क्वांटम स्कार: Difference between revisions

फ़ाइल:पेंटाग्राम स्कार.पीडीएफ|थंब|बाहरी चुंबकीय क्षेत्र के साथ एक अव्यवस्थित क्वांटम कुएं में अस्तव्यस्तता  -प्रेरित क्वांटम स्किपिंग निशान (अधिक जानकारी के लिए, नीचे और संदर्भ देखें।<ref name=":9" />).

क्वांटम स्कारिंग एक ऐसी घटना को संदर्भित करता है जहां मौलिक रूप से अराजक क्वांटम प्रणाली की [[जितना राज्य]] ने अस्थिर मौलिक  आवधिक कक्षाओं के पथों के आसपास [[घनत्व मैट्रिक्स]] को बढ़ाया है।<ref name=":0">{{Cite journal |last=Heller |first=Eric J. |date=1984-10-15 |title=Bound-State Eigenfunctions of Classically Chaotic Hamiltonian Systems: Scars of Periodic Orbits |url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.53.1515 |journal=Physical Review Letters |volume=53 |issue=16 |pages=1515–1518 |doi=10.1103/PhysRevLett.53.1515}}</ref><ref name=":1">{{Cite book |last=Heller |first=Eric Johnson |url=https://www.worldcat.org/oclc/1034625177 |title=गतिशीलता और स्पेक्ट्रोस्कोपी का अर्धशास्त्रीय तरीका|date=2018 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-1-4008-9029-3 |location=Princeton |oclc=1034625177}}</ref> आवधिक कक्षा की अस्थिरता एक निर्णायक बिंदु है जो क्वांटम निशान को अधिक तुच्छ अवलोकन से भिन्न करती है कि स्थिर आवधिक कक्षाओं के पड़ोस में संभाव्यता घनत्व बढ़ाया जाता है। उत्तरार्द्ध को पूरी तरह से मौलिक  घटना, [[पत्राचार सिद्धांत]] की अभिव्यक्ति के रूप में समझा जा सकता है, जबकि पूर्व में, क्वांटम हस्तक्षेप आवश्यक है। इस प्रकार, स्कारिंग क्वांटम-मौलिक  पत्राचार का एक दृश्य उदाहरण है, और साथ ही अराजकता के (स्थानीय) क्वांटम दमन का एक उदाहरण है।

एक मौलिक रूप से अराजक प्रणाली भी [[एर्गोडिसिटी]] है, और इसलिए (लगभग) इसके सभी प्रक्षेप पथ अंततः संपूर्ण सुलभ चरण स्थान का समान रूप से पता लगाते हैं। इस प्रकार, यह उम्मीद करना स्वाभाविक होगा कि क्वांटम समकक्ष के स्वदेशी क्वांटम चरण स्थान को अर्धमौलिक  सीमा में यादृच्छिक उतार-चढ़ाव तक समान तरीके से भर देंगे। हालाँकि, निशान इस धारणा में एक महत्वपूर्ण सुधार हैं। इसलिए स्कार्स को एक स्वदेशी समकक्ष के रूप में माना जा सकता है कि कैसे छोटी आवधिक कक्षाएँ [[ यादृच्छिक मैट्रिक्स ]] के सार्वभौमिक वर्णक्रमीय आँकड़ों में सुधार प्रदान करती हैं। एर्गोडिसिटी की क्वांटम प्रकृति पर कठोर गणितीय प्रमेय हैं,<ref name=":6">{{Cite journal |last=Zelditch |first=Steven |date=1987-12-01 |title=कॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक सतहों पर आइजनफ़ंक्शन का समान वितरण|url=https://projecteuclid.org/journals/duke-mathematical-journal/volume-55/issue-4/Uniform-distribution-of-eigenfunctions-on-compact-hyperbolic/10.1215/S0012-7094-87-05546-3.full |journal=Duke Mathematical Journal |volume=55 |issue=4 |doi=10.1215/S0012-7094-87-05546-3 |issn=0012-7094}}</ref><ref name=":7">{{Cite journal |last=Shnirelman |first=Alexander |year=1974 |title=ईजेनफंक्शन के एर्गोडिक गुण|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=4463&option_lang=eng |journal=Uspekhi Matematicheskikh Nauk |volume=29 |pages=181–182}}</ref><ref name=":8">{{Cite journal |last=Colin de Verdière |first=Yves |year=1985 |title=Ergodicité et fonctions propres du laplacien |url=https://projecteuclid.org/journals/communications-in-mathematical-physics/volume-102/issue-3/Ergodicit%c3%a9-et-fonctions-propres-du-laplacien/cmp/1104114465.full?tab=ArticleLink |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=102 |issue=3 |pages=497–502|doi=10.1007/BF01209296 |s2cid=189832724 }}</ref> यह सिद्ध करना कि एक ऑपरेटर की अपेक्षा का मूल्य अर्धमौलिक  सीमा में संबंधित माइक्रोकैनोनिकल मौलिक औसत में परिवर्तित हो जाता है। फिर भी, यदि क्वांटम चरण स्थान की मात्रा धीरे-धीरे अर्धमौलिक  सीमा में गायब हो जाती है, तब क्वांटम एर्गोडिसिटी प्रमेय स्कारिंग को बाहर नहीं करता है।

