अंकगणित: Difference between revisions
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{{short description|Elementary branch of mathematics}} | {{short description|Elementary branch of mathematics}} | ||
[[File:Tables generales aritmetique MG 2108.jpg|thumb|बच्चों के लिए अंकगणितीय टेबल, लॉज़ेन, 1835]] | [[File:Tables generales aritmetique MG 2108.jpg|thumb|बच्चों के लिए अंकगणितीय टेबल, लॉज़ेन, 1835]] | ||
'''अंकगणित''' (प्राचीन ग्रीक से लघुगणक, संख्या, कला और शिल्प) गणित का एक प्रारंभिक भाग है जिसमें संख्याओं पर पारंपरिक संचालन के गुण - | '''अंकगणित''' (प्राचीन ग्रीक से लघुगणक, संख्या, कला और शिल्प) गणित का एक प्रारंभिक भाग है जिसमें संख्याओं पर पारंपरिक संचालन के गुण - जोड़, घटाव, गुणा, भाग, घातांक और जड़ों का निष्कर्षण जैसे अध्ययन शामिल है। 19 वीं शताब्दी में, इतालवी गणितज्ञ ग्यूसेप पीनो (Giuseppe Peano) ने अपने पीनो स्वयंसिद्धों (Peano axioms) के साथ अंकगणित को औपचारिक रूप दिया, जो आज गणितीय तर्क के क्षेत्र के लिए अत्यधिक महत्वपूर्ण हैं। | ||
== इतिहास == | == इतिहास == | ||
अंकगणित का प्रागितिहास कुछ कलाकृतियों तक सीमित है, जो जोड़ और घटाव की अवधारणा का संकेत दे सकते हैं। <ref>{{cite book |last=Rudman |first=Peter Strom |title=How Mathematics Happened: The First 50,000 Years |year=2007 |publisher=Prometheus Books |isbn=978-1-59102-477-4 |page=[https://archive.org/details/howmathematicsha0000rudm/page/64 64] |url=https://archive.org/details/howmathematicsha0000rudm/page/64 }}</ref> | |||
अंकगणित का प्रागितिहास कुछ कलाकृतियों तक सीमित है, जो जोड़ और घटाव की अवधारणा का संकेत दे सकते | |||
प्राचीनतम लिखित अभिलेखों से संकेत मिलता है कि | प्राचीनतम लिखित अभिलेखों से संकेत मिलता है कि मिस्र और बेबीलोनियों ने 2000 ईसा पूर्व से सभी प्रारंभिक अंकगणितीय क्रियाओं का उपयोग किया: जोड़, घटाव, गुणन और विभाजन। ये कलाकृतियां हमेशा समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली विशिष्ट प्रक्रिया को प्रकट नहीं करती हैं, लेकिन विशेष अंक प्रणाली की विशेषताएं विधियों की जटिलता को दृढ़ता से प्रभावित करती हैं। मिस्र के अंकों के लिए चित्रलिपि प्रणाली,बाद में रोमन अंकों की तरह, गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले गिनती अंकों से निकली थी। दोनों मामलों में, दशमलव आधार का उपयोग करने वाले मान प्राप्त हुए, लेकिन इसमें स्थितिगत संकेतन शामिल नहीं थे। रोमन अंकों के साथ जटिल गणनाओं को परिणाम प्राप्त करने के लिए एक गिनती बोर्ड (या रोमन एबाकस) की सहायता की आवश्यकता थी। | ||
प्रारंभिक संख्या प्रणाली जिसमें स्थितीय संकेतन शामिल थे, दशमलव नहीं थे, इनमें बेबीलोनियन अंकों के लिए सेक्सजेसिमल | प्रारंभिक संख्या प्रणाली जिसमें स्थितीय संकेतन शामिल थे, दशमलव नहीं थे, इनमें बेबीलोनियन अंकों के लिए सेक्सजेसिमल (आधार 60) प्रणाली और माया अंकों को परिभाषित करने वाली विजीसिमल (आधार 20) प्रणाली शामिल हैं। स्थान-मूल्य अवधारणा के कारण, विभिन्न मूल्यों के लिए समान अंकों का पुन: उपयोग करने की क्षमता ने गणना के सरल और अधिक कुशल तरीकों में योगदान दिया। | ||
