
-== स्थिरता ==
-=== घातीय स्थिरता ===
+'''<big>स्थिरता</big>'''
+'''<big>घातीय स्थिरता</big>'''
-सेमीग्रुप ''T'' का विकास स्थिरांक है
+अर्धसमूह ''T'' का विकास स्थिरांक है
 : <math> \omega_0 = \inf_{t>0} \frac1t \log \| T(t) \|. </math>
-इसे इसलिए कहा जाता है क्योंकि यह संख्या सभी वास्तविक संख्याओं ω से भी कम होती है जैसे कि एक स्थिरांक M (≥ 1) मौजूद होता है
+इसे इसलिए कहा जाता है क्योंकि यह संख्या सभी वास्तविक संख्याओं ω से भी कम उपस्थित होती हैं। जैसे कि एक स्थिरांक M (≥ 1)  होता है
 : <math>\|T(t)\| \leq Me^{\omega t}</math>
-सभी टी ≥ 0 के लिए।
+सभी T ≥ 0 के लिए।
 निम्नलिखित समतुल्य हैं:<ref>Engel and Nagel Section V.1.b</ref>
-#मौजूद M,ω>0 ऐसा है कि सभी t ≥ 0 के लिए:  <math>\|T(t)\|\leq M{\rm e}^{-\omega t},</math>
+#स्थित M,ω>0 ऐसा है कि सभी t ≥ 0 के लिए:  <math>\|T(t)\|\leq M{\rm e}^{-\omega t},</math>
 #विकास की सीमा ऋणात्मक है: ω<sub>0</sub><0,
-# सेमीग्रुप [[वर्दी ऑपरेटर टोपोलॉजी]] में शून्य में परिवर्तित हो जाता है: <math>\lim_{t\to\infty}\|T(t)\|=0</math>,
+# सेमीग्रुप [[वर्दी ऑपरेटर टोपोलॉजी|वर्दी संचालक घातीय प्रकार्य]] में शून्य में परिवर्तित हो जाता है: <math>\lim_{t\to\infty}\|T(t)\|=0</math>,
-#वहाँ एक टी मौजूद है<sub>0</sub>> 0 ऐसा कि <math>\|T(t_0)\|<1</math>,
+#वहाँ एक T उपस्थित है<sub>0</sub>> 0 ऐसा कि <math>\|T(t_0)\|<1</math>,
-#वहाँ एक टी मौजूद है<sub>1</sub>> 0 ऐसा है कि T(t<sub>1</sub>) 1 से बिल्कुल छोटा है,
+#वहाँ एक T उपस्थित है<sub>1</sub>> 0 ऐसा है कि T(t<sub>1</sub>) 1 से बिल्कुल छोटा है,
-# एक p ∈ [1, ∞) मौजूद है जैसे कि सभी x∈X के लिए: <math>\int_0^\infty\|T(t)x\|^p\,dt<\infty</math>,
+# एक p ∈ [1, ∞) स्थित है, जैसे कि सभी x∈X के लिए: <math>\int_0^\infty\|T(t)x\|^p\,dt<\infty</math>,
 #सभी p ∈ [1, ∞) और सभी x∈ X के लिए: <math>\int_0^\infty\|T(t)x\|^p\,dt<\infty.</math>
-एक अर्धसमूह जो इन समतुल्य शर्तों को पूरा करता है, उसे घातीय रूप से स्थिर या समान रूप से स्थिर कहा जाता है (उपरोक्त कथनों में से पहले तीन में से किसी एक को साहित्य के कुछ हिस्सों में परिभाषा के रूप में लिया जाता है)। वह '' एल<sup>p</sup> स्थितियाँ चरघातांकी स्थिरता के समतुल्य होती हैं जिसे 'डाटको-पाज़ी प्रमेय' कहा जाता है।
+एक अर्धसमूह जो इन समतुल्य शर्तों को पूरा करता है, उसे घातीय रूप से स्थिर या समान रूप से स्थिर कहा जाता है (उपरोक्त कथनों में से पहले तीन में से किसी एक को साहित्य के कुछ हिस्सों में परिभाषा के रूप में प्रयोग किया जाता है)। वह  ''L<sup>p</sup>'' स्थितियाँ चरघातांकी स्थिरता के समतुल्य होती हैं। जिसे 'डाटको-पाज़ी प्रमेय' कहा जाता है।
-यदि X एक [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष]] है, तो एक और स्थिति है जो जनरेटर के [[विलायक ऑपरेटर]] के संदर्भ में घातीय स्थिरता के बराबर है:<ref>Engel and Nagel Theorem V.1.11</ref> सकारात्मक वास्तविक भाग वाले सभी λ A के रिज़ॉल्वेंट सेट से संबंधित हैं और रिज़ॉल्वेंट ऑपरेटर समान रूप से दाहिने आधे विमान पर बंधा हुआ है, यानी (λI − A)<sup>−1</sup> [[हार्डी स्पेस]] से संबंधित है <math>H^\infty(\mathbb{C}_+;L(X))</math>. इसे गियरहार्ट-प्रस प्रमेय कहा जाता है।
