प्रमेय: Difference between revisions
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[[File:Pythagorean Proof (3).PNG|thumb|200px|right|[[पाइथागोरस प्रमेय]] के कम से कम 370 ज्ञात प्रमाण हैं<ref name='Loomis'>{{cite web|url=http://www.eric.ed.gov/PDFS/ED037335.pdf|author=Elisha Scott Loomis |title=पायथागॉरियन प्रस्ताव: इसके प्रदर्शनों का विश्लेषण और वर्गीकरण, और चार प्रकार के प्रमाणों के डेटा के लिए स्रोतों की ग्रंथ सूची|access-date=2010-09-26 |work=[[Education Resources Information Center]] |publisher=[[Institute of Education Sciences]] (IES) of the [[U.S. Department of Education]] }} Originally published in 1940 and reprinted in 1968 by National Council of Teachers of Mathematics.</ref>]]गणित में, एक प्रमेय एक [[कथन (तर्क)]] है जो [[गणितीय प्रमाण]] हो चुका है, या सिद्ध किया जा सकता है।{{efn|In general, the distinction is weak, as the standard way to prove that a statement is provable consists of proving it. However, in mathematical logic, one considers often the set of all theorems of a theory, although one cannot prove them individually.}}<ref>{{Cite web|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/theorem|title=प्रमेय की परिभाषा|website=www.merriam-webster.com|language=en|access-date=2019-11-02}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.lexico.com/en/definition/theorem|archive-url=https://web.archive.org/web/20191102041621/https://www.lexico.com/en/definition/theorem|url-status=dead|archive-date=November 2, 2019|title=प्रमेय {{!}} लेक्सिको द्वारा प्रमेय की परिभाषा|website=Lexico Dictionaries {{!}} English|language=en|access-date=2019-11-02}}</ref> एक प्रमेय का प्रमाण एक [[तार्किक तर्क]] है जो एक निगमनात्मक प्रणाली के अनुमान नियमों का उपयोग यह स्थापित करने के लिए करता है कि प्रमेय [[स्वयंसिद्ध]]ों और पहले सिद्ध प्रमेयों का एक [[तार्किक परिणाम]] है। | [[File:Pythagorean Proof (3).PNG|thumb|200px|right|[[पाइथागोरस प्रमेय]] के कम से कम 370 ज्ञात प्रमाण हैं<ref name='Loomis'>{{cite web|url=http://www.eric.ed.gov/PDFS/ED037335.pdf|author=Elisha Scott Loomis |title=पायथागॉरियन प्रस्ताव: इसके प्रदर्शनों का विश्लेषण और वर्गीकरण, और चार प्रकार के प्रमाणों के डेटा के लिए स्रोतों की ग्रंथ सूची|access-date=2010-09-26 |work=[[Education Resources Information Center]] |publisher=[[Institute of Education Sciences]] (IES) of the [[U.S. Department of Education]] }} Originally published in 1940 and reprinted in 1968 by National Council of Teachers of Mathematics.</ref>]]गणित में, एक प्रमेय एक [[कथन (तर्क)]] है जो [[गणितीय प्रमाण]] हो चुका है, या सिद्ध किया जा सकता है।{{efn|In general, the distinction is weak, as the standard way to prove that a statement is provable consists of proving it. However, in mathematical logic, one considers often the set of all theorems of a theory, although one cannot prove them individually.}}<ref>{{Cite web|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/theorem|title=प्रमेय की परिभाषा|website=www.merriam-webster.com|language=en|access-date=2019-11-02}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.lexico.com/en/definition/theorem|archive-url=https://web.archive.org/web/20191102041621/https://www.lexico.com/en/definition/theorem|url-status=dead|archive-date=November 2, 2019|title=प्रमेय {{!}} लेक्सिको द्वारा प्रमेय की परिभाषा|website=Lexico Dictionaries {{!}} English|language=en|access-date=2019-11-02}}</ref> एक प्रमेय का प्रमाण एक [[तार्किक तर्क]] है जो एक निगमनात्मक प्रणाली के अनुमान नियमों का उपयोग यह स्थापित करने के लिए करता है कि प्रमेय [[स्वयंसिद्ध]]ों और पहले सिद्ध प्रमेयों का एक [[तार्किक परिणाम]] है। | ||
