तुल्यता संबंध: Difference between revisions

{{stack|{{Binary relations}}}}

[[File:Set partitions 5; matrices.svg|right|thumb|5-तत्व सेट पर बेल संख्या तुल्यता संबंधों को इस प्रकार दर्शाया गया है <math>5 \times 5</math> [[ तार्किक मैट्रिक्स ]] (रंगीन फ़ील्ड, जिनमें हल्के भूरे रंग के क्षेत्र शामिल हैं, एक के लिए खड़े हैं; शून्य के लिए सफेद फ़ील्ड)। गैर-श्वेत कोशिकाओं की पंक्ति और स्तंभ सूचकांक संबंधित तत्व हैं, जबकि विभिन्न रंग, हल्के भूरे रंग के अलावा, तुल्यता वर्गों को इंगित करते हैं (प्रत्येक हल्के भूरे रंग की कोशिका का अपना तुल्यता वर्ग होता है)।]]गणित में, एक तुल्यता संबंध एक [[ द्विआधारी संबंध ]] है जो प्रतिक्रियात्मक, [[ सममित संबंध | सममित]] और [[ सकर्मक संबंध ]]होता है। ज्यामिति में रेखाखंडों के बीच [[ संतुलन (ज्यामिति) | समतुल्य]] संबंध तुल्यता संबंध का एक सामान्य उदाहरण है।

प्रत्येक तुल्यता संबंध अंतर्निहित समुच्चय को असंयुक्त [[तुल्यता वर्गों]] में विभाजन करता है। दिए गए समुच्चय के दो अवयव एक दूसरे के समतुल्य हैं। यदि वे एक ही समतुल्य वर्ग से संबंधित हैं।

साहित्य में दो तत्वों को निर्देशित करने के लिए विभिन्न संकेतन का उपयोग किया जाता है <math>a</math> तथा <math>b</math> तुल्यता संबंध के एक सेट के बराबर हैं <math>R;</math> सबसे आम हैं <math>a \sim b</math> तथा {{math|''a'' ≡ ''b''}}, जिनका उपयोग तब किया जाता है जब R निहित और भिन्न होता है "  a _''R'' ''b,''  "''a'' ≡_''R'' ''b''", या <math>{a\mathop{R}b}</math> , <math>R</math> स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए गैर समकक्ष लिखा जा सकता है {{math|''a'' ≁ ''b''}} या <math>a \not\equiv b</math>.

समुच्चय <math>X</math>  पर द्विआधारी संबंध  <math>\,\sim\,</math> को तुल्यता संबंध कहा जाता है, अगर यह केवल  विचारशील, सममित और संक्रमणीय है। अर्थात सभी के लिए <math>a, b,</math> तथा <math>c</math> में <math>X:</math>

<math>X</math> रिश्ते के साथ <math>\,\sim\,</math> एक [[ सेटॉइड ]] कहा जाता है। तुल्यता वर्ग <math>a</math> नीचे <math>\,\sim,</math> लक्षित <math>[a],</math> की तरह परिभाषित किया गया है <math>[a] = \{x \in X : x \sim a\}.</math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=तुल्यता वर्ग|url=https://mathworld.wolfram.com/EquivalenceClass.html|access-date=2020-08-30|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|date=2017-09-20|title=7.3: तुल्यता वर्ग|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Mathematical_Logic_and_Proof/Book%3A_Mathematical_Reasoning__Writing_and_Proof_(Sundstrom)/7%3A_Equivalence_Relations/7.3%3A_Equivalence_Classes|access-date=2020-08-30|website=Mathematics LibreTexts|language=en}}</ref>

संबंधपरक बीजगणित में, यदि <math>R\subseteq X\times Y</math> तथा <math>S\subseteq Y\times Z</math>  के संबंध हैं, तो [[ संबंधों की संरचना ]] को  <math>SR\subseteq X\times Z</math> से परिभाषित किया गया है ताकि <math>x \, SR \, z</math> अगर और केवल अगर वहाँ एक है <math>y\in Y</math> ऐसा है कि <math>x \, R \, y</math> तथा <math>y \, S \, z</math>.<ref group="note">Sometimes the composition <math>SR\subseteq X\times Z</math> is instead written as <math>R;S</math>, or as <math>RS</math>; in both cases, <math>R</math> is the first relation that is applied. See the article on [[Composition of relations#Notational variations|Composition of relations]] for more information.</ref> यह परिभाषा [[ समारोह संरचना | कार्यात्मक संरचना]] की परिभाषा का एक सामान्यीकरण है। एक तुल्यता संबंध के परिभाषित गुण <math>R</math> एक सेट पर <math>X</math> फिर निम्नानुसार सुधार किया जा सकता है

