अनुकूल माध्य: Difference between revisions
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गणित में, | गणित में, '''अनुकूल माध्य''' [[औसत]] के कई प्रकारों में से एक है, और विशेष रूप से, पायथागॉरियन माध्यों में से एक है। यह कभी-कभी परिस्थितियों के लिए उपयुक्त होता है जब औसत [[दर (गणित)]]<ref>https://www.comap.com/FloydVest/Course/PDF/Cons25PO.pdf {{Bare URL PDF|date=March 2022}}</ref> वांछित है। | ||
अनुकूल माध्य को प्रेक्षणों के दिए गए समुच्चय के व्युत्क्रम के समान्तर माध्य के गुणक व्युत्क्रम के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। एक साधारण उदाहरण के रूप में, 1, 4 और 4 का अनुकूल माध्य है | |||
: <math>\left(\frac{1^{-1} + 4^{-1} + 4^{-1}}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{\frac{1}{1} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{3}{1.5} = 2\,.</math> | : <math>\left(\frac{1^{-1} + 4^{-1} + 4^{-1}}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{\frac{1}{1} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{3}{1.5} = 2\,.</math> | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
धनात्मक [[वास्तविक संख्या]]ओं का अनुकूल माध्य H <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> इस प्रकार परिभाषित किया गया है | |||
धनात्मक [[वास्तविक संख्या]]ओं का | |||
<math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> | |||
:<math>H = \frac{n}{\frac1{x_1} + \frac1{x_2} + \cdots + \frac1{x_n}} = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n \frac1{x_i}} = \left(\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i^{-1}}{n}\right)^{-1}.</math> | :<math>H = \frac{n}{\frac1{x_1} + \frac1{x_2} + \cdots + \frac1{x_n}} = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n \frac1{x_i}} = \left(\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i^{-1}}{n}\right)^{-1}.</math> | ||
उपरोक्त समीकरण में तीसरा सूत्र | उपरोक्त समीकरण में तीसरा सूत्र अनुकूल माध्य को व्युत्क्रम के समान्तर माध्य के व्युत्क्रम के रूप में व्यक्त करता है। | ||
निम्नलिखित सूत्र से: | निम्नलिखित सूत्र से: | ||
:<math>H = \frac{n\cdot \prod\limits_{j=1}^n x_j}{ \sum\limits_{i=1}^n \left\{\frac{1}{x_i}{\prod\limits_{j=1}^n x_j}\right\}}.</math> | :<math>H = \frac{n\cdot \prod\limits_{j=1}^n x_j}{ \sum\limits_{i=1}^n \left\{\frac{1}{x_i}{\prod\limits_{j=1}^n x_j}\right\}}.</math> | ||
यह | यह स्पष्ट है कि अनुकूल माध्य समान्तर माध्य और गुणोत्तर माध्य से संबंधित है। यह धनात्मक आदानों के लिए समान्तर माध्य का पारस्परिक [[दोहरा (गणित)|द्वैतता (गणित)]] है: | ||
:<math>1/H(1/x_1 \ldots 1/x_n) = A(x_1 \ldots x_n)</math> | :<math>1/H(1/x_1 \ldots 1/x_n) = A(x_1 \ldots x_n)</math> | ||
अनुकूल माध्य एक [[शूर-अवतल]] फलन है, और इसके न्यूनतम तर्कों का वर्चस्व है, इस अर्थ में कि तर्कों के किसी भी धनात्मक समुच्यय के लिए, <math>\min(x_1 \ldots x_n) \le H(x_1 \ldots x_n) \le n \min(x_1 \ldots x_n)</math>. इस प्रकार, अनुकूल माध्य को कुछ मानों को बड़े मानों में बदलकर [[मनमाने ढंग से बड़ा|अक्रमतः बड़ा]] नहीं बनाया जा सकता है (कम से कम एक मान अपरिवर्तित होने पर)। | |||