गणित की मुख्यधारा में, अभिगृहीत और अनुमान नियम सामान्यतः अंतर्निहित छोड़ दिए जाते हैं, और, इस स्थिति में, वे लगभग हमेशा ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के होते हैं, जिसमें [[पसंद का स्वयंसिद्ध]] या कम शक्तिशाली सिद्धांत होता है, जैसे कि पीनो (peano) अंकगणित। एक उल्लेखनीय अपवाद फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण है, जिसमें [[ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड]] प्रयोग हैं जिनके अस्तित्व के लिए सेट सिद्धांत के लिए एक नया स्वयंसिद्ध जोड़ना आवश्यक है।{{efn|The fact that Wiles's proof involves Grothendieck universes does not mean that the proof cannot be improved for avoiding this, and many specialist think that it is possible. Nevertheless, it is rather astonishing that the proof of a theorem that is stated in terms of elementary [[arithmetics]] involves the existence of Grothendieck universes, which are very large infinite sets.}}सामान्यतः, एक अभिकथन जिसे स्पष्ट रूप से प्रमेय कहा जाता है, एक सिद्ध परिणाम है जो अन्य ज्ञात प्रमेयों का तत्काल परिणाम नहीं है। इसके | गणित की मुख्यधारा में, अभिगृहीत और अनुमान नियम सामान्यतः अंतर्निहित छोड़ दिए जाते हैं, और, इस स्थिति में, वे लगभग हमेशा ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के होते हैं, जिसमें [[पसंद का स्वयंसिद्ध]] या कम शक्तिशाली सिद्धांत होता है, जैसे कि पीनो (peano) अंकगणित। एक उल्लेखनीय अपवाद फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण है, जिसमें [[ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड]] प्रयोग हैं जिनके अस्तित्व के लिए सेट सिद्धांत के लिए एक नया स्वयंसिद्ध जोड़ना आवश्यक है।{{efn|The fact that Wiles's proof involves Grothendieck universes does not mean that the proof cannot be improved for avoiding this, and many specialist think that it is possible. Nevertheless, it is rather astonishing that the proof of a theorem that is stated in terms of elementary [[arithmetics]] involves the existence of Grothendieck universes, which are very large infinite sets.}}सामान्यतः, एक अभिकथन जिसे स्पष्ट रूप से प्रमेय कहा जाता है, एक सिद्ध परिणाम है जो अन्य ज्ञात प्रमेयों का तत्काल परिणाम नहीं है। इसके अतिरिक्त, कई लेखक केवल सबसे महत्वपूर्ण परिणाम प्रमेय के रूप में अर्हता प्राप्त करते हैं, और कम महत्वपूर्ण प्रमेय के लिए शब्द प्रमेयिका, प्रस्ताव और परिणाम का उपयोग करते हैं। | ||
[[गणितीय तर्क]] में, उनके बारे में गणितीय तर्क की अनुमति देने के लिए प्रमेय और प्रमाण की अवधारणा [[औपचारिक प्रणाली]] रही है। इस संदर्भ में कथन कुछ [[औपचारिक भाषा]] के सुव्यवस्थित सूत्र बन जाते हैं। एक [[सिद्धांत (गणितीय तर्क)]] में कुछ आधार कथन होते हैं जिन्हें स्वयंसिद्ध कहा जाता है, और कुछ निगमन नियम (कभी-कभी स्वयंसिद्धों में सम्मलित होते हैं)। सिद्धांत के प्रमेय वे कथन हैं जो व्युत्पन्न नियमों का उपयोग करके स्वयंसिद्धों से प्राप्त किए जा सकते हैं।{{efn|A theory is often identified with the set of its theorems. This is avoided here for clarity, and also for not depending on [[set theory]].}} इस औपचारिकता ने प्रमाण सिद्धांत को जन्म दिया, जो प्रमेयों और प्रमाणों के बारे में सामान्य प्रमेयों को सिद्ध करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, गोडेल के अपूर्णता प्रमेयों से पता चलता है कि प्राकृतिक संख्याओं वाले प्रत्येक संगति सिद्धांत में प्राकृतिक संख्याओं पर सही कथन हैं जो सिद्धांत के प्रमेय नहीं हैं (अर्थात वे सिद्धांत के भीतर सिद्ध नहीं किए जा सकते हैं)। | [[गणितीय तर्क]] में, उनके बारे में गणितीय तर्क की अनुमति देने के लिए प्रमेय और प्रमाण की अवधारणा [[औपचारिक प्रणाली]] रही है। इस संदर्भ में कथन कुछ [[औपचारिक भाषा]] के सुव्यवस्थित सूत्र बन जाते हैं। एक [[सिद्धांत (गणितीय तर्क)]] में कुछ आधार कथन होते हैं जिन्हें स्वयंसिद्ध कहा जाता है, और कुछ निगमन नियम (कभी-कभी स्वयंसिद्धों में सम्मलित होते हैं)। सिद्धांत के प्रमेय वे कथन हैं जो व्युत्पन्न नियमों का उपयोग करके स्वयंसिद्धों से प्राप्त किए जा सकते हैं।{{efn|A theory is often identified with the set of its theorems. This is avoided here for clarity, and also for not depending on [[set theory]].}} इस औपचारिकता ने प्रमाण सिद्धांत को जन्म दिया, जो प्रमेयों और प्रमाणों के बारे में सामान्य प्रमेयों को सिद्ध करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, गोडेल के अपूर्णता प्रमेयों से पता चलता है कि प्राकृतिक संख्याओं वाले प्रत्येक संगति सिद्धांत में प्राकृतिक संख्याओं पर सही कथन हैं जो सिद्धांत के प्रमेय नहीं हैं (अर्थात वे सिद्धांत के भीतर सिद्ध नहीं किए जा सकते हैं)। | ||
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== प्रमेय और सत्य == | == प्रमेय और सत्य == | ||
19वीं शताब्दी के अंत तक और गणित के मूलभूत संकट तक, सभी [[गणितीय सिद्धांत]]ों का निर्माण कुछ बुनियादी गुणों से किया गया था जिन्हें स्वतः स्पष्ट माना जाता था; उदाहरण के लिए, यह तथ्य कि प्रत्येक [[प्राकृतिक संख्या]] का एक उत्तराधिकारी होता है, और यह कि वास्तव में एक [[रेखा (गणित)]] है जो दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती है। ये मूल गुण जिन्हें पूर्णतया स्पष्ट माना जाता था अभिधारणाएँ या | 19वीं शताब्दी के अंत तक और गणित के मूलभूत संकट तक, सभी [[गणितीय सिद्धांत]]ों का निर्माण कुछ बुनियादी गुणों से किया गया था जिन्हें स्वतः स्पष्ट माना जाता था; उदाहरण के लिए, यह तथ्य कि प्रत्येक [[प्राकृतिक संख्या]] का एक उत्तराधिकारी होता है, और यह कि वास्तव में एक [[रेखा (गणित)]] है जो दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती है। ये मूल गुण जिन्हें पूर्णतया स्पष्ट माना जाता था, उन्हें अभिधारणाएँ या स्वयंसिद्ध कहा जाता था; उदाहरण के लिए यूक्लिड की अभिधारणाएँ। सभी प्रमेयों को स्पष्ट रूप से या स्पष्ट रूप से इन मूल गुणों का उपयोग करके सिद्ध किया गया था, और, इन मूल गुणों के प्रमाण के कारण, एक सिद्ध प्रमेय को एक निश्चित सत्य माना जाता था, जब तक कि प्रमाण में कोई त्रुटि न हो। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज के [[आंतरिक कोण]]ों का योग 180° के बराबर होता है, और इसे एक निस्संदेह तथ्य माना जाता था। | ||
गणित के मूलभूत संकट का एक पहलू गैर-[[यूक्लिडियन ज्यामिति]] की खोज थी जो किसी भी विरोधाभास की ओर नहीं ले जाती, चूंकि, ऐसे ज्यामिति में, त्रिभुज के कोणों का योग 180° से भिन्न होता है। इसलिए, 180° के बराबर त्रिभुज के कोणों के योग का गुण या तो सत्य है या असत्य, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को ग्रहण किया गया है या इनकार किया गया है। इसी तरह, [[सेट (गणित)]] के स्पष्ट बुनियादी गुणों का उपयोग रसेल के विरोधाभास की ओर ले जाता है। सेट में परिचालन करने के लिए अनुमत नियमों को विस्तृत करके इसका समाधान किया गया है। | गणित के मूलभूत संकट का एक पहलू गैर-[[यूक्लिडियन ज्यामिति]] की खोज थी जो किसी भी विरोधाभास की ओर नहीं ले जाती, चूंकि, ऐसे ज्यामिति में, त्रिभुज के कोणों का योग 180° से भिन्न होता है। इसलिए, 180° के बराबर त्रिभुज के कोणों के योग का गुण या तो सत्य है या असत्य, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को ग्रहण किया गया है या इनकार किया गया है। इसी तरह, [[सेट (गणित)]] के स्पष्ट बुनियादी गुणों का उपयोग रसेल के विरोधाभास की ओर ले जाता है। सेट में परिचालन करने के लिए अनुमत नियमों को विस्तृत करके इसका समाधान किया गया है। | ||
गणित की नींव को और अधिक [[गणितीय कठोरता]] बनाने के लिए इस संकट को हल किया गया है। इन नई नींवों में, एक प्रमेय एक गणितीय सिद्धांत का एक सुनिर्मित सूत्र है जिसे सिद्धांत के स्वयंसिद्धों और [[अनुमान नियम]]ों से सिद्ध किया जा सकता है। इसलिए, त्रिभुज के कोणों के योग पर उपरोक्त प्रमेय बन जाता है: यूक्लिडियन ज्यामिति के सिद्धांतों और अनुमान नियमों के | गणित की नींव को और अधिक [[गणितीय कठोरता]] बनाने के लिए इस संकट को हल किया गया है। इन नई नींवों में, एक प्रमेय एक गणितीय सिद्धांत का एक सुनिर्मित सूत्र है जिसे सिद्धांत के स्वयंसिद्धों और [[अनुमान नियम]]ों से सिद्ध किया जा सकता है। इसलिए, त्रिभुज के कोणों के योग पर उपरोक्त प्रमेय बन जाता है: यूक्लिडियन ज्यामिति के सिद्धांतों और अनुमान नियमों के अनुसार , त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर होता है। इसी तरह, रसेल का विरोधाभास गायब हो जाता है, क्योंकि एक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत में, सभी सेटों के सेट को एक अच्छी तरह से गठित सूत्र के साथ व्यक्त नहीं किया जा सकता है। अधिक शुद्ध रूप से, यदि सभी सेटों के सेट को एक अच्छी तरह से गठित सूत्र के साथ व्यक्त किया जा सकता है, तो इसका तात्पर्य है कि सिद्धांत [[असंगत]] है, और हर अच्छी तरह से गठित अभिकथन, साथ ही साथ इसकी अस्वीकृति, एक प्रमेय है। | ||
इस संदर्भ में, किसी प्रमेय की वैधता केवल उसकी उपपत्ति की सत्यता पर निर्भर करती है। यह सत्य से स्वतंत्र है, या स्वयंसिद्धों के महत्व से भी। इसका मतलब यह नहीं है कि स्वयंसिद्धों का महत्व अरुचिकर है, बल्कि केवल यह है कि एक प्रमेय की वैधता स्वयंसिद्धों के महत्व से स्वतंत्र है। यह स्वतंत्रता गणित के कुछ क्षेत्र के परिणामों के उपयोग की अनुमति देकर स्पष्ट रूप से असंबद्ध क्षेत्रों में उपयोगी हो सकती है। | इस संदर्भ में, किसी प्रमेय की वैधता केवल उसकी उपपत्ति की सत्यता पर निर्भर करती है। यह सत्य से स्वतंत्र है, या स्वयंसिद्धों के महत्व से भी। इसका मतलब यह नहीं है कि स्वयंसिद्धों का महत्व अरुचिकर है, बल्कि केवल यह है कि एक प्रमेय की वैधता स्वयंसिद्धों के महत्व से स्वतंत्र है। यह स्वतंत्रता गणित के कुछ क्षेत्र के परिणामों के उपयोग की अनुमति देकर स्पष्ट रूप से असंबद्ध क्षेत्रों में उपयोगी हो सकती है। | ||
गणित के बारे में सोचने के इस | गणित के बारे में सोचने के इस विधियों का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि यह गणितीय सिद्धांतों और प्रमेयों को [[गणितीय वस्तु]]ओं के रूप में परिभाषित करने और उनके बारे में प्रमेयों को सिद्ध करने की अनुमति देता है। गोडेल की अपूर्णता प्रमेय इसका उदाहरण हैं। विशेष रूप से, अच्छी तरह से गठित अभिकथन हैं जो परिवेश सिद्धांत के प्रमेय नहीं प्रमाणित हो सकते हैं, चूंकि वे एक व्यापक सिद्धांत में सिद्ध हो सकते हैं। एक उदाहरण गुडस्टीन का प्रमेय है, जिसे पीनो अंकगणित में कहा जा सकता है, लेकिन पीनो अंकगणित में प्रमाणित नहीं किया जा सकता है। तथापि, यह कुछ और सामान्य सिद्धांतों में सिद्ध है, जैसे ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत। | ||
== ज्ञानमीमांसा संबंधी विचार == | == ज्ञानमीमांसा संबंधी विचार == | ||
कई गणितीय प्रमेय सशर्त कथन हैं, जिनके प्रमाण परिकल्पना या परिसर के रूप में जानी जाने वाली स्थितियों से निष्कर्ष निकालते हैं। सत्य के औचित्य के रूप में प्रमाण की व्याख्या के आलोक में, निष्कर्ष को प्राक्कल्पना की [[आवश्यकता और पर्याप्तता]] के रूप में देखा जाता है। अर्थात्, यह निष्कर्ष सत्य है यदि परिकल्पनाएँ सत्य हैं - बिना किसी और धारणा के। यद्यपि, कुछ निगमनात्मक प्रणालियों में सशर्त की अलग-अलग व्याख्या की जा सकती है, जो व्युत्पत्ति नियमों और सशर्त प्रतीक (जैसे, गैर- | कई गणितीय प्रमेय सशर्त कथन हैं, जिनके प्रमाण परिकल्पना या परिसर के रूप में जानी जाने वाली स्थितियों से निष्कर्ष निकालते हैं। सत्य के औचित्य के रूप में प्रमाण की व्याख्या के आलोक में, निष्कर्ष को प्राक्कल्पना की [[आवश्यकता और पर्याप्तता]] के रूप में देखा जाता है। अर्थात्, यह निष्कर्ष सत्य है यदि परिकल्पनाएँ सत्य हैं - बिना किसी और धारणा के। यद्यपि, कुछ निगमनात्मक प्रणालियों में सशर्त की अलग-अलग व्याख्या की जा सकती है, जो व्युत्पत्ति नियमों और सशर्त प्रतीक (जैसे, गैर-उत्कृष्ट तर्क) को दिए गए अर्थों पर निर्भर करती है। | ||
चूंकि प्रमेयों को पूरी तरह से प्रतीकात्मक रूप में लिखा जा सकता है (उदाहरण के लिए, प्रस्तावपरक कलन में प्रस्तावों के रूप में), बेहतर पठनीयता के लिए उन्हें सामान्यतः अंग्रेजी जैसी प्राकृतिक भाषा में अनौपचारिक रूप से व्यक्त किया जाता है। प्रमाणों के बारे में भी यही सच है, जिन्हें प्रायः तार्किक रूप से संगठित और स्पष्ट शब्दों में अनौपचारिक तर्कों के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसका उद्देश्य पाठकों को किसी भी संदेह से परे प्रमेय के कथन की सच्चाई से अभिव्यक्त कराना है, और जिससे सैद्धांतिक रूप से एक औपचारिक प्रतीकात्मक प्रमाण का निर्माण किया जा सकता है। | चूंकि प्रमेयों को पूरी तरह से प्रतीकात्मक रूप में लिखा जा सकता है (उदाहरण के लिए, प्रस्तावपरक कलन में प्रस्तावों के रूप में), बेहतर पठनीयता के लिए उन्हें सामान्यतः अंग्रेजी जैसी प्राकृतिक भाषा में अनौपचारिक रूप से व्यक्त किया जाता है। प्रमाणों के बारे में भी यही सच है, जिन्हें प्रायः तार्किक रूप से संगठित और स्पष्ट शब्दों में अनौपचारिक तर्कों के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसका उद्देश्य पाठकों को किसी भी संदेह से परे प्रमेय के कथन की सच्चाई से अभिव्यक्त कराना है, और जिससे सैद्धांतिक रूप से एक औपचारिक प्रतीकात्मक प्रमाण का निर्माण किया जा सकता है। | ||
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==वैज्ञानिक सिद्धांतों से संबंध== | ==वैज्ञानिक सिद्धांतों से संबंध== | ||
{{unreferenced section|date=February 2018}} | {{unreferenced section|date=February 2018}} | ||
गणित में प्रमेय और विज्ञान में सिद्धांत उनकी ज्ञानमीमांसा में मौलिक रूप से भिन्न हैं। एक वैज्ञानिक सिद्धांत सिद्ध नहीं किया जा सकता; इसकी प्रमुख विशेषता यह है कि यह मिथ्या है, अर्थात यह प्राकृतिक दुनिया के बारे में भविष्यवाणियां करता है जो [[प्रयोग]]ों द्वारा परीक्षण योग्य हैं। भविष्यवाणी और प्रयोग के बीच कोई भी असहमति वैज्ञानिक सिद्धांत की गलतता को प्रदर्शित करती है, या कम से कम इसकी | गणित में प्रमेय और विज्ञान में सिद्धांत उनकी ज्ञानमीमांसा में मौलिक रूप से भिन्न हैं। एक वैज्ञानिक सिद्धांत सिद्ध नहीं किया जा सकता; इसकी प्रमुख विशेषता यह है कि यह मिथ्या है, अर्थात यह प्राकृतिक दुनिया के बारे में भविष्यवाणियां करता है जो [[प्रयोग]]ों द्वारा परीक्षण योग्य हैं। भविष्यवाणी और प्रयोग के बीच कोई भी असहमति वैज्ञानिक सिद्धांत की गलतता को प्रदर्शित करती है, या कम से कम इसकी परिशुद्धता या वैधता के क्षेत्र को सीमित करती है। दूसरी ओर, गणितीय प्रमेय विशुद्ध रूप से अमूर्त औपचारिक कथन हैं: एक प्रमेय के प्रमाण में प्रयोग या अन्य अनुभवजन्य साक्ष्य सम्मलित नहीं हो सकते हैं, जिस तरह से वैज्ञानिक सिद्धांतों का समर्थन करने के लिए इस तरह के साक्ष्य का उपयोग किया जाता है।<ref name=":0"/> | ||
[[File:CollatzFractal.png|thumb|250px|right|[[Collatz अनुमान]]: इसकी जटिलता को दर्शाने का एक तरीका यह है कि पुनरावृत्ति को प्राकृतिक संख्याओं से जटिल संख्याओं तक बढ़ाया जाए। परिणाम एक [[भग्न]] है, जो (सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणालियों) के अनुसार) [[मैंडेलब्रॉट सेट]] जैसा दिखता है।]]यद्यपि, गणितीय प्रमेयों की खोज में कुछ हद तक अनुभववाद और डेटा संग्रह प्रयोग है। एक पैटर्न की स्थापना करके, कभी-कभी एक शक्तिशाली कंप्यूटर के उपयोग के साथ, गणितज्ञों को यह पता चल सकता है कि क्या सिद्ध करना है, और कुछ विषयों में प्रमाण देने के बारे में भी एक योजना है। एक एकल प्रति-उदाहरण खोजना भी संभव है और इसलिए जैसा कि कहा गया है, प्रस्ताव के लिए एक प्रमाण की असंभवता स्थापित करें, और संभवतः मूल प्रस्ताव के प्रतिबंधित रूपों का सुझाव दें जिनके पास संभव प्रमाण हो सकते हैं। | [[File:CollatzFractal.png|thumb|250px|right|[[Collatz अनुमान]]: इसकी जटिलता को दर्शाने का एक तरीका यह है कि पुनरावृत्ति को प्राकृतिक संख्याओं से जटिल संख्याओं तक बढ़ाया जाए। परिणाम एक [[भग्न]] है, जो (सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणालियों) के अनुसार) [[मैंडेलब्रॉट सेट]] जैसा दिखता है।]]यद्यपि, गणितीय प्रमेयों की खोज में कुछ हद तक अनुभववाद और डेटा संग्रह प्रयोग है। एक पैटर्न की स्थापना करके, कभी-कभी एक शक्तिशाली कंप्यूटर के उपयोग के साथ, गणितज्ञों को यह पता चल सकता है कि क्या सिद्ध करना है, और कुछ विषयों में प्रमाण देने के बारे में भी एक योजना है। एक एकल प्रति-उदाहरण खोजना भी संभव है और इसलिए जैसा कि कहा गया है, प्रस्ताव के लिए एक प्रमाण की असंभवता स्थापित करें, और संभवतः मूल प्रस्ताव के प्रतिबंधित रूपों का सुझाव दें जिनके पास संभव प्रमाण हो सकते हैं। | ||
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उदाहरण के लिए, कोलॉज(Collatz) अनुमान और रीमैन परिकल्पना दोनों प्रसिद्ध अनसुलझी समस्याएं हैं; अनुभवजन्य जाँच के माध्यम से उनका व्यापक अध्ययन किया गया है, लेकिन वे अप्रमाणित हैं। कोलॉज अनुमान को लगभग 2.88 × 10 तक के शुरुआती मानों के लिए सत्यापित किया गया है<sup>18</sup>. [[रीमैन जीटा फ़ंक्शन]] के पहले 10 ट्रिलियन गैर-तुच्छ शून्यों को धारण करने के लिए रीमैन परिकल्पना को सत्यापित किया गया है। चूंकि अधिकांश गणितज्ञ यह मानकर सहन कर सकते हैं कि अनुमान और परिकल्पना सत्य हैं, इनमें से किसी भी प्रस्ताव को सिद्ध नहीं माना जाता है। | उदाहरण के लिए, कोलॉज(Collatz) अनुमान और रीमैन परिकल्पना दोनों प्रसिद्ध अनसुलझी समस्याएं हैं; अनुभवजन्य जाँच के माध्यम से उनका व्यापक अध्ययन किया गया है, लेकिन वे अप्रमाणित हैं। कोलॉज अनुमान को लगभग 2.88 × 10 तक के शुरुआती मानों के लिए सत्यापित किया गया है<sup>18</sup>. [[रीमैन जीटा फ़ंक्शन]] के पहले 10 ट्रिलियन गैर-तुच्छ शून्यों को धारण करने के लिए रीमैन परिकल्पना को सत्यापित किया गया है। चूंकि अधिकांश गणितज्ञ यह मानकर सहन कर सकते हैं कि अनुमान और परिकल्पना सत्य हैं, इनमें से किसी भी प्रस्ताव को सिद्ध नहीं माना जाता है। | ||
इस तरह के प्रमाण नहीं बनते। उदाहरण के लिए, मर्टेंस अनुमान प्राकृतिक संख्याओं के बारे में एक कथन है जो अब असत्य के रूप में जाना जाता है, लेकिन कोई स्पष्ट प्रति उदाहरण नहीं है ( | इस तरह के प्रमाण नहीं बनते। उदाहरण के लिए, मर्टेंस अनुमान प्राकृतिक संख्याओं के बारे में एक कथन है जो अब असत्य के रूप में जाना जाता है, लेकिन कोई स्पष्ट प्रति उदाहरण नहीं है (अर्थात, एक प्राकृतिक संख्या n जिसके लिए मर्टेंस फ़ंक्शन M(n) n के वर्गमूल के बराबर या उससे अधिक है) है ज्ञात: 10 से कम सभी संख्याएँ<sup>14</sup> के पास मर्टेंस गुण है, और सबसे छोटी संख्या जिसके पास यह गुण नहीं है, केवल 1.59 × 10 के घातीय फलन से कम के रूप में जानी जाती है<sup>40</sup>, जो लगभग 10 की घात 4.3 × 10 है<sup>39</sup>. चूंकि ब्रह्मांड में कणों की संख्या को सामान्यतः 10 की शक्ति 100 (एक [[इसे काट दें]]) से कम माना जाता है, संपूर्ण खोज द्वारा एक स्पष्ट प्रतिउदाहरण खोजने की कोई आशा नहीं है। | ||
शब्द सिद्धांत भी गणित में उपस्थित है, गणितीय सिद्धांतों, परिभाषाओं और प्रमेयों के एक निकाय को निरूपित करने के लिए, उदाहरण के लिए, [[समूह सिद्धांत]] (गणितीय सिद्धांत देखें)। विज्ञान, विशेष रूप से भौतिकी और इंजीनियरिंग में भी प्रमेय हैं, लेकिन उनके पास प्रायः विवरण और प्रमाण होते हैं जिनमें भौतिक धारणाएं और अंतर्ज्ञान एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं; भौतिक सिद्धांत जिन पर इस तरह के प्रमेय आधारित होते हैं, स्वयं मिथ्या होते हैं। | शब्द सिद्धांत भी गणित में उपस्थित है, गणितीय सिद्धांतों, परिभाषाओं और प्रमेयों के एक निकाय को निरूपित करने के लिए, उदाहरण के लिए, [[समूह सिद्धांत]] (गणितीय सिद्धांत देखें)। विज्ञान, विशेष रूप से भौतिकी और इंजीनियरिंग में भी प्रमेय हैं, लेकिन उनके पास प्रायः विवरण और प्रमाण होते हैं जिनमें भौतिक धारणाएं और अंतर्ज्ञान एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं; भौतिक सिद्धांत जिन पर इस तरह के प्रमेय आधारित होते हैं, स्वयं मिथ्या होते हैं। | ||
== शब्दावली == | == शब्दावली == | ||
गणितीय कथनों के लिए कई अलग-अलग शब्द प्रस्तुत हैं; ये पद किसी विशेष विषय में निभाई जाने वाली भूमिका | गणितीय कथनों के लिए कई अलग-अलग शब्द प्रस्तुत हैं; ये पद किसी विशेष विषय में निभाई जाने वाली भूमिका कथनों को उल्लेख करते हैं। विभिन्न शब्दों के बीच अंतर कभी-कभी स्वैच्छिक होता है, और कुछ शब्दों का उपयोग समय के साथ विकसित हुआ है। | ||
* एक स्वयंसिद्ध या अभिधारणा अध्ययन की वस्तु के संबंध में एक मौलिक धारणा है, जिसे बिना प्रमाण के स्वीकार कर लिया जाता है। एक संबंधित अवधारणा एक [[परिभाषा]] की है, जो ज्ञात अवधारणाओं के संदर्भ में एक शब्द या वाक्यांश का अर्थ देती है। शास्त्रीय ज्यामिति स्वयंसिद्धों के बीच विचार करती है, जो सामान्य कथन हैं; और अभिधारणाएँ, जो कि ज्यामितीय वस्तुओं के बारे में कथन हैं।<ref>{{cite book|first1=G. |last1=Wentworth |first2=D.E. |last2=Smith |year=1913 |title=समतल ज्यामिति|publisher=Ginn & Co. |at=Articles 46, 47 |url=https://archive.org/details/planegeometry00gwen}}</ref> ऐतिहासिक रूप से, सूक्तियों को स्व-साक्ष्य के रूप में माना जाता था|स्व-स्पष्ट; आज उन्हें केवल सच माना जाता है। | * एक स्वयंसिद्ध या अभिधारणा अध्ययन की वस्तु के संबंध में एक मौलिक धारणा है, जिसे बिना प्रमाण के स्वीकार कर लिया जाता है। एक संबंधित अवधारणा एक [[परिभाषा]] की है, जो ज्ञात अवधारणाओं के संदर्भ में एक शब्द या वाक्यांश का अर्थ देती है। शास्त्रीय ज्यामिति स्वयंसिद्धों के बीच विचार करती है, जो सामान्य कथन हैं; और अभिधारणाएँ, जो कि ज्यामितीय वस्तुओं के बारे में कथन हैं।<ref>{{cite book|first1=G. |last1=Wentworth |first2=D.E. |last2=Smith |year=1913 |title=समतल ज्यामिति|publisher=Ginn & Co. |at=Articles 46, 47 |url=https://archive.org/details/planegeometry00gwen}}</ref> ऐतिहासिक रूप से, सूक्तियों को स्व-साक्ष्य के रूप में माना जाता था | स्व-स्पष्ट; आज उन्हें केवल सच माना जाता है। | ||
* एक अनुमान एक अप्रमाणित कथन है जिसे सत्य माना जाता है। अनुमान सामान्यतः सार्वजनिक रूप से बनाए जाते हैं, और उनके निर्माता के नाम पर रखे जाते हैं (उदाहरण के लिए, गोल्डबैक का अनुमान और कोलॉज अनुमान)। परिकल्पना शब्द का प्रयोग इस अर्थ में भी किया जाता है (उदाहरण के लिए, रीमैन परिकल्पना), जिसे प्रमाण के आधार के रूप में परिकल्पना के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। अन्य शब्दों का भी अधिकांशतः पर उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए समस्या जब लोग सुनिश्चित नहीं होते हैं कि कथन को सत्य माना जाना चाहिए या नहीं। फर्मेट की अंतिम प्रमेय को ऐतिहासिक रूप से एक प्रमेय कहा जाता था, चूंकि सदियों से यह केवल एक अनुमान था। | * एक अनुमान एक अप्रमाणित कथन है जिसे सत्य माना जाता है। अनुमान सामान्यतः सार्वजनिक रूप से बनाए जाते हैं, और उनके निर्माता के नाम पर रखे जाते हैं (उदाहरण के लिए, गोल्डबैक का अनुमान और कोलॉज अनुमान)। परिकल्पना शब्द का प्रयोग इस अर्थ में भी किया जाता है (उदाहरण के लिए, रीमैन परिकल्पना), जिसे प्रमाण के आधार के रूप में परिकल्पना के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। अन्य शब्दों का भी अधिकांशतः पर उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए समस्या जब लोग सुनिश्चित नहीं होते हैं कि कथन को सत्य माना जाना चाहिए या नहीं। फर्मेट की अंतिम प्रमेय को ऐतिहासिक रूप से एक प्रमेय कहा जाता था, चूंकि सदियों से यह केवल एक अनुमान था। | ||
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निश्चित शैली लेखक या प्रकाशन पर निर्भर करती है। कई प्रकाशन [[शैली गाइड]] में टाइपसेटिंग के लिए निर्देश या [[मैक्रो (कंप्यूटर विज्ञान)]] प्रदान करते हैं। | निश्चित शैली लेखक या प्रकाशन पर निर्भर करती है। कई प्रकाशन [[शैली गाइड]] में टाइपसेटिंग के लिए निर्देश या [[मैक्रो (कंप्यूटर विज्ञान)]] प्रदान करते हैं। | ||
प्रमेय में प्रयुक्त शब्दों के निश्चित अर्थ का वर्णन करने वाली परिभाषाओं से पहले एक प्रमेय का होना | प्रमेय में प्रयुक्त शब्दों के निश्चित अर्थ का वर्णन करने वाली परिभाषाओं से पहले एक प्रमेय का होना सामान्य बात है। एक प्रमेय के लिए कई प्रस्तावों या लेममा से पहले होना भी सामान्य है जो तब प्रमाण में उपयोग किए जाते हैं। चूंकि, लेम्मा को कभी-कभी एक प्रमेय के प्रमाण में एम्बेडेड किया जाता है, या तो नेस्टेड साक्ष्य के साथ, या प्रमेय के प्रमाण के बाद उनके प्रमाण प्रस्तुत किए जाते हैं। | ||
किसी प्रमेय के परिणाम या तो प्रमेय और उपपत्ति के बीच प्रस्तुत किए जाते हैं, या सीधे उपपत्ति के बाद। कभी-कभी, उपप्रमेयों के अपने स्वयं के प्रमाण होते हैं जो बताते हैं कि वे प्रमेय से क्यों अनुसरण करते हैं। | किसी प्रमेय के परिणाम या तो प्रमेय और उपपत्ति के बीच प्रस्तुत किए जाते हैं, या सीधे उपपत्ति के बाद। कभी-कभी, उपप्रमेयों के अपने स्वयं के प्रमाण होते हैं जो बताते हैं कि वे प्रमेय से क्यों अनुसरण करते हैं। | ||
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== विद्या == | == विद्या == | ||
यह अनुमान लगाया गया है कि हर साल एक लाख से अधिक प्रमेय सिद्ध होते हैं।<ref>Hoffman 1998, p. 204.</ref> | यह अनुमान लगाया गया है कि हर साल एक लाख से अधिक प्रमेय सिद्ध होते हैं।<ref>Hoffman 1998, p. 204.</ref>सुप्रसिद्ध सूक्ति, एक गणितज्ञ कॉफी को प्रमेयों में बदलने के लिए एक उपकरण है, संभवतः यह अल्फ़्रेड रेनी के कारण है, चूंकि इसे अधिकांशतः रेनी के सहयोगी पॉल एर्डोस (और रेनी एर्दोस के बारे में सोच रहा होगा) के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है, जो अपने द्वारा निर्मित कई प्रमेयों के लिए प्रसिद्ध थे, एर्डो के उनके सहयोग की संख्या, और उनकी कॉफी पीने की संख्या।<ref>Hoffman 1998, p. 7.</ref> | ||
सुप्रसिद्ध सूक्ति, | [[परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण]] कुछ लोगों द्वारा प्रमेय का सबसे लंबा प्रमाण माना जाता है। इसमें लगभग 100 लेखकों द्वारा 500 जर्नल लेखों में हजारों पृष्ठ सम्मलित हैं। माना जाता है कि ये कागजात एक साथ एक पूर्ण प्रमाण देते हैं, और कई चल रही परियोजनाएँ इस प्रमाण को छोटा और सरल बनाने की आशा करती हैं।<ref>[http://plus.maths.org/issue41/features/elwes/index.html An enormous theorem: the classification of finite simple groups], Richard Elwes, Plus Magazine, Issue 41 December 2006.</ref> इस प्रकार का एक अन्य प्रमेय चार रंग प्रमेय है जिसका कंप्यूटर जनित प्रमाण मानव के पढ़ने के लिए बहुत लंबा है। यह एक प्रमेय के सबसे लंबे समय तक ज्ञात प्रमाणों में से एक है, जिसके कथन को सामान्य व्यक्ति आसानी से समझ सकता है।{{citation needed|date=April 2020}} | ||
[[परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण]] कुछ लोगों द्वारा प्रमेय का सबसे लंबा प्रमाण माना जाता है। इसमें लगभग 100 लेखकों द्वारा 500 जर्नल लेखों में हजारों पृष्ठ सम्मलित हैं। माना जाता है कि ये कागजात एक साथ एक पूर्ण प्रमाण देते हैं, और कई चल रही परियोजनाएँ इस प्रमाण को छोटा और सरल बनाने की आशा करती हैं।<ref>[http://plus.maths.org/issue41/features/elwes/index.html An enormous theorem: the classification of finite simple groups], Richard Elwes, Plus Magazine, Issue 41 December 2006.</ref> इस प्रकार का एक अन्य प्रमेय चार रंग प्रमेय है जिसका कंप्यूटर जनित प्रमाण मानव के पढ़ने के लिए बहुत लंबा है। यह एक प्रमेय के सबसे लंबे समय तक ज्ञात प्रमाणों में से एक है, जिसके कथन को | |||
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[[File:Formal languages.svg|thumb|300px|right|यह आरेख [[सिंटेक्स (तर्क)]]तर्क) दिखाता है जिसे औपचारिक भाषाओं से बनाया जा सकता है। [[प्रतीक (औपचारिक)]] और [[स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान)]] को लगभग [[बकवास]] और सुगठित सूत्रों में विभाजित किया जा सकता है। एक औपचारिक भाषा को उसके सुव्यवस्थित सूत्रों के समुच्चय के समान माना जा सकता है। सुगठित सूत्रों के समुच्चय को [[बकवास|लगभग]] प्रमेयों और गैर-प्रमेयों में विभाजित किया जा सकता है।]]व्युत्पन्नता संबंध के | [[File:Formal languages.svg|thumb|300px|right|यह आरेख [[सिंटेक्स (तर्क)]]तर्क) दिखाता है जिसे औपचारिक भाषाओं से बनाया जा सकता है। [[प्रतीक (औपचारिक)]] और [[स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान)]] को लगभग [[बकवास]] और सुगठित सूत्रों में विभाजित किया जा सकता है। एक औपचारिक भाषा को उसके सुव्यवस्थित सूत्रों के समुच्चय के समान माना जा सकता है। सुगठित सूत्रों के समुच्चय को [[बकवास|लगभग]] प्रमेयों और गैर-प्रमेयों में विभाजित किया जा सकता है।]]व्युत्पन्नता संबंध के अनुसार एक सिद्धांत को बंद करने के लिए, इसे औपचारिक प्रणाली डिडक्टिव सिस्टम से जोड़ा जाना चाहिए जो निर्दिष्ट करता है कि प्रमेय कैसे व्युत्पन्न होते हैं। डिडक्टिव सिस्टम को स्पष्ट रूप से कहा जा सकता है, या यह संदर्भ से स्पष्ट हो सकता है। तार्किक परिणाम के संबंध के अंतर्गत खाली सेट को बंद करने से वह सेट प्राप्त होता है जिसमें केवल उन वाक्यों को सम्मलित किया जाता है जो निगमनात्मक प्रणाली के प्रमेय हैं। | ||
जिस व्यापक अर्थ में इस शब्द का उपयोग तर्क के भीतर किया जाता है, एक प्रमेय का सत्य होना जरूरी नहीं है, क्योंकि जिस सिद्धांत में यह सम्मलित है वह किसी दिए गए शब्दार्थ के सापेक्ष ध्वनि हो सकता है, या अंतर्निहित भाषा के मानक [[व्याख्या (तर्क)]] के सापेक्ष हो सकता है। . एक सिद्धांत जो संगति है [[मॉडल सिद्धांत]] में प्रमेय के रूप में सभी वाक्य हैं। | जिस व्यापक अर्थ में इस शब्द का उपयोग तर्क के भीतर किया जाता है, एक प्रमेय का सत्य होना जरूरी नहीं है, क्योंकि जिस सिद्धांत में यह सम्मलित है वह किसी दिए गए शब्दार्थ के सापेक्ष ध्वनि हो सकता है, या अंतर्निहित भाषा के मानक [[व्याख्या (तर्क)]] के सापेक्ष हो सकता है। . एक सिद्धांत जो संगति है [[मॉडल सिद्धांत]] में प्रमेय के रूप में सभी वाक्य हैं। | ||
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=== सिंटेक्स और शब्दार्थ === | === सिंटेक्स और शब्दार्थ === | ||
{{Main|सिंटैक्स (तर्क)|औपचारिक शब्दार्थ (तर्क)}} | {{Main|सिंटैक्स (तर्क)|औपचारिक शब्दार्थ (तर्क)}} | ||
एक औपचारिक प्रमेय की अवधारणा मौलिक रूप से वाक्यात्मक है, एक सच्चे प्रस्ताव की धारणा के विपरीत, जो शब्दार्थ का परिचय देती है। व्युत्पत्ति नियमों ( | एक औपचारिक प्रमेय की अवधारणा मौलिक रूप से वाक्यात्मक है, एक सच्चे प्रस्ताव की धारणा के विपरीत, जो शब्दार्थ का परिचय देती है। व्युत्पत्ति नियमों (अर्थात [[विश्वास]], [[औचित्य का सिद्धांत]] या अन्य [[मॉडल तर्क]]) के अनुमानों के आधार पर विभिन्न निगमनात्मक प्रणालियां अन्य व्याख्याएं उत्पन्न कर सकती हैं। एक औपचारिक प्रणाली की सुदृढ़ता इस बात पर निर्भर करती है कि इसके सभी प्रमेय भी [[वैधता (तर्क)]] हैं या नहीं। एक वैधता एक सूत्र है जो किसी भी संभावित व्याख्या के अनुसार सत्य है (उदाहरण के लिए, शास्त्रीय प्रस्तावपरक तर्क में, वैधता पुनरुक्ति (तर्क) है)। एक औपचारिक प्रणाली को [[पूर्णता (तर्क)]] माना जाता है जब उसके सभी प्रमेय भी पुनरुक्ति होते हैं। | ||
=== एक औपचारिक प्रमेय की व्याख्या === | === एक औपचारिक प्रमेय की व्याख्या === | ||
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{{Mathematical logic}} | {{Mathematical logic}} | ||
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[[डी: प्रमेय]] | [[डी: प्रमेय]] | ||
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