गणित: Difference between revisions

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[[File:Euclid.jpg|thumb|350px|द स्कूल ऑफ एथेंस (1509-1511){{efn|No likeness or description of Euclid's physical appearance made during his lifetime survived antiquity. Therefore, Euclid's depiction in works of art depends on the artist's imagination (see Euclid).}} से इस विवरण में राफेल द्वारा कल्पना की गई यूक्लिड एक परकार पकड़े हुए है।]]

'''''गणित''''' ({{etymology|grc|''{{wikt-lang|grc|μάθημα}}''; {{grc-transl|μάθημα}}:|knowledge, study, learning}}) ज्ञान का एक क्षेत्र है जिसमें संख्याएं (अंकगणित और संख्या सिद्धांत),<ref name="OED">{{cite web |url=http://oed.com/view/Entry/114974 |title=mathematics, ''n.'' |publisher=Oxford University Press |website=Oxford English Dictionary |year=2012 |access-date=June 16, 2012 |quote=The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis. |archive-url=https://web.archive.org/web/20191116075558/https://www.oed.com/view/Entry/114974 |archive-date=November 16, 2019 |url-status=live }}</ref> सूत्र और संबंधित संरचनाएं (बीजगणित),<ref name="Kneebone">{{cite book |title=Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey |publisher=Dover |author=Kneebone, G.T. |year=1963 |page=4 |url=https://books.google.com/books?id=tCXxf4vbXCcC&pg=PA4 |isbn=978-0-486-41712-7 |quote=Mathematics&nbsp;... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness.}}</ref> आकार जैसे विषय शामिल हैं। और वे स्थान जिनमें वे निहित हैं (ज्यामिति),<ref name=OED/> और राशियाँ और उनके परिवर्तन (कलन और विश्लेषण)।<ref name="LaTorre">{{cite book |title=Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change |publisher=Cengage Learning |first1=Donald R. |last1=LaTorre |first2=John W. |last2=Kenelly |first3=Sherry S. |last3=Biggers |first4=Laurel R. |last4=Carpenter |first5=Iris B. |last5=Reed |first6=Cynthia R. |last6=Harris |year=2011 |page=2 |url=https://books.google.com/books?id=1Ebu2Tij4QsC&pg=PA2 |isbn=978-1-4390-4957-0 |quote=Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change.}}</ref><ref name="Ramana">{{cite book |title=Applied Mathematics |publisher=Tata McGraw–Hill Education |author=Ramana |year=2007 |page=2.10 |url=https://books.google.com/books?id=XCRC6BeKhIIC&pg=SA2–PA10 |isbn=978-0-07-066753-2 |quote=The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus.}}</ref><ref name="Ziegler">{{cite book |title=An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research |publisher=Springer |author=Ziegler, Günter M. |author-link=Günter M. Ziegler |year=2011 |page=vii |chapter-url=https://books.google.com/books?id=9TATfteVeVYC&pg=PR7 |isbn=978-3-642-19532-7 |chapter=What Is Mathematics?}}</ref> अधिकांश गणितीय गतिविधि में अमूर्त वस्तुओं के गुणों को खोजने या सिद्ध करने के लिए शुद्ध कारण का उपयोग शामिल होता है, जिसमें या तो प्रकृति से अमूर्तताएं होती हैं या{{emdash}}आधुनिक गणित में{{emdash}}ऐसी वास्तविकताएं होती हैं जो कुछ गुणों के साथ निर्धारित होती हैं, जिन्हें स्वयम् सिद्ध वक्तव्य कहा जाता है। एक गणितीय प्रमाण में पहले से सिद्ध किए गए प्रमेयों, स्वयंसिद्धों और (प्रकृति से अमूर्तता की स्थति में) कुछ मूल गुणों सहित पहले से ज्ञात परिणामों के लिए कुछ निगमन नियमों के अनुप्रयोगों का उत्तराधिकार होता है, जिन्हें विचाराधीन सिद्धांत के सही प्रारंभिक बिंदु माना जाता है।  

विज्ञान में गणित का उपयोग मॉडलिंग परिघटनाओं के लिए किया जाता है, जो तब प्रायोगिक नियमों से पूर्वानुमान लगाने की अनुमति देता है। किसी भी प्रयोग से गणितीय सत्य की स्वतंत्रता का तात्पर्य है कि ऐसी भविष्यवाणियों की सटीकता केवल मॉडल की उपयुक्तता पर निर्भर करती है। अयथार्थ भविष्यवाणियां, अनुचित गणित के कारण होने के बजाय, उपयोग किए गए गणितीय मॉडल को बदलने की आवश्यकता को दर्शाती हैं। उदाहरण के लिए, बुध के पेरिहेलियन पूर्वसर्ग को आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के उद्भव के बाद ही समझाया जा सकता है, जिसने न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को बेहतर गणितीय मॉडल के रूप में बदल दिया।

गणित विज्ञान, अभियांत्रिकी, चिकित्सा, वित्त, कंप्यूटर विज्ञान और सामाजिक विज्ञान में आवश्यक है। गणित के कुछ क्षेत्रों, जैसे कि सांख्यिकी और खेल सिद्धांत, को उनके अनुप्रयोगों के साथ घनिष्ठ पारस्परिक सम्बन्ध में विकसित किया गया है और अक्सर उन्हें अनुप्रयुक्त गणित के अंतर्गत समूहीकृत किया जाता है। अन्य गणितीय क्षेत्रों को किसी भी अनुप्रयोग से स्वतंत्र रूप से विकसित किया जाता है (और इसलिए उन्हें शुद्ध गणित कहा जाता है), लेकिन प्रायोगिक अनुप्रयोगों को अक्सर बाद में खोजा जाता है।{{sfn|Peterson|2001|p=12}}<ref name="wigner1960">{{cite journal |last=Wigner |first=Eugene |year=1960 |title=The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences |url=https://math.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]] |volume=13 |issue=1 |pages=1–14 |doi=10.1002/cpa.3160130102 |bibcode=1960CPAM...13....1W |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20110228152633/http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |archive-date=February 28, 2011 |df=mdy-all }}</ref> एक उपयुक्त उदाहरण पूर्णांक गुणनखंडन की समस्या है, जो यूक्लिड में वापस जाता है, लेकिन जिसका RSA क्रिप्टोसिस्टम (कंप्यूटर नेटवर्क की सुरक्षा के लिए) में उपयोग करने से पहले कोई प्रायोगिक अनुप्रयोग नहीं था।

ऐतिहासिक रूप से, एक प्रमाण की अवधारणा और इससे जुड़ी गणितीय कठोरता पहली बार ग्रीक गणित में, विशेष रूप से यूक्लिड के तत्वों में दिखाई दी।<ref>{{Cite web|url=http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Wise/essay7/essay7.htm|title=Eudoxus' Influence on Euclid's Elements with a close look at The Method of Exhaustion|last=Wise|first=David|website=jwilson.coe.uga.edu|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20190601004355/http://jwilson.coe.uga.edu/emt668/EMAT6680.F99/Wise/essay7/essay7.htm|archive-date=June 1, 2019|access-date=2019-10-26}}</ref> इसकी शुरुआत के बाद से, गणित को अनिवार्य रूप से ज्यामिति, और अंकगणित (प्राकृतिक संख्याओं और अंशों का प्रकलन) में विभाजित किया गया, जब तक कि '''16वीं''' और '''17वीं''' शताब्दी तक, जब बीजगणित और अतिसूक्ष्म कलन को विषय के नए क्षेत्रों के रूप में प्रस्तावित किया गया। तब से, गणितीय नवाचारों और वैज्ञानिक खोजों के बीच पारस्परिक क्रिया ने गणित के विकास में तेजी से वृद्धि की है। उन्नीसवीं सदी के अंत में, गणित के मूलभूत संकट ने स्वयंसिद्ध पद्धति के व्यवस्थितकरण को जन्म दिया। इससे गणित के क्षेत्रों की संख्या और उनके अनुप्रयोगों के क्षेत्रों में नाटकीय वृद्धि हुई। इसका एक उदाहरण गणित विषय वर्गीकरण है, जिसमें गणित के 60 से अधिक प्रथम-स्तर के क्षेत्रों की सूची है।

गणित शब्द की उत्पत्ति [[:hi:प्राचीन यूनानी भाषा|प्राचीन यूनानी]] गणित (μάθημα) से हुई है, जिसका अर्थ "जो सीखा जाता है,"<ref>{{Cite encyclopedia}}</ref> "जो कुछ भी पता चलता है," इसलिए "अध्ययन" और "विज्ञान" भी है। शास्त्रीय काल में भी "गणित" शब्द का संक्षिप्त और अधिक तकनीकी अर्थ "गणितीय अध्ययन" आया।<ref>Both meanings can be found in Plato, the narrower in [[रिपब्लिक (प्लेटो)|''Republic'']] [https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Plat.+Rep.+6.510c&fromdoc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0168 510c] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210224152747/http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Plat.+Rep.+6.510c&fromdoc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0168|date=February 24, 2021}}, but Plato did not use a ''math-'' word; Aristotle did, commenting on it. {{LSJ|maqhmatiko/s|μαθηματική|ref}}. ''OED Online'', "Mathematics".</ref> इसका [[:hi:विशेषण|विशेषण]] ''Mathēmatikós'' (μαθηματικός) है, जिसका अर्थ है "सीखने से संबंधित" या "अध्ययनशील", जिसका अर्थ "गणितीय" भी है। विशेष रूप से, mathēmatikḗ tékhnē (μαθηματικὴ ; लैटिन: ars ''mathematica'') का अर्थ "गणितीय कला" है।

 

पुनर्जागरण से पहले, गणित को दो मुख्य क्षेत्रों में विभाजित किया गया था: अंकगणित {{emdash}} संख्याओं के प्रकलन के बारे में, और ज्यामिति {{emdash}} आकृतियों के अध्ययन के बारे में। कुछ प्रकार के छद्म विज्ञान, जैसे अंकशास्त्र और ज्योतिष, तब स्पष्ट रूप से गणित से अलग नहीं थे।

