भिन्न: Difference between revisions

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{{short description|Mathematical representation of a portion of a whole}}

[[File:Cake quarters.svg|thumb|एक ~~क्वार्टर~~ (एक चौथाई) ~~के साथ एक~~ केक ~~हटा दिया~~ गया। शेष तीन ~~चौथे~~ को बिंदीदार ~~लाइनों~~ द्वारा दिखाया ~~गया~~ है और ~~भिन्न द्वारा लेबल किया गया है~~ {{sfrac|1|4}}।

[[File:Cake quarters.svg|thumb|एक चौथाई (एक चौथाई) वाला केक निकाला गया। शेष तीन चौथाई को बिंदीदार रेखाओं द्वारा दिखाया जाता है और {{nobr|{{sfrac|1/4 से लेबल किया जाता है।}}}}]]

एक भिन्न (लैटिन शब्द {{lang|la|fractus}} से लिया हुआ) एक पूरे या, अधिक आम तौर पर, समान भागों की संख्या का एक हिस्सा का प्रतिनिधित्व करता है। जब रोजमर्रा की अंग्रेजी में बोली जाती है, तो एक भिन्न बताता है कि एक निश्चित आकार के कितने हिस्से हैं, उदाहरण के लिए, एक-आधा, आठ-पांचवें, तीन-चौथाई। एक सामान्य, अशिष्ट, या सरल भिन्न (उदाहरण: <math>\tfrac{1}{2}</math> तथा <math>\tfrac{17}{3}</math>) एक भिन्न के होते हैं, एक पंक्ति के ऊपर प्रदर्शित होते हैं (या जैसे स्लैश से पहले {{frac|1|2}}), और एक गैर-शून्य हर, नीचे (या बाद में) उस लाइन को प्रदर्शित किया गया। भिन्नों और हर का उपयोग उन भिन्नों में भी किया जाता है जो आम नहीं हैं, जिसमें यौगिक भिन्न, जटिल भिन्न और मिश्रित अंक शामिल हैं।

एक '''भिन्न''' (लैटिन शब्द {{lang|la|fractus}} से लिया हुआ) एक पूरे या, अधिक आम तौर पर, समान भागों की संख्या का एक हिस्सा का प्रतिनिधित्व करता है। जब रोजमर्रा की अंग्रेजी में बोली जाती है, तो एक भिन्न बताता है कि एक निश्चित आकार के कितने हिस्से हैं, उदाहरण के लिए, एक-आधा, आठ-पांचवें, तीन-चौथाई। एक सामान्य, अशिष्ट, या सरल भिन्न (उदाहरण: <math>\tfrac{1}{2}</math> तथा <math>\tfrac{17}{3}</math>) एक भिन्न के होते हैं, एक पंक्ति के ऊपर प्रदर्शित होते हैं (या जैसे स्लैश से पहले {{frac|1|2}}), और एक गैर-शून्य हर, नीचे (या बाद में) उस लाइन को प्रदर्शित किया गया। भिन्नों और हर का उपयोग उन भिन्नों में भी किया जाता है जो आम नहीं हैं, जिसमें यौगिक भिन्न, जटिल भिन्न और मिश्रित अंक शामिल हैं।

सकारात्मक सामान्य भिन्नों में, भिन्न और हर प्राकृतिक संख्याएं हैं। भिन्न कई समान भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और हर इंगित करता है कि उन भागों में से कितने एक इकाई या संपूर्ण बनाते हैं। हर शून्य नहीं हो सकता है, क्योंकि शून्य भाग कभी भी पूरी नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए, भिन्न में {{sfrac|3|4}}, भिन्न 3 इंगित करता है कि भिन्न 3 बराबर भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और हर 4 इंगित करता है कि 4 भाग एक पूरे बनाते हैं। दाईं ओर चित्र दिखाता है {{sfrac|3|4}} एक केक का।

Line 21:

अनौपचारिक रूप से, भिन्न और हर को अकेले प्लेसमेंट द्वारा प्रतिष्ठित किया जा सकता है, लेकिन औपचारिक संदर्भों में वे आमतौर पर एक भिन्न बार द्वारा अलग किए जाते हैं। भिन्न बार क्षैतिज हो सकता है (जैसा कि में) {{sfrac|1|3}}), तिरछे (2/5 के रूप में), या विकर्ण (के रूप में {{Fraction|4|9}})।<ref name=ambrose/> इन निशानों को क्रमशः क्षैतिज बार के रूप में जाना जाता है; द वर्जुले, स्लैश (यूएस), या स्ट्रोक (यूके);और भिन्न बार, सॉलिडस,<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Fraction|url=https://mathworld.wolfram.com/Fraction.html|access-date=2020-08-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> या भिन्न स्लैश।{{refn|group=n|Some typographers such as [[Robert Bringhurst|Bringhurst]] mistakenly distinguish the slash {{angle brackets|[[/]]}} as the ''[[wikt:virgule|virgule]]'' and the fraction slash {{angle brackets|[[⁄]]}} as the ''[[solidus mark|solidus]]'',<ref name="bringhurst">{{cite book |last=Bringhurst |first=Robert |year=2002 |title=The Elements of Typographic Style |edition=3rd |publisher=Hartley & Marks |isbn=978-0-88179-206-5 |pages=81–82 |contribution=5.2.5: Use the Virgule with Words and Dates, the Solidus with Split-level Fractions |location=[[Point Roberts, Washington|Point Roberts]]}}</ref> although in fact both are synonyms for the standard slash.<ref name=verg>{{cite encyclopedia |encyclopedia=Oxford English Dictionary |edition=1st |title=virgule, ''n.'' |date=1917 |location=Oxford |publisher=Oxford University Press }}</ref><ref name=oedsolid>{{cite encyclopedia |encyclopedia=Oxford English Dictionary |edition=1st |title=solidus, ''n.<sup>1</sup>'' |date=1913 |location=Oxford |publisher=Oxford University Press }}</ref>}} टाइपोग्राफी में, लंबवत रूप से स्टैक किए गए भिन्नों को एन या अखरोट भिन्नों के रूप में भी जाना जाता है, और विकर्ण को ईएम या मटन भिन्नों के रूप में जाना जाता है, इस पर आधारित है कि क्या एक एकल-अंकों के भिन्न और हर के साथ एक भिन्न एक संकीर्ण एन वर्ग, या एक व्यापक एम के अनुपात पर कब्जा कर लेता है।वर्ग।<ref name=ambrose>{{cite book |last=Ambrose |first=Gavin |author2=Paul Harris |display-authors=1 |ref={{harvid|Ambrose & al.}} |page=[https://books.google.co.jp/books?id=IW9MAQAAQBAJ&pg=PA74 74] |url=https://books.google.com/books?id=IW9MAQAAQBAJ |title=The Fundamentals of Typography |edition=2nd |publisher=AVA Publishing |location=Lausanne |date=2006 |isbn=978-2-940411-76-4 |access-date=2016-02-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304022742/https://books.google.co.jp/books?id=IW9MAQAAQBAJ&printsec=frontcover |archive-date=2016-03-04 |url-status=live }}.</ref> पारंपरिक टाइपफाउंडिंग में, एक पूर्ण भिन्न को प्रभावित करने वाला प्रकार का एक टुकड़ा (उदा। {{sfrac|1|2}}) को एक केस भिन्न के रूप में जाना जाता था, जबकि भिन्न के केवल हिस्से का प्रतिनिधित्व करने वालों को टुकड़ा भिन्न कहा जाता था।

अंग्रेजी भिन्नों के हर को आम तौर पर क्रमिक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, बहुवचन में यदि भिन्न 1 नहीं है (उदाहरण के लिए, {{sfrac|2|5}} तथा {{sfrac|3|5}} दोनों को पांचवें स्थान के रूप में पढ़ा जाता है।) अपवादों में डेनोमिनेटर 2 शामिल हैं, जो हमेशा आधा या हिस्सों को पढ़ा जाता है, हर 4, जिसे वैकल्पिक रूप से ~~क्वार्टर~~ / ~~क्वार्टर~~ या चौथे / चौथे के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और हर 100, जो हो सकता है वैकल्पिक रूप से सौवें / सौवें या प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाए।

अंग्रेजी भिन्नों के हर को आम तौर पर क्रमिक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, बहुवचन में यदि भिन्न 1 नहीं है (उदाहरण के लिए, {{sfrac|2|5}} तथा {{sfrac|3|5}} दोनों को पांचवें स्थान के रूप में पढ़ा जाता है।) अपवादों में डेनोमिनेटर 2 शामिल हैं, जो हमेशा आधा या हिस्सों को पढ़ा जाता है, हर 4, जिसे वैकल्पिक रूप से चौथाई / चौथाई या चौथे / चौथे के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और हर 100, जो हो सकता है वैकल्पिक रूप से सौवें / सौवें या प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाए।

जब हर 1 होता है, तो इसे पूरी तरह से व्यक्त किया जा सकता है, लेकिन आमतौर पर अधिक अनदेखा किया जाता है, भिन्न के साथ एक पूरी संख्या के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, {{sfrac|3|1}} तीन थोक के रूप में, या बस तीन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। जब भिन्न 1 होता है, तो इसे छोड़ा जा सकता है (जैसा कि दसवें या प्रत्येक तिमाही में)।

Line 49:

=== अनुपात ===

एक अनुपात दो या अधिक संख्याओं के बीच एक संबंध है जिसे कभी -कभी एक भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता ~~है।आमतौर~~ पर, कई वस्तुओं को समूहीकृत किया जाता है और एक अनुपात में तुलना की जाती है, जो प्रत्येक समूह के बीच संबंध को संख्यात्मक रूप से निर्दिष्ट करती है। अनुपात समूह 1 से समूह 2 ... समूह n के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक कार लॉट में 12 वाहन थे, जिनमें से

एक अनुपात दो या अधिक संख्याओं के बीच एक संबंध है जिसे कभी -कभी एक भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। आमतौर पर, कई वस्तुओं को समूहीकृत किया जाता है और एक अनुपात में तुलना की जाती है, जो प्रत्येक समूह के बीच संबंध को संख्यात्मक रूप से निर्दिष्ट करती है। अनुपात समूह 1 से समूह 2 ... समूह n के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक कार लॉट में 12 वाहन थे, जिनमें से

* 2 सफेद हैं,

* 6 लाल हैं, और

Line 59:

