विभाजन (गणित): Difference between revisions

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=== कंप्यूटर द्वारा ===
=== कंप्यूटर द्वारा ===
आधुनिक कैलकुलेटर और कंप्यूटर या तो लंबे डिवीजन के समान तरीकों से, या तेज तरीकों से विभाजन की गणना करते हैं;डिवीजन एल्गोरिथ्म देखें।
आधुनिक कैलकुलेटर और कंप्यूटर या तो लंबे विभाजन के समान तरीकों से या तेज तरीकों से गणना करते हैं; डिवीजन एल्गोरिथ्म देखें।


मॉड्यूलर अंकगणित (मोडुलो ए प्राइम नंबर) और वास्तविक संख्याओं के लिए, नॉनज़ेरो नंबरों में एक गुणात्मक व्युत्क्रम होता है।इन मामलों में, एक विभाजन द्वारा {{mvar|x}} गुणात्मक व्युत्क्रम द्वारा उत्पाद के रूप में गणना की जा सकती है {{mvar|x}}।यह दृष्टिकोण अक्सर कंप्यूटर अंकगणित में तेज तरीकों से जुड़ा होता है।
मॉड्यूलर अंकगणित (मॉड्यूलो एक अभाज्य संख्या) और वास्तविक संख्याओं के लिए, गैर-शून्य संख्याओं में एक गुणात्मक प्रतिलोम होता है। इन मामलों में, x से एक भाग की गणना x के गुणनात्मक प्रतिलोम द्वारा गुणनफल के रूप में की जा सकती है। यह दृष्टिकोण अक्सर कंप्यूटर अंकगणित में तेज तरीकों से जुड़ा होता है।


== विभिन्न संदर्भों में विभाजन ==
== विभिन्न संदर्भों में विभाजन ==
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=== यूक्लिडियन डिवीजन ===
=== यूक्लिडियन डिवीजन ===
{{main|Euclidean division}}
{{main|Euclidean division}}
यूक्लिडियन डिवीजन पूर्णांक के विभाजन की सामान्य प्रक्रिया के परिणाम का गणितीय सूत्रीकरण है।यह दावा करता है कि, दो पूर्णांक, ए, लाभांश, और बी, भाजक को देखते हुए, जैसे कि b ≠ 0, अद्वितीय पूर्णांक Q, भागफल, और R, शेष हैं, जैसे कि a = bq + r और 0 ≤r < {{abs|''b''}}, कहाँ पे {{abs|''b''}} बी के पूर्ण मूल्य को दर्शाता है।
यूक्लिडियन विभाजन पूर्णांक के विभाजन की सामान्य प्रक्रिया के परिणाम का गणितीय सूत्रीकरण है। यह दावा करता है कि दो पूर्णांक a भाज्य और b भाजक को देखते हुए, जैसे कि b ≠ 0 अद्वितीय पूर्णांक Q भागफल और R शेष हैं, जैसे कि a = b q + r और 0 ≤ r < {{abs|''b''}}, जहां {{abs|''b''}} निरपेक्ष मान को दर्शाता है।


