अतान2 (atan2): Difference between revisions
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[[File:Atan2definition.svg|thumb|{{math|अटन2(''y'', ''x'')}} किरण के बीच बिंदु {{math|(''x'', ''y'')}} और धनात्मक x-अक्ष पर कोण {{mvar|θ}} [[किरण (ज्यामिति)]] देता है, जो {{open-closed|−''π'', ''π''}} तक सीमित है .]] | |||
[[File:Arctangent2.svg|thumb|<math>\operatorname{atan2}(y, x)</math> का <math>y / x</math> ग्राफ ]]कम्प्यूटिंग और [[गणित]] में, [[फलन का डोमेन|फलन]] (गणित) '''atan2''' 2-तर्क चाप [[स्पर्शरेखा]] है। परिभाषा के अनुसार, <math>\theta = \operatorname{atan2}(y, x)</math> कोण माप है (रेडियन में, <math>-\pi < \theta \leq \pi</math>) धनात्मक <math>x</math>-अक्ष और किरण के बीच मूल से बिंदु तक <math>(x,\,y)</math> कार्तीय तल में। समान रूप से, <math>\operatorname{atan2}(y, x)</math> [[जटिल संख्या|सम्मिश्र संख्या]] <math>x + iy.</math>का [[तर्क (जटिल विश्लेषण)|तर्क (सम्मिश्र विश्लेषण)]] (जिसे चरण या कोण भी कहा जाता है) है | |||
[[File:Atan2definition.svg|thumb|{{math| | |||
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<math>\operatorname{atan2}</math> h> फलन पहली बार 1961 में प्रोग्रामिंग भाषा [[फोरट्रान]] में दिखाई दिया। मूल रूप से इसका उद्देश्य कोण के लिए एक सही और स्पष्ट मान लौटाना था {{mvar|θ}} कार्तीय निर्देशांक से परिवर्तित करने में {{math|(''x'', ''y'')}} ध्रुवीय निर्देशांक के लिए {{math|(''r'', ''θ'')}}. यदि <math>\theta = \operatorname{atan2}(y, x)</math> तथा <math display="inline">r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>, फिर <math>x = r \cos \theta</math> तथा <math>y = r \sin \theta.</math> | |||
यदि {{math|''x'' > 0}}, वांछित कोण माप है <math display=inline>\theta = \operatorname{atan2}(y,x) = \arctan\left( y / x \right).</math> | |||
यदि {{math|''x'' > 0}}, वांछित कोण माप है <math display="inline">\theta = \operatorname{atan2}(y,x) = \arctan\left( y / x \right).</math> चूँकि, जब {{math|''x'' < 0}}, कोना <math>\arctan(y / x)</math> [[एंटीपोडल बिंदु]] वांछित कोण है, और ±{{pi}} (एक आधा [[मोड़ (कोण)]]) बिंदु को सही [[चतुर्भुज (विमान ज्यामिति)|चतुर्भुज]] में रखने के लिए जोड़ा जाना चाहिए।<ref>http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph116A/arg_11.pdf {{Bare URL PDF|date=March 2022}}</ref> <math>\operatorname{atan2}</math> का फलन का उपयोग इस सुधार को दूर करता है, कोड और गणितीय सूत्रों को सरल करता है। | |||
== प्रेरणा == | == प्रेरणा == | ||
[[File:Atan2 argument sign graph.svg|thumb|− | [[File:Atan2 argument sign graph.svg|thumb|−{{pi}} से +{{pi}} तक y/x के संबंधित संकेतों के साथ स्पर्शरेखा फ़ंक्शन का ग्राफ़। हरा तीर atan2(-1, -1) और atan2(1, 1) के परिणामों की ओर संकेत करता है। ]]सामान्य एकल-तर्क चाप स्पर्शरेखा फलन अंतराल में केवल कोण माप देता है <math>{\left[-\tfrac12\pi, +\tfrac12\pi\right]},</math> और इसके बीच के कोण को खोजने के लिए इसका आह्वान करते समय {{mvar|x}}-अक्ष और कार्टेशियन समन्वय प्रणाली तल में एक मनमाना सदिश, बाएं आधे-तल (एक बिंदु) में एक दिशा को संकेत करने का कोई आसान उपाय नहीं है <math>(x,\,y)</math> साथ <math>x < 0</math>). एंटीपोडल बिंदु कोण उपायों में समान स्पर्शरेखा होती है क्योंकि <math>y/x = (-y) / (-x),</math> तो स्पर्शरेखा <math>y/x</math> एक कोण को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए अपने आप में पर्याप्त नहीं है। | ||
