अंकगणित: Difference between revisions

'''अंकगणित''' (प्राचीन ग्रीक से लघुगणक, संख्या, कला और शिल्प) गणित का एक प्रारंभिक भाग है जिसमें संख्याओं पर पारंपरिक संचालन के गुण - जोड़, घटाव, गुणा, भाग, घातांक और जड़ों का निष्कर्षण जैसे अध्ययन शामिल है। 19 वीं शताब्दी में, इतालवी गणितज्ञ ग्यूसेप पीनो (Giuseppe Peano) ने अपने पीनो स्वयंसिद्धों (Peano axioms) के साथ अंकगणित को औपचारिक रूप दिया, जो आज गणितीय तर्क के क्षेत्र के लिए अत्यधिक महत्वपूर्ण हैं।

अंकगणित का प्रागितिहास कुछ कलाकृतियों तक सीमित है, जो जोड़ और घटाव की अवधारणा का संकेत दे सकते हैं। <ref>{{cite book |last=Rudman |first=Peter Strom |title=How Mathematics Happened: The First 50,000 Years |year=2007 |publisher=Prometheus Books |isbn=978-1-59102-477-4 |page=[https://archive.org/details/howmathematicsha0000rudm/page/64 64] |url=https://archive.org/details/howmathematicsha0000rudm/page/64 }}</ref>

प्राचीनतम लिखित अभिलेखों से संकेत मिलता है कि मिस्र और बेबीलोनियों ने 2000 ईसा पूर्व से सभी प्रारंभिक अंकगणितीय क्रियाओं का उपयोग किया: जोड़, घटाव, गुणन और विभाजन। ये कलाकृतियां हमेशा समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली विशिष्ट प्रक्रिया को प्रकट नहीं करती हैं, लेकिन विशेष अंक प्रणाली की विशेषताएं विधियों की जटिलता को दृढ़ता से प्रभावित करती हैं। मिस्र के अंकों के लिए चित्रलिपि प्रणाली,बाद में रोमन अंकों की तरह, गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले  गिनती अंकों से निकली थी। दोनों मामलों में, दशमलव आधार का उपयोग करने वाले मान प्राप्त हुए, लेकिन इसमें स्थितिगत संकेतन शामिल नहीं थे। रोमन अंकों के साथ जटिल गणनाओं को परिणाम प्राप्त करने के लिए एक गिनती बोर्ड (या रोमन एबाकस) की सहायता की आवश्यकता थी।

प्रारंभिक संख्या प्रणाली जिसमें स्थितीय संकेतन शामिल थे, दशमलव नहीं थे, इनमें बेबीलोनियन अंकों के लिए सेक्सजेसिमल (आधार 60) प्रणाली और माया अंकों को परिभाषित करने वाली विजीसिमल (आधार 20) प्रणाली शामिल हैं। स्थान-मूल्य अवधारणा के कारण, विभिन्न मूल्यों के लिए समान अंकों का पुन: उपयोग करने की क्षमता ने गणना के सरल और अधिक कुशल तरीकों में योगदान दिया।

आधुनिक अंकगणित का निरंतर ऐतिहासिक विकास प्राचीन ग्रीस के हेलेनिस्टिक काल के साथ शुरू होता है; यह बेबीलोन और मिस्र के उदाहरणों की तुलना में बहुत बाद में उत्पन्न हुआ। लगभग 300 ई. पू. के आसपास यूक्लिड (Euclid) के कार्यों से पहले, गणित में ग्रीक अध्ययन दार्शनिक और रहस्यमय धारणा से भरे हुए थे।। निकोमाचस इस दृष्टिकोण का एक उदाहरण है, संख्याओं के लिए पहले के पायथागोरियन दृष्टिकोण और अंकगणितीय के अपने कार्य परिचय में एक दूसरे के साथ उनके संबंधों का उपयोग करते हुए।

