चतुर्घाती फलन: Difference between revisions
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{{short description|Polynomial function of degree four}} | {{short description|Polynomial function of degree four}} | ||
[[File:Polynomialdeg4.svg|thumb|right|233px|घात 4 के एक बहुपद का ग्राफ, जिसमें 3 [[महत्वपूर्ण बिंदु (गणित)]] और बहुपद के चार [[वास्तविक संख्या]] मूल (x अक्ष के क्रॉसिंग) (और इस प्रकार कोई [[जटिल संख्या]] मूल नहीं है)। यदि स्थानीय [[न्यूनतम]] में से एक या अन्य एक्स अक्ष के ऊपर थे, या यदि स्थानीय अधिकतम इसके नीचे थे, या यदि कोई स्थानीय अधिकतम नहीं था और एक्स अक्ष के नीचे एक न्यूनतम था, तो केवल दो वास्तविक मूल होंगी (और दो जटिल मूल)। यदि सभी तीन स्थानीय एक्स्ट्रेमा एक्स अक्ष के ऊपर थे, या यदि एक्स अक्ष के ऊपर कोई स्थानीय अधिकतम और एक न्यूनतम नहीं था, तो कोई वास्तविक मूल (और चार जटिल मूल ) नहीं होगी। नकारात्मक चतुर्घाती गुणांक वाले बहुपद के विपरीत यही तर्क लागू होता है।]][[बीजगणित]] में, एक '''चतुर्घाती फलन''' निम्नलिखित प्रकार का फलन होता है- | |||
[[File:Polynomialdeg4.svg|thumb|right|233px| | |||
:<math>f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e,</math> | :<math>f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e,</math> | ||
जहाँ a अशून्य है, जिसे चतुर्थ घात के बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसे चतुर्घाती बहुपद कहा जाता है। | जहाँ a अशून्य है, जिसे चतुर्थ घात के बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसे चतुर्घाती बहुपद कहा जाता है। | ||
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जहाँ पर {{nowrap|''a'' ≠ 0}} | जहाँ पर {{nowrap|''a'' ≠ 0}} | ||
<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=चतुर्थांश समीकरण|url=https://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> | <ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=चतुर्थांश समीकरण|url=https://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> चतुर्घाती फलन का व्युत्पन्न एक [[घन समारोह|घन फलन]] है। | ||
कभी-कभी | कभी-कभी चतुर्घाती के बजाय द्विवर्गीय शब्द का उपयोग किया जाता है, लेकिन आमतौर पर द्विवर्गीय फ़लन एक वर्ग के द्विघात फ़लन को संदर्भित करता है (या समतुल्य, विषम घात की शर्तों के बिना चतुर्घाती बहुपद द्वारा परिभाषित फ़लन के लिए), निम्नलिखित रूप में - | ||
:<math>f(x)=ax^4+cx^2+e.</math> | :<math>f(x)=ax^4+cx^2+e.</math> | ||
चूँकि एक | चूँकि एक चतुर्घाती फलन को सम कोटि के बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है, जब तर्क धनात्मक या ऋणात्मक अनन्तता में जाता है तो इसकी समान अनंत सीमा होती है। यदि a धनात्मक है, तो फलन दोनों सिरों पर धनात्मक अनंत तक बढ़ जाता है, और इस प्रकार फलन निम्निष्ट है। इसी तरह, यदि a ऋणात्मक है तो यह ऋणात्मक अनंत तक घटता है और अधिकतम होता है। दोनों ही मामलों में इसमें एक अधिकतम और दूसरा न्यूनतम हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। | ||