* <math>\operatorname{id} \subseteq R</math>. (परावर्तन रिलेशन)। (यहां, आई डी[[पहचान फलन]] को <math>X</math>.से दर्शाता है)

मंच पर <math>X = \{a, b, c\}</math>, सम्बन्ध <math>R = \{(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)\}</math> एक तुल्यता संबंध है। निम्नलिखित समुच्चय इस संबंध के तुल्यता वर्ग हैं

<math display=block>[a] = \{a\}, ~~~~ [b] = [c] = \{b, c\}.</math>

<math>R</math> के लिए सभी तुल्यता वर्गों का समुच्चय <math>\{\{a\}, \{b, c\}\}.</math>है यह समुच्चय <math>R</math> के संबंध में समुच्चय <math>X</math> का एक विभाजन है।

*सभी लोगों के सेट पर वही जन्मदिन होता है।

* सभी [[ त्रिभुज (ज्यामिति) | त्रिभुज (ज्यामिति)]]  के सेट पर [[ समानता (ज्यामिति) | समान]]  है।

* सभी त्रिभुज (ज्यामिति) के सेट पर [[ सर्वांगसमता (ज्यामिति) | सर्वांगसमता]]  है।

* एक प्राकृतिक संख्या दी गई <math>n</math>, के अनुरूप है, [[ मॉड्यूलर अंकगणित | मॉड्यूलर अंकगणित]]  <math>n</math>[[ पूर्णांकों | पूर्णांकों]]  पर।<ref name=":0" />* एक फलन को देखते हुए <math>f:X \to Y</math>, एक ही [[ छवि (गणित) | छवि (गणित)]]  के अंतर्गत है <math>f</math> के तत्वों के रूप में <math>f</math> किसी [[ फ़ंक्शन का डोमेन | फ़ंक्शन का डोमेन]] <math>X</math>. उदाहरण के लिए, <math>0</math> तथा <math>\pi</math> नीचे एक ही छवि है <math>\sin</math>, अर्थात <math>0</math>

* सभी कोणों के समुच्चय पर समान कोज्या है।

* वास्तविक संख्याओं के बीच संबंध लगभग बराबर है, लेकिन तुल्यता संबंध को सटीक रूप से परिभाषित नहीं किया है, क्योंकि परावर्तक और सममित होने के बावजूद, यह सकर्मक नहीं है, क्योंकि कई छोटे परिवर्तन बड़ा परिवर्तन बनने के लिए इकट्ठा हो सकते हैं। चूँकि, यदि सन्निकटन को विषम रूप से परिभाषित किया गया है, जैसा कि उदाहरण के लिए दो फलन f और g किसी बिंदु के पास लगभग बराबर हैं यदि उस बिंदु पर f - g की सीमा 0 है, तो यह एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करता है।  

*[[ आंशिक आदेश ]] एक ऐसा संबंध है जो प्रतिवर्ती है, {{em|[[Antisymmetric relation|antisymmetric]]}}, और संक्रमणीय।

*[[ समानता (गणित) ]] एक तुल्यता संबंध और आंशिक क्रम दोनों है। समानता भी एक सेट पर एकमात्र संबंध है जो रिफ्लेक्टिव, सममित और एंटीसिमेट्रिक है। बीजीय व्यंजकों में, समान चर एक दूसरे के लिए [[ प्रतिस्थापन (बीजगणित) ]] हो सकते हैं, एक ऐसी सुविधा जो तुल्यता संबंधी चरों के लिए उपलब्ध नहीं है। एक तुल्यता संबंध के तुल्यता वर्ग एक दूसरे के लिए स्थानापन्न कर सकते हैं, लेकिन एक वर्ग के भीतर व्यक्ति नहीं।

*एक [[ सख्त आंशिक आदेश ]] अपरिवर्तनीय, सकर्मक और [[ असममित संबंध ]] है।

*एक [[ आंशिक तुल्यता संबंध ]] सकर्मक और सममित है। ऐसा रिश्ता रिफ्लेक्टिव होता है अगर और केवल अगर यह [[ कुल संबंध ]] है, यानी, अगर सभी के लिए <math>a,</math> कुछ मौजूद है <math>b \text{ such that } a \sim b.</math><ref group="proof">''If:'' Given <math>a,</math> let <math>a \sim b</math> hold using totality, then <math>b \sim a</math> by symmetry, hence <math>a \sim a</math> by transitivity. &mdash; ''Only if:'' Given <math>a,</math> choose <math>b = a,</math> then <math>a \sim b</math> by reflexivity.</ref> इसलिए, एक तुल्यता संबंध को वैकल्पिक रूप से एक सममित, सकर्मक और कुल संबंध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

