क्रम: Difference between revisions
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गणित में, अनुक्रम वस्तुओं का एक प्रगणित संग्रह होता है जिसमें दोहराव की अनुमति होती है और क्रम मायने रखता है। एक सेट की तरह, इसमें सदस्य होते हैं (जिन्हें तत्व या पद भी कहा जाता है)। तत्वों की संख्या (संभवतः अनंत) अनुक्रम की लंबाई कहलाती है। एक सेट के विपरीत, एक ही तत्व एक क्रम में विभिन्न स्थितियों में कई बार प्रकट हो सकते हैं, और एक सेट के विपरीत, | गणित में, अनुक्रम वस्तुओं का एक प्रगणित संग्रह होता है जिसमें दोहराव की अनुमति होती है और क्रम मायने रखता है। एक सेट/समूह की तरह, इसमें सदस्य होते हैं (जिन्हें तत्व या पद भी कहा जाता है)। तत्वों की संख्या (संभवतः अनंत) अनुक्रम की लंबाई कहलाती है। एक सेट/समूह के विपरीत, एक ही तत्व एक क्रम में विभिन्न स्थितियों में कई बार प्रकट हो सकते हैं, और एक सेट/समूह के विपरीत, क्रम मायने रखता है। औपचारिक रूप से, अनुक्रम को प्राकृतिक संख्याओं (अनुक्रम में तत्वों की स्थिति) से प्रत्येक स्थिति में तत्वों के लिए एक फ़ंक्शन(फलन) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अनुक्रम की धारणा को एक अनुक्रमित परिवार के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसे एक इंडेक्स(सूचकांक) सेट/समूह से एक फ़ंक्शन(फलन) के रूप में परिभाषित किया जाता है जो तत्वों के दूसरे सेट/समूह के लिए संख्या नहीं हो सकता है। | ||
उदाहरण के लिए, (M, A, R, Y) अक्षरों का एक क्रम है जिसमें पहले 'M' और आखिरी में 'Y' अक्षर होते हैं। यह क्रम (A, R, M, Y) से अलग है। साथ ही, अनुक्रम (1, 1, 2, 3, 5, 8), जिसमें दो अलग-अलग पदों पर संख्या 1 है, एक वैध अनुक्रम है। अनुक्रम परिमित हो सकते हैं, जैसे कि इन उदाहरणों में, या अनंत, जैसे कि सभी सम धनात्मक पूर्णांकों का क्रम (2, 4, 6, . . . ) | उदाहरण के लिए, (M, A, R, Y) अक्षरों का एक क्रम है जिसमें पहले 'M' और आखिरी में 'Y' अक्षर होते हैं। यह क्रम (A, R, M, Y) से अलग है। साथ ही, अनुक्रम (1, 1, 2, 3, 5, 8), जिसमें दो अलग-अलग पदों पर संख्या 1 है, एक वैध अनुक्रम है। अनुक्रम परिमित हो सकते हैं, जैसे कि इन उदाहरणों में, या अनंत, जैसे कि सभी सम धनात्मक पूर्णांकों का क्रम (2, 4, 6, . . . ) | ||
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अनुक्रम को एक विशेष क्रम वाले तत्वों की सूची के रूप में माना जा सकता है।।<ref name=":0">{{Cite web|title=Sequences|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/sequences-series.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Sequence|url=https://mathworld.wolfram.com/Sequence.html|access-date=2020-08-17|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> अनुक्रमों के अभिसरण गुणों का उपयोग करके कार्यों, रिक्त स्थान और अन्य गणितीय संरचनाओं के अध्ययन के लिए कई गणितीय विषयों में अनुक्रम उपयोगी होते हैं। विशेष रूप से, अनुक्रम श्रृंखला का आधार हैं, जो अंतर समीकरणों और विश्लेषण में महत्वपूर्ण हैं। अनुक्रम भी अपने आप में रुचि रखते हैं, और प्रतिरूप या पहेली के रूप में अध्ययन किया जा सकता है, जैसा कि अभाज्य संख्याओं के अध्ययन में होता है। | अनुक्रम को एक विशेष क्रम वाले तत्वों की सूची के रूप में माना जा सकता है।।<ref name=":0">{{Cite web|title=Sequences|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/sequences-series.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Sequence|url=https://mathworld.wolfram.com/Sequence.html|access-date=2020-08-17|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> अनुक्रमों के अभिसरण गुणों का उपयोग करके कार्यों, रिक्त स्थान और अन्य गणितीय संरचनाओं के अध्ययन के लिए कई गणितीय विषयों में अनुक्रम उपयोगी होते हैं। विशेष रूप से, अनुक्रम श्रृंखला का आधार हैं, जो अंतर समीकरणों और विश्लेषण में महत्वपूर्ण हैं। अनुक्रम भी अपने आप में रुचि रखते हैं, और प्रतिरूप या पहेली के रूप में अध्ययन किया जा सकता है, जैसा कि अभाज्य संख्याओं के अध्ययन में होता है। | ||
किसी अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करने के कई तरीके हैं, जिनमें से कुछ विशिष्ट प्रकार के अनुक्रमों के लिए अधिक उपयोगी हैं। अनुक्रम निर्दिष्ट करने का एक तरीका इसके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना है। उदाहरण के लिए, पहली चार विषम संख्याएँ अनुक्रम बनाती हैं (1, 3, 5, 7)। इस संकेतन का उपयोग अनंत अनुक्रमों के लिए भी किया जाता है। उदाहरण के लिए, धनात्मक विषम पूर्णांकों के अनंत अनुक्रम को (1, 3, 5, 7, ...) के रूप में लिखा जाता है। क्योंकि इलिप्सिस के साथ अनुक्रमों को टिप्पणी करना अस्पष्टता की ओर ले जाता है। पारंपरिक अनंत अनुक्रमों के लिए सूचीकरण सबसे उपयोगी है जिसे उनके पहले