एबेल-रफ़िनी प्रमेय के अनुसार, | एबेल-रफ़िनी प्रमेय के अनुसार, चतुर्थ घात (चतुर्घाती स्थिति) उच्चतम घात है जैसे कि हर बहुपद समीकरण को रेडिकल (√ प्रतीक जिसका उपयोग वर्गमूल या n वें मूल को दर्शाने के लिए किया जाता है) द्वारा हल किया जा सकता है। | ||
== इतिहास == | == इतिहास == | ||
[[लोदोविको फेरारी]] को 1540 में | [[लोदोविको फेरारी]] को 1540 में चतुर्घात के हल की खोज का श्रेय दिया जाता है, लेकिन चूंकि इस चतुर्घात के सभी बीजगणितीय हल की तरह, एक घन समीकरण के समाधान की आवश्यकता होती है, इसे तुरंत प्रकाशित नहीं किया जा सका।<ref>{{MacTutor|id=Ferrari|title=Lodovico Ferrari}}</ref> चतुर्घात का हल फेरारी के सलाहकार [[जेरोम कार्डानो]] द्वारा अर्स मैग्ना (गेरोलमो कार्डानो) पुस्तक में घन के हल के साथ प्रकाशित किया गया था।<ref>{{Citation | last = Cardano | first = Gerolamo | author-link = Gerolamo Cardano | year = 1993 | orig-year = 1545 | title = Ars magna or The Rules of Algebra | publisher = Dover | isbn = 0-486-67811-3 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/arsmagnaorruleso0000card }}</ref> | ||
सोवियत इतिहासकार आई.वाई. डेपमैन ने दावा किया कि इससे पहले भी, 1486 में स्पेनिश गणितज्ञ वाल्म्स को चतुर्घाती समीकरण को हल करने का दावा करने के लिए सब दांव पर लगा दिया था।<ref>{{citation|last=Depman|title=Rasskazy o matematike|publisher=Gosdetizdat|year=1954|place=Leningrad|language=ru}}</ref> जांचकर्ता जनरल टॉमस डी टोरक्वेमाडा ने कथित तौर पर वाल्म्स को बताया कि यह ईश्वर की इच्छा थी कि ऐसा हल मानव समझ के लिए दुर्गम हो।<ref>{{cite book |author=P. Beckmann |title=π का इतिहास|publisher=Macmillan |year=1971 |page=80 |isbn=9780312381851 |url=https://books.google.com/books?id=TB6jzz3ZDTEC&pg=PA80}}</ref> हालाँकि, पश्चिम में डेपमैन की इस कहानी को लोकप्रिय बनाने वाले [[पेट्र बेकमैन]] ने कहा कि यह अविश्वसनीय था और संकेत दिया कि इसका आविष्कार सोवियत विरोधी धार्मिक प्रचार के रूप में किया गया हो सकता है।<ref>{{cite book |author=P. Beckmann |title=π का इतिहास|publisher=Macmillan |year=1971 |page=191 |isbn=9780312381851 |url=https://books.google.com/books?id=TB6jzz3ZDTEC&pg=PA80}}</ref> इस कहानी के बेकमैन के संस्करण को कई किताबों और इंटरनेट साइटों में व्यापक रूप से कॉपी किया गया है, आमतौर पर उनके आरक्षण के बिना और कभी-कभी काल्पनिक अलंकरणों के साथ। इस कहानी के लिए, या यहां तक कि वाल्म्स के अस्तित्व के लिए पुष्टि करने वाले सबूत खोजने के कई प्रयास विफल रहे हैं।<ref>{{cite journal|author=P. Zoll | title=संपादक को पत्र|journal=American Mathematical Monthly |volume=96 |issue=8 |year=1989 |pages=709–710 |jstor=2324719}}</ref> | |||