आधुनिक अंकगणित का निरंतर ऐतिहासिक विकास प्राचीन ग्रीस के | आधुनिक अंकगणित का निरंतर ऐतिहासिक विकास प्राचीन ग्रीस के हेलेनिस्टिक काल के साथ शुरू होता है; यह बेबीलोन और मिस्र के उदाहरणों की तुलना में बहुत बाद में उत्पन्न हुआ। लगभग 300 ई. पू. के आसपास यूक्लिड (Euclid) के कार्यों से पहले, गणित में ग्रीक अध्ययन दार्शनिक और रहस्यमय धारणा से भरे हुए थे।। निकोमाचस इस दृष्टिकोण का एक उदाहरण है, संख्याओं के लिए पहले के पायथागोरियन दृष्टिकोण और अंकगणितीय के अपने कार्य परिचय में एक दूसरे के साथ उनके संबंधों का उपयोग करते हुए। | ||
ग्रीक अंकों का उपयोग | ग्रीक अंकों का उपयोग आर्किमिडीज, डायोफेंटस और अन्य लोगों द्वारा एक स्थितिगत संकेतन में किया गया था जो आधुनिक संकेतन से बहुत अलग नहीं है। प्राचीन यूनानियों में हेलेनिस्टिक अवधि तक शून्य के लिए एक प्रतीक का अभाव था और उन्होंने अंकों के रूप में प्रतीकों के तीन अलग -अलग सेटों इकाइयों के लिए एक सेट, दहाई के स्थान के लिए एक और सैकड़ों के लिए एक का उपयोग किया। इसी तरह हजारों स्थानों के लिए, वे इकाइयों के स्थान पर प्रतीकों का पुन: उपयोग करेंगे। उनका जोड़ एल्गोरिथ्म आधुनिक पद्धति के समान था और उनका गुणन एल्गोरिथ्म केवल थोड़ा अलग था। आर्किमिडीज़ (जिन्होंने इसका आविष्कार किया है) उनका लॉन्ग डिवीजन एल्गोरिथ्म एक ही था और अंक-दर-अंकीय वर्गमूल एल्गोरिथ्म के लिए जाना जाता था, जिसे हाल ही में 20 वीं शताब्दी के रूप में उपयोग किया जाता था। उन्होंने इसे हेरॉन की विधि के लिए अधिमानित किया क्योंकि एक बार गणना की जाने के बाद, एक अंक नहीं बदलता है और पूर्ण वर्गों के वर्गमूल जैसे कि 7485696, तुरंत 2736 के रूप में समाप्त हो जाते हैं। भिन्नात्मक भाग वाली संख्याओं के लिए जैसे कि 546.934, उन्होंने भिन्नात्मक भाग 0.934 के लिए 10 की ऋणात्मक घातांक के बजाय 60 की ऋणात्मक घातांक का उपयोग किया।<ref>''The Works of Archimedes'', Chapter IV, ''Arithmetic in Archimedes'', edited by T.L. Heath, Dover Publications Inc, New York, 2002.</ref> | ||
प्राचीन चीनी ने शांग राजवंश और तांग राजवंश के माध्यम से प्राचीन संख्याओं से उन्नत बीजगणित तक अंकगणितीय अध्ययन जारी रखा था। प्राचीन चीनी ने यूनानियों के समान एक स्थितीय संकेतन का उपयोग किया।चूँकि उनके पास शून्य के प्रतीक का भी अभाव था, इसलिए उनके पास इकाइयों के स्थान के लिए प्रतीकों का एक सेट और दहाई के स्थान के लिए दूसरा सेट था। इसी तरह सैकड़ों स्थानों के लिए, वे इकाइयों के स्थान पर प्रतीकों का पुन: उपयोग करेंगे। उनके प्रतीक प्राचीन गिनती की छड़ पर आधारित थे। सटीक समय जहां चीनी ने स्थितिगत प्रतिनिधित्व के साथ गणना शुरू की ज्ञात नही है, हालांकि यह ज्ञात है कि अपनानेकी शुरुआत 400 ईसा पूर्व से हुई थी।