आईईईई 754-1985: Difference between revisions

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|लगभग 16 दशमलव अंक
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स्टैण्डर्ड पॉजिटिव और नेगेटिव इनफाइनाइट के लिए रिप्रजेंटेशन को भी परिभाषित करता है, [[नकारात्मक शून्य|नेगेटिव शून्य]], [[शून्य से विभाजन]] जैसे अमान्य परिणामों को सुरक्षित करने के लिए पांच एक्सेप्शन, उन एक्सेप्शन्स का रिप्रजेंटेशन करने के लिए विशेष मान जिन्हें [[NaN]] कहा जाता है, ऊपर दिखाए गए छोटी नंबर्स का रिप्रजेंटेशन करने के लिए [[असामान्य संख्या|डिनॉर्मल नंबर्स]], और चार गोल मोड है।
स्टैण्डर्ड पॉजिटिव और नेगेटिव इनफाइनाइट के लिए रिप्रजेंटेशन को भी परिभाषित करता है, [[नकारात्मक शून्य|नेगेटिव शून्य]], [[शून्य से विभाजन]] जैसे इनवैलिड परिणामों को सुरक्षित करने के लिए पांच एक्सेप्शन, उन एक्सेप्शन्स का रिप्रजेंटेशन करने के लिए विशेष वैल्यू जिन्हें [[NaN]] कहा जाता है, ऊपर दिखाए गए छोटी नंबर्स का रिप्रजेंटेशन करने के लिए [[असामान्य संख्या|डिनॉर्मल नंबर्स]], और चार गोल मोड है।


==नंबर्स का रिप्रजेंटेशन==
==नंबर्स का रिप्रजेंटेशन==


[[Image:IEEE 754 Single Floating Point Format.svg|right|frame|नंबर 0.15625 को सिंगल-त्रुटिहीन आईईईई 754-1985 फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर के रूप में दर्शाया गया है। स्पष्टीकरण के लिए टेक्स्ट देखें। ]]
[[Image:IEEE 754 Single Floating Point Format.svg|right|frame|नंबर 0.15625 को सिंगल-एक्यूरेसी आईईईई 754-1985 फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर के रूप में दर्शाया गया है। स्पष्टीकरण के लिए टेक्स्ट देखें। ]]
[[Image:IEEE 754 Double Floating Point Format.svg|right|frame|64 बिट आईईईई 754 में तीन क्षेत्र फ़्लोट होते हैं।]]आईईईई 754 फॉर्मेट में फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर्स में तीन फील्ड्स होते हैं: [[साइन बिट]], बायस्ड एक्सपोनेंट और फ्रैक्शन आदि। निम्नलिखित उदाहरण प्रत्येक का अर्थ बताता है।
[[Image:IEEE 754 Double Floating Point Format.svg|right|frame|64 बिट आईईईई 754 में तीन फील्ड फ़्लोट होते हैं।]]आईईईई 754 फॉर्मेट में फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर्स में तीन फील्ड्स होते हैं: [[साइन बिट]], बायस्ड एक्सपोनेंट और फ्रैक्शन आदि। निम्नलिखित उदाहरण प्रत्येक का अर्थ बताता है।


दशमलव नंबर 0.15625<sub>10</sub> बाइनरी में 0.00101<sub>2</sub> (अर्थात् 1/8 + 1/32) प्रदर्शित किया गया है। (अंकाक्षर नंबर [[मूलांक]] प्रदर्शित करते हैं।) [[वैज्ञानिक संकेतन]] के अनुरूप, जहां नंबर्स को दशमलव बिंदु के बाईं ओर अन्य-शून्य अंक के रूप में लिखा जाता है, हम इस नंबर को पुनः लिखते हैं जिससे कि इसमें बाइनरी बिंदु के बाईं ओर सिंगल 1 बिट होता है। हम तीन स्थितियों द्वारा त्यागे गए बिट्स के स्थानांतरण की पूर्ति के लिए 2 की उचित शक्ति से गुणा करते हैं:
दशमलव नंबर 0.15625<sub>10</sub> बाइनरी में 0.00101<sub>2</sub> (अर्थात् 1/8 + 1/32) प्रदर्शित किया गया है। (सबस्क्रिप्ट नंबर [[मूलांक|बेस]] प्रदर्शित करते हैं।) [[वैज्ञानिक संकेतन|साइंटिफिक नोटेशन]] के अनुरूप, जहां नंबर्स को दशमलव बिंदु के बाईं ओर अन्य-शून्य अंक के रूप में लिखा जाता है, हम इस नंबर को पुनः लिखते हैं जिससे कि इसमें बाइनरी बिंदु के बाईं ओर सिंगल 1 बिट होता है। हम तीन स्टेट्स द्वारा लेफ्ट किये गए बिट्स के ट्रांसफर की पूर्ति के लिए 2 की एप्रोप्रियेट पावर से मल्टीप्लाई करते हैं:


: <math>0.00101_2 = 1.01_2 \times 2^{-3}</math>
: <math>0.00101_2 = 1.01_2 \times 2^{-3}</math>
अब हम भिन्न और घातांक को पढ़ सकते हैं: भिन्न .01<sub>2</sub> है और घातांक −3 है।
अब हम फ्रैक्शन और एक्सपोनेंट को रीड कर सकते हैं: फ्रैक्शन .01<sub>2</sub> है और एक्सपोनेंट −3 है।


जैसा कि चित्रों में प्रदर्शित किया गया है, आईईईई 754 में इस नंबर का रिप्रजेंटेशन करने वाले तीन क्षेत्र हैं:
जैसा कि चित्रों में प्रदर्शित किया गया है, आईईईई 754 में इस नंबर का रिप्रजेंटेशन करने वाले तीन फील्ड हैं:


: चिन्ह = 0, क्योंकि नंबर पॉजिटिव है (1 नेगेटिव प्रदर्शित करता है।)।
: चिन्ह = 0, क्योंकि नंबर पॉजिटिव है (1 नेगेटिव प्रदर्शित करता है।)।
: बायस्ड घातांक = −3 + बायस है। 'सिंगल एक्यूरेसी' में, बायस '127' है, इसलिए इस उदाहरण में बायस्ड घातांक 124 है; 'डबल प्रिसिजन' में, बायस '1023' है, इसलिए इस उदाहरण में बायस्ड घातांक 1020 है।
: बायस्ड एक्सपोनेंट = −3 + बायस है। 'सिंगल एक्यूरेसी' में, बायस '127' है, इसलिए इस उदाहरण में बायस्ड एक्सपोनेंट 124 है; 'डबल प्रिसिजन' में, बायस '1023' है, इसलिए इस उदाहरण में बायस्ड एक्सपोनेंट 1020 है।
: अपूर्णांक = .01000…<sub>2</sub>.
: फ्रैक्शन = .01000…<sub>2</sub>.


आईईईई 754 घातांक में [[ऑफसेट बाइनरी]] जोड़ता है जिससे कि कई स्थितियों में नंबर्स की अपेक्षा उसी हार्डवेयर द्वारा सरलता से की जा सके जो हस्ताक्षरित 2-पूरक पूर्णांकों की अपेक्षा करता है। बायस्ड घातांक का उपयोग करते हुए, दो पॉजिटिव फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर्स में से छोटी नंबर चिह्न और परिमाण पूर्णांक के समान क्रम के पश्चात बड़ी नंबर से कम निकलती है। यदि दो फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर्स के भिन्न-भिन्न चिह्न हैं, तो चिह्न-और-परिमाण अपेक्षा बायस्ड घातांक के साथ भी कार्य करती है। चूँकि, यदि दोनों बायस्ड-घातांक फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर्स नेगेटिव हैं, तो क्रम को विपरीत कर दिया जाना चाहिए। यदि घातांक को, मान लीजिए, 2-पूरक नंबर के रूप में प्रदर्शित किया जाता है, तो यह देखने के लिए अपेक्षा करना कि दो नंबर्स में से कौन सी बड़ी है, सुविधाजनक नहीं होता है।
आईईईई 754 एक्सपोनेंट में [[ऑफसेट बाइनरी]] जोड़ता है जिससे कि कई स्टेट्स में नंबर्स की अपेक्षा उसी हार्डवेयर द्वारा सरलता से की जा सके जो साइंड 2-कॉम्प्लीमेंट इंटिजर्स की अपेक्षा करता है। बायस्ड एक्सपोनेंट का उपयोग करते हुए, दो पॉजिटिव फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर्स में से छोटी नंबर चिह्न और परिमाण इंटिजर्स के समान क्रम के पश्चात बड़ी नंबर से कम निकलती है। यदि दो फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर्स के भिन्न-भिन्न चिह्न हैं, तो चिह्न-और-परिमाण अपेक्षा बायस्ड एक्सपोनेंट के साथ भी कार्य करती है। चूँकि, यदि दोनों बायस्ड-एक्सपोनेंट फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर्स नेगेटिव हैं, तो क्रम को विपरीत कर दिया जाना चाहिए। यदि एक्सपोनेंट को, वैल्यू लीजिए, 2-कम्पलीट नंबर के रूप में प्रदर्शित किया जाता है, तो यह देखने के लिए अपेक्षा करना कि दो नंबर्स में से कौन सी बड़ी है, सुविधाजनक नहीं होता है।