पूर्णांक का == ===
'''पूर्णांकों का''' विभाजन के अंतर्गत पूर्णांकों को बंद नहीं किया जाता है। शून्य द्वारा विभाजन अपरिभाषित होने के अलावा, भागफल तब तक पूर्णांक नहीं है जब तक कि भाज्य भाजक का एक पूर्णांक गुणज न हो। उदाहरण के लिए, 26 को पूर्णांक देने के लिए 11 से विभाजित नहीं किया जा सकता है। ऐसा मामला पांच दृष्टिकोणों में से एक का उपयोग करता है:
पूर्णांक विभाजन के तहत बंद नहीं हैं।शून्य द्वारा डिवीजन के अलावा अपरिभाषित होने के अलावा, भागफल तब तक पूर्णांक नहीं है जब तक कि लाभांश भाजक का एक पूर्णांक मल्टीपल न हो।उदाहरण के लिए, 26 को पूर्णांक देने के लिए 11 से विभाजित नहीं किया जा सकता है।ऐसा मामला पांच दृष्टिकोणों में से एक का उपयोग करता है:
# मान लीजिए कि 26 को 11 से विभाजित नहीं किया जा सकता है; विभाजन एक भिन्नात्मक फलन बन जाता है।
# कहें कि 26 को 11 से विभाजित नहीं किया जा सकता है;डिवीजन एक आंशिक कार्य बन जाता है।
# चल बिन्दु संख्या (floating point number) के रूप में अनुमानित उत्तर दें। यह आमतौर पर संख्यात्मक गणना में लिया जाता है।
# फ्लोटिंग-पॉइंट नंबर के रूप में अनुमानित उत्तर दें।यह आमतौर पर संख्यात्मक गणना में लिया गया दृष्टिकोण है।
# उत्तर को एक परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले भिन्न के रूप में दें, इसलिए 26 से 11 के विभाजन का परिणाम है <math>\tfrac{26}{11}</math> (या मिश्रित संख्या के रूप में, इसलिए <math>\tfrac{26}{11} = 2 \tfrac 4{11}.</math>) आमतौर पर परिणामी भिन्न को सरल बनाया जाना चाहिए: 22 से 52 के विभाजन का परिणाम भी <math>\tfrac{26}{11}</math> होता है। यह सरलीकरण सबसे बड़े सामान्य भाजक का गुणन करके किया जा सकता है।
# एक तर्कसंगत संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले अंश के रूप में उत्तर दें, इसलिए 11 से 11 के विभाजन का परिणाम है <math>\tfrac{26}{11}</math> (या मिश्रित संख्या के रूप में, इसलिए <math>\tfrac{26}{11} = 2 \tfrac 4{11}.</math>) आमतौर पर परिणामी अंश को सरल बनाया जाना चाहिए: 22 से 52 के विभाजन का परिणाम भी है <math>\tfrac{26}{11}</math>।यह सरलीकरण सबसे महान सामान्य भाजक को फैक्टर करके किया जा सकता है।
# एक पूर्णांक भागफल और शेष के रूप में उत्तर दें, इसलिए <math>\tfrac{26}{11} = 2 \mbox{ remainder } 4.</math> पिछले मामले के साथ अंतर करने के लिए, परिणाम के रूप में दो पूर्णांक वाले इस विभाजन को कभी-कभी यूक्लिडियन डिवीजन कहा जाता है, क्योंकि यह यूक्लिडियन एल्गोरिदम का आधार है।
# एक पूर्णांक भागफल और शेष के रूप में उत्तर दें, इसलिए <math>\tfrac{26}{11} = 2 \mbox{ remainder } 4.</math> पिछले मामले के साथ भेद करने के लिए, परिणाम के रूप में दो पूर्णांक के साथ यह डिवीजन, कभी -कभी यूक्लिडियन डिवीजन कहा जाता है, क्योंकि यह यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का आधार है।
# उत्तर के रूप में पूर्णांक भागफल दें, इसलिए <math>\tfrac{26}{11} = 2.</math> यह केस 2 या 3 पर लागू फर्श (Floor) फलन है। इसे कभी -कभी 'पूर्णांक डिवीजन' कहा जाता है, और // द्वारा दर्शाया जाता है।
# उत्तर के रूप में पूर्णांक भागफल दें, इसलिए <math>\tfrac{26}{11} = 2.</math> यह केस 2 या 3 पर लागू फर्श फ़ंक्शन है। इसे कभी -कभी 'पूर्णांक डिवीजन' कहा जाता है, और // द्वारा निरूपित किया जाता है।