कुछ तत्वों द्वारा आसानी से पहचाना जा सकता है। अनुक्रम को निरूपित करने के अन्य तरीकों की चर्चा निम्नलिखित उदाहरणों में की गई है। | किसी अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करने के कई तरीके हैं, जिनमें से कुछ विशिष्ट प्रकार के अनुक्रमों के लिए अधिक उपयोगी हैं। अनुक्रम निर्दिष्ट करने का एक तरीका इसके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना है। उदाहरण के लिए, पहली चार विषम संख्याएँ अनुक्रम बनाती हैं (1, 3, 5, 7)। इस संकेतन का उपयोग अनंत अनुक्रमों के लिए भी किया जाता है। उदाहरण के लिए, धनात्मक विषम पूर्णांकों के अनंत अनुक्रम को (1, 3, 5, 7, ...) के रूप में लिखा जाता है। क्योंकि इलिप्सिस(शब्दलोप) के साथ अनुक्रमों को टिप्पणी करना अस्पष्टता की ओर ले जाता है। पारंपरिक अनंत अनुक्रमों के लिए सूचीकरण सबसे उपयोगी है जिसे उनके पहले कुछ तत्वों द्वारा आसानी से पहचाना जा सकता है। अनुक्रम को निरूपित करने के अन्य तरीकों की चर्चा निम्नलिखित उदाहरणों में की गई है। | ||
=== उदाहरण === | === उदाहरण === | ||
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फाइबोनैचि संख्याओं में पूर्णांक अनुक्रम होते हैं जिनके तत्व पिछले दो तत्वों का योग होते हैं। पहले दो तत्व या तो 0 और 1 या 1 और 1 हैं ताकि अनुक्रम (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...)<ref name=":0" /> | फाइबोनैचि संख्याओं में पूर्णांक अनुक्रम होते हैं जिनके तत्व पिछले दो तत्वों का योग होते हैं। पहले दो तत्व या तो 0 और 1 या 1 और 1 हैं ताकि अनुक्रम (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...)<ref name=":0" /> | ||
अनुक्रमों के अन्य उदाहरणों में परिमेय संख्याएं, वास्तविक संख्याएं और सम्मिश्र संख्याएं शामिल हैं। अनुक्रम (.9, .99, .999, .9999, ...) उदाहरण के लिए संख्या 1 तक पहुंचता है। वास्तव में, प्रत्येक वास्तविक संख्या को परिमेय संख्याओं के अनुक्रम की सीमा के रूप में लिखा जा सकता है (उदाहरण के लिए इसके दशमलव प्रसार द्वारा)। एक अन्य उदाहरण के रूप में, अनुक्रम की सीमा (3, 3.1, 3.14, {{Pi}}, 3.1415, ...) है, जो बढ़ रही है, एक संबंधित अनुक्रम π के दशमलव अंकों का क्रम है, अर्थात, (3, 1, 4, 1, 5, 9, . . . ) पिछले अनुक्रम के विपरीत, इस अनुक्रम में कोई पैटर्न नहीं है जो निरीक्षण द्वारा आसानी से देखा जा सकता है। | अनुक्रमों के अन्य उदाहरणों में परिमेय संख्याएं, वास्तविक संख्याएं और सम्मिश्र संख्याएं शामिल हैं। अनुक्रम (.9, .99, .999, .9999, ...) उदाहरण के लिए संख्या 1 तक पहुंचता है। वास्तव में, प्रत्येक वास्तविक संख्या को परिमेय संख्याओं के अनुक्रम की सीमा के रूप में लिखा जा सकता है (उदाहरण के लिए इसके दशमलव प्रसार द्वारा)। एक अन्य उदाहरण के रूप में, अनुक्रम की सीमा (3, 3.1, 3.14, {{Pi}}, 3.1415, ...) है, जो बढ़ रही है, एक संबंधित अनुक्रम π के दशमलव अंकों का क्रम है, अर्थात, (3, 1, 4, 1, 5, 9, . . . ) पिछले अनुक्रम के विपरीत, इस अनुक्रम में कोई पैटर्न(आकृति) नहीं है जो निरीक्षण द्वारा आसानी से देखा जा सकता है। | ||
पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में पूर्णांक अनुक्रमों के उदाहरणों की एक बड़ी सूची शामिल है।<ref>[https://oeis.org/wiki/Index_to_OEIS Index to OEIS], On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, 2020-12-03</ref> | पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में पूर्णांक अनुक्रमों के उदाहरणों की एक बड़ी सूची शामिल है।<ref>[https://oeis.org/wiki/Index_to_OEIS Index to OEIS], On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, 2020-12-03</ref> | ||
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=== अनुक्रमण === | === अनुक्रमण === | ||
अन्य संकेतन उन अनुक्रमों के लिए उपयोगी हो सकते हैं जिनके पैटर्न का आसानी से अनुमान नहीं लगाया जा सकता है या उन अनुक्रमों के लिए जिनका कोई पैटर्न नहीं है जैसे कि π के अंक। ऐसा ही एक संकेतन n के कार्य के रूप में nवें पद की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र लिखना है, इसे कोष्ठक में संलग्न करना, और एक सबस्क्रिप्ट भी शामिल है जो n के मानों के सेट को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस अंकन में सम संख्याओं के अनुक्रम को इस प्रकार लिखा जा सकता है <math>(2n)_{n\in\mathbb N}</math>, वर्गों का क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है <math>(n^2)_{n\in\mathbb N}</math> वेरिएबल ''n'' को एक इंडेक्स कहा जाता है और मानों का सेट जो इसे ले सकता है उसे इंडेक्स सेट कहा जाता है। | अन्य संकेतन उन अनुक्रमों के लिए उपयोगी हो सकते हैं जिनके पैटर्न(आकृति) का आसानी से अनुमान नहीं लगाया जा सकता है या उन अनुक्रमों के लिए जिनका कोई पैटर्न नहीं है जैसे कि π के अंक। ऐसा ही एक संकेतन n के कार्य के रूप में nवें पद की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र लिखना है, इसे कोष्ठक में संलग्न करना, और एक सबस्क्रिप्ट भी शामिल है जो n के मानों के सेट/समूह को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस अंकन में सम संख्याओं के अनुक्रम को इस प्रकार लिखा जा सकता है <math>(2n)_{n\in\mathbb N}</math>, वर्गों का क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है <math>(n^2)_{n\in\mathbb N}</math> वेरिएबल(परिवर्ती) ''n'' को एक इंडेक्स(सूचकांक) कहा जाता है और मानों का सेट/समूह जो इसे ले सकता है उसे इंडेक्स(सूचकांक) सेट/समूह कहा जाता है। | ||
यह | यह प्रायः इस संकेतन को व्यक्तिगत चर के रूप में एक अनुक्रम के तत्वों के इलाज की तकनीक के साथ संयोजित करना उपयोगी होता है। यह अभिव्यक्ति की तरह पैदावार करता है <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>, जो एक अनुक्रम को दर्शाता है जिसका n वां तत्व चर द्वारा दिया गया है <math>a_n</math>। उदाहरण के लिए: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
a_1 &= 1\text{st element of }(a_n)_{n\in\mathbb N} \\ | a_1 &= 1\text{st element of }(a_n)_{n\in\mathbb N} \\ | ||
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अनुक्रम के क्षेत्र को सबस्क्रिप्ट में लिखने का एक विकल्प उन मूल्यों की श्रेणी को इंगित करना है जो सूचकांक अपने उच्चतम और निम्नतम वैध मूल्यों को सूचीबद्ध करके ले सकता है। उदाहरण के लिए, संकेतन <math>(k^2)_{k = 1}^{10}</math> वर्गों के दस-अवधि अनुक्रम को दर्शाता है <math>(1, 4, 9, \ldots, 100)</math> . सीमाएं <math>\infty</math> तथा <math>-\infty</math> अनुमति है, लेकिन वे सूचकांक के लिए मान्य मूल्यों का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं, केवल ऐसे मूल्यों का सर्वोच्च या न्यूनतम। उदाहरण के लिए, अनुक्रम <math>(a_n)_{n = 1}^\infty</math> अनुक्रम के समान है <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math> और इसमें "अनंत पर" एक अतिरिक्त शब्द नहीं है। क्रम <math>(a_n)_{n = -\infty}^\infty</math> एक द्वि-अनंत अनुक्रम है, और इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है <math>(\ldots, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, \ldots)</math> . | अनुक्रम के क्षेत्र को सबस्क्रिप्ट में लिखने का एक विकल्प उन मूल्यों की श्रेणी को इंगित करना है जो सूचकांक अपने उच्चतम और निम्नतम वैध मूल्यों को सूचीबद्ध करके ले सकता है। उदाहरण के लिए, संकेतन <math>(k^2)_{k = 1}^{10}</math> वर्गों के दस-अवधि अनुक्रम को दर्शाता है <math>(1, 4, 9, \ldots, 100)</math> . सीमाएं <math>\infty</math> तथा <math>-\infty</math> अनुमति है, लेकिन वे सूचकांक के लिए मान्य मूल्यों का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं, केवल ऐसे मूल्यों का सर्वोच्च या न्यूनतम। उदाहरण के लिए, अनुक्रम <math>(a_n)_{n = 1}^\infty</math> अनुक्रम के समान है <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math> और इसमें "अनंत पर" एक अतिरिक्त शब्द नहीं है। क्रम <math>(a_n)_{n = -\infty}^\infty</math> एक द्वि-अनंत अनुक्रम है, और इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है <math>(\ldots, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, \ldots)</math> . | ||
ऐसे मामलों में जहां अनुक्रमण संख्याओं के सेट को समझा जाता है, सदस्यता और सुपरस्क्रिप्ट को अक्सर छोड़ दिया जाता है। <math>(a_k)</math> एक मनमाना अनुक्रम के लिए। अक्सर, सूचकांक k 1 से अनंत तक होता है, जिसे अंतिम माना जाता है वह भिन्न होता है। हालांकि, अनुक्रमों को अक्सर शून्य से शुरू करके अनुक्रमित किया जाता है। जैसे | ऐसे मामलों में जहां अनुक्रमण संख्याओं के सेट/समूह को समझा जाता है, सदस्यता और सुपरस्क्रिप्ट को अक्सर छोड़ दिया जाता है। <math>(a_k)</math> एक मनमाना अनुक्रम के लिए। अक्सर, सूचकांक k 1 से अनंत तक होता है, जिसे अंतिम माना जाता है वह भिन्न होता है। हालांकि, अनुक्रमों को अक्सर शून्य से शुरू करके अनुक्रमित किया जाता है। जैसे | ||
:<math>(a_k)_{k=0}^\infty = ( a_0, a_1, a_2, \ldots ).</math> | :<math>(a_k)_{k=0}^\infty = ( a_0, a_1, a_2, \ldots ).</math> | ||
कुछ मामलों में, अनुक्रम के तत्व स्वाभाविक रूप से पूर्णांकों के अनुक्रम से संबंधित होते हैं जिनके पैटर्न का आसानी से अनुमान लगाया जा सकता है। इन मामलों में, सूचकांक सेट को पहले कुछ सार तत्वों की सूची द्वारा निहित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, विषम संख्याओं के वर्गों के अनुक्रम को निम्नलिखित में से किसी भी तरीके से दर्शाया जा सकता है। | कुछ मामलों में, अनुक्रम के तत्व स्वाभाविक रूप से पूर्णांकों के अनुक्रम से संबंधित होते हैं जिनके पैटर्न का आसानी से अनुमान लगाया जा सकता है। इन मामलों में, सूचकांक सेट/समूह को पहले कुछ सार तत्वों की सूची द्वारा निहित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, विषम संख्याओं के वर्गों के अनुक्रम को निम्नलिखित में से किसी भी तरीके से दर्शाया जा सकता है। | ||
* <math>(1, 9, 25, \ldots)</math> | * <math>(1, 9, 25, \ldots)</math> | ||
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* <math>(a_{k})_{k=1}^\infty, \qquad a_k = (2k-1)^2</math> | * <math>(a_{k})_{k=1}^\infty, \qquad a_k = (2k-1)^2</math> | ||
* <math>\left((2k-1)^2\right)_{k=1}^\infty</math> | * <math>\left((2k-1)^2\right)_{k=1}^\infty</math> | ||
इसके अलावा, सबस्क्रिप्ट और सुपरस्क्रिप्ट को तीसरे, चौथे और पांचवें अंकन में छोड़ा जा सकता है, अगर | इसके अलावा, सबस्क्रिप्ट और सुपरस्क्रिप्ट को तीसरे, चौथे और पांचवें अंकन में छोड़ा जा सकता है, अगर इंडेक्स(सूचकांक) को सेट/समूह को प्राकृतिक संख्या के रूप में समझा जाता है। दूसरी और तीसरी बिंदुओं में एक सुपरिभाषित क्रम होता है <math>(a_{k})_{k=1}^\infty</math>, लेकिन यह व्यंजक द्वारा दर्शाए गए अनुक्रम के समान नहीं है। | ||
=== रिकर्सन द्वारा अनुक्रम को परिभाषित करना === | === रिकर्सन(प्रतिवर्तन) द्वारा अनुक्रम को परिभाषित करना === | ||
अनुक्रम जिनके तत्व पिछले तत्वों से सीधे तरीके से संबंधित हैं, उन्हें अक्सर रिकर्सन का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है। यह तत्वों के अनुक्रमों को उनकी स्थिति के कार्यों के रूप में परिभाषित करने के विपरीत है। | अनुक्रम जिनके तत्व पिछले तत्वों से सीधे तरीके से संबंधित हैं, उन्हें अक्सर रिकर्सन का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है। यह तत्वों के अनुक्रमों को उनकी स्थिति के कार्यों के रूप में परिभाषित करने के विपरीत है। | ||
रिकर्सन द्वारा अनुक्रम को परिभाषित करने के लिए, प्रत्येक तत्व को उसके पहले के संदर्भ के साथ बनाने के लिए एक नियम की आवश्यकता होती है, जिसे पुनरावृत्ति संबंध कहा जाता है। इसके अलावा, पर्याप्त प्रारंभिक तत्व प्रदान किए जाने चाहिए ताकि अनुक्रम के सभी बाद के तत्वों की गणना पुनरावृत्ति संबंध के क्रमिक अनुप्रयोगों द्वारा की जा सके। | रिकर्सन(प्रतिवर्तन) द्वारा अनुक्रम को परिभाषित करने के लिए, प्रत्येक तत्व को उसके पहले के संदर्भ के साथ बनाने के लिए एक नियम की आवश्यकता होती है, जिसे पुनरावृत्ति संबंध कहा जाता है। इसके अलावा, पर्याप्त प्रारंभिक तत्व प्रदान किए जाने चाहिए ताकि अनुक्रम के सभी बाद के तत्वों की गणना पुनरावृत्ति संबंध के क्रमिक अनुप्रयोगों द्वारा की जा सके। | ||
फाइबोनैचि अनुक्रम एक साधारण उत्कृष्ट उदाहरण है, जिसे पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है। | फाइबोनैचि अनुक्रम एक साधारण उत्कृष्ट उदाहरण है, जिसे पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है। | ||
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प्रारंभिक अवधि के साथ <math>a_0 = 0.</math> निरंतर गुणांक के साथ एक रैखिक पुनरावृत्ति फॉर्म का पुनरावृत्ति संबंध है। | प्रारंभिक अवधि के साथ <math>a_0 = 0.</math> निरंतर गुणांक के साथ एक रैखिक पुनरावृत्ति फॉर्म का पुनरावृत्ति संबंध है। | ||
:<math>a_n=c_0 +c_1a_{n-1}+\dots+c_k a_{n-k},</math> | :<math>a_n=c_0 +c_1a_{n-1}+\dots+c_k a_{n-k},</math> | ||
जहाँ पे <math>c_0,\dots, c_k</math> स्थिरांक हैं। इस तरह के अनुक्रम के सामान्य शब्द को n के एक फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त करने का एक सामान्य तरीका है। फाइबोनैचि अनुक्रम के मामले में, एक है <math>c_0=0, c_1=c_2=1,</math> और परिणामी कार्य {{mvar|n}} बिनेट के सूत्र द्वारा दिया गया है। | जहाँ पे <math>c_0,\dots, c_k</math> स्थिरांक हैं। इस तरह के अनुक्रम के सामान्य शब्द को n के एक फ़ंक्शन(फलन) के रूप में व्यक्त करने का एक सामान्य तरीका है। फाइबोनैचि अनुक्रम के मामले में, एक है <math>c_0=0, c_1=c_2=1,</math> और परिणामी कार्य {{mvar|n}} बिनेट के सूत्र द्वारा दिया गया है। | ||
एक होलोनोमिक अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसे फॉर्म के पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है। | एक होलोनोमिक अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसे फॉर्म के पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है। | ||
:<math>a_n=c_1a_{n-1}+\dots+c_k a_{n-k},</math> | :<math>a_n=c_1a_{n-1}+\dots+c_k a_{n-k},</math> | ||
