विकर्ण: Difference between revisions

Latest revision as of 17:49, 22 December 2022

1 इकाई भुजा की लंबाई वाले घन के विकर्ण। AC' (नीले रंग में दिखाया गया है) लंबाई

{\sqrt {3}}

के साथ एक अंतरिक्ष विकर्ण है , जबकि AC (लाल रंग में दिखाया गया है) एक फलक विकर्ण है और इसकी लंबाई

{\sqrt {2}}

है ।

ज्यामिति में, एक विकर्ण एक बहुभुज या बहुतल के दो शीर्षों को जोड़ने वाला एक रेखा-खंड होता है, जब वे शीर्ष एक ही किनारे पर नहीं होते हैं। अनौपचारिक रूप से, किसी भी झुकी हुई रेखा को विकर्ण कहा जाता है। विकर्ण शब्द प्राचीन यूनानी διαγώνιος डायगोनियोस से लिया गया है,^[1] कोण से कोण तक (διά- डाई -, के माध्यम से, से पार और γωνία गोनिया, कोण, गोनी घुटने से संबंधित); इसका उपयोग स्ट्रैबो और यूक्लिड दोनों के द्वारा समचतुर्भुज या घनाभ के दो शीर्षों को जोड़ने वाली रेखा को संदर्भित करने के लिए किया गया था।^[2] ^[3] ^[4] और बाद में इसे लैटिन में डायगोनस (तिरछी रेखा) के रूप में अपनाया गया।

आव्यूह बीजगणित में, एक वर्ग आव्यूह के विकर्ण में ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएं कोने तक की रेखा पर प्रविष्टियाँ होती हैं।

इसके कुछ अन्य गैर-गणितीय उपयोग भी हैं।

गैर-गणितीय उपयोग

File:2512-échafaudage-Réunion.jpg

एक घर के निर्माण स्थल पर बुनियादी मचान का एक स्टैंड, इसकी संरचना को बनाए रखने के लिए विकर्ण ब्रेसिज़ के साथ

अभियांत्रिकी में, एक विकर्ण ब्रेस एक बीम है जिसका उपयोग एक आयताकार संरचना (जैसे मचान) को मजबूती से धकेलने के लिए किया जाता है; सामान्यता इसे एक विकर्ण कहा जाता है, व्यावहारिक विचारों के कारण विकर्ण ब्रेसिज़ प्रायः आयत के कोनों से जुड़े नहीं होते हैं।

विकर्ण सरौता तार काटने वाले सरौता हैं जो जबड़े के काटने वाले किनारों द्वारा परिभाषित होते हैं जो संयुक्त कीलक को एक कोण पर या एक विकर्ण पर काटते हैं, इसलिए इसका यह नाम है।

विकर्ण दंड एक प्रकार का लैशिंग है जिसका उपयोग स्पार्स या डंडे को एक साथ बांधने के लिए किया जाता है ताकि लैशिंग एक कोण पर डंडे के ऊपर से पार हो जाए।

फ़ुटबॉल संघ में, विकर्ण नियंत्रण प्रणाली वह विधि है जो निर्णायक और सहायक निर्णायक पिच के चार चतुर्भुजों में से एक में खुद को स्थापित करने के लिए उपयोग करते हैं।

File:Display size measurements.png

विकर्ण द्वि-आयामी प्रदर्शन आकार का एक सामान्य माप है।

बहुभुज

जैसा कि एक बहुभुज पर लागू होता है, एक विकर्ण किसी भी दो शीर्षों, जो लगातार नहीं है, को जोड़ने वाला रेखा-खंड होता है। इसलिए, एक चतुर्भुज के दो विकर्ण होते हैं, जो शीर्षों के विपरीत युग्मों को मिलाते हैं। किसी भी उत्तल बहुभुज के लिए, सभी विकर्ण बहुभुज के अंदर होते हैं, लेकिन पुन: प्रवेशी बहुभुज के लिए, कुछ विकर्ण बहुभुज के बाहर होते हैं।