+यदि X एक [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष]] है, तो एक और स्थिति है, जो अर्धसमूह के [[विलायक ऑपरेटर|विलायक अर्धचालक]] के संदर्भ में घातीय स्थिरता के बराबर है:<ref>Engel and Nagel Theorem V.1.11</ref> धनात्मक वास्तविक भाग वाले सभी λ A के रिज़ॉल्वेंट सेट से संबंधित हैं और रिज़ॉल्वेंट(विश्लेषक) संचालक समान रूप से दायीं आधी सतह पर बंधा हुआ है, अर्थात (λI − A)<sup>−1</sup> [[हार्डी स्पेस]] से संबंधित है <math>H^\infty(\mathbb{C}_+;L(X))</math>। इसे गियरहार्ट-प्रस प्रमेय कहा जाता है।
-एक ऑपरेटर 'ए' की वर्णक्रमीय सीमा स्थिर है
+एक ऑपरेटर 'A' की वर्णक्रम की सीमा स्थिर है
 :<math>s(A):=\sup\{{\rm Re}\,\lambda:\lambda\in\sigma(A)\}</math>,
-इस परंपरा के साथ कि s(A) = −∞ अगर A का [[स्पेक्ट्रम]] खाली है।
+इस स्थिति के साथ कि s(A) = −∞ अगर A का [[स्पेक्ट्रम]] बिल्कुल रिक्त है।
-एक सेमीग्रुप की वृद्धि और उसके जनरेटर की वर्णक्रमीय सीमा से संबंधित हैं:<ref>Engel and Nagel Proposition IV2.2</ref> एस (ए) ≤ω<sub>0</sub>(टी)। उदाहरण हैं<ref>Engel and Nagel Section IV.2.7, Luo et al. Example 3.6</ref> जहां एस(ए) < ω<sub>0</sub>(टी)। यदि s(A) = ω<sub>0</sub>(टी), तो टी को 'वर्णक्रमीय निर्धारित विकास की स्थिति' को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है। अंततः मानक-निरंतर अर्धसमूह वर्णक्रमीय निर्धारित वृद्धि की स्थिति को संतुष्ट करते हैं।<ref>Engel and Nagel Corollary 4.3.11</ref> यह इन सेमीग्रुप्स के लिए घातीय स्थिरता का एक और समकक्ष विशेषता देता है:
+एक अर्धसमूह की वृद्धि और उसके डायनमो की वर्णक्रमीय सीमा से संबंधित हैं:<ref>Engel and Nagel Proposition IV2.2</ref> ''s(A)≤ω<sub>0</sub>(T)''। उदाहरण हैं<ref>Engel and Nagel Section IV.2.7, Luo et al. Example 3.6</ref> जहां ''s(A)≤ω<sub>0</sub>(T)''। यदि ''s''(''A'') = ''ω''<sub>0</sub>(''T''),, तो T को 'वर्णक्रमीय निर्धारित विकास की स्थिति' को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है। अंततः मानक-निरंतर अर्धसमूह वर्णक्रमीय निर्धारित वृद्धि की स्थिति को संतुष्ट करते हैं।<ref>Engel and Nagel Corollary 4.3.11</ref> यह इन सेमीग्रुप्स के लिए घातीय स्थिरता का एक और समकक्ष विशेषता देता है:
-*अंततः मानक-निरंतर अर्धसमूह चरघातांकी रूप से स्थिर होता है यदि और केवल यदि s(A) < 0।
+*अंततः मानक-निरंतर अर्धसमूह चरघातांकी रूप से स्थिर होता है, यदि और केवल यदि s(A) < 0।
-ध्यान दें कि अंततः कॉम्पैक्ट, अंततः अलग-अलग, विश्लेषणात्मक और समान रूप से निरंतर सेमिग्रुप अंततः मानक-निरंतर होते हैं ताकि वर्णक्रमीय निर्धारित विकास की स्थिति विशेष रूप से उन सेमीग्रुप के लिए हो।
+ध्यान दें कि अंततः कॉम्पैक्ट, अंततः अलग-अलग, विश्लेषणात्मक और समान रूप से निरंतर सेमीग्रुप अंततः मानक-निरंतर होते हैं, क्योंकि वर्णक्रमीय निर्धारित विकास की स्थिति विशेष रूप से उन सेमीग्रुप के लिए हो।
 === मजबूत स्थिरता ===
 यदि सभी x ∈ X के लिए एक अत्यधिक निरंतर अर्धसमूह T को 'दृढ़ता से स्थिर' या 'असामयिक रूप से स्थिर' कहा जाता है: <math>\lim_{t\to\infty}\|T(t)x\|=0</math>.