जहाँ पे <math>c_1,\dots, c_k</math> में बहुपद हैं {{mvar|n}}।अधिकांश होलोनोमिक अनुक्रमों के लिए, व्यक्त करने के लिए कोई स्पष्ट सूत्र नहीं है <math>a_n</math> के एक फ़ंक्शन(फलन) के रूप में {{mvar|n}}। फिर भी, गणित के विभिन्न क्षेत्रों में होलोनोमिक अनुक्रम महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। उदाहरण के लिए, कई विशेष कार्यों में एक टेलर श्रृंखला होती है जिसका गुणांक का अनुक्रम होलोनोमिक होता है। पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग ऐसे विशेष कार्यों के मूल्यों की तेजी से गणना की अनुमति देता है। | |||
सभी अनुक्रम पुनरावर्तन संबंध द्वारा निर्दिष्ट नहीं किए जा सकते हैं। एक उदाहरण उनके प्राकृतिक क्रम में अभाज्य संख्याओं का क्रम है (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . ) | सभी अनुक्रम पुनरावर्तन संबंध द्वारा निर्दिष्ट नहीं किए जा सकते हैं। एक उदाहरण उनके प्राकृतिक क्रम में अभाज्य संख्याओं का क्रम है (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . ) | ||
== औपचारिक परिभाषा और | == औपचारिक परिभाषा और आधारिक गुण == | ||
गणित में अनुक्रमों की कई अलग-अलग धारणाएं हैं, जिनमें से कुछ ( उदाहरण के लिए, सटीक अनुक्रम ) नीचे दी गई परिभाषाओं और नोटेशन में शामिल नहीं हैं। | गणित में अनुक्रमों की कई अलग-अलग धारणाएं हैं, जिनमें से कुछ ( उदाहरण के लिए, सटीक अनुक्रम ) नीचे दी गई परिभाषाओं और नोटेशन(अंकन पद्धति) में शामिल नहीं हैं। | ||
=== परिभाषा === | === परिभाषा === | ||
इस लेख में, अनुक्रम को औपचारिक रूप से एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डोमेन पूर्णांकों का अंतराल है। इस परिभाषा में "अनुक्रम" शब्द के कई अलग-अलग उपयोग शामिल हैं, जिसमें एकतरफा अनंत अनुक्रम, द्वि-अनंत अनुक्रम और परिमित अनुक्रम शामिल हैं (ऐसे अनुक्रमों की परिभाषा के लिए नीचे देखें)। हालांकि, कई लेखक अनुक्रम के डोमेन को प्राकृतिक संख्याओं का सेट होने की आवश्यकता के द्वारा एक संकुचित परिभाषा का उपयोग करते हैं। इस संकुचित परिभाषा की क्षति यह है कि यह परिमित अनुक्रमों और द्वि-अनंत अनुक्रमों को नियंत्रित करता है, दोनों को आमतौर पर मानक गणितीय अभ्यास में अनुक्रम कहा जाता है। एक और क्षति यह है कि, यदि कोई अनुक्रम की पहली शर्तों को हटा देता है, तो इस परिभाषा को उपयुक्त करने के लिए शेष शर्तों को फिर से अनुक्रमित करने की आवश्यकता होती है। कुछ संदर्भों में, प्रतिपादन को छोटा करने के लिए, अनुक्रम का कोडोमैन संदर्भ द्वारा तय किया जाता है, उदाहरण के लिए इसे वास्तविक संख्याओं के सेट आर (R), <ref name="Gaughan" /> जटिल संख्याओं के सेट सी (C) या एक टोपोलॉजिकल स्पेस की आवश्यकता होती है<ref name=Saff>{{Cite book |title=Fundamentals of Complex Analysis|chapter=Chapter 2.1 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=fVsZAQAAIAAJ&q=saff+%26+Snider | इस लेख में, अनुक्रम को औपचारिक रूप से एक फ़ंक्शन(फलन) के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डोमेन(प्रक्षेत्र) पूर्णांकों का अंतराल है। इस परिभाषा में "अनुक्रम" शब्द के कई अलग-अलग उपयोग शामिल हैं, जिसमें एकतरफा अनंत अनुक्रम, द्वि-अनंत अनुक्रम और परिमित अनुक्रम शामिल हैं (ऐसे अनुक्रमों की परिभाषा के लिए नीचे देखें)। हालांकि, कई लेखक अनुक्रम के डोमेन(प्रक्षेत्र) को प्राकृतिक संख्याओं का सेट/समूह होने की आवश्यकता के द्वारा एक संकुचित परिभाषा का उपयोग करते हैं। इस संकुचित परिभाषा की क्षति यह है कि यह परिमित अनुक्रमों और द्वि-अनंत अनुक्रमों को नियंत्रित करता है, दोनों को आमतौर पर मानक गणितीय अभ्यास में अनुक्रम कहा जाता है। एक और क्षति यह है कि, यदि कोई अनुक्रम की पहली शर्तों को हटा देता है, तो इस परिभाषा को उपयुक्त करने के लिए शेष शर्तों को फिर से अनुक्रमित करने की आवश्यकता होती है। कुछ संदर्भों में, प्रतिपादन को छोटा करने के लिए, अनुक्रम का कोडोमैन संदर्भ द्वारा तय किया जाता है, उदाहरण के लिए इसे वास्तविक संख्याओं के सेट/समूह आर (R), <ref name="Gaughan" /> जटिल संख्याओं के सेट/समूह सी (C) या एक टोपोलॉजिकल स्पेस की आवश्यकता होती है<ref name=Saff>{{Cite book |title=Fundamentals of Complex Analysis|chapter=Chapter 2.1 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=fVsZAQAAIAAJ&q=saff+%26+Snider | ||
|author=Edward B. Saff & Arthur David Snider |year=2003 |isbn=978-01-390-7874-3}}</ref>। <ref name=Munkres>{{Cite book|title=Topology| chapter=Chapters 1&2 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=XjoZAQAAIAAJ |author=James R. Munkres |isbn=978-01-318-1629-9| year=2000 }}</ref>हालांकि अनुक्रम एक प्रकार का कार्य है, वे आम तौर पर कार्यों से विशेष रूप से भिन्न होते हैं जिसमें इनपुट को कोष्ठक के बजाय सबस्क्रिप्ट के रूप में लिखा जाता है, अर्थात {{math|''a<sub>n</sub>''}} के बजाय {{math|''a''(''n'')}}। सबसे कम इनपुट (अक्सर 1) पर एक अनुक्रम के मूल्य को अनुक्रम का "पहला तत्व" कहा जाता है, दूसरे सबसे छोटे इनपुट (अक्सर 2) के मूल्य को "दूसरा तत्व" कहा जाता है। जबकि इसके निविष्ट से संक्षेप एक फ़ंक्शन को आमतौर पर एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, जैसे ''f'', इसके इनपुट से सारगर्भित अनुक्रम आमतौर पर एक संकेतन द्वारा लिखा जाता है जैसे कि <math>(a_n)_{n\in A}</math>, या बस के रूप में <math>(a_n).</math> यहाँ {{Math|''A''}} अनुक्रम का डोमेन, या अनुक्रमणिका समूह है। | |author=Edward B. Saff & Arthur David Snider |year=2003 |isbn=978-01-390-7874-3}}</ref>। <ref name=Munkres>{{Cite book|title=Topology| chapter=Chapters 1&2 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=XjoZAQAAIAAJ |author=James R. Munkres |isbn=978-01-318-1629-9| year=2000 }}</ref>हालांकि अनुक्रम एक प्रकार का कार्य है, वे आम तौर पर कार्यों से विशेष रूप से भिन्न होते हैं जिसमें इनपुट को कोष्ठक के बजाय सबस्क्रिप्ट के रूप में लिखा जाता है, अर्थात {{math|''a<sub>n</sub>''}} के बजाय {{math|''a''(''n'')}}। सबसे कम इनपुट (अक्सर 1) पर एक अनुक्रम के मूल्य को अनुक्रम का "पहला तत्व" कहा जाता है, दूसरे सबसे छोटे इनपुट (अक्सर 2) के मूल्य को "दूसरा तत्व" कहा जाता है। जबकि इसके निविष्ट से संक्षेप एक फ़ंक्शन(फलन) को आमतौर पर एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, जैसे ''f'', इसके इनपुट से सारगर्भित अनुक्रम आमतौर पर एक संकेतन द्वारा लिखा जाता है जैसे कि <math>(a_n)_{n\in A}</math>, या बस के रूप में <math>(a_n).</math> यहाँ {{Math|''A''}} अनुक्रम का डोमेन(प्रक्षेत्र), या अनुक्रमणिका समूह है। | ||
टोपोलॉजिकल स्पेस के अध्ययन के लिए अनुक्रम और उनकी सीमाएँ (नीचे देखें) महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं। अनुक्रमों का एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण जाल की अवधारणा है। एक नेट एक (संभवतः असंख्य) से एक कार्य है जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए निर्देशित सेट है। अनुक्रमों के लिए सांकेतिक परंपराएं आम तौर पर नेट पर भी लागू होती हैं। | टोपोलॉजिकल स्पेस के अध्ययन के लिए अनुक्रम और उनकी सीमाएँ (नीचे देखें) महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं। अनुक्रमों का एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण जाल की अवधारणा है। एक नेट एक (संभवतः असंख्य) से एक कार्य है जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए निर्देशित सेट/समूह है। अनुक्रमों के लिए सांकेतिक परंपराएं आम तौर पर नेट पर भी लागू होती हैं। | ||
=== परिमित और | === परिमित और अपरिमित === | ||
अनुक्रम की लंबाई को अनुक्रम में शर्तों की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है। | अनुक्रम की लंबाई को अनुक्रम में शर्तों की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है। | ||
एक परिमित लंबाई ''n'' के अनुक्रम को ''n'' -tuple भी कहा जाता है। परिमित अनुक्रमों में रिक्त अनुक्रम ( ) शामिल होता है जिसमें कोई अवयव नहीं होता है। | एक परिमित लंबाई ''n'' के अनुक्रम को ''n'' -tuple(''n'' -टपल) भी कहा जाता है। परिमित अनुक्रमों में रिक्त अनुक्रम ( ) शामिल होता है जिसमें कोई अवयव नहीं होता है। | ||
आम तौर पर, शब्द अनंत अनुक्रम एक अनुक्रम को संदर्भित करता है जो एक दिशा में अनंत है, और दूसरे में सीमित है- अनुक्रम में पहला तत्व है, लेकिन कोई अंतिम तत्व नहीं है। इस तरह के अनुक्रम को एकल अनंत अनुक्रम या एकतरफा अनंत अनुक्रम कहा जाता है, जब विघटन आवश्यक होता है।इसके विपरीत, एक अनुक्रम जो दोनों दिशाओं में अनंत है—अर्थात जिसमें न तो पहला और न ही कोई अंतिम तत्व है—एक द्वि-अनंत अनुक्रम, दुहरा अनंत अनुक्रम, या दोगुना अनंत अनुक्रम कहलाता है। एक सेट में सभी पूर्णांकों के सेट '''Z''' से एक फ़ंक्शन, उदाहरण के लिए, सभी सम पूर्णांकों का अनुक्रम (..., −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, ...), है द्वि-अनंत। इस क्रम को निरूपित किया जा सकता है <math>(2n)_{n=-\infty}^{\infty}</math> | आम तौर पर, शब्द अनंत अनुक्रम एक अनुक्रम को संदर्भित करता है जो एक दिशा में अनंत है, और दूसरे में सीमित है- अनुक्रम में पहला तत्व है, लेकिन कोई अंतिम तत्व नहीं है। इस तरह के अनुक्रम को एकल अनंत अनुक्रम या एकतरफा अनंत अनुक्रम कहा जाता है, जब विघटन आवश्यक होता है।इसके विपरीत, एक अनुक्रम जो दोनों दिशाओं में अनंत है—अर्थात जिसमें न तो पहला और न ही कोई अंतिम तत्व है—एक द्वि-अनंत अनुक्रम, दुहरा अनंत अनुक्रम, या दोगुना अनंत अनुक्रम कहलाता है। एक सेट/समूह में सभी पूर्णांकों के सेट/समूह '''Z''' से एक फ़ंक्शन(फलन), उदाहरण के लिए, सभी सम पूर्णांकों का अनुक्रम (..., −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, ...), है द्वि-अनंत। इस क्रम को निरूपित किया जा सकता है <math>(2n)_{n=-\infty}^{\infty}</math> | ||
=== बढ़ना और घटना === | === बढ़ना और घटना === | ||
| Line 97: | Line 97: | ||
=== परिबद्ध === | === परिबद्ध === | ||
यदि वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम ( ''a <sub>n</sub>'' ) ऐसा है कि सभी पद किसी वास्तविक संख्या ''M'' से कम हैं, तो अनुक्रम को ऊपर से परिबद्ध कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, इसका मतलब है कि | यदि वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम ( ''a <sub>n</sub>'' ) ऐसा है कि सभी पद किसी वास्तविक संख्या ''M'' से कम हैं, तो अनुक्रम को ऊपर से परिबद्ध कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, इसका मतलब है कि जैसे कि सभी ''n'', ''a <sub>n</sub>'' ≤ ''M'' के लिए ''M'' मौजूद है। ऐसे किसी भी ''M'' को ''अतिरिक्त परिबद्ध'' कहा जाता है। इसी तरह, यदि, कुछ वास्तविक ''m'' के लिए, ''a <sub>n</sub>'' ''m'' सभी ''n'' के लिए कुछ ''N'' से बड़ा है, तो अनुक्रम नीचे से घिरा हुआ है और ऐसे किसी भी ''m'' को ''निचला परिबद्ध'' कहा जाता है। यदि कोई क्रम ऊपर से आबद्ध और नीचे से आबद्ध हो, तो उस क्रम को आबद्ध कहा जाता है। | ||
=== परवर्ती === | === परवर्ती === | ||
| Line 105: | Line 105: | ||
=== अन्य प्रकार के अनुक्रम === | === अन्य प्रकार के अनुक्रम === | ||
कुछ अन्य प्रकार के अनुक्रम जिन्हें परिभाषित करना आसान है, उनमें शामिल हैं: | कुछ अन्य प्रकार के अनुक्रम जिन्हें परिभाषित करना आसान है, उनमें शामिल इस प्रकार हैं: | ||
* एक पूर्णांक अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसके पद पूर्णांक होते हैं। | * एक पूर्णांक अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसके पद पूर्णांक होते हैं। | ||
* एक बहुपद अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसके पद बहुपद हैं। | * एक बहुपद अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसके पद बहुपद हैं। | ||
* एक धनात्मक पूर्णांक अनुक्रम को कभी-कभी गुणक कहा जाता है, यदि सभी जोड़े n''<sub>'', ''</sub>''m के''<sub>'' ''</sub>''लि''<sub>''ए''</sub>'' | * एक धनात्मक पूर्णांक अनुक्रम को कभी-कभी गुणक कहा जाता है, यदि सभी जोड़े n''<sub>'', ''</sub>''m के''<sub>'' ''</sub>''लि''<sub>''ए''</sub>'' a<sub>nm</sub> = a<sub>n</sub> a<sub>m</sub> जैसे कि n और m सहअभाज्य हों ''<ref>{{cite book|title=Lectures on generating functions|last=Lando|first=Sergei K.|publisher=AMS|isbn=978-0-8218-3481-7|chapter=7.4 Multiplicative sequences|date=2003-10-21}}</ref>'' अन्य उदाहरणों में, अनुक्रमों को अक्सर ''गुणक'' कहा जाता है, यदि सभी ''n'' के लिए''<sub>'' ''</sub>a''<sub>''n''</sub> = ''na'' <sub>1</sub> है। इसके अलावा, एक ''गुणक'' फाइबोनैचि अनुक्रम ''<ref>{{cite journal|title=Fibonacci's multiplicative sequence|first=Sergio|last=Falcon|journal=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology|volume=34|issue=2|pages=310–315|doi=10.1080/0020739031000158362|year = 2003|s2cid=121280842}}</ref>''पुनरावर्तन संबंध ''a''<sub>''n''</sub> = ''a''<sub>''n'' −1</sub> ''a''<sub>''n'' −2</sub> को संतु''<sub>''ष''</sub>''्ट क''<sub>''रता''</sub>'' ह''<sub>''ै।''</sub>'' | ||
* एक दोहरा अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसके पदों में दो असतत मानों में से एक है, उदाहरण के लिए आधार 2 मान (0,1,1,0, ...), सिक्के की एक श्रृंखला विक्षेप (Heads/Tails) H,T,H,H,T, ..., सही या गलत प्रश्नों के एक सेट के उत्तर (T, F, T, T, ...), और इसी तरह। | * एक दोहरा अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसके पदों में दो असतत मानों में से एक है, उदाहरण के लिए आधार 2 मान (0,1,1,0, ...), सिक्के की एक श्रृंखला विक्षेप (Heads/Tails) H,T,H,H,T, ..., सही या गलत प्रश्नों के एक सेट/समूह के उत्तर (T, F, T, T, ...), और इसी तरह। | ||
== सीमाएं और अभिसरण == | == सीमाएं और अभिसरण == | ||
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यदि <math>(a_n)</math> वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम के बजाय जटिल संख्याओं का एक अनुक्रम है, इस अंतिम सूत्र का उपयोग अभी भी अभिसरण को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, प्रावधान के साथ <math>|\cdot|</math> जटिल मापांक को दर्शाता है, अर्थात् <math>|z| = \sqrt{z^*z}</math>।यदि <math>(a_n)</math> एक मीट्रिक स्थान में बिंदुओं का एक अनुक्रम है, तो सूत्र का उपयोग अभिसरण को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, यदि अभिव्यक्ति <math>|a_n-L|</math> अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है <math>\operatorname{dist}(a_n, L)</math>, जो बीच की दूरी को दर्शाता है <math>a_n</math> तथा <math>L</math>। | यदि <math>(a_n)</math> वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम के बजाय जटिल संख्याओं का एक अनुक्रम है, इस अंतिम सूत्र का उपयोग अभी भी अभिसरण को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, प्रावधान के साथ <math>|\cdot|</math> जटिल मापांक को दर्शाता है, अर्थात् <math>|z| = \sqrt{z^*z}</math>।यदि <math>(a_n)</math> एक मीट्रिक स्थान में बिंदुओं का एक अनुक्रम है, तो सूत्र का उपयोग अभिसरण को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, यदि अभिव्यक्ति <math>|a_n-L|</math> अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है <math>\operatorname{dist}(a_n, L)</math>, जो बीच की दूरी को दर्शाता है <math>a_n</math> तथा <math>L</math>। | ||
=== | === समुपयोग और महत्वपूर्ण परिणाम === | ||
यदि <math>(a_n)</math> तथा <math>(b_n)</math> अभिसरण अनुक्रम हैं, फिर निम्नलिखित सीमाएं मौजूद हैं, और निम्नानुसार गणना की जा सकती है:<ref name="Gaughan" /><ref name="Dawkins">{{cite web |url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/Sequences.aspx |title=Series and Sequences |last1=Dawikins |first1=Paul |work=Paul's Online Math Notes/Calc II (notes) |access-date=18 December 2012}}</ref> | यदि <math>(a_n)</math> तथा <math>(b_n)</math> अभिसरण अनुक्रम हैं, फिर निम्नलिखित सीमाएं मौजूद हैं, और निम्नानुसार गणना की जा सकती है:<ref name="Gaughan" /><ref name="Dawkins">{{cite web |url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/Sequences.aspx |title=Series and Sequences |last1=Dawikins |first1=Paul |work=Paul's Online Math Notes/Calc II (notes) |access-date=18 December 2012}}</ref> | ||
* <math>\lim_{n\to\infty} (a_n \pm b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n \pm \lim_{n\to\infty} b_n</math> | * <math>\lim_{n\to\infty} (a_n \pm b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n \pm \lim_{n\to\infty} b_n</math> | ||
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इसके अतिरिक्त: | इसके अतिरिक्त: | ||
* यदि <math>a_n \leq b_n</math> सभी के लिए <math>n</math> कुछ से अधिक <math>N</math>, फिर <math>\lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n </math>.{{efn|If the inequalities are replaced by strict inequalities then this is false: There are sequences such that <math>a_n < b_n</math> for all <math>n</math>, but <math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n </math>.}} | * यदि <math>a_n \leq b_n</math> सभी के लिए <math>n</math> कुछ से अधिक <math>N</math>, फिर <math>\lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n </math>.{{efn|If the inequalities are replaced by strict inequalities then this is false: There are sequences such that <math>a_n < b_n</math> for all <math>n</math>, but <math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n </math>.}} | ||
* ( | * [ अल्प मात्रा प्रमेय(स्क्वीज़ थीरम) ] <br> अगर <math>(c_n)</math> ऐसा अनुक्रम है कि <math>a_n \leq c_n \leq b_n</math> सभी के लिए <math>n > N</math> {{nowrap|and <math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = L</math>,}}<br> फिर <math>(c_n)</math> अभिसरण है, और <math>\lim_{n\to\infty} c_n = L</math>। | ||
* यदि एक अनुक्रम बंधे हुए हैं और एकरसता है तो यह अभिसरण है। | * यदि एक अनुक्रम बंधे हुए हैं और एकरसता है तो यह अभिसरण है। | ||
* एक अनुक्रम अभिसरण है यदि और केवल अगर इसके सभी बाद के सभी अभिसरण हैं। | * एक अनुक्रम अभिसरण है यदि और केवल अगर इसके सभी बाद के सभी अभिसरण हैं। | ||
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वास्तविक संख्याओं का एक क्रम अभिसरण (वास्तविक में) होता है यदि और केवल यदि यह कॉची (Cauchy) है। | वास्तविक संख्याओं का एक क्रम अभिसरण (वास्तविक में) होता है यदि और केवल यदि यह कॉची (Cauchy) है। | ||
इसके विपरीत, तर्कसंगत संख्याओं के कॉची (Cauchy) अनुक्रम हैं जो तर्कसंगतों में अभिसरण नहीं हैं। उदाहरण द्वारा परिभाषित अनुक्रम ''x''<sub>1</sub> = 1 and ''x<sub>n</sub>''<sub>+1</sub> = {{sfrac|''x''<sub>''n''</sub> + {{sfrac|1=2|2=''x''<sub>''n''</sub>}}|2}} कॉची (Cauchy) है, लेकिन इसकी कोई तर्कसंगत सीमा नहीं है अधिक सामान्यतः, परिमेय संख्याओं का कोई भी क्रम जो एक अपरिमेय संख्या में परिवर्तित होता है, कॉची (Cauchy) है, लेकिन परिमेय संख्याओं के सेट में अनुक्रम के रूप में व्याख्या किए जाने पर अभिसरण नहीं होता है। | इसके | ||