कोई भी n-भुजा वाले बहुभुज (n ≥ 3), उत्तल बहुभुज या अवतल बहुभुज, में ${\tfrac {n(n-3)}{2}}$ विकर्ण होते है, क्योंकि प्रत्येक शीर्ष में स्वयं और दो आसन्न शीर्षों को छोड़कर अन्य सभी शीर्षों के विकर्ण ,या n − 3 विकर्ण, होते हैं, और प्रत्येक विकर्ण को दो शीर्षों द्वारा साझा किया जाता है।

भुजाएँ	विकर्ण
3	0
4	2
5	5
6	9
7	14
8	20
9	27
10	35

भुजाएँ	विकर्ण
11	44
12	54
13	65
14	77
15	90
16	104
17	119
18	135

भुजाएँ	विकर्ण
19	152
20	170
21	189
22	209
23	230
24	252
25	275
26	299

भुजाएँ	विकर्ण
27	324
28	350
29	377
30	405
31	434
32	464
33	495
34	527

भुजाएँ	विकर्ण
35	560
36	594
37	629
38	665
39	702
40	740
41	779
42	819

विकर्णों द्वारा गठित क्षेत्र

एक उत्तल बहुभुज में, यदि आंतरिक में किसी एक बिंदु पर कोई भी तीन विकर्ण समवर्ती रेखाएँ नहीं हैं, तो विकर्ण आंतरिक भाग को विभाजित करने वाले क्षेत्रों की संख्या निम्न द्वारा दी जाती है

{\binom {n}{4}}+{\binom {n-1}{2}}={\frac {(n-1)(n-2)(n^{2}-3n+12)}{24}}.

n-भुजो के लिए जहाँ n = 3, 4, ... है, वहाँ क्षेत्रों की संख्या क्रमशः निम्न प्रकार होगी ^[5]

1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246...

यह OEIS अनुक्रम A006522 है।^[6]

विकर्णों के प्रतिच्छेदन

यदि एक उत्तल बहुभुज के कोई भी तीन विकर्ण अंतः क्षेत्र में किसी बिंदु पर संगामी नहीं हैं, तो विकर्णों के आंतरिक प्रतिच्छेदन की संख्या इस प्रकार दी गई है

${\binom {n}{4}}$ .^[7]^[8]

यह, उदाहरण के लिए, विषम संख्या में भुजाओं वाले किसी भी नियमित बहुभुज के लिए लागू होता है। सूत्र इस तथ्य से अनुसरण करता है कि प्रत्येक प्रतिच्छेदन विशिष्ट रूप से दो अन्तर्विभाजक विकर्णों के चार समापन बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है: प्रतिच्छेदन की संख्या इस प्रकार एक समय में चार n कोने के संयोजन की संख्या है।

नियमित बहुभुज

भुजाओं की सम या विषम संख्या वाले नियमित बहुभुजों में सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई की गणना करने के लिए अलग-अलग सूत्र उपस्थित हैं।

n भुजाओं और a भुजालंबाई वाले सम-भुजीय नियमित बहुभुज में, सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई इसके परिवृत्त के व्यास के बराबर होती है क्योंकि लंबे विकर्ण सभी बहुभुज के केंद्र में एक-दूसरे को काटते हैं। यह निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है।

d={\frac {a}{\sin(\pi /n)}}={\frac {a}{\sin(180/n){\text{ degrees}}}}.

भुजा की लंबाई a और n-भुजा (n ≥ 5) वाले किसी विषम-भुजीय नियमित बहुभुज के सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी गई है।^[9]

d = \frac{a}{2 \sin (}

[1]

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 {{About||बार्सिलोना में एवेन्यू|अविंगुडा विकर्ण|स्पेनिश समाचार पत्र|विकर्ण (समाचार पत्र)}}
-[[Image:Cube diagonals.svg|thumb|right|1 इकाई भुजा की लंबाई वाले घन के विकर्ण। AC' (नीले रंग में दिखाया गया है) लंबाई <math>\sqrt 3</math>  के साथ एक [[अंतरिक्ष विकर्ण]] है , जबकि AC (लाल रंग में दिखाया गया है) एक फलक विकर्ण है और इसकी लंबाई <math>\sqrt 2</math>  है ।]][[ज्यामिति]] में, एक विकर्ण एक [[बहुभुज]] या [[बहुतल]] के दो शीर्षों को जोड़ने वाला एक [[रेखा खंड|रेखा-खंड]] होता है, जब वे शीर्ष एक ही किनारे पर नहीं होते हैं। अनौपचारिक रूप से, किसी भी झुकी हुई रेखा को विकर्ण कहा जाता है। विकर्ण शब्द [[प्राचीन यूनानी]] διαγώνιος ''डायगोनियोस''  से लिया गया है,<ref>[http://www.etymonline.com/index.php?search=diagonal&searchmode=none Online Etymology Dictionary]</ref> '''कोण से कोण तक (διά- दीया-, के माध्यम से, पार और γωνία गोनिया, कोण, गोनी घुटने से संबंधित)'''; इसका उपयोग [[स्ट्रैबो]] और [[यूक्लिड]] दोनों के द्वारा समचतुर्भुज या [[घनाभ]] के दो शीर्षों को जोड़ने वाली रेखा को संदर्भित करने के लिए किया गया था।<ref>Strabo, Geography 2.1.36–37</ref> <ref>Euclid, Elements book 11, proposition 28</ref> <ref>Euclid, Elements book 11, proposition 38</ref> और बाद में इसे लैटिन में डायगोनस (तिरछी रेखा) के रूप में अपनाया गया।
+[[Image:Cube diagonals.svg|thumb|right|1 इकाई भुजा की लंबाई वाले घन के विकर्ण। AC' (नीले रंग में दिखाया गया है) लंबाई <math>\sqrt 3</math>  के साथ एक [[अंतरिक्ष विकर्ण]] है , जबकि AC (लाल रंग में दिखाया गया है) एक फलक विकर्ण है और इसकी लंबाई <math>\sqrt 2</math>  है ।]][[ज्यामिति]] में, एक विकर्ण एक [[बहुभुज]] या [[बहुतल]] के दो शीर्षों को जोड़ने वाला एक [[रेखा खंड|रेखा-खंड]] होता है, जब वे शीर्ष एक ही किनारे पर नहीं होते हैं। अनौपचारिक रूप से, किसी भी झुकी हुई रेखा को विकर्ण कहा जाता है। विकर्ण शब्द [[प्राचीन यूनानी]] διαγώνιος ''डायगोनियोस''  से लिया गया है,<ref>[http://www.etymonline.com/index.php?search=diagonal&searchmode=none Online Etymology Dictionary]</ref> कोण से कोण तक (διά- डाई -, के माध्यम से, से पार और γωνία गोनिया, कोण, गोनी घुटने से संबंधित); इसका उपयोग [[स्ट्रैबो]] और [[यूक्लिड]] दोनों के द्वारा समचतुर्भुज या [[घनाभ]] के दो शीर्षों को जोड़ने वाली रेखा को संदर्भित करने के लिए किया गया था।<ref>Strabo, Geography 2.1.36–37</ref> <ref>Euclid, Elements book 11, proposition 28</ref> <ref>Euclid, Elements book 11, proposition 38</ref> और बाद में इसे लैटिन में डायगोनस (तिरछी रेखा) के रूप में अपनाया गया।