ग्रीक अंकों का उपयोग आर्किमिडीज, डायोफेंटस और अन्य लोगों द्वारा एक स्थितिगत संकेतन में किया गया था जो आधुनिक संकेतन से बहुत अलग नहीं है। प्राचीन यूनानियों में हेलेनिस्टिक अवधि तक शून्य के लिए एक प्रतीक का अभाव था और उन्होंने अंकों के रूप में प्रतीकों के तीन अलग -अलग सेटों इकाइयों के लिए एक सेट, दहाई के स्थान के लिए एक और सैकड़ों के लिए एक का उपयोग किया। इसी तरह हजारों स्थानों के लिए, वे इकाइयों के स्थान पर प्रतीकों का पुन: उपयोग करेंगे। उनका जोड़ एल्गोरिथ्म आधुनिक पद्धति के समान था और उनका गुणन एल्गोरिथ्म केवल थोड़ा अलग था। आर्किमिडीज़ (जिन्होंने इसका आविष्कार किया है) उनका लॉन्ग डिवीजन एल्गोरिथ्म एक ही था और अंक-दर-अंकीय वर्गमूल एल्गोरिथ्म के लिए जाना जाता था, जिसे हाल ही में 20 वीं शताब्दी के रूप में उपयोग किया जाता था। उन्होंने इसे हेरॉन की विधि के लिए अधिमानित किया क्योंकि एक बार गणना की जाने के बाद, एक अंक नहीं बदलता है और पूर्ण वर्गों के वर्गमूल जैसे कि 7485696, तुरंत 2736 के रूप में समाप्त हो जाते हैं। भिन्नात्मक भाग वाली संख्याओं के लिए जैसे कि 546.934, उन्होंने  भिन्नात्मक भाग  0.934 के लिए 10 की ऋणात्मक घातांक के बजाय 60 की  ऋणात्मक घातांक का उपयोग किया।<ref>''The Works of Archimedes'', Chapter IV, ''Arithmetic in Archimedes'', edited by T.L. Heath, Dover Publications Inc, New York, 2002.</ref>

हिंदू-अरबिक अंक प्रणाली के क्रमिक विकास ने स्वतंत्र रूप से स्थान-मूल्य अवधारणा और स्थिति संकेतन को तैयार किया, जिसने दशमलव आधार के साथ गणना के लिए सरल तरीकों को जोड़ा और 0 (संख्या) का प्रतिनिधित्व करने वाले अंक का उपयोग किया। इसने प्रणाली को लगातार बड़े और छोटे पूर्णांक दोनों का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति दी - एक दृष्टिकोण जिसने अंततः अन्य सभी प्रणालियों को बदल दिया। छठी शताब्दी ईस्वी ({{nowrap|6th century AD}}) की शुरुआत में, '''भारतीय गणितज्ञ आर्यभट्ट''' ने अपने काम में इस प्रणाली के एक मौजूदा संस्करण को शामिल किया और विभिन्न नोटेशन के साथ प्रयोग किया। 7वीं शताब्दी में, '''ब्रह्मगुप्त''' ने 0 के उपयोग को एक अलग संख्या के रूप में स्थापित किया और शून्य से विभाजन के परिणाम को छोड़कर, शून्य और अन्य सभी संख्याओं के गुणन, विभाजन, जोड़ और घटाव के लिए परिणाम निर्धारित किए। उनके समकालीन, सिरिएक बिशप सेवेरस सेबोख्त (650 ईस्वी) ने कहा, भारतीयों के पास गणना का एक तरीका है कि कोई भी शब्द प्रशस्ति नहीं कर सकता है। गणित की उनकी तर्कसंगत प्रणाली, या गणना की विधि।मेरा मतलब है कि नौ प्रतीकों का उपयोग करने वाली प्रणाली।<ref>Reference: Revue de l'Orient Chretien by François Nau pp. 327–338. (1929)</ref> अरबों ने भी इस नई विधि को सीखा और इसे हेसब (hesab) कहा।

यद्यपि कोडेक्स विगिलनस (Codex Vigilanus) ने 976 ईस्वी तक और लियोनार्डो ऑफ पीसा ( Leonardo of Pisa (Fibonacci) द्वारा अरबी अंकों (0 को छोड़कर) के प्रारंभिक रूप का वर्णन किया था। उन्होंने लिखा कि भारतीयों की पद्धति (लैटिन मॉडस इंडोरम) गणना करने की किसी भी ज्ञात विधि से आगे है। यह एक अद्भुत तरीका है।वे नौ अंकों और प्रतीक शून्य का उपयोग करके अपनी गणना करते हैं।<ref>Reference: Sigler, L., "Fibonacci's Liber Abaci", Springer, 2003.</ref>

विभिन्न प्रकार के उपकरणों का आविष्कार किया गया है और व्यापक रूप से संख्यात्मक गणना में सहायता करने के लिए उपयोग किया गया है। ।पुनर्जागरण से पहले, वे विभिन्न प्रकार के ABACI थे। हाल के उदाहरणों में स्लाइड नियम, नोमोग्राम और यांत्रिक कैलकुलेटर शामिल हैं, जैसे पास्कल के कैलकुलेटर। वर्तमान में, उन्हें इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर और कंप्यूटर द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।

