स्मूथनेस: Difference between revisions

{{redirect|सी अनंत|the extended complex plane <math>\mathbb{C}_\infty</math>|रीमैन क्षेत्र}}

{{redirect|C^n|<math>\mathbb{C}^n</math>|जटिल समन्वय स्थान}}

[[Image:Bump2D illustration.png|thumb|upright=1.2|[[कॉम्पैक्ट समर्थन]] के साथ [[टक्कर समारोह]] एक स्मूद फंक्शन है।]][[गणितीय विश्लेषण]] में, एक [[फलन]] (गणित) की सहजता एक ऐसा गुण है  जिसे उसके किसी प्रक्षेत्र पर [[निरंतर अवकलज]] की संख्या से मापा जाता है, जिसे अवकलनीयता वर्ग कहा जाता है।<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/SmoothFunction.html|title=चिकना समारोह|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-12-13|archive-date=2019-12-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20191216043114/http://mathworld.wolfram.com/SmoothFunction.html|url-status=live}}</ref> बहुत कम ही, (इसलिए निरंतर) एक फलन को सुचारू माना जा सकता है यदि यह हर जगह अलग-अलग हो।<ref>{{Cite web|url=https://www.thefreedictionary.com/Smooth+(mathematics)|title=चिकना (गणित)|website=TheFreeDictionary.com|access-date=2019-12-13|archive-date=2019-09-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20190903145033/https://www.thefreedictionary.com/Smooth+(mathematics)|url-status=live}}</ref> दूसरे छोर पर, यह अपने [[प्रक्षेत्र]] में सभी [[अनुक्रमो]] के अवकलज भी रख सकता है, जिस स्थिति में इसे असीम रूप से अलग-अलग कहा जाता है और इसे सी-अनंत फलन (या <math>C^{\infty}</math> फलन ) के रूप में संदर्भित किया जाता है।<ref>{{Cite web|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Smooth_function|title=स्मूथ फंक्शन - गणित का विश्वकोश|website=www.encyclopediaofmath.org|access-date=2019-12-13|archive-date=2019-12-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20191213043534/https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Smooth_function|url-status=live}}</ref>

अवकलनीयता वर्ग उनके [[यौगिक]] के गुणों के अनुसार कार्यों का वर्गीकरण है। यह अवकलज के उच्चतम क्रम का एक माप है जो मौजूद है और एक फलन के लिए निरंतर है।

[[वास्तविक रेखा]] पर एक [[खुले समुच्चय]]  <math>U</math> पर विचार करें और एक फलन <math>f</math> वास्तविक मानों के साथ <math>U</math> पर परिभाषित करें। मान लीजिए k एक गैर-ऋणात्मक [[पूर्णांक]] है। फलन <math>f</math> को ''<math>C^k</math>'' का अवकालनीयता वर्ग कहा जाता है ,यदि अवकलज <math>f',f'',\dots,f^{(k)}</math> मौजूद हैं और निरंतर कार्य कर रहे हैं <math>U</math> पर. यदि <math>f</math> है <math>k</math>-विभेद्य पर <math>U</math>, तो यह कम से कम कक्षा में है <math>C^{k-1}</math> जबसे <math>f',f'',\dots,f^{(k-1)}</math> लगातार चालू हैं <math>U</math>. कार्यक्रम <math>f</math> कहा जाता है कि यह असीम रूप से भिन्न, चिकना या वर्ग का है <math>C^\infty</math>, अगर इसमें सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव हैं <math>U</math>. (इसलिए ये सभी डेरिवेटिव निरंतर कार्य हैं <math>U</math>.)<ref name="def diff">{{cite book| last=Warner| first=Frank W.| author-link=Frank Wilson Warner| year=1983| title=डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स और लाई ग्रुप्स की नींव| publisher=Springer| isbn=978-0-387-90894-6| page=5 [Definition 1.2]| url=https://books.google.com/books?id=t6PNrjnfhuIC&dq=%22f+is+differentiable+of+class+Ck%22&pg=PA5| access-date=2014-11-28| archive-date=2015-10-01| archive-url=https://web.archive.org/web/20151001012659/https://books.google.com/books?id=t6PNrjnfhuIC&pg=PA5&dq=%22f+is+differentiable+of+class+Ck%22| url-status=live}}</ref> कार्यक्रम <math>f</math> वर्ग का बताया गया है <math>C^\omega</math>, या [[विश्लेषणात्मक कार्य]], यदि <math>f</math> चिकना है (यानी, <math>f</math> कक्षा में है <math>C^\infty</math>) और इसके प्रक्षेत्र में किसी भी बिंदु के आसपास इसकी [[टेलर श्रृंखला]] का विस्तार बिंदु के कुछ [[पड़ोस (गणित)]] में कार्य में परिवर्तित हो जाता है। <math>C^\omega</math> इस प्रकार सख्ती से निहित है <math>C^\infty</math>. बम्प फ़ंक्शंस फ़ंक्शंस के उदाहरण हैं <math>C^\infty</math> लेकिन अंदर नहीं <math>C^\omega</math>.

इसे अलग तरीके से रखने के लिए, class <math>C^0</math> सभी निरंतर कार्यों से मिलकर बनता है। कक्षा <math>C^1</math> सभी अवकलनीय फलन होते हैं जिनका व्युत्पन्न निरंतर है; ऐसे कार्यों को निरंतर अवकलनीय कहा जाता है। इस प्रकार, एक <math>C^1</math> फंक्शन वास्तव में एक फंक्शन है जिसका व्युत्पन्न मौजूद है और कक्षा <math>C^0</math>का है. सामान्य तौर पर, कक्षाएं <math>C^k</math> घोषित करके [[प्रत्यावर्तन]] परिभाषित किया जा सकता है <math>C^0</math> सभी निरंतर कार्यों का सेट होना और घोषणा करना <math>C^k</math> किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए <math>k</math> उन सभी अलग-अलग कार्यों का सेट होने के लिए जिनका व्युत्पन्न है <math>C^{k-1}</math>. विशेष रूप से, <math>C^k</math> में निहित है <math>C^{k-1}</math> हरएक के लिए <math>k>0</math>, और यह दिखाने के लिए उदाहरण हैं कि यह नियंत्रण सख्त है (<math>C^k \subsetneq C^{k-1}</math>). कक्षा <math>C^\infty</math> असीम रूप से भिन्न कार्यों का, वर्गों का प्रतिच्छेदन है <math>C^k</math> जैसा <math>k</math> गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों पर भिन्न होता है।

=== उदाहरण ===

[[File:Mollifier Illustration.svg|thumb|upright=1.2|एक सहज कार्य जो विश्लेषणात्मक नहीं है।]]कार्यक्रम

<math display="block">f(x) = \begin{cases}x  & \mbox{if } x \geq 0, \\ 0 &\text{if } x < 0\end{cases}</math>

निरंतर है, लेकिन अलग-अलग नहीं है {{nowrap|1={{mvar|x}} = 0}}, तो यह कक्षा सी का है⁰, लेकिन कक्षा C का नहीं<sup>1</उप>।

<math display="block">g(x) = \begin{cases}x^2\sin{\left(\tfrac{1}{x}\right)} & \text{if }x \neq 0, \\ 0 &\text{if }x = 0\end{cases}</math>

<math display="block">g'(x) = \begin{cases}-\mathord{\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)} + 2x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right) & \text{if }x \neq 0, \\ 0 &\text{if }x = 0.\end{cases}</math>

इसलिये <math>\cos(1/x)</math> के रूप में हिलता है {{mvar|x}} → 0, <math>g'(x)</math> शून्य पर सतत नहीं है। इसलिए, <math>g(x)</math> अवकलनीय है लेकिन वर्ग C का नहीं है<sup>1</उप>। <!-- The following sentence is unrelated to the explanation of this example and should be removed or moved elsewhere. --> इसके अलावा अगर कोई लेता है <math>g(x) = x^{4/3}\sin(1/x)</math> {{nowrap begin}}({{mvar|x}} ≠ 0){{nowrap end}} इस उदाहरण में, यह दिखाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है कि एक अलग-अलग फलन के व्युत्पन्न फलन को [[कॉम्पैक्ट सेट]] पर असीमित किया जा सकता है और इसलिए, कॉम्पैक्ट सेट पर एक अलग-अलग फलन स्थानीय रूप से [[लिप्सचिट्ज़ निरंतर]] नहीं हो सकता है।

कहाँ पे {{mvar|k}} सम है, निरंतर हैं और {{mvar|k}} बार अलग-अलग {{mvar|x}}. लेकिन पर {{nowrap|1={{mvar|x}} = 0}} वो नहीं हैं {{nowrap|({{mvar|k}} + 1)}} समय अवकलनीय है, इसलिए वे कक्षा C के हैं^{{mvar|k}}, लेकिन कक्षा C का नहीं^{{mvar|j}} कहाँ {{nowrap|{{mvar|j}} > {{mvar|k}}}}.

