विभेदक वक्र: Difference between revisions
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{{short description|Study of curves from a differential point of view}} | {{short description|Study of curves from a differential point of view}} | ||
{{About|यूक्लिडियन | {{About|यूक्लिडियन क्षेत्र में वक्र|एकपक्षीय टोपोलॉजिकल दूरी में वक्र|वक्र}} | ||
[[वक्र]] की विभेदक [[ज्यामिति]], ज्यामिति की वह शाखा है जो [[अंतर कलन]] और [[अभिन्न]] के तरीकों से [[यूक्लिडियन विमान|यूक्लिडियन समतल]] और यूक्लिडियन | [[वक्र]] की विभेदक [[ज्यामिति]], ज्यामिति की वह शाखा है जो [[अंतर कलन]] और [[अभिन्न|समाकलन]] के तरीकों से [[यूक्लिडियन विमान|यूक्लिडियन समतल]] और यूक्लिडियन दूरी(गणित) तथा वक्रों से संबंधित है। | ||
[[सिंथेटिक ज्यामिति]] का उपयोग करके कई [[वक्रों की सूची]] की पूरी तरह से जांच की गई है। [[विभेदक ज्यामिति]] एक | [[सिंथेटिक ज्यामिति|कृत्रिम ज्यामिति]] का उपयोग करके कई [[वक्रों की सूची]] की पूरी तरह से जांच की गई है। [[विभेदक ज्यामिति]] एक अन्य पद्धति अपनाती है, वक्र किसी [[पैरामीट्रिक समीकरण|प्राचल समीकरण]] में दर्शाया जाता है, और उनके ज्यामितीय गुण और उनसे जुड़ी विभिन्न मात्राएँ, जैसे कि [[वक्रता]] और चाप की लंबाई, [[वेक्टर पथरी|सदिश गणना]] का उपयोग करके [[यौगिक|अभिकलन]] और [[यौगिक|समाकल]] के माध्यम से व्यक्त की जाती हैं। वक्र का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक [[फ्रेनेट फ्रेम|फ्रेनेट प्रारूप]] है, एक गतिशील प्रारूप जो वक्र के प्रत्येक बिंदु पर एक समन्वय प्रणाली प्रदान करता है जो उस बिंदु के निकटतम वक्र के लिए अधिकतम अनुकूलित होता है। | ||
[[सतहों की अंतर ज्यामिति]] और इसके उच्च-आयामी सामान्यीकरण की तुलना में | [[सतहों की अंतर ज्यामिति]] और इसके उच्च-आयामी सामान्यीकरण की तुलना में वक्रता का सिद्धांत बहुत सरल और संकीर्ण है क्योंकि [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन ज्यामितीय]] नियमित वक्र के अंतर्गत कोई आंतरिक ज्यामिति नहीं है। चाप की लंबाई("प्राकृतिक प्राचलीकरण") द्वारा किसी भी नियमित वक्र को परीक्षण किया जा सकता है। वक्र पर [[परीक्षण कण]] के दृष्टिकोण से जो परिवेश स्थान के बारे में कुछ भी नहीं जानता है, उसे सभी वक्र समान दिखाई देंगे। अलग-अलग ज्यामितीय वक्र केवल इस बात से अलग होते हैं कि वे कैसे घूमते और मुड़ते हैं। मात्रात्मक रूप से, यह एक अपरिवर्तनीय अवकल ज्यामिति द्वारा मापा जाता जिसे हम वक्र की वक्रता या [[वक्रों का मरोड़|पृष्ठ तनाव]] कहते हैं । वक्रों का मौलिक प्रमेय दावा करता है कि इन अपरिवर्तनीयों का ज्ञान वक्र को पूरी तरह से निर्धारित करता है। | ||
== परिभाषाएँ == | == परिभाषाएँ == | ||
{{main| | {{main|वक्र}} | ||
एक | एक प्राचलिक(प्राचल) {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-वक्र या ए {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-प्राचलन एक [[वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन|सदिश-विशेष फलन]] है | ||
:<math>\gamma: I \to \mathbb{R}^{n}</math> | :<math>\gamma: I \to \mathbb{R}^{n}</math> | ||