जोड़, '''<math>+</math>''' प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है, अंकगणित का सबसे बुनियादी संचालन है।अपने सरल रूप में, जोड़ दो संख्याओं को जोड़ता है, जोड़ या पद, एक ही संख्या में, संख्याओं का योग (जैसे) {{math|2 + 2 {{=}} 4}} या {{math|3 + 5 {{=}} 8}})।

जोड़ क्रमविनिमेय और सहयोगी है, इसलिए जिस क्रम में परिमित रूप से कई शब्दों को जोड़ा जाता है, वह मायने नहीं रखता है।

संख्या 0 में वह गुण होता है, जो किसी भी संख्या में जोड़ने पर वही संख्या प्राप्त करता है; तो, यह जोड़ का मूल तत्व है, या योगात्मक समानता है।

हर संख्या के लिए {{mvar|x}}, एक संख्या है जिसे x के विपरीत कहा जाता है, जैसे कि x + (-x) = 0 और (-x) + x = 0। x का विपरीत x का व्युत्क्रम है। उदाहरण के लिए, 7 का विपरीत −7 है, क्योंकि 7 + (−7) = 0 है।

जोड़ की व्याख्या ज्यामितीय रूप से भी की जा सकती है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में है। यदि हमारे पास लंबाई 2 और 5 की दो छड़ें हैं तो, यदि छड़ें एक के बाद एक संरेखित की जाती हैं, तो संयुक्त छड़ी की लंबाई 7 हो जाती है, चूंकि {{math|2 + 5 {{=}} 7}}।

घटाव, '''<math>-</math>''' प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है, इसके अलावा जोड़ के विपरीत  क्रिया है। घटाव दो संख्याओं के बीच का अंतर पाता है, मिनूएंड माइनस द सबट्रहेंड: {{math|''D'' {{=}} ''M'' − ''S''.}} पहले से स्थापित जोड़ का सहारा लेते हुए, यह कहना है कि अंतर वह संख्या है जो, जब सबट्रेंड (subtrahend) में जोड़ा जाता है, तो परिणाम होता है: {{math|''D'' + ''S'' {{=}} ''M''.}}<ref name=":1">{{cite encyclopedia |title=Arithmetic |url=https://www.britannica.com/science/arithmetic |encyclopedia=[[Encyclopedia Britannica]] |language=en |access-date=2020-08-25}}</ref>

सकारात्मक तर्कों के लिए {{mvar|M}} तथा {{mvar|S}} होल्ड्स करता है:

घटाव न तो क्रमविनिमेय है और न ही सहयोगी है। इस कारण से, आधुनिक बीजगणित में इस उलटा संचालन के निर्माण को अक्सर उलटा तत्वों की अवधारणा को पेश करने के पक्ष में छोड़ दिया जाता है (जैसा कि  जोड़ के तहत स्केच किया गया है ), जहां घटाव को सबट्रेंड के योगात्मक व्युत्क्रम को मिन्यूएंड में जोड़ने के रूप में माना जाता है, अर्थात्, {{math|''a'' − ''b'' {{=}} ''a'' + (−''b'')}}। घटाव के द्विआधारी संक्रिया को छोड़ने की तत्काल कीमत (तुच्छ) यूनरी ऑपरेशन (unary operation) की शुरूआत है, जो किसी भी दिए गए संख्या के लिए योगात्मक प्रतिलोम को वितरित करता है, और अंतर की धारणा तक तत्काल ऐक्सेस खो देता है, जो कि ऋणात्मक तर्क शामिल होने पर संभावित रूप से भ्रामक कर देता है ।

संख्याओं के किसी भी प्रतिनिधित्व के लिए, परिणामों की गणना करने के तरीके हैं, जिनमें से कुछ विशेष रूप से प्रक्रियाओं का उपयोग करने में हैं, जो एक ऑपरेशन के लिए मौजूद हैं, छोटे परिवर्तन द्वारा दूसरों के लिए भी फायदेमंद हैं। उदाहरण के लिए, डिजिटल कंप्यूटर मौजूदा जोड़-प्रक्रिया का पुन: उपयोग कर सकते हैं और एक घटा को लागू करने के लिए अतिरिक्त सर्किटों को बचा सकते हैं, योगात्मक प्रतिलोम का प्रतिनिधित्व करने के लिए दो के पूरक की विधि को नियोजित कर हार्डवेयर (नकारात्मक) में लागू करना बेहद आसान है। ट्रेड-ऑफ एक निश्चित शब्द लंबाई के लिए संख्या सीमा का आधा हिस्सा है।

 