<ref>Joseph Needham, ''Science and Civilization in China'', Vol. 3, p. 9, Cambridge University Press, 1959.</ref> प्राचीन चीनी ऋणात्मक संख्याओं की खोज, समझने और लागू करने वाले पहले व्यक्ति थे। यह गणितीय कला (जियुझांग सुंशु (jiuzzhang suanu) पर नौ अध्यायों में समझाया गया है, जो लियू (Liu Hui) हुई द्वारा दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व में लिखी गई थी। | प्राचीन चीनी ने शांग राजवंश और तांग राजवंश के माध्यम से प्राचीन संख्याओं से उन्नत बीजगणित तक अंकगणितीय अध्ययन जारी रखा था। प्राचीन चीनी ने यूनानियों के समान एक स्थितीय संकेतन का उपयोग किया।चूँकि उनके पास शून्य के प्रतीक का भी अभाव था, इसलिए उनके पास इकाइयों के स्थान के लिए प्रतीकों का एक सेट और दहाई के स्थान के लिए दूसरा सेट था। इसी तरह सैकड़ों स्थानों के लिए, वे इकाइयों के स्थान पर प्रतीकों का पुन: उपयोग करेंगे। उनके प्रतीक प्राचीन गिनती की छड़ पर आधारित थे। सटीक समय जहां चीनी ने स्थितिगत प्रतिनिधित्व के साथ गणना शुरू की ज्ञात नही है, हालांकि यह ज्ञात है कि अपनानेकी शुरुआत 400 ईसा पूर्व से हुई थी।<ref>Joseph Needham, ''Science and Civilization in China'', Vol. 3, p. 9, Cambridge University Press, 1959.</ref> प्राचीन चीनी ऋणात्मक संख्याओं की खोज, समझने और लागू करने वाले पहले व्यक्ति थे। यह गणितीय कला (जियुझांग सुंशु (jiuzzhang suanu) पर नौ अध्यायों में समझाया गया है, जो लियू (Liu Hui) हुई द्वारा दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व में लिखी गई थी। | ||
हिंदू-अरबिक अंक प्रणाली के क्रमिक विकास ने स्वतंत्र रूप से स्थान-मूल्य अवधारणा और स्थिति संकेतन को तैयार किया, जिसने दशमलव आधार के साथ गणना के लिए सरल तरीकों को जोड़ा और 0 (संख्या) का प्रतिनिधित्व करने वाले अंक का उपयोग किया। इसने प्रणाली को लगातार बड़े और छोटे पूर्णांक दोनों का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति दी - एक दृष्टिकोण जिसने अंततः अन्य सभी प्रणालियों को बदल दिया। छठी शताब्दी ईस्वी ({{nowrap|6th century AD}}) की शुरुआत में, '''भारतीय गणितज्ञ आर्यभट्ट''' ने अपने काम में इस प्रणाली के एक मौजूदा संस्करण को शामिल किया और विभिन्न नोटेशन के साथ प्रयोग किया। 7वीं शताब्दी में, '''ब्रह्मगुप्त''' ने 0 के उपयोग को एक अलग संख्या के रूप में स्थापित किया और शून्य से विभाजन के परिणाम को छोड़कर, शून्य और अन्य सभी संख्याओं के गुणन, विभाजन, जोड़ और घटाव के लिए परिणाम निर्धारित किए। उनके समकालीन, सिरिएक बिशप सेवेरस सेबोख्त (650 ईस्वी) ने कहा, भारतीयों के पास गणना का एक तरीका है कि कोई भी शब्द प्रशस्ति नहीं कर सकता है। गणित की उनकी तर्कसंगत प्रणाली, या गणना की विधि।मेरा मतलब है कि नौ प्रतीकों का उपयोग करने वाली प्रणाली।<ref>Reference: Revue de l'Orient Chretien by François Nau pp. 327–338. (1929)</ref> अरबों ने भी इस नई विधि को सीखा और इसे हेसब (hesab) कहा। | |||