 [[मैट्रिक्स बीजगणित|आव्यूह बीजगणित]] में, एक वर्ग [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह]] के विकर्ण में ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएं कोने तक की रेखा पर प्रविष्टियाँ होती हैं।
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 === विकर्णों के प्रतिच्छेदन ===
-यदि एक उत्तल बहुभुज के कोई भी तीन विकर्ण अंतः में किसी बिंदु पर संगामी नहीं हैं, तो विकर्णों के आंतरिक चौराहों की संख्या इस प्रकार दी गई है <math> \binom n4</math>.<ref>Poonen, Bjorn; Rubinstein, Michael. "The number of intersection points made by the diagonals of a regular polygon". ''SIAM J. Discrete Math''. 11 (1998), no. 1, 135–156; [https://math.mit.edu/~poonen/papers/ngon.pdf link to a version on Poonen's website] </ref><ref name="youtube">[https://www.youtube.com/watch?v=K8P8uFahAgc], beginning at 2:10</ref> यह, उदाहरण के लिए, विषम संख्या में भुजाओं वाले किसी भी [[नियमित बहुभुज]] के लिए लागू होता है। सूत्र इस तथ्य से अनुसरण करता है कि प्रत्येक चौराहा विशिष्ट रूप से दो अन्तर्विभाजक विकर्णों के चार समापन बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है: चौराहों की संख्या इस प्रकार एक समय में चार n कोने के संयोजन की संख्या है।
+यदि एक उत्तल बहुभुज के कोई भी तीन विकर्ण अंतः क्षेत्र में किसी बिंदु पर संगामी नहीं हैं, तो विकर्णों के आंतरिक प्रतिच्छेदन की संख्या इस प्रकार दी गई है
+<math> \binom n4</math>.<ref>Poonen, Bjorn; Rubinstein, Michael. "The number of intersection points made by the diagonals of a regular polygon". ''SIAM J. Discrete Math''. 11 (1998), no. 1, 135–156; [https://math.mit.edu/~poonen/papers/ngon.pdf link to a version on Poonen's website] </ref><ref name="youtube">[https://www.youtube.com/watch?v=K8P8uFahAgc], beginning at 2:10</ref>
+यह, उदाहरण के लिए, विषम संख्या में भुजाओं वाले किसी भी [[नियमित बहुभुज]] के लिए लागू होता है। सूत्र इस तथ्य से अनुसरण करता है कि प्रत्येक प्रतिच्छेदन विशिष्ट रूप से दो अन्तर्विभाजक विकर्णों के चार समापन बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है: प्रतिच्छेदन की संख्या इस प्रकार एक समय में चार n कोने के संयोजन की संख्या है।
 === नियमित बहुभुज ===
-{{See also|Quadrilateral#Diagonals|Hexagon#Convex equilateral hexagon|Heptagon#Diagonals and heptagonal triangle}}
+{{See also|चतुर्भुज#विकर्ण|षट्भुज#उत्तल समबाहु षट्भुज|सप्तभुज#विकर्ण और सप्तकोणीय त्रिभुज}}
-भुजाओं की सम या विषम संख्या वाले नियमित बहुभुजों में सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई की गणना करने के लिए अलग-अलग सूत्र मौजूद हैं।
+भुजाओं की सम या विषम संख्या वाले नियमित बहुभुजों में सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई की गणना करने के लिए अलग-अलग सूत्र उपस्थित हैं।
-''n'' भुजाओं और पार्श्व लंबाई ''a'' के साथ सम-पक्षीय नियमित बहुभुज में, सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई इसके परिवृत्त के व्यास के बराबर होती है क्योंकि लंबे विकर्ण सभी बहुभुज के केंद्र में एक-दूसरे को काटते हैं। यह निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है।