वह {{mvar|r}}-समय | वह {{mvar|r}}-समय पर निरंतर अलग-अलग है अर्थात(घटक फलन निरंतर अलग अलग हैं) जहां <math>n \isin \mathbb{N}</math>, <math>r \isin \mathbb{N} \cup \{\infty\}</math>, तथा {{mvar|I}} वास्तविक संख्याओं का एक अशून्य [[अंतराल (गणित)|अंतराल(गणित)]] है। <math>\gamma[I] \subseteq \mathbb{R}^n</math> प्राचल वक्र का चित्र है । प्राचल वक्र {{mvar|γ}} और इसकी इमेज {{math|''γ''[''I'']}} अलग-अलग होना चाहिए क्योंकि दिया गया उपसमुच्चय <math>\mathbb{R}^n</math> कई अलग-अलग प्राचल वक्रों की इमेज हो सकती है। {{math|''γ''(''t'')}} में मापदण्ड t को एक निरुपित समय के रूप में माना जा सकता हैं और '''γ''' एक प्राचल क्षेत्र में घूमने वाले बिंदु का प्रक्षेप पथ हो सकता है । जब {{mvar|I}} एक बंद अंतराल है {{math|[''a'',''b'']}}, y का , {{math|''γ''(''a'')}} प्रारंभिक बिंदु कहलाता है और {{math|''γ''(''b'')}} समापन बिंदु कहलाता है । यदि आरंभिक और अंतिम बिंदु संपाती हैं(अर्थात, {{math|''γ''(''a'') {{=}} ''γ''(''b'')}}), फिर {{mvar|γ}} एक बंद वक्र या एक परिपथ है। {{math|''C''<sup>''r''</sup>}} को एक परिपथ होने के लिए फलन {{mvar|γ}} को {{mvar|r}}-समय पर निरंतर अलग-अलग होना चाहिए और {{math|''γ''<sup>(''k'')</sup>(''a'') {{=}} ''γ''<sup>(''k'')</sup>(''b'')}} {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''r''}} के लिए संतुष्ट करना चाहिए । | ||
प्राचल वक्र सरल है यदि | |||
:<math> \gamma|_{(a,b)}: (a,b) \to \mathbb{R}^{n} </math> | :<math> \gamma|_{(a,b)}: (a,b) \to \mathbb{R}^{n} </math> | ||
यदि y का प्रत्येक घटक फलन एक विश्लेषणात्मक फलन करता है तो {{mvar|γ}} एक [[विश्लेषणात्मक कार्य|विश्लेषणात्मक फलन]] है, अर्थात यह {{math|''C''<sup>''ω''</sup>}}.वर्ग का है। वक्र {{mvar|γ}} नियमानुकूल है {{mvar|m}}(जहाँ पर {{math|''m'' ≤ ''r''}}) अगर, हर के लिए {{math|''t'' ∈ ''I''}}, | |||
:<math>\left\{ \gamma'(t),\gamma''(t),\ldots,{\gamma^{(m)}}(t) \right\}</math> | |||
<math>\mathbb{R}^n</math> का एक '''रैखिक''' रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय है । विशेष रूप से, एक प्राचल {{math|''C''<sup>1</sup>}}-वक्र {{mvar|γ}} नियमित है, यदि केवल और केवल {{math|''γ''{{prime}}(''t'') ≠ '''0'''}} जिसके लिए {{math|''t'' ∈ ''I''}}. | |||
== पुनर्मानकीकरण और तुल्यता संबंध == | |||
{{See also|सदिश स्थिति|सदिश-विशेष फलन}} | |||
प्राचल वक्र की इमेज को देखते हुए, प्राचलिक(प्राचल) वक्र के कई अलग-अलग मूल्यांकन हैं। अवकलन रेखागणित का उद्देश्य प्राचल वक्रों के गुणों का वर्णन करना है जो कुछ पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय हैं। सभी प्राचल वक्रों के समुच्चय पर एक उपयुक्त [[तुल्यता संबंध]] परिभाषित किया जाना चाहिए। एक प्राचल वक्र के अंतर-ज्यामितीय गुण(जैसे इसकी लंबाई, इसकी फ़्रेनेट प्रारूप, और इसकी सामान्यीकृत वक्रता) पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय हैं, इसलिए सम[[तुल्यता वर्ग]] के गुण स्वयं समतुल्य वर्ग {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}- वक्र कहलाते हैं और वक्र के अंतर ज्यामिति में अध्ययन की जाने वाली केंद्रीय वस्तुएं प्राचल हैं। | |||