दिए गए बिंदु या सदिश एक बिंदु <math>(x, y),</math> गणितीय सूत्र या कंप्यूटर कोड को कई स्तिथियों को संभालना चाहिए; कम से कम एक <math>x</math> के धनात्मक मानों के लिए और एक <math>x,</math> के ऋणात्मक मानों के लिए, और कभी-कभी अतिरिक्त स्थितियाँ जब <math>y</math> ऋणात्मक हो या एक निर्देशांक शून्य हो। वैज्ञानिक कंप्यूटिंग में कोण के उपायों को ढूंढना और कार्टेशियन को [[ध्रुवीय समन्वय प्रणाली]] में परिवर्तित करना सरल है, और यह कोड बेमानी और त्रुटि-प्रवण है। | |||
इसका समाधान करने के लिए, कंप्यूटर [[प्रोग्रामिंग भाषा]] | इसका समाधान करने के लिए, कंप्यूटर [[प्रोग्रामिंग भाषा|प्रोग्रामिंग भाषाओं]] ने कम से कम 1960 के फोरट्रान I V भाषा के रूप में {{math|atan2}} फलन की शुरुआत की।<ref>{{Cite book | ||
| last = Organick | | last = Organick | ||
| first = Elliott I. | | first = Elliott I. | ||
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| title = फोरट्रान चतुर्थ प्राइमर के लिए| publisher = Addison-Wesley | | title = फोरट्रान चतुर्थ प्राइमर के लिए| publisher = Addison-Wesley | ||
| quote = कुछ प्रोसेसर ATAN2 नामक लाइब्रेरी फ़ंक्शन भी प्रदान करते हैं, जो दो तर्कों (विपरीत और आसन्न) का एक फ़ंक्शन है।| pages = 42 | | quote = कुछ प्रोसेसर ATAN2 नामक लाइब्रेरी फ़ंक्शन भी प्रदान करते हैं, जो दो तर्कों (विपरीत और आसन्न) का एक फ़ंक्शन है।| pages = 42 | ||
}}</ref> मात्रा {{math|atan2(''y'',''x'')}} | }}</ref> मात्रा {{math|atan2(''y'',''x'')}} {{mvar|x}}-अक्ष और मूल से एक किरण के बीच कार्तीय तल में कहीं भी एक बिंदु {{math|(''x'', ''y'')}} के बीच का कोण माप है। {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} के चिह्नों का उपयोग परिणाम के चतुर्थांश को निर्धारित करने के लिए किया जाता है और बहुमान फलन {{math|Arctan(''y''/''x'')}} की सही शाखा का चयन किया जाता है। {{math|atan2}} फलन [[यूक्लिडियन वेक्टर|यूक्लिडियन सदिश]] से जुड़े कई अनुप्रयोगों में उपयोगी है जैसे कि एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर दिशा ढूंढना या रोटेशन आव्यूह को यूलर कोणों में परिवर्तित करना। वह {{math|atan2}} फलन अब कई अन्य प्रोग्रामिंग भाषाओं में सम्मलित है, और सामान्यतः पूरे विज्ञान और इंजीनियरिंग में गणितीय सूत्रों में भी पाया जाता है। | ||
=== तर्क क्रम === | === तर्क क्रम === | ||
1961 में, फोरट्रान ने | 1961 में, फोरट्रान ने तर्क क्रम <math>(y, x)</math> के साथ {{math|atan2}} फलन दर्शाया जिससे एक सम्मिश्र संख्या का तर्क (चरण कोण)<math>\operatorname{arg}z = \operatorname{atan2}(\operatorname{Im}z, \operatorname{Re}z).</math> यह <math>y / x,</math> लिखे अंश के बाएँ से दाएँ क्रम का अनुसरण करता है ताकि <math>\operatorname{atan2}(y, x) = \operatorname{atan}(y / x)</math> <math>x.</math> के धनात्मक मूल्यों के लिए यह सम्मिश्र संख्याओं के पारंपरिक घटक क्रम के विपरीत है, <math>z = x + iy,</math> या निर्देशांक के रूप में <math>(\operatorname{Re}z, \operatorname{Im}z).</math> अनुभाग परिभाषा और संगणना देखें। | ||