+''n'' भुजाओं और ''a'' भुजालंबाई वाले सम-भुजीय नियमित बहुभुज में, सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई इसके परिवृत्त के व्यास के बराबर होती है क्योंकि लंबे विकर्ण सभी बहुभुज के केंद्र में एक-दूसरे को काटते हैं। यह निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है।
 :<math>d = \frac{a}{\sin (\pi/n)} = \frac{a}{\sin (180/n)\text{ degrees}}.</math>
-भुजा की लंबाई a के साथ किसी विषम-भुजा वाले नियमित n-भुजा वाले बहुभुज (n ≥ 5) के सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी गई है।<ref>{{Cite web|url=http://www.murderousmaths.co.uk/books/longdiag.htm|title = मर्डरस मैथ्स: दी लॉन्गेस्ट डायगोनल फॉर्मूला!}}</ref>
+भुजा की लंबाई a और n-भुजा (n ≥ 5) वाले किसी विषम-भुजीय नियमित बहुभुज के सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी गई है।<ref>{{Cite web|url=http://www.murderousmaths.co.uk/books/longdiag.htm|title = मर्डरस मैथ्स: दी लॉन्गेस्ट डायगोनल फॉर्मूला!}}</ref>
 :<math>d = \frac{a}{2 \sin (\pi/2n)} = \frac{a}{2 \sin (90/n)\text{ degrees}}.</math>
-<br/>
+<br/>बहुभुज के सबसे छोटे विकर्ण की लंबाई की गणना निम्नलिखित सूत्र के साथ सभी बहुभुजों (''n'' ≥ 4) के लिए भी की जा सकती है।<ref>{{Cite web|url=https://www.geeksforgeeks.org/length-of-diagonal-of-a-n-sided-regular-polygon/|title=n-भुजा वाले नियमित बहुभुज के विकर्ण की लंबाई|date=2 January 2019}}</ref> जैसे-जैसे भुजाओं की संख्या अनंत तक पहुँचती है, सबसे छोटा विकर्ण 2a तक पहुँचता है।
-बहुभुज के सबसे छोटे विकर्ण की लंबाई की गणना निम्नलिखित सूत्र के साथ सभी बहुभुजों (''n'' ≥ 4) के लिए भी की जा सकती है।<ref>{{Cite web|url=https://www.geeksforgeeks.org/length-of-diagonal-of-a-n-sided-regular-polygon/|title=n-भुजा वाले नियमित बहुभुज के विकर्ण की लंबाई|date=2 January 2019}}</ref> जैसे-जैसे भुजाओं की संख्या अनंत तक पहुँचती है, सबसे छोटा विकर्ण 2a तक पहुँचता है।
 :<math>d = 2a \cos (\pi/n) = 2a \cos (180/n)\text{ degrees}.</math>
-<br/>
+<br/>ये उस त्रिभुज के लिए लागू नहीं होते हैं जिसका कोई विकर्ण नहीं है।<br/>विशेष स्थितियां सम्मलित हैं:
-ये उस त्रिभुज के लिए लागू नहीं होते हैं जिसका कोई विकर्ण नहीं है।
-<br/>
+एक [[वर्ग]] में समान लंबाई के दो विकर्ण होते हैं, जो वर्ग के केंद्र पर प्रतिच्छेद करते हैं। एक विकर्ण का एक भुजा से अनुपात <math>\sqrt{2}\approx 1.414.</math> होता है
-विशेष मामलों में सम्मलित हैं:
-एक [[वर्ग]] में समान लंबाई के दो विकर्ण होते हैं, जो वर्ग के केंद्र पर प्रतिच्छेद करते हैं। एक विकर्ण का एक भुजा से अनुपात होता है <math>\sqrt{2}\approx 1.414.</math>
+एक [[नियमित पेंटागन|नियमित पंचभुज]] में समान लंबाई के पाँच विकर्ण होते हैं। एक भुजा के विकर्ण का अनुपात [[सुनहरा अनुपात]] <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618.</math> होता है
