पॉलीटॉप: Difference between revisions

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[[File:Assorted polygons.svg|thumb|400px|right|एक [[बहुभुज]] एक 2-आयामी पॉलीटॉप है। बहुभुज को विभिन्न मानदंडों के अनुसार चित्रित किया जा सकता है। कुछ उदाहरण है, खुला (इसकी सीमा को छोड़कर), केवल बाउंडिंग सर्किट (इसके आंतरिक भाग को अनदेखा करना), बंद (इसकी सीमा और इसके आंतरिक दोनों सहित), और विभिन्न क्षेत्रों के अलग-अलग घनत्व के साथ स्व-प्रतिच्छेद करना]]प्रारंभिक ज्यामिति में, एक पॉलीटोप एक ज्यामितीय वस्तु है जिसमें फ्लैट [[फेसेस]] का सामना करना पड़ता है। पॉलीटोप्स किसी भी संख्या के आयामों के लिए त्रि-आयामी [[ बहुतल ]] का सामान्यीकरण होता हैं। पॉलीटोप्स किसी भी सामान्य संख्या में आयाम {{mvar|n}} में {{mvar|n}}-विमीय पॉलीटोप या {{mvar|n}}-पॉलीटोप के रूप में मौजूद हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक द्वि-आयामी बहुभुज एक 2-पॉलीटॉप है और एक त्रि-आयामी पॉलीहेड्रॉन 3-पॉलीटॉप है। इस संदर्भ में, चपटी भुजाओं का अर्थ है कि a की भुजाएँ {{math|(''k'' + 1)}} पॉलीटोप से मिलकर बनता है और {{mvar|k}}-पॉलीटोप्स होते हैं जिनमें {{math|(''k'' – 1)}} पॉलीटोप्स समान हो सकते हैं।
[[File:Assorted polygons.svg|thumb|400px|right|एक [[बहुभुज]] एक 2-आयामी पॉलीटॉप है। बहुभुज को विभिन्न मानदंडों के अनुसार चित्रित किया जा सकता है। कुछ उदाहरण है, खुला (इसकी सीमा को छोड़कर), केवल बाउंडिंग सर्किट (इसके आंतरिक भाग को अनदेखा करना), बंद (इसकी सीमा और इसके आंतरिक दोनों सहित), और विभिन्न क्षेत्रों के अलग-अलग घनत्व के साथ स्व-प्रतिच्छेद करना]]प्रारंभिक ज्यामिति में, पॉलीटोप एक ज्यामितीय ऑब्जेक्ट है जिसमें समतल [[फेसेस|फलक]] होते है। पॉलीटोप्स किसी भी संख्या के आयामों के लिए त्रि-आयामी [[ बहुतल |बहुकोणीय आकृति]] का सामान्यीकरण होता हैं। पॉलीटोप्स किसी भी सामान्य संख्या में आयाम {{mvar|n}} में {{mvar|n}}-विमीय पॉलीटोप या {{mvar|n}}-पॉलीटोप के रूप में उपलब्ध हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक द्वि-आयामी बहुभुज एक 2-पॉलीटॉप है और एक त्रि-आयामी बहुकोणीय आकृति 3-पॉलीटॉप है। इस संदर्भ में, चपटी भुजाओं का अर्थ है कि (k + 1)-पॉलीटॉप की भुजाओं में k-पॉलीटोप्स होते हैं जिनमें(k - 1) पॉलीटोप्स समान हो सकते हैं।  


कुछ सिद्धांत आगे चलकर इस तरह की वस्तुओं को सम्मिलित करने के विचार को सामान्यीकृत करते हैं जैसे कि अनबाउंड [[ अनंतता |अनंतता]] और चौकोर, अपघटन या घुमावदार मैनिफोल्ड्स की टाइलिंग जिसमें [[गोलाकार पॉलीहेड्रा,]] और सम्मुचय-सैद्धांतिक सार पॉलीटोप्स में सम्मिलित होते हैं।
कुछ सिद्धांतों ने इस विचार को सामान्य बना दिया है जैसे कि अपरिबद्ध [[ अनंतता |अनंतता]] और वर्गाकार, अपघटन या घुमावदार मैनिफोल्ड्स की टाइलिंग जिसमें [[गोलाकार पॉलीहेड्रा,|गोलाकार बहुकोणीय आकृति,]] और सम्मुचय-सैद्धांतिक का सार पॉलीटोप्स में सम्मिलित होता हैं।


1853 से पहले लुडविग श्लाफली द्वारा पहली बार तीन से अधिक आयामों के पॉलीटोप्स की खोज की गई थी, जिन्होंने इस तरह के एक आंकड़े को एक पॉलीसेम कहा था।{{Sfn|Coxeter|1973|pp=141-144|loc=§7-x. Historical remarks}} [[ जर्मन भाषा ]] का शब्द पॉलीटॉप गणितज्ञ [[ रेनहोल्ड हॉपी ]] द्वारा निर्मित किया गया था, और [[ एलिसिया बोले स्टॉट ]] द्वारा अंग्रेजी गणितज्ञों को पॉलीटॉप के रूप में पेश किया गया था।
1853 से पहले लुडविग श्लाफली द्वारा पहली बार तीन से अधिक आयामों के पॉलीटोप्स की खोज की गई थी, जिन्होंने इस तरह के एक आंकड़े को पॉलीसेम कहा था।{{Sfn|Coxeter|1973|pp=141-144|loc=§7-x. Historical remarks}} [[ जर्मन भाषा ]] का शब्द पॉलीटॉप गणितज्ञ [[ रेनहोल्ड हॉपी ]] द्वारा निर्मित किया गया था, और [[ एलिसिया बोले स्टॉट ]] द्वारा अंग्रेजी गणितज्ञों को पॉलीटॉप के रूप में पेश किया गया था।


== परिभाषा के दृष्टिकोण ==
== परिभाषा के दृष्टिकोण ==
आजकल, पॉलीटॉप शब्द एक व्यापक शब्द है जिसमें वस्तुओं की एक विस्तृत श्रेणी शामिल है, और गणितीय साहित्य में विभिन्न परिभाषाएँ दिखाई देती हैं। इनमें से कई परिभाषाएँ एक-दूसरे के समतुल्य नहीं हैं, जिसके परिणामस्वरूप वस्तुओं के अलग-अलग अतिव्यापी सम्मुचयों को पॉलीटॉप्स कहा जाता है। वे समान गुणों वाली अन्य वस्तुओं को शामिल करने के लिए उत्तल पॉलीटोप्स को सामान्य बनाने के लिए विभिन्न दृष्टिकोणों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
आधुनिक समय में, पॉलीटॉप शब्द एक व्यापक शब्द है जिसमें ऑब्जेक्ट्स की एक विस्तृत श्रेणी सम्मिलित है, और गणितीय साहित्य में विभिन्न परिभाषाएँ दिखाई देती हैं। इनमें से कई परिभाषाएँ एक-दूसरे के समतुल्य नहीं हैं, जिसके परिणामस्वरूप ऑब्जेक्ट्स के अलग-अलग अतिव्यापी सम्मुचयों को पॉलीटॉप्स कहा जाता है। वे समान गुणों वाली अन्य ऑब्जेक्ट्स को सम्मिलित करने के लिए उत्तल पॉलीटोप्स को सामान्य बनाकर विभिन्न दृष्टिकोणों का प्रतिनिधित्व करते हैं।


मूल दृष्टिकोण सामान्तया लुडविग श्लाफली, [[थोरोल्ड गॉसेट|थोरोल्ड गॉसम्मुचय]] और अन्य द्वारा व्यापक रूप से अनुसरण किया जाता है, क्रमशः दो या तीन आयामों में बहुभुज और पॉलीहेड्रॉन के विचार के चार या अधिक आयामों में सादृश्य द्वारा विस्तार के साथ शुरू होता है।<ref name="coxeter1973">Coxeter (1973)</ref>
लुडविग श्लाफली, [[थोरोल्ड गॉसेट]] द्वारा मूल दृष्टिकोण का व्यापक रूप से पालन किया जाता है, और अन्य क्रमशः दो और तीन आयामों में बहुभुज और बहुकोणीय आकृति की अवधारणा को चार या अधिक आयामों में सादृश्य विस्तार के साथ शुरू होते हैं।<ref name="coxeter1973">Coxeter (1973)</ref>


पॉलीहेड्रा की [[यूलर विशेषता]] को उच्च-आयामी पॉलीटोप्स के सामान्यीकरण के प्रयासों ने टोपोलॉजी के विकास और एक अपघटन या [[ स.ग.-जटिल |सीडब्ल्यू-जटिल]] के उपचार को एक पॉलीटॉप के अनुरूप बनाया गया है।<ref>{{cite book|author-link=David Richeson|last=Richeson|first=D.|title=यूलर का रत्न: पॉलीहेड्रॉन फॉर्मूला और टोपोलॉजी का जन्म|title-link= Euler's Gem|publisher=Princeton University Press|year=2008}}</ref> इस दृष्टिकोण में, एक पॉलीटॉप को कुछ दिए गए कई गुना के चौकोर या अपघटन के रूप में माना जा सकता है। इस दृष्टिकोण का एक उदाहरण एक पॉलीटॉप को उन बिंदुओं के एक सम्मुचय के रूप में परिभाषित करता है जो एक साधारण परिसर को स्वीकार करते हैं। इस परिभाषा में, एक पॉलीटॉप, अतिरिक्त संपत्ति के साथ, बहुत से [[ सरल |सरलताओं]] का संघ है, जो किसी भी दो सरलताओं के लिए, एक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है। उनका प्रतिच्छेदन दोनों का एक शीर्ष, किनारा या उच्च आयामी फेस है।<ref name="Grünbaum2003">ग्रुनबाम (2003) </ रेफ> हालांकि यह परिभाषा आंतरिक संरचनाओं के साथ [[ स्टार पॉलीटॉप ]]्स की अनुमति नहीं देती है, और इसलिए यह गणित के कुछ क्षेत्रों तक ही सीमित है।
बहुकोणीय आकृति की [[यूलर विशेषता]] को उच्च-आयामी पॉलीटोप्स के सामान्यीकरण के प्रयासों ने टोपोलॉजी के विकास और अपघटन या [[ स.ग.-जटिल |सीडब्ल्यू-जटिल]] के निरूपण को एक पॉलीटॉप के अनुरूप बनाया गया है।<ref>{{cite book|author-link=David Richeson|last=Richeson|first=D.|title=यूलर का रत्न: पॉलीहेड्रॉन फॉर्मूला और टोपोलॉजी का जन्म|title-link= Euler's Gem|publisher=Princeton University Press|year=2008}}</ref> इस दृष्टिकोण में, पॉलीटॉप, किसी दिए गए मैनिफोल्ड के उत्कीर्णन या अपघटन के रूप में माना जा सकता है। इस दृष्टिकोण का एक उदाहरण पॉलीटॉप को उन बिंदुओं के एक सम्मुचय के रूप में परिभाषित करता है जो एक साधारण परिसर को स्वीकार करते हैं। इस परिभाषा में, पॉलीटॉप अतिरिक्त गुण धर्म के साथ, बहुत से [[ सरल |सरलताओं]] का संघ है, जो किसी भी दो सरलताओं के लिए, एक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है, और उनका प्रतिच्छेदन दोनों का एक शीर्ष, किनारा या उच्च आयामी फेस है।<ref name="Grünbaum2003">ग्रुनबाम (2003) </ रेफ> हालांकि यह परिभाषा आंतरिक संरचनाओं के साथ [[ स्टार पॉलीटॉप ]]्स की अनुमति नहीं देती है, और इसलिए यह गणित के कुछ क्षेत्रों तक ही सीमित है।


[[ स्टार पॉलीहेड्रॉन ]] और अन्य असामान्य निर्माणों की खोज ने इसके इंटीरियर की अनदेखी करते हुए एक पॉलीहेड्रॉन को एक बाउंडिंग सतह के रूप में देखा। रेफरी> क्रॉमवेल, पी।; पॉलीहेड्रा, सीयूपी (पीपीबीके 1999) पीपी 205 एफएफ।</ref> चूँकि, यह परिभाषा आंतरिक संरचनाओं के साथ तारक (स्टार) पॉलीटोप्स की अनुमति नहीं देती है, और इसलिए यह गणित के कुछ क्षेत्रों तक ही सीमित है।  
[[ स्टार पॉलीहेड्रॉन ]] और अन्य असामान्य निर्माणों की खोज ने इसके इंटीरियर की अनदेखी करते हुए एक पॉलीहेड्रॉन को एक बाउंडिंग सतह के रूप में देखा। रेफरी> क्रॉमवेल, पी।; पॉलीहेड्रा, सीयूपी (पीपीबीके 1999) पीपी 205 एफएफ।</ref> चूँकि, यह परिभाषा आंतरिक संरचनाओं के साथ तारक(स्टार) पॉलीटोप्स की अनुमति नहीं देती है, और इसलिए यह गणित के कुछ क्षेत्रों तक ही सीमित है।


तारक (स्टार) पॉलीहेड्रा और अन्य असामान्य निर्माणों की खोज ने एक पॉलीहेड्रॉन को एक बाउंडिंग सतह के रूप में देखा, इसके आंतरिक भाग की अनदेखी की। इस प्रकाश के पी-स्पेस में उत्तल पॉलीटोप्स (पी-1) क्षेत्र के टाइलिंग के बराबर हैं, जबकि अन्य अन्य अंडाकार, फ्लैट या टोरॉयडल (पी-1) सतहों के टाइलिंग हो सकते हैं, उदाहरण के लिए [[अंडाकार टाइलिंग]] और [[टोरॉयडल पॉलीहेड्रॉन]] देखें। पॉलीहेड्रॉन को एक ऐसी सतह के रूप में समझा जाता है जिसके फेस [[ बहुभुज |ज्यामिति बहुभुज]] के होते हैं, एक [[ 4-पॉलीटॉप | 4-पॉलीटॉप]] एक हाइपरसर्फेस के रूप में होता है। जिसके फेस ज्यामिति पॉलीहेड्रा के होते हैं।
तारक बहुकोणीय आकृति और अन्य असामान्य निर्माणों की खोज ने एक बहुकोणीय आकृति को एक बाउंडिंग सतह के रूप में देखा, इसके आंतरिक भाग की अनदेखी की। इस प्रकाश के पी-क्षेत्र में उत्तल पॉलीटोप्स (पी-1) क्षेत्र के टाइलिंग के बराबर हैं, जबकि अन्य अर्धवृत्ताकार, फ्लैट या टोरॉयडल (पी-1) सतह के टाइलिंग हो सकते हैं, उदाहरण के लिए [[अंडाकार टाइलिंग|अर्धवृत्ताकार टाइलिंग]] और [[टोरॉयडल पॉलीहेड्रॉन|टोरॉयडल]] बहुकोणीय आकृति को देखें। बहुकोणीय आकृति को एक ऐसी सतह के रूप में समझा जाता है जिसके फेस [[ बहुभुज |ज्यामिति बहुभुज]] के होते हैं, एक [[ 4-पॉलीटॉप | 4-पॉलीटॉप]] ऊनविम पृष्ठ के रूप में होता है। जिसके फेस ज्यामिति बहुकोणीय आकृति के होते हैं।


निचले आयाम वाले लोगों से एक उच्च पॉलीटोप का निर्माण करने का विचार कभी-कभी आयाम में नीचे की ओर बढ़ाया जाता है, जिसमें एक किनारे को एक बिंदु जोड़ी द्वारा बंधे [[1-पॉलीटॉप]] के रूप में देखा जाता है, और एक बिंदु या [[शीर्ष]] को 0-पॉलीटॉप के रूप में देखा जाता है। इस दृष्टिकोण का उपयोग उदाहरण के लिए अमूर्त पॉलीटोप्स के सिद्धांत में किया जाता है।
निम्न आयामों से उच्च बहुरूपी के निर्माण के विचार को कभी कभी नीचे की ओर आयाम को बढ़ाया जाता है।, जिसमें किनारे को एक बिंदु जोड़ी द्वारा बंधे [[1-पॉलीटॉप]] के रूप में देखा जाता है, और एक बिंदु या [[शीर्ष]] को 0-पॉलीटॉप के रूप में देखा जाता है। इस दृष्टिकोण का उपयोग उदाहरण के लिए अमूर्त पॉलीटोप्स के सिद्धांत में किया जाता है।


गणित के कुछ क्षेत्रों में, पॉलीटोप और पॉलीहेड्रॉन शब्द एक अलग अर्थ में उपयोग किए जाते हैं: एक पॉलीहेड्रॉन किसी भी आयाम में सामान्य वस्तु है (इस आलेख में पॉलीटोप के रूप में संदर्भित) और पॉलीटोप का अर्थ है एक [[ घिरा हुआ सेट | घिरा हुआ सम्मुचय]] पॉलीहेड्रॉन। रेफ> नेमहौसर और वोल्सी, इंटीजर और कॉम्बिनेटोरियल ऑप्टिमाइजेशन, 1999, {{isbn|978-0471359432}}, परिभाषा 2.2। </ रेफ> यह शब्दावली विशिष्ट रूप से पॉलीटोप्स और पॉलीहेड्रा तक ही सीमित है जो [[उत्तल]] हैं। इस शब्दावली के साथ, एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन अर्ध स्थानों की एक परिमित संख्या का प्रतिच्छेदन है और इसके पक्षों द्वारा परिभाषित किया गया है, जबकि एक उत्तल पॉलीटोप बिंदुओं की एक परिमित संख्या का [[उत्तल पतवार]] है और इसके शीर्षों द्वारा परिभाषित किया गया है।
गणित के कुछ क्षेत्रों में, पॉलीटोप और बहुकोणीय आकृति शब्द एक अलग अर्थ में उपयोग किए जाते हैं, एक बहुकोणीय आकृति किसी भी आयाम में सामान्य वस्तु है (इस आलेख में पॉलीटोप के रूप में संदर्भित) और पॉलीटोप का अर्थ है एक[[ घिरा हुआ सेट | घिरा हुआ सम्मुचय]] बहुफलक। <nowiki><ref> नेमहौसर और वोल्सी, इंटीजर और कॉम्बिनेटोरियल ऑप्टिमाइजेशन, 1999, </nowiki>{{isbn|978-0471359432}}, परिभाषा 2.2।<nowiki></ref></nowiki> यह शब्दावली विशिष्ट रूप से पॉलीटोप्स और बहुकोणीय आकृति तक ही सीमित है जो [[उत्तल]] हैं। इस शब्दावली के साथ, एक उत्तल बहुकोणीय आकृति अर्ध स्थानों की एक परिमित संख्या का प्रतिच्छेदन है। और इसके पक्षों द्वारा परिभाषित किया गया है, जबकि एक उत्तल पॉलीटोप बिंदुओं की एक परिमित संख्या का [[उत्तल पतवार|उत्तल समावरक]] है और इसके शीर्षों द्वारा परिभाषित किया गया है।


आयामों की कम संख्या वाले पॉलीटोप्स के मानक नाम हैं।
आयामों की कम संख्या वाले पॉलीटोप्स मानक के नाम हैं।
{|class="wikitable"
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!आयाम
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== तत्व ==
== तत्व ==
एक पॉलीटोप में विभिन्न आयामों के तत्व सम्मिलित होते हैं जैसे कोने, किनारे, फेसेस, कोशिकाएं आदि। इनके लिए शब्दावली विभिन्न लेखकों के बीच पूरी तरह से संगत नहीं है। उदाहरण के लिए, कुछ लेखक एक (n − 1) आयामी तत्व को संदर्भित करने के लिए फेसेस का उपयोग करते हैं जबकि अन्य विशेष रूप से 2-फेसेस को निरूपित करने के लिए फेसेस का उपयोग करते हैं। जे आयामों के एक तत्व को इंगित करने के लिए लेखक जे फेस या जे फलक का उपयोग कर सकते हैं। कुछ किनारे का उपयोग रिज को संदर्भित करने के लिए करते हैं, जबकि एच.एस.एम. कॉक्सम्मुचयर सेल का उपयोग एन -1 आयामी तत्व को निरूपित करने के लिए सेल का उपयोग करता है।<ref>Regular polytopes, p. 127 ''The part of the polytope that lies in one of the hyperplanes is called a cell''</ref>{{citation needed|date=February 2015|reason=need to cite each definition claimed}}
एक पॉलीटोप में विभिन्न आयामों के तत्व सम्मिलित होते हैं जैसे कोने, किनारे, फलक, कोशिकाएं आदि। इनके लिए शब्दावली विभिन्न लेखकों के बीच पूरी तरह से संगत नहीं है। उदाहरण के लिए, कुछ लेखक एक (n − 1) आयामी तत्व को संदर्भित करने के लिए फलक का उपयोग करते हैं। जबकि विशेष रूप से 2-फलक को निरूपित करने के लिए फलक का उपयोग करते हैं। जे आयामों के एक तत्व को इंगित करने के लिए लेखक जे फेस या जे फलक का उपयोग करते हैं। कुछ एक कंटक को संदर्भित करने के लिए किनारे का उपयोग करते हैं, जबकि एच.एस.एम. कॉक्सेटर (n − 1)-आयामी तत्व को निरूपित करने के लिए बैटरी का उपयोग करता है।<ref>Regular polytopes, p. 127 ''The part of the polytope that lies in one of the hyperplanes is called a cell''</ref>{{citation needed|date=February 2015|reason=need to cite each definition claimed}}
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इस लेख में अपनाई गई शर्तें नीचे दी गई तालिका में दी गई हैं।
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|पॉलीटॉप ही
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एक n-आयामी पॉलीटोप कई (n − 1) आयामी [[ पहलू (गणित) | पहलुओं गणित]] से घिरा होता है। ये पहलू स्वयं पॉलीटोप हैं, जिनके पहलू मूल पॉलीटोप के (n -2) आयामी [[ रिज (ज्यामिति) | रिज (ज्यामिति)]] के हैं। प्रत्येक रिज दो पहलुओं के प्रतिच्छेदन के रूप में उत्पन्न होती है लेकिन दो पहलुओं के प्रतिच्छेदन को एक रिज होना आवश्यक नहीं है। रिज एक बार फिर से पॉलीटोप हैं जिनके पहलू मूल पॉलीटोप की (n - 3) आयामी सीमाओं को जन्म देते हैं, और इसी तरह इन बाउंडिंग सब-पॉलीटॉप्स को फेस (ज्यामिति), या विशेष रूप से जे-विमीय फेस या जे-फेस के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। एक 0-आयामी फेसेस को एक शीर्ष कहा जाता है, और इसमें एक बिंदु होता है। 1-आयामी फेसेस को किनारा कहा जाता है, और इसमें एक रेखा खंड होता है। एक 2-आयामी फेसेस  में एक बहुभुज होता है, और एक 3-आयामी फेस, जिसे कभी-कभी [[ सेल (गणित) |सेल (गणित)]] कहा जाता है, और इसमें एक पॉलीहेड्रॉन होता है।
एक n-आयामी पॉलीटोप कई (n − 1) आयामी [[ पहलू (गणित) | फलिका]] से घिरा होता है। ये फलिका स्वयं पॉलीटोप हैं, जिनकी फलिका मूल पॉलीटोप के (n -2) आयामी [[ रिज (ज्यामिति) | कंटक (ज्यामिति)]] के हैं। प्रत्येक कंटक दो फलिका के प्रतिच्छेदन के रूप में उत्पन्न होती है लेकिन दो फलिका के प्रतिच्छेदन को एक कंटक का होना आवश्यक नहीं है। कंटक एक बार फिर से पॉलीटोप हैं जिनके पहलू मूल पॉलीटोप की(n - 3) आयामी सीमाओं को निर्मित करते हैं, और इसी तरह इन बाउंडिंग सब-पॉलीटॉप्स को फेस (ज्यामिति), या विशेष रूप से जे-विमीय फेस या जे-फेस के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। एक 0-आयामी फलक को एक शीर्ष कहा जाता है, और इसमें एक बिंदु होता है। 1-आयामी फलक को किनारा कहा जाता है, और इसमें एक रेखा खंड होता है। एक 2-आयामी फलक में एक बहुभुज होता है, और एक 3-आयामी फेस, जिसे कभी-कभी [[ सेल (गणित) |सेल (गणित)]] कहा जाता है, और इसमें एक बहुकोणीय आकृति होती है।


==बहुलकों के महत्वपूर्ण वर्ग ==
==बहुलकों के महत्वपूर्ण वर्ग ==
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{{Main|उत्तल पॉलीटॉप}}
{{Main|उत्तल पॉलीटॉप}}


पॉलीटॉप उत्तल भी हो सकता है। उत्तल पॉलीटोप्स सबसे सरल प्रकार के पॉलीटोप्स होते हैं, और पॉलीटोप्स की अवधारणा कई अलग-अलग सामान्यीकरणों के लिए आधार बनाते हैं। एक उत्तल पॉलीटॉप को कभी-कभी अर्ध-रिक्त स्थान के सम्मुचय को प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह परिभाषा पॉलीटॉप को न तो बाध्य और न ही परिमित होने की अनुमति देती है। पॉलीटोप्स को इस तरह परिभाषित किया जाता है, उदाहरण के लिए, रैखिक फलन में एक पॉलीटोप को बांधा जाता है यदि परिमित त्रिज्या की एक गेंद होती है। इसमें पॉलीटॉप को पॉइंटेड कहा जाता है यदि इसमें कम से कम एक शीर्ष होता है। और हर घिरा हुआ गैर-खाली पॉलीटॉप पॉइंटेड होता है। यह एक गैर-पॉइंटेड पॉलीटॉप का उदाहरण सम्मुचय है <math>\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0\}</math>, पॉलीटॉप परिमित है यदि इसे परिमित संख्या में वस्तुओं के रूप में परिभाषित जाता है, उदाहरण के लिए, अर्ध समतल की परिमित संख्या के प्रतिच्छेदन के रूप में है।
पॉलीटॉप उत्तल भी हो सकता है। उत्तल पॉलीटोप्स सबसे सरल प्रकार के पॉलीटोप्स होते हैं, और पॉलीटोप्स की अवधारणा कई अलग-अलग सामान्यीकरणों के लिए आधार बनाते हैं। एक उत्तल पॉलीटॉप को कभी-कभी अर्ध-रिक्त सम्मुचय के प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह परिभाषा पॉलीटॉप को न तो बाध्य और न ही परिमित होने की अनुमति देती है। पॉलीटोप्स को इस तरह परिभाषित किया जाता है, उदाहरण के लिए, रैखिक फलन में पॉलीटॉप बंधा हुआ है अगर इसमें परिमित त्रिज्या की एक गेंद होती है। इसमें पॉलीटॉप को पॉइंटेड कहा जाता है यदि इसमें कम से कम एक शीर्ष होता है। और हर घिरा हुआ गैर-रिक्त पॉलीटॉप पॉइंटेड होता है। और ये गैर-पॉइंटेड पॉलीटॉप का एक उदाहरण समुच्चय है<math>\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0\}</math>, पॉलीटॉप परिमित है यदि इसे परिमित संख्या में ऑब्जेक्ट्स के रूप में परिभाषित जाता है। उदाहरण के लिए अर्ध समतल की परिमित संख्या के प्रतिच्छेदन के रूप में है।
यदि इसके सभी शीर्षों में पूर्णांक निर्देशांक हैं, तो यह एक [[ अभिन्न पॉलीटॉप ]] है।
यदि इसके सभी शीर्षों में पूर्णांक निर्देशांक हैं, तो यह एक [[ अभिन्न पॉलीटॉप ]]है।


उत्तल पॉलीटॉप्स का एक निश्चित वर्ग प्रतिवर्ती पॉलीटोप्स हैं। एक अभिन्न {{nobr|<math>d</math>-polytope}} <math>\mathcal{P}</math> कुछ [[ पूर्णांक मैट्रिक्स ]] के लिए प्रतिवर्ती है <math>\mathbf{A}</math>, <math>\mathcal{P} = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d : \mathbf{Ax} \leq \mathbf{1}\}</math>, जहां पे <math>\mathbf{1}</math> सभी के सदिश को दर्शाता है, और असमानता घटक-वार है। और इस परिभाषा से हमें पता चलता कि <math>\mathcal{P}</math> प्रतिवर्ती है अगर और केवल अगर <math>(t+1)\mathcal{P}^\circ \cap \mathbb{Z}^d = t\mathcal{P} \cap \mathbb{Z}^d</math> सभी के लिए है <math>t \in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>. दूसरे शब्दों में, ए {{nobr|<math>(t + 1)</math>-dilate}} का <math>\mathcal{P}</math> भिन्न, पूर्णांक जालक बिंदुओं के संदर्भ में, a {{nobr|<math>t</math>-dilate}} का <math>\mathcal{P}</math> केवल सीमा पर प्राप्त जाली बिंदुओं से समान रूप से, <math>\mathcal{P}</math> प्रतिवर्ती है अगर और केवल अगर यह [[ दोहरी पॉलीहेड्रॉन ]] है तो <math>\mathcal{P}^*</math> एक अभिन्न पॉलीटॉप है।<ref>Beck, Matthias; Robins, Sinai (2007), ''[[Computing the Continuous Discretely|Computing the Continuous Discretely: Integer-point enumeration in polyhedra]]'', Undergraduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, {{ISBN|978-0-387-29139-0}}, MR 2271992</ref>
उत्तल पॉलीटॉप्स का एक निश्चित वर्ग प्रतिवर्ती पॉलीटोप्स हैं। एक अभिन्न {{nobr|<math>d</math>-पॉलीटॉप}} <math>\mathcal{P}</math> कुछ [[ पूर्णांक मैट्रिक्स | समाकलन आव्यूह]] के लिए प्रतिवर्ती है <math>\mathbf{A}</math>, <math>\mathcal{P} = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d : \mathbf{Ax} \leq \mathbf{1}\}</math>, जहां पे <math>\mathbf{1}</math> सभी के सदिश को दर्शाता है, और असमानता घटक-वार है। और इस परिभाषा से हमें पता चलता कि <math>\mathcal{P}</math> प्रतिवर्ती है अगर और केवल अगर <math>(t+1)\mathcal{P}^\circ \cap \mathbb{Z}^d = t\mathcal{P} \cap \mathbb{Z}^d</math> सभी के लिए है <math>t \in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>. दूसरे शब्दों में, ए {{nobr|<math>(t + 1)</math>-डाईलेट}} का <math>\mathcal{P}</math> भिन्न, पूर्णांक जालक बिंदुओं के संदर्भ में, a {{nobr|<math>t</math>-dilate}} का <math>\mathcal{P}</math> केवल सीमा पर प्राप्त जाली बिंदुओं से समान रूप से, <math>\mathcal{P}</math> प्रतिवर्ती है अगर और केवल अगर यह [[ दोहरी पॉलीहेड्रॉन | दोहरी बहुकोणीय आकृति]] है तो <math>\mathcal{P}^*</math> एक अभिन्न पॉलीटॉप है।<ref>Beck, Matthias; Robins, Sinai (2007), ''[[Computing the Continuous Discretely|Computing the Continuous Discretely: Integer-point enumeration in polyhedra]]'', Undergraduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, {{ISBN|978-0-387-29139-0}}, MR 2271992</ref>
=== नियमित पॉलीटोप्स ===
=== नियमित पॉलीटोप्स ===
{{Main|नियमित पॉलीटॉप}}
{{Main|नियमित पॉलीटॉप}}
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नियमित पॉलीटोप के तीन मुख्य[[ वर्ग |  वर्ग]] हैं जो किसी भी आयाम में होते हैं
नियमित पॉलीटोप के तीन मुख्य[[ वर्ग |  वर्ग]] हैं जो किसी भी आयाम में होते हैं
*समबाहु त्रिभुज और नियमित टेट्राहेड्रॉन सहित [[सरलताएं]] हैं।
*समबाहु त्रिभुज और नियमित चतुष्फलक सहित [[सरलताएं]] बनाता है।
*[[अतिविम]] या वर्ग और घन सहित पॉलीटोप्स को मापें।
*[[अतिविम]] या वर्ग और घन सहित पॉलीटोप्स को के लिए।
*वर्गाकार और [[ नियमित अष्टफलक ]] सहित [[ ऑर्थोप्लेक्स ]] या क्रॉस पॉलीटोप हैं।
*वर्गाकार और [[ नियमित अष्टफलक ]] सहित [[ ऑर्थोप्लेक्स |अस्थिजाल]] या क्रॉस पॉलीटोप होते हैं।


आयाम दो, तीन और चार में नियमित आंकड़े सम्मिलित होते हैं जिनमें पांच गुना समरूपता होती है और जिनमें से कुछ गैर-उत्तल तारक (तारक (स्टार)) होते हैं, और दो आयामों में अनंत रूप से एन-गुना समरूपता के कई [[ नियमित बहुभुज ]] होते हैं, दोनों उत्तल और n ≥ 5 के लिए तारक (तारक (स्टार))। लेकिन उच्च आयामों में कोई अन्य नियमित पॉलीटॉप नहीं होता हैं।<ref name="coxeter1973"/>
आयाम दो, तीन और चार में नियमित आंकड़े सम्मिलित होते हैं जिनमें पांच गुना समरूपता होती है और जिनमें से कुछ गैर-उत्तल तारक (स्टार) होते हैं, और दो आयामों में अनंत रूप से एन-गुना समरूपता के कई[[ नियमित बहुभुज ]] होते हैं, दोनों उत्तल और n ≥ 5 के लिए तारक (स्टार) होते हैं। लेकिन उच्च आयामों में कोई अन्य नियमित पॉलीटॉप नहीं होते हैं।<ref name="coxeter1973"/>


आयाम दो, तीन और चार में नियमित आंकड़े शामिल होते हैं जिनमें पांच गुना समरूपता होती है और जिनमें से कुछ गैर-उत्तल तारक (तारक (स्टार)) होते हैं, और दो आयामों में अनंत रूप से एन-गुना समरूपता के कई नियमित बहुभुज होते हैं, दोनों उत्तल और n ≥ 5 के लिए तारक (तारक (स्टार)) होते हैं। लेकिन उच्च आयामों में कोई अन्य नियमित पॉलीटॉप्स नहीं होते हैं।
तीन आयामों में उत्तल [[ प्लेटोनिक ठोस |सैद्धांतिक ठोस]] में पांच गुना-सममित [[ द्वादशफ़लक | द्वादशफ़लक]] और [[ विंशतिफलक | विंशतिफलक]] सम्मिलित हैं, और पांच गुना समरूपता के साथ चार तारक (स्टार)[[ केप्लर-पॉइन्सॉट पॉलीहेड्रा | केप्लर-पॉइन्सॉट बहुकोणीय आकृति]] भी हैं, जो कुल नौ नियमित बहुकोणीय आकृति को लाते हैं।


तीन आयामों में उत्तल [[ प्लेटोनिक ठोस | प्लेटोनिक ठोस]] में पांच गुना-सममित [[ द्वादशफ़लक | द्वादशफ़लक]] और [[ विंशतिफलक | विंशतिफलक]] सम्मिलित हैं, और पांच गुना समरूपता के साथ चार तारक (तारक (स्टार))[[ केप्लर-पॉइन्सॉट पॉलीहेड्रा | केप्लर-पॉइन्सॉट पॉलीहेड्रा]] भी हैं, जो कुल नौ नियमित पॉलीहेड्रा लाते हैं।
चार आयामों में नियमित 4-पॉलीटॉप में चार गुना समरूपता के साथ एक अतिरिक्त उत्तल ठोस और पांच गुना समरूपता के साथ सम्मिलित हैं। दस तारक (स्टार) श्लाफली-हेस 4-पॉलीटॉप हैं, और सभी पांच गुना समरूपता के साथ, सभी सोलह नियमित 4-पॉलीटॉप में दे रहे हैं।
 
चार आयामों में नियमित 4-पॉलीटॉप में चार गुना समरूपता के साथ एक अतिरिक्त उत्तल ठोस और पांच गुना समरूपता के साथ सम्मिलित हैं। दस तारक (तारक (स्टार)) श्लाफली-हेस 4-पॉलीटॉप हैं, और सभी पांच गुना समरूपता के साथ, सभी सोलह नियमित 4-पॉलीटॉप में दे रहे हैं।


=== तारक (स्टार) पॉलीटोप्स ===
=== तारक (स्टार) पॉलीटोप्स ===
{{Main|स्टार पॉलीटॉप}}
{{Main|स्टार पॉलीटॉप}}


एक गैर-उत्तल पॉलीटोप स्वयं प्रतिच्छेदन हो सकता है, पॉलीटोप्स के इस वर्ग में तारक (स्टार) पॉलीटोप्स में सम्मिलित हैं। कुछ नियमित पॉलीटॉप तारक (स्टार)) हैं।<ref name="coxeter1973" />
एक गैर-उत्तल पॉलीटोप स्वयं प्रतिच्छेदन हो सकता है, पॉलीटोप्स के इस वर्ग में तारक (स्टार) पॉलीटोप्स में सम्मिलित हैं। कुछ नियमित पॉलीटॉप तारक (स्टार) हैं।<ref name="coxeter1973" />




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=== यूलर विशेषता ===
=== यूलर विशेषता ===
चूँकि d आयामों में एक भरा हुआ उत्तल पॉलीटॉप P एक बिंदु के लिए [[संकुचन क्षम]] है, इसकी सीमा ∂P की यूलर विशेषता x वैकल्पिक योग द्वारा दी गई है
चूँकि d आयामों में एक भरा हुआ उत्तल पॉलीटॉप P एक बिंदु के लिए [[संकुचन क्षम]] है, इसकी सीमा ∂P की यूलर विशेषता x वैकल्पिक योग द्वारा दी गई है
:<math>\chi = n_0 - n_1 + n_2 - \cdots \plusmn n_{d-1} = 1 + (-1)^{d-1}</math>, कहाँ पे <math>n_j</math> की संख्या है <math>j</math>-आयामी फेसेस ।
:<math>\chi = n_0 - n_1 + n_2 - \cdots \plusmn n_{d-1} = 1 + (-1)^{d-1}</math>, कहाँ पे <math>n_j</math> की संख्या है <math>j</math>-आयामी फलक ।


यह पॉलीहेड्रा के लिए यूलर के सूत्र को सामान्यीकृत करता है।<ref name="pands"/>
यह बहुकोणीय आकृति के लिए यूलर के सूत्र को सामान्यीकृत करता है।<ref name="pands"/>


=== आंतरिक कोण ===
=== आंतरिक कोण ===
ग्राम-यूलर प्रमेय इसी तरह [[ आंतरिक और बाहरी कोण | आंतरिक और बाहरी कोणों]] के वैकल्पिक योग को सामान्य करता है <math display="inline"> \sum \varphi</math> उत्तल पॉलीहेड्रा के लिए उच्च-आयामी पॉलीटोप्स के लिए है<ref name="pands">M. A. Perles and G. C. Shephard. 1967. "Angle sums of convex polytopes". ''Math. Scandinavica'', Vol 21, No 2. March 1967. pp. 199–218.</ref>
ग्राम-यूलर प्रमेय इसी तरह [[ आंतरिक और बाहरी कोण | आंतरिक और बाहरी कोणों]] के वैकल्पिक योग को सामान्य करता है <math display="inline"> \sum \varphi</math> उत्तल बहुकोणीय आकृति के लिए उच्च-आयामी पॉलीटोप्स के लिए है<ref name="pands">M. A. Perles and G. C. Shephard. 1967. "Angle sums of convex polytopes". ''Math. Scandinavica'', Vol 21, No 2. March 1967. pp. 199–218.</ref>
: <math>\sum \varphi = (-1)^{d-1}</math>
: <math>\sum \varphi = (-1)^{d-1}</math>