[[File:Leibniz Stepped Reckoner.png|thumb|200px|Leibniz का कदम रेकनर पहला कैलकुलेटर था जो सभी चार अंकगणित संचालन कर सकता था।]] | [[File:Leibniz Stepped Reckoner.png|thumb|200px|Leibniz का कदम रेकनर पहला कैलकुलेटर था जो सभी चार अंकगणित संचालन कर सकता था।]] | ||
यद्यपि | यद्यपि कोडेक्स विगिलनस (Codex Vigilanus) ने 976 ईस्वी तक और लियोनार्डो ऑफ पीसा ( Leonardo of Pisa (Fibonacci) द्वारा अरबी अंकों (0 को छोड़कर) के प्रारंभिक रूप का वर्णन किया था। उन्होंने लिखा कि भारतीयों की पद्धति (लैटिन मॉडस इंडोरम) गणना करने की किसी भी ज्ञात विधि से आगे है। यह एक अद्भुत तरीका है।वे नौ अंकों और प्रतीक शून्य का उपयोग करके अपनी गणना करते हैं।<ref>Reference: Sigler, L., "Fibonacci's Liber Abaci", Springer, 2003.</ref> | ||
मध्य युग में, अंकगणित विश्वविद्यालयों में सिखाई गई सात उदार कलाओं में से एक था। | मध्य युग में, अंकगणित विश्वविद्यालयों में सिखाई गई सात उदार कलाओं में से एक था। | ||
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मध्ययुगीन इस्लामी दुनिया में बीजगणित और पुनर्जागरण यूरोप में भी, दशमलव अंकन के माध्यम से गणना के व्यापक सरलीकरण की एक वृद्धि थी। | मध्ययुगीन इस्लामी दुनिया में बीजगणित और पुनर्जागरण यूरोप में भी, दशमलव अंकन के माध्यम से गणना के व्यापक सरलीकरण की एक वृद्धि थी। | ||
विभिन्न प्रकार के उपकरणों का आविष्कार किया गया है और व्यापक रूप से संख्यात्मक गणना में सहायता करने के लिए उपयोग किया गया है। ।पुनर्जागरण से पहले, वे विभिन्न प्रकार के | विभिन्न प्रकार के उपकरणों का आविष्कार किया गया है और व्यापक रूप से संख्यात्मक गणना में सहायता करने के लिए उपयोग किया गया है। ।पुनर्जागरण से पहले, वे विभिन्न प्रकार के ABACI थे। हाल के उदाहरणों में स्लाइड नियम, नोमोग्राम और यांत्रिक कैलकुलेटर शामिल हैं, जैसे पास्कल के कैलकुलेटर। वर्तमान में, उन्हें इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर और कंप्यूटर द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। | ||
== अंकगणितीय संचालन == | == अंकगणितीय संचालन == | ||
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किसी भी मामले में, यदि Minuend और Subtrahend समान हैं, तो अंतर {{math|''D'' {{=}} 0.}} | किसी भी मामले में, यदि Minuend और Subtrahend समान हैं, तो अंतर {{math|''D'' {{=}} 0.}} | ||
घटाव न तो क्रमविनिमेय है और न ही सहयोगी है। इस कारण से, आधुनिक बीजगणित में इस उलटा संचालन के निर्माण को अक्सर उलटा तत्वों की अवधारणा को पेश करने के पक्ष में छोड़ दिया जाता है (जैसा कि जोड़ के तहत स्केच किया गया है ), जहां घटाव को सबट्रेंड के योगात्मक व्युत्क्रम को मिन्यूएंड में जोड़ने के रूप में माना जाता है, अर्थात्, {{math|''a'' − ''b'' {{=}} ''a'' + (−''b'')}}। घटाव के द्विआधारी संक्रिया को छोड़ने की तत्काल कीमत (तुच्छ) | घटाव न तो क्रमविनिमेय है और न