दो | दो प्राचल {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-वक्र, <math>\gamma_1 : I_1 \to \mathbb{R}^n</math> तथा <math>\gamma_2 : I_2 \to \mathbb{R}^n</math>,समतुल्य कहा जाता है, यदि केवल कोई विशेषण सम्मिलित है तो {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-छायाचित्र {{math|''φ'' : ''I''<sub>1</sub> → ''I''<sub>2</sub>}} ऐसा है कि | ||
:<math>\forall t \in I_1: \quad \varphi'(t) \neq 0</math> | :<math>\forall t \in I_1: \quad \varphi'(t) \neq 0</math> | ||
तथा | तथा | ||
:<math>\forall t \in I_1: \quad \gamma_2\bigl(\varphi(t)\bigr) = \gamma_1(t).</math> | :<math>\forall t \in I_1: \quad \gamma_2\bigl(\varphi(t)\bigr) = \gamma_1(t).</math> | ||
{{math|''γ''<sub> | तब ये कहा जाता है कि {{math|''γ''<sub>1</sub>}}, {{math|y2}} का {{em|पुनर्मूल्यांकन}} है। | ||
पुनर्मूल्यांकन सभी प्राचल के समुच्चय पर एक समानता संबंध को परिभाषित करता है। {{math|''C''<sup>''r''</sup>}} वर्ग के वक्र इस संबंध का तुल्यता वक्र है। | |||
अभिविन्यस्त प्राचल C<sup>r</sup> वक्र का अन्य बेहतर तुल्यता संबंध φ आवश्यकता के द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। संतुष्ट करने के लिए {{math|''φ''{{prime}}(''t'') > 0}}. | |||
समतुल्य | समतुल्य प्राचल {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-वक्र की समरूप इमेज है, और समतुल्य उन्मुख प्राचल {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-वक्र इमेज को उसी दिशा में विच्छेद भी करते हैं। | ||
== लंबाई और प्राकृतिक | == लंबाई और प्राकृतिक मानकीकरण{{anchor|Length|Natural parametrization}}== | ||
{{main| | {{main|वक्राकार लंबाई}} | ||
{{see also| | {{see also|वक्र एवं वक्र की लंबाई}} | ||
लंबाई {{mvar|l}} एक | लंबाई {{mvar|l}} एक प्राचल का {{math|''C''<sup>1</sup>}}-वक्र <math>\gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^n</math> की तरह परिभाषित किया गया है | ||
:<math>l ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \int_a^b \left\| \gamma'(t) \right\| \, \mathrm{d}{t}.</math> | :<math>l ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \int_a^b \left\| \gamma'(t) \right\| \, \mathrm{d}{t}.</math> | ||
एक | एक प्राचल वक्र की लंबाई पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय है और इसलिए प्राचल वक्र की अंतर-ज्यामितीय एक विशेषता है। | ||
प्रत्येक नियमित | प्रत्येक नियमित प्राचल के लिए {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-वक्र <math>\gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^n</math>जहाँ पर , {{math|''r'' ≥ 1}}, फलन परिभाषित किया गया है | ||
:<math>\forall t \in [a,b]: \quad s(t) ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \int_a^t \left\| \gamma'(x) \right\| \, \mathrm{d}{x}.</math> | :<math>\forall t \in [a,b]: \quad s(t) ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \int_a^t \left\| \gamma'(x) \right\| \, \mathrm{d}{x}.</math> | ||
{{math|''{{overline|γ}}''(s) {{=}} ''γ''(''t''(''s''))}}, जहाँ पर {{math|''t''(''s'')}} का प्रतिलोम फलन {{math|''s''(''t'')}} है, y का पुनः मानकीकरण {{math|''{{overline|γ}}''}} है जिसे एक चाप लंबाई मानकीकरण, प्राकृतिक मानकीकरण, यूनिट-स्पीड मानकीकरण कहा जाता है। मापदण्ड {{math|''s''(''t'')}} को {{mvar|γ}} का स्वाभाविक मापदण्ड कहा जाता है। | |||
यह | यह प्राचलीकरण इसीलिए चुना जाता है क्योंकि प्राकृतिक मापदण्ड {{math|''s''(''t'')}} की इमेज को y इकाई गति से विच्छेद करता है, इस प्रकार | ||
<math>\forall t \in I: \quad \left\| \overline{\gamma}'\bigl(s(t)\bigr) \right\| = 1.</math> | |||
व्यवहार में, प्राचल वक्र के प्राकृतिक मानकीकरण की गणना करना ज्यादातर बहुत कठिन होता है, लेकिन यह सैद्धांतिक तर्कों के लिए उपयोगी होता है। | |||
दिए गए प्राचल वक्र y के लिए, प्राकृतिक मानकीकरण मापदण्ड का स्थानांतरण एक अद्वितीय फलन है। | |||
परिमाण | |||
:<math>E(\gamma) ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \frac{1}{2} \int_a^b \left\| \gamma'(t) \right\|^2 ~ \mathrm{d}{t}</math> | :<math>E(\gamma) ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \frac{1}{2} \int_a^b \left\| \gamma'(t) \right\|^2 ~ \mathrm{d}{t}</math> | ||
इसे कभी-कभी {{em|कार्य शक्ति}} या वक्र की [[क्रिया (भौतिकी)|क्रिया(भौतिकी)]]कहा जाता है, यह नाम उचित है क्योंकि इस क्रिया के लिए [[geodesic|अल्पांतरी]] समीकरण यूलर-लैग्रेंज गति के समीकरण हैं। | |||
== फ्रेनेट | == फ्रेनेट प्रारूप == | ||
{{main| | {{main|फ्रेनेट-सीरेट सूत्र}} | ||
[[File:Frenet frame.png|thumb|right| | [[File:Frenet frame.png|thumb|right|ज्यामितीय वक्र पर एक बिंदु के लिए फ्रेनेट प्रारूप का एक उदाहरण। {{math|''T''}} इकाई स्पर्शरेखा है, {{math|''P''}} इकाई सामान्य, और {{math|''B''}} इकाई असामान्य।]]फ्रेनेट प्रारूप {{math|''n''}} का [[मूविंग फ्रेम|मूविंग प्रारूप]] है, [[ऑर्थोनॉर्मल]] सदिश {{math|''e''<sub>''i''</sub>(''t'')}} जिनका उपयोग प्रत्येक बिंदु γ(t) पर स्थानीय रूप से वक्र का वर्णन करने के लिए किया जाता है। यह वक्र के विभेदक ज्यामितीय निस्तारण में मुख्य उपकरण है क्योंकि यूक्लिडियन निर्देशांक जैसे वैश्विक उपयोग करने की तुलना में स्थानीय संदर्भ प्रणाली के संदर्भ में स्थानीय गुणों(जैसे वक्रता) का वर्णन करना कहीं अधिक आसान और अधिक स्वाभाविक है। | ||
'''दिया गया {{math|''C''<sup>''n'' + 1</sup>}}-वक्र {{math|'''''γ'''''}} में <math>\mathbb{R}^n</math>में जो नियमानुसार है {{math|''n''}} वक्र के लिए फ्रेनेट फ्रेम ऑर्थोनॉर्मल वैक्टर का सेट है''' | |||
:<math>\mathbf{e}_1(t), \ldots, \mathbf{e}_n(t)</math> | :<math>\mathbf{e}_1(t), \ldots, \mathbf{e}_n(t)</math> | ||