मौलिक पक्ष पर, निशानों का कोई प्रत्यक्ष एनालॉग नहीं है। क्वांटम पक्ष पर, उन्हें एक आइजेनस्टेट सादृश्य के रूप में व्याख्या की जा सकती है कि कैसे छोटी आवधिक कक्षाएँ सार्वभौमिक यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत आइगेनवैल्यू आँकड़ों को सही करती हैं। निशान नॉनर्जोडिक अवस्थाओं से मेल खाते हैं जिन्हें क्वांटम एर्गोडिसिटी प्रमेय द्वारा अनुमति दी जाती है। विशेष रूप से, जख्मी राज्य इस धारणा के लिए एक आकर्षक दृश्य प्रति उदाहरण प्रदान करते हैं कि एक मौलिक  रूप से अराजक प्रणाली के स्वदेशी राज्य संरचना के बिना होंगे। पारंपरिक क्वांटम निशानों के अतिरिक्त, क्वांटम स्कारिंग का क्षेत्र अपने पुनर्जागरण काल ​​से गुजर रहा है, जो अस्तव्यस्तता  से प्रेरित निशान और अनेक-शरीर के निशान (नीचे देखें) की खोजों से प्रेरित है।

[[File:Stadium scar.png|thumb|(बुनिमोविच) स्टेडियम के विशिष्ट जख्मी आइजनस्टेट्स। यह आंकड़ा तीन भिन्न-भिन्न स्वदेशी राज्यों के लिए संभाव्यता घनत्व दिखाता है। निशान, संकेंद्रित संभाव्यता घनत्व के क्षेत्रों का संदर्भ देते हुए, (अस्थिर) आवधिक कक्षाओं द्वारा उत्पन्न होते हैं, जिनमें से दो को चित्रित किया गया है।]]गुट्ज़विलर ट्रेस फ़ॉर्मूले के आधार पर जख्मी राज्यों का अस्तित्व अप्रत्याशित है,<ref name=":2">{{Cite book |last=Gutzwiller |first=M. C. |url=https://www.worldcat.org/oclc/22754223 |title=शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिकी में अराजकता|date=1990 |publisher=Springer-Verlag |isbn=0-387-97173-4 |location=New York |oclc=22754223}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Gutzwiller |first=Martin C. |date=1971-03-01 |title=आवधिक कक्षाएँ और शास्त्रीय परिमाणीकरण स्थितियाँ|url=https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.1665596 |journal=Journal of Mathematical Physics |volume=12 |issue=3 |pages=343–358 |doi=10.1063/1.1665596 |bibcode=1971JMP....12..343G |issn=0022-2488}}</ref> जो राज्यों के क्वांटम यांत्रिक घनत्व को संबंधित मौलिक  प्रणाली में आवधिक कक्षाओं से जोड़ता है। ट्रेस सूत्र के अनुसार, क्वांटम स्पेक्ट्रम सभी स्थितियों पर ट्रेस का परिणाम नहीं है, किंतु यह केवल सभी आवधिक कक्षाओं पर ट्रेस द्वारा निर्धारित होता है। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक आवधिक कक्षा एक eigenvalue में योगदान करती है, चूंकि बिल्कुल समान रूप से नहीं। यह और भी अधिक संभावना नहीं है कि एक विशेष आवधिक कक्षा पूरी तरह से अराजक प्रणाली में एक विशेष ईजेनस्टेट में योगदान देने में खड़ी होगी, क्योंकि कुल मिलाकर आवधिक कक्षाएँ कुल चरण अंतरिक्ष मात्रा के शून्य-आयतन वाले हिस्से पर कब्जा कर लेती हैं। इसलिए, ऐसा कुछ भी प्रतीत नहीं होता है कि किसी दिए गए आइगेनवैल्यू के लिए किसी विशेष आवधिक कक्षा की अन्य आवधिक कक्षाओं की तुलना में महत्वपूर्ण भूमिका हो सकती है। बहरहाल, क्वांटम स्कारिंग इस धारणा को गलत सिद्ध करती है। स्कारिंग को पहली बार 1983 में एस. डब्ल्यू. मैक्डोनाल्ड ने स्टेडियम बिलियर्ड पर अपने थीसिस में एक रोचक संख्यात्मक अवलोकन के रूप में देखा था।