-एक [[नियमित पेंटागन]] में समान लंबाई के पाँच विकर्ण होते हैं। एक भुजा के विकर्ण का अनुपात [[सुनहरा अनुपात]] है, <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618.</math>
-एक नियमित [[षट्भुज]] में नौ विकर्ण होते हैं: छह छोटे विकर्ण लंबाई में एक दूसरे के बराबर होते हैं; तीन लंबे वाले लंबाई में एक दूसरे के बराबर हैं और षट्भुज के केंद्र में एक दूसरे को काटते हैं। एक लंबे विकर्ण का एक भुजा से अनुपात 2 है, और एक छोटे विकर्ण का एक भुजा से अनुपात है  <math>\sqrt{3}</math>.
-एक सम सप्तभुज में 14 विकर्ण होते हैं। सात छोटे एक दूसरे के बराबर हैं, और सात बड़े एक दूसरे के बराबर हैं। पक्ष का व्युत्क्रम एक छोटे और एक लंबे विकर्ण के व्युत्क्रम के योग के बराबर होता है।
+एक नियमित [[षट्भुज]] में नौ विकर्ण होते हैं: छह छोटे विकर्ण लंबाई में एक दूसरे के बराबर होते हैं; तीन लंबे वाले लंबाई में एक दूसरे के बराबर हैं और षट्भुज के केंद्र में एक दूसरे को काटते हैं। एक लंबे विकर्ण का एक भुजा से अनुपात 2 है, और एक छोटे विकर्ण का एक भुजा से अनुपात <math>\sqrt{3}</math> है
-सामान्यतः एक नियमित एन-गॉन होता है <math>\lfloor\frac {n-2}{2}\rfloor</math> लंबाई में अलग-अलग विकर्ण, जो एक वर्ग से शुरू होकर पैटर्न 1,1,2,2,3,3... का अनुसरण करता है।
+एक सम सप्तभुज में 14 विकर्ण होते हैं। सात छोटे एक दूसरे के बराबर हैं, और सात बड़े एक दूसरे के बराबर हैं। भुजा का व्युत्क्रम एक छोटे और एक लंबे विकर्ण के व्युत्क्रम के योग के बराबर होता है।
-== बहुतल ==
+सामान्यतः एक नियमित n-भुज में <math>\lfloor\frac {n-2}{2}\rfloor</math> विभिन्न लंबाई के विकर्ण होते है, जो एक वर्ग से प्रारम्भ होकर 1,1,2,2,3,3...  स्वरूप का अनुसरण करते है।
-एक पॉलीहेड्रॉन (त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक [[ठोस वस्तु]], द्वि-आयामी अंतरिक्ष से घिरा हुआ है| द्वि-आयामी [[चेहरा (ज्यामिति)]]) में दो अलग-अलग प्रकार के विकर्ण हो सकते हैं: विभिन्न चेहरों पर चेहरे के विकर्ण, एक ही पर गैर-आसन्न कोने को जोड़ते हुए चेहरा; और अंतरिक्ष विकर्ण, पूरी तरह से पॉलीहेड्रॉन के आंतरिक भाग में (कोने पर अंत बिंदुओं को छोड़कर)।
+== बहुतल या बहुफलक ==
+एक बहुफलक  (त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक [[ठोस वस्तु]], द्वि-आयामी फलको से घिरी हुयी है)  में दो अलग-अलग प्रकार के विकर्ण हो सकते हैं: विभिन्न फलको पर फलक के विकर्ण, एक ही पर गैर-आसन्न कोने को जोड़ते हुए फलक; और अंतरिक्ष विकर्ण, पूरी तरह से बहुतल के आंतरिक भाग में (कोने पर अंत बिंदुओं को छोड़कर)।
 जिस प्रकार एक त्रिभुज का कोई विकर्ण नहीं होता है, उसी प्रकार एक चतुष्फलक (चार त्रिभुजाकार फलकों के साथ) का कोई फलक विकर्ण नहीं होता है और कोई स्थान विकर्ण नहीं होता है।
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 *[http://mathworld.wolfram.com/PolygonDiagonal.html Polygon diagonal] from [[MathWorld]].
 *[http://mathworld.wolfram.com/Diagonal.html Diagonal] of a matrix from [[MathWorld]].
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