ही सहयोगी है। इस कारण से, आधुनिक बीजगणित में इस उलटा संचालन के निर्माण को अक्सर उलटा तत्वों की अवधारणा को पेश करने के पक्ष में छोड़ दिया जाता है (जैसा कि जोड़ के तहत स्केच किया गया है ), जहां घटाव को सबट्रेंड के योगात्मक व्युत्क्रम को मिन्यूएंड में जोड़ने के रूप में माना जाता है, अर्थात्, {{math|''a'' − ''b'' {{=}} ''a'' + (−''b'')}}। घटाव के द्विआधारी संक्रिया को छोड़ने की तत्काल कीमत (तुच्छ) यूनरी ऑपरेशन (unary operation) की शुरूआत है, जो किसी भी दिए गए संख्या के लिए योगात्मक प्रतिलोम को वितरित करता है, और अंतर की धारणा तक तत्काल ऐक्सेस खो देता है, जो कि ऋणात्मक तर्क शामिल होने पर संभावित रूप से भ्रामक कर देता है । | ||
संख्याओं के किसी भी प्रतिनिधित्व के लिए, परिणामों की गणना करने के तरीके हैं, जिनमें से कुछ विशेष रूप से प्रक्रियाओं का उपयोग करने में हैं, जो एक ऑपरेशन के लिए मौजूद हैं, छोटे परिवर्तन द्वारा दूसरों के लिए भी फायदेमंद हैं। उदाहरण के लिए, डिजिटल कंप्यूटर मौजूदा जोड़-प्रक्रिया का पुन: उपयोग कर सकते हैं और एक घटा को लागू करने के लिए अतिरिक्त सर्किटों को बचा सकते हैं, योगात्मक प्रतिलोम का प्रतिनिधित्व करने के लिए दो के पूरक की विधि को नियोजित कर हार्डवेयर (नकारात्मक) में लागू करना बेहद आसान है। ट्रेड-ऑफ एक निश्चित शब्द लंबाई के लिए संख्या सीमा का आधा हिस्सा है। | संख्याओं के किसी भी प्रतिनिधित्व के लिए, परिणामों की गणना करने के तरीके हैं, जिनमें से कुछ विशेष रूप से प्रक्रियाओं का उपयोग करने में हैं, जो एक ऑपरेशन के लिए मौजूद हैं, छोटे परिवर्तन द्वारा दूसरों के लिए भी फायदेमंद हैं। उदाहरण के लिए, डिजिटल कंप्यूटर मौजूदा जोड़-प्रक्रिया का पुन: उपयोग कर सकते हैं और एक घटा को लागू करने के लिए अतिरिक्त सर्किटों को बचा सकते हैं, योगात्मक प्रतिलोम का प्रतिनिधित्व करने के लिए दो के पूरक की विधि को नियोजित कर हार्डवेयर (नकारात्मक) में लागू करना बेहद आसान है। ट्रेड-ऑफ एक निश्चित शब्द लंबाई के लिए संख्या सीमा का आधा हिस्सा है। | ||
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डिवीजन न तो क्रमविनिमेय है और न ही साहचर्य। इसलिए जैसा कि घटाव में बताया गया है, आधुनिक बीजगणित में विभाजन के निर्माण को गुणन के संबंध में व्युत्क्रम तत्वों के निर्माण के पक्ष में छोड़ दिया जाता है, जैसा कि गुणन में पेश किया गया है। इसलिए विभाजक पारस्परिक कारकों के रूप में विभाजन के लाभांश का गुणन है, अर्थात्, {{math|''a'' ÷ ''b'' {{=}} ''a'' × {{sfrac|1|''b''}}.}}। | डिवीजन न तो क्रमविनिमेय है और न ही साहचर्य। इसलिए जैसा कि घटाव में बताया गया है, आधुनिक बीजगणित में विभाजन के निर्माण को गुणन के संबंध में व्युत्क्रम तत्वों के निर्माण के पक्ष में छोड़ दिया जाता है, जैसा कि गुणन में पेश किया गया है। इसलिए विभाजक पारस्परिक कारकों के रूप में विभाजन के लाभांश का गुणन है, अर्थात्, {{math|''a'' ÷ ''b'' {{=}} ''a'' × {{sfrac|1|''b''}}.}}। | ||