अग्रणी 1 बिट को विस्थापित कर दिया गया है क्योंकि शून्य को त्यागकर सभी नंबर्स अग्रणी 1 से प्रारंभ होती हैं; अग्रणी 1 अंतर्निहित है और वास्तव में इसे संग्रहीत करने की आवश्यकता नहीं है जो मुफ़्त में अतिरिक्त एक्यूरेसी प्रदान करता है।
लीडिंग 1 बिट को ओमिटेड कर दिया गया है क्योंकि एक्सपैक्ट शून्य सभी नंबर्स लीडिंग 1 से प्रारंभ होती हैं; लीडिंग 1 इम्प्लीसिट है और वास्तव में इसे स्टोर करने की आवश्यकता नहीं है जो मुफ़्त में अतिरिक्त एक्यूरेसी प्रदान करता है।


=== शून्य ===
=== शून्य ===
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: पॉजिटिव शून्य के लिए चिह्न = 0, नेगेटिव शून्य के लिए 1 है।
: पॉजिटिव शून्य के लिए चिह्न = 0, नेगेटिव शून्य के लिए 1 है।
: बायस्ड घातांक = 0 है।
: बायस्ड एक्सपोनेंट = 0 है।
: अपूर्णांक = 0 है।
: फ्रैक्शन = 0 है।


=== असामान्यीकृत नंबर्स ===
=== डिनॉर्मल नंबर्स ===


ऊपर वर्णित नंबर निरूपण को सामान्यीकृत कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि अंतर्निहित अग्रणी बाइनरी अंक 1 है। अंडरफ्लो होने पर एक्यूरेसी की हानि को कम करने के लिए, आईईईई 754 में सामान्यीकृत रिप्रजेंटेशन में संभव से छोटे अंशों का रिप्रजेंटेशन करने की क्षमता सम्मिलित है। अंतर्निहित अग्रणी अंक 0 बनाता है। ऐसी नंबर्स को असामान्य नंबर्स कहा जाता है। उनमें सामान्यीकृत नंबर के रूप में कई [[महत्वपूर्ण अंक]] सम्मिलित नहीं होते हैं, किन्तु जब किसी ऑपरेशन का परिणाम शून्य नहीं होता है, किन्तु सामान्यीकृत नंबर द्वारा प्रदर्शित किये जाने के लिए शून्य के अधिक निकट होता है, तो वे एक्यूरेसी की क्रमिक हानि को सक्षम करते हैं।
ऊपर वर्णित नंबर रिप्रजेंटेशन को नॉर्मेलाइज़ कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि इम्प्लीसिट लीडिंग बाइनरी अंक 1 है। अंडरफ्लो होने पर एक्यूरेसी की हानि को कम करने के लिए, आईईईई 754 में नॉर्मेलाइज़ रिप्रजेंटेशन में संभव से छोटे अंशों का रिप्रजेंटेशन करने की क्षमता सम्मिलित है। इम्प्लीसिट लीडिंग अंक 0 बनाता है। ऐसी नंबर्स को असामान्य नंबर्स कहा जाता है। उनमें नॉर्मेलाइज़ नंबर के रूप में कई [[महत्वपूर्ण अंक|सिग्नीफिकेंट डिजिट]] सम्मिलित नहीं होते हैं, किन्तु जब किसी ऑपरेशन का रिजल्ट शून्य नहीं होता है, किन्तु नॉर्मेलाइज़ नंबर द्वारा प्रदर्शित किये जाने के लिए शून्य के अधिक निकट होता है, तो वे एक्यूरेसी की क्रमिक हानि को सक्षम करते हैं।


असामान्य नंबर को सभी 0 बिट्स के बायस्ड घातांक के साथ प्रदर्शित किया जाता है, जो सिंगल एक्यूरेसी में −126 के घातांक का रिप्रजेंटेशन करता है (−127 नहीं), या दोहरी एक्यूरेसी में −1022 (−1023 नहीं) का रिप्रजेंटेशन करता है।<ref>{{cite book|last=Hennessy|title=कंप्यूटर संगठन और डिज़ाइन|year=2009|url=https://archive.org/details/computerorganiza00patt_779|url-access=limited|publisher=Morgan Kaufmann|page=[https://archive.org/details/computerorganiza00patt_779/page/n291 270]|isbn=9780123744937 }}</ref> इसके विपरीत,  सामान्य नंबर का रिप्रजेंटेशन करने वाला सबसे छोटा बायस्ड घातांक 1 है (नीचे उदाहरण देखें)।
असामान्य नंबर को सभी 0 बिट्स के बायस्ड एक्सपोनेंट के साथ प्रदर्शित किया जाता है, जो सिंगल एक्यूरेसी में −126 के एक्सपोनेंट का रिप्रजेंटेशन करता है (−127 नहीं), या डबल एक्यूरेसी में −1022 (−1023 नहीं) का रिप्रजेंटेशन करता है।<ref>{{cite book|last=Hennessy|title=कंप्यूटर संगठन और डिज़ाइन|year=2009|url=https://archive.org/details/computerorganiza00patt_779|url-access=limited|publisher=Morgan Kaufmann|page=[https://archive.org/details/computerorganiza00patt_779/page/n291 270]|isbn=9780123744937 }}</ref> इसके विपरीत,  नार्मल नंबर का रिप्रजेंटेशन करने वाला सबसे छोटा बायस्ड एक्सपोनेंट 1 है (नीचे उदाहरण देखें)।


==गैर-नंबर्स का रिप्रजेंटेशन ==
==नॉन-नंबर्स का रिप्रजेंटेशन ==


किसी कैलकुलेशन की अनंतता या अमान्य परिणाम को प्रदर्शित करने के लिए बायस्ड-घातांक क्षेत्र सभी 1 बिट्स से पूर्ण है।
किसी कैलकुलेशन की इन्फिनिटी या इनवैलिड रिजल्ट को प्रदर्शित करने के लिए बायस्ड-एक्सपोनेंट फील्ड सभी 1 बिट्स से कम्पलीट है।


=== पॉजिटिव और नेगेटिव इनफाइनाइट ===
=== पॉजिटिव और नेगेटिव इनफाइनाइट ===
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: पॉजिटिव इनफाइनाइट के लिए चिह्न = 0, नेगेटिव इनफाइनाइट के लिए 1 है।
: पॉजिटिव इनफाइनाइट के लिए चिह्न = 0, नेगेटिव इनफाइनाइट के लिए 1 है।
: बायस्ड घातांक = सभी 1 बिट्स है।
: बायस्ड एक्सपोनेंट = सभी 1 बिट्स है।
: अपूर्णांक = सभी 0 बिट्स है।
: फ्रैक्शन = सभी 0 बिट्स है।


=== NaN ===
=== NaN ===


फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के कुछ ऑपरेशन अमान्य हैं, जैसे नेगेटिव नंबर का वर्गमूल लेता है। किसी अमान्य परिणाम तक पहुंचने की क्रिया को फ़्लोटिंग-पॉइंट अपवाद कहा जाता है। असाधारण परिणाम को "नॉट ए नंबर" के लिए NaN नामक विशेष कोड द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। आईईईई 754-1985 में सभी NaN का फॉर्मेट यह है:
फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के कुछ ऑपरेशन इनवैलिड हैं, जैसे नेगेटिव नंबर का वर्गमूल लेता है। किसी इनवैलिड रिजल्ट तक पहुंचने की क्रिया को फ़्लोटिंग-पॉइंट अपवाद कहा जाता है। असाधारण रिजल्ट को "नॉट ए नंबर" के लिए NaN नामक विशेष कोड द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। आईईईई 754-1985 में सभी NaN का फॉर्मेट यह है:


: चिह्न = या तो 0 या 1 होता है।
: चिह्न = या तो 0 या 1 होता है।
: बायस्ड घातांक = सभी 1 बिट्स है।
: बायस्ड एक्सपोनेंट = सभी 1 बिट्स है।
: अपूर्णांक = सभी 0 बिट्स को त्यागकर कुछ भी होता है (क्योंकि सभी 0 बिट्स इनफाइनाइट का रिप्रजेंटेशन करते हैं)।
: फ्रैक्शन = सभी 0 बिट्स को त्यागकर कुछ भी होता है (क्योंकि सभी 0 बिट्स इनफाइनाइट का रिप्रजेंटेशन करते हैं)।


