भिन्न: Difference between revisions

{{short description|Mathematical representation of a portion of a whole}}

{{other uses}}

सकारात्मक सामान्य भिन्नों में, भिन्न और हर प्राकृतिक संख्याएं हैं। भिन्न कई समान भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और हर इंगित करता है कि उन भागों में से कितने एक इकाई या संपूर्ण बनाते हैं। हर शून्य नहीं हो सकता है, क्योंकि शून्य भाग कभी भी पूरी नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए, भिन्न में {{sfrac|3|4}}, भिन्न 3 इंगित करता है कि भिन्न 3 बराबर भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और हर 4 इंगित करता है कि 4 भाग एक पूरे बनाते हैं। दाईं ओर चित्र दिखाता है {{sfrac|3|4}} एक केक का।

अनौपचारिक रूप से, भिन्न और हर को अकेले प्लेसमेंट द्वारा प्रतिष्ठित किया जा सकता है, लेकिन औपचारिक संदर्भों में वे आमतौर पर एक भिन्न बार द्वारा अलग किए जाते हैं<!--boldface per WP:R#PLA-->। भिन्न बार क्षैतिज हो सकता है (जैसा कि में) {{sfrac|1|3}}), तिरछे (2/5 के रूप में), या विकर्ण (के रूप में {{Fraction|4|9}})।<ref name=ambrose/> इन निशानों को क्रमशः क्षैतिज बार के रूप में जाना जाता है; द वर्जुले, स्लैश (यूएस), या स्ट्रोक (यूके);और भिन्न बार, सॉलिडस,<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Fraction|url=https://mathworld.wolfram.com/Fraction.html|access-date=2020-08-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> या भिन्न स्लैश।{{refn|group=n|Some typographers such as [[Robert Bringhurst|Bringhurst]] mistakenly distinguish the slash {{angle brackets|[[/]]}} as the ''[[wikt:virgule|virgule]]'' and the fraction slash {{angle brackets|[[⁄]]}} as the ''[[solidus mark|solidus]]'',<ref name="bringhurst">{{cite book |last=Bringhurst |first=Robert |year=2002 |title=The Elements of Typographic Style |edition=3rd |publisher=Hartley & Marks |isbn=978-0-88179-206-5 |pages=81–82 |contribution=5.2.5: Use the Virgule with Words and Dates, the Solidus with Split-level Fractions |location=[[Point Roberts, Washington|Point Roberts]]}}</ref> although in fact both are synonyms for the standard slash.<ref name=verg>{{cite encyclopedia |encyclopedia=Oxford English Dictionary |edition=1st |title=virgule, ''n.'' |date=1917 |location=Oxford |publisher=Oxford University Press }}</ref><ref name=oedsolid>{{cite encyclopedia |encyclopedia=Oxford English Dictionary |edition=1st |title=solidus, ''n.¹'' |date=1913 |location=Oxford |publisher=Oxford University Press }}</ref>}} टाइपोग्राफी में, लंबवत रूप से स्टैक किए गए भिन्नों को एन या अखरोट भिन्नों के रूप में भी जाना जाता है, और विकर्ण को ईएम या मटन भिन्नों के रूप में जाना जाता है, इस पर आधारित है कि क्या एक एकल-अंकों के भिन्न और हर के साथ एक भिन्न एक संकीर्ण एन वर्ग, या एक व्यापक एम के अनुपात पर कब्जा कर लेता है।वर्ग।<ref name=ambrose>{{cite book |last=Ambrose |first=Gavin |author2=Paul Harris |display-authors=1 |ref={{harvid|Ambrose & al.}} |page=[https://books.google.co.jp/books?id=IW9MAQAAQBAJ&pg=PA74 74] |url=https://books.google.com/books?id=IW9MAQAAQBAJ |title=The Fundamentals of Typography |edition=2nd |publisher=AVA Publishing |location=Lausanne |date=2006 |isbn=978-2-940411-76-4 |access-date=2016-02-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304022742/https://books.google.co.jp/books?id=IW9MAQAAQBAJ&printsec=frontcover |archive-date=2016-03-04 |url-status=live }}.</ref> पारंपरिक टाइपफाउंडिंग में, एक पूर्ण भिन्न को प्रभावित करने वाला प्रकार का एक टुकड़ा (उदा। {{sfrac|1|2}}) को एक केस भिन्न के रूप में जाना जाता था, जबकि भिन्न के केवल हिस्से का प्रतिनिधित्व करने वालों को टुकड़ा भिन्न कहा जाता था।

जब हर 1 होता है, तो इसे पूरी तरह से व्यक्त किया जा सकता है, लेकिन आमतौर पर अधिक अनदेखा किया जाता है, भिन्न के साथ एक पूरी संख्या के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, {{sfrac|3|1}} तीन थोक के रूप में, या बस तीन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। जब भिन्न 1 होता है, तो इसे छोड़ा जा सकता है (जैसा कि दसवें या प्रत्येक तिमाही में)।

== भिन्नों के रूप ==

=== सरल, सामान्य, या अशिष्ट भिन्न ===

<!-- Real number links here. -->

* एक इकाई भिन्न 1 के एक भिन्न के साथ एक सामान्य भिन्न है (जैसे,, <math>\tfrac{1}{7}</math>)। यूनिट भिन्नों को नकारात्मक घातांक का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है, जैसा कि 2 में है⁻¹, जो 1/2, और 2 का प्रतिनिधित्व करता है⁻², जो 1/(2 का प्रतिनिधित्व करता है²) या 1/4।

यूनिकोड में, प्रीकोम्ड भिन्न वर्ण संख्या रूपों के ब्लॉक में होते हैं।

=== सम और विषम भिन्न ===

=== व्युत्क्रम और अदृश्य हर ===

=== अनुपात ===

* 2 सफेद हैं,

* 6 लाल हैं, और

=== दशमलव भिन्न और प्रतिशत ===

पर्मिल या पार्ट्स प्रति हजार (पीपीटी) की संबंधित अवधारणा में 1000 का एक निहित हर है, जबकि अधिक सामान्य भागों-प्रति संकेतन, जैसा कि 75 भागों प्रति मिलियन (पीपीएम) में है, इसका मतलब है कि अनुपात 75/1,000,000 है।

==={{anchor|Mixed numbers}}मिश्रित संख्या ===

जब गुणन का इरादा होता है, <math> 2 \tfrac{b}{c}</math> के रूप में लिखा जा सकता है

: <math> 2 \cdot \frac{b}{c},\quad</math> या <math>\quad 2 \times \frac{b}{c},\quad</math> या <math> \quad 2 \left(\frac{b}{c}\right),\;\ldots</math>

=== ऐतिहासिक धारणाएँ ===

==== मिस्र का भिन्न ====

==== जटिल और यौगिक भिन्न ====

{{distinguish|Complex numbers}}

:<math>\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}}=\tfrac{1}{2}\times\tfrac{3}{1}=\tfrac{3}{2}</math>

:<math>\frac{\tfrac{3}{2}}5=\tfrac{3}{2}\times\tfrac{1}{5}=\tfrac{3}{10}</math>

:<math>\frac{8}{\tfrac{1}{3}}=8\times\tfrac{3}{1}=24.</math>

:<math>5/(10/(20/40)) = \frac{5}{10/\tfrac{20}{40}} = \frac{1}{4}\quad</math> या के रूप में <math>\quad (5/10)/(20/40) = \frac{\tfrac{5}{10}}{\tfrac{20}{40}} = 1</math>

फिर भी, जटिल भिन्न और यौगिक भिन्न दोनों को पुराना माना जा सकता है<ref>https://www.collinsdictionary.com/dictionary/english/complex-fraction {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171201182513/https://www.collinsdictionary.com/dictionary/english/complex-fraction |date=2017-12-01 }} et al.</ref> और अब कोई अच्छी तरह से परिभाषित तरीके से उपयोग किया जाता है, आंशिक रूप से एक दूसरे के लिए समानार्थी रूप से लिया जाता है<ref>{{cite web |url=https://www.collinsdictionary.com/dictionary/english/complex-fraction |title=Complex fraction definition and meaning |publisher=Collins English Dictionary |date=2018-03-09 |access-date