प्राकृतिक संख्याओं के भीतर, एक अलग धारणा भी है जिसे | प्राकृतिक संख्याओं के भीतर, एक अलग धारणा भी है जिसे यूक्लिडियन डिवीजन ( Euclidean division) कहा जाता है, जो एक प्राकृतिक D (डेनोमिनेटर) द्वारा एक प्राकृतिक N (नयूमेटर) को डीविडिंग करने के बाद दो संख्याओं का उत्पादन करता है : पहले एक प्राकृतिक {{mvar|Q}} (भागफल), और दूसरा एक प्राकृतिक {{mvar|R}} (रिमैन्डर) जैसे कि {{math|''N'' {{=}} ''D''×''Q'' + ''R''}} तथा {{math|0 ≤ ''R'' < ''Q''.}} | ||
कंप्यूटर प्रोग्रामिंग और उन्नत अंकगणित सहित कुछ संदर्भों में, विभाजन को शेष के लिए एक और आउटपुट के साथ बढ़ाया जाता है। यह अक्सर एक अलग ऑपरेशन के रूप में माना जाता है, | कंप्यूटर प्रोग्रामिंग और उन्नत अंकगणित सहित कुछ संदर्भों में, विभाजन को शेष के लिए एक और आउटपुट के साथ बढ़ाया जाता है। यह अक्सर एक अलग ऑपरेशन के रूप में माना जाता है, मोडुलो ऑपरेशन(Modulo operation), <math>%</math>प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है या शब्द <math>mod</math>, हालांकि कभी-कभी एक "डिवमॉड" ऑपरेशन के लिए दूसरा आउटपुट होता है।<ref>{{cite web |title=Python divmod() Function |url=https://www.w3schools.com/python/ref_func_divmod.asp |website=W3Schools |publisher=Refsnes Data |access-date=2021-03-13}}</ref> मॉड्यूलर अंकगणित में विभिन्न प्रकार के उपयोग के मामले हैं। विभाजन के विभिन्न कार्यान्वयन (फ़्लोर्ड, ट्रंक्टेड, यूक्लिडियन आदि) मापांक के विभिन्न कार्यान्वयन के अनुरूप हैं। | ||
== अंकगणित का मौलिक प्रमेय == | == अंकगणित का मौलिक प्रमेय == | ||
{{main|Fundamental theorem of arithmetic}} | {{main|Fundamental theorem of arithmetic}} | ||
अंकगणितीय का '''मूल प्रमेय (fundamental theorem) | अंकगणितीय का '''मूल प्रमेय''' (fundamental theorem) कहता है कि 1 से अधिक किसी भी पूर्णांक में एक अद्वितीय अभाज्य गुणनखंड (प्रमुख कारकों के उत्पाद के रूप में एक संख्या का प्रतिनिधित्व) होता है, जिसमें कारकों के क्रम को शामिल नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, 252 में केवल एक प्रमुख कारक है: | ||
: 252 = 2{{sup|2}} × 3{{sup|2}} × 7{{sup|1}} | : 252 = 2{{sup|2}} × 3{{sup|2}} × 7{{sup|1}} | ||
यूक्लिड के तत्वों (Euclid's Elements) ने पहले इस प्रमेय को पेश किया, और एक आंशिक प्रमाण दिया (जिसे यूक्लिड का प्रमेयिका कहा जाता है)। अंकगणित का मूल प्रमेय पहले कार्ल फ्रेडरिक गॉस (Carl Friedrich Gauss) द्वारा सिद्ध किया गया था। | |||
अंकगणित की मूल प्रमेय एक कारण है कि 1 को एक प्रमुख संख्या क्यों नहीं माना जाता है। अन्य कारणों में एराटोस्टेनेस की सीव शामिल है, और एक अभाज्य संख्या की परिभाषा स्वयं (1 से अधिक एक प्राकृतिक संख्या है जो दो छोटी प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करके नहीं बनाई जा सकती है।)। | अंकगणित की मूल प्रमेय एक कारण है कि 1 को एक प्रमुख संख्या क्यों नहीं माना जाता है। अन्य कारणों में एराटोस्टेनेस की सीव शामिल है, और एक अभाज्य संख्या की परिभाषा स्वयं (1 से अधिक एक प्राकृतिक संख्या है जो दो छोटी प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करके नहीं बनाई जा सकती है।)। | ||
== दशमलव अंकगणित == | == दशमलव अंकगणित == | ||
दशमलव प्रतिनिधित्व (Decimal representation) विशेष रूप से, सामान्य उपयोग में, अरबी अंकों को मूलांक 10 ("दशमलव") स्थितीय संकेतन के अंकों के रूप में नियोजित करने वाली लिखित अंक प्रणाली को संदर्भित करता है हालांकि 10 की शक्तियों के आधार पर किसी भी अंक प्रणाली जैसे ग्रीक, सिरिलिक, रोमन, या चीनी अंकों को अवधारणात्मक रूप से | दशमलव प्रतिनिधित्व (Decimal representation) विशेष रूप से, सामान्य उपयोग में, अरबी अंकों को मूलांक 10 ("दशमलव") स्थितीय संकेतन के अंकों के रूप में नियोजित करने वाली लिखित अंक प्रणाली को संदर्भित करता है हालांकि 10 की शक्तियों के आधार पर किसी भी अंक प्रणाली जैसे ग्रीक, सिरिलिक, रोमन, या चीनी अंकों को अवधारणात्मक रूप से "दशमलव संकेतन" या "दशमलव प्रतिनिधित्व" के रूप में वर्णित किया जा सकता है। | ||
चार मूलभूत क्रियाओं के लिए आधुनिक पद्धतियां | चार मूलभूत क्रियाओं के लिए आधुनिक पद्धतियां (जोड़, घटाव, गुणा और भाग) पहले भारत के '''ब्रह्मगुप्त''' द्वारा बनाई गई थीं। यह मध्ययुगीन यूरोप के दौरान मोडस इंडोरम या भारतीयों की विधि के रूप में जाना जाता था। स्थितीय संकेतन ("स्थान-मूल्य संकेतन" के रूप में भी जाना जाता है) परिमाण के विभिन्न आदेशों के लिए एक ही प्रतीक का उपयोग करके संख्याओं के प्रतिनिधित्व या संकेतीकरण (encoding) को संदर्भित करता है (उदाहरण के लिए, "इकाई स्थान", "दस स्थान", "सैकड़ों स्थान") और, एक मूलांक बिंदु के साथ, भिन्नों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उन्हीं प्रतीकों का उपयोग करते हुए (जैसे, "दसवां स्थान", "सौवां स्थान")। उदाहरण के लिए, 507.36 5 सौ (102), प्लस 0 दहाई (101), प्लस 7 यूनिट (100), प्लस 3 दसवां (10-1) प्लस 6 सौवां (10-2) को दर्शाता है। | ||
अन्य | अन्य मूल अंकों की तुलना में एक संख्या के रूप में 0 की अवधारणा इस संकेतन के लिए आवश्यक है, जैसा कि प्लेसहोल्डर (placeholder) के रूप में 0 के उपयोग की अवधारणा है, और जैसा कि 0 के साथ गुणा और जोड़ की परिभाषा है। एक प्लेसहोल्डर के रूप में 0 का उपयोग 13 वीं शताब्दी के प्रारंभ में सबसे पहले भारत से जैन पाठ में सत्यापित किया गया है जिसका शीर्षक था लोकवीब हौज, दिनांक 458 ईस्वी और अरबी दुनिया की छात्रवृत्ति, हिंदू-अरबी अंक प्रणाली फिबोनाची द्वारा यूरोप में पेश की गई थी।<ref>[https://www.britannica.com/eb/article-4153/Leonardo-Pisano Leonardo Pisano – p. 3: "Contributions to number theory"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080617154015/https://www.britannica.com/eb/article-4153/Leonardo-Pisano |date=2008-06-17 }}. ''[[Encyclopædia Britannica]]'' Online, 2006. Retrieved 18 September 2006.</ref> | ||
इस प्रकार के लिखित अंक का उपयोग करके अंकगणित | इस प्रकार के लिखित अंक का उपयोग करके अंकगणित गणना करने के लिए एल्गोरिज्म (Algorism) में सभी नियम शामिल हैं। उदाहरण के लिए, जोड़ दो मनमानी संख्याओं का योग पैदा करता है। परिणाम की गणना प्रत्येक संख्या से एकल अंकों के बार -बार जोड़ द्वारा की जाती है जो एक ही स्थिति में होती है, दाएं से बाएं तक आगे बढ़ती है। दस पंक्तियों और दस कॉलम के साथ एक जोड़ तालिका प्रत्येक योग के लिए सभी संभावित मान प्रदर्शित करती है। यदि कोई व्यक्तिगत योग मान 9 से अधिक है, तो परिणाम दो अंकों के साथ दर्शाया जाता है। सबसे दाहिना अंक वर्तमान स्थिति का मान है, और अंक के बाद के अतिरिक्त जोड़ के लिए परिणाम दूसरे (बाईं ओर) अंक के मान से बढ़ जाता है, जो हमेशा एक होता है (यदि शून्य नहीं है)। इस समायोजन को मान 1 का एक कैरी (carry) कहा जाता है। | ||
दो मनमानी संख्याओं को गुणा करने की प्रक्रिया | दो मनमानी संख्याओं को गुणा करने की प्रक्रिया जोड़ की प्रक्रिया के समान है। दस पंक्तियों और दस स्तंभों के साथ एक गुणन तालिका अंकों के प्रत्येक जोड़े के लिए परिणामों को सूचीबद्ध करती है। यदि अंकों की एक जोड़ी का एक व्यक्तिगत उत्पाद 9 से अधिक हो जाता है, तो कैरी समायोजन किसी भी बाद के गुणा के परिणाम को अंकों से दूसरे (बाएं) अंक के बराबर मान द्वारा बाईं ओर बढ़ाता है, जो कि कोई भी मान है {{nowrap|1 to 8}} ({{math|9 × 9 {{=}} 81}})। अतिरिक्त चरण अंतिम परिणाम को परिभाषित करते हैं। | ||
घटाव और विभाजन के लिए इसी तरह की तकनीकें मौजूद हैं। | घटाव और विभाजन के लिए इसी तरह की तकनीकें मौजूद हैं। | ||
गुणा के लिए एक सही प्रक्रिया का निर्माण आसन्न अंकों के मूल्यों के बीच संबंध पर निर्भर करता | गुणा के लिए एक सही प्रक्रिया का निर्माण आसन्न अंकों के मूल्यों के बीच संबंध पर निर्भर करता है। एक अंक में किसी भी एकल अंक का मूल्य इसकी स्थिति पर निर्भर करता है। इसके अलावा, बाईं ओर की प्रत्येक स्थिति दाईं ओर की स्थिति से दस गुना अधिक मूल्य का प्रतिनिधित्व करती है। गणितीय शब्दों में, 10 के मूलांक (आधार) का घातांक 1 (बाईं ओर) बढ़ जाता है या 1 (दाईं ओर) घट जाता है। इसलिए, किसी भी मनमाना अंक के लिए मान को पूर्णांक n के साथ फॉर्म 10n के मान से गुणा किया जाता है। एक अंक के लिए सभी संभावित स्थितियों के अनुरूप मानों की सूची {..., 102, 10, 1, 10−1, 10−2, ...} के रूप में लिखी जाती है। | ||
इस सूची में किसी भी | |||
इस सूची में किसी भी मान का बार-बार गुणा 10 सूची में एक और मूल्य का उत्पादन करता है। गणितीय शब्दावली में, इस विशेषता को बंद करने के रूप में परिभाषित किया गया है, और पिछली सूची को गुणा के तहत बंद के रूप में वर्णित किया गया है। यह पिछली तकनीक का उपयोग करके गुणन के परिणामों को सही ढंग से खोजने का आधार है। यह परिणाम संख्या सिद्धांत के उपयोग का एक उदाहरण है। | |||
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