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=== अनंत पॉलीटोप्स ===
=== अनंत पॉलीटोप्स ===
{{Main|एपिरोटोप}}
{{Main|एपिरोटोप}}
सभी गुण परिमित नहीं होते। जहां एक पॉलीटॉप को मैनिफोल्ड के टाइलिंग या अपघटन के रूप में समझा जाता है, इस विचार को अनंत मैनिफोल्ड तक बढ़ाया जा सकता है। टेसलेशन, स्पेस-फिलिंग, हनीकॉम्ब ज्यामिति और [[ अतिशयोक्तिपूर्ण टाइलिंग ]] इस अर्थ में पॉलीटोप्स हैं, और कभी-कभी इन्हें एपिरोटोप्स कहा जाता है क्योंकि उनमें असीम रूप से कई कोशिकाएं होती हैं।
सभी गुण परिमित नहीं होते। जहां एक पॉलीटॉप को मैनिफोल्ड के टाइलिंग या अपघटन के रूप में समझा जाता है, इस विचार को अनंत मैनिफोल्ड तक बढ़ाया जा सकता है। टेसलेशन, स्पेस-फिलिंग, हनीकॉम्ब ज्यामिति और [[ अतिशयोक्तिपूर्ण टाइलिंग ]] इस अर्थ में पॉलीटोप्स हैं। और कभी-कभी इन्हें एपिरोटोप्स कहा जाता है क्योंकि उनमें असीम रूप से कई कोशिकाएं होती हैं।


इनमें [[ नियमित तिरछा पॉलीहेड्रॉन ]] और नियमित एपिरोगोन, स्क्वायर टाइलिंग, क्यूबिक मधुकोश, और इतने पर प्रतिनिधित्व करने वाली टाइलिंग की अनंत श्रृंखला सहित नियमित रूप से हैं।
इनमें [[ नियमित तिरछा पॉलीहेड्रॉन | नियमित तिरछा बहुकोणीय आकृति]] और नियमित एपिरोगोन, स्क्वायर टाइलिंग, त्रिविमीय शहद का छत्ता, और इतने पर प्रतिनिधित्व करने वाली टाइलिंग की अनंत श्रृंखला सहित नियमित रूप से हैं।


=== सार पॉलीटोप्स ===
=== सार पॉलीटोप्स ===
{{Main|सार पॉलीटॉप}}
{{Main|सार पॉलीटॉप}}


अमूर्त पॉलीटॉप्स का सिद्धांत उनके विशुद्ध रूप से संयोजी गुणों पर विचार करते हुए, उन्हें युक्त स्थान से पॉलीटोप्स को अलग करने का प्रयास करता है। यह उन वस्तुओं को सम्मिलित करने के लिए शब्द की परिभाषा को विस्तृत करने की अनुमति देता है जिनके लिए एक सहज अंतर्निहित स्थान को परिभाषित करना मुश्किल है, जैसे कि [[ 11-कोशिका ]]।
अमूर्त पॉलीटॉप्स का सिद्धांत उनके विशुद्ध रूप से संयोजी गुणों पर विचार करते हुए, उन्हें युक्त स्थान से पॉलीटोप्स को अलग करने का प्रयास करता है। यह उन ऑब्जेक्ट्स को सम्मिलित करने के लिए शब्द की परिभाषा को विस्तृत करने की अनुमति देता है जिनके लिए एक सहज अंतर्निहित स्थान को परिभाषित करना मुश्किल है, जैसे कि [[ 11-कोशिका ]]।


एक अमूर्त पॉलीटॉप तत्वों या सदस्यों का [[ आंशिक रूप से आदेशित सेट | आंशिक रूप से आदेशित सम्मुचय]] है, जो कुछ नियमों का पालन करता है। यह एक विशुद्ध रूप से बीजगणितीय संरचना है, और सिद्धांत को कुछ विषय से बचने के लिए विकसित किया गया था, जिससे एक सुसंगत गणितीय ढांचे के भीतर विभिन्न ज्यामितीय वर्गों का संग्रह मुश्किल हो जाता है। और संबंधित अमूर्त पॉलीटोप के कुछ वास्तविक स्थानो को एक ज्यामितीय पॉलीटोप के प्रत्यक्षीकरण के रूप में जाना जाता है।<ref>{{citation | last1 = McMullen | first1 = Peter | author1-link = Peter McMullen | first2 = Egon | last2 = Schulte | title = Abstract Regular Polytopes | edition = 1st | publisher = [[Cambridge University Press]] | isbn = 0-521-81496-0 | date = December 2002 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/abstractregularp0000mcmu }}</ref>
एक अमूर्त पॉलीटॉप तत्वों या सदस्यों का [[ आंशिक रूप से आदेशित सेट | आंशिक रूप से आदेशित सम्मुचय]] है, जो कुछ नियमों का पालन करता है। यह एक विशुद्ध रूप से बीजगणितीय संरचना है, और सिद्धांत को कुछ विषय से बचने के लिए विकसित किया गया था, जिससे एक सुसंगत गणितीय ढांचे के भीतर विभिन्न ज्यामितीय वर्गों का संग्रह मुश्किल हो जाता है। और संबंधित अमूर्त पॉलीटोप के कुछ वास्तविक स्थान