कंप्यूटर प्रोग्राम में पूर्णांक को विभाजित करने के लिए विशेष देखभाल की आवश्यकता होती है।कुछ प्रोग्रामिंग भाषाएं, इंटेगर डिवीजन को 5 के मामले में मानती हैं, इसलिए उत्तर एक पूर्णांक है।अन्य भाषाएं, जैसे कि MATLAB और प्रत्येक कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली उत्तर के रूप में एक तर्कसंगत संख्या लौटाती है, जैसा कि ऊपर 3 केस में है।ये भाषाएं अन्य मामलों के परिणाम प्राप्त करने के लिए भी कार्य प्रदान करती हैं, या तो सीधे या केस 3 के परिणाम से।
कंप्यूटर प्रोग्राम में पूर्णांक को विभाजित करने के लिए विशेष देखभाल की आवश्यकता होती है। कुछ प्रोग्रामिंग भाषाएं, पूर्णांक विभाजन को 5 के मामले में मानती हैं, इसलिए उत्तर एक पूर्णांक है। अन्य भाषाएं, जैसे कि MATLAB और प्रत्येक कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली उत्तर के रूप में एक परिमेय संख्या लौटाती है, जैसा कि ऊपर 3 केस में है। ये भाषाएं अन्य मामलों के परिणाम प्राप्त करने के लिए, सीधे या केस 3 के परिणाम से कार्य प्रदान करती हैं।


पूर्णांक डिवीजन के लिए उपयोग किए जाने वाले नामों और प्रतीकों में div, /, \, और %शामिल हैं।पूर्णांक विभाजन के संबंध में परिभाषाएं अलग-अलग होती हैं जब लाभांश या भाजक नकारात्मक होता है: राउंडिंग शून्य (तथाकथित टी-डिविज़न) या −X की ओर हो सकती है (f-division);दुर्लभ शैली हो सकती है - विवरण के लिए मोडुलो ऑपरेशन देखें।
पूर्णांक विभाजन के लिए उपयोग किए जाने वाले नामों और प्रतीकों में div, /, \, और % शामिल हैं। पूर्णांक विभाजन के संबंध में परिभाषाएं अलग-अलग होती हैं जब भाज्य या भाजक नकारात्मक होता है: पूर्णांकन शून्य (तथाकथित टी-डिवीजन) या (एफ-डिवीजन) की ओर हो सकता है - विवरण के लिए मोडुलो ऑपरेशन देखें।


विभाजन नियमों का उपयोग कभी -कभी यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि क्या एक पूर्णांक दूसरे में बिल्कुल विभाजित होता है।
विभाजन नियमों का उपयोग कभी -कभी यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि क्या एक पूर्णांक दूसरे में विभाजित होता है।


तर्कसंगत संख्याओं का == ===
=== '''परिमेय संख्याओं का''' ===
दो तर्कसंगत संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम एक और तर्कसंगत संख्या है जब विभाजक 0. नहीं है। दो तर्कसंगत संख्याओं का विभाजन P/Q और R/S की गणना की जा सकती है
दो परिमेय संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम एक और '''परिमेय''' संख्या है जब विभाजक 0 नहीं है। दो परिमेय संख्याओं P/Q और R/S के विभाजन की गणना इस प्रकार की जा सकती है
:<math>{p/q \over r/s} = {p \over q} \times {s \over r} = {ps \over qr}.</math>
:<math>{p/q \over r/s} = {p \over q} \times {s \over r} = {ps \over qr}.</math>
सभी चार मात्राएँ पूर्णांक हैं, और केवल पी केवल 0. हो सकता है। यह परिभाषा यह सुनिश्चित करती है कि विभाजन गुणन का व्युत्क्रम संचालन है।
सभी चार मात्राएँ पूर्णांक हैं, और केवल p 0 हो सकता है। यह परिभाषा सुनिश्चित करती है कि विभाजन गुणन का व्युत्क्रम संचालन है।