कुछ अन्य प्रोग्रामिंग | कुछ अन्य प्रोग्रामिंग भाषा (देखें सामान्य कंप्यूटर भाषाओं में फलन के प्रति) ने इसके अतिरिक्त विपरीत क्रम चुना। उदाहरण के लिए <math>\operatorname{Atan2}(x,y),</math> माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल उपयोग करता है <math>\operatorname{arctan2}(x,y),</math> और गणितज्ञ उपयोग करता है <math>\operatorname{ArcTan}[x,y],</math> यदि एक तर्क के साथ बुलाया जाता है तो एक-तर्क स्पर्शरेखा के लिए डिफ़ॉल्ट। | ||
== परिभाषा और गणना == | == परिभाषा और गणना == | ||
{{anchor|Definition}} | {{anchor|Definition}}कार्यक्रम {{math|atan2}} सम्मिश्र संख्या {{math|''x'' + ''i'' ''y''}} पर लागू तर्क फलन के मुख्य मान की गणना करता है। अर्थात्, {{math|1=atan2(''y'', ''x'') = Pr arg(''x'' + ''i'' ''y'') = Arg(''x'' + ''i'' ''y'')}} कोण में कोई फर्क किए बिना तर्क को {{math|2π}} (मूल के चारों ओर एक पूर्ण मोड़ के अनुरूप) के मनमाने ढंग से बदला जा सकता है, लेकिन {{math|atan2}} को विशिष्ट रूप से परिभाषित करने के लिए <math>( -\pi, \pi ]</math> {{math|−''π'' < atan2(''y'', ''x'') ≤ ''π''}} | ||
कार्यक्रम {{math|atan2}} | |||
मानक के संदर्भ में {{math|arctan}} कार्य, जिसकी सीमा | मानक के संदर्भ में {{math|arctan}} कार्य, जिसकी सीमा {{open-closed|−π/2, π/2}} है , इसे इस प्रकार परिभाषित करने के लिए निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है जिसमें सेमी-अनंत लाइन x<0 y=0 के अतिरिक्त कोई असततता नहीं है: | ||
<math display="block"> \operatorname{atan2}(y, x) = | <math display="block"> \operatorname{atan2}(y, x) = | ||
| Line 41: | Line 39: | ||
\text{undefined} &\text{if } x = 0 \text{ and } y = 0. | \text{undefined} &\text{if } x = 0 \text{ and } y = 0. | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
चार अतिव्यापी आधे | चार अतिव्यापी आधे तलों के साथ एक कॉम्पैक्ट एक्सप्रेशन है | ||
<math display="block"> \operatorname{atan2}(y, x) = | <math display="block"> \operatorname{atan2}(y, x) = | ||
| Line 59: | Line 57: | ||
&\qquad + \bigl(1-2[y<0]\bigr) \left( \pi [x<0] + \tfrac12\pi[x=0] \right) \\[5mu] | &\qquad + \bigl(1-2[y<0]\bigr) \left( \pi [x<0] + \tfrac12\pi[x=0] \right) \\[5mu] | ||
&\qquad + \text{undefined}\;\![x=0 \wedge y=0] | &\qquad + \text{undefined}\;\![x=0 \wedge y=0] | ||
\end{align}</math> स्पष्ट सशर्त के बिना सूत्र (कंप्यूटर | \end{align}</math> स्पष्ट सशर्त के बिना सूत्र (कंप्यूटर भाषा ): | ||
<math display="block"> \operatorname{atan2}(y, x) = \lim_{z \to x^+}\arctan\left(\frac{y}{z}\right) + \frac{\pi}2\sgn(y)\sgn(x)\left(\sgn(x)-1\right) </math> | <math display="block"> \operatorname{atan2}(y, x) = \lim_{z \to x^+}\arctan\left(\frac{y}{z}\right) + \frac{\pi}2\sgn(y)\sgn(x)\left(\sgn(x)-1\right) </math> | ||