*एक आत्मकेंद्रित और सममित संबंध एक [[ निर्भरता संबंध ]] है (यदि परिमित है), और एक [[ सहिष्णुता संबंध ]] यदि अनंत है।

* एक [[ पूर्व आदेश ]] रिफ्लेक्टिव और ट्रांजिटिव है।

*एक [[ सर्वांगसमता संबंध ]] एक तुल्यता संबंध है जिसका डोमेन <math>X</math> [[ बीजीय संरचना ]] के लिए अंतर्निहित समुच्चय भी है, और जो अतिरिक्त संरचना का सम्मान करता है। सामान्य तौर पर, सर्वांगसमता संबंध समरूपता के [[ कर्नेल (बीजगणित) ]] की भूमिका निभाते हैं, और एक सर्वांगसम संबंध द्वारा संरचना का भागफल बनाया जा सकता है। कई महत्वपूर्ण मामलों में, सर्वांगसमता संबंधों में संरचना के उप-संरचनाओं के रूप में एक वैकल्पिक प्रतिनिधित्व होता है, जिस पर उन्हें परिभाषित किया जाता है (उदाहरण के लिए, समूहों पर सर्वांगसम संबंध [[ सामान्य उपसमूह ]]ों के अनुरूप होते हैं)।

*कोई भी तुल्यता संबंध एक पृथकता संबंध का निषेध है, हालांकि विलोम कथन केवल [[ शास्त्रीय गणित ]] ([[ रचनात्मक गणित ]] के विपरीत) में होता है, क्योंकि यह बहिष्कृत मध्य के कानून के बराबर है।

*प्रत्येक संबंध जो रिफ्लेक्सिव और लेफ्ट (या राइट) दोनों है, [[ यूक्लिडियन संबंध ]] भी एक तुल्यता संबंध है।

यदि <math>\,\sim\,</math> पर एक तुल्यता संबंध है <math>X,</math> तथा <math>P(x)</math> के तत्वों की एक संपत्ति है <math>X,</math> ऐसा कि जब भी <math>x \sim y,</math> <math>P(x)</math> सच है अगर <math>P(y)</math> सत्य है, तो संपत्ति <math>P</math> [[ अच्छी तरह से परिभाषित ]] या a . कहा जाता है {{em|class invariant}} रिश्ते के तहत <math>\,\sim.</math> अक्सर विशेष मामला तब होता है जब <math>f</math> से एक समारोह है <math>X</math> दूसरे सेट के लिए <math>Y;</math> यदि <math>x_1 \sim x_2</math> तात्पर्य <math>f\left(x_1\right) = f\left(x_2\right)</math> फिर <math>f</math> कहा जाता है {{em|morphism}} के लिये <math>\,\sim,</math> a {{em|class invariant under}} <math>\,\sim,</math> या केवल {{em|invariant under}} <math>\,\sim.</math> ऐसा होता है, उदा। परिमित समूहों के चरित्र सिद्धांत में। समारोह के साथ बाद का मामला <math>f</math> एक क्रमविनिमेय त्रिभुज द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। [[ अपरिवर्तनीय (गणित) ]] भी देखें। कुछ लेखक संगत का उपयोग करते हैं <math>\,\sim</math>या सिर्फ सम्मान <math>\,\sim</math>अपरिवर्तनीय के बजाय <math>\,\sim</math>.

अधिक आम तौर पर, एक फ़ंक्शन समकक्ष तर्कों को मैप कर सकता है (एक तुल्यता संबंध के तहत <math>\,\sim_A</math>) समकक्ष मूल्यों के लिए (एक तुल्यता संबंध के तहत <math>\,\sim_B</math>) इस तरह के एक समारोह को से एक रूपवाद के रूप में जाना जाता है <math>\,\sim_A</math> प्रति <math>\,\sim_B.</math>

=== तुल्यता वर्ग ===

X का एक उपसमुच्चय Y ऐसा है कि <math>a \sim b</math> Y में सभी a और b के लिए धारण करता है, और Y में a के लिए और Y के बाहर b के लिए कभी नहीं, ~ द्वारा X का 'तुल्यता वर्ग' कहलाता है। होने देना <math>[a] := \{x \in X : a \sim x\}</math> उस तुल्यता वर्ग को निरूपित करें जिससे a संबंधित है। एक दूसरे के तुल्य X के सभी अवयव भी समान तुल्यता वर्ग के अवयव हैं।

=== भागफल सेट ===

{{main|Quotient set}}

X के सभी तुल्यता वर्गों का समुच्चय ~, निरूपित <math>X / \mathord{\sim} := \{[x] : x \in X\},</math> ~ द्वारा ''X'' का भागफल समुच्चय है। यदि ''X'' एक [[ टोपोलॉजिकल स्पेस | टोपोलॉजिकल स्पेस]] है, तो बदलने का एक प्राकृतिक तरीका है <math>X / \sim</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस में; विवरण के लिए [[ भागफल स्थान (टोपोलॉजी) ]] देखें।

{{main|Projection (relational algebra)}}

का प्रक्षेपण <math>\,\sim\,</math> समारोह है <math>\pi : X \to X/\mathord{\sim}</math> द्वारा परिभाषित <math>\pi(x) = [x]</math> जो के तत्वों को मैप करता है <math>X</math> द्वारा उनके संबंधित तुल्यता वर्गों में <math>\,\sim.</math>

:प्रक्षेपण पर प्रमेय (सेट सिद्धांत) s:<ref>[[Garrett Birkhoff]] and [[Saunders Mac Lane]], 1999 (1967). ''Algebra'', 3rd ed. p.&nbsp;35, Th. 19. Chelsea.</ref> चलो समारोह <math>f : X \to B</math> ऐसा हो कि अगर <math>a \sim b</math> फिर <math>f(a) = f(b).</math> फिर एक अनूठा कार्य है <math>g : X / \sim \to B</math> ऐसा है कि <math>f = g \pi.</math> यदि <math>f</math> एक [[ प्रक्षेपण ]] है और <math>a \sim b \text{ if and only if } f(a) = f(b),</math> फिर <math>g</math> एक आपत्ति है।

किसी फ़ंक्शन का तुल्यता कर्नेल <math>f</math> तुल्यता संबंध है ~ द्वारा परिभाषित <math>x \sim y \text{ if and only if } f(x) = f(y).</math> एक [[ इंजेक्शन समारोह ]] का तुल्यता कर्नेल [[ पहचान संबंध ]] है।

{{main|Partition of a set}}

''X'' का विभाजन ''X'' के गैर-रिक्त उपसमुच्चय का एक समुच्चय ''P'' होता है, जैसे कि ''X'' का प्रत्येक अवयव ''P'' के एकल अवयव का एक अवयव हो। ''P'' का प्रत्येक अवयव विभाजन का ''कोशिका'' है। इसके अलावा, ''P'' के अवयव जोड़ीवार असंबद्ध हैं और उनका संघ (सेट थ्योरी) ''X'' है।

मान लीजिए X एक परिमित समुच्चय है जिसमें n तत्व हैं। चूंकि एक्स पर प्रत्येक तुल्यता संबंध एक्स के विभाजन से मेल खाता है, और इसके विपरीत, एक्स पर तुल्यता संबंधों की संख्या एक्स के अलग-अलग विभाजनों की संख्या के बराबर होती है, जो कि एनटी बेल नंबर बी है।_n:

एक प्रमुख परिणाम तुल्यता संबंधों और विभाजनों को जोड़ता है:<ref>Wallace, D. A. R., 1998. ''Groups, Rings and Fields''. p.&nbsp;31, Th. 8. Springer-Verlag.</ref><ref>Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. ''Abstract Algebra'', 3rd ed. p.&nbsp;3, Prop. 2. John Wiley & Sons.</ref><ref>[[Karel Hrbacek]] & [[Thomas Jech]] (1999) ''Introduction to Set Theory'', 3rd edition, pages 29–32, [[Marcel Dekker]]</ref>

* एक सेट एक्स पार्टीशन एक्स पर एक तुल्यता संबंध ~।

* इसके विपरीत, X के किसी भी विभाजन के संगत, X पर एक तुल्यता संबंध होता है।

दोनों ही मामलों में, X के विभाजन की कोशिकाएँ X के ~ द्वारा तुल्यता वर्ग हैं। चूंकि एक्स का प्रत्येक तत्व एक्स के किसी भी विभाजन के एक अद्वितीय सेल से संबंधित है, और चूंकि विभाजन के प्रत्येक सेल एक्स के समकक्ष वर्ग ~ ~ के समान है, एक्स का प्रत्येक तत्व एक्स के अद्वितीय समकक्ष वर्ग ~ के अंतर्गत आता है। इस प्रकार X पर सभी तुल्यता संबंधों के समुच्चय और X के सभी विभाजनों के समुच्चय के बीच एक स्वाभाविक विभाजन होता है।