== श्रेणी और एक्यूरेसी ==
== सीरीज और एक्यूरेसी ==
[[File:IEEE 754 relative precision.svg|thumb|महत्वपूर्ण अंकों की निश्चित नंबर का उपयोग करके दशमलव रिप्रजेंटेशन की अपेक्षा में सिंगल (बाइनरी 32) और डबल त्रुटिहीन (बाइनरी 64) नंबर्स की सापेक्ष एक्यूरेसी है। सापेक्ष एक्यूरेसी को यहां ulp(x)/x के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां ulp(x) x के रिप्रजेंटेशन में [[अंतिम स्थान पर इकाई]] है, अर्थात  x और अगले रिप्रजेंटेशन योग्य नंबर के मध्य का अंतर है।]]एक्यूरेसी को दो क्रमिक मंटिसा अभ्यावेदन के मध्य न्यूनतम अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है; इस प्रकार यह केवल मंटिसा में फंक्शन है; जबकि अंतर को दो क्रमिक नंबर्स के मध्य के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है।<ref>{{citation |title=Computer Arithmetic |author1=Hossam A. H. Fahmy |author2=Shlomo Waser |author3=Michael J. Flynn |url=http://arith.stanford.edu/~hfahmy/webpages/arith_class/arith.pdf |access-date=2011-01-02 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20101008203307/http://arith.stanford.edu/~hfahmy/webpages/arith_class/arith.pdf |archive-date=2010-10-08}}</ref>
[[File:IEEE 754 relative precision.svg|thumb|महत्वपूर्ण अंकों की निश्चित नंबर का उपयोग करके दशमलव रिप्रजेंटेशन की अपेक्षा में सिंगल (बाइनरी 32) और डबल एक्यूरेसी (बाइनरी 64) नंबर्स की सापेक्ष एक्यूरेसी है। सापेक्ष एक्यूरेसी को यहां ulp(x)/x के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां ulp(x) x के रिप्रजेंटेशन में [[अंतिम स्थान पर इकाई]] है, अर्थात  x और अगले रिप्रजेंटेशन योग्य नंबर के मध्य का अंतर है।]]एक्यूरेसी को दो क्रमिक मंटिसा रिप्रजेंटेशन के मध्य न्यूनतम अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है; इस प्रकार यह केवल मंटिसा में फंक्शन है; यद्यपि अंतर को दो क्रमिक नंबर्स के मध्य के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है।<ref>{{citation |title=Computer Arithmetic |author1=Hossam A. H. Fahmy |author2=Shlomo Waser |author3=Michael J. Flynn |url=http://arith.stanford.edu/~hfahmy/webpages/arith_class/arith.pdf |access-date=2011-01-02 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20101008203307/http://arith.stanford.edu/~hfahmy/webpages/arith_class/arith.pdf |archive-date=2010-10-08}}</ref>


[[एकल परिशुद्धता|'''सिंगल एक्यूरेसी''']]  
[[एकल परिशुद्धता|'''सिंगल एक्यूरेसी''']]  


सिंगल-त्रुटिहीन नंबर्स 32 बिट्स पर व्याप्त हैं। सिंगल एक्यूरेसी में:
सिंगल-एक्यूरेसी नंबर्स 32 बिट्स पर व्याप्त हैं। सिंगल एक्यूरेसी में:
* शून्य के निकटतम पॉजिटिव और नेगेटिव नंबर्स (घातक क्षेत्र में सभी 0 के साथ असामान्य मान और अपूर्णांक क्षेत्र में बाइनरी मान 1 द्वारा प्रदर्शित की जाती हैं) हैं:
* शून्य के निकटतम पॉजिटिव और नेगेटिव नंबर्स (घातक फील्ड में सभी 0 के साथ असामान्य वैल्यू और फ्रैक्शन फील्ड में बाइनरी वैल्यू 1 द्वारा प्रदर्शित की जाती हैं) हैं:
*: ±2<sup>−23</sup>×2<sup>−126</sup> ≈ ±1.40130{{e|−45}}
*: ±2<sup>−23</sup>×2<sup>−126</sup> ≈ ±1.40130{{e|−45}}
* शून्य के निकटतम पॉजिटिव और नेगेटिव सामान्यीकृत नंबर्स (घातक क्षेत्र में बाइनरी मान 1 और अपूर्णांक क्षेत्र में 0 के साथ प्रदर्शित की जाती हैं) हैं:
* शून्य के निकटतम पॉजिटिव और नेगेटिव नॉर्मेलाइज़ नंबर्स (घातक फील्ड में बाइनरी वैल्यू 1 और फ्रैक्शन फील्ड में 0 के साथ प्रदर्शित की जाती हैं) हैं:
*: ±1 × 2<sup>−126</sup> ≈ ±1.17549{{e|−38}}
*: ±1 × 2<sup>−126</sup> ≈ ±1.17549{{e|−38}}
* शून्य से सबसे दूर की परिमित पॉजिटिव और परिमित नेगेटिव नंबर्स (घातक क्षेत्र में 254 और अपूर्णांक क्षेत्र में सभी 1 के साथ मान द्वारा प्रदर्शित की गई) हैं:
* शून्य से सबसे दूर की परिमित पॉजिटिव और परिमित नेगेटिव नंबर्स (घातक फील्ड में 254 और फ्रैक्शन फील्ड में सभी 1 के साथ वैल्यू द्वारा प्रदर्शित की गई) हैं:
*: ±(2−2<sup>−23</sup>) × 2<sup>127</sup><ref name="Kahan">{{Cite document
*: ±(2−2<sup>−23</sup>) × 2<sup>127</sup><ref name="Kahan">{{Cite document
   | author = William Kahan |author-link=William Kahan
   | author = William Kahan |author-link=William Kahan
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   | access-date = 2007-04-12 }}</ref> ≈ ±3.40282{{e|38}}
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सिंगल एक्यूरेसी में दिए गए घातांक के लिए कुछ उदाहरण सीमा और अंतराल मान है:
सिंगल एक्यूरेसी में दिए गए एक्सपोनेंट के लिए कुछ उदाहरण सीमा और अंतराल वैल्यू है:


{| class="wikitable" style="text-align:right;"
{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|- style="text-align:center;"
|- style="text-align:center;"
! वास्तविक घातांक (अनबायस्ड)
! रियल एक्सपोनेंट (अनबायस्ड)
! घातांक (बायस्ड)
! एक्सपोनेंट (बायस्ड)
! न्यूनतम
! न्यूनतम
! अधिकतम
! अधिकतम
Line 161: Line 161:
| ≈ 2.02824e31
| ≈ 2.02824e31
|}
|}
उदाहरण के लिए, 16,777,217 को 32-बिट फ़्लोट के रूप में एन्कोड नहीं किया जा सकता क्योंकि इसे 16,777,216 पर पूर्णांकित किया जाएगा। इससे ज्ञात होता है कि फ़्लोटिंग पॉइंट अंकगणित लेखांकन सॉफ़्टवेयर के लिए अनुपयुक्त क्यों है। चूँकि, रिप्रजेंटेशन योग्य सीमा के अंदर सभी पूर्णांक जो 2 की शक्ति हैं, उन्हें बिना गोलाई के 32-बिट फ़्लोट में संग्रहीत किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, 16,777,217 को 32-बिट फ़्लोट के रूप में एन्कोड नहीं किया जा सकता क्योंकि इसे 16,777,216 पर रौंडिंग किया जाएगा। इससे ज्ञात होता है कि फ़्लोटिंग पॉइंट अंकगणित लेखांकन सॉफ़्टवेयर के लिए अनुपयुक्त क्यों है। चूँकि, रिप्रजेंटेशन योग्य सीमा के अंदर सभी इंटिजर्स जो 2 की पावर हैं, उन्हें बिना गोलाई के 32-बिट फ़्लोट में स्टोर किया जा सकता है।


=== दोहरी एक्यूरेसी ===
=== डबल एक्यूरेसी ===


डबल-त्रुटिहीन नंबर्स 64 बिट्स पर व्याप्त हैं। दोहरी एक्यूरेसी में:
डबल-एक्यूरेसी नंबर्स 64 बिट्स पर व्याप्त हैं। डबल एक्यूरेसी में:
* शून्य के निकटतम पॉजिटिव और नेगेटिव नंबर्स (एक्सप क्षेत्र में सभी 0 के साथ असामान्य मान और अपूर्णांक क्षेत्र में बाइनरी मान 1 द्वारा प्रदर्शित की जाती हैं) हैं
* शून्य के निकटतम पॉजिटिव और नेगेटिव नंबर्स (एक्सप फील्ड में सभी 0 के साथ असामान्य वैल्यू और फ्रैक्शन फील्ड में बाइनरी वैल्यू 1 द्वारा प्रदर्शित की जाती हैं) हैं
*: ±2<sup>−52</sup>×2<sup>−1022</sup> ≈ ±4.94066{{e|−324}}
*: ±2<sup>−52</sup>×2<sup>−1022</sup> ≈ ±4.94066{{e|−324}}
* शून्य के निकटतम पॉजिटिव और नेगेटिव सामान्यीकृत नंबर्स (एक्सप क्षेत्र में बाइनरी मान 1 और अपूर्णांक क्षेत्र में 0 के साथ प्रदर्शित की जाती हैं) हैं:
* शून्य के निकटतम पॉजिटिव और नेगेटिव नॉर्मेलाइज़ नंबर्स (एक्सप फील्ड में बाइनरी वैल्यू 1 और फ्रैक्शन फील्ड में 0 के साथ प्रदर्शित की जाती हैं) हैं:
*: ±1 × 2<sup>−1022</sup> ≈ ±2.22507{{e|−308}}
*: ±1 × 2<sup>−1022</sup> ≈ ±2.22507{{e|−308}}
* शून्य से सबसे दूर की परिमित पॉजिटिव और परिमित नेगेटिव नंबर्स (एक्सप क्षेत्र में 2046 और अपूर्णांक क्षेत्र में सभी 1 के साथ मान द्वारा प्रदर्शित की गई) हैं:
* शून्य से सबसे दूर की परिमित पॉजिटिव और परिमित नेगेटिव नंबर्स (एक्सप फील्ड में 2046 और फ्रैक्शन फील्ड में सभी 1 के साथ वैल्यू द्वारा प्रदर्शित की गई) हैं:
*: ±(2−2<sup>−52</sup>)×2<sup>1023</sup><ref name="Kahan" />≈ ±1.79769{{e|308}}
*: ±(2−2<sup>−52</sup>)×2<sup>1023</sup><ref name="Kahan" />≈ ±1.79769{{e|308}}


दोहरी एक्यूरेसी में दिए गए घातांक के लिए कुछ उदाहरण सीमा और अंतराल मान है:
डबल एक्यूरेसी में दिए गए एक्सपोनेंट के लिए कुछ उदाहरण रेंज और गैप वैल्यू है:


{| class="wikitable" style="text-align:right;"
{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|- style="text-align:center;"
|- style="text-align:center;"
! वास्तविक घातांक (अनबायस्ड)
! रियल एक्सपोनेंट (अनबायस्ड)
! घातांक (बायस्ड)
! एक्सपोनेंट (बायस्ड)
! न्यूनतम
! न्यूनतम
! अधिकतम
! अधिकतम
Line 238: Line 238:
|}
|}


'''विस्तारित फॉर्मेट'''
'''एक्सटेंडेड फॉर्मेट'''


स्टैण्डर्ड राउंड-ऑफ त्रुटियों को कम करने के लिए, अंतिम परिणाम के लिए आवश्यक उच्च एक्यूरेसी पर आंतरिक कैलकुलेशन करने के लिए विस्तारित फॉर्मेट का उपयोग करने का अनुरोध करता है: स्टैण्डर्ड केवल ऐसे प्रारूपों के लिए न्यूनतम एक्यूरेसी और घातांक आवश्यकताओं को निर्दिष्ट करता है। [[x87]] 80-बिट विस्तारित फॉर्मेट सबसे अधिक कार्यान्वित विस्तारित फॉर्मेट है जो इन आवश्यकताओं को पूर्ण करता है।
स्टैण्डर्ड राउंड-ऑफ एरर को कम करने के लिए, अंतिम रिजल्ट के लिए आवश्यक उच्च एक्यूरेसी पर आंतरिक कैलकुलेशन करने के लिए एक्सटेंडेड फॉर्मेट का उपयोग करने का अनुरोध करता है: स्टैण्डर्ड केवल ऐसे प्रारूपों के लिए न्यूनतम एक्यूरेसी और एक्सपोनेंट आवश्यकताओं को निर्दिष्ट करता है। [[x87]] 80-बिट एक्सटेंडेड फॉर्मेट सबसे अधिक कार्यान्वित एक्सटेंडेड फॉर्मेट है जो इन आवश्यकताओं को कम्पलीट करता है।


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==


यहां सिंगल-त्रुटिहीन आईईईई 754 अभ्यावेदन के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
यहां सिंगल-एक्यूरेसी आईईईई 754 रिप्रजेंटेशन के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:


{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
Line 250: Line 250:
! प्रकार
! प्रकार
! चिह्न
! चिह्न
! वास्तविक घातांक
! रियल एक्सपोनेंट
! घातांक (बायस्ड)
! एक्सपोनेंट (बायस्ड)
! घातांक क्षेत्र
! एक्सपोनेंट फील्ड
! अपूर्णांक क्षेत्र
! फ्रैक्शन फील्ड
! मान
! वैल्यू
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| शून्य
| शून्य
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| ±(1−2<sup>−23</sup>) &times; 2<sup>−126</sup> ≈ ±1.18{{e|-38}}
| ±(1−2<sup>−23</sup>) &times; 2<sup>−126</sup> ≈ ±1.18{{e|-38}}
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| सबसे छोटी सामान्यीकृत नंबर
| सबसे छोटी नॉर्मेलाइज़ नंबर
| style="text-align:center;"| *
| style="text-align:center;"| *
| −126
| −126
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| ±2<sup>−126</sup> ≈ ±1.18{{e|-38}}
| ±2<sup>−126</sup> ≈ ±1.18{{e|-38}}
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| सबसे बड़ी सामान्यीकृत नंबर
| सबसे बड़ी नॉर्मेलाइज़ नंबर
| style="text-align:center;"| *
| style="text-align:center;"| *
| 127
| 127
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| style="text-align:right;"| 255
| style="text-align:right;"| 255
| 1111 1111
| 1111 1111
| गैर शून्य
| नॉन शून्य
| NaN
| NaN
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|}
|}


== फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर्स की अपेक्षा करना ==
== फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर्स को कम्पेयर करना ==
नेगेटिव शून्य और पॉजिटिव शून्य के लिए बिट्स के दो संयोजनों को त्यागकर, प्रत्येक संभावित बिट संयोजन या तो NaN है या संबद्ध क्रम के साथ एफ़िनली विस्तारित वास्तविक नंबर प्रणाली में अद्वितीय मान वाला नंबर है, जिस पर कभी-कभी विशेष ध्यान देने की आवश्यकता होती है (नीचे देखें)। बाइनरी रिप्रजेंटेशन में विशेष गुण होता है कि, NaN को त्यागकर, किसी भी दो नंबर्स की अपेक्षा चिह्न और परिमाण पूर्णांक के रूप में की जा सकती है ([[endianness|एंडियननेस]] उद्देश्य इम्प्लीमेंट होते हैं)। 2 के पूरक पूर्णांकों के रूप में अपेक्षा करते समय: यदि साइन बिट भिन्न होते हैं, तो नेगेटिव नंबर पॉजिटिव नंबर से पूर्व होती है, इसलिए 2 का पूरक सही परिणाम देता है (इसके अतिरिक्त कि नेगेटिव शून्य और पॉजिटिव शून्य को समान माना जाना चाहिए)। यदि दोनों मान पॉजिटिव हैं, तो 2 की पूरक अपेक्षा पुनः उचित परिणाम देती है। अन्यथा (दो नेगेटिव नंबर्स), उचित एफपी क्रम 2 के पूरक क्रम के विपरीत है।
नेगेटिव शून्य और पॉजिटिव शून्य के लिए बिट्स के दो कॉम्बिनेशन को एक्सपैक्ट करके, प्रत्येक बिट कॉम्बिनेशन या तो NaN है या संबद्ध क्रम के साथ एफ़िनली एक्सटेंडेड रियल नंबर सिस्टम में अद्वितीय वैल्यू वाला नंबर है, जिस पर कभी-कभी विशेष ध्यान देने की आवश्यकता होती है (नीचे देखें)। बाइनरी रिप्रजेंटेशन में विशेष गुण होता है कि, NaN को एक्सपैक्ट करके, किसी भी दो नंबर्स की अपेक्षा चिह्न और परिमाण इंटिजर्स के रूप में की जा सकती है ([[endianness|एंडियननेस]] उद्देश्य इम्प्लीमेंट होते हैं)। 2 के पूरक पूर्णांकों के रूप में अपेक्षा करते समय: यदि साइन बिट फ्रैक्शन होते हैं, तो नेगेटिव नंबर पॉजिटिव नंबर से पूर्व होती है, इसलिए 2 का पूरक सही रिजल्ट देता है (इसके अतिरिक्त कि नेगेटिव शून्य और पॉजिटिव शून्य को समान माना जाना चाहिए)। यदि दोनों वैल्यू पॉजिटिव हैं, तो 2 की पूरक अपेक्षा पुनः एप्रोप्रियेट रिजल्ट देती है। अन्यथा (दो नेगेटिव नंबर्स), एप्रोप्रियेट एफपी क्रम 2 के पूरक क्रम के विपरीत है।


फ़्लोटिंग पॉइंट गणनाओं में निहित राउंडिंग त्रुटियाँ परिणामों की त्रुटिहीन समानता के परीक्षण के लिए अपेक्षाओं के उपयोग को सीमित कर सकती हैं। स्वीकार्य सीमा का चयन करना समष्टि विषय है। सामान्य तकनीक अनुमानित अपेक्षा करने के लिए अपेक्षात्मक ईपीएसलॉन मान का उपयोग करना है।<ref>{{cite web|url=https://github.com/godotengine/godot/blob/master/core/math/math_funcs.h#L302|title=Godot math_funcs.h|website=GitHub.com|date=30 July 2022 }}</ref> अपेक्षाएँ कितनी उदार हैं, इस पर निर्भर करते हुए, सामान्य मूल्यों में सिंगल-एक्यूरेसी के लिए <code>1e-6</code> या <code>1e-5</code>और दोहरी एक्यूरेसी के लिए <code>1e-14</code> सम्मिलित हैं।<ref>{{cite web|url=https://github.com/godotengine/godot/blob/master/core/math/math_defs.h#L34|title=Godot math_defs.h|website=GitHub.com|date=30 July 2022 }}</ref><ref>{{cite web|url=https://github.com/godotengine/godot/blob/master/modules/mono/glue/Managed/Files/MathfEx.cs#L18|title=गोडोट MathfEx.cs|website=GitHub.com}}</ref> अन्य सामान्य तकनीक यूएलपी है, जो यह परीक्षण करती है कि अंतिम स्थान के अंकों में क्या अंतर है, प्रभावी रूप से यह परीक्षण करती है कि दोनों मान कितने दूर हैं।<ref>{{cite web|url=https://randomascii.wordpress.com/2012/02/25/comparing-floating-point-numbers-2012-edition/|title=Comparing Floating Point Numbers, 2012 Edition|website=randomascii.wordpress.com|date=26 February 2012 }}</ref>
फ़्लोटिंग पॉइंट गणनाओं में निहित राउंडिंग एरर परिणामों की एक्यूरेसी समानता के परीक्षण के लिए अपेक्षाओं के उपयोग को सीमित कर सकती हैं। एक्सेप्टिंग लिमिट का चयन करना कम्प्लेक्सिटी विषय है। सामान्य टेक्नोलॉजी अनुमानित अपेक्षा करने के लिए अपेक्षात्मक ईपीएसलॉन वैल्यू का उपयोग करना है।<ref>{{cite web|url=https://github.com/godotengine/godot/blob/master/core/math/math_funcs.h#L302|title=Godot math_funcs.h|website=GitHub.com|dat