चार एक सामान्य बहुपद की उच्चतम डिग्री है जिसके लिए इस तरह के हल खोजे जा सकते हैं, जिसका सबूत है कि पहली बार 1824 में एबेल-रफिनी प्रमेय में दिया गया था, यह साबित करते हुए कि उच्च क्रम बहुपदों को हल करने के सभी प्रयास व्यर्थ होंगे। 1832 में एक द्वंद्वयुद्ध में मरने से पहले एवरिस्ट गैलोइस द्वारा छोड़े गए लेखों ने बाद में बहुपदों के मूलो के एक पूर्ण सिद्धांत का नेतृत्व किया, जिसमें से यह प्रमेय एक परिणाम था।<ref>Stewart, Ian, ''Galois Theory, Third Edition'' (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004)</ref> | |||
== अनुप्रयोग == | == अनुप्रयोग == | ||
दो शंकु वर्गों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का प्रत्येक निर्देशांक एक | दो शंकु वर्गों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का प्रत्येक निर्देशांक एक चतुर्घाती समीकरण का एक हल है। एक रेखा और एक [[टोरस्र्स]] के प्रतिच्छेदन के लिए भी यही सच है। यह इस प्रकार है कि चतुर्घात समीकरण अक्सर [[कम्प्यूटेशनल ज्यामिति|अभिकलनी ज्यामिति]] और अभिकलित्र आलेखिकी, [[कंप्यूटर एडेड डिजाइन]](अभिकलित्र सहाय अभिकल्पना), कम्प्यूटर सहायित विनिर्माण और [[प्रकाशिकी]] जैसे सभी संबंधित क्षेत्रों में उत्पन्न होते हैं। यहां अन्य ज्यामितीय समस्याओं के उदाहरण दिए गए हैं जिनके समाधान में चतुर्घात समीकरण को हल करना शामिल है। | ||
[[कंप्यूटर सहायतायुक्त विनिर्माण]] में, टोरस एक ऐसा आकार है जो आमतौर पर एंडमिल कटर से जुड़ा होता है। त्रिकोणीय सतह के सापेक्ष इसके स्थान की गणना करने के लिए, z- अक्ष पर एक क्षैतिज टोरस की स्थिति का पता लगाया जाना चाहिए। जहां यह एक निश्चित रेखा पर स्पर्शरेखा है, और इसकी गणना करने के लिए एक सामान्य चतुर्घाती समीकरण के हल की आवश्यकता होती है।<ref>{{Cite web|url=http://people.math.gatech.edu/~etnyre/class/4441Fall16/ShifrinDiffGeo.pdf|title=डिफरेंशियल ज्योमेट्री: ए फर्स्ट कोर्स इन कर्व्स एंड सरफेस, पी। 36|website=math.gatech.edu}}</ref> | |||
क्रास्ड लैडर समस्या को हल करने की प्रक्रिया में एक चतुर्घाती समीकरण भी उत्पन्न होता है, जिसमें दो क्रास्ड लैडर की लंबाई, प्रत्येक एक दीवार के खिलाफ और दूसरी के खिलाफ झुकी हुई होती है, उस ऊंचाई के साथ दी जाती है जिस पर वे पार करते हैं, और दीवारों के बीच की दूरी पता लगानी हैं।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=पार सीढ़ी समस्या|url=https://mathworld.wolfram.com/CrossedLaddersProblem.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> | |||
प्रकाशिकी में, अलहज़ेन की समस्या इस प्रकार है कि एक प्रकाश स्रोत और एक गोलाकार दर्पण को देखते हुए, दर्पण पर उस बिंदु का पता लगाएं जहां प्रकाश एक पर्यवेक्षक की आंख पर प्रतिबिंबित होगा। यह एक चतुर्थक समीकरण का नेतृत्व करता है।<ref name="MacTutor">{{MacTutor|id=Al-Haytham|title=Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham}}</ref><ref>{{citation|title=Scientific Method, Statistical Method and the Speed of Light|first1=R. J.|last1=MacKay|first2=R. W.|last2=Oldford|journal=Statistical Science|volume=15|issue=3|date=August 2000|pages=254–78|doi=10.1214/ss/1009212817|mr=1847825|doi-access=free}}</ref><ref name="Weiss">{{Citation|last = Neumann|first = Peter M.|author-link = Peter M. Neumann|journal = [[American Mathematical Monthly]]|title = Reflections on Reflection in a Spherical Mirror|year = 1998|volume = 105|issue = 6|pages = 523–528|doi = 10.2307/2589403|jstor = 2589403}}</ref> | |||
दो दीर्घवृत्त के निकटतम उपगमन की दूरी का पता लगाने में एक चतुर्घात समीकरण को हल करना शामिल है। | |||
[[ | एक 4×4 [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] के [[Index.php?title=अभिलाक्षणिक मान|इगेन मान]] एक चतुर्घाती बहुपद के मूल हैं जो आव्यूह के [[विशेषता बहुपद|विशिष्ट बहुपद]] है। | ||
चौथे क्रम के रैखिक [[अंतर समीकरण]] या अवकल समीकरण का अभिलाक्षणिक समीकरण एक चतुर्घात समीकरण है। किरणपुंज वंकन के टिमोचेंको-रेले सिद्धांत में इसका एक उदाहरण सामने आता है।<ref>{{Cite book|last=Shabana|first=A. A.|url=https://books.google.com/books?id=G2UyBTji18oC&q=Timoshenko-Rayleigh+theory&pg=PA2|title=कंपन का सिद्धांत: एक परिचय|date=1995-12-08|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-94524-8|language=en}}</ref> | |||
चतुर्घाती समीकरणों का उपयोग करके गोलाकार, सिलेंडर या अन्य चतुष्कोणों के [[चौराहा (यूक्लिडियन ज्यामिति)|प्रतिच्छेदन (यूक्लिडियन ज्यामिति)]] प्राप्त किये जा सकते है। | |||
== | == नतिपरिवर्तन बिंदु और स्वर्ण अनुपात == | ||
यहां {{mvar|F}} तथा {{mvar|G}} को चतुर्घाती फलन के ग्राफ के अलग-अलग नतिपरिवर्तन बिंदु होने दें और {{mvar|H}}, विभक्ति छेदक रेखा {{mvar|FG}} और चतुर्घाती का प्रतिच्छेदन हो, जो {{mvar|G}} के करीब हो {{mvar|F}} कि तुलना में, फिर {{mvar|G}} ''FH'' को स्वर्ण अनुपात में विभाजित करता हैं :<ref>{{Citation|last = Aude|first = H. T. R.|journal = [[American Mathematical Monthly]]|year = 1949|issue = 3|volume = 56|title = Notes on Quartic Curves|jstor = 2305030|doi = 10.2307/2305030|pages=165–170}}</ref> | |||
:<math>\frac{FG}{GH}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}= \varphi \; (\text{ | :<math>\frac{FG}{GH}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}= \varphi \; (\text{स्वर्ण अनुपात}).</math> | ||
इसके अलावा | इसके अलावा छेदक रेखा और छेदक रेखा के नीचे चतुर्घाती के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल छेदक रेखा के ऊपर के क्षेत्र और छेदक रेखा के ऊपर चतुर्घाती के बीच के क्षेत्र के बराबर होता है। उन क्षेत्रों में से एक को समान क्षेत्र के उप-क्षेत्रों में विभाजित किया गया है। | ||
== | == हल == | ||
=== | ===मूलो की प्रकृति=== | ||
सामान्य | सामान्य चतुर्घाती समीकरण दिया गया है- | ||
:<math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0</math> | :<math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0</math> | ||
वास्तविक गुणांक | वास्तविक गुणांक और {{math|''a'' ≠ 0}} के साथ इसके मूलो की प्रकृति मुख्य रूप से इसके विवेचक के चिन्ह से निर्धारित होती है | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
\Delta = {} &256 a^3 e^3 - 192 a^2 b d e^2 - 128 a^2 c^2 e^2 + 144 a^2 c d^2 e - 27 a^2 d^4 \\ | \Delta = {} &256 a^3 e^3 - 192 a^2 b d e^2 - 128 a^2 c^2 e^2 + 144 a^2 c d^2 e - 27 a^2 d^4 \\ | ||
| Line 56: | Line 59: | ||
\end{align} </math> इसे चार अन्य बहुपदों के चिह्नों पर विचार करके परिष्कृत किया जा सकता है: | \end{align} </math> इसे चार अन्य बहुपदों के चिह्नों पर विचार करके परिष्कृत किया जा सकता है: | ||
:<math>P = 8ac - 3b^2</math> | :<math>P = 8ac - 3b^2</math> | ||
ऐसा है कि {{math|{{sfrac|''P''|8''a''<sup>2</sup>}}}} संबंधित | ऐसा है कि {{math|{{sfrac|''P''|8''a''<sup>2</sup>}}}} संबंधित अवनत चतुर्थ घात का दूसरा कोटि का गुणांक है (नीचे देखें ); | ||
:<math>R= b^3+8da^2-4abc,</math> | :<math>R= b^3+8da^2-4abc,</math> | ||
ऐसा है कि {{math|{{sfrac|''R''|8''a''<sup>3</sup>}}}} संबंधित | ऐसा है कि {{math|{{sfrac|''R''|8''a''<sup>3</sup>}}}} संबंधित अवनत चतुर्थ घात का पहला कोटि का गुणांक है; | ||
:<math>\Delta_0 = c^2 - 3bd + 12ae,</math> | :<math>\Delta_0 = c^2 - 3bd + 12ae,</math> | ||
जो 0 है यदि | जो कि 0 है यदि चतुर्थ घात के तिहरे मूल है; तथा | ||
:<math>D = 64 a^3 e - 16 a^2 c^2 + 16 a b^2 c - 16 a^2 bd - 3 b^4</math> | :<math>D = 64 a^3 e - 16 a^2 c^2 + 16 a b^2 c - 16 a^2 bd - 3 b^4</math> | ||
जो कि 0 है यदि क्वार्टिक के दो दोहरे मूल हैं। | जो कि 0 है यदि क्वार्टिक के दो दोहरे मूल हैं। | ||
मूलो की प्रकृति के संभावित मामले इस प्रकार हैं:<ref>{{cite journal|first= E. L.|last=Rees|title=क्वार्टिक समीकरण की जड़ों की आलेखीय चर्चा|journal = The American Mathematical Monthly|volume=29|issue=2|year=1922|pages=51–55|doi=10.2307/2972804|jstor = 2972804}}</ref> | |||
* यदि {{math|∆ < 0}} तब समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल और दो | * यदि {{math|∆ < 0}} तब समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल और दो सम्मिश्र संयुग्मी अवास्तविक मूल होते हैं। | ||
* यदि {{math|∆ > 0}} तब या तो समीकरण के चारों मूल वास्तविक हैं या कोई नहीं है। | * यदि {{math|∆ > 0}} तब या तो समीकरण के चारों मूल वास्तविक हैं या कोई भी मूल वास्तविक नहीं है। | ||
** यदि {{mvar|P}} < 0 और {{mvar|D}} < 0 तो चारों मूल वास्तविक और भिन्न हैं। | ** यदि {{mvar|P}} < 0 और {{mvar|D}} < 0 तो चारों मूल वास्तविक और भिन्न हैं। | ||
** यदि {{mvar|P}} > 0 या {{mvar|D}} > 0 तो गैर-वास्तविक | ** यदि {{mvar|P}} > 0 या {{mvar|D}} > 0 तो गैर-वास्तविक सम्मिश्र संयुग्मी मूलो के दो जोड़े हैं।<ref>{{Cite journal | last1 = Lazard | first1 = D. | doi = 10.1016/S0747-7171(88)80015-4 | title = क्वांटिफायर एलिमिनेशन: दो शास्त्रीय उदाहरणों के लिए इष्टतम समाधान| journal = Journal of Symbolic Computation | volume = 5 | pages = 261–266 | year = 1988 | issue = 1–2 | doi-access = free }}</ref> | ||
* यदि {{math|∆ {{=}} 0}} तब (और केवल तभी) बहुपद | * यदि {{math|∆ {{=}} 0}} तब (और केवल तभी) बहुपद के [[बहुलता (गणित)|अनेक मूल (गणित)]] होते है। यहां विभिन्न मामले हैं जो हो सकते हैं: | ||
** यदि {{mvar|P}} < 0 और {{mvar|D}} < 0 और {{math|∆<sub>0</sub> ≠ 0}}, एक वास्तविक | ** यदि {{mvar|P}} < 0 और {{mvar|D}} < 0 और {{math|∆<sub>0</sub> ≠ 0}}, एक वास्तविक दोहरे मूल और दो वास्तविक सरल मूल हैं। | ||
** यदि {{mvar|D}} > 0 या ({{mvar|P}} > 0 और ({{mvar|D}} ≠ 0 या {{mvar|R}} ≠ 0)), एक वास्तविक | ** यदि {{mvar|D}} > 0 या ({{mvar|P}} > 0 और ({{mvar|D}} ≠ 0 या {{mvar|R}} ≠ 0)), एक वास्तविक दोहरे मूल और दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल हैं। | ||
** यदि {{math|∆<sub>0</sub> {{=}} 0}} तथा {{mvar|D}} ≠ 0, एक | ** यदि {{math|∆<sub>0</sub> {{=}} 0}} तथा {{mvar|D}} ≠ 0, एक तिहरे मूल और एक साधारण मूल हैं, सभी वास्तविक हैं। | ||
** यदि {{mvar|D}} = 0, तब: | ** यदि {{mvar|D}} = 0, तब: | ||
***यदि {{mvar|P}} <0, दो वास्तविक दोहरे मूल हैं। | ***यदि {{mvar|P}} <0, दो वास्तविक दोहरे मूल हैं। | ||
***यदि {{mvar|P}} > 0 और {{mvar|R}} = 0, दो | ***यदि {{mvar|P}} > 0 और {{mvar|R}} = 0, दो सम्मिश्र संयुग्मी दोहरे मूल हैं। | ||
***यदि {{math|∆<sub>0</sub> {{=}} 0}}, चारों मूल बराबर हैं {{math|−{{sfrac|''b''|4''a''}}}} | ***यदि {{math|∆<sub>0</sub> {{=}} 0}}, चारों मूल बराबर हैं {{math|−{{sfrac|''b''|4''a''}}}} | ||
कुछ मामले ऐसे होते हैं जो | कुछ मामले ऐसे होते हैं जो इस प्रकार नहीं होते हैं, और वास्तव में वे घटित नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, {{math|∆<sub>0</sub> > 0}}, {{mvar|P}} = 0 और {{mvar|D}} ≤ 0 मामलों में से एक नहीं है। वास्तव में, अगर {{math|∆<sub>0</sub> > 0}} तथा {{mvar|P}} = 0 तब {{mvar|D}} > 0, चूंकि <math>16 a^2\Delta_0 = 3D + P^2; </math> इसलिए यह संमिश्रण संभव नहीं है। | ||
=== | === मूलो के लिए सामान्य सूत्र === | ||
[[File:Quartic Formula.svg|thumb|600px|right| | [[File:Quartic Formula.svg|thumb|600px|right|<math>x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0</math> का समाधान पूरा लिखा हुआ। यह सूत्र सामान्य उपयोग के लिए ठीक नहीं है; इसलिए अन्य विधियों, या विशेष मामलों के लिए सरल सूत्रों का आमतौर पर उपयोग किया जाता है।<ref>http://planetmath.org/QuarticFormula, PlanetMath, quartic formula, 21 October 2012</ref>]]चार मूल {{math|''x''<sub>1</sub>}}, {{math|''x''<sub>2</sub>}}, {{math|''x''<sub>3</sub>}}, तथा {{math|''x''<sub>4</sub>}} सामान्य चतुर्घाती समीकरण के लिए | ||
:<math>ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \,</math> | :<math>ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \,</math> | ||
{{mvar|a}} ≠ 0 के साथ निम्नलिखित सूत्र में दिए गए हैं, जो चरों को वापस बदलकर (देखें § अवनत चतुर्थ घात में बदलना) और द्विघात और घन समीकरणों के सूत्रों का उपयोग करके फेरारी की विधि पर अनुभाग में से एक से घटाया गया है। | |||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
x_{1,2}\ &= -\frac{b}{4a} - S \pm \frac12\sqrt{-4S^2 - 2p + \frac{q}{S}}\\ | x_{1,2}\ &= -\frac{b}{4a} - S \pm \frac12\sqrt{-4S^2 - 2p + \frac{q}{S}}\\ | ||