अनुकूल माध्य अवतल फलन भी है, जो शूर-अवतलता से भी अधिक प्रबल गुण है। चूंकि केवल धनात्मक संख्याओं का उपयोग करने के लिए ध्यान रखना होगा, क्योंकि ऋणात्मक मानों का उपयोग किए जाने पर माध्य अवतल होने में विफल रहता है। | |||
==अन्य | ==अन्य माध्य से संबंध== | ||
अनुकूल माध्य तीन पायथागॉरियन माध्य में से एक है। सभी धनात्मक डेटा समुच्यय के लिए कम से कम एक जोड़ी (नॉन इक्वल) गैर-बराबर मान, अनुकूल माध्य हमेशा तीन माध्य में से कम से कम होता है,<ref>Da-Feng Xia, Sen-Lin Xu, and Feng Qi, "A proof of the arithmetic mean-geometric mean-harmonic mean inequalities", RGMIA Research Report Collection, vol. 2, no. 1, 1999, http://ajmaa.org/RGMIA/papers/v2n1/v2n1-10.pdf</ref> जबकि समान्तर माध्य हमेशा तीनों में से सबसे बड़ा होता है और ज्यामितीय माध्य हमेशा बीच में होता है। (यदि एक गैर-खाली डेटासेट में सभी मान समान हैं, तो तीन माध्य हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं, उदाहरण के लिए, {2, 2, 2} के अनुकूल, ज्यामितीय और अंकगणितीय माध्य सभी 2 हैं।) | |||
यह विशेष | यह विशेष स्थिति ''M''<sub>−1</sub> [[शक्ति का मतलब|सामान्यीकृत माध्य]]: | ||
:<math>H\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) = M_{-1}\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) = \frac{n}{x_1^{-1} + x_2^{-1} + \cdots + x_n^{-1}}</math> | :<math>H\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) = M_{-1}\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) = \frac{n}{x_1^{-1} + x_2^{-1} + \cdots + x_n^{-1}}</math> | ||
चूंकि संख्याओं की सूची का | चूंकि संख्याओं की सूची का अनुकूल माध्य सूची के कम से कम तत्वों की ओर दृढ़ता से झुकता है, यह बड़े आउटलेयर के प्रभाव को कम करने और छोटे के प्रभाव को बढ़ाने के लिए (अंकगणित माध्य की तुलना में) जाता है। | ||
समान्तर माध्य अधिकांशतः गलती से अनुकूल माध्य के लिए कॉल करने वाले स्थानों में उपयोग किया जाता है।<ref>*''Statistical Analysis'', Ya-lun Chou, Holt International, 1969, {{ISBN|0030730953}}</ref> गति के उदाहरण के लिए, 40 का समान्तर माध्य गलत है, और बहुत बड़ा है। | |||
अनुकूल माध्य अन्य पायथागॉरियन माध्य से संबंधित है, जैसा कि नीचे दिए गए समीकरण में देखा गया है। इसे भाजक की व्याख्या n बार संख्याओं के गुणनफल के समान्तर माध्य के रूप में करके देखा जा सकता है, लेकिन हर बार j-वें पद को छोड़ दिया जाता है। अर्थात्, पहले पद के लिए, हम पहले को छोड़कर सभी n संख्याओं को गुणा करते हैं, दूसरे के लिए, हम दूसरे को छोड़कर सभी n संख्याओं को गुणा करते हैं, और इसी तरह अंश, n को छोड़कर, जो समान्तर माध्य के साथ जाता है, घात n का ज्यामितीय माध्य है। इस प्रकार ''n''-''th'' अनुकूल माध्य ''n''-''th'' ज्यामितीय और अंकगणितीय माध्य से संबंधित है। सामान्य सूत्र है | |||
:<math>H\left(x_1, \ldots, x_n\right) = | :<math>H\left(x_1, \ldots, x_n\right) = | ||
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\right)}. | \right)}. | ||
</math> | </math> | ||
यदि गैर-समान संख्याओं का | यदि गैर-समान संख्याओं का समुच्यय एक [[माध्य-संरक्षण प्रसार]] के अधीन है - अर्थात, समुच्यय के दो या दो से अधिक तत्व समान्तर माध्य को अपरिवर्तित छोड़ते हुए एक दूसरे से अलग हो जाते हैं - तब अनुकूल माध्य हमेशा घटता है।<ref>Mitchell, Douglas W., "More on spreads and non-arithmetic means," ''[[The Mathematical Gazette]]'' 88, March 2004, 142–144.</ref> | ||
== दो या तीन संख्याओं का अनुकूल माध्य == | |||
===दो नंबर === | |||
== दो या तीन संख्याओं का | [[File:MathematicalMeans.svg|thumb|right|तीन पायथागॉरियन का एक ज्यामितीय निर्माण दो संख्याओं, ए और बी के माध्यम से होता है। हारमोनिक माध्य को बैंगनी रंग में H द्वारा निरूपित किया जाता है, जबकि समान्तर माध्य A को लाल रंग में और ज्यामितीय माध्य को नीले रंग में G द्वारा दर्शाया जाता है। क्यू चौथे माध्य, [[द्विघात माध्य]] को दर्शाता है। चूँकि एक [[कर्ण]] हमेशा एक समकोण त्रिभुज की एक भुजा से अधिक लंबा होता है, आरेख दर्शाता है कि Q > A > G > H.]]सिर्फ दो नंबरों के विशेष मामले के लिए, <math>x_1</math> और <math>x_2</math>, अनुकूल माध्य लिखा जा सकता है | ||
=== | |||
[[File:MathematicalMeans.svg|thumb|right|तीन पायथागॉरियन का एक ज्यामितीय निर्माण दो संख्याओं, ए और बी के माध्यम से होता है। हारमोनिक माध्य को बैंगनी रंग में H द्वारा निरूपित किया जाता है, जबकि | |||
:<math>H = \frac{2x_1 x_2}{x_1 + x_2} \qquad </math> या <math> \qquad \frac{1}{H} = \frac{(1/x_1) + (1/x_2)}{2}.</math> | :<math>H = \frac{2x_1 x_2}{x_1 + x_2} \qquad </math> या <math> \qquad \frac{1}{H} = \frac{(1/x_1) + (1/x_2)}{2}.</math> | ||
इस विशेष मामले में, | इस विशेष मामले में, अनुकूल माध्य समान्तर माध्य से संबंधित है <math>A = \frac{x_1 + x_2}{2}</math> और ज्यामितीय माध्य <math>G = \sqrt{x_1 x_2},</math> द्वारा | ||
:<math>H = \frac{G^2}{A} = G\left(\frac{G}{A}\right).</math> | :<math>H = \frac{G^2}{A} = G\left(\frac{G}{A}\right).</math> | ||
तब से <math>\tfrac{G}{A} \le 1</math> [[अंकगणित और ज्यामितीय साधनों की असमानता]] से, यह n = 2 मामले के लिए दिखाता है कि H ≤ G ( | तब से <math>\tfrac{G}{A} \le 1</math> [[अंकगणित और ज्यामितीय साधनों की असमानता|अंकगणित और गुणोत्तर माध्य की असमानता]] से, यह n = 2 मामले के लिए दिखाता है कि H ≤ G (गुण जो वास्तव में सभी n के लिए है)। इसका अनुसरण भी करता है <math>G = \sqrt{AH}</math>, जिसका अर्थ है कि दो संख्याओं का ज्यामितीय माध्य उनके अंकगणितीय और अनुकूल माध्य के ज्यामितीय माध्य के बराबर होता है। | ||
=== तीन नंबर === | === तीन नंबर === | ||
तीन संख्याओं के विशेष मामले के लिए, <math>x_1</math>, <math>x_2</math> और <math>x_3</math>, | तीन संख्याओं के विशेष मामले के लिए, <math>x_1</math>, <math>x_2</math> और <math>x_3</math>, अनुकूल माध्य लिखा जा सकता है | ||
:<math>H = \frac{3 x_1 x_2 x_3}{x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3}.</math> | :<math>H = \frac{3 x_1 x_2 x_3}{x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3}.</math> | ||
तीन धनात्मक संख्याएँ H, G, और A क्रमशः तीन धनात्मक संख्याओं के | तीन धनात्मक संख्याएँ H, G, और A क्रमशः तीन धनात्मक संख्याओं के अनुकूल, ज्यामितीय और अंकगणितीय माध्य हैं यदि और केवल यदि<ref name=Crux>''Inequalities proposed in “[[Crux Mathematicorum]]”'', {{cite web |url=http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf |title=Archived copy |access-date=2014-09-09 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20141015174828/http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf |archive-date=2014-10-15 }}.</ref>{{rp|p.74,#1834}} निम्नलिखित असमानता रखती है | ||
:<math>\frac{A^3}{G^3} + \frac{G^3}{H^3} + 1 \le \frac3{4} \left(1 + \frac{A}{H}\right)^2.</math> | :<math>\frac{A^3}{G^3} + \frac{G^3}{H^3} + 1 \le \frac3{4} \left(1 + \frac{A}{H}\right)^2.</math> | ||
== भारित अनुकूल माध्य == | |||
यदि [[वजन समारोह|भार]] का समुच्यय <math>w_1</math>, ..., <math>w_n</math> डेटासेट <math>x_1</math>, ..., <math>x_n</math> से जुड़ा हुआ है, भारित अनुकूल माध्य परिभाषित किया गया है <ref name=Ferger1931>Ferger F (1931) The nature and use of the harmonic mean. Journal of the | |||
== भारित | |||
यदि [[वजन समारोह]] का | |||
American Statistical Association 26(173) 36-40</ref> | American Statistical Association 26(173) 36-40</ref> | ||
:<math> | :<math> | ||
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= \left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n w_i x_i^{-1}}{\sum\limits_{i=1}^n w_i} \right)^{-1}. | = \left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n w_i x_i^{-1}}{\sum\limits_{i=1}^n w_i} \right)^{-1}. | ||
</math> | </math> | ||
अभारित | अभारित अनुकूल माध्य को विशेष मामले के रूप में माना जा सकता है जहां सभी भार समान होते हैं। | ||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
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==== औसत गति ==== | ==== औसत गति ==== | ||
दर (गणित) और [[अनुपात]] से जुड़ी कई स्थितियों में, | दर (गणित) और [[अनुपात]] से जुड़ी कई स्थितियों में, अनुकूल माध्य सही औसत प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई वाहन एक निश्चित दूरी d बाहर की ओर गति x (जैसे 60 किमी/घंटा) से यात्रा करता है और उसी दूरी को y गति (जैसे 20 किमी/घंटा) से वापस करता है, तो इसकी औसत गति x और y (30 किमी/घंटा) का अनुकूल माध्य है, समान्तर माध्य (40 किमी/घंटा) नहीं है। कुल यात्रा का समय वही है जैसे कि उसने उस औसत गति से पूरी दूरी तय की थी। इसे इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है:<ref>{{cite web|url=https://learningpundits.com/module-view/48-averages/1-tips-on-averages/|title=औसत: औसत, सूत्र, भारित औसत की गणना कैसे करें|website=learningpundits.com|access-date=8 May 2018|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20171229231610/https://learningpundits.com/module-view/48-averages/1-tips-on-averages/|archive-date=29 December 2017}}</ref> | ||
पूरी यात्रा के लिए औसत गति | पूरी यात्रा के लिए औसत गति{{=}} | ||
{{=}} | |||
{{sfrac|तय की गई कुल दूरी|प्रत्येक खंड के लिए समय का योग}} {{=}} {{sfrac|2''d''|<big>{{sfrac|''d''|''x''}} + {{sfrac|''d''|''y''}}</big>}} = {{sfrac|2|<big>{{sfrac|1|''x''}}+{{sfrac|1|''y''}}</big>}} | |||
हालाँकि, यदि वाहन एक निश्चित समय के लिए गति x पर और फिर समान समय के लिए गति y पर यात्रा करता है, तो इसकी औसत गति x और y का समान्तर माध्य है, जो उपरोक्त उदाहरण में 40 किमी/घंटा है। | |||
= | पूरी यात्रा के लिए औसत गति {{=}} | ||
{{sfrac|तय की गई कुल दूरी|प्रत्येक खंड के लिए समय का योग}} {{=}} {{sfrac|''xt+yt''|''2t''}} {{=}} {{sfrac|''x+y''|''2''}} | |||
एक ही सिद्धांत दो से अधिक खंडों पर लागू होता है: अलग-अलग गति पर उप-यात्राओं की श्रृंखला दी गई है, यदि प्रत्येक उप-यात्रा समान दूरी तय करती है, तो औसत गति सभी उप-यात्रा गति का अनुकूल माध्य है, और यदि प्रत्येक उप-यात्रा में समान समय लगता है, तो औसत गति सभी उप-यात्रा गतियों का समान्तर माध्य है। (यदि कोई भी स्थिति नहीं है, तो भारित अनुकूल माध्य या भारित समान्तर माध्य की आवश्यकता होती है। समान्तर माध्य के लिए, यात्रा के प्रत्येक भाग की गति उस भाग की अवधि से भारित होती है, जबकि अनुकूल माध्य के लिए संगत भार दूरी है। दोनों ही स्थितियों में, परिणामी सूत्र कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने के लिए कम हो जाता है।) | |||
चूंकि, दूरी द्वारा भार के मामले में अनुकूल माध्य के उपयोग से बचा जा सकता है। समस्या को यात्रा की धीमी गति ज्ञात करने के रूप में प्रस्तुत करें जहाँ मंद गति (घंटे प्रति किलोमीटर में) गति का व्युत्क्रम है। जब यात्रा की धीमी गति पाई जाती है, तो इसे उलट दें जिससे कि यात्रा की वास्तविक औसत गति का पता लगाया जा सके। प्रत्येक यात्रा खंड i के लिए, मंद गति s<sub>i</sub> = 1/speed<sub>i,</sub> फिर s<sub>i</sub> का भारित समान्तर माध्य लें, का उनकी संबंधित दूरियों द्वारा भारित किया जाता है (वैकल्पिक रूप से सामान्यीकृत भारों के साथ जिससे कि उन्हें यात्रा की लंबाई से विभाजित करके उनका योग 1 हो जाए)। यह सही औसत मंद गति (प्रति किलोमीटर समय में) देता है। यह पता चला है कि यह प्रक्रिया, जो अनुकूल माध्य के ज्ञान के बिना की जा सकती है, उसी गणितीय संचालन के बराबर होती है, जैसा कि अनुकूल माध्य का उपयोग करके इस समस्या को हल करने में उपयोग किया जाएगा। इस प्रकार यह दिखाता है कि इस मामले में अनुकूल माध्य क्यों काम करता है। | |||
==== घनत्व ==== | |||
इसी तरह, यदि कोई मिश्रधातु के घनत्व को उसके घटक तत्वों और उनके द्रव्यमान अंशों (या, समतुल्य, द्रव्यमान द्वारा प्रतिशत) के घनत्व का अनुमान लगाना चाहता है, तो [[मिश्र धातु]] का अनुमानित घनत्व (परमाणु के कारण आम तौर पर मामूली मात्रा में परिवर्तन को छोड़कर) पैकिंग प्रभाव) व्यक्तिगत घनत्व का भारित अनुकूल माध्य है, भारित समान्तर माध्य के अतिरिक्त द्रव्यमान द्वारा भारित होता है, जैसा कि पहली बार में उम्मीद की जा सकती है। भारित समान्तर माध्य का उपयोग करने के लिए, घनत्वों को आयतन द्वारा भारित करना होगा। द्रव्यमान इकाइयों को तत्व द्वारा लेबल करते हुए समस्या का आयामी विश्लेषण लागू करना और यह सुनिश्चित करना कि केवल तत्व-द्रव्यमान रद्द करना ही इसे स्पष्ट करता है। | |||
==== | ====बिजली==== | ||
यदि कोई दो विद्युत प्रतिरोधों को समानांतर में जोड़ता है, एक का प्रतिरोध x (जैसे, 60Ω) और एक का प्रतिरोध y (जैसे, 40 Ω), तो प्रभाव वैसा ही होता है जैसे कि एक ही प्रतिरोध वाले दो प्रतिरोधों का उपयोग किया गया हो , दोनों x और y (48 Ω) के अनुकूल माध्य के बराबर: समतुल्य प्रतिरोध, दोनों ही स्थितियों में, 24 Ω (अनुकूल माध्य का आधा) है। यही सिद्धांत श्रृंखला में [[संधारित्र]] या समानांतर में प्रेरक पर लागू होता है। | |||
चूंकि, यदि कोई प्रतिरोधों को श्रृंखला में जोड़ता है, तो औसत प्रतिरोध x और y (50 Ω) का समान्तर माध्य होता है, कुल प्रतिरोध इसके दोगुने के बराबर होता है, x और y (100 Ω) का योग। यह सिद्धांत समानांतर में कैपेसिटर या श्रृंखला में [[प्रारंभ करनेवाला|प्रेरक]] पर लागू होता है। | |||
पिछले उदाहरण की तरह, यही सिद्धांत तब लागू होता है जब दो से अधिक प्रतिरोधक, कैपेसिटर या प्रेरक जुड़े होते हैं, बशर्ते कि सभी समानांतर में हों या सभी श्रृंखला में हों। | |||
अर्धचालक की चालकता प्रभावी द्रव्यमान को तीन क्रिस्टलोग्राफिक दिशाओं के साथ प्रभावी द्रव्यमान के अनुकूल माध्य के रूप में भी परिभाषित किया गया है।<ref>{{cite web|url=http://ecee.colorado.edu/~bart/book/effmass.htm|title=अर्धचालकों में प्रभावी द्रव्यमान|website=ecee.colorado.edu|access-date=8 May 2018|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20171020040802/http://ecee.colorado.edu/~bart/book/effmass.htm|archive-date=20 October 2017}}</ref> | |||
==== प्रकाशिकी ==== | |||
अन्य [[ऑप्टिक समीकरण]] के लिए, पतली लेंस समीकरण {{sfrac|''f''}} = {{sfrac|''u''}} + {{sfrac|''v''}} इस तरह से फिर से लिखा जा सकता है कि फोकल लंबाई f लेंस से सब्जेक्ट u और ऑब्जेक्ट v की दूरी के अनुकूल माध्य का आधा है।<ref name="Hecht1">{{cite book |first=Eugene |last=Hecht |year=2002 |title=प्रकाशिकी|edition=4th |publisher=[[Addison Wesley]] |isbn=978-0805385663 |page=168}}</ref> | |||
=== वित्त में === | === वित्त में === | ||
भारित | भारित अनुकूल माध्य गुणकों के औसत के लिए बेहतर तरीका है, जैसे मूल्य-आय अनुपात (पी/ई)। यदि इन अनुपातों को भारित समान्तर माध्य का उपयोग करके औसत किया जाता है, तो उच्च डेटा बिंदुओं को निम्न डेटा बिंदुओं की तुलना में अधिक भार दिया जाता है। भारित अनुकूल माध्य, दूसरी ओर, प्रत्येक डेटा बिंदु को सही ढंग से भारित करता है।<ref>{{cite book |chapter=Fairness Opinions: Common Errors and Omissions |title=व्यापार मूल्यांकन और बौद्धिक संपदा विश्लेषण की पुस्तिका|publisher=McGraw Hill |year=2004 |isbn=0-07-142967-0 }}</ref> साधारण भारित समान्तर माध्य जब गैर-मूल्य सामान्यीकृत अनुपातों जैसे पी/ई पर लागू किया जाता है तो यह ऊपर की ओर अभिनत होता है और इसे संख्यात्मक रूप से उचित नहीं ठहराया जा सकता है, क्योंकि यह समान आय पर आधारित है, जिस तरह वाहनों की गति को राउंडट्रिप यात्रा के लिए औसत नहीं किया जा सकता है (ऊपर देखें)।<ref>{{cite journal |title=फर्म वैल्यूएशन अनुमानों में सुधार के लिए मूल्य-से-कमाई हार्मोनिक माध्य का उपयोग करना|first=Pankaj |last=Agrrawal |first2=Richard |last2=Borgman |first3=John M. |last3=Clark |first4=Robert |last4=Strong |journal=[[Journal of Financial Education]] |volume=36 |year=2010 |issue=3–4 |pages=98–110 |jstor=41948650 |ssrn=2621087 }}</ref> | ||
उदाहरण के लिए, दो फर्मों पर विचार करें, जिनमें से एक $150 बिलियन के [[बाजार पूंजीकरण]] और $5 बिलियन (30 का पी/ई) की कमाई और एक $1 बिलियन के बाजार पूंजीकरण और $1 मिलियन (1000 का पी/ई) की कमाई के साथ है। दो शेयरों से बने | |||