-घातीय स्थिरता का तात्पर्य मजबूत स्थिरता से है, लेकिन अगर एक्स अनंत-आयामी है (यह एक्स परिमित-आयामी के लिए सच है) तो इसका विलोम आम तौर पर सच नहीं है।
+घातीय स्थिरता का अर्थ मजबूत स्थिरता से है, लेकिन सामान्यतः यदि एक्स अनंत-आयामी है (यह एक्स परिमित-आयामी के लिए सही है) तो इसका उल्टा सामान्यतः सच नहीं है।
-मजबूत स्थिरता के लिए निम्नलिखित पर्याप्त स्थिति को 'अरेंड्ट-बैट्टी-ल्यूबिच-फोंग प्रमेय' कहा जाता है:<ref name="Arendt and Batty">{{ citation | last1=Arendt| first1=Wolfgang| last2=Batty| first2=Charles| title=Tauberian theorems and stability of one-parameter semigroups | year=1988| journal=Transactions of the American Mathematical Society |volume=306 |issue= 2|pages=837–852 |doi=10.1090/S0002-9947-1988-0933321-3 | doi-access=free}}</ref><ref name="Lyubich and Phong">{{ citation | last1=Lyubich| first1=Yu| last2=Phong| first2=Vu Quoc| title=Asymptotic stability of linear differential equations in Banach spaces | year=1988| journal=Studia Mathematica |volume=88 |issue=1 |pages=37–42 | doi=10.4064/sm-88-1-37-42| doi-access=free}}</ref> मान लो की
+मजबूत स्थिरता के लिए निम्नलिखित पर्याप्त स्थिति को 'अरेंड्ट-बैट्टी-ल्यूबिच-फोंग प्रमेय' कहा जाता है: माना की
-# T घिरा हुआ है: एक M ≥ 1 ऐसा मौजूद है <math>\|T(t)\|\leq M</math>,
+# T घिरा हुआ है: एक M ≥ 1 ऐसा उपस्थित है <math>\|T(t)\|\leq M</math>,
-# ए में काल्पनिक अक्ष पर [[अवशिष्ट स्पेक्ट्रम]] नहीं है, और
+# A में काल्पनिक अक्ष पर [[अवशिष्ट स्पेक्ट्रम]] नहीं है, और
 # काल्पनिक अक्ष पर स्थित A का स्पेक्ट्रम गणनीय है।
 तब T दृढ़ता से स्थिर है।
-यदि एक्स रिफ्लेक्सिव है तो स्थितियां सरल हो जाती हैं: यदि टी बाध्य है, ए में काल्पनिक धुरी पर कोई ईजेनवैल्यू नहीं है और काल्पनिक धुरी पर स्थित ए के स्पेक्ट्रम की गणना की जा सकती है, तो टी दृढ़ता से स्थिर है।
+यदि X बाध्य है। तो स्थितियां सरल हो जाती हैं: यदि T बाध्य है और डायनमो A में काल्पनिक धुरी पर कोई ईजेनवैल्यू नहीं है और काल्पनिक धुरी पर स्थित ए के स्पेक्ट्रम की गणना की जा सकती है। तो T दृढ़ता से स्थिर है।
 == यह भी देखें ==
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 * [[संकुचन अर्धसमूह]]
 * मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल
-* [[ऑपरेटरों का मजबूत निरंतर परिवार]]
+* [[संचालकों का मजबूत निरंतर परिवार]]
 * [[सार अंतर समीकरण]]
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 ==टिप्पणियाँ==
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-==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==
-*अंक शास्त्र
-*आंशिक विभेदक समीकरण
-*देरी अंतर समीकरण
-*बनच स्थान
-*परिबद्ध संचालिका
-*कार्यात्मक गणना
-*रैखिक ऑपर