पुनर्जागरण के दौरान दो और क्षेत्र सामने आए। गणितीय संकेतन ने बीजगणित की ओर अग्रसर किया, जो मोटे तौर पर, अध्ययन और सूत्रों के प्रकलन से बना है। कलन, दो उपक्षेत्रों अत्यल्प कलन और समाकलन गणित से मिलकर बना है, निरंतर कार्यों का अध्ययन है, जो अलग-अलग मात्राओं (चर) के बीच आम तौर पर अरेखीय संबंधों को मॉडल करता है। चार मुख्य क्षेत्रों में यह विभाजन {{emdash}} अंकगणित, ज्यामिति, बीजगणित, कलन{{Verification needed|date=April 2022|reason=is this the right set of 4 subfields?}} {{emdash}} 19वीं शताब्दी के अंत तक बना रहा। खगोलीय यांत्रिकी और ठोस यांत्रिकी जैसे क्षेत्रों को अक्सर गणित का हिस्सा माना जाता था, लेकिन अब उन्हें भौतिकी से संबंधित माना जाता है। इस अवधि के दौरान विकसित कुछ विषय गणित से पहले के हैं और ऐसे क्षेत्रों में विभाजित हैं जैसे कि संभाव्यता सिद्धांत और संयोजन, जोस्वयंसिद्ध पद्ध बाद में स्वायत्त क्षेत्रों के रूप में माना जाने लगा।

19वीं शताब्दी के अंत में, गणित में मूलभूत संकट और परिणामी ति के व्यवस्थितकरण ने गणित के नए क्षेत्रों का विस्फोट किया। आज, गणित विषय वर्गीकरण में चौंसठ प्रथम-स्तरीय क्षेत्रों से कम नहीं है। इनमें से कुछ क्षेत्र पुराने विभाजन से मेल खाते हैं, जैसा कि संख्या सिद्धांत (उच्च अंकगणित के लिए आधुनिक नाम) और ज्यामिति के बारे में सच है। (हालांकि, कई अन्य प्रथम-स्तरीय क्षेत्रों में उनके नाम में "ज्यामिति" है या अन्यथा सामान्यतः ज्यामिति का हिस्सा माना जाता है।) बीजगणित और कलन प्रथम-स्तर के क्षेत्रों के रूप में प्रकट नहीं होते हैं, लेकिन क्रमशः कई प्रथम-स्तर के क्षेत्रों में विभाजित होते हैं। 20वीं शताब्दी के दौरान अन्य प्रथम-स्तरीय क्षेत्र उभरे (उदाहरण के लिए श्रेणी सिद्धांत, समजातीय बीजगणित, और कंप्यूटर विज्ञान) या पहले गणित के रूप में नहीं माना गया था, जैसे गणितीय तर्क और नींव (मॉडल सिद्धांत, संगणनीयता सिद्धांत, सेट सिद्धांत, प्रमाण सिद्धांत और बीजगणितीय तर्क सहित)।

{{Main|संख्या सिद्धांत}}

[[File:Spirale_Ulam_150.jpg|thumb|250x250px | यह उलम सर्पिल है, जो अभाज्य संख्याओं के वितरण को दर्शाता है। सर्पिल में गहरे रंग की विकर्ण रेखाएं अभाज्य होने और द्विघात बहुपद के मूल्य होने के बीच अनुमानित सन्निकट स्वतंत्रता पर संकेत देती हैं, अनुमान जिसे अब हार्डी और लिटिलवुड के अनुमान एफ के रूप में जाना जाता है।]]

संख्या सिद्धांत संख्याओं के प्रकलन के साथ शुरू हुआ, अर्थात, प्राकृतिक संख्याएं <math>(\mathbb{N}),</math> और बाद में पूर्णांक <math>(\Z)</math> और परिमेय संख्या <math>(\Q).</math> तक विस्तारित हुईं। पहले संख्या सिद्धांत को अंकगणित कहा जाता था, लेकिन आजकल इस शब्द का प्रयोग संख्यात्मक गणना के लिए किया जाता है।

कई आसानी से बताई गई संख्या की समस्याओं के समाधान होते हैं जिनके लिए गणित से परिष्कृत विधियों की आवश्यकता होती है। एक प्रमुख उदाहरण फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय है। यह अनुमान 1637 में पियरे डी फ़र्मेट द्वारा कहा गया था, लेकिन यह केवल 1994 में एंड्रयू विल्स द्वारा सिद्ध हुआ था, जिन्होंने बीजगणितीय ज्यामिति, श्रेणी सिद्धांत और समरूप बीजगणित से योजना सिद्धांत सहित उपकरणों का उपयोग किया था। एक अन्य उदाहरण गोल्डबैक का अनुमान है, जिसमें दावा किया गया है कि 2 से बड़ा प्रत्येक सम पूर्णांक दो अभाज्य संख्याओं का योग होता है। 1742 में क्रिश्चियन गोल्डबैक द्वारा कहा गया, यह काफी प्रयास के बावजूद आज तक अप्रमाणित है।