x_{3,4}\ &= -\frac{b}{4a} + S \pm \frac12\sqrt{-4S^2 - 2p - \frac{q}{S}} | x_{3,4}\ &= -\frac{b}{4a} + S \pm \frac12\sqrt{-4S^2 - 2p - \frac{q}{S}} | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
जहाँ पर {{mvar|p}} तथा {{mvar|q}} एक अवनत चतुर्घात में क्रमशः पहली और दूसरी घात के गुणांक हैं- | |||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
p &= \frac{8ac-3b^2}{8a^2}\\ | p &= \frac{8ac-3b^2}{8a^2}\\ | ||
| Line 94: | Line 97: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
: | : | ||
और | और जहाँ | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
S &= \frac{1}{2}\sqrt{-\frac23\ p+\frac{1}{3a}\left(Q + \frac{\Delta_0}{Q}\right)}\\ | S &= \frac{1}{2}\sqrt{-\frac23\ p+\frac{1}{3a}\left(Q + \frac{\Delta_0}{Q}\right)}\\ | ||
Q &= \sqrt[3]{\frac{\Delta_1 + \sqrt{\Delta_1^2 - 4\Delta_0^3}}{2}} | Q &= \sqrt[3]{\frac{\Delta_1 + \sqrt{\Delta_1^2 - 4\Delta_0^3}}{2}} | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
(यदि {{math|''S'' {{=}} 0}} या {{math|''Q'' {{=}} 0}}, | (यदि {{math|''S'' {{=}} 0}} या {{math|''Q'' {{=}} 0}}, {{slink||सूत्र के विशेष मामले}} नीचे देखें) | ||
साथ | साथ | ||
| Line 107: | Line 110: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
तथा | तथा | ||
:<math>\Delta_1^2-4\Delta_0^3 = - 27 \Delta\ ,</math> | :<math>\Delta_1^2-4\Delta_0^3 = - 27 \Delta\ ,</math> जहाँ पर <math>\Delta</math> पूर्वोक्त विवेचक है। ''Q'' के लिए घनमूल अभिव्यक्ति के लिए, सम्मिश्र समतल में तीन घनमूलों में से किसी का भी उपयोग किया जा सकता है, हालांकि यदि उनमें से एक वास्तविक है तो यह चुनने के लिए प्राकृतिक और सरलतम है। इन अंतिम चार पदों के गणितीय व्यंजक उनके घन फलन बीजगणितीय हल के समान हैं। | ||
====सूत्र की विशेष स्थितियाँ==== | ====सूत्र की विशेष स्थितियाँ==== | ||
*यदि <math>\Delta > 0,</math> | *यदि <math>\Delta > 0,</math> <math>Q</math> एक अवास्तविक सम्मिश्र संख्या है। इस स्थिति में या तो सभी मूल अवास्तविक हैं या वे सभी वास्तविक हैं। बाद के मामले में, <math>S</math> का मान भी वास्तविक है, <math>Q</math> के संदर्भ में व्यक्त किए जाने के बावजूद, यह चतुर्घात के वर्तमान संदर्भ में विस्तारित घन फलन का [[एक अपरिवर्तनीय मौका]] है। त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके, इसे विशुद्ध रूप से वास्तविक तरीके से व्यक्त करना पसंद कर सकते हैं: | ||
::<math>S = \frac{1}{2} \sqrt{-\frac23\ p+\frac{2}{3a}\sqrt{\Delta_0}\cos\frac{\varphi}{3}}</math> | ::<math>S = \frac{1}{2} \sqrt{-\frac23\ p+\frac{2}{3a}\sqrt{\Delta_0}\cos\frac{\varphi}{3}}</math> | ||
: | :जहाँ पर | ||
::<math>\varphi = \arccos\left(\frac{\Delta_1}{2\sqrt{\Delta_0^3}}\right).</math> | ::<math>\varphi = \arccos\left(\frac{\Delta_1}{2\sqrt{\Delta_0^3}}\right).</math> | ||
*यदि <math>\Delta \neq 0</math> तथा <ma | |||