<ref>{{Cite journal |last=McDonald |first=S.W. |date=1983-09-01 |title=नियमित और अराजक किरणों की तरंग गतिकी|url=http://www.osti.gov/servlets/purl/5373229-gClYUs/ |language=en |pages=LBL–14837, 5373229 |doi=10.2172/5373229}}</ref> वे उसके चित्र में अच्छे से दिखाई नहीं दिए क्योंकि वे अधिक  अपरिष्कृत जलप्रपात भूखंड थे। स्टेडियम बिलियर्ड के लिए तरंग कार्यों और निकटतम-निकटतम स्तर रिक्ति स्पेक्ट्रा के बारे में लेख चर्चा में इस खोज को पूरी तरह से सूची नहीं किया गया था।<ref>{{Cite journal |last1=McDonald |first1=Steven W. |last2=Kaufman |first2=Allan N. |date=1979-04-30 |title=स्टोकेस्टिक ट्रैजेक्टरीज़ वाले हैमिल्टनियन के लिए स्पेक्ट्रम और आइजेनफंक्शन|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.42.1189 |journal=Physical Review Letters |volume=42 |issue=18 |pages=1189–1191 |doi=10.1103/PhysRevLett.42.1189|s2cid=119956707 }}</ref> एक साल पश्चात्, ई. जे. हेलर ने जख्मी आइजनफंक्शन के पहले उदाहरणों को उनके अस्तित्व के लिए एक सैद्धांतिक स्पष्टीकरण के साथ प्रकाशित किया।<ref name=":0" /> परिणामों से व्यक्तिगत आवधिक कक्षाओं के बड़े पदचिह्नों का पता चला, जो मौलिक  रूप से अराजक बनीमोविच स्टेडियम के कुछ स्वदेशी राज्यों को प्रभावित कर रहे थे, जिन्हें ई.जे. हेलर ने स्कार्स नाम दिया था।

तरंग पैकेट विश्लेषण निशानों के अस्तित्व को सिद्ध करने में महत्वपूर्ण था, और यह अभी भी उन्हें समझने के लिए एक मूल्यवान उपकरण है। ई. जे. हेलर के मूल कार्य में,<ref name=":0" /> क्वांटम स्पेक्ट्रम को एक आवधिक कक्षा के साथ गाऊसी तरंग पैकेट को प्रसारित करके निकाला जाता है। आजकल, इस मौलिक विचार को स्कारिंग के रैखिक सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।<ref name=":0" /><ref name=":1" /><ref>{{Cite journal |last=Kaplan |first=L |date=1999-01-01 |title=क्वांटम अराजक तरंग कार्यों में निशान|url=https://doi.org/10.1088/0951-7715/12/2/009 |journal=Nonlinearity |language=en |volume=12 |issue=2 |pages=R1–R40 |doi=10.1088/0951-7715/12/2/009 |s2cid=250793219 |issn=0951-7715}}</ref><ref name=":3">{{Cite journal |last1=Kaplan |first1=L. |last2=Heller |first2=E. J. |date=1998-04-10 |title=आइजेनफंक्शन स्कार्स का रैखिक और अरेखीय सिद्धांत|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0003491697957730 |journal=Annals of Physics |language=en |volume=264 |issue=2 |pages=171–206 |doi=10.1006/aphy.1997.5773 |s2cid=120635994 |issn=0003-4916}}</ref> मौलिक  रूप से अराजक प्रणालियों के कुछ स्वदेशी राज्यों में निशान आंखों के सामने दिखाई देते हैं, किन्तु कुछ परीक्षण राज्यों, अधिकांशतः गॉसियन पर स्वदेशी राज्यों के [[प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)]] द्वारा मात्रा निर्धारित की जाती है, जिसमें आवधिक कक्षा के साथ औसत स्थिति और औसत गति दोनों होती है। यह परीक्षण स्थितियाँ एक सिद्ध रूप से संरचित स्पेक्ट्रम देती हैं जो निशान की आवश्यकता को प्रकट करती हैं।<ref>{{cite journal|last1=Antonsen|first1=T. M.|last2=Ott|first2=E.|last3=Chen|first3=Q.|last4=Oerter|first4=R. N.|date=1 January 1995|title=तरंग-फ़ंक्शन निशान के आँकड़े|journal=Physical Review E|volume=51|issue=1|pages=111–121|bibcode=1995PhRvE..51..111A|doi=10.1103/PhysRevE.51.111|pmid=9962623}}</ref> हालाँकि, दाग लगने पर कोई सार्वभौमिक उपाय नहीं है; स्थिरता प्रतिपादक का त्रुटिहीन संबंध <math>\chi</math> डराने वाली ताकत परिभाषा का विषय है। बहरहाल, एक सामान्य नियम है:<ref name=":1" /><ref name=":2" /> क्वांटम स्कारिंग तब महत्वपूर्ण होती है <math>\chi < 2\pi</math>, और ताकत के पैमाने के रूप में <math>\chi^{-1}</math>. इस प्रकार, शक्तिशाली  क्वांटम निशान, सामान्यतः, आवधिक कक्षाओं से जुड़े होते हैं जो मध्यम रूप से अस्थिर और सापेक्ष छोटे होते हैं। सिद्धांत मौलिक  आवधिक कक्षा के साथ निशान वृद्धि की भविष्यवाणी करता है, किन्तु यह त्रुटिहीन रूप से इंगित नहीं कर सकता है कि कौन से विशेष राज्य घायल हैं और कितने हैं। किंतु, यह केवल कहा जा सकता है कि कुछ राज्य कुछ निश्चित ऊर्जा क्षेत्रों में और कम से कम एक निश्चित सीमा तक प्रभावित हैं।

ऊपर उल्लिखित रैखिक स्कारिंग सिद्धांत को पश्चात् में आवधिक कक्षा के चारों ओर तरंग पैकेट के रैखिक गतिशीलता डोमेन से निकलने के पश्चात् होने वाले गैर-रेखीय प्रभावों को सम्मिलित करने के लिए विस्तारित किया गया है।<ref name=":3" />लंबे समय तक, अरेखीय प्रभाव घाव भरने में सहायता कर सकता है। यह होमोक्लिनिक कक्षाओं से जुड़ी अरेखीय पुनरावृत्तियों से उत्पन्न होता है। ई. बी. बोगोमोल्नी द्वारा वास्तविक-अंतरिक्ष दृष्टिकोण के साथ स्कारिंग पर एक और अंतर्दृष्टि प्राप्त की गई थी<ref>{{Cite journal |last=Bogomolny |first=E. B. |date=1988-06-01 |title=अराजक क्वांटम प्रणालियों के सुचारू तरंग कार्य|url=https://dx.doi.org/10.1016/0167-2789%2888%2990075-9 |journal=Physica D: Nonlinear Phenomena |language=en |volume=31 |issue=2 |pages=169–189 |doi=10.1016/0167-2789(88)90075-9 |issn=0167-2789}}</ref> और एम. वी. बेरी द्वारा एक चरण-अंतरिक्ष विकल्प<ref>{{Cite journal |last=Berry |first=Michael Victor |date=1989-05-08 |title=चरण स्थान में शास्त्रीय बंद कक्षाओं के क्वांटम निशान|url=https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.1989.0052 |journal=Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences |volume=423 |issue=1864 |pages=219–231 |doi=10.1098/rspa.1989.0052|s2cid=121292996 }}</ref> ई. जे. हेलर और एल. कपलान द्वारा प्रयुक्त तरंग-पैकेट और हुसिमी अंतरिक्ष विधियों का पूरक।<ref name=":0" /><ref name=":1" /><ref name=":3" />

निशानों की पहली प्रायोगिक पुष्टि 1990 के दशक की शुरुआत में माइक्रोवेव बिलियर्ड्स में प्राप्त की गई थी।<ref>{{Cite journal |last=Sridhar |first=S. |date=1991-08-12 |title=अराजक माइक्रोवेव गुहाओं के जख्मी स्वदेशी कार्यों का प्रायोगिक अवलोकन|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.67.785 |journal=Physical Review Letters |volume=67 |issue=7 |pages=785–788 |doi=10.1103/PhysRevLett.67.785|pmid=10044988 }}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Stein |first1=J. |last2=Stöckmann |first2=H.-J. |date=1992-05-11 |title=बिलियर्ड तरंग कार्यों का प्रायोगिक निर्धारण|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.68.2867 |journal=Physical Review Letters |volume=68 |issue=19 |pages=2867–2870 |doi=10.1103/PhysRevLett.68.2867|pmid=10045515 }}</ref> स्कारिंग के लिए और अधिक प्रयोगात्मक प्रमाण पश्चात् में, उदाहरण के लिए, क्वांटम कुओं में अवलोकन द्वारा दिए गए हैं।<ref>{{Cite journal |last1=Fromhold |first1=T. M. |last2=Wilkinson |first2=P. B. |last3=Sheard |first3=F. W. |last4=Eaves |first4=L. |last5=Miao |first5=J. |last6=Edwards |first6=G. |date=1995-08-07 |title=क्वांटम वेल के ऊर्जा स्तर स्पेक्ट्रम में शास्त्रीय अराजकता की अभिव्यक्तियाँ|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.75.1142 |journal=Physical Review Letters |volume=75 |issue=6 |pages=1142–1145 |doi=10.1103/PhysRevLett.75.1142|pmid=10060216 }}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Wilkinson |first1=P. B. |last2=Fromhold |first2=T. M. |last3=Eaves |first3=L. |last4=Sheard |first4=F. W. |last5=Miura |first5=N. |last6=Takamasu |first6=T. |date=April 1996 |title=अराजक इलेक्ट्रॉन गतिशीलता के साथ एक क्वांटम कुएं में 'घायल' तरंग कार्यों का अवलोकन|url=https://www.nature.com/articles/380608a0 |journal=Nature |language=en |volume=380 |issue=6575 |pages=608–610 |doi=10.1038/380608a0 |s2cid=4266044 |issn=1476-4687}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Narimanov |first1=E. E. |last2=Stone |first2=A. Douglas |date=1998-01-05 |title=झुके हुए चुंबकीय क्षेत्र में क्वांटम वेल्स में तरंग कार्यों के मजबूत निशान की उत्पत्ति|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.80.49 |journal=Physical Review Letters |volume=80 |issue=1 |pages=49–52 |doi=10.1103/PhysRevLett.80.49|arxiv=cond-mat/9705167 |s2cid=119540313 }}</ref> ऑप्टिकल गुहाएँ<ref>{{Cite journal |last1=Lee |first1=Sang-Bum |last2=Lee |first2=Jai-Hyung |last3=Chang |first3=Joon-Sung |last4=Moon |first4=Hee-Jong |last5=Kim |first5=Sang Wook |last6=An |first6=Kyungwon |date=2002-01-02 |title=असममित रूप से विकृत माइक्रोसिलिंडर लेजर में दाग वाले मोड का अवलोकन|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.88.033903 |journal=Physical Review Letters |volume=88 |issue=3 |pages=033903 |doi=10.1103/PhysRevLett.88.033903|pmid=11801060 |arxiv=physics/0106031 |s2cid=34110794 }}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Harayama |first1=Takahisa |last2=Fukushima |first2=Tekehiro |last3=Davis |first3=Peter |last4=Vaccaro |first4=Pablo O. |last5=Miyasaka |first5=Tomohiro |last6=Nishimura |first6=Takehiro |last7=Aida |first7=Tahito |date=2003-01-31 |title=पूरी तरह से अराजक माइक्रोकैविटी में निशान मोड पर लेज़िंग|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.67.015207 |journal=Physical Review E |volume=67 |issue=1 |pages=015207 |doi=10.1103/PhysRevE.67.015207|pmid=12636553 }}</ref> और हाइड्रोजन परमाणु.<ref>{{Cite journal |last1=Hönig |first1=A. |last2=Wintgen |first2=D. |date=1989-06-01 |title=Spectral properties of strongly perturbed Coulomb systems: Fluctuation properties |url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.39.5642 |journal=Physical Review A |volume=39 |issue=11 |pages=5642–5657 |doi=10.1103/PhysRevA.39.5642|pmid=9901147 }}</ref> 2000 के दशक की शुरुआत में, पहला अवलोकन अण्डाकार बिलियर्ड में प्राप्त किया गया था।<ref>{{Cite journal |last1=Manoharan |first1=H. C. |last2=Lutz |first2=C. P. |last3=Eigler |first3=D. M. |date=February 2000 |title=इलेक्ट्रॉनिक संरचना के सुसंगत प्रक्षेपण द्वारा गठित क्वांटम मृगतृष्णा|url=https://www.nature.com/articles/35000508 |journal=Nature |language=en |volume=403 |issue=6769 |pages=512–515 |doi=10.1038/35000508 |pmid=10676952 |s2cid=4387604 |issn=1476-4687}}</ref> अनेक मौलिक  प्रक्षेप पथ इस प्रणाली �