=== वास्तविक संख्याओं का ===
=== वास्तविक संख्याओं का ===
दो वास्तविक संख्याओं का विभाजन एक और वास्तविक संख्या में होता है (जब भाजक नॉनज़ेरो होता है)।यह ऐसा परिभाषित किया गया है कि a/b = c अगर और केवल अगर a = cb और b ≠ 0।
दो वास्तविक संख्याओं के विभाजन से एक और वास्तविक संख्या प्राप्त होती है (जब भाजक नॉनज़ेरो होता है)। यह ऐसा परिभाषित किया गया है कि a/b = c केवल अगर a = cb और b ≠ 0 हो।


=== जटिल संख्याओं का ===
=== जटिल संख्याओं का ===
दो जटिल संख्याओं को विभाजित करना (जब भाजक नॉनज़ेरो है) एक और जटिल संख्या में परिणाम होता है, जो कि हर के संयुग्मक का उपयोग करके पाया जाता है:
दो जटिल संख्याओं को विभाजित करना (जब भाजक अशून्य होता है) एक और जटिल संख्या में परिणाम होता है, जो कि हर के संयुग्मक का उपयोग करके पाया जाता है:
:<math>{p+iq \over r+is} = {(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)} = {pr+qs + i(qr-ps) \over r^2+s^2} = {pr+qs \over r^2+s^2} + i{qr-ps \over r^2+s^2}.</math>
:<math>{p+iq \over r+is} = {(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)} = {pr+qs + i(qr-ps) \over r^2+s^2} = {pr+qs \over r^2+s^2} + i{qr-ps \over r^2+s^2}.</math>
गुणा करने और विभाजित करने की यह प्रक्रिया <math>r-is</math> 'एहसास' या (सादृश्य द्वारा) युक्तिकरण कहा जाता है।सभी चार मात्राएँ P, Q, R, S वास्तविक संख्याएं हैं, और R और S दोनों 0 नहीं हो सकते हैं।
गुणा करने और विभाजित करने की यह प्रक्रिया <math>r-is</math> को 'प्राप्ति' या (सादृश्य द्वारा) युक्तिकरण कहा जाता है। सभी चार मात्राएँ P, Q, R, S वास्तविक संख्याएं हैं, R और S दोनों 0 नहीं हो सकते हैं।


ध्रुवीय रूप में व्यक्त जटिल संख्याओं के लिए विभाजन ऊपर की परिभाषा की तुलना में सरल है:
ध्रुवीय रूप में व्यक्त जटिल संख्याओं के लिए विभाजन ऊपर की परिभाषा की तुलना में सरल है:
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=== बहुपद का ===
=== बहुपद का ===
एक क्षेत्र में एक चर में बहुपद के लिए डिवीजन ऑपरेशन को परिभाषित कर सकता है।फिर, जैसा कि पूर्णांक के मामले में, एक शेष है।पोलिनोमिअल के यूक्लिडियन डिवीजन देखें, और, हाथ से लिखे गए अभिकलन, बहुपद लॉन्ग डिवीजन या सिंथेटिक डिवीजन के लिए।
एक क्षेत्र में बहुपद के लिए विभाजन संक्रिया को एक चर में परिभाषित किया जा सकता है। फिर, जैसा कि पूर्णांक के मामले में, एक शेष है। बहुपदों का यूक्लिडियन विभाजन  और हाथ से लिखी गणना के लिए, बहुपद लंबा विभाजन या सिंथेटिक विभाजन देखें।


=== मैट्रिसेस का ===
=== मैट्रिसेस का ===
कोई मैट्रिस के लिए एक डिवीजन ऑपरेशन को परिभाषित कर सकता है।ऐसा करने का सामान्य तरीका परिभाषित करना है {{nowrap|1=''A'' / ''B'' = ''AB''<sup>−1</sup>}}, कहाँ पे {{nowrap|''B''<sup>−1</sup>}} B के व्युत्क्रम को दर्शाता है, लेकिन यह लिखना कहीं अधिक सामान्य है {{nowrap|''AB''<sup>−1</sup>}} भ्रम से बचने के लिए स्पष्ट रूप से।हदामार्ड उत्पाद के संदर्भ में एक तत्ववर्धक डिवीजन को भी परिभाषित किया जा सकता है।
कोई मैट्रिस के लिए विभाजन संक्रिया को परिभाषित कर सकता है। ऐसा करने का सामान्य तरीका {{nowrap|1=''A'' / ''B'' = ''AB''<sup>−1</sup>}} को परिभाषित करना है, जहां {{nowrap|''B''<sup>−1</sup>}} B के व्युत्क्रम को दर्शाता है, लेकिन यह लिखना कहीं अधिक सामान्य है {{nowrap|''AB''<sup>−1</sup>}} भ्रम से बचने के लिए। हदामार्ड (Hadamard) उत्पाद के संदर्भ में एक तत्ववर्धक विभाजन को भी परिभाषित किया जा सकता है।


==== बाएं और दाएं विभाजन ====
==== बाएं और दाएं विभाजन ====
क्योंकि मैट्रिक्स गुणा कम्यूटेटिव नहीं है, कोई भी एक बाएं डिवीजन या तथाकथित बैकस्लैश-डिवीजन को भी परिभाषित कर सकता है {{nowrap|1=''A'' \ ''B'' = ''A''<sup>−1</sup>''B''}}।इसके लिए अच्छी तरह से परिभाषित किया जाना है, {{nowrap|''B''<sup>−1</sup>}} हालांकि, मौजूद नहीं है {{nowrap|''A''<sup>−1</sup>}} अस्तित्व की जरूरत है।भ्रम से बचने के लिए, द्वारा परिभाषित विभाजन {{nowrap|1=''A'' / ''B'' = ''AB''<sup>−1</sup>}} कभी-कभी इस संदर्भ में राइट डिवीजन या स्लैश-डिवीजन कहा जाता है।
क्योंकि मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, कोई भी बाएँ भाग या तथाकथित बैकस्लैश-विभाजन को {{nowrap|1=''A'' \ ''B'' = ''A''<sup>−1</sup>''B''}} के रूप में परिभाषित कर सकता है। इसे अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए, B−1 का अस्तित्व आवश्यक नहीं है, हालांकि A−1 का अस्तित्व होना आवश्यक है। भ्रम से बचने के लिए, {{nowrap|1=''A'' / ''B'' = ''AB''<sup>−1</sup>}} द्वारा परिभाषित विभाजन को कभी-कभी इस संदर्भ में सही विभाजन या स्लैश-विभाजन कहा जाता है।


ध्यान दें कि बाएं और दाएं डिवीजन के साथ इस तरह से परिभाषित किया गया है, {{nowrap|''A'' / (''BC'')}} सामान्य रूप से समान नहीं है {{nowrap|(''A'' / ''B'') / ''C''}}, और न ही है {{nowrap|(''AB'') \ ''C''}} बराबर {{nowrap|''A'' \ (''B'' \ ''C'')}}।हालाँकि, यह धारण करता है {{nowrap|1=''A'' / (''BC'') = (''A'' / ''C'') / ''B''}} तथा {{nowrap|1=(''AB'') \ ''C'' = ''B'' \ (''A'' \ ''C'')}}।
ध्यान दें कि बाएं और दाएं विभाजन के साथ इस तरह से परिभाषित किया गया है, {{nowrap|''A'' / (''BC'')}} सामान्य रूप से समान नहीं है {{nowrap|(''A'' / ''B'') / ''C''}}, और न ही है {{nowrap|(''AB'') \ ''C''}} बराबर {{nowrap|''A'' \ (''B'' \ ''C'')}}।हालाँकि, यह मानता है कि {{nowrap|1=''A'' / (''BC'') = (''A'' / ''C'') / ''B''}} तथा {{nowrap|1=(''AB'') \ ''C'' = ''B'' \ (''A'' \ ''C'')}}।


==== pseudoinverse ====
==== छद्म व्युत्क्रम (Pseudoinverse) ====
समस्याओं से बचने के लिए {{nowrap|''A''<sup>−1</sup>}} और/या {{nowrap|''B''<sup>−1</sup>}} मौजूद नहीं है, विभाजन को भी छद्मियों द्वारा गुणन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।वह है, {{nowrap|1=''A'' / ''B'' = ''AB''<sup>+</sup>}} तथा {{nowrap|1=''A'' \ ''B'' = ''A''<sup>+</sup>''B''}}, कहाँ पे {{nowrap|''A''<sup>+</sup>}} तथा {{nowrap|''B''<sup>+</sup>}} ए और बी के छद्मियों को निरूपित करें
समस्याओं से बचने के लिए {{nowrap|''A''<sup>−1</sup>}} और/या {{nowrap|''B''<sup>−1</sup>}} मौजूद नहीं है, विभाजन को भी छद्म व्युत्क्रम द्वारा गुणन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अर्थात्, {{nowrap|1=''A'' / ''B'' = ''AB''<sup>+</sup>}} तथा {{nowrap|1=''A'' \ ''B'' = ''A''<sup>+</sup>''B''}}, जहाँ {{nowrap|''A''<sup>+</sup>}} तथा {{nowrap|''B''<sup>+</sup>}} a और b के छद्म विलोम को दर्शाते हैं।
 
=== सार बीजगणित ===
अमूर्त बीजगणित में, बाइनरी ऑपरेशन के साथ एक मैग्मा दिया गया (जिसे नाममात्र को गुणा कहा जा सकता है), ए (लिखित द्वारा बी का बाएं विभाजन {{nowrap|''a'' \ ''b''}}) आमतौर पर समीकरण के लिए समाधान x के रूप में परिभाषित किया जाता है {{nowrap|1=''a'' ∗ ''x'' = ''b''}}, अगर यह मौजूद है और अद्वितीय है।इसी तरह, ए (लिखित (लिखित) द्वारा बी का सही विभाजन {{nowrap|''b'' / ''a''}}) समीकरण का समाधान y है {{nowrap|1=''y'' ∗ ''a'' = ''b''}}। इस अर्थ में विभाजन को किसी विशेष गुण (जैसे कम्यूटेटिविटी, एसोसिएटिविटी, या एक पहचान तत्व) के लिए ∗ की आवश्यकता नहीं होती है।
 
रद्द करने के अर्थ में विभाजन किसी भी मैग्मा में रद्दीकरण संपत्ति के साथ एक तत्व द्वारा किया जा सकता है। उदाहरणों में मैट्रिक्स बीजगणित और चतुर्भुज बीजगणित शामिल हैं। एक क्वासिग्रुप एक संरचना है जिसमें विभाजन हमेशा संभव होता है, यहां तक ​​कि एक पहचान तत्व के बिना भी और इसलिए इनवर्स। एक अभिन्न डोमेन में, जहां प्रत्येक तत्व की आवश्यकता नहीं होती है, एक उलटा होता है, एक रद्द तत्व द्वारा विभाजन ए को अभी भी क्रमशः एबी या सीए के तत्वों पर बाएं या दाएं रद्दीकरण द्वारा किया जा सकता है। यदि एक अंगूठी परिमित है और प्रत्येक नॉनज़ेरो तत्व रद्द कर दिया जाता है, तो कबूतर सिद्धांत के एक आवेदन द्वारा, रिंग का प्रत्येक नॉनज़ेरो तत्व उल्टा होता है, और किसी भी नॉनज़ेरो तत्व द्वारा विभाजन संभव है। इस बारे में जानने के लिए कि जब बीजगणित (तकनीकी अर्थों में) का एक डिवीजन ऑपरेशन होता है, तो डिवीजन अल्जेब्रास पर पेज को देखें। विशेष रूप से बॉटल आवधिकता का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि किसी भी वास्तविक मानदंड विभाजन बीजगणित को वास्तविक संख्या 'आर', जटिल संख्या 'सी', चतुर्भुज 'एच', या ऑक्टोनियन 'ओ' के लिए आइसोमोर्फिक होना चाहिए।
<!--बाएं बनाम दाएं, क्वासिग्रुप की परिभाषा, एसोसिएटिविटी, उदाहरणों की उपस्थिति में उलटा तत्वों के लिए संबंध: समूह, ऑक्टोनियन्स -->


=== संक्षेप बीजगणित ===
अमूर्त बीजगणित में, बाइनरी ऑपरेशन के साथ एक मैग्मा दिया गया (जिसे नाममात्र रूप से गुणा कहा जा सकता है), b के बाएं विभाजन को a (लिखा गया a \ b) को आमतौर पर समीकरण a x = b के समाधान x के रूप में परिभाषित किया जाता है, यदि यह मौजूद है और अद्वितीय है। इसी तरह, b का a (लिखित b / a) से सही विभाजन समीकरण y a = b का हल y है। इस अर्थ में विभाजन को किसी विशेष गुण (जैसे कम्यूटेटिविटी, एसोसिएटिविटी, या एक पहचान तत्व) की आवश्यकता नहीं होती है।


निरस्त करने के अर्थ में विभाजन किसी भी मैग्मा में निरस्तीकरण संपत्ति के साथ एक तत्व द्वारा किया जा सकता है। उदाहरणों में मैट्रिक्स बीजगणित और चतुर्भुज बीजगणित शामिल हैं। अर्धसमूह एक संरचना है जिसमें एक पहचान तत्व के बिना भी विभाजन हमेशा संभव होता है और इसलिए व्युत्क्रम होता है। एक अभिन्न डोमेन में, जहां प्रत्येक तत्व की आवश्यकता नहीं होती है, निरस्त तत्व द्वारा विभाजन a को अभी भी क्रमशः ab या ca के तत्वों पर बाएं या दाएं निरस्तीकरण किया जा सकता है। यदि गोला परिमित है और प्रत्येक  गैर-शून्य तत्व  निरस्त कर दिया जाता है, तो पिजनहोल सिद्धांत के एक अनुप्रयोग द्वारा, गोले का प्रत्येक गैर-शून्य तत्व उलटा है, और किसी भी गैर-शून्य तत्व द्वारा विभाजन संभव है। यह जानने के लिए कि बीजगणित (तकनीकी अर्थ में) में विभाजन संक्रिया कब होती है, विभाजन बीजगणित पर पृष्ठ देखें। विशेष रूप से बॉट आवधिकता का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि किसी भी वास्तविक मानदंड विभाजन बीजगणित को वास्तविक संख्या 'r', जटिल संख्या 'c', चतुर्भुज 'h', या ऑक्टोनियन 'o' के लिए समरूप होना चाहिए।
=== कैलकुलस ===
=== कैलकुलस ===
दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न भागफल नियम द्वारा दिया गया है:
दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न भागफल नियम द्वारा दिया गया है:
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== शून्य द्वारा विभाजन ==
== शून्य द्वारा विभाजन ==
{{main|Division by zero}}
{{main|Division by zero}}
अधिकांश गणितीय प्रणालियों में शून्य से किसी भी संख्या का विभाजन अपरिभाषित है, क्योंकि किसी भी परिमित संख्या से गुणा किया गया शून्य हमेशा शून्य के उत्पाद में परिणाम होता है।<ref>http://mathworld.wolfram.com/DivisionbyZero.html {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181023234325/http://mathworld.wolfram.com/DivisionbyZero.html |date=2018-10-23 }} Retrieved October 23, 2018</ref> अधिकांश कैलकुलेटर में इस तरह की अभिव्यक्ति का प्रवेश एक त्रुटि संदेश पैदा करता है।हालांकि, कुछ उच्च स्तरीय गणित में शून्य द्वारा शून्य रिंग और बीजगणित जैसे पहियों द्वारा संभव है।<ref>Jesper Carlström. [https://www2.math.su.se/reports/2001/11/2001-11.pdf &