=== दशमलव भिन्न और प्रतिशत ===

एक दशमलव भिन्न एक ऐसा भिन्न है जिसका हर स्पष्ट रूप से नहीं दिया जाता है, लेकिन इसे दस की पूर्णांक घात माना जाता है। दशमलव भिन्नों को आमतौर पर दशमलव ~~अंकन~~ का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है जिसमें निहित हर को दशमलव ~~विहर~~ के दाईं ओर अंकों की संख्या से निर्धारित किया जाता है, जिसकी उपस्थिति (जैसे, एक अवधि, ~~एक उठाया अवधि~~ (•), एक अल्पविराम) निर्भर करता हैलोकेल (उदाहरण के लिए, दशमलव ~~विहर#~~हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली देखें ~~| दशमलव विहर~~)~~।इस~~ प्रकार, 0.75 के लिए भिन्न 75 है और निहित हर 10 से दूसरी घात है, '' ~~अर्थात।~~ '' 100, क्योंकि दशमलव ~~विहर~~ के दाईं ओर दो अंक हैं। 1 (जैसे 3.75) से अधिक दशमलव संख्या में, संख्या का आंशिक भाग अंक द्वारा दशमलव के दाईं ओर (इस मामले में 0.75 के मान के साथ) द्वारा व्यक्त किया जाता है। 3.75 या तो एक विषम भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, 375/100, या मिश्रित संख्या के रूप में, <math>3\tfrac{75}{100}</math>।

एक दशमलव भिन्न एक ऐसा भिन्न है जिसका हर स्पष्ट रूप से नहीं दिया जाता है, लेकिन इसे दस की पूर्णांक घात माना जाता है। दशमलव भिन्नों को आमतौर पर दशमलव अंक का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है जिसमें निहित हर को दशमलव विभाजक के दाईं ओर अंकों की संख्या से निर्धारित किया जाता है, जिसकी उपस्थिति (जैसे, एक अवधि,चिह्न (•), एक अल्पविराम) निर्भर करता हैलोकेल (उदाहरण के लिए, दशमलव प्रणाली (हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली देखें) )। इस प्रकार, 0.75 के लिए भिन्न 75 है और निहित हर 10 से दूसरी घात है, '' अर्थात- '' 100, क्योंकि दशमलव के दाईं ओर दो अंक हैं। 1 (जैसे 3.75) से अधिक दशमलव संख्या में, संख्या का आंशिक भाग अंक द्वारा दशमलव के दाईं ओर (इस मामले में 0.75 के मान के साथ) द्वारा व्यक्त किया जाता है। 3.75 या तो एक विषम भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, 375/100, या मिश्रित संख्या के रूप में, <math>3\tfrac{75}{100}</math>।

दशमलव भिन्नों को नकारात्मक घातांक के साथ वैज्ञानिक संकेतन का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है, जैसे {{val|6.023|e=-7}}, जो 0.0000006023 का प्रतिनिधित्व करता है, यहां {{val|e=-7}} के हर एक का {{val|e=7}} प्रतिनिधित्व करता है। विभाजित करना {{val|e=7}}भाग करने पर दशमलव बिंदु 7 स्थानों को बाईं ओर ले जाता है।

Line 72:

==={{anchor|Mixed numbers}}मिश्रित संख्या ===

एक मिश्रित अंक (जिसे '' मिश्रित भिन्न '' या '' मिश्रित संख्या '' भी कहा जाता है) एक गैर-शून्य पूर्णांक और एक उचित भिन्न (एक ही संकेत होने) के योग का एक पारंपरिक निरूपण ~~है।इसका~~ उपयोग मुख्य रूप से माप में किया जाता है: <math>2\tfrac{3}{16}</math>उदाहरण के लिए, ~~इंच।वैज्ञानिक~~ माप मिश्रित संख्याओं के बजाय ~~लगभग~~ हमेशा दशमलव ~~अंकन~~ का उपयोग करते ~~हैं।राशि~~ को एक दृश्य ऑपरेटर के उपयोग के बिना निहित किया जा सकता है जैसे कि उपयुक्त +~~।उदाहरण~~ के लिए, दो पूरे केक और एक अन्य केक के तीन ~~तिमाहियों~~ का उल्लेख करते हुए, पूर्णांक भाग को दर्शाने वाले अंक और केक के आंशिक भाग को एक दूसरे के बगल में लिखा जा सकता है <math>2\tfrac{3}{4}</math>इसके बजाय अस्पष्ट संकेतन <math>2+\tfrac{3}{4}.</math> नकारात्मक मिश्रित अंक, के रूप में <math>-2\tfrac{3}{4}</math>, की तरह व्यवहार किया जाता है <math>\scriptstyle -\left(2+\frac{3}{4}\right).</math> एक पूरे प्लस के किसी भी योग को एक भाग के विपरीत जोड़ने के नियमों को लागू करके एक विषम भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है।

एक मिश्रित अंक (जिसे '' मिश्रित भिन्न '' या '' मिश्रित संख्या '' भी कहा जाता है) एक गैर-शून्य पूर्णांक और एक उचित भिन्न (एक ही संकेत होने) के योग का एक पारंपरिक निरूपण है। इसका उपयोग मुख्य रूप से माप में किया जाता है: <math>2\tfrac{3}{16}</math>उदाहरण के लिए, इंच वैज्ञानिक माप मिश्रित संख्याओं के बजाय हमेशा दशमलव अंक का उपयोग करते हैं। राशि को एक दृश्य ऑपरेटर के उपयोग के बिना निहित किया जा सकता है जैसे कि उपयुक्त जैसे "+" उदाहरण के लिए- दो पूरे केक और एक अन्य केक के तीन-चौथाई का उल्लेख करते हुए, पूर्णांक भाग को दर्शाने वाले अंक और केक के आंशिक भाग को एक दूसरे के बगल में लिखा जा सकता है <math>2\tfrac{3}{4}</math>इसके बजाय अस्पष्ट संकेतन <math>2+\tfrac{3}{4}.</math> नकारात्मक मिश्रित अंक, के रूप में <math>-2\tfrac{3}{4}</math>, की तरह व्यवहार किया जाता है <math>\scriptstyle -\left(2+\frac{3}{4}\right).</math> एक पूरे प्लस के किसी भी योग को एक भाग के विपरीत जोड़ने के नियमों को लागू करके एक विषम भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है।

यह परंपरा, औपचारिक रूप से, बीजगणित में संकेतन के साथ संघर्ष में है, जहां आसन्न प्रतीक, एक स्पष्ट इन्फिक्स ऑपरेटर के बिना, एक उत्पाद को निरूपित करते ~~हैं।अभिव्यक्ति~~ में <math>2x</math>, समझा गया ऑपरेशन गुणा ~~है।यदि~~ {{mvar|x}} उदाहरण के लिए, भिन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है <math> \tfrac{3}{4}</math>, मिश्रित संख्या की उपस्थिति से बचने के लिए, स्पष्ट गुणन को स्पष्ट गुणन द्वारा प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है।

यह परंपरा, औपचारिक रूप से, बीजगणित में संकेतन के साथ संघर्ष में है, जहां आसन्न प्रतीक, एक स्पष्ट इन्फिक्स ऑपरेटर के बिना, एक उत्पाद को निरूपित करते हैं। अभिव्यक्ति में <math>2x</math>, समझा गया ऑपरेशन गुणा है। यदि {{mvar|x}} उदाहरण के लिए, भिन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है <math> \tfrac{3}{4}</math>, मिश्रित संख्या की उपस्थिति से बचने के लिए, स्पष्ट गुणन को स्पष्ट गुणन द्वारा प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है।

जब गुणन का इरादा होता है, <math> 2 \tfrac{b}{c}</math> के रूप में लिखा जा सकता है

Line 81:

एक विषम भिन्न को निम्नानुसार मिश्रित संख्या में परिवर्तित किया जा सकता है:

# यूक्लिडियन डिवीजन (शेष के साथ विभाजन) का उपयोग करते हुए, भिन्न को हर द्वारा विभाजित ~~करें।उदाहरण~~ में, <math>\tfrac{11}{4}</math>, 11 को विभाजित करें 4. 11 = 4 = 2 शेष 3।

# यूक्लिडियन डिवीजन (शेष के साथ विभाजन) का उपयोग करते हुए, भिन्न को हर द्वारा विभाजित करें। उदाहरण में, <math>\tfrac{11}{4}</math>, 11 को विभाजित करें 4. 11 = 4 = 2 शेष 3।

# भागफल (शेष के बिना) मिश्रित संख्या का पूरा हिस्सा बन जाता है।शेष आंशिक भाग का भिन्न बन जाता ~~है।उदाहरण~~ में, 2 पूरे नंबर भाग है और 3 आंशिक भाग का भिन्न है।

# भागफल (शेष के बिना) मिश्रित संख्या का पूरा हिस्सा बन जाता है।शेष आंशिक भाग का भिन्न बन जाता है। उदाहरण में, 2 पूरे नंबर भाग है और 3 आंशिक भाग का भिन्न है।

# नया हर विषम भिन्न के हर के समान है।उदाहरण में, यह 4. इस प्रकार है, <math>\tfrac{11}{4} =2\tfrac{3}{4}</math>।

Line 88:

==== मिस्र का भिन्न ====

एक मिस्र का भिन्न विशिष्ट सकारात्मक इकाई भिन्नों का योग है, उदाहरण के लिए <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}</math>~~।यह~~ परिभाषा इस तथ्य से निकली है कि प्राचीन मिस्रियों ने सभी भिन्नों को छोड़कर व्यक्त किया <math>\tfrac{1}{2}</math>, <math>\tfrac{2}{3}</math> तथा <math>\tfrac{3}{4}</math> ~~इस तरह से।प्रत्येक~~ सकारात्मक परिमेय संख्या को मिस्र के भिन्न के रूप में विस्तारित किया जा सकता ~~है।उदाहरण~~ के लिए, <math>\tfrac{5}{7}</math> के रूप में लिखा जा सकता है <math>\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{21}.</math> किसी भी सकारात्मक परिमेय संख्या को असीम रूप से कई तरीकों से इकाई भिन्नों के योग के रूप में लिखा जा सकता ~~है।लिखने~~ के दो तरीके <math>\tfrac{13}{17}</math> हैं <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{68}</math> तथा <math>\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{68}</math>।

एक मिस्र का भिन्न विशिष्ट सकारात्मक इकाई भिन्नों का योग है, उदाहरण के लिए <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}</math>, यह परिभाषा इस तथ्य से निकली है कि प्राचीन मिस्रियों ने सभी भिन्नों को छोड़कर इस तरह से व्यक्त किया <math>\tfrac{1}{2}</math>, <math>\tfrac{2}{3}</math> तथा <math>\tfrac{3}{4}</math>प्रत्येक सकारात्मक परिमेय संख्या को मिस्र के भिन्न के रूप में विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, <math>\tfrac{5}{7}</math> के रूप में लिखा जा सकता है <math>\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{21}.</math> किसी भी सकारात्मक परिमेय संख्या को असीम रूप से कई तरीकों से इकाई भिन्नों के योग के रूप में लिखा जा सकता है। लिखने के दो तरीके <math>\tfrac{13}{17}</math> हैं <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{68}</math> तथा <math>\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{68}</math>।

==== जटिल और यौगिक भिन्न ====

एक जटिल भिन्न में, या तो भिन्न, या हर, या दोनों, एक भिन्न या मिश्रित संख्या है,<ref name="Trotter">{{cite book|last=Trotter|first=James|title=A complete system of arithmetic|page=65|year=1853|url=https://books.google.com/books?id=a0sDAAAAQAAJ&q=%22complex+fraction%22&pg=PA65}}</ref><ref name="Barlow">{{cite book|last=Barlow|first=Peter|title=A new mathematical and philosophical dictionary|year=1814|url=https://books.google.com/books?id=BBowAAAAYAAJ&q=%2B%22complex+fraction%22+%2B%22compound+fraction%22&pg=PT329}}</ref> भिन्नों के विभाजन के ~~अनुरूप।उदाहरण~~ के लिए, <math>\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}}</math> तथा <math>\frac{12\tfrac{3}{4}}{26}</math> जटिल भिन्न ~~हैं।एक~~ साधारण भिन्न के लिए एक जटिल भिन्न को कम करने के लिए, सबसे लंबी भिन्न रेखा का प्रतिनिधित्व विभाजन के रूप में ~~मानें।उदाहरण~~ के लिए:

एक जटिल भिन्न में, या तो भिन्न, या हर, या दोनों, एक भिन्न या मिश्रित संख्या है,<ref name="Trotter">{{cite book|last=Trotter|first=James|title=A complete system of arithmetic|page=65|year=1853|url=https://books.google.com/books?id=a0sDAAAAQAAJ&q=%22complex+fraction%22&pg=PA65}}</ref><ref name="Barlow">{{cite book|last=Barlow|first=Peter|title=A new mathematical and philosophical dictionary|year=1814|url=https://books.google.com/books?id=BBowAAAAYAAJ&q=%2B%22complex+fraction%22+%2B%22compound+fraction%22&pg=PT329}}</ref> भिन्नों के विभाजन के अनुरूप। उदाहरण के लिए, <math>\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}}</math> तथा <math>\frac{12\tfrac{3}{4}}{26}</math> जटिल भिन्न हैं। एक साधारण भिन्न के लिए एक जटिल भिन्न को कम करने के लिए, सबसे लंबी भिन्न रेखा का प्रतिनिधित्व विभाजन के रूप में मानें। उदाहरण के लिए:

:<math>\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}}=\tfrac{1}{2}\times\tfrac{3}{1}=\tfrac{3}{2}</math>

Line 98:

:<math>\frac{\tfrac{3}{2}}5=\tfrac{3}{2}\times\tfrac{1}{5}=\tfrac{3}{10}</math>

:<math>\frac{8}{\tfrac{1}{3}}=8\times\tfrac{3}{1}=24.</math>

यदि, एक जटिल भिन्न में, यह बताने का कोई अनूठा तरीका नहीं है कि कौन सी भिन्न रेखाएं पूर्ववर्तीता लेती हैं, तो यह अभिव्यक्ति विषम रूप से बनती है, क्योंकि अस्पष्टता के कारण।इसलिए 5/10/20/40 एक वैध गणितीय अभिव्यक्ति नहीं है, क्योंकि कई संभावित व्याख्याओं के कारण, ~~उदा।जैसा~~

यदि, एक जटिल भिन्न में, यह बताने का कोई अनूठा तरीका नहीं है कि कौन सी भिन्न रेखाएं पूर्ववर्तीता लेती हैं, तो यह अभिव्यक्ति विषम रूप से बनती है, क्योंकि अस्पष्टता के कारण।इसलिए 5/10/20/40 एक वैध गणितीय अभिव्यक्ति नहीं है, क्योंकि कई संभावित व्याख्याओं के कारण, उदा.-

:<math>5/(10/(20/40)) = \frac{5}{10/\tfrac{20}{40}} = \frac{1}{4}\quad</math> या के रूप में <math>\quad (5/10)/(20/40) = \frac{\tfrac{5}{10}}{\tfrac{20}{40}} = 1</math>

एक यौगिक भिन्न एक भिन्न का एक भिन्न है, या '' शब्द '' शब्द से जुड़े किसी भी संख्या में भिन्न,<ref name="Trotter" /><ref name="Barlow" />भिन्नों के गुणन के अनुरूप।एक साधारण भिन्न में एक यौगिक भिन्न को कम करने के लिए, बस गुणन को बाहर ले जाएं (गुणन पर अनुभाग देखें)।उदाहरण के लिए, <math>\tfrac{3}{4}</math> का <math>\tfrac{5}{7}</math> एक यौगिक भिन्न है, के अनुरूप <math>\tfrac{3}{4} \times \tfrac{5}{7} = \tfrac{15}{28}</math>~~।शब्द~~ यौगिक भिन्न और जटिल भिन्न निकटता से संबंधित हैं और कभी -कभी एक का उपयोग दूसरे के पर्याय के रूप में किया जाता है।(उदाहरण के लिए, यौगिक भिन्न <math>\tfrac{3}{4} \times \tfrac{5}{7}</math> जटिल भिन्न के बराबर है <math>\tfrac{3/4}{7/5}</math>।)

एक यौगिक भिन्न एक भिन्न का एक भिन्न है, या '' शब्द '' शब्द से जुड़े किसी भी संख्या में भिन्न,<ref name="Trotter" /><ref name="Barlow" />भिन्नों के गुणन के अनुरूप।एक साधारण भिन्न में एक यौगिक भिन्न को कम करने के लिए, बस गुणन को बाहर ले जाएं (गुणन पर अनुभाग देखें)।उदाहरण के लिए, <math>\tfrac{3}{4}</math> का <math>\tfrac{5}{7}</math> एक यौगिक भिन्न है, के अनुरूप <math>\tfrac{3}{4} \times \tfrac{5}{7} = \tfrac{15}{28}</math>. शब्द यौगिक भिन्न और जटिल भिन्न निकटता से संबंधित हैं और कभी-कभी एक का उपयोग दूसरे के पर्याय के रूप में किया जाता है।(उदाहरण के लिए, यौगिक भिन्न <math>\tfrac{3}{4} \times \tfrac{5}{7}</math> जटिल भिन्न के बराबर है <math>\tfrac{3/4}{7/5}</math>)

फिर भी, जटिल भिन्न और यौगिक भिन्न दोनों को पुराना माना जा सकता है<ref>https://www.collinsdictionary.com/dictionary/english/complex-fraction {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171201182513/https://www.collinsdictionary.com/dictionary/english/complex-fraction |date=2017-12-01 }} et al.</ref> और अब कोई अच्छी तरह से परिभाषित तरीके से उपयोग किया जाता है, आंशिक रूप से एक दूसरे के लिए समानार्थी रूप से लिया जाता है<ref>{{cite web |url=https://www.collinsdictionary.com/dictionary/english/complex-fraction |title=Complex fraction definition and meaning |publisher=Collins English Dictionary |date=2018-03-09 |access-date=2018-03-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20171201182513/https://www.collinsdictionary.com/dictionary/english/complex-fraction |archive-date=2017-12-01 |url-status=live }}</ref> या मिश्रित अंकों के लिए।<ref>{{cite web |url=http://www.sosmath.com/algebra/fraction/frac5/frac5.html |title=Compound Fractions |publisher=Sosmath.com |date=1996-02-05 |access-date=2018-03-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180314105714/http://www.sosmath.com/algebra/fraction/frac5/frac5.html |archive-date=2018-03-14 |url-status=live }}</ref> उन्होंने तकनीकी शब्दों के रूप में अपना अर्थ खो दिया है और विशेषताओं को जटिल और यौगिक का उपयोग उनके हर दिन में भागों से मिलकर किया जाता है।

== भिन्नों के साथ अंकगणित ==

संपूर्ण संख्याओं की तरह, भिन्न कम्यूटेटिव, साहचर्य और वितरण कानूनों का पालन करते हैं, और शून्य द्वारा विभाजन के ~~खिलाफ~~ नियम।

संपूर्ण संख्याओं की तरह, भिन्न कम्यूटेटिव, साहचर्य और वितरण कानूनों का पालन करते हैं, और शून्य द्वारा विभाजन के विपरीत नियम।

=== समकक्ष भिन्न ===

एक भिन्न के भिन्न और हर को एक ही (गैर-शून्य) संख्या से गुणा करना एक भिन्न में परिणाम होता है जो मूल भिन्न के बराबर होता है।यह सच है क्योंकि किसी भी गैर-शून्य संख्या के लिए <math>n</math>, भिन्न <math>\tfrac{n}{n}</math> बराबरी <math>1</math>।इसलिए, से गुणा करना <math>\tfrac{n}{n}</math> एक के द्वारा गुणा करने के समान है, और किसी द्वारा गुणा किए गए किसी भी संख्या का मूल संख्या के समान मूल्य ~~है।एक~~ उदाहरण के माध्यम से, भिन्न से शुरू करें <math>\tfrac{1}{2}</math>~~।जब भिन्न और~~ हर दोनों को 2 से गुणा किया जाता है, तो परिणाम होता है <math>\tfrac{2}{4}</math>, जिसका समान मान (0.5) जैसा है <math>\tfrac{1}{2}</math>~~।इस~~ नेत्रहीन को चित्रित करने के लिए, एक केक को चार टुकड़ों में काटने की कल्पना करें;एक साथ दो टुकड़ों (<math>\tfrac{2}{4}</math>) आधा केक बनाओ (<math>\tfrac{1}{2}</math>)।

एक भिन्न के भिन्न और हर को एक ही (गैर-शून्य) संख्या से गुणा करना एक भिन्न में परिणाम होता है जो मूल भिन्न के बराबर होता है।यह सच है क्योंकि किसी भी गैर-शून्य संख्या के लिए <math>n</math>, भिन्न <math>\tfrac{n}{n}</math> बराबरी <math>1</math>।इसलिए, से गुणा करना <math>\tfrac{n}{n}</math> एक के द्वारा गुणा करने के समान है, और किसी द्वारा गुणा किए गए किसी भी संख्या का मूल संख्या के समान मूल्य है। एक उदाहरण के माध्यम से, भिन्न से शुरू करें <math>\tfrac{1}{2}</math>। जब अंशऔर हर दोनों को 2 से गुणा किया जाता है, तो परिणाम होता है <math>\tfrac{2}{4}</math>, जिसका समान मान (0.5) जैसा है <math>\tfrac{1}{2}</math>। इस नेत्रहीन को चित्रित करने के लिए, एक केक को चार टुकड़ों में काटने की कल्पना करें;एक साथ दो टुकड़ों (<math>\tfrac{2}{4}</math>) आधा केक बनाओ (<math>\tfrac{1}{2}</math>)।

==== सरलीकरण (कम करना) भिन्न{{anchor|Simplification|Reduction}}====

एक ही गैर-शून्य संख्या द्वारा एक भिन्न के ~~भिन्न~~ और हर को विभाजित करने से एक समतुल्य भिन्न होता है: यदि एक भिन्न के ~~भिन्न~~ और हर दोनों एक संख्या (जिसे कारक कहा जाता है) 1 से अधिक विभाज्य हैं, तो भिन्न कम किया जा सकता ~~है।एक~~ छोटे ~~भिन्न~~ और एक छोटे हर के साथ एक समान भिन्न के ~~लिए।उदाहरण~~ के लिए, यदि ~~भिन्न~~ और भिन्न के हर दोनों <math>\tfrac{a}{b}</math> द्वारा विभाज्य हैं <math>c,</math> तब उन्हें लिखा जा सकता है <math>a=cd</math> तथा <math>b=ce,</math> और भिन्न बन जाता है <math>\tfrac{cd}{ce}</math>, जो कि ~~भिन्न~~ और हर दोनों को विभाजित करके कम किया जा सकता है <math>c</math> कम भिन्न देने के लिए <math>\tfrac{d}{e}.</math>

एक ही गैर-शून्य संख्या द्वारा एक भिन्न के अंश और हर को विभाजित करने से एक समतुल्य भिन्न होता है: यदि एक भिन्न के अंश और हर दोनों एक संख्या (जिसे कारक कहा जाता है) 1 से अधिक विभाज्य हैं, तो भिन्न कम किया जा सकता है। एक छोटे अंश और एक छोटे हर के साथ एक समान भिन्न के लिए। उदाहरण के लिए, यदि अंश और भिन्न के हर दोनों <math>\tfrac{a}{b}</math> द्वारा विभाज्य हैं <math>c,</math> तब उन्हें लिखा जा सकता है <math>a=cd</math> तथा <math>b=ce,</math> और भिन्न बन जाता है <math>\tfrac{cd}{ce}</math>, जो कि अंश और हर दोनों को विभाजित करके कम किया जा सकता है <math>c</math> कम भिन्न देने के लिए <math>\tfrac{d}{e}.</math> यदि कोई के लिए ले जाता है {{mvar|c}} अंश और हर का सबसे बड़ा आम हर, एक को समतुल्य भिन्न मिलता है, जिसके अंश और हर के पास सबसे कम निरपेक्ष मूल्य होते हैं। एक का कहना है कि भिन्न को इसकी सबसे कम शर्तों तक कम कर दिया गया है।

यदि कोई के लिए ले जाता है {{mvar|c}} ~~भिन्न~~ और हर का सबसे बड़ा आम हर, एक को समतुल्य भिन्न मिलता है, जिसके ~~भिन्न~~ और हर के पास सबसे कम निरपेक्ष मूल्य होते ~~हैं।एक~~ का कहना है कि भिन्न को इसकी सबसे कम शर्तों तक कम कर दिया गया है।

यदि ~~भिन्न~~ और हर 1 से अधिक किसी भी कारक को साझा नहीं करते हैं, तो भिन्न पहले से ही अपने सबसे कम शब्दों में कम हो गया है, और यह कहा जाता है कि यह अयोग्य, कम, या सरलतम शब्दों में है।उदाहरण के लिए, <math>\tfrac{3}{9}</math> सबसे कम शब्दों में नहीं है क्योंकि 3 और 9 दोनों को बिल्कुल विभाजित किया जा सकता है। इसके विपरीत, <math>\tfrac{3}{8}</math> सबसे कम शब्दों में है - केवल सकारात्मक पूर्णांक जो 3 और 8 दोनों में समान रूप से जाता है 1 है।

यदि अंश और हर 1 से अधिक किसी भी कारक को साझा नहीं करते हैं, तो भिन्न पहले से ही अपने सबसे कम शब्दों में कम हो गया है, और यह कहा जाता है कि यह अयोग्य, कम, या सरलतम शब्दों में है।उदाहरण के लिए, <math>\tfrac{3}{9}</math> सबसे कम शब्दों में नहीं है क्योंकि 3 और 9 दोनों को बिल्कुल विभाजित किया जा सकता है। इसके विपरीत, <math>\tfrac{3}{8}</math> सबसे कम शब्दों में है - केवल सकारात्मक पूर्णांक जो 3 और 8 दोनों में समान रूप से जाता है 1 है।

इन नियमों का उपयोग करते हुए, हम यह दिखा सकते हैं कि <math>\tfrac{5}{10} = \tfrac{1}{2} = \tfrac{10}{20} = \tfrac{50}{100}</math>~~, उदाहरण के लिए।~~

इन नियमों का उपयोग करते हुए, उदाहरण के लिए हम यह दिखा सकते हैं कि <math>\tfrac{5}{10} = \tfrac{1}{2} = \tfrac{10}{20} = \tfrac{50}{100}</math>.

एक अन्य उदाहरण के रूप में, चूंकि 63 और 462 का सबसे बड़ा आम हर 21 है, इसलिए भिन्न <math>\tfrac{63}{462}</math> न्यूमरेटर और हर को 21 से विभाजित करके सबसे कम शब्दों में कम किया जा सकता है:

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यदि समान हर नकारात्मक हैं, तो भिन्नों की तुलना करने का विपरीत परिणाम भिन्नों के लिए रखता है:

:<math>\tfrac{3}{-4}<\tfrac{2}{-4} \text{ ~~because~~ } \tfrac{a}{-b}= \tfrac{-a}{b} \text{ ~~and~~ } -3 < -2. </math>

:<math>\tfrac{3}{-4}<\tfrac{2}{-4} \text{ , } \tfrac{a}{-b}= \tfrac{-a}{b} \text{ , } -3 < -2. </math>

यदि दो सकारात्मक भिन्नों में एक ही भिन्न है, तो छोटे हर के साथ भिन्न बड़ी संख्या है।जब एक पूरे को समान टुकड़ों में विभाजित किया जाता है, यदि पूरे समान टुकड़ों को पूरे बनाने के लिए आवश्यक है, तो प्रत्येक टुकड़ा बड़ा होना ~~चाहिए।जब~~ दो सकारात्मक भिन्नों में एक ही भिन्न होता है, तो वे एक ही संख्या में भागों का प्रतिनिधित्व करते हैं, लेकिन छोटे हर के साथ भिन्न में, भाग बड़े होते हैं।

यदि दो सकारात्मक भिन्नों में एक ही भिन्न है, तो छोटे हर के साथ भिन्न बड़ी संख्या है।जब एक पूरे को समान टुकड़ों में विभाजित किया जाता है, यदि पूरे समान टुकड़ों को पूरे बनाने के लिए आवश्यक है, तो प्रत्येक टुकड़ा बड़ा होना चाहिए। जब दो सकारात्मक भिन्नों में एक ही भिन्न होता है, तो वे एक ही संख्या में भागों का प्रतिनिधित्व करते हैं, लेकिन छोटे हर के साथ भिन्न में, भाग बड़े होते हैं।

अलग -अलग भिन्नों और हर के साथ भिन्नों की तुलना करने का एक तरीका एक सामान्य हर को खोजने के लिए ~~है।तुलना~~ करने के लिए <math>\tfrac{a}{b}</math> तथा <math>\tfrac{c}{d}</math>, इन में परिवर्तित हो गए हैं <math>\tfrac{a\cdot d}{b\cdot d}</math> तथा <math>\tfrac{b\cdot c}{b\cdot d}</math> (जहां डॉट गुणन को दर्शाता है और × का एक वैकल्पिक प्रतीक है)~~।तब बीडी~~ एक आम हर है और भिन्नों के विज्ञापन और ~~बीसी~~ की तुलना की जा सकती ~~है।भिन्नों~~ की तुलना करने के लिए आम हर के मूल्य को निर्धारित करना आवश्यक नहीं है - कोई केवल ~~एडी~~ और ~~बीसी~~ की तुलना कर सकता है, ~~बीडी~~ का मूल्यांकन किए बिना, जैसे~~, तुलना करना~~, तुलना करना <math>\tfrac{2}{3}</math> ? <math>\tfrac{1}{2}</math> देता है <math>\tfrac{4}{6}>\tfrac{3}{6}</math>।

अलग-अलग भिन्नों और हर के साथ भिन्नों की तुलना करने का एक तरीका एक सामान्य हर को खोजने के लिए है। तुलना करने के लिए <math>\tfrac{a}{b}</math> तथा <math>\tfrac{c}{d}</math>, इन में परिवर्तित हो गए हैं <math>\tfrac{a\cdot d}{b\cdot d}</math> तथा <math>\tfrac{b\cdot c}{b\cdot d}</math> (जहां डॉट गुणन को दर्शाता है और × का एक वैकल्पिक प्रतीक है)। तब bd एक आम हर है और भिन्नों के विज्ञापन और bc की तुलना की जा सकती है। भिन्नों की तुलना करने के लिए आम हर के मूल्य को निर्धारित करना आवश्यक नहीं है - कोई केवल ad और bc की तुलना कर सकता है, bd का मूल्यांकन किए बिना, जैसे, तुलना करना <math>\tfrac{2}{3}</math> ? <math>\tfrac{1}{2}</math> देता है <math>\tfrac{4}{6}>\tfrac{3}{6}</math>।

अधिक श्रमसाध्य प्रश्न के लिए <math>\tfrac{5}{18}</math> ? <math>\tfrac{4}{17},</math> अन्य भिन्न के हर द्वारा प्रत्येक भिन्न के ऊपर और नीचे गुणा करें, एक सामान्य हर प्राप्त करने के लिए, उपज <math>\tfrac{5 \times 17}{18 \times 17}</math> ? <math>\tfrac{18 \times 4}{18 \times 17}</math>।गणना करना आवश्यक नहीं है <math>18 \times 17</math> - केवल भिन्नों की तुलना करने की आवश्यकता ~~है।चूंकि~~ 5 × 17 (= ~~& nbsp;~~ 85) 4 × 18 (= ~~& nbsp;~~ 72) से अधिक है, तुलना का परिणाम है <math>\tfrac{5}{18}>\tfrac{4}{17}</math>।

अधिक श्रमसाध्य प्रश्न के लिए <math>\tfrac{5}{18}</math> ? <math>\tfrac{4}{17},</math> अन्य भिन्न के हर द्वारा प्रत्येक भिन्न के ऊपर और नीचे गुणा करें, एक सामान्य हर प्राप्त करने के लिए, उपज <math>\tfrac{5 \times 17}{18 \times 17}</math> ? <math>\tfrac{18 \times 4}{18 \times 17}</math>।गणना करना आवश्यक नहीं है <math>18 \times 17</math> - केवल भिन्नों की तुलना करने की आवश्यकता है। चूंकि 5 × 17 (= 85) 4 × 18 (= 72) से अधिक है, तुलना का परिणाम है <math>\tfrac{5}{18}>\tfrac{4}{17}</math>।

क्योंकि नकारात्मक भिन्नों सहित प्रत्येक नकारात्मक संख्या, शून्य से कम है, और सकारात्मक भिन्नों सहित प्रत्येक सकारात्मक संख्या, शून्य से अधिक है, यह इस प्रकार है कि कोई भी नकारात्मक भिन्न किसी भी सकारात्मक भिन्न से कम ~~है।यह~~ उपरोक्त नियमों के साथ, सभी संभावित भिन्नों की तुलना करने की अनुमति देता है।

क्योंकि नकारात्मक भिन्नों सहित प्रत्येक नकारात्मक संख्या, शून्य से कम है, और सकारात्मक भिन्नों सहित प्रत्येक सकारात्मक संख्या, शून्य से अधिक है, यह इस प्रकार है कि कोई भी नकारात्मक भिन्न किसी भी सकारात्मक भिन्न से कम है। यह उपरोक्त नियमों के साथ, सभी संभावित भिन्नों की तुलना करने की अनुमति देता है।

=== ~~इसके अलावा~~ ===

=== जोड़ ===

~~इसके अलावा~~ पहला नियम यह है कि ~~केवल~~ मात्रा की तरह जोड़ा जा सकता है;उदाहरण के लिए, विभिन्न मात्रा में

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 {{short description|Mathematical representation of a portion of a whole}}
 {{other uses}}
-[[File:Cake quarters.svg|thumb|एक क्वार्टर (एक चौथाई) के साथ एक केक हटा दिया गया। शेष तीन चौथे को बिंदीदार लाइनों द्वारा दिखाया गया है और भिन्न द्वारा लेबल किया गया है {{sfrac|1|4}}।
+[[File:Cake quarters.svg|thumb|एक चौथाई (एक चौथाई) वाला केक निकाला गया। शेष तीन चौथाई को बिंदीदार रेखाओं द्वारा दिखाया जाता है और {{nobr|{{sfrac|1/4 से लेबल किया जाता है।}}}}]]
-एक भिन्न (लैटिन शब्द {{lang|la|fractus}} से लिया हुआ) एक पूरे या, अधिक आम तौर पर, समान भागों की संख्या का एक हिस्सा का प्रतिनिधित्व करता है। जब रोजमर्रा की अंग्रेजी में बोली जाती है, तो एक भिन्न बताता है कि एक निश्चित आकार के कितने हिस्से हैं, उदाहरण के लिए, एक-आधा, आठ-पांचवें, तीन-चौथाई। एक सामान्य, अशिष्ट, या सरल भिन्न (उदाहरण: <math>\tfrac{1}{2}</math> तथा <math>\tfrac{17}{3}</math>) एक भिन्न के होते हैं, एक पंक्ति के ऊपर प्रदर्शित होते हैं (या जैसे स्लैश से पहले {{frac|1|2}}), और एक गैर-शून्य हर, नीचे (या बाद में) उस लाइन को प्रदर्शित किया गया। भिन्नों और हर का उपयोग उन भिन्नों में भी किया जाता है जो आम नहीं हैं, जिसमें यौगिक भिन्न, जटिल भिन्न और मिश्रित अंक शामिल हैं।
+एक '''भिन्न''' (लैटिन शब्द {{lang|la|fractus}} से लिया हुआ) एक पूरे या, अधिक आम तौर पर, समान भागों की संख्या का एक हिस्सा का प्रतिनिधित्व करता है। जब रोजमर्रा की अंग्रेजी में बोली जाती है, तो एक भिन्न बताता है कि एक निश्चित आकार के कितने हिस्से हैं, उदाहरण के लिए, एक-आधा, आठ-पांचवें, तीन-चौथाई। एक सामान्य, अशिष्ट, या सरल भिन्न (उदाहरण: <math>\tfrac{1}{2}</math> तथा <math>\tfrac{17}{3}</math>) एक भिन्न के होते हैं, एक पंक्ति के ऊपर प्रदर्शित होते हैं (या जैसे स्लैश से पहले {{frac|1|2}}), और एक गैर-शून्य हर, नीचे (या बाद में) उस लाइन को प्रदर्शित किया गया। भिन्नों और हर का उपयोग उन भिन्नों में भी किया जाता है जो आम नहीं हैं, जिसमें यौगिक भिन्न, जटिल भिन्न और मिश्रित अंक शामिल हैं।
 सकारात्मक सामान्य भिन्नों में, भिन्न और हर प्राकृतिक संख्याएं हैं। भिन्न कई समान भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और हर इंगित करता है कि उन भागों में से कितने एक इकाई या संपूर्ण बनाते हैं। हर शून्य नहीं हो सकता है, क्योंकि शून्य भाग कभी भी पूरी नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए, भिन्न में {{sfrac|3|4}}, भिन्न 3 इंगित करता है कि भिन्न 3 बराबर भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और हर 4 इंगित करता है कि 4 भाग एक पूरे बनाते हैं। दाईं ओर चित्र दिखाता है {{sfrac|3|4}} एक केक का।
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 अनौपचारिक रूप से, भिन्न और हर को अकेले प्लेसमेंट द्वारा प्रतिष्ठित किया जा सकता है, लेकिन औपचारिक संदर्भों में वे आमतौर पर एक भिन्न बार द्वारा अलग किए जाते हैं<!--boldface per WP:R#PLA-->। भिन्न बार क्षैतिज हो सकता है (जैसा कि में) {{sfrac|1|3}}), तिरछे (2/5 के रूप में), या विकर्ण (के रूप में {{Fraction|4|9}})।<ref name=ambrose/> इन निशानों को क्रमशः क्षैतिज बार के रूप में जाना जाता है; द वर्जुले, स्लैश (यूएस), या स्ट्रोक (यूके);और भिन्न बार, सॉलिडस,<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Fraction|url=https://mathworld.wolfram.com/Fraction.html|access-date=2020-08-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> या भिन्न स्लैश।{{refn|group=n|Some typographers such as [[Robert Bringhurst|Bringhurst]] mistakenly distinguish the slash {{angle brackets|[[/]]}} as the ''[[wikt:virgule|virgule]]'' and the fraction slash {{angle brackets|[[⁄]]}} as the ''[[solidus mark|solidus]]'',<ref name="bringhurst">{{cite book |last=Bringhurst |first=Robert |year=2002 |title=The Elements of Typographic Style |edition=3rd |publisher=Hartley & Marks |isbn=978-0-88179-206-5 |pages=81–82 |contribution=5.2.5: Use the Virgule with Words and Dates, the Solidus with Split-level Fractions |location=[[Point Roberts, Washington|Point Roberts]]}}</ref> although in fact both are synonyms for the standard slash.<ref name=verg>{{cite encyclopedia |encyclopedia=Oxford English Dictionary |edition=1st |title=virgule, ''n.'' |date=1917 |location=Oxford |publisher=Oxford University Press }}</ref><ref name=oedsolid>{{cite encyclopedia |encyclopedia=Oxford English Dictionary |edition=1st |title=solidus, ''n.<sup>1</sup>'' |date=1913 |location=Oxford |publisher=Oxford University Press }}</ref>}} टाइपोग्राफी में, लंबवत रूप से स्टैक किए गए भिन्नों को एन या अखरोट भिन्नों के रूप में भी जाना जाता है, और विकर्ण को ईएम या मटन भिन्नों के रूप में जाना जाता है, इस पर आधारित है कि क्या एक एकल-अंकों के भिन्न और हर के साथ एक भिन्न एक संकीर्ण एन वर्ग, या एक व्यापक एम के अनुपात पर कब्जा कर लेता है।वर्ग।<ref name=ambrose>{{cite book |last=Ambrose |first=Gavin |author2=Paul Harris |display-authors=1 |ref={{harvid|Ambrose & al.}} |page=[https://books.google.co.jp/books?id=IW9MAQAAQBAJ&pg=PA74 74] |url=https://books.google.com/books?id=IW9MAQAAQBAJ |title=The Fundamentals of Typography |edition=2nd |publisher=AVA Publishing |location=Lausanne |date=2006 |isbn=978-2-940411-76-4 |access-date=2016-02-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304022742/https://books.google.co.jp/books?id=IW9MAQAAQBAJ&printsec=frontcover |archive-date=2016-03-04 |url-status=live }}.</ref> पारंपरिक टाइपफाउंडिंग में, एक पूर्ण भिन्न को प्रभावित करने वाला प्रकार का एक टुकड़ा (उदा। {{sfrac|1|2}}) को एक केस भिन्न के रूप में जाना जाता था, जबकि भिन्न के केवल हिस्से का प्रतिनिधित्व करने वालों को टुकड़ा भिन्न कहा जाता था।
-अंग्रेजी भिन्नों के हर को आम तौर पर क्रमिक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, बहुवचन में यदि भिन्न 1 नहीं है (उदाहरण के लिए, {{sfrac|2|5}} तथा {{sfrac|3|5}} दोनों को पांचवें स्थान के रूप में पढ़ा जाता है।) अपवादों में डेनोमिनेटर 2 शामिल हैं, जो हमेशा आधा या हिस्सों को पढ़ा जाता है, हर 4, जिसे वैकल्पिक रूप से क्वार्टर / क्वार्टर या चौथे / चौथे के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और हर 100, जो हो सकता है वैकल्पिक रूप से सौवें / सौवें या प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाए।
+अंग्रेजी भिन्नों के हर को आम तौर पर क्रमिक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, बहुवचन में यदि भिन्न 1 नहीं है (उदाहरण के लिए, {{sfrac|2|5}} तथा {{sfrac|3|5}} दोनों को पांचवें स्थान के रूप में पढ़ा जाता है।) अपवादों में डेनोमिनेटर 2 शामिल हैं, जो हमेशा आधा या हिस्सों को पढ़ा जाता है, हर 4, जिसे वैकल्पिक रूप से चौथाई / चौथाई या चौथे / चौथे के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और हर 100, जो हो सकता है वैकल्पिक रूप से सौवें / सौवें या प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाए।
 जब हर 1 होता है, तो इसे पूरी तरह से व्यक्त किया जा सकता है, लेकिन आमतौर पर अधिक अनदेखा किया जाता है, भिन्न के साथ एक पूरी संख्या के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, {{sfrac|3|1}} तीन थोक के रूप में, या बस तीन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। जब भिन्न 1 होता है, तो इसे छोड़ा जा सकता है (जैसा कि दसवें या प्रत्येक तिमाही में)।
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 === अनुपात ===
-एक अनुपात दो या अधिक संख्याओं के बीच एक संबंध है जिसे कभी -कभी एक भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।आमतौर पर, कई वस्तुओं को समूहीकृत किया जाता है और एक अनुपात में तुलना की जाती है, जो प्रत्येक समूह के बीच संबंध को संख्यात्मक रूप से निर्दिष्ट करती है। अनुपात समूह 1 से समूह 2 ... समूह n के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक कार लॉट में 12 वाहन थे, जिनमें से
+एक अनुपात दो या अधिक संख्याओं के बीच एक संबंध है जिसे कभी -कभी एक भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। आमतौर पर, कई वस्तुओं को समूहीकृत किया जाता है और एक अनुपात में तुलना की जाती है, जो प्रत्येक समूह के बीच संबंध को संख्यात्मक रूप से निर्दिष्ट करती है। अनुपात समूह 1 से समूह 2 ... समूह n के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक कार लॉट में 12 वाहन थे, जिनमें से
 * 2 सफेद हैं,
 * 6 लाल हैं, और
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 === दशमलव भिन्न और प्रतिशत ===
-एक दशमलव भिन्न एक ऐसा भिन्न है जिसका हर स्पष्ट रूप से नहीं दिया जाता है, लेकिन इसे दस की पूर्णांक घात  माना जाता है। दशमलव भिन्नों को आमतौर पर दशमलव अंकन का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है जिसमें निहित हर को दशमलव विहर के दाईं ओर अंकों की संख्या से निर्धारित किया जाता है, जिसकी उपस्थिति (जैसे, एक अवधि, एक उठाया अवधि (•), एक अल्पविराम) निर्भर करता हैलोकेल (उदाहरण के लिए, दशमलव विहर#हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली देखें | दशमलव विहर)।इस प्रकार, 0.75 के लिए भिन्न 75 है और निहित हर 10 से दूसरी घात  है, '' अर्थात। '' 100, क्योंकि दशमलव विहर के दाईं ओर दो अंक हैं। 1 (जैसे 3.75) से अधिक दशमलव संख्या में, संख्या का आंशिक भाग अंक द्वारा दशमलव के दाईं ओर (इस मामले में 0.75 के मान के साथ) द्वारा व्यक्त किया जाता है। 3.75 या तो एक विषम भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, 375/100, या मिश्रित संख्या के रूप में, <math>3\tfrac{75}{100}</math>।
+एक दशमलव भिन्न एक ऐसा भिन्न है जिसका हर स्पष्ट रूप से नहीं दिया जाता है, लेकिन इसे दस की पूर्णांक घात  माना जाता है। दशमलव भिन्नों को आमतौर पर दशमलव अंक का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है जिसमें निहित हर को दशमलव विभाजक के दाईं ओर अंकों की संख्या से निर्धारित किया जाता है, जिसकी उपस्थिति (जैसे, एक अवधि,चिह्न (•), एक अल्पविराम) निर्भर करता हैलोकेल (उदाहरण के लिए, दशमलव प्रणाली (हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली देखें) )। इस प्रकार, 0.75 के लिए भिन्न 75 है और निहित हर 10 से दूसरी घात  है, '' अर्थात- '' 100, क्योंकि दशमलव के दाईं ओर दो अंक हैं। 1 (जैसे 3.75) से अधिक दशमलव संख्या में, संख्या का आंशिक भाग अंक द्वारा दशमलव के दाईं ओर (इस मामले में 0.75 के मान के साथ) द्वारा व्यक्त किया जाता है। 3.75 या तो एक विषम भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, 375/100, या मिश्रित संख्या के रूप में, <math>3\tfrac{75}{100}</math>।
 दशमलव भिन्नों को नकारात्मक घातांक के साथ वैज्ञानिक संकेतन का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है, जैसे {{val|6.023|e=-7}}, जो 0.0000006023 का प्रतिनिधित्व करता है, यहां {{val|e=-7}}  के हर एक का {{val|e=7}} प्रतिनिधित्व करता है। विभाजित करना {{val|e=7}}भाग करने पर दशमलव बिंदु 7 स्थानों को बाईं ओर ले जाता है।
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 ==={{anchor|Mixed numbers}}मिश्रित संख्या ===
-एक मिश्रित अंक (जिसे '' मिश्रित भिन्न '' या '' मिश्रित संख्या '' भी कहा जाता है) एक गैर-शून्य पूर्णांक और एक उचित भिन्न (एक ही संकेत होने) के योग का एक पारंपरिक निरूपण है।इसका उपयोग मुख्य रूप से माप में किया जाता है: <math>2\tfrac{3}{16}</math>उदाहरण के लिए, इंच।वैज्ञानिक माप मिश्रित संख्याओं के बजाय लगभग हमेशा दशमलव अंकन का उपयोग करते हैं।राशि को एक दृश्य ऑपरेटर के उपयोग के बिना निहित किया जा सकता है जैसे कि उपयुक्त +।उदाहरण के लिए, दो पूरे केक और एक अन्य केक के तीन तिमाहियों का उल्लेख करते हुए, पूर्णांक भाग को दर्शाने वाले अंक और केक के आंशिक भाग को एक दूसरे के बगल में लिखा जा सकता है <math>2\tfrac{3}{4}</math>इसके बजाय अस्पष्ट संकेतन <math>2+\tfrac{3}{4}.</math> नकारात्मक मिश्रित अंक, के रूप में <math>-2\tfrac{3}{4}</math>, की तरह व्यवहार किया जाता है <math>\scriptstyle -\left(2+\frac{3}{4}\right).</math> एक पूरे प्लस के किसी भी योग को एक भाग के विपरीत जोड़ने के नियमों को लागू करके एक विषम भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है।
+एक मिश्रित अंक (जिसे '' मिश्रित भिन्न '' या '' मिश्रित संख्या '' भी कहा जाता है) एक गैर-शून्य पूर्णांक और एक उचित भिन्न (एक ही संकेत होने) के योग का एक पारंपरिक निरूपण है। इसका उपयोग मुख्य रूप से माप में किया जाता है: <math>2\tfrac{3}{16}</math>उदाहरण के लिए, इंच वैज्ञानिक माप मिश्रित संख्याओं के बजाय हमेशा दशमलव अंक का उपयोग करते हैं। राशि को एक दृश्य ऑपरेटर के उपयोग के बिना निहित किया जा सकता है जैसे कि उपयुक्त जैसे  "+" उदाहरण के लिए-  दो पूरे केक और एक अन्य केक के तीन-चौथाई का उल्लेख करते हुए, पूर्णांक भाग को दर्शाने वाले अंक और केक के आंशिक भाग को एक दूसरे के बगल में लिखा जा सकता है <math>2\tfrac{3}{4}</math>इसके बजाय अस्पष्ट संकेतन <math>2+\tfrac{3}{4}.</math> नकारात्मक मिश्रित अंक, के रूप में <math>-2\tfrac{3}{4}</math>, की तरह व्यवहार किया जाता है <math>\scriptstyle -\left(2+\frac{3}{4}\right).</math> एक पूरे प्लस के किसी भी योग को एक भाग के विपरीत जोड़ने के नियमों को लागू करके एक विषम भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है।
-यह परंपरा, औपचारिक रूप से, बीजगणित में संकेतन के साथ संघर्ष में है, जहां आसन्न प्रतीक, एक स्पष्ट इन्फिक्स ऑपरेटर के बिना, एक उत्पाद को निरूपित करते हैं।अभिव्यक्ति में <math>2x</math>, समझा गया ऑपरेशन गुणा है।यदि {{mvar|x}} उदाहरण के लिए, भिन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है <math> \tfrac{3}{4}</math>, मिश्रित संख्या की उपस्थिति से बचने के लिए, स्पष्ट गुणन को स्पष्ट गुणन द्वारा प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है।
+यह परंपरा, औपचारिक रूप से, बीजगणित में संकेतन के साथ संघर्ष में है, जहां आसन्न प्रतीक, एक स्पष्ट इन्फिक्स ऑपरेटर के बिना, एक उत्पाद को निरूपित करते हैं। अभिव्यक्ति में <math>2x</math>, समझा गया ऑपरेशन गुणा है। यदि {{mvar|x}} उदाहरण के लिए, भिन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है <math> \tfrac{3}{4}</math>, मिश्रित संख्या की उपस्थिति से बचने के लिए, स्पष्ट गुणन को स्पष्ट गुणन द्वारा प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है।
 जब गुणन का इरादा होता है, <math> 2 \tfrac{b}{c}</math> के रूप में लिखा जा सकता है
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 एक विषम भिन्न को निम्नानुसार मिश्रित संख्या में परिवर्तित किया जा सकता है:
-# यूक्लिडियन डिवीजन (शेष के साथ विभाजन) का उपयोग करते हुए, भिन्न को हर द्वारा विभाजित करें।उदाहरण में, <math>\tfrac{11}{4}</math>, 11 को विभाजित करें 4. 11 = 4 = 2 शेष 3।
+# यूक्लिडियन डिवीजन (शेष के साथ विभाजन) का उपयोग करते हुए, भिन्न को हर द्वारा विभाजित करें। उदाहरण में, <math>\tfrac{11}{4}</math>, 11 को विभाजित करें 4. 11 = 4 = 2 शेष 3।
-# भागफल (शेष के बिना) मिश्रित संख्या का पूरा हिस्सा बन जाता है।शेष आंशिक भाग का भिन्न बन जाता है।उदाहरण में, 2 पूरे नंबर भाग है और 3 आंशिक भाग का भिन्न है।
+# भागफल (शेष के बिना) मिश्रित संख्या का पूरा हिस्सा बन जाता है।शेष आंशिक भाग का भिन्न बन जाता है। उदाहरण में, 2 पूरे नंबर भाग है और 3 आंशिक भाग का भिन्न है।
 # नया हर विषम भिन्न के हर के समान है।उदाहरण में, यह 4. इस प्रकार है, <math>\tfrac{11}{4} =2\tfrac{3}{4}</math>।
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 ==== मिस्र का भिन्न ====
-एक मिस्र का भिन्न विशिष्ट सकारात्मक इकाई भिन्नों का योग है, उदाहरण के लिए <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}</math>।यह परिभाषा इस तथ्य से निकली है कि प्राचीन मिस्रियों ने सभी भिन्नों को छोड़कर व्यक्त किया <math>\tfrac{1}{2}</math>, <math>\tfrac{2}{3}</math> तथा <math>\tfrac{3}{4}</math> इस तरह से।प्रत्येक सकारात्मक परिमेय संख्या को मिस्र के भिन्न के रूप में विस्तारित किया जा सकता है।उदाहरण के लिए, <math>\tfrac{5}{7}</math> के रूप में लिखा जा सकता है <math>\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{21}.</math> किसी भी सकारात्मक परिमेय संख्या को असीम रूप से कई तरीकों से इकाई भिन्नों के योग के रूप में लिखा जा सकता है।लिखने के दो तरीके <math>\tfrac{13}{17}</math> हैं <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{68}</math> तथा <math>\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{68}</math>।
+एक मिस्र का भिन्न विशिष्ट सकारात्मक इकाई भिन्नों का योग है, उदाहरण के लिए <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}</math>, यह परिभाषा इस तथ्य से निकली है कि प्राचीन मिस्रियों ने सभी भिन्नों को छोड़कर इस तरह से व्यक्त किया <math>\tfrac{1}{2}</math>, <math>\tfrac{2}{3}</math> तथा <math>\tfrac{3}{4}</math>प्रत्येक सकारात्मक परिमेय संख्या को मिस्र के भिन्न के रूप में विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, <math>\tfrac{5}{7}</math> के रूप में लिखा जा सकता है <math>\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{21}.</math> किसी भी सकारात्मक परिमेय संख्या को असीम रूप से कई तरीकों से इकाई भिन्नों के योग के रूप में लिखा जा सकता है। लिखने के दो तरीके <math>\tfrac{13}{17}</math> हैं <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{68}</math> तथा <math>\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{68}</math>।
 ==== जटिल और यौगिक भिन्न ====
 {{distinguish|Complex numbers}}
-एक जटिल भिन्न में, या तो भिन्न, या हर, या दोनों, एक भिन्न या मिश्रित संख्या है,<ref name="Trotter">{{cite book|last=Trotter|first=James|title=A complete system of arithmetic|page=65|year=1853|url=https://books.google.com/books?id=a0sDAAAAQAAJ&q=%22complex+fraction%22&pg=PA65}}</ref><ref name="Barlow">{{cite book|last=Barlow|first=Peter|title=A new mathematical and philosophical dictionary|year=1814|url=https://books.google.com/books?id=BBowAAAAYAAJ&q=%2B%22complex+fraction%22+%2B%22compound+fraction%22&pg=PT329}}</ref> भिन्नों के विभाजन के अनुरूप।उदाहरण के लिए, <math>\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}}</math> तथा <math>\frac{12\tfrac{3}{4}}{26}</math> जटिल भिन्न हैं।एक साधारण भिन्न के लिए एक जटिल भिन्न को कम करने के लिए, सबसे लंबी भिन्न रेखा का प्रतिनिधित्व विभाजन के रूप में मानें।उदाहरण के लिए:
+एक जटिल भिन्न में, या तो भिन्न, या हर, या दोनों, एक भिन्न या मिश्रित संख्या है,<ref name="Trotter">{{cite book|last=Trotter|first=James|title=A complete system of arithmetic|page=65|year=1853|url=https://books.google.com/books?id=a0sDAAAAQAAJ&q=%22complex+fraction%22&pg=PA65}}</ref><ref name="Barlow">{{cite book|last=Barlow|first=Peter|title=A new mathematical and philosophical dictionary|year=1814|url=https://books.google.com/books?id=BBowAAAAYAAJ&q=%2B%22complex+fraction%22+%2B%22compound+fraction%22&pg=PT329}}</ref> भिन्नों के विभाजन के अनुरूप। उदाहरण के लिए, <math>\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}}</math> तथा <math>\frac{12\tfrac{3}{4}}{26}</math> जटिल भिन्न हैं। एक साधारण भिन्न के लिए एक जटिल भिन्न को कम करने के लिए, सबसे लंबी भिन्न रेखा का प्रतिनिधित्व विभाजन के रूप में मानें। उदाहरण के लिए:
 :<math>\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}}=\tfrac{1}{2}\times\tfrac{3}{1}=\tfrac{3}{2}</math>
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 :<math>\frac{\tfrac{3}{2}}5=\tfrac{3}{2}\times\tfrac{1}{5}=\tfrac{3}{10}</math>
 :<math>\frac{8}{\tfrac{1}{3}}=8\times\tfrac{3}{1}=24.</math>
-यदि, एक जटिल भिन्न में, यह बताने का कोई अनूठा तरीका नहीं है कि कौन सी भिन्न रेखाएं पूर्ववर्तीता लेती हैं, तो यह अभिव्यक्ति विषम रूप से बनती है, क्योंकि अस्पष्टता के कारण।इसलिए 5/10/20/40 एक वैध गणितीय अभिव्यक्ति नहीं है, क्योंकि कई संभावित व्याख्याओं के कारण, उदा।जैसा
+यदि, एक जटिल भिन्न में, यह बताने का कोई अनूठा तरीका नहीं है कि कौन सी भिन्न रेखाएं पूर्ववर्तीता लेती हैं, तो यह अभिव्यक्ति विषम रूप से बनती है, क्योंकि अस्पष्टता के कारण।इसलिए 5/10/20/40 एक वैध गणितीय अभिव्यक्ति नहीं है, क्योंकि कई संभावित व्याख्याओं के कारण, उदा.-
 :<math>5/(10/(20/40)) = \frac{5}{10/\tfrac{20}{40}} = \frac{1}{4}\quad</math> या के रूप में <math>\quad (5/10)/(20/40) = \frac{\tfrac{5}{10}}{\tfrac{20}{40}} = 1</math>
-एक यौगिक भिन्न एक भिन्न का एक भिन्न है, या '' शब्द '' शब्द से जुड़े किसी भी संख्या में भिन्न,<ref name="Trotter" /><ref name="Barlow" />भिन्नों के गुणन के अनुरूप।एक साधारण भिन्न में एक यौगिक भिन्न को कम करने के लिए, बस गुणन को बाहर ले जाएं (गुणन पर अनुभाग देखें)।उदाहरण के लिए, <math>\tfrac{3}{4}</math> का <math>\tfrac{5}{7}</math> एक यौगिक भिन्न है, के अनुरूप <math>\tfrac{3}{4} \times \tfrac{5}{7} = \tfrac{15}{28}</math>।शब्द यौगिक भिन्न और जटिल भिन्न निकटता से संबंधित हैं और कभी -कभी एक का उपयोग दूसरे के पर्याय के रूप में किया जाता है।(उदाहरण के लिए, यौगिक भिन्न <math>\tfrac{3}{4} \times \tfrac{5}{7}</math> जटिल भिन्न के बराबर है <math>\tfrac{3/4}{7/5}</math>।)
+एक यौगिक भिन्न एक भिन्न का एक भिन्न है, या '' शब्द '' शब्द से जुड़े किसी भी संख्या में भिन्न,<ref name="Trotter" /><ref name="Barlow" />भिन्नों के गुणन के अनुरूप।एक साधारण भिन्न में एक यौगिक भिन्न को कम करने के लिए, बस गुणन को बाहर ले जाएं (गुणन पर अनुभाग देखें)।उदाहरण के लिए, <math>\tfrac{3}{4}</math> का <math>\tfrac{5}{7}</math> एक यौगिक भिन्न है, के अनुरूप <math>\tfrac{3}{4} \times \tfrac{5}{7} = \tfrac{15}{28}</math>. शब्द यौगिक भिन्न और जटिल भिन्न निकटता से संबंधित हैं और कभी-कभी एक का उपयोग दूसरे के पर्याय के रूप में किया जाता है।(उदाहरण के लिए, यौगिक भिन्न <math>\tfrac{3}{4} \times \tfrac{5}{7}</math> जटिल भिन्न के बराबर है <math>\tfrac{3/4}{7/5}</math>)
 फिर भी, जटिल भिन्न और यौगिक भिन्न दोनों को पुराना माना जा सकता है<ref>https://www.collinsdictionary.com/dictionary/english/complex-fraction {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171201182513/https://www.collinsdictionary.com/dictionary/english/complex-fraction |date=2017-12-01 }} et al.</ref> और अब कोई अच्छी तरह से परिभाषित तरीके से उपयोग किया जाता है, आंशिक रूप से एक दूसरे के लिए समानार्थी रूप से लिया जाता है<ref>{{cite web |url=https://www.collinsdictionary.com/dictionary/english/complex-fraction |title=Complex fraction definition and meaning |publisher=Collins English Dictionary |date=2018-03-09 |access-date=2018-03-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20171201182513/https://www.collinsdictionary.com/dictionary/english/complex-fraction |archive-date=2017-12-01 |url-status=live }}</ref> या मिश्रित अंकों के लिए।<ref>{{cite web |url=http://www.sosmath.com/algebra/fraction/frac5/frac5.html |title=Compound Fractions |publisher=Sosmath.com |date=1996-02-05 |access-date=2018-03-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180314105714/http://www.sosmath.com/algebra/fraction/frac5/frac5.html |archive-date=2018-03-14 |url-status=live }}</ref> उन्होंने तकनीकी शब्दों के रूप में अपना अर्थ खो दिया है और विशेषताओं को जटिल और यौगिक का उपयोग उनके हर दिन में भागों से मिलकर किया जाता है।
 == भिन्नों के साथ अंकगणित ==
-संपूर्ण संख्याओं की तरह, भिन्न कम्यूटेटिव, साहचर्य और वितरण कानूनों का पालन करते हैं, और शून्य द्वारा विभाजन के खिलाफ नियम।
+संपूर्ण संख्याओं की तरह, भिन्न कम्यूटेटिव, साहचर्य और वितरण कानूनों का पालन करते हैं, और शून्य द्वारा विभाजन के विपरीत नियम।
 === समकक्ष भिन्न ===
-एक भिन्न के भिन्न और हर को एक ही (गैर-शून्य) संख्या से गुणा करना एक भिन्न में परिणाम होता है जो मूल भिन्न के बराबर होता है।यह सच है क्योंकि किसी भी गैर-शून्य संख्या के लिए <math>n</math>, भिन्न <math>\tfrac{n}{n}</math> बराबरी <math>1</math>।इसलिए, से गुणा करना <math>\tfrac{n}{n}</math> एक के द्वारा गुणा करने के समान है, और किसी द्वारा गुणा किए गए किसी भी संख्या का मूल संख्या के समान मूल्य है।एक उदाहरण के माध्यम से, भिन्न से शुरू करें <math>\tfrac{1}{2}</math>।जब भिन्न और हर दोनों को 2 से गुणा किया जाता है, तो परिणाम होता है <math>\tfrac{2}{4}</math>, जिसका समान मान (0.5) जैसा है <math>\tfrac{1}{2}</math>।इस नेत्रहीन को चित्रित करने के लिए, एक केक को चार टुकड़ों में काटने की कल्पना करें;एक साथ दो टुकड़ों (<math>\tfrac{2}{4}</math>) आधा केक बनाओ (<math>\tfrac{1}{2}</math>)।
+एक भिन्न के भिन्न और हर को एक ही (गैर-शून्य) संख्या से गुणा करना एक भिन्न में परिणाम होता है जो मूल भिन्न के बराबर होता है।यह सच है क्योंकि किसी भी गैर-शून्य संख्या के लिए <math>n</math>, भिन्न <math>\tfrac{n}{n}</math> बराबरी <math>1</math>।इसलिए, से गुणा करना <math>\tfrac{n}{n}</math> एक के द्वारा गुणा करने के समान है, और किसी द्वारा गुणा किए गए किसी भी संख्या का मूल संख्या के समान मूल्य है। एक उदाहरण के माध्यम से, भिन्न से शुरू करें <math>\tfrac{1}{2}</math>। जब अंशऔर हर दोनों को 2 से गुणा किया जाता है, तो परिणाम होता है <math>\tfrac{2}{4}</math>, जिसका समान मान (0.5) जैसा है <math>\tfrac{1}{2}</math>। इस नेत्रहीन को चित्रित करने के लिए, एक केक को चार टुकड़ों में काटने की कल्पना करें;एक साथ दो टुकड़ों (<math>\tfrac{2}{4}</math>) आधा केक बनाओ (<math>\tfrac{1}{2}</math>)।
 ==== सरलीकरण (कम करना) भिन्न{{anchor|Simplification|Reduction}}====
-एक ही गैर-शून्य संख्या द्वारा एक भिन्न के भिन्न और हर को विभाजित करने से एक समतुल्य भिन्न होता है: यदि एक भिन्न के भिन्न और हर दोनों एक संख्या (जिसे कारक कहा जाता है) 1 से अधिक विभाज्य हैं, तो भिन्न कम किया जा सकता है।एक छोटे भिन्न और एक छोटे हर के साथ एक समान भिन्न के लिए।उदाहरण के लिए, यदि भिन्न और भिन्न के हर दोनों <math>\tfrac{a}{b}</math> द्वारा विभाज्य हैं <math>c,</math> तब उन्हें लिखा जा सकता है <math>a=cd</math> तथा <math>b=ce,</math> और भिन्न बन जाता है <math>\tfrac{cd}{ce}</math>, जो कि भिन्न और हर दोनों को विभाजित करके कम किया जा सकता है <math>c</math> कम भिन्न देने के लिए <math>\tfrac{d}{e}.</math>
+एक ही गैर-शून्य संख्या द्वारा एक भिन्न के अंश और हर को विभाजित करने से एक समतुल्य भिन्न होता है: यदि एक भिन्न के अंश और हर दोनों एक संख्या (जिसे कारक कहा जाता है) 1 से अधिक विभाज्य हैं, तो भिन्न कम किया जा सकता है। एक छोटे अंश और एक छोटे हर के साथ एक समान भिन्न के लिए। उदाहरण के लिए, यदि अंश और भिन्न के हर दोनों <math>\tfrac{a}{b}</math> द्वारा विभाज्य हैं <math>c,</math> तब उन्हें लिखा जा सकता है <math>a=cd</math> तथा <math>b=ce,</math> और भिन्न बन जाता है <math>\tfrac{cd}{ce}</math>, जो कि अंश और हर दोनों को विभाजित करके कम किया जा सकता है <math>c</math> कम भिन्न देने के लिए <math>\tfrac{d}{e}.</math> यदि कोई के लिए ले जाता है {{mvar|c}} अंश और हर का सबसे बड़ा आम हर, एक को समतुल्य भिन्न मिलता है, जिसके अंश और हर के पास सबसे कम निरपेक्ष मूल्य होते हैं। एक का कहना है कि भिन्न को इसकी सबसे कम शर्तों तक कम कर दिया गया है।
-यदि कोई के लिए ले जाता है {{mvar|c}} भिन्न और हर का सबसे बड़ा आम हर, एक को समतुल्य भिन्न मिलता है, जिसके भिन्न और हर के पास सबसे कम निरपेक्ष मूल्य होते हैं।एक का कहना है कि भिन्न को इसकी सबसे कम शर्तों तक कम कर दिया गया है।
-यदि भिन्न और हर 1 से अधिक किसी भी कारक को साझा नहीं करते हैं, तो भिन्न पहले से ही अपने सबसे कम शब्दों में कम हो गया है, और यह कहा जाता है कि यह अयोग्य, कम, या सरलतम शब्दों में है।उदाहरण के लिए, <math>\tfrac{3}{9}</math> सबसे कम शब्दों में नहीं है क्योंकि 3 और 9 दोनों को बिल्कुल विभाजित किया जा सकता है। इसके विपरीत, <math>\tfrac{3}{8}</math> सबसे कम शब्दों में है - केवल सकारात्मक पूर्णांक जो 3 और 8 दोनों में समान रूप से जाता है 1 है।
+यदि अंश और हर 1 से अधिक किसी भी कारक को साझा नहीं करते हैं, तो भिन्न पहले से ही अपने सबसे कम शब्दों में कम हो गया है, और यह कहा जाता है कि यह अयोग्य, कम, या सरलतम शब्दों में है।उदाहरण के लिए, <math>\tfrac{3}{9}</math> सबसे कम शब्दों में नहीं है क्योंकि 3 और 9 दोनों को बिल्कुल विभाजित किया जा सकता है। इसके विपरीत, <math>\tfrac{3}{8}</math> सबसे कम शब्दों में है - केवल सकारात्मक पूर्णांक जो 3 और 8 दोनों में समान रूप से जाता है 1 है।
-इन नियमों का उपयोग करते हुए, हम यह दिखा सकते हैं कि <math>\tfrac{5}{10} = \tfrac{1}{2} = \tfrac{10}{20} = \tfrac{50}{100}</math>, उदाहरण के लिए।
+इन नियमों का उपयोग करते हुए, उदाहरण के लिए हम यह दिखा सकते हैं कि <math>\tfrac{5}{10} = \tfrac{1}{2} = \tfrac{10}{20} = \tfrac{50}{100}</math>.
 एक अन्य उदाहरण के रूप में, चूंकि 63 और 462 का सबसे बड़ा आम हर 21 है, इसलिए भिन्न <math>\tfrac{63}{462}</math> न्यूमरेटर और हर को 21 से विभाजित करके सबसे कम शब्दों में कम किया जा सकता है:
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 यदि समान हर नकारात्मक हैं, तो भिन्नों की तुलना करने का विपरीत परिणाम भिन्नों के लिए रखता है:
-:<math>\tfrac{3}{-4}<\tfrac{2}{-4} \text{ because } \tfrac{a}{-b}= \tfrac{-a}{b} \text{ and } -3 < -2. </math>
+:<math>\tfrac{3}{-4}<\tfrac{2}{-4} \text{  ,  } \tfrac{a}{-b}= \tfrac{-a}{b} \text{  ,  } -3 < -2. </math>
-यदि दो सकारात्मक भिन्नों में एक ही भिन्न है, तो छोटे हर के साथ भिन्न बड़ी संख्या है।जब एक पूरे को समान टुकड़ों में विभाजित किया जाता है, यदि पूरे समान टुकड़ों को पूरे बनाने के लिए आवश्यक है, तो प्रत्येक टुकड़ा बड़ा होना चाहिए।जब दो सकारात्मक भिन्नों में एक ही भिन्न होता है, तो वे एक ही संख्या में भागों का प्रतिनिधित्व करते हैं, लेकिन छोटे हर के साथ भिन्न में, भाग बड़े होते हैं।
+यदि दो सकारात्मक भिन्नों में एक ही भिन्न है, तो छोटे हर के साथ भिन्न बड़ी संख्या है।जब एक पूरे को समान टुकड़ों में विभाजित किया जाता है, यदि पूरे समान टुकड़ों को पूरे बनाने के लिए आवश्यक है, तो प्रत्येक टुकड़ा बड़ा होना चाहिए। जब दो सकारात्मक भिन्नों में एक ही भिन्न होता है, तो वे एक ही संख्या में भागों का प्रतिनिधित्व करते हैं, लेकिन छोटे हर के साथ भिन्न में, भाग बड़े होते हैं।
-अलग -अलग भिन्नों और हर के साथ भिन्नों की तुलना करने का एक तरीका एक सामान्य हर को खोजने के लिए है।तुलना करने के लिए <math>\tfrac{a}{b}</math> तथा <math>\tfrac{c}{d}</math>, इन में परिवर्तित हो गए हैं <math>\tfrac{a\cdot d}{b\cdot d}</math> तथा <math>\tfrac{b\cdot c}{b\cdot d}</math> (जहां डॉट गुणन को दर्शाता है और × का एक वैकल्पिक प्रतीक है)।तब बीडी एक आम हर है और भिन्नों के विज्ञापन और बीसी की तुलना की जा सकती है।भिन्नों की तुलना करने के लिए आम हर के मूल्य को निर्धारित करना आवश्यक नहीं है - कोई केवल एडी और बीसी की तुलना कर सकता है, बीडी का मूल्यांकन किए बिना, जैसे, तुलना करना, तुलना करना <math>\tfrac{2}{3}</math> ? <math>\tfrac{1}{2}</math> देता है <math>\tfrac{4}{6}>\tfrac{3}{6}</math>।
+अलग-अलग भिन्नों और हर के साथ भिन्नों की तुलना करने का एक तरीका एक सामान्य हर को खोजने के लिए है। तुलना करने के लिए <math>\tfrac{a}{b}</math> तथा <math>\tfrac{c}{d}</math>, इन में परिवर्तित हो गए हैं <math>\tfrac{a\cdot d}{b\cdot d}</math> तथा <math>\tfrac{b\cdot c}{b\cdot d}</math> (जहां डॉट गुणन को दर्शाता है और × का एक वैकल्पिक प्रतीक है)। तब bd एक आम हर है और भिन्नों के विज्ञापन और bc की तुलना की जा सकती है। भिन्नों की तुलना करने के लिए आम हर के मूल्य को निर्धारित करना आवश्यक नहीं है - कोई केवल ad और bc की तुलना कर सकता है, bd का मूल्यांकन किए बिना, जैसे, तुलना करना <math>\tfrac{2}{3}</math> ? <math>\tfrac{1}{2}</math> देता है <math>\tfrac{4}{6}>\tfrac{3}{6}</math>।
-अधिक श्रमसाध्य प्रश्न के लिए <math>\tfrac{5}{18}</math> ? <math>\tfrac{4}{17},</math> अन्य भिन्न के हर द्वारा प्रत्येक भिन्न के ऊपर और नीचे गुणा करें, एक सामान्य हर प्राप्त करने के लिए, उपज <math>\tfrac{5 \times 17}{18 \times 17}</math> ? <math>\tfrac{18 \times 4}{18 \times 17}</math>।गणना करना आवश्यक नहीं है <math>18 \times 17</math> - केवल भिन्नों की तुलना करने की आवश्यकता है।चूंकि 5 × 17 (= & nbsp; 85) 4 × 18 (= & nbsp; 72) से अधिक है, तुलना का परिणाम है <math>\tfrac{5}{18}>\tfrac{4}{17}</math>।
+अधिक श्रमसाध्य प्रश्न के लिए <math>\tfrac{5}{18}</math> ? <math>\tfrac{4}{17},</math> अन्य भिन्न के हर द्वारा प्रत्येक भिन्न के ऊपर और नीचे गुणा करें, एक सामान्य हर प्राप्त करने के लिए, उपज <math>\tfrac{5 \times 17}{18 \times 17}</math> ? <math>\tfrac{18 \times 4}{18 \times 17}</math>।गणना करना आवश्यक नहीं है <math>18 \times 17</math> - केवल भिन्नों की तुलना करने की आवश्यकता है। चूंकि 5 × 17 (= 85) 4 × 18 (= 72) से अधिक है, तुलना का परिणाम है <math>\tfrac{5}{18}>\tfrac{4}{17}</math>।
-क्योंकि नकारात्मक भिन्नों सहित प्रत्येक नकारात्मक संख्या, शून्य से कम है, और सकारात्मक भिन्नों सहित प्रत्येक सकारात्मक संख्या, शून्य से अधिक है, यह इस प्रकार है कि कोई भी नकारात्मक भिन्न किसी भी सकारात्मक भिन्न से कम है।यह उपरोक्त नियमों के साथ, सभी संभावित भिन्नों की तुलना करने की अनुमति देता है।
+क्योंकि नकारात्मक भिन्नों सहित प्रत्येक नकारात्मक संख्या, शून्य से कम है, और सकारात्मक भिन्नों सहित प्रत्येक सकारात्मक संख्या, शून्य से अधिक है, यह इस प्रकार है कि कोई भी नकारात्मक भिन्न किसी भी सकारात्मक भिन्न से कम है। यह उपरोक्त नियमों के साथ, सभी संभावित भिन्नों की तुलना करने की अनुमति देता है।
-=== इसके अलावा ===
+=== जोड़ ===
-इसके अलावा पहला नियम यह है कि केवल मात्रा की तरह जोड़ा जा सकता है;उदाहरण के लिए, विभिन्न मात्रा में