फ्रेनेट-सेरेट सूत्र कहलाते हैं। वे | ये फ्रेनेट-सेरेट सूत्र कहलाते हैं। वे {{math|'''''γ'''''(''t'')}} के व्युत्त्पन से प्रक्रिया का उपयोग करके निर्मित होते हैं। | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
| Line 72: | Line 73: | ||
\overline{\mathbf{e}_{j}}(t) = \boldsymbol{\gamma}^{(j)}(t) - \sum _{i=1}^{j-1} \left\langle \boldsymbol{\gamma}^{(j)}(t), \mathbf{e}_i(t) \right\rangle \, \mathbf{e}_i(t) | \overline{\mathbf{e}_{j}}(t) = \boldsymbol{\gamma}^{(j)}(t) - \sum _{i=1}^{j-1} \left\langle \boldsymbol{\gamma}^{(j)}(t), \mathbf{e}_i(t) \right\rangle \, \mathbf{e}_i(t) | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
वास्तविक | वास्तविक विशेष फलन {{math|''χ''<sub>''i''</sub>(''t'')}} सामान्यीकृत वक्रताएँ कहलाती हैं और इन्हें इस रूप में परिभाषित किया जाता है | ||
:<math>\chi_i(t) = \frac{\bigl\langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}(t) \bigr\rangle}{\left\| \boldsymbol{\gamma}^'(t) \right\|} </math> | :<math>\chi_i(t) = \frac{\bigl\langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}(t) \bigr\rangle}{\left\| \boldsymbol{\gamma}^'(t) \right\|} </math> | ||
फ्रेनेट | फ्रेनेट प्रारूप और सामान्यीकृत वक्रता पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय हैं और इसलिए वक्र के विभेदक ज्यामितीय गुण हैं।<math>\mathbb R^3</math> में वक्रता के लिए <math>\chi_1(t)</math> वक्रता है और <math>\chi_2(t)</math> प्रवणता है। | ||
== बर्ट्रेंड वक्र == | |||
बर्ट्रेंड वक्र <math>\mathbb R^3</math> में एक नियमित वक्र है जो अतिरिक्त विशेषता के साथ <math>\mathbb R^3</math> में एक अन्य वक्र है, जैसे कि सामान्य सदिश सिद्धांत इन दो वक्रों के लिए प्रत्येक संबंधित बिंदु पर समान हैं। दूसरे शब्दों में, अगर {{math|'''γ'''<sub>1</sub>(''t'')}} तथा {{math|'''γ'''<sub>2</sub>(''t'')}} <math>\mathbb R^3</math> में दो वक्र हैं इस प्रकार किसी t के लिए, दो प्रमुख सामान्य {{math|'''N'''<sub>1</sub>(''t''), '''N'''<sub>2</sub>(t)}} बराबर हैं, तो {{math|'''γ'''<sub>1</sub>}} तथा {{math|'''γ'''<sub>2</sub>}} बर्ट्रेंड वक्र हैं, और {{math|'''γ'''<sub>1</sub>}} को '''γ'''<sub>2</sub> का बर्ट्रेंड मेट कहा जाता है। एक रैखिक संबंध के अस्तित्व की विशेषता है {{math|''a κ''(''t'') + ''b τ''(''t'') {{=}} 1}}, जहाँ पर {{math|''κ''(''t'')}} तथा {{math|''τ''(''t'')}} की वक्रता और प्रवणता हैं, {{math|'''γ'''<sub>1</sub>(''t'')}} तथा {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} के साथ वास्तविक स्थिरांक हैं {{math|''a'' ≠ 0}}.<ref>{{cite book |page=53 |title=डिफरेंशियल ज्योमेट्री: कर्व्स, सरफेस, मैनिफोल्ड्स|first=Wolfgang |last=Kühnel |location=Providence |publisher=AMS |year=2005 |isbn=0-8218-3988-8 }}</ref> इसके अलावा, बर्ट्रेंड युग्म वक्रों के आघूर्ण बल का उत्पाद स्थिर है।<ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/BertrandCurves.html|title=बर्ट्रेंड वक्र|first=Eric W.|last=Weisstein|website=mathworld.wolfram.com}}</ref> | |||
यदि {{math|'''γ'''<sub>1</sub>}}में एक से अधिक बर्ट्रेंड मेट हैं तो उसके पास अपरिमित रूप से अनेक हैं। यह तभी होता है जब {{math|'''γ'''<sub>1</sub>}} एक गोलाकार कुंडलित वक्रता हो।<ref name="do Carmo">{{cite book | last = do Carmo|first =Manfredo P. |author-link=Manfredo do Carmo | title=वक्रों और सतहों की विभेदक ज्यामिति| edition=revised & updated 2nd|publisher=Dover Publications, Inc. | year=2016|location=Mineola, NY | isbn=978-0-486-80699-0| pages=27—28}}</ref> | |||
यदि {{math|'''γ'''<sub>1</sub>}} एक से अधिक बर्ट्रेंड मेट हैं तो उसके पास अपरिमित रूप से अनेक हैं। यह तभी होता है जब {{math|'''γ'''<sub>1</sub>}} एक गोलाकार | |||
== | == विशेष फ्रेनेट सदिश और सामान्यीकृत वक्रता == | ||
{{main|फ्रेनेट-सीरेट सूत्र}} | |||
अगर | पहले तीन फ़्रेनेट सदिश और सामान्यीकृत वक्रताओं को त्रि-आयामी ज्यामितीय में देखा जा सकता है। उनके पास अतिरिक्त नाम और उनसे जुड़ी अधिक अर्थपूर्ण जानकारी है। | ||
=== स्पर्शरेखीय सदिश === | |||
अगर वक्र {{math|'''γ'''}} किसी कण के पथ का प्रतिनिधित्व करता है, फिर किसी दिए गए बिंदु P पर कण का तात्क्षणिक [[वेग]] एक [[वेक्टर (ज्यामितीय)|सदिश(ज्यामितीय)]] द्वारा व्यक्त किया जाता है, जिसे वक्र पर [[स्पर्शरेखा वेक्टर|स्पर्शरेखीय सदिश]] कहा जाता है। गणितीय रूप से, मापदंड {{math|''C''<sup>1</sup>}} वक्र {{math|1='''''γ''''' = '''''γ'''''(''t'')}} दिया गया है, मापदण्ड के प्रत्येक सदिश मूल्य के लिए {{math|''t'' {{=}} ''t''<sub>0</sub>}}, | |||
: <math> \gamma'(t_0) = \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{\gamma}(t)\right|_{t=t_0} </math> | : <math> \gamma'(t_0) = \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{\gamma}(t)\right|_{t=t_0} </math> | ||
बिंदु पर | बिंदु पर स्पर्शरेखीय सदिश {{math|''P'' {{=}} '''γ'''(''t''<sub>0</sub>)}} है, सामान्यतया, स्पर्शरेखीय सदिश [[शून्य वेक्टर|शून्य सदिश]] हो सकता है। स्पर्शरेखीय सदिश का परिमाण | ||
:<math>\left\|\boldsymbol{\gamma}'(t_0)\right\|</math> | :<math>\left\|\boldsymbol{\gamma}'(t_0)\right\|</math> | ||
{{math|''t''<sub>0</sub>}} समय पर है। पहला फ्रेनेट सदिश {{math|'''e'''<sub>1</sub>(''t'')}}, {{math|'''γ'''}} के प्रत्येक नियमित बिंदु पर एक ही दिशा में इकाई स्पर्श सदिश के रूप में परिभाषित किया जाता है। | |||
पहला फ्रेनेट | |||
:<math>\mathbf{e}_{1}(t) = \frac{ \boldsymbol{\gamma}'(t) }{ \left\| \boldsymbol{\gamma}'(t) \right\|}.</math> | :<math>\mathbf{e}_{1}(t) = \frac{ \boldsymbol{\gamma}'(t) }{ \left\| \boldsymbol{\gamma}'(t) \right\|}.</math> | ||
यदि {{math|''t'' {{=}} ''s''}} प्राकृतिक | यदि {{math|''t'' {{=}} ''s''}} प्राकृतिक मापदण्ड है, तो स्पर्शरेखीय सदिश की इकाई लंबाई होती है। सूत्र सरल करता है: | ||
:<math>\mathbf{e}_{1}(s) = \boldsymbol{\gamma}'(s)</math>. | :<math>\mathbf{e}_{1}(s) = \boldsymbol{\gamma}'(s)</math>. | ||
इकाई | |||