घातीय कार्य विश्लेषणात्मक है, और इसलिए कक्षा सी में आता है^ω. त्रिकोणमितीय फलन भी विश्लेषणात्मक होते हैं जहाँ उन्हें परिभाषित किया जाता है।

<math display="block">f(x) = \begin{cases}e^{-\frac{1}{1-x^2}} & \text{ if } |x| < 1, \\ 0 &\text{ otherwise }\end{cases}</math>

एक समारोह <math>f:U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math> एक खुले सेट पर परिभाषित <math>U</math> का <math>\mathbb{R}^n</math> कहा जाता है कि<ref>{{cite book|author=Henri Cartan|title=डिफरेंशियल कैलकुलस कोर्स|year=1977|publisher=Paris: Hermann|author-link=Henri Cartan}}</ref> वर्ग का होना <math>C^k</math> पर <math>U</math>, एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए <math>k</math>, यदि सभी आंशिक डेरिवेटिव

<math display="block">\frac{\partial^\alpha f}{\partial x_1^{\alpha_1} \, \partial x_2^{\alpha_2}\,\cdots\,\partial x_n^{\alpha_n}}(y_1,y_2,\ldots,y_n)</math>

मौजूद हैं और निरंतर हैं, प्रत्येक के लिए <math>\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n</math> गैर-नकारात्मक पूर्णांक, जैसे कि <math>\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n\leq k</math>, और हर <math>(y_1,y_2,\ldots,y_n)\in U</math>. समान रूप से, <math>f</math> वर्ग का है <math>C^k</math> पर <math>U</math> अगर <math>k</math>-वें क्रम के फ्रेचेट का व्युत्पन्न <math>f</math> मौजूद है और के हर बिंदु पर निरंतर है <math>U</math>. कार्यक्रम <math>f</math> वर्ग का बताया गया है <math>C</math> या <math>C^0</math> अगर यह लगातार चालू है <math>U</math>. वर्ग के कार्य <math>C^1</math> निरंतर अवकलनीय भी कहा जाता है।

एक समारोह <math>f:U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</math>, एक खुले सेट पर परिभाषित <math>U</math> का <math>\mathbb{R}^n</math>वर्ग का बताया जाता है <math>C^k</math> पर <math>U</math>, एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए <math>k</math>, यदि इसके सभी घटक

वर्ग के हैं <math>C^k</math>, कहाँ पे <math>\pi_i</math> प्राकृतिक प्रक्षेपण हैं (रैखिक बीजगणित) <math>\pi_i:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}</math> द्वारा परिभाषित <math>\pi_i(x_1,x_2,\ldots,x_m)=x_i</math>. क्लास का बताया जाता है <math>C</math> या <math>C^0</math> यदि यह निरंतर है, या समतुल्य है, यदि सभी घटक <math>f_i</math> निरंतर हैं, चालू हैं <math>U</math>.

=== सी का स्थान<sup>के </सुप> कार्य ===

होने देना <math>D</math> वास्तविक रेखा का एक खुला उपसमुच्चय बनें। सभी का सेट <math>C^k</math> वास्तविक-मूल्यवान कार्यों को परिभाषित किया गया है <math>D</math> [[सेमिनोर्म]]्स के गणनीय परिवार के साथ एक फ्रेचेट स्पेस|फ्रेचेट वेक्टर स्पेस है

<math display="block">p_{K, m}=\sup_{x\in K}\left|f^{(m)}(x)\right|</math>

कहाँ पे <math>K</math> सघन समुच्चयों के बढ़ते क्रम में भिन्न होता है जिसका [[संघ (सेट सिद्धांत)]] है <math>D</math>, तथा <math>m=0,1,\dots,k</math>.

शर्तें पैरामीट्रिक निरंतरता (सी^k) और ज्यामितीय निरंतरता (Gⁿ) को ब्रायन ए. बार्स्की द्वारा पेश किया गया था, यह दिखाने के लिए कि गति पर प्रतिबंधों को हटाकर वक्र की चिकनाई को मापा जा सकता है, जिसके साथ पैरामीटर वक्र का पता लगाता है।<ref name="Barsky1981">{{cite thesis |type=Ph.D. |last=Barsky |first=Brian A. |date=1981 |title=बीटा-स्पलाइन: शेप पैरामीटर्स और मौलिक ज्यामितीय उपायों के आधार पर एक स्थानीय प्रतिनिधित्व|publisher=University of Utah, Salt Lake City, Utah|url=https://dl.acm.org/citation.cfm?id=910231 }}</ref><ref name="Barsky1988">{{cite book|author=Brian A. Barsky|title=कंप्यूटर ग्राफिक्स और ज्यामितीय मॉडलिंग बीटा-स्पलाइन का उपयोग करना|year=1988|publisher=Springer-Verlag, Heidelberg|isbn=978-3-642-72294-3}}</ref><ref name="BartelsBeattyBarsky1987">{{cite book|author1=Richard H. Bartels|author2=John C. Beatty|author3=Brian A. Barsky|title=कंप्यूटर ग्राफ़िक्स और जियोमेट्रिक मॉडलिंग में उपयोग के लिए स्प्लाइन्स का परिचय|year=1987|publisher=Morgan Kaufmann|isbn=978-1-55860-400-1|at=Chapter 13. Parametric vs. Geometric Continuity}}</ref>

=== पैरामीट्रिक निरंतरता ===

पैरामीट्रिक निरंतरता (''सी''^''k'') [[पैरामीट्रिक वक्र]]ों पर लागू एक अवधारणा है, जो वक्र के साथ दूरी के साथ पैरामीटर के मान की चिकनाई का वर्णन करती है। ए (पैरामीट्रिक) वक्र <math>s:[0,1]\to\mathbb{R}^n</math> वर्ग सी का बताया जाता है^{कश्मीर}, अगर <math>\textstyle \frac{d^ks}{dt^k}</math> मौजूद है और लगातार चालू है <math>[0,1]</math>, जहां अंत-बिंदुओं पर डेरिवेटिव हैं <math>0,1\in[0,1]</math> [[अर्ध-भिन्नता]] के लिए लिया जाता है (यानी, पर <math>0</math> दाईं ओर से और पर <math>1</math> बाएं से)।

इस अवधारणा के व्यावहारिक अनुप्रयोग के रूप में, समय के एक पैरामीटर के साथ किसी वस्तु की गति का वर्णन करने वाले वक्र में C होना चाहिए¹ निरंतरता और इसका पहला व्युत्पन्न अवकलनीय है—ऑब्जेक्ट के लिए परिमित त्वरण है। चिकनी गति के लिए, जैसे फिल्म बनाते समय कैमरे के पथ के लिए, पैरामीट्रिक निरंतरता के उच्च क्रम की आवश्यकता होती है।

==== पैरामीट्रिक निरंतरता का क्रम ====

[[File:Parametric continuity C0.svg|upright=1.2|thumb|दो बेज़ियर वक्र खंड जुड़े हुए हैं जो कि केवल C है⁰ निरंतर]]

[[File:Parametric continuity vector.svg|upright=1.2|thumb|दो बेज़ियर वक्र खंड इस तरह से जुड़े हुए हैं कि वे सी हैं¹ निरंतर]]पैरामीट्रिक निरंतरता के विभिन्न क्रम को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:<ref>{{cite web |first=Michiel |last=van de Panne |url=https://www.cs.helsinki.fi/group/goa/mallinnus/curves/curves.html |title=पैरामीट्रिक वक्र|work=Fall 1996 Online Notes |date=1996 |publisher=University of Toronto, Canada |access-date=2019-09-01 |archive-date=2020-11-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201126212511/https://www.cs.helsinki.fi/group/goa/mallinnus/curves/curves.html |url-status=live }}</ref>

* <math>C^0</math>: शून्य अवकलज सतत है (वक्र सतत हैं)

* <math>C^1</math>: शून्यवाँ और प्रथम अवकलज संतत हैं

* <math>C^2</math>: शून्य, पहला और दूसरा डेरिवेटिव निरंतर हैं

* <math>C^n</math>: 0-वें के माध्यम से <math>n</math>-वें डेरिवेटिव निरंतर हैं

===ज्यामितीय निरंतरता===

[[File:Curves g1 contact.svg|upright=1.2|thumb|जी के साथ घटता है¹-संपर्क (वृत्त, रेखा)]]