स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र से प्राप्त निम्न अभिव्यक्ति का उपयोग परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है | स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र से प्राप्त निम्न अभिव्यक्ति का उपयोग {{math|atan2}} परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है : | ||
<math display="block"> \operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases} | <math display="block"> \operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases} | ||
2 \arctan\left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2} + x}\right) &\text{if } x > 0 \text{ or } y \neq 0, \\ | 2 \arctan\left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2} + x}\right) &\text{if } x > 0 \text{ or } y \neq 0, \\ | ||
| Line 67: | Line 65: | ||
\text{undefined} &\text{if } x = 0 \text{ and } y = 0. | \text{undefined} &\text{if } x = 0 \text{ and } y = 0. | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
उपरोक्त परिभाषा की तुलना में यह अभिव्यक्ति प्रतीकात्मक उपयोग के लिए अधिक उपयुक्त हो सकती है। | उपरोक्त परिभाषा की तुलना में यह अभिव्यक्ति प्रतीकात्मक उपयोग के लिए अधिक उपयुक्त हो सकती है। चूँकि यह सामान्य [[तैरनेवाला स्थल]] कम्प्यूटेशनल उपयोग के लिए अनुपयुक्त है, क्योंकि राउंडिंग त्रुटियों के प्रभाव के रूप में <math display="inline">\sqrt{x^2 + y^2}</math> क्षेत्र के निकट विस्तार करें {{math|1=''x'' < 0, ''y'' = 0}} (इससे y का शून्य से विभाजन भी हो सकता है)। | ||
अंतिम सूत्र का एक प्रकार जो इन बढ़ी हुई गोलाई त्रुटियों से बचा जाता है: | अंतिम सूत्र का एक प्रकार जो इन बढ़ी हुई गोलाई त्रुटियों से बचा जाता है: | ||
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[[File:The principal value of the argument (-atan2- in some circles).svg|thumb|तर्क के प्रमुख मूल्य की व्युत्पत्ति इस आंकड़े को संदर्भित करती है]]टिप्पणियाँ: | [[File:The principal value of the argument (-atan2- in some circles).svg|thumb|तर्क के प्रमुख मूल्य की व्युत्पत्ति इस आंकड़े को संदर्भित करती है]]टिप्पणियाँ: | ||
* यह सीमा में परिणाम पैदा करता है {{open-closed|−π, π}}.<ref group="note">One can apply the periodicity of the result to map to another desired range, e.g. mapping to {{closed-open|0, 2π}} by adding {{math|2π}} to the negative results.</ref> | * यह सीमा में परिणाम पैदा करता है {{open-closed|−π, π}}.<ref group="note">One can apply the periodicity of the result to map to another desired range, e.g. mapping to {{closed-open|0, 2π}} by adding {{math|2π}} to the negative results.</ref> | ||
* जैसा ऊपर बताया गया है, तर्क का मुख्य मूल्य {{math|atan2(''y'', ''x'')}} | * जैसा ऊपर बताया गया है, तर्क का मुख्य मूल्य {{math|atan2(''y'', ''x'')}} त्रिकोणमिति द्वारा {{math|arcton(''y''/''x'')}} से संबंधित हो सकता है। व्युत्पत्ति इस प्रकार है:{{pb}} यदि {{math|1=(''x'', ''y'') = (''r'' cos ''θ'', ''r'' sin ''θ'')}}, तो {{math|1=tan(''θ''/2) = ''y'' / (''r'' + ''x'')}}. यह इस प्रकार है कि <math display="block">\operatorname{atan2}(y, x) = \theta = 2\,\theta/2 = 2\arctan\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2} + x}.</math> ध्यान दें कि {{math|{{sqrt|''x''{{sup|{{small|2}}}} + ''y''{{sup|{{small|2}}}}}} + x ≠ 0}} संबंधित डोमेन में। | ||
== व्युत्पन्न == | == व्युत्पन्न == | ||
{{details| | {{details|घुमावदार संख्या | ||
समारोह के रूप में {{math|atan2}} दो चरों का एक फलन है, इसके दो आंशिक अवकलज हैं। उन बिंदुओं पर जहां ये डेरिवेटिव | }} | ||
समारोह के रूप में {{math|atan2}} दो चरों का एक फलन है, इसके दो आंशिक अवकलज हैं। उन बिंदुओं पर जहां ये डेरिवेटिव सम्मलित हैं, {{math|atan2}} स्थिरांक को छोड़कर, के बराबर है {{math|arctan(''y''/''x'')}}. इसलिए के लिए {{math|''x'' > 0}} या {{math|''y'' ≠ 0}}, | |||
:<math> | :<math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
| Line 92: | Line 91: | ||
अत: atan2 की प्रवणता किसके द्वारा दी जाती है | अत: atan2 की प्रवणता किसके द्वारा दी जाती है | ||
:<math>\nabla \text{atan2}(y,x)=\left({-y\over x^2+y^2}, \ {x\over x^2+y^2}\right).</math> | :<math>\nabla \text{atan2}(y,x)=\left({-y\over x^2+y^2}, \ {x\over x^2+y^2}\right).</math> | ||
अनौपचारिक रूप से | अनौपचारिक रूप से फलन का प्रतिनिधित्व करना {{math|atan2}} कोण फलन के रूप में {{math|1=''θ''(''x'', ''y'') = atan2(''y'', ''x'')}} (जो केवल स्थिरांक तक परिभाषित है) [[कुल अंतर]] के लिए निम्न सूत्र देता है: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
\mathrm{d}\theta | \mathrm{d}\theta | ||
| Line 98: | Line 97: | ||
&= -\frac{y}{x^2 + y^2}\,\mathrm{d}x + \frac{x}{x^2 + y^2}\,\mathrm{d}y. | &= -\frac{y}{x^2 + y^2}\,\mathrm{d}x + \frac{x}{x^2 + y^2}\,\mathrm{d}y. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
जबकि | जबकि फलन {{math|atan2}} ऋणात्मक के साथ असंतत है {{mvar|x}}-अक्ष, इस तथ्य को दर्शाता है कि कोण को लगातार परिभाषित नहीं किया जा सकता है, इस व्युत्पन्न को मूल को छोड़कर लगातार परिभाषित किया जाता है, इस तथ्य को दर्शाता है कि मूल को छोड़कर हर जगह अनंत (और वास्तव में स्थानीय) परिवर्तन को परिभाषित किया जा सकता है। पथ के साथ इस व्युत्पन्न को एकीकृत करने से पथ पर कोण में कुल परिवर्तन होता है, और एक बंद लूप पर एकीकृत करने से [[घुमावदार संख्या]] मिलती है। | ||
अंतर ज्यामिति की भाषा में, यह व्युत्पन्न एक-रूप है, और यह [[बंद अंतर रूप]] है (इसका व्युत्पन्न शून्य है) लेकिन [[सटीक अंतर रूप]] नहीं है (यह 0-रूप का व्युत्पन्न नहीं है, अर्थात, एक कार्य), और वास्तव में यह पंक्चर किए गए तल का पहला [[डॉ कहलमज गर्भाशय]] उत्पन्न करता है। यह इस प्रकार के एक रूप का सबसे बुनियादी उदाहरण है, और यह [[अंतर ज्यामिति]] में मौलिक है। | |||
आंशिक डेरिवेटिव {{math|atan2}} त्रिकोणमितीय फलन सम्मलित नहीं हैं, जो इसे कई अनुप्रयोगों (जैसे एम्बेडेड प्रणाली) में विशेष रूप से उपयोगी बनाता है जहां त्रिकोणमितीय फलन का मूल्यांकन करना महंगा हो सकता है। | |||
== चित्रण == | == चित्रण == | ||
[[File:Atan2 60.svg|thumb|right|300px|atan2 चयनित किरणों के लिए]]यह आंकड़ा | [[File:Atan2 60.svg|thumb|right|300px|atan2 चयनित किरणों के लिए]]यह आंकड़ा इकाई घेरा पर लेबल किए गए उत्पत्ति से चयनित किरणों के साथ '''atan2''' के मान दिखाता है। रेडियन में मान वृत्त के अंदर दिखाए जाते हैं। आरेख मानक गणितीय सम्मेलन का उपयोग करता है जो कोणों को शून्य से दाईं ओर किरण के साथ [[दक्षिणावर्त]] बढ़ाता है। ध्यान दें कि तर्कों {{math|atan2(''y'', ''x'')}} का क्रम उल्टा है; फलन {{math|(''x'', ''y'')}} बिंदु के अनुरूप कोण की गणना करता है . | ||
{{clear}} | {{clear}} | ||
[[File:Atan2atan.png|thumb|right|300px|व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों और atan2 कार्यों की तुलना]]यह आंकड़ा | [[File:Atan2atan.png|thumb|right|300px|व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों और atan2 कार्यों की तुलना]]यह आंकड़ा <math>\arctan(\tan(\theta))</math> के साथ-साथ <math>\operatorname {atan2}(\sin(\theta),\cos(\theta))</math> के मान दिखाता है <math>0\le \theta \le 2\pi</math> दोनों कार्य क्रमशः <math>\pi</math> तथा <math>2\pi</math> के साथ विषम और आवधिक हैं, और इस प्रकार <math>\theta</math> के वास्तविक मूल्यों के किसी भी क्षेत्र में आसानी से पूरक हो सकते हैं। <math>\theta = \pi</math> <math>\operatorname {atan2}</math> और <math>\theta \in \{\tfrac{\pi}{2},\;\tfrac{3\pi}{2}\}</math> <math>\arctan</math> की शाखाओं में कटौती साफ देखी जा सकती है <ref>{{cite web|url=http://www.mndynamics.com/indexp.html|title=वुल्फ जंग: मंडल, जटिल गतिशीलता के लिए सॉफ्टवेयर|website=www.mndynamics.com|access-date=20 April 2018}}</ref> | ||
नीचे दिए गए दो आंकड़े क्रमशः | नीचे दिए गए दो आंकड़े क्रमशः {{math|atan2(''y'', ''x'')}} और {{math|arctan({{sfrac|''y''|''x''}})}} तल के एक क्षेत्र के ऊपर। ध्यान दें कि {{math|atan2(''y'', ''x'')}} के लिए, मूल बिंदु से निकलने वाले X/Y-तल में किरणों का मान स्थिर होता है, लेकिन {{math|arctan({{sfrac|''y''|''x''}})}} X/Y-तल मूल बिंदु से गुजरने वाली X/Y-तल में रेखाओं का मान स्थिर रहता है।{{math|''x'' > 0}} के लिए, दो आरेख समान मान देते हैं। | ||
{| class="wikitable" style="text-align: center; | {| class="wikitable" style="text-align: center; | ||
| Line 118: | Line 117: | ||
== कोण योग और अंतर पहचान == | == कोण योग और अंतर पहचान == | ||
{{Main| | {{Main|त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची कोण योग और अंतर सर्वसमिका | ||
}} | |||
<math>\operatorname{atan2}</math> का योग निम्नलिखित पहचान के अनुसार एक ही ऑपरेशन में संक्षिप्त किया जा सकता है | |||
:<math>\operatorname{atan2} (y_1, x_1) \pm \operatorname{atan2} (y_2, x_2) = \operatorname{atan2} (y_1 x_2 \pm y_2 x_1, x_1 x_2 \mp y_1 y_2)</math> | :<math>\operatorname{atan2} (y_1, x_1) \pm \operatorname{atan2} (y_2, x_2) = \operatorname{atan2} (y_1 x_2 \pm y_2 x_1, x_1 x_2 \mp y_1 y_2)</math> | ||
. | .<math>\operatorname{atan2} (y_1, x_1) \pm \operatorname{atan2} (y_2, x_2) \in (-\pi, \pi]</math>. उपलब्ध कराया . | ||
प्रमाण में दो स्थितियों पर विचार करना सम्मलित है, एक जहां <math>y_2 \neq 0</math> या <math>x_2 > 0</math> और एक <math>y_2 = 0</math> तथा <math>x_2 < 0</math>. | |||
हम केवल उस | हम केवल उस स्थिति पर विचार करते हैं जहां <math>y_2 \neq 0</math> या <math>x_2 > 0</math>. शुरू करने के लिए, हम निम्नलिखित अवलोकन करते हैं: | ||
# <math>-\operatorname{atan2}(y,x) = \operatorname{atan2}(-y,x)</math> उसे उपलब्ध कराया <math>y \neq 0</math> या <math>x > 0</math>. | # <math>-\operatorname{atan2}(y,x) = \operatorname{atan2}(-y,x)</math> उसे उपलब्ध कराया <math>y \neq 0</math> या <math>x > 0</math>. | ||
# <math>\operatorname{Arg} (x + i y) = \operatorname{atan2} (y, x)</math>, कहाँ पे <math>\operatorname{Arg}</math> तर्क है ( | # <math>\operatorname{Arg} (x + i y) = \operatorname{atan2} (y, x)</math>, कहाँ पे <math>\operatorname{Arg}</math> तर्क है (सम्मिश्र विश्लेषण)#गणना। | ||
# <math>\theta = \operatorname{Arg} e^{i \theta}</math> जब भी <math>\theta \in (-\pi, \pi]</math>, यूलर के सूत्र का परिणाम है। | # <math>\theta = \operatorname{Arg} e^{i \theta}</math> जब भी <math>\theta \in (-\pi, \pi]</math>, यूलर के सूत्र का परिणाम है। | ||
# <math>\operatorname{Arg} (e^{i \operatorname{Arg} \zeta_1} e^{i \operatorname{Arg} \zeta_2}) = \operatorname{Arg} (\zeta_1 \zeta_2)</math>. | # <math>\operatorname{Arg} (e^{i \operatorname{Arg} \zeta_1} e^{i \operatorname{Arg} \zeta_2}) = \operatorname{Arg} (\zeta_1 \zeta_2)</math>. | ||
देखने के लिए (4), हमारे पास तर्क ( | देखने के लिए (4), हमारे पास तर्क (सम्मिश्र विश्लेषण) पहचान है <math>e^{i \operatorname{Arg} \zeta} = \bar{\zeta}</math> कहाँ पे <math>\bar{\zeta} = \zeta / \left|\zeta\right|</math>, इसलिये <math>\operatorname{Arg} (e^{i \operatorname{Arg} \zeta_1} e^{i \operatorname{Arg} \zeta_2}) = \operatorname{Arg} (\bar{\zeta_1} \bar{\zeta_2})</math>. इसके अतिरिक्त, चूंकि <math>\operatorname{Arg} \zeta = \operatorname{Arg} a \zeta</math> किसी भी धनात्मक वास्तविक मूल्य के लिए <math>a</math>, तो यदि हम करते हैं <math>\zeta = \zeta_1 \zeta_2</math> तथा <math>a = \frac{1}{\left|\zeta_1\right|\left|\zeta_2\right|}</math> तो हमारे पास हैं <math>\operatorname{Arg} (\bar{\zeta_1} \bar{\zeta_2}) = \operatorname{Arg} (\zeta_1 \zeta_2)</math>. | ||
इन अवलोकनों से निम्नलिखित समानताएं हैं: | इन अवलोकनों से निम्नलिखित समानताएं हैं: | ||
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&{} = \operatorname{atan2} (y_1 x_2 \pm y_2 x_1, x_1 x_2 \mp y_1 y_2) & \text{by (2)} | &{} = \operatorname{atan2} (y_1 x_2 \pm y_2 x_1, x_1 x_2 \mp y_1 y_2) & \text{by (2)} | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
परिणाम: यदि <math>(y_1, x_1)</math> तथा <math>(y_2, x_2)</math> 2-आयामी | परिणाम: यदि <math>(y_1, x_1)</math> तथा <math>(y_2, x_2)</math> 2-आयामी सदिश हैं, उन सदिशों के बीच कोण की सहायता से गणना करने के लिए अभ्यास में अंतर सूत्र का प्रायः <math>\operatorname{atan2}</math> उपयोग किया जाता है , क्योंकि परिणामी संगणना <math>(-\pi, \pi]</math>सीमा में सौम्य व्यवहार करती है और इस प्रकार कई व्यावहारिक स्थितियों में रेंज चेक के बिना इसका उपयोग किया जा सकता है। | ||