सही परिवर्तन राशि प्राप्त करने के लिए एक पूर्व व्यापक विधि, देय और दी गई राशि को जानने, गणना करने की विधि है, जो स्पष्ट रूप से अंतर के मूल्य को उत्पन्न नहीं करती है।मान लीजिए कि एक राशि P आवश्यक राशि Q का भुगतान करने के लिए दी गई है, जिसमें P, Q से अधिक है। स्पष्ट रूप से घटाव P - Q = C का प्रदर्शन करने और उस राशि की गणना करने के बजाय, पैसे को q के  उत्तरवर्ती के साथ शुरू करके, और मुद्रा के चरणों में जारी रखा जाता है, जब तक p तक पहुंच जाता है। यद्यपि गिनती की गई राशि को घटाव p - q के परिणाम के बराबर होना चाहिए, घटाव वास्तव में कभी नहीं किया गया था और p - q का मूल्य इस विधि द्वारा प्रदान नहीं किया जाता है।

गुणा, <math>\times</math> प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है,अंकगणित का दूसरा मूल संचालन है। गुणन भी दो संख्याओं को एक ही संख्या में जोड़ता है। दो मूल संख्याओं को '''गुणक''' कहा जाता है, ज्यादातर दोनों को केवल घटक कहा जाता है।

गुणन को स्केलिंग ऑपरेशन के रूप में देखा जा सकता है। यदि संख्याओं की कल्पना एक पंक्ति में पड़ी है तो मान लीजिए x 1 से कम संख्या से गुणा है, सब कुछ समान रूप से 0 से दूर खींचने के समान है, इस तरह से संख्या 1 स्वयं उस स्थान तक फैली हुई है जहां x था। इसी तरह,1 से कम संख्या से गुणा करने की कल्पना 0 की जा सकती है, इस तरह से कि 1 गुणक में जाता है।

पूर्णांक संख्याओं के गुणन पर एक और दृष्टिकोण (परिमेय के लिए विस्तार योग्य लेकिन वास्तविक संख्याओं के लिए बहुत सुलभ नहीं) इसे बार-बार जोड़ के रूप में माना जाता है। उदाहरण के लिए, 3 x 4 एक ही परिणाम देते हुए 3 गुना 4, या 4 गुना 3 जोड़ने से मेल खाता है। गणित शिक्षा में इन प्रतिमानों की लाभप्रदता पर अलग -अलग मत हैं।

गुणन क्रमविनिमेय और सहयोगी है इसके अलावा, यह जोड़ और घटाव पर वितरणात्मक है। गुणनात्मक पहचान 1 है, क्योंकि किसी भी संख्या को 1 से गुणा करने पर वही संख्या प्राप्त होती है। 0 को छोड़कर किसी भी संख्या के लिए गुणक व्युत्क्रम इस संख्या का पारस्परिक है, क्योंकि किसी भी संख्या के पारस्परिक को संख्या से गुणा करने से स्वयं गुणक पहचान 1 प्राप्त होती है। 0 एक गुणनात्मक प्रतिलोम के बिना एकमात्र संख्या है, और किसी भी संख्या और 0 को गुणा करने का परिणाम फिर से 0 है। एक कहता है कि 0 संख्याओं के गुणन समूह में शामिल नहीं है।  

a और b के गुणनफल को a × b या a·b . के रूप में लिखा जाता है। जब a या b ऐसे व्यंजक होते हैं जो केवल अंकों के साथ नहीं लिखे जाते हैं, तो इसे सरल ab द्वारा भी लिखा जाता है। कंप्यूटर प्रोग्रामिंग भाषाओं और सॉफ्टवेयर पैकेजों में (जिसमें कोई केवल एक कीबोर्ड पर पाए जाने वाले वर्णों का उपयोग कर सकता है), यह अक्सर यह अक्सर एक एस्टरिस्क: a * b के साथ लिखा जाता है।

संख्याओं के विभिन्न निरूपण के लिए गुणन के संचालन को लागू करने वाले एल्गोरिदम इसके अलावा उन लोगों की तुलना में कहीं अधिक महंगा और श्रमसाध्य हैं। मैनुअल गणना के लिए सुलभ कारकों को एकल मानों में विभाजित करने और बार-बार जोड़ने पर, या टेबल या स्लाइड नियमों को नियोजित करने पर निर्भर करते हैं, जिससे गुणन को जोड़ और इसके विपरीत में मैप किया जाता है।ये विधियाँ पुरानी हैं और धीरे -धीरे मोबाइल उपकरणों से बदल रहे हैं। कंप्यूटर अपने सिस्टम में समर्थित विभिन्न संख्या स्वरूपों के लिए गुणा और विभाजन को लागू करने के लिए विविध परिष